高中数学竞赛_集合函数不等式导数

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全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。

三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

4、几何不等式。

5、简单的等周问题。

了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

6、几何中的运动：反射、平移、旋转。

7、复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

2、第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。

3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

三、立体几何1、多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

2、正多面体，欧拉定理。

3、体积证法。

4、截面，会作截面、表面展开图。

四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

2、二元一次不等式表示的区域。

3、三角形的面积公式。

4、圆锥曲线的切线和法线。

5、圆的幂和根轴。

五、其它抽屉原理。

容斤原理。

极端原理。

集合的划分。

2023年新教材高考数学全程考评特训卷滚动过关检测八集合常用逻辑用语不等式函数与导数三角函数与解三角

滚动过关检测八集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何、平面解析几何、概率与统计一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·辽宁沈阳模拟]设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤2x≤8，B ＝{x |y ＝ln(2－x )}，则A ∩B ＝( )A ．[－3,2)B ．(2,3]C ．[－1,2)D ．(－1,2)2．复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i ，(a ∈R )为纯虚数，则a 的取值是( ) A ．3B ．－2 C ．－1D ．13．[2022·河北唐山模拟]已知多项选择题的四个选项A 、B 、C 、D 中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC ，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为( )A.12B.310 C.16D.3114．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－3，则sin2α＝( ) A.45B.25C ．－45D ．－4555．已知a ＝33，b ＝(3)3，c ＝log √393，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞b ＞a6．[2022·湖北武汉模拟]已知正整数n ≥7，若⎝⎛⎭⎪⎫x －1x (1－x )n 的展开式中不含x 4的项，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．107．圆O ：x 2＋y 2＝9与圆O 1：(x －2)2＋(y －3)2＝16交于A 、B 两点，则|AB |＝( ) A ．6B ．5 C.67813 D.1239138．[2022·湖南衡阳模拟]如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，AB ＝2，∠AFC ＝60°，则多面体ABCDEF 的体积为( )A.43B.423C.823 D.163二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法不正确．．．的是( ) A ．等比数列{a n }，a 2＝4，a 10＝8，则a 6＝±4 2 B ．抛物线y ＝－4x 2的焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－116C ．命题“∀x >0,2x >x 2”的否定是：“∃x ≤0,2x ≤x 2”D ．两个事件A 、B ，“A 与B 互斥”是“A 与B 相互对立”的充分不必要条件 10．[2022·江苏南京模拟]2020年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产．学校开始以网课的方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试．高三有1000名学生，期末某学科的考试成绩(卷面成绩均为整数)Z 服从正态分布N (82.5,5.42)，则(人数保留整数)( )参考数据：若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.9545，P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.9973.A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上(含95)人数和70分以下(含70分)人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150人D ．超过98分的人数为1人11．[2022·广东中山模拟]已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈(0,2π))的图象如图，则( )A ．ω＝2B ．φ＝π3C ．A ＝2D ．x ＝5π6时，f (x )取最小值12．[2022·福建福州模拟]矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，将△ABD 沿BD 折起，使A 到A ′的位置，A ′在平面BCD 的射影F 恰落在CD 上，则( )A ．平面A ′BD ⊥平面A ′CDB ．平面A ′BD ⊥平面A ′BC C ．A ′D 与BC 所成角为60° D ．三棱锥A ′BCD 的外接球直径为5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M ，|F 1F 2|＝10，|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线的标准方程为________________．14．[2022·山东肥城市模拟]某新闻采访组由5名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长．甲、乙、丙、丁分别来自A 、B 、C 、D 四个地区．现在该新闻采访组要到A 、B 、C 、D 四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同．则所有采访的不同安排方法有________种．15．[2022·湖北荆门模拟]在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，A ＝π3，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝λAB →＋μAC →，λ、μ∈R ，则λ＝________.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x －1|，x >1x ＋12，x ≤1，f (x )＝m (m ∈R )恰有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则1x 3＋1x 4＝________；x 1＋x 2＋2x 3＋x 4的最小值为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝2，________，其中n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1a 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 从①前n 项和S n ＝n 2＋n ；②a n ＋1－2＝a n ；③a 4＝8且2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．18.(12分)[2022·山东德州模拟]已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin B －sin C ＝sin C －3cos B ，且b >c .(1)求A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长．19．(12分)四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，∠PDA ＝∠BAD ＝90°，PD ＝DA ＝AB ＝12CD ，S为PC 中点，BS ⊥CD .(1)证明：PD ⊥平面ABCD ；(2)平面SAD 交PB 于Q ，求CQ 与平面PCD 所成角的正弦值．20．(12分)[2022·河北邯郸模拟]暑假期间，学生居家生活和学习，教育部门特别强调，身体健康与学习成绩同样重要．某校对300名学生的锻炼时间进行调查，数据如表：(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关．男 60 160 女合计(2)从上述体育合格的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间较多的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 x α2.7063.8416.6357.87910.82821.