高中数学竞赛_集合 函数 不等式 导数

专题二 集合 函数 不等式 导数

一 能力培养

1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想; 4,运算能力; 5,转化能力. 二 问题探讨

[问题1] 已知{3}A x x a =-≤,2

{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的

取值范围:

(I)A B =∅;(II)A B B =.

[问题2]求函数()a

f x x x

=+的单调区间,并给予证明.

[问题3]已知()1x f x e ax =--.

(I)若()f x 在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围;

(II)若()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,求a 的值;

(III)设2

()22g x x x =-++在(II)的条件下,求证()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.

[问题4]设11()lg 21x f x x x

-=

+++. (I)试判断()f x 的单调性;

(II)若()f x 的反函数为1()f x -,证明1

()0f x -=只有一个解;

(III)解关于x 的不等式11[()]22

f x x -<

.

三 习题探讨 选择题

1已知函数()2x f x =,则12(4)f x --的单调减区间是 A,[0,)+∞ B,(,0]-∞ C,[0,2) D,(2,0]-

2已知集合M={01}x x ≤≤,N={01}x x ≤≤,下列法则不能构成M 到N 的映射的是 A,2y x = B,sin y x = C,tan y x =

D,y

3已知函数(1)

()(1)x x f x x x ≥⎧=⎨

-<⎩

，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时,

()(1)g x x x =+，则方程()()()f x g x f x +=·()g x 的解的个数有

A,4个 B,2个 C,1个 D,0个 4如果偶函数()y f x =在[0,)+∞上的图象如右图,则在

(,0)-∞上,()f x =

A,1x + B,1x - C,1x -+ D,1x -

5设函数12

1()1(0)

2()(0)

x

x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,已知()1f a >,则a 的取值范围为

A,(1,1)- B,(,1)

(1,)-∞-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(1,)+∞

6对于函数32

()3f x x x =-,有下列命题:①()f x 是增函数,无极值;②()f x 是减函数,

无极值;③()f x 的增区间是(,0)-∞,(2,)+∞,()f x 的减区间是(0,2);④(0)0f =是极 大值,(2)4f =-是极小值.其中正确的命题有

A,一个 B,二个 C,三个 D,四个 填空题

7函数2(2)log x

f x =的定义域是 .

8已知2

(1cos )sin f x x -=,则()f x = .

9函数2log (252)x y x x =-+-单调递增区间是 .

10若不等式2

log 0(0,1)a x x a a -<>≠对满足1

02

x <<

的x 恒成立,则实数

a 的取值范围是 .

112

ln y x x =-在点M(1,0)处的切线方程是 . 解答题

12

函数y A,函数2lg(43)y kx x k =+++的定义域 集合B,当A B ⊃时,求实数k 的取值范围.

13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线22()y x ax a R =++∈与线段AB 有两个不同的 交点,求a 的取值范围.

14已知定义在R 上的函数()f x ,满足:()()()f a b f a f b +=+,且0x >时,()0f x <, (1)2f =-.

(I)求证:()f x 是奇函数; (II)求()f x 在[3,3]-上的最大值和最小值.

15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和 描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的 兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用()f x 表 示学生掌握和接受概念的能力(()f x 值越大,表示接受的能力越强),x 表示提出和讲授 概念的时间(单位:分),可有以下公式:

20.1 2.643(010)()59(1016)3107(1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪

=<≤⎨⎪-+<≤⎩

(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?

(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?

(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

16已知函数2()ax f x x e =,其中0a ≤,e 为自然对数的底数.

(I)讨论函数()f x 的单调性;(II)求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值.

四 参考答案:

问题1:(I):(1)a<0,A=,∅∅解当时有A

B=,

{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}.

由∅A

B=,有

3813a a -+≥-⎧⎨≥+⎩ 得11

2a a ≤⎧⎨

≤-⎩

与≥a 0,矛盾! 故当∅A

B=时,a 的取值范围是(,0)-∞;

(II)解:(1)a<0,A=,∅当时有A B=B ,

{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}

由A

B=B,必有A B ⊆,得 38a +<-或31a -+> 得11a <- (舍去)或2a < 得02a ≤<

故当A

B=B 时, a 的取值范围是(,2)-∞.

温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 空集.

问题2:解:(1)当0a =时,0()f x x x

=+

, 令'

()0f x <,得x <<

它的定义域是0x ≠, 得()f x 的单调增区间是(,-∞,)+∞