初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 含答案 共30讲 改好278页

初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）

第一讲走进追问求根公式

第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理

第四讲明快简捷—构造方程的妙用

第五讲一元二次方程的整数整数解

第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想

第八讲由常量数学到变量数学

第九讲坐标平面上的直线

第十讲抛物线

第十一讲双曲线

第十二讲方程与函数

第十三讲怎样求最值

第十四讲图表信息问题

第十五讲统计的思想方法

第十六讲锐角三角函数

第十七讲解直角三角形

第十八讲圆的基本性质

第十九讲转化灵活的圆中角

第二十讲直线与圆

第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理

第二十三讲圆与圆

第二十四讲几何的定值与最值

第二十五讲辅助圆

第二十六讲开放性问题评说

第二十七讲动态几何问题透视

第二十八讲避免漏解的奥秘

第二十九讲由正难则反切入

第三十讲从创新构造入手

第一讲 走进追问求根公式

形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】

【例1】满足的整数n 有 个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）

A 、一4

B 、8

C 、6

D 、0

思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多

项式降次，如，。

【例3】 解关于的方程。

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。

【例4】 设方程，求满足该方程的所有根之和。

思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。

【例5】 已知实数、、、互不相等，且， 试求的值。 思路点拨：运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值。 注：一元二次方程常见的变形形式有：

(1)把方程（）直接作零值多项式代换；

(2)把方程（）变形为，代换后降次；

(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去。

02=++c bx ax 0≠a a

ac b b x 2422,1-±-=1)1(22=--+n n n 1x 2x 032=-+x x 1942231+-x x 1x 2x 1213x x -=2223x x -=x 02)1(2=+--a ax x a 01=-a 01≠-a 04122=---x x a b c d x a

d d c c b b a =+=+=+=+1111

x b c d a x 02=++c bx ax 0≠a 02=++c bx ax 0≠a c bx ax --=202=++c bx ax 0≠a c bx ax -=+2bx c ax -=+2x

解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如。 02=++c bx ax 0=a 0≠a 222

x x x ==

走进追问求根公式学历训练

1、已知、是实数，且，那么关于的方程的根为 。

2、已知，那么代数式的值是 。

3、若，，则的值为 。

4、若两个方程和只有一个公共根，则( )

A 、

B 、

C 、

D 、

5、当分式有意义时，的取值范围是( )

A 、

B 、

C 、

D 、且

6、方程的实根的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

7、解下列关于的方程：

(1)； (2)； (3)。

8、已知，求代数式的值。

9、是否存在某个实数m ，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。

a b 0262=-++b a x 1)2(22-=++a x b x a 0232

=--x x 11)1(23-+--x x x 142=++y xy x 282=++x xy y y x +02=++b ax x 02=++a bx x b a =0=+b a 1=+b a 1-=+b a 431

2++-x x x 1-x 41<<-x 1-≠x 4≠x 011)1(=+-++x x x x x 03)12()1(2=-+-+-m x m x m 012=--x x x x x 26542-=-+0222=--x x )1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 022=++mx x 022=++m x x