(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)(2e x－1)． (1)求曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)证明f (x )有唯一的极值点x 0，且－16<f (x 0)<1e －12.22．(12分)[2022·辽宁沈阳模拟]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，若平面上一点A (2,3)到焦点F 与到准线l ：x ＝－p2的距离之和等于7. (1)求抛物线C 的方程；(2)又已知点P 为抛物线C 上任一点，直线PA 交抛物线C 于另一点M ，过M 作斜率为k ＝43的直线MN 交抛物线C 于另一点N ，连接PN .问直线PN 是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由．滚动过关检测八集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何、平面解析几何、概率与统计1.答案：C解析：∵A＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤8，∴2－1≤2x ≤23，∴A＝{x|－1≤x≤3}， ∵B＝{x|y ＝ln (2－x)}，∴2－x>0，∴B＝{x|x<2}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤3}∩{x|x<2}＝[－1,2)．2．答案：D解析：依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0a ＋1≠0，解得a ＝1.3．答案：A解析：由题得从4个选项里选两个选项，共有C 24＝6种方法，从3个正确选项里选择两个选项，共有C 23＝3种方法．由古典概型的概率公式得所求的概率为P ＝36＝12.4．答案：A解析：由题意，根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式及二倍角公式，可得：sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝－32－1－32＋1＝45. 5．答案：B解析：∵a＝33＞b ＝(3)3＝332＝33＞5，c ＝log 393＝log 3(3)5＝5，∴a＞b＞c.6．答案：B解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (1－x)n ＝x(1－x)n －1x (1－x)n，(1－x)n的展开式的通项为C kn (－1)k x k， x(1－x)n中x 4的系数为C 3n (－1)3， 1x(1－x)n 中x 4的系数为C 5n (－1)5，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (1－x)n 的展开式中x 4的项系数为C 3n (－1)3－C 5n (－1)5＝0，故C 3n ＝C 5n ，故n ＝8. 7．答案：D解析：根据题意，圆O ：x 2＋y 2＝9与圆O 1：(x －2)2＋(y －3)2＝16，即x 2＋y 2－4x －6y －3＝0，联立可得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9x 2＋y 2－4x －6y －3＝0，可得：2x ＋3y －3＝0，即AB 所在直线的方程为2x ＋3y －3＝0，圆O ：x 2＋y 2＝9，圆心为(0,0)，半径r ＝3，圆心O 到直线AB 的距离d ＝|3|4＋9＝31313，则|AB|＝2×r 2－d 2＝123913. 8．答案：D解析：∵平面BDEF⊥平面ABCD ，且平面BDEF∩平面ABCD ＝BD ，BF⊥BD， ∴BF⊥平面ABCD ，可得BF⊥AB，BF⊥BC， ∴AF＝AB 2＋BF 2，CF ＝BC 2＋BF 2，又AB ＝BC ，∴AF＝CF ，在正方形ABCD 中，AC ＝22，BD ＝22，在△AFC 中，由AF ＝CF ，∠AFC＝60°，知△AFC 为正三角形， ∴AF＝AC ＝22，则BF ＝AF 2－AB 2＝222－22＝2.S 矩形BDEF ＝BD×BF＝42，∴V ABCDEF ＝V ABDEF ＋V CBDEF ＝13×42×22＝163.9．答案：ACD解析：A .等比数列{a n }，a 2＝4，a 10＝8，所以a 26＝a 2a 10＝32，则a 6＝±42，又a 6＝a 2q 4>0，所以a 6＝42，故A 错误；B ．抛物线y ＝－4x 2化成标准式得：x 2＝－14y ，所以其焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－116，故B 正确；C ．命题“∀x>0,2x >x 2”的否定是：“∃x>0,2x ≤x 2”，故C 错误；D ．两个事件A ，B ，若A 与B 互斥，则A 与B 不一定相互对立，但若A 与B 相互对立，则A 与B 一定互斥，故“A 与B 互斥”是“A 与B 相互对立”的必要不充分条件，故D 错误．10．答案：ABD解析：因为Z ～N(82.5,5.42)，所以μ＝82.5，σ＝5.4，由正态分布概念可知：年级平均成绩μ＝82.5，故A 正确；因为95＋702＝82.5＝μ，所以成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等，故B 正确；因为77≈82.5－5.4＝μ－σ，所以P(Z ＜77)≈P(Z＜μ－σ)＝1－0.68272＝0.15865，因为1000×0.15865≈159＞150，所以成绩不超过77分的人数多于150人，故C 错误；因为82.5＋5.4×3＝98.7≈99，所以P(Z≥99)≈P(Z≥μ＋3σ)＝1－0.99732＝0.00135，因为1000×0.00135≈1，所以超过98分的人数为1人，故D 正确．11．答案：AB解析：由题意知：T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，故ω＝2πT ＝2，故A 正确；函数图象由y ＝A sin ωx 的图象向左平移π6而得，故f(x)＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故φ＝π3，故B 正确；f(0)＝A sin π3＝1，解得：A ＝233，故C 错误；x ＝5π6时，2x ＋π3＝2π，f(x)不取最小值，故D 错误．12．答案：BD解析：对于A ，BC⊥A′C，∴A′B 与A′C 不垂直，∴平面A′BD 与平面A′CD 不垂直，故A 错误；对于B ，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD ，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD＝F ，A′F、CD ⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D ⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC∩BA′＝B ，∴DA′⊥平面A′BC，∵DA′⊂平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B 正确；对于C ，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D 与BC 所成角(或所成角的补角)， ∵A′C＝16－9＝7，∴A′F＝374，DF ＝9－⎝⎛⎭⎪⎫3742＝94， AF ＝9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝154，AA′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3742＝32， ∴cos ∠ADA′＝9＋9－182×3×3＝0，∴∠ADA′＝90°，∴A′D 与BC 所成角为90°，故C错误；对于D ，取BD 中点E ，连接A′E，CE ，则A′E＝BE ＝DE ＝CE ＝42＋322＝52.∴三棱锥A′BCD 的外接球直径为5，故D 正确． 13．答案：x 25－y220＝1解析：由双曲线的定义知，|MF 1|－|MF 2|＝2a ， ∵|MF 1|＝2|MF 2|，∴|MF 1|＝4a ，|MF 2|＝2a ，又M 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2，即16a 2＋4a 2＝100，∴a 2＝5， ∵|F 1F 2|＝10＝2c ，∴c＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－5＝20，∴双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.14．答案：44解析：分两类：①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有(3×3×1×1)×4＝36；②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有(2×1×1)×4＝8.所以总数36＋8＝44.15．答案：512解析：如图，令边AB ，AC 中点分别为D ，E ，连接DO ，EO ，因点O 为△ABC 的外心，于是得DO⊥AB，EO⊥AC，AC →·AB →＝|AC →|·|AB →|cos A ＝6，AO →＝AD →＋DO →＝12AB →＋DO →，AO →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋DO →·AB →＝12AB →2＝8，AO →＝AE →＋EO →＝12AC →＋EO →，AO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →＋EO →·AC →＝12AC →2＝92，依题意，AO →·AB →＝(λAB →＋μAC →)·AB →＝λAB →2＋μAC →·AB →＝16λ＋6μ＝8， AO →·AC →＝(λAB →＋μAC →)·AC →＝λAB →·AC →＋μAC →2＝6λ＋9μ＝92，解得λ＝512，μ＝29，所以λ＝512.16．