空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版

题型一 平面的基本性质

【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）

A ．充分不必要条件．

B ．必要不充分条件．

C ．充要条件．

D ．既不充分也不必要条件．

【例2】 判断下面说法是否正确：

①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．

④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段．

⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．

【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．无数个

D ．1个或无数个

【例4】 下列推理错误的是（ ）

A ．,,,A l A

B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂

B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=

C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线⇒,αβ重合

D ．,l A l A αα⊄∈⇒∉

【例5】 已知点A ，直线l ，平面α，

①,A l l A αα∈⊄⇒∉ ②,A l l A αα∈∈⇒∈ ③,A l l A αα∉⊂⇒∉ ④,A l A l αα∈∉⇒⊄ 以上命题表达正确，且是真命题的有________．

共线问题

【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1

O 典例分析

板块一.对平面的进一步认识

三点（ ）

A ．不共面共线

B ．共线

C ．共面不共线

D ．不共面

【例7】 如图，已知在空间四边形ABCD 中（即这四点不共面），,,,E F G H 分别是AB 、BC 、CD 、AD

上的点，且EH 交FG 于P ．求证：P 在直线BD 上．

G F

E

D

C

B

A

P H

【例8】 在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是 ,'AB CC 的中点，过点,,'E F D 的截面

与正方体的下底面相交于直线l ， ①请画出直线l 的位置；

②设l BC G =，求BG 的长．

【例9】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，

,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．

K

R

Q

P N

M

D

B

C A

【例10】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．

【例11】 在正方体 1111ABCD A B C D -中（如图）， 1A C 与截面 1DBC 交于O 点，,AC BD 交于M ，求证：

1,,C O M 三点共线．

M

O

D

D 1

A 1

A

B

B 1

C

C 1

【例12】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为上底面1111A B C D 的中心，M 是正方体对角线1A C 和截

面11AB D 的交点．求证：O 、M 、A 三点共线．

O

M A

B

C

D

B 1

C 1

D 1

A 1

共面问题 【例13】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．

【例14】 如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，

A B C D E '''''，，，，

分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点，

求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．

E'D'C'B'A'

F

E

D C

B

A

a

b

【例15】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、 的中点，求

证：这六点共面．

L

G F E D C

B

A

K H A 1

D 1B 1C 1

【例16】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．

⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；

⑵求证：A ，Q ，1C 三点共线．

【例17】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，AC

BD P =，11

AC EF Q =．

⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；

⑵若1A C 交平面BDEF 于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．

【例18】 已知空间四边形ABCD 的对角线是,AC BD ，点,,,,,E F G H M N 分别是,,AB BC ,CD ,,DA AC BD

的中点，

求证：三线段EG ，FH ，MN 交于一点且被该点平分．

题型二 平面分空间问题

【例19】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？

【例20】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）

A ．5部分

B ．6部分

C ．7部分

D ．8部分

【例21】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）

A ．13部分

B ．19部分

C ．21部分

D ．27部分

【例22】 把正四面体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）

A ．11部分

B ．13部分

C ．15部分

D ．17部分

【例23】 右图是一个长方体，问此长方体过点A 的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面ABB A ''，

BCC B ''和对角面ACC A ''所在的三个平面将空间分成几个部分？