离散数学(第13讲)二元关系

2
设集合A {a,b,c}， 例1 设集合A＝{a,b,c}，A上的关系 R＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,b>,<b,c>,<c,c>} 从关系图可验证R 偏序关系： 从关系图可验证R是偏序关系： (1)每个点均有自回路，故a有自反性。 (1)每个点均有自回路， 有自反性。 每个点均有自回路 (2)每两点间最多有一条弧，故有反对称性。 (2)每两点间最多有一条弧，故有反对称性。 每两点间最多有一条弧 a能间接地通到 能间接地通到c 直接有弧。而其它没有了， (3) a能间接地通到c，a到c直接有弧。而其它没有了， 有传递性。 故R有传递性。 故R是偏序关系。 是偏序关系。
解：根据哈斯图，有：A＝{a,b,c,d,e,f,g,h} 根据哈斯图， =ΙA ∪ {<a,c>,<c,e>, <a,e>, <b,c>,<b,e>, <a,d>, <d,e>,
<b,d>, <f,g>}
8
3、最大元、最小元、极大元、极小元 最大元、最小元、极大元、 )是偏序集 集合B 是偏序集， (B是 定义 设(A, )是偏序集，集合B⊆A，(B是A的 子集) 子集)。 如存在元素b 使得∀ 均有x (1). 如存在元素b∈B，使得∀x∈B，均有x 则称b 最大元。 b，则称b为B的最大元。 如存在元素b 使得∀ 均有b (2). 如存在元素b∈B，使得∀x∈B，均有b 则称b 最小元。 x，则称b为B的最小元。
4 6 3
例:A＝{1,2,3,4,5,6}，D是整 :A＝{1,2,3,4,5,6}， 除关系，哈斯图为： 除关系，哈斯图为
则 若 B ＝{2,3,4,5} 3,4,5为 的极大元。 3,4,5为B的极大元。 2,3,5为 的极小元。 2,3,5为B的极小元。
5
2 1
12
A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}， 例 A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}， R)是一个偏序集 是一个偏序集。 R是整除关系。则(A, R)是一个偏序集。 是整除关系。 哈斯图为： 哈斯图为： ={2,4,6,12}， (1). B1={2,4,6,12}， 则12是B1最大元，也是极大元； 12是 最大元，也是极大元； 最小元，也是极小元。 2是B1最小元，也是极小元。 (2).B ={1,2,3,4,6,15}， (2).B2={1,2,3,4,6,15}， 最大元不存在，极大元是4 最大元不存在，极大元是4、6、15。 15。 最小元，也是极小元； 1是B2最小元，也是极小元；
2 3 1 4 2 1
有关说明: 有关说明: ①如果A的子集B存在最大元，则最大元是唯一的。 如果A的子集B存在最大元，则最大元是唯一的。 证明:如果b1，b2∈ 均是最大元， b1是最大元, 证明:如果b1，b2∈B均是最大元，由b1是最大元, b1 是最大元 则有b2 b1； b2也是 的最大元， 也是B 则有b2 b1；而b2也是B的最大元，则b1 b2 ∴b1＝b2，即最大元是唯一的。 b1＝b2，即最大元是唯一的。 ②最大元可能不存在。例:A＝{1,2,3,4,5,6}，D是整 最大元可能不存在。 :A＝{1,2,3,4,5,6}， 除关系，哈斯图为： 除关系，哈斯图为 则A上不存在最大元 。
18
二、等价关系 为非空集合A上的二元关系 1 定义 设R为非空集合 上的二元关系，如果 是 为非空集合 上的二元关系，如果R是 自反的、对称的和传递的，则称R为 上的等价关系。 上的等价关系 自反的、对称的和传递的，则称 为A上的等价关系。 对任何x,y∈ ，如果<x,y>∈R(R为等价关系 ，则 为等价关系)， 对任何 ∈A，如果 ∈ 为等价关系 等价， 说x与y等价，记作 与 等价 记作x~y。 。
15
A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}， 例 A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}， R)是一个偏序集 是一个偏序集。 R是整除关系。则(A, R)是一个偏序集。 是整除关系。 哈斯图为： 哈斯图为：