答案：1 22＋1 解析：∵函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x －1|，x>1x ＋12，x≤1，画出函数f(x)的图象和直线y ＝m ，f(x)＝m(m∈R )恰有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，故0＜m ≤4，∴x 1，x 2满足：(x ＋1)2＝m ⇒x 1＋x 2＝－2，x 3，x 4满足|log 2(x －1)|＝m ⇒x 3＝1＋2－m ，x 4＝1＋2m ，∴1x 3＋1x 4＝11＋2－m ＋11＋2m ＝2m1＋2m ＋11＋2m ＝1，x1＋x2＋2x3＋x4＝－2＋2(1＋2－m)＋1＋2m＝22m ＋2m＋1≥222m·2m＋1＝22＋1，当且仅当22m＝2m即m＝12时，等号成立．17．解析：(1)选①：因为a1＝2，S n＝n2＋n，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，等式也成立所以a n＝2n，n∈N*；选②：由a1＝2，a n＋1－2＝a n，所以数列{a n}是以2为首项2为公差的等差数列，所以a n＝2n，n∈N*；选③：由a1＝2，a4＝8且2a n＋1＝a n＋a n＋2，可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，则d＝a4－a14－1＝2，所以a n＝2n，n∈N*；(2)b n＝1a2n－1＝14n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，T n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＝n2n＋1.18．解析：(1)因为sin B－sin C＝sin C－3cos B，所以sin B＋3cos B＝2sin C，即sin⎝⎛⎭⎪⎫B＋π3＝sin C，因为b>c，所以B>C，所以B＋π3＋C＝π，B＋C＝2π3，即A＝π3.(2)因为△ABC的面积为32，所以12bc sin A＝32，又因为A＝π3，所以sin A＝32，bc＝2，又由余弦定理可得，cos A＝b2＋c2－a22bc＝b＋c2－2bc－32bc＝12，所以12＝b＋c2－4－34，可得b＋c＝3，所以三角形ABC周长为3＋ 3.19．解析：(1)证明：取CD 的中点M ，则DM ＝AB 且DM ∥AB ，所以四边形ABMD 为平行四边形，故BM ∥AD ，所以BM ⊥CD ，又BS ⊥CD ，BM ∩BS ＝B ，BM ，BS ⊂平面BSM ，所以CD ⊥平面BSM ，又SM ⊂平面BSM ，所以CD ⊥SM ，因为SM ∥PD ，所以CD ⊥PD ，又AD ⊥PD ，CD ∩AD ＝D ，CD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ；(2)延长CB ，DA 交于点N ，连结SN 与PB 交于点Q ，因为B 为CN 的中点，S 为PC 的中点，所以Q 为△PNC 的重心，所以PQ →＝2QB →，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设AB ＝1，则B (1,1,0)，P (0,0,1)，设Q (x ，y ，z )，且PQ →＝2QB →，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21－x y ＝21－yz －1＝2－z，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝23z ＝13，所以CQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43，13，因为AD ⊥PD ，AD ⊥CD ，且PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ，则平面PCD 的一个法向量为DA →＝(1,0,0)，所以|cos 〈CQ →，DA →〉|＝|CD →·DA →||CQ →||DA →|＝231× 219＝22121，故CQ 与平面PCD 所成角的正弦值为22121.20．解析：(1)列联表如下：体育不合格体育合格合计男 100 60 160 女11030140合计21090 300χ2＝300×100×30－110×602210×90×140×160≈9.184<10.828，所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关； (2)易知，所抽取的9名学生中，男生为9×6090＝6名，女生为3名．X 可取0,1,2,3，且P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (X ＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (X ＝3)＝C 36C 39＝521.所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 P1843141528521所以E (X )＝0×84＋1×14＋2×28＋3×21＝2.21．解析：(1)∵f (x )＝(x ＋1)(2e x－1)，f (－1)＝0，∴f ′(x )＝(x ＋2)·2e x－1，f ′(－1)＝2e－1，∴切线方程是：y －0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －1(x ＋1)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －1x ＋2e－1；(2)证明：由(1)记g (x )＝f ′(x )＝(x ＋2)·2e x－1，g ′(x )＝(x ＋3)·2e x，令g ′(x )>0，解得：x >－3，令g ′(x )<0，解得：x <－3，故f ′(x )在(－∞，－3)递减，在(－3，＋∞)递增，故f ′(x )min ＝f ′(－3)＝－2e －1<0，当x <－3时，f ′(x )＝(x ＋2)·2e x－1<0，当x >－3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3e －1>0，f ′(－1)＝2e －1<0，∴f ′(x )存在唯一零点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故f ′(x 0)＝0即(x 0＋2)·2e x 0＝1，故f (x )在(－∞，x 0)递减，在(x 0，＋∞)递增，∴f (x )极小值＝f (x 0)，f (x )有唯一的极值点x 0，f (x 0)<f (－1)＝0<1e －12， f (x 0)＝(x 0＋1)(2e x 0－1)＝(x 0＋2)·2e x 0－(x 0＋1)－2e x 0＝－x 0－2e x 0，显然h (x )＝－x －2e x在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12单调递减，x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，h (x 0)>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12h (x 0)>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12－2e >12－23＝－16，所以f (x 0)＝－x 0－2e x 0>－16.∴f (x )有唯一的极值点x 0，且－16<f (x 0)<1e －12.22．解析：(1)由已知，定点A (2,3)到焦点F 与到准线l ：x ＝－p2的距离之和等于7.有⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2＝7，则p ＝4，即抛物线的方程y 2＝8x . (2)当直线PM 的斜率存在时，设P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，N (x 3，y 3)，则k PM ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2，同理：k MN ＝8y 2＋y 3，k PN ＝8y 1＋y 3，由k MN ＝8y 2＋y 3＝43知：y 2＋y 3＝6，即y 2＝6－y 3，① 直线PM ：y －y 1＝8y 1＋y 2(x －x 1)，即(y 1＋y 2)y －y 1y 2＝8x 过A (2,3) 求得y 2＝16－3y 13－y 1，②同理求直线PN 方程(y 1＋y 3)y －y 1y 3＝8x ，③ 由①②得y 1y 3＝3(y 1＋y 3)－2，代入③得(y 1＋y 3)y －3(y 1＋y 3)＋2＝8x ，即(y 1＋y 3)(y －3)＋2－8x ＝0，故y ＝3且2－8x ＝0时，直线PN 恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，3. 当直线PM 的斜率不存在时，其方程为x ＝2，可得P (2,4)，M (2，－4)或P (2，－4)，M (2,4)．当P (2,4)，M (2，－4)时，直线MN 的方程为y ＋4＝43(x －2)与y 2＝8x 联立得y 2－6y －40＝0得y 1＝10，y 2＝－4，所以N (12.5,10)，则直线PN 的方程为y －4＝10－412.5－2(x －2)，可知过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，3. 当P (2，－4)，M (2,4)时，同理可得直线PN 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，3. 综上可知，直线PN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，3.。

