2016-2017上海金融学院概率D答案版

上海立信会计金融学院

《概率论与数理统计》 期中测验D 卷

专业班级 姓名 学号

一．填空题（每题2分，共30分）

1. 某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会

活动，则4人中恰好2男2女的概率为 3/7 2. 设事件A 与B 相互独立，且P (A +B )=0.6, P (A )=0.2, 则P (B )= 0.5 . 3. 设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则(32)P X -<≤= 0.4 .

4. 已知随机变量X 的分布律，

X 的分布函数 ()F x

10.1110.41212x x x x <-⎧⎪-≤<⎪

=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则{ 2.5}P X >= 0 。

5. 随机变量X 的概率分布律为

则方差DX = 1.69

6. 设随机变量X ~N (2，4)，Y =2X -1，则Y ~ N (3, 16)

7. 某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.2的中奖率.现某人购买了20件该商

品，用随机变量X 表示中奖的件数，则{5}P X ==5

51520(0.2)(0.8)C

8. 阐述事件X 与Y 独立与不相关的关系 独立一定是不相关的，但不相关不能推出独立

9. 已知1

[1,5],(5),()3

X U

Y P Z E - ,又已知,,X Y Z 相互独立，则

(21)E X YZ --= -12 ,(21)D X Y Z -++= 32 .

10. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为1

,02,01

(,)20,x y f x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其它，则

1

{}2P X ≤=14

.

二．（10分）已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求： (1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；

(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.

解：（可画树形图）设A “产品是合格品”，B “经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P (A )=0.95

()10.950.05,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==. 则

(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：

()()(|)

()(|)

P B P A P B A P A P B A =+ 0.950.980.050.03=⨯+⨯=；

(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为：

()0.950.98

(|)

0.9984()0.9325

P A B P A B P B ⨯==≈.. 三.（15分） 设测量距离时产生的随机误差X ~N (0，102)（单位：米），现作三次独立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知(1.96)0.975.Φ= (1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ；(2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律；(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率. 解：（二项分布）(1) p =(||19.6)1(||19.6)P X P X >=-≤

019.60

1(|

|)1[2(1.96)1]1010

X P --=-≤=-Φ-=0.05. (2)由题意知，Y ~B (3, 0.05)，Y 的分布律为：

33()0.050.95,0,1,2,3.k

k k P X k C k -===

(3)三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率为：

3(1)1(0)10.95P Y P Y ≥=-==-=0.142625. 四．(15分)

求：（1）{}P X Y = （2）{1}P X Y -= (3)(,)Cov X Y 解：（1）

{}{1,1}{2,2}

0.050.10.15

P X Y P X Y P X Y ====+===+=

（2）{1}{1,0}{2,1}0.10.10.2P X Y P X Y P X Y -====+===+= (3)

()0.050.70.20.4

1.35

E XY =+++=

X 及Y

0.520.5 1.5

110.1520.45 1.05

EY EX ⨯+⨯==+⨯==⨯

(,)()1.35 1.050.2

1.255Cov X Y E XY EXEY

=-=-⨯=-

五(15分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为 2

32,1,2,(,)0,,y e x y p x y x

其他-+⎧>>⎪=⎨⎪⎩

计算:（1）关于X 与Y 的边缘概率密度函数，并且讨论 X 与Y 是否独立?

（2）2,{3}P X Y ≤≤； （3） )(XY E .

解： (1)当1x >时，233

2

22

y e x x dy -++∞=⎰

， 因此，32

1;

()0X x x x p ⎧>⎪=⎨⎪⎩，，

其它

当2y >时，22

1

32y y e e x dx -++∞-+=⎰

，因此，2

2;()0y Y e y y p -+⎧>=⎨

⎩

，，其它 因为((,))(),X Y p x p x p y y =所以X Y 与相互独立。 （5分）

(2) 2

2

3

312122,3}4

(3

{1)y e P X dy x Y e dx -+-=≤=-≤⎰⎰ (10分) (3) ()X Y E XY EXEY =因为与相互独立，所以，，

23122

·(2·)36

y dx e E XY EXEY x y x

dy

+∞∞-+===⨯=⎰⎰ (15分)

六．（15分）5家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量（以kg 计）分别为X 1，X 2，X 3，X 4，X 5，已知X 1～N （200，225），X 2～N （240，240），X 3～N （180，225），X 4～N （260，265），X 5～N （320，270），X 1，X 2，X 3，X 4，X 5相互独立。

（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差；

（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？

解：（1）令∑==

5

1

i i

X

Y 为总销售量。

已知E X 1=200，E X 2=240，E X 3=180，E X 4=260，E X 5=320， D (X 1)=225，D (X 2)=240，D (X 3)=225，D (X 4)=265，D (X 5)=270， 利用数学期望的性质3°有

∑===

5

1

1200)()(i i

X E Y E

利用方差的性质3°有