={2,4,6,12}， (1). B1={2,4,6,12}，
9
例:A＝{1,2,3,4,5,6}，D是整 :A＝{1,2,3,4,5,6}， 除关系，哈斯图为： 除关系，哈斯图为
4 5 2 1
6 3
6
则 若 B ＝{1,2,3, 6} 的最大元。 6为B的最大元。 的最小元。 1为B的最小元。 则 若 B ＝{1,2,4} 的最大元。 4为B的最大元。 的最小元。 1为B的最小元。
4 5 2 1
11
6 3
)是偏序集 是偏序集， 定义 设(A, )是偏序集，B⊆A (3)若存在元素b x， (3)若存在元素b∈B，∀x∈B，如b x，则x＝b，称b为B 若存在元素 极大元。 的极大元。 (4)若存在元素b b， (4)若存在元素b∈B，∀x∈B，如x b，则x＝b，称b为B 若存在元素 极小元。 的极小元。
4
对于有限的偏序集(A, )可以用哈斯图来描述 可以用哈斯图来描述。 对于有限的偏序集(A, )可以用哈斯图来描述。 哈斯图是关系图的简化，其简化规则为: 哈斯图是关系图的简化，其简化规则为: 是关系图的简化 (1). 所有结点的自回路均省略，只用一个结点 所有结点的自回路均省略， 表示A的元素。 表示A的元素。 (2). 省略所有弧上的箭头，适当排列A中元素的 省略所有弧上的箭头，适当排列A 位置， b， 画在b的下方。 位置，如a b，则a画在b的下方。 (3).如a b，b c，则必有a c。所以，如a (3). b， c，则必有a c。所以， 有边,b ,b到 有边, 的有向弧必须省略。 到b有边,b到c有边,则a到c的有向弧必须省略。
17
有关说明: 有关说明: ①上界和最大元的区别在于最大元属于B，而 上界和最大元的区别在于最大元属于B 上界不一定属于B 上界不一定属于B； ②如果B有最大元b，则b就是B的上界，且是最 如果B有最大元b 就是B的上界， 小上界，即上确界。 小上界，即上确界。 ③下界和最小元的区别在于最小元属于B，而 下界和最小元的区别在于最小元属于B 下界不一定属于B 下界不一定属于B； ④如果B有最小元b，则b就是B的下界，且是最 如果B有最小元b 就是B的下界， 大下界，即下确界。 大下界，即下确界。
4.4 关系的类型
一、偏序关系 二、等价关系 三、相容关系 四、次序关系
一、偏序关系 是非空集A上的二元关系，如果R 1 定义 设R是非空集A上的二元关系，如果R 具有自反性 反对称性和传递性，则称R 自反性、 具有自反性、反对称性和传递性，则称R是A 上的偏序关系 或称半序关系。 偏序关系， 上的偏序关系，或称半序关系。把偏序关系 记作“ 如果<a,b> <a,b>∈ 则记作a b， R记作“ ”，如果<a,b>∈ ，则记作a b， 读作“ 小于或等于b 读作“a小于或等于b”。 注意：定义中的“ 注意：定义中的“ ”不是指普通实数中的 大小关系的≤ 而是指的偏序关系 偏序关系。 大小关系的≤，而是指的偏序关系。
19
例
设A={1,2,3,4,5,6,7,8}， A={1,2,3,4,5,6,7,8}，
S={<x,y>|x,y∈ y(mod3)}，其中x y(mod3)的含义 S={<x,y>|x,y∈A∧x ≡y(mod3)}，其中x ≡y(mod3)的含义 x,y>|x,y 即x-y可以被3整除。 可以被3整除。 它的关系图如下图所示 它的关系图如下图所示 下图
百度文库21
是非空集合A上的等价关系 定义 设R是非空集合 上的等价关系，对任意的 ∈A， 是非空集合 上的等价关系，对任意的a∈ ， 令 [a]R={x|x∈A∧xRa}， ∈ ∧ ， 则称集合[a] 关于R的等价类 的等价类， 则称集合 R为a关于 的等价类，简称为 的等价类， 关于 的等价类，简称为a的等价类 简记为[a]。其中a为 代表元； 简记为 。其中 为[a]R的代表元； 由此，前例可表示为： 由此，前例可表示为：[1]S＝{1，4，7} ＝[4]S＝[7]S ， ， [2]S＝[5]S＝ [8]S＝ {2，5，8} ， ， [3]S＝[6]S＝ {3，6} ， 若等价类个数有限，则称R的不同等价类的个数为R 定义 若等价类个数有限，则称R的不同等价类的个数为R 否则称R的秩是无限的。 的秩，否则称R的秩是无限的。 由此， 的秩为3 由此，前例中 S的秩为3
3