精品高中数学专题：集合与常用逻辑用语、不等式、函数

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}．题型二命题的真假与否定问题例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词．答案 B解析对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词．变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题．题型三充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决．答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1，但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．答案 D得分技巧创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论．阅卷老师提醒在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析根据全称命题的否定是特称命题知．綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}．由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5．下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6．下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题答案 D解析对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7．已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数答案 D解析对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2，当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解．故所求a 的取值范围为(1,2]．。

高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数的图象与性质教案理-

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析：当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略常见类型解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减．应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称．又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2，那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何

滚动过关检测六集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·湖南师大附中月考]已知全集U ＝{x ∈N *|1≤x ≤6}，集合A ＝{1,2,3,5}，B ＝{3,4,5}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1,6}B ．{2,6}C ．{1,2}D ．{1,2,6}2．[2022·湖北武汉模拟]若复数z 满足i ＋z z＝i ＋2，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．[2022·山东济宁模拟]“直线m 垂直平面α内的无数条直线”是“m ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2022·广东中山模拟]数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 4＋a 6＝10，则S 9＝( )A ．40B ．42C ．43D ．455．[2022·河北石家庄模拟]函数f (x )＝cos (π·x )e x －e－x 的图象大致为( )6．[2022·福建福州模拟]将曲线C 1：y ＝2sin x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的曲线C 2，把C 2向左平移π6个单位长度，得到曲线C 3：y ＝f (x )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为4πB ．x ＝π12是f (x )的一条对称轴C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，π6上的最大值为3 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，π6上单调递增 7．[2022·山东师范大学附中月考]已知定义在R 上的函数f (x )＝3|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a8．[2022·辽宁抚顺二中月考]已知四棱锥P ABCD ，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC ＝23，CD ＝PC ＝PD ＝26，若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的是( )A ．BM ⊥平面PCDB ．P A ∥平面MBDC ．四棱锥P ABCD 外接球的表面积为44πD ．四棱锥M ABCD 的体积为6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2022·江苏如皋模拟]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)，下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )的初相位为π3B ．若函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2C ．若ω＝1，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则ω的最小值为1 10．[2022·广东蛇口育才中学月考]已知函数f (x )＝11＋2x，则( ) A ．f (log 23)＝14B ．f (x )是R 上的减函数C ．f (x )的值域为(－∞，1)D ．不等式f (1＋2x )＋f (x )>1的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13 11．[2022·重庆八中月考]等比数列{a n }的公比为q ，且满足a 1>1，a 1010a 1011>1，(a 1010－1)(a 1011－1)<0.记T n ＝a 1a 2a 3…a n ，则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B ．a 1010a 1012－1>0C ．T n <T 1011D ．使T n <1成立的最小自然数n 等于202112．[2022·河北唐山模拟]如图，ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，F A 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则( )A ．AP ⊥EFB ．点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的垂心C ．二面角A EF P 的余弦值为13D ．若四面体P AEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2022·广东顺德一中月考]已知向量a ＝(1,3)，向量b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________.14．[2022·清华附中月考]若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45，则sin α＝________. 15．[2022·山东潍坊模拟]圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为1和3，则该圆台的体积为________．16．[2022·福建厦门模拟]已知a ，b 为正实数，直线y ＝2x －a 与曲线y ＝ln(2x ＋b )相切，则a 与b 满足的关系式为________.2a ＋3b的最小值为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(b －c )2＝a 2－bc .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，sin C ＝2sin B ，求△ABC 的面积．18．(12分)如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，B 1C ＝3.(1)证明：BC ⊥A 1C ；(2)若A 1C ＝2，求三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积．19．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足nS n ＋1－(n ＋1)S n －32n 2－32n ＝0.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n ·a n ，求{b n }的前n 项和T n .20．(12分)[2022·辽宁沈阳模拟]如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上底面内有一点E ，点F 为线段AA 1的中点．(1)经过点E 在上底面画一条直线l 与CE 垂直，并说明画出这条线的理由；(2)若A 1E →＝2EC 1→，求CE 与平面FB 1D 1所成角的正切值．21．(12分)[2022·山东淄博模拟]在图1所示的平面图形ABCD 中，△ABD 是边长为4的等边三角形，BD 是∠ADC 的平分线，且BD ⊥BC ，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将△ABM 折起得到四棱锥A BCDM (如图2)．(1)设平面ABC 和ADM 的交线为l ，在四棱锥A BCDM 的棱AC 上求一点N ，使直线BN ∥l ；(2)若二面角A BM D 的大小为60°，求平面ABD 和ACD 所成锐二面角的余弦值．22．(12分)[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝(x－1)e x－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点．①12<a≤e22，b>2a；②0<a<12，b≤2a.。

(整理)数学竞赛考试范围

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。

数学竞赛-学习规划及书单推荐

目录一、数学竞赛介绍 (1)二、数学竞赛学习路径 (1)高联一试备考路径 (2)高联二试备考路径 (3)三、数学竞赛书单推荐 (4)一、数学竞赛介绍一、高中数学竞赛介绍数学竞赛分为高中数学联赛（CMO）高中数学联赛（CMO）中国数学奥林匹克竞赛，英文简称CMO，你也可以叫它冬令营（全国中学生数学冬令营）。

1、举办时间：每年9月的第2个星期日2、周期：一般为期5天左右，2019年为7天3、参与国家：中国内地、中国香港、澳门、俄罗斯、新加坡等国外代表队4、考试时间一共考2天：DAY1-高联一试：8:00-9:20，共80分钟。

试题分为填空题和解答题两部分。

满分120分。

DAY2-高联二试：9:40-12:30，共170分钟。

试题共4道解答题，满分120分。

5、考试难度题目难度接近IMO，奖项与IMO类似，CMO最终成绩与正式获奖名单在决赛结束后的一周左右公布，前60名将组成备战当年IMO 的中国国家集训队，可获得保送清北的资格。

二、数学竞赛学习路径第一轮为高联一试基础知识的系统化学习，提炼高联所需所有知识技巧，重新梳理课程逻辑，且先前全无竞赛经历也可同步学习。

第二轮为高联二试，分为基础课和进阶课，一共8个专题模1块。

第三轮为联赛冲刺，系统复习并讲解提分技巧，原创模拟题及真题分析讲解。

高联一试备考路径：1、学习目标：系统、扎实地学完高联一试要求的知识点，并且会做题2、内容：高联一试，高联考纲涉及所有知识点扎实的过一轮。

3、知识点组成：高中课内数学＋高联一试：集合、函数、数列、导数、不等式、向量、解析几何、立体几何、三角、复数、概率、计数4、学习时间：大约一年下面我们以新高一入坑为例，给出一版通用的第一年时间规划。

以2020年9月入学的新高一同学为例，一轮数竞学习可做如下规划：初三升高一暑假建议学习时间：30小时竞赛学习任务：高中课内数学+集合与函数、三角达成目标：了解所有高中课内知识点+掌握【集合、函数、三角】知识并会做题高一上学期-秋季建议学习时间：45小时竞赛学习任务：数列、计数、概率、向量、立体几何达成目标：掌握【数列、计数、概率、向量、立体几何】知识并会做题高一寒假建议学习时间：30小时竞赛学习任务：解析几何、不等式2达成目标：掌握【解析几何、不等式】知识并会做题高一下学期-春季建议学习时间：21小时知识点+最少24小时刷题竞赛学习任务：复数、函数与导数+刷套题达成目标：掌握【复数、函数、导数】知识并会做题，同时开始刷题，刷套题，不懂的知识点进行专项专练高联二试备考路径：1、内容：高联二试，高联考纲涉及所有知识点扎实的全部学习一遍2、知识点组成：代数、几何、数论、组合学习目标：3、学习目标：【目标省一】系统、扎实地学完高联二试代数、几何、数论、组合的全部定理及知识点，深度掌握代数和几何的解题技巧。

浅议导数在竞赛中的解题应用策略

浅议导数在竞赛中的解题应用策略郭铭纪(福建省泉州第一中学㊀３６２０００)摘㊀要:导数是高中数学的重点知识ꎬ是学习微积分的重要桥梁.在一些竞赛中常涉及导数的应用ꎬ技巧性较强ꎬ很多学生不知所措ꎬ失分较为严重.为提高导数应用水平ꎬ灵活解答相关竞赛试题ꎬ在竞赛中取得理想成绩ꎬ教学中应围绕具体试题讲解ꎬ与学生一起总结导数在解题中的应用策略.关键词:高中数学ꎻ导数ꎻ竞赛ꎻ解题ꎻ应用策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１５－００４４－０２收稿日期:２０２０－０２－２５作者简介:郭铭纪(１９７５.５－)ꎬ男ꎬ福建省泉州人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系福建省十三五中小学名师名校长培养工程专项课题«高中生数学直观想象素养的培养策略研究»(课题编号:ＤＴＲＳＸ２０１９０１７)阶段性研究成果.㊀㊀一㊁夯实基础ꎬ正确求导解答该类试题的策略一般应牢记以下内容:其一ꎬ保证求导结果的正确性.同时ꎬ注意函数的定义域ꎬ为后面的解题奠定基础.其二ꎬ在涉及参数的函数中ꎬ进行分类讨论.例１㊀(２０１９年全国数学联赛广西赛区预赛)已知函数ｆ(ｘ)＝(ａ＋１ａ)ｌｎｘ＋１ｘ－ｘ.(１)设ａ>１ꎬ讨论ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上的单调性.(２)设ａ>０ꎬ求ｆ(ｘ)的极值.解析㊀求出ｆᶄ(ｘ)＝－(ｘ－ａ)(ｘ－１ａ)ｘ２(ｘ>０).(１)需要比较出０㊁１㊁ａ㊁１ａ的大小关系.ȵａ>１ꎬ因此ꎬ０<１ａ<１<ａ.当ｘɪ(０ꎬ１ａ]时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘɪ[１ａꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)单调递增.(２)需要比较ａ和１ａ的大小ꎬ显然当ａ＝１ａꎬａ＝１时两者相等ꎬ为讨论的分界点.当０<ａ<１时ꎬｆ(ｘ)的递增区间为[ａꎬ１ａ]ꎬ递减区间为(０ꎬａ]和[１ａꎬ＋ɕ)ꎬ则极小值为ｆ(ａ)＝(ａ＋１ａ)ｌｎａ＋１ａ－ａꎬ极大值为ｆ(１ａ)＝－(ａ＋１ａ)ｌｎａ＋ａ－１ａ.当ａ＝１时ꎬｆᶄ(ｘ)＝－(ｘ－１)２ｘ２ɤ０ꎬｆ(ｘ)无极值.当ａ>１时ꎬｆ(ｘ)的递增区间为[１ａꎬａ]ꎬ递减区间为(０ꎬ１ａ]和[ａꎬ＋ɕ)ꎬ则极小值为ｆ(１ａ)＝－(ａ＋１ａ)ｌｎａ＋ａ－１ａꎬ极大值为ｆ(ａ)＝(ａ＋１ａ)ｌｎａ＋１ａ－ａ.㊀㊀二㊁灵活应变ꎬ巧妙转化解答部分高中数学竞赛试题时ꎬ需要在认真审题基础上ꎬ融汇贯通所学ꎬ突破惯性思维ꎬ才能找到解题思路.一方面ꎬ深入分析题干问题ꎬ能够透过现象看本质ꎬ结合问题形式ꎬ大胆设想ꎬ通过构造函数ꎬ运用导数进行分析.另一方面ꎬ解题时应认真推理ꎬ确保上下推理的严谨性ꎬ尤其有＝存在时ꎬ应明确＝成立的条件.例２㊀(２０１９年全国数学联赛福建赛区预赛)已知ｆ(ｘ)＝ｅｘ.(１)略ꎻ(２)求证:当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)>４ｌｎｘ＋８－８ｌｎ２.解析㊀令ｇ(ｘ)＝ｅｘ－４ｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｅｘ－４.当ｘɪ(－ɕꎬｌｎ４)ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘɪ(ｌｎ４ꎬ＋ɕ)ꎬｇᶄ(ｘ)>０.则ｇ(ｘ)的最小值为ｇ(ｌｎ４)ꎬ即ｇ(ｘ)ȡｇ(ｌｎ４)＝４－４ｌｎ４ꎬ即ｇ(ｘ)＝ｅｘ－４ｘȡ４－４ｌｎ４ꎬ则ｅｘȡ４ｘ＋４－８ｌｎ２ꎬ当且仅当ｘ＝ｌｎ４时取＝ .ʑｆ(ｘ)－４ｌｎｘ－８＋８ｌｎ２ȡ(４ｘ＋４－８ｌｎ２)－４ｌｎｘ－８＋８ｌｎ２＝４ｘ－４ｌｎｘ－４ꎬ当且仅当ｘ＝ｌｎ４时取＝ .令ｈ(ｘ)＝４ｘ－４ｌｎｘ－４ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝４－４ｘꎬ当ｘɪ(０ꎬ１]时ꎬｈᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘɪ[１ꎬ＋ɕ)ｈᶄ(ｘ)>０.因此ｈ(ｘ)的最小值为ｈ(１)ꎬ即ｈ(ｘ)ȡｈ(１)＝０ꎬ则４ｘ－４ｌｎｘ－４ȡ０ꎬ当ｘ＝１时ꎬ取＝ .综上ｆ(ｘ)－４ｌｎｘ－８＋８ｌｎ２ȡ４ｘ－４ｌｎｘ－４ȡ０ꎬ且＝成４４立的条件不同ꎬʑ当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)>４ｌｎｘ＋８－８ｌｎ２.㊀㊀三㊁注重拓展ꎬ提升能力为使学生能够运用导数顺利解答高中竞赛中一些难度较大的题目ꎬ一方面ꎬ深入讲解导数表示的几何含义ꎬ理解导数的本质ꎬ保证在解题中正确运用.另一方面ꎬ适当为学生讲解一些拓展内容ꎬ如为学生讲解导数的导数ꎬ并结合相关竞赛试题的讲解ꎬ使学生牢固掌握ꎬ在竞赛中能够迅速找到解题思路.例３㊀(２０１８年河北高中数学竞赛)已知曲线ｆ(ｘ)＝ｅｘ－１和曲线ｇ(ｘ)＝ｌｎｘꎬ分析两个曲线的公切线的条数.解析㊀设直线ｌ为两条曲线的公切线ꎬ和两条曲线分别相切于(ａꎬｅａ－１)ꎬ(ｂꎬｌｎｂ)ꎬ则直线方程可表示为ｙ－ｅａ－１＝ｅａ－１(ｘ－ａ)ꎬ即ꎬｙ＝ｅａ－１ｘ＋ｅａ－１－ａｅａ－１ꎬ又可写作ｙ－ｌｎｂ＝１ｂ(ｘ－ｂ)ꎬ即ꎬｙ＝１ｂｘ＋ｌｎｂ－１.则有:ｅａ－１＝１ｂꎬｅａ－１－ａｅａ－１＝ｌｎｂ－１.{消元得到ｅａ－１－ａｅａ－１＋ａ＝０ꎬ方程根的个数即为两曲线公切线条数.令ｍ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｘｅｘ－１＋ｘꎬ则ｍᶄ(ｘ)＝１－ｘｅｘ－１ꎬｍᵡ(ｘ)＝(－１－ｘ)ｅｘ－１.当ｘ<－１时ꎬｍᵡ(ｘ)>０ꎬｍᶄ(ｘ)为增函数ꎬ当ｘ>－１时ꎬｍᵡ(ｘ)<０ꎬｍᶄ(ｘ)为减函数ꎬ且当ｘ<０时ꎬｍᶄ(ｘ)>１ꎬｍᶄ(１)＝０ꎬ即ꎬｘ＝１是ｍᶄ(１)＝０的根.可知当ｘ<１时ꎬｍᶄ(ｘ)>０ꎬｍ(ｘ)为单调递增ꎬ当ｘ>１时ꎬｍᶄ(ｘ)<０ꎬｍ(ｘ)为减函数ꎬ而ｍ(１)＝>０ꎬｍ(２)＝２－ｅ<０ꎬｍ(－１)＝１ｅ２－１<０ꎬｍ(０)＝１ｅ>０ꎬ且ｍ(ｘ)在Ｒ上连续ꎬ则函数ｍ(ｘ)存在两个零点ꎬ分别处在(－１ꎬ０)㊁(１ꎬ２)内.综上可知方程ｅｘ－１－ｘｅｘ－１＋ａ＝０有两个不同的根ꎬ因此ꎬ两条曲线的公切线共有两条.㊀㊀参考文献:[１]李世明.高中数学解题中的导数应用研究[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(１１):１３５.[２]邱廷月.例说导数几何意义在解题中的应用[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(０４):９６－９７.[３]王秀凤.例谈构造函数在导数解题中的应用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１８(３２):１０４－１０５.[责任编辑:李㊀璟]核心素养视角下的高中数学概念教学朱庆斌(安徽省界首第一中学㊀２３６５００)摘㊀要:高中数学有很多重要的概念ꎬ包括集合㊁函数㊁数列等.做好这些概念教学ꎬ对深化学生理解ꎬ提升学生核心素养具有重要意义.授课中应注重设置相关情境ꎬ使学生参与到数学概念生成中ꎬ提高学生概念学习体验的同时ꎬ给其留下深刻印象ꎬ保证数学概念教学顺利㊁高效完成的同时ꎬ促进学生核心素养更好的提升.关键词:高中数学ꎻ概念教学ꎻ核心素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１５－００４５－０２收稿日期:２０２０－０２－２５作者简介:朱庆斌(１９８４.７－)ꎬ男ꎬ安徽省界首人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系２０１８年度阜阳市教育科学规划立项课题:基于数学核心素养培养的高中数学概念教学实践研究(课题编号:ＦＪＫ１８０１８)㊀㊀高中数学中的一些概念本身不难记忆ꎬ但要想深入理解并非易事ꎬ需要做好充分授课准备ꎬ既要融入核心素养内容ꎬ又要给予学生针对性引导ꎬ使其更加全面地认识ꎬ深刻地理解数学概念ꎬ更好地把握数学概念本质ꎬ顺利完成核心素养培养工作.㊀㊀一㊁做好集合概念教学ꎬ培养数学抽象素养集合是高中数学的基础概念ꎬ贯穿整个高中阶段.授课中为使学生对集合有个清晰的认识ꎬ可通过列出现实生活中的事物引出集合概念ꎬ引导学生从数学角度分析问题ꎬ将现实事物抽象成数学语言 ꎬ并使用数学语言５４。