2 偏序关系的哈斯图 集合A 的偏序关系R一起称为偏序集 偏序集， 定义 集合A和A的偏序关系R一起称为偏序集， 记作(A, )或者 或者(A,R) 记作(A, )或者(A,R) 。
例如 自然数集N 自然数集N和N上的≤关系组成偏序集，记 上的≤关系组成偏序集， (N,≤) 非零自然数集N和整除关系D 组成偏序集， 非零自然数集N和整除关系DN，组成偏序集， 记(N,DN) 。
13
有关说明: 有关说明: ①b是B的极大元，即B中不存在比b大的元素了； 的极大元， 中不存在比b大的元素了； ②b是极大元，b未必是最大元。即B中没有比b大的元 是极大元， 未必是最大元。 中没有比b 未必均比b 前例中3,4,5均是极大元， 3,4,5均是极大元 素，未必均比b小。前例中3,4,5均是极大元，但都不是 最大元。 最大元。 ③极大元未必是唯一的。 极大元未必是唯一的。 必存在极大元。 ④如果B是有限集，则 B必存在极大元。 如果B是有限集， ⑤如果B存在最大元x，则x就是B的极大元，此时极大 如果B存在最大元x 就是B的极大元， 元也只有这一个x 元也只有这一个x了。 ⑥孤立点则又是极大元，也是极小元。 孤立点则又是极大元，也是极小元。
14
4、上界、下界、上确界、下确界 上界、下界、上确界、 )是偏序集，集合B 定义 设(A, )是偏序集，集合B⊆A 是偏序集 如存在元素b 使得∀ 均有x b， (1). 如存在元素b∈A，使得∀x∈B，均有x b，则 上界。 称b为B的上界。 (2). 如存在元素b∈A，使得∀x∈B，均有b x，则 如存在元素b 使得∀ 均有b x， 下界。 称b为B的下界。 (3).集合C={b|b为 的上界} (3).集合C={b|b为B的上界}，则C的最小元称为B 集合C={b|b 的最小元称为B 的最小上界，也称上确界 上确界。 的最小上界，也称上确界。 (4).集合D={b|b为 的下界} (4).集合D={b|b为B的下界}，则C的最大元称为B 集合D={b|b 的最大元称为B 的最大下界，也称下确界 下确界。 的最大下界，也称下确界。
6
4
3
5
1
6
6
4
①将所有的自回路省略。 将所有的自回路省略。 ②箭头省略，靠位置和边决定序 箭头省略， 位置和边决定序 关系。 关系。 ③因1到2，2到4均有边，故1到 均有边， 的边省略。同样1 4的边省略。同样1到6的边也省 略。
4 5 3 5 1
3
6
1
7
已知偏序集(A, )的哈斯图如图 写出集合A 的哈斯图如图， 例2 已知偏序集(A, )的哈斯图如图，写出集合A和 偏序关系 。
则12,60,24,120都为B1上界， 12,60,24,120都为B 上界， 都为 12为上确界 为上确界。 12为上确界。 1是B1的下界，也是下确界。 的下界，也是下确界。
16
={12,30,60}， (2). B2={12,30,60}， 则60、120是上界, 60、120是上界, 是上界 60为上确界; 60为上确界; 为上确界 1、2、3、6是下界, 是下界, 6为下确界。 为下确界。
不难验证S为A上的等价关系 上的等价关系 根据定义，显然有： ～ ～ ， ～ ～ ， ～ 。 根据定义，显然有：1～4～7，2～5～8，3～6。
20
2、等价类 、 是非空集合A上的等价关系 设R是非空集合 上的等价关系，则A上互相等价 是非空集合 上的等价关系， 上 的元素构成了 的若干个子集，叫做等价类 构成了A的若干个子集 等价类。 的元素构成了 的若干个子集，叫做等价类。 由前例， ～ ～ ， ～ ～ ， ～ ， 由前例，1～4～7，2～5～8，3～6， {1，4，7} {2，5，8} {3，6}各为一个等价类 ， ， ， ， ， 各为一个等价类
5
画出下列偏序集的哈斯图。 例1 画出下列偏序集的哈斯图。 ({1,2,3,4,5,6})， 其中D 为整除关系。 (1). ({1,2,3,4,5,6})，DA)， 其中DA为整除关系。 (1)：显然： 解 (1)：显然： DA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>, <1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>} 先画出D 的关系图，然后按规则简化： 先画出DA 的关系图，然后按规则简化：