全国高中数学联赛实施细则

全国高中数学联赛实施细则一、竞赛内容和方式1、联赛分第一试和第二试。

2、第一试的内容不超出现行高中数学教学大纲，其中包括六道选择题、六道填空题和三道解答题，难度维持在高考中高档试题的水平，能力要求略有提高。

3、第二试共有三道题。

其中一道平面几何题、一道代数或数论题、一道组合题。

内容以竞赛大纲为准。

二、时间1、全国高中数学联赛的举办时间确定在每年10月中旬的第一个星期日上午。

2、各省级赛区应严格遵照全国高中数学联赛组织委员会发出的通知，在规定时间内将报名人数上报承办单位，将一等奖试卷寄送承办单位复评。

不按照规定时间上报或寄送的。

承办单位有权不再受理。

三、报名1、由省级赛区按照全国高中数学联赛组织委员会的通知组织报名。

2、省级赛区应向参赛学生公布与联赛有关的文件，让学生自愿报名，不得摊派。

3、报名表至少应包括“学生姓名、性别、考号、年级、所在学校”，如果需要，还可包括“辅导教师”。

四、命题1、命题工作分四步进行。

第一步，征集试题；第二步，承办单位建立命题委员会，写出试卷初稿；第三步，初稿寄送中国数学会普及工作委员会高中命题的有关负责人，征求意见；第四步，由承办单位组织有主办单位相关负责人参加的命题会议，确定正式试卷、标准答案与评分标准。

2、上一届和下一届的承办单位指派专人列席参加当年的命题会议，以便上下传承，吸取经验。

六、赛场1、对参赛考场具体要求应参照高考考试办法中的相关规定执行。

2、考试开始前监考老师需向参赛学生宣布竞赛时间与纪律。

3、各考点负责人于考前10分钟将试卷发到考场，由考场监考教师在开始考前5分钟当众拆封。

4、竞赛时间不得自行增减。

试题内容不得更改。

5、考试结束后由监考教师当场立即将答题纸和试卷装订加封，填写考场记录并签名,交至考点负责人，再由考点负责人集中送至各省级赛区负责人统一阅卷。

6、各考场需准备装订所需的打孔器和线绳等工具。

7、为防备破损等意外情况，每处考点需额外准备3％的机动试卷，由各考点负责人集中掌握，考试结束后随学生试卷一起送交各省负责人。

专题12导数与极限第一辑2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题12导数与极限第一辑1．【2021年福建预赛】若关于x 的不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解，则整数a 的最小值为.【答案】3【解析】设f(x)=(x −2)e x , g(x)=ax +1.则f ′(x)=(x −1)e x ,x <1时,f ′(x)<0;x >1时,f ′(x)>0. 因此,f(x)在区间(−∞,1)上递减，在区间(1,+∞)上递增: 且x <2时，f(x)<0;x >2时,f(x)>0. 由此作出f(x)的草图如图所示.又g(x)的图像是过点(0,1)的直线，结合图像可知a >0.由于a >0时，f(0)=−2<g(0)=1;f(1)=−e <g(1)=a +1; f(2)=0<g(2)=2a +1,因此,0,1,2是不等式(x −2)e x <ax +1的三个整数解. 由于不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解, 所以{f(−1)≥g(−1)f(3)≥g(3) ，即{−3e −1≥−a +1e 3≥3a +1,1+3e ≤a ≤e 3−13 .经检验，a=3符合要求，所以，符合条件的a 的最小值为3.2．【2019年贵州预赛】已知函数f(x)=(e x −e −x )⋅x 3,若m 满足f (log 2m )+f (log 0.5m )⩽2(e 2−1e).则实数m 的取值范围是 .【答案】[12,2]【解析】由f(x)=(e x −e −x )⋅x 3⇒f(−x)=f(x),且x ∈(0,+∞)时,f(x)是增函数.又由f(log2m)+f(log0,5m)≤2(e2−1e)⇒f(log2m)≤f(1).所以|log2m|≤1⇒−1≤log2m≤1⇒12≤m≤2.即m的取值范围是[12,2].3．【2018年广西预赛】若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)−2f(x)−4>0，f(0)=−1，则不等式f(x)> e2x−2的解为___________.【答案】x>0【解析】构造函数g(x)=e−2x[f(x)+2]，则g(0)=1.由g′(x)=e−2x[f′(x)−2f(x)−4]>0可知g(x)在（−∞,+∞）内单调递增，从而有g(x)>1⇔x>0.故f(x)>e2x−2⇔x>0.4．【2018年甘肃预赛】已知函数f(x)=x3+sinx（x∈R），函数g(x)满足g(x)+g(2−x)=0（x∈R），若函数ℎ(x)=f(x−1)−g(x)恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019【解析】易知函数f(x)=x3+sinx为奇函数，从而f(x−1)的图象关于(1,0)点对称．函数g(x)+g(2−x)=0，可知g(x)的图象也关于(1,0)点对称．由此ℎ(x)的图象关于(1,0)点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于ℎ(1)=f(0)−g(1)=0⇒x=1是ℎ(x)的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于(1,0)点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．5．【2018年四川预赛】设直线y=kx+b与曲线y=x3−x有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=2，则k的值为______.【答案】1【解析】曲线关于点(0,0)对称，且|AB|=|BC|=2，所以直线y=kx+b必过原点，从而b=0.设A(x,y)，则{y=kx, y=x3−x,√x2+y2=2.由此得x=√k+1,y=k√k+1，代入得(k+1)+k2(k+1)=4,即(k−1)(k2+2k+3)=0,解得k=1.故答案为：16．【2017年广西预赛】设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R 有f (x )+f (−x )=x 2,在(0,+∞)上f ′(x )>x .若f (1+a )−f (1−a )≥2a ,则实数a 的范围是 .【答案】a ≥0【解析】提示:由题意得f ′(x )>x ,构造函数g (x )=f (x )−12x 2,则g ′(x )=f ′(x )−x >0.从而g (x )在(0,+∞)上单调递增. 由条件f (x )+f (−x )=x 2得g (x )+g (−x )=0,则g (x )是奇函数.因为g (x )在R 上单调递增,由f (1+a )−f (1−a )≥2a 知g (1+a )−g (1−a )≥0,g (1+a )≥g (1−a )，所以1+a ≥1−a 解得a ≥0.7．【2017年湖南预赛】设函数f (x )是定义在(−∞,0)上的可导函数,其导函数为f ′(x ),且有2f (x )+xf ′(x )>x 2,则不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0的解集为 .【答案】(−∞,−2018)【解析】提示:将不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0 化为(x +2017)2f (x +2017)>(−1)2f (−1)，①构造F (x )=x 2f (x ),使得①式化为F (x +2017)>F (−1)，② 因为F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x ),由已知条件2f (x )+xf ′(x )>x 2，两边同乘以x ,可得F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )<x 3<0(因x ∈(−∞,0)). 所以,F (x )在(−∞,0)上是减函数,不等式②化为x +2017<−1,即x <−2018，所以,不等式的解集为(−∞,−2018).8．【2016年福建预赛】函数f (x ) =x 2lnx +x 2-2零点的个数为________. 【答案】1 【解析】由条件知f ′(x)=2x ln x +x +2x =x(2lnx +3). 当0<x <e −32时，f ′(x)<0；当x >e −32时，f ′(x)>0.于是，f (x )在区间(0，−32)上为减函数，在区间(−32，+∞)上为增函数.又0<x <e −32时，lnx +1<−32+1=−12<0f (x )=x 2(lnx +1)-2<0，注意到，f(e −32)=e −3(−32+1)−2<0，f(e)=2e 2−2>0 故函数f (x )零点的个数为1.9．【2015年山东预赛】设a >1.若关于x 的方程a x =x 无实根,则实数a 的取值范围是______. 【答案】a >e 1e【解析】由函数y =a x 与y =x 的图像,知若a >1,且a x =x 无实根,则a x >x 恒成立，设f (x )=a x −x .则：f′(x )=a x (lna )−1>0⇒x >−log a (lna ).故f (x )=a x −x 在区间(−∞,−log a (lna ))上递减,在区间(−log a (lna ),+∞)上递增. 从而, f (x )在x =−log a (lna )时取得最小值,即：f (x )min =f(−log a (lna ))=a −log a (ln a )−(−log a (lna ))>0， ⇒1lna −(−log a (lna ))>0.又1lna =log a e,−log a (lna )=log a 1lna ， ⇒log a e >log a1lna⇒lna >1e⇒a >e 1e .10．【2015年福建预赛】函数f (x )=e x (x −ae x )恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)，则a 的取值范围是__________．【答案】(0,12) 【解析】∵函数f (x )=e x (x −ae x )，∴f′(x )=(x +1−2a ⋅e x )e x ，由于函数f (x )两个极值点为x 1,x 2，即x 1,x 2是方程f′(x )=0的两个不等实数根，即方程x +1−2ae x =0，且a ≠0，∴x+12a=e x ；设y 1=x+12a(a ≠0),y 2=e x ，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示,要使这两个函数有2个不同的交点，应满足{12a >01 2a >1，解得0<a<12，所以a的取值范围为(0,12)，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解11．【2018年湖南预赛】函数f(x)=ln(x2+1)的图像大致是（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.12．【2018年湖南预赛】设函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x−3，则f(x)的零点个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f （x ）有一个零点，又根据对称性知，当x ＜0时函数f （x ）也有一个零点．综上所述，f （x ）的零点个数为3个，故选：C ．13．【2017年四川预赛】已知函数f (x )=a ln x +x 2在x =1处有极值,则实数a 的值是()(A)−2(B)−1(C)1(D)2【答案】A【解析】提示：因为f ′(x )=ax+2x =a+2x 2x由条件知f ′(1)=0,解得a =−2.14．【2016年陕西预赛】设函数f (x )=x 3+ax 2+6x +c (a 、b 、c 均为非零整数).若f (a )=a 3，f (b )=b 3，则c 的值为（）. A ．-16 B ．-4 C ．4 D ．16 【答案】D 【解析】设g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c . 由f (a )=a 3，f (b )=b 3⇒g (a )=g (b )=0.则a 、b 为方程g (x )=0的两个根⇒a +b =−ba，ab =ca⇒c =−a 4a+1=−(a 2+1)(a −1)−1a+1.因为c 为整数，所以，a +1=±1⇒a =0(舍去)或-2. 故c =16. 选D.15．【2015年黑龙江预赛】设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8280128(1)kx a a x a x a x -=++++，则128a a a +++=（）A.-1B.0C.1D.256 【答案】B 【解析】试题分析：000(sin cos )sin cos cos sin 2k x x dx xdx xdx x x πππππ=-=-=--=⎰⎰⎰,所以88280128(1)(12)kx x a a x a x a x -=-=++++，令1x =得80128(12)1a a a a ++++=-=，,令0x =得01a =，所以12801280()110a a a a a a a a +++=++++-=-=，故选B.考点：1.积分运算；2.二项式定理.16．【2015年黑龙江预赛】设函数f (x )=sin 5x +1.则∫f (x )π2−π2dx 值为（）。

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

高中竞赛奥赛专题(一)

高中竞赛奥赛专题（一）专题一记忆能力与运算能力一记忆能力记忆是系统化知识，形成方法,思想的先决条件，因而我们对记忆能力应引起足够的重视。

下面来试试你的记忆能力：1．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？2．函数与其反函数之间的一个有用的结论：3．原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．4．判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？5.你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！6.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.log符号的快捷方法吗？7.你知道判断对数ba8.“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？9.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？10.在三角中，你知道1等于什么吗？（这些统称为1的代换) 常数“1”的种种代换有着广泛的应用．11.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）12.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是.②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．14.分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）15.解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）16.利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，你是否注意到a，b（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？17.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．18.等差数列中的重要性质：若，则；等比数列中的重要性质：若，则．19.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（时，；时，）20.等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是（a, b为常数）其公差是2a.21.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）22.用求数列的通项公式时，你注意到了吗？23.你还记得裂项求和吗？（如 .）24. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．25. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．26. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.27. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法） 28. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）29. 你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见30. 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率k 不存在的情况？（例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。

高中数学竞赛知识点提纲

【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set）1.1集.合的阶，集.合之间的关系。

1.2集.合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理1.5极端原理1.6抽屉原理2. 函数（function）2.1函数的基本概念2.1.1映射2.1.1.1单射2.1.1.2满射2.1.1.3一一映射（双射）2.1.2函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1对称性2.2.2单调性2.2.3奇偶性2.2.4周期性2.2.5凹凸性2.2.6连续性2.2.7可导性2.2.8有界性2.2.9收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4. 向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5. 数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法5.1.4迭代法5.1.5数学归纳法5.1.6代换法5.1.7待定系数法5.1.8阶差法5.2数列求和5.2.1裂项相消法5.2.2错位相减法5.2.3倒序相加法5.2.4分组分解法5.2.5归纳猜想法6．不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法(放缩法)6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analyticgeometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8．立体几何（solidgeometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角*8.7空间向量9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望与方差9.7概率分布9.7.1二项分布9.7.2几何分布9.7.3正态分布10.极限，导数（limits,derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11.复数（complexnumbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（planegeometry）12.1几个重要的平面几何定理/引理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.1.9沢山引理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6完全四边形12.7几何变换12.7.1平移变换12.7.2旋转变换12.7.3位似变换12.7.4对称变换（反射变换）12.7.5反演变换12.7.6配极变换12.8几何不等式12.9平面几何常用方法12.9.1纯几何方法12.9.2三角法12.9.3解析法12.9.4复数法12.9.5向量法12.9.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematicalinduction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理15. 初等数论（elementarynumber theory）15.1整数，整除15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题17.6其~他~ 16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题16 导数与极限(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题16 导数与极限（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2019·全国·高三竞赛）函数sin cos 0,1cos 2y ααπαα⎛⎫⋅⎛⎫=∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的最大值是______.【解析】【详解】设cos 0,2x παα⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()0,1x ∈.由y =，得2y '=令0y '=.解得x =.故max y2．（2019·全国·高三竞赛）已知等比数列{}n a 满足()12lim 2n n a a a →∞+++=-，则1a 的取值范围为______.【答案】()()4,22,0--⋃- 【解析】【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由部分和的极根存在知11,2.1a q a q ⎧<<⎪⎨=-⎪-⎩则1022a <+<.解得()()14,22,0a ∈--⋃-.3．（2019·全国·高三竞赛）称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R 上；（2）存在a b <，使其在(),a -∞、(),b +∞上单调递增，在(),a b 上单调递减．则以下函数是好函数的有______．①2y x x =-， ②31y x x =-+，③322361y x x x =---， ④7427283y x x x =+++．【答案】①②③ 【解析】【详解】①2y x x =-在(),1-∞、()2,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，满足定义． ②31y x x =-+．注意到2310,y x x ⎛⎫=->⇔∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'．故31y x x =-+在,⎛-∞ ⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝⎭上单调递减，满足定义．③322361y x x x =---．注意到()()26660,,y x x x m n =-->⇔∈-∞⋃'+∞．（因为0∆>，所以，存在m 、n 为26660x x --=的两实根且m n <．）故322361y x x x =---在(),m -∞、(),n +∞上单调递增，在(),m n 上单调递减，满足定义． ④7427283y x x x =+++．注意到()26333142828142828y x x x x ==+'+++．由于0∆<，则0y '>恒成立．故7427283y x x x =+++在R 上单调递增，不满足定义．故答案为①②③4．（2019·全国·高三竞赛）函数()32731x x f x +=-+在区间[0，3]上的最小值为_______.【答案】53- 【解析】【详解】令[]()30,3xt x =∈.则()()[]()32710,27f x g t t t t ==-+∈.而()()()2327333g t t t t ==-'-+，故当[]1,3t ∈时，()0g t '<，()g t 单调递减；当[]3,27t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增. 所以，当t=3时，()g t 取得最小值,()()min 353g t g ==-，即当x=1时，f(x)取最小值-53. 故答案为-535．（2019·全国·高三竞赛）关于x 的不等式224sin 1cos 2x x x x -+≤的解集为______. 【答案】{}0 【解析】【详解】原不等式可化为()2sin 0sin 0x x x x -≤⇒-=. 构造函数()sin f x x x =-. 因为()1cos 0f x x ='-≥，所以，函数()sin f x x x =-在(),-∞+∞上是单调递增函数，且易知()00f =. 故sin 0x x -=只有一个实数根0. 进而知原不等式的解集为{}0. 故答案为{}06．（2019·山东·高三竞赛）设函数()cos 0,2f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么f (x )的最大值是______ .【答案】2π【解析】【详解】()1sin 00,2f x x x π'⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以f (x )的最大值为22f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：2π． 7．（2019·全国·高三竞赛）满足1201411112014n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的整数n=__________．【答案】2015- 【解析】【详解】注意到，对任意的()1,x ∈-+∞有()ln 11xx x x≤+≤+ 则()()1110x f x x x +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与()()110xg x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的导函数分别为 ()1111'1ln 10x f x x x x +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-< ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()111'1ln 101xg x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故()f x 在区间()0,+∞上递减，()g x 在区间()0,+∞上递增. 且对任意的()0,x ∈+∞有()()f x e g x >>. 从而，对任意的m 、n Z +∈有11111n me n m +⎛⎫⎛⎫+>>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因此，满足1201411112014n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的整数n 必为负数.记()n k k Z +=-∈，代入题设等式得20141111111120141k k k k -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故12014k -=，2015n k =-=-. 故答案为-20158．（2019·全国·高三竞赛）设函数()()()22log log f x x x a x a x =+--的图像关于直线12x =对称.则对满足411i i x ==∑的任意实数()()0,114i x i ∈≤≤，421log i i i s x x ==∑的最小值为__________．【答案】2- 【解析】【详解】由题意，知定义区间()0,a 的中点为12.于是，1a =.则()()()22log 1log 1f x x x x x =+-- ()2'log 1x f x x⇒=- 令()'0f x =，得12x =. 由对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()'0f x <，及对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()'0f x >知()min 112f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭记()120,1x x x +=∈则()3410,1x x x +=-∈ ① 由121x x x x +=，得1122122log log 1x x x x x f x x x x x ⎛⎫+=≥- ⎪⎝⎭即1212222log log log x x x x x x x +≥-+.类似地，由式①得()()()3234242log log 11log 1x x x x x x x +≥--+--. 两式相加得()421log 12i i i x x f x =≥-+≥-∑.当123414x x x x ====时，上式等号成立.故min 2S =-. 故答案为2-9．（2019·全国·高三竞赛）设1a >．则当x y a =与log a y x =两个函数图像相切时，lnln a =______．【答案】1- 【解析】【详解】因为两个函数互为反函数，且关于直线y x =对称，所以，相切时切点在y x =上．设切点为()00,x y ．则 00x x a =，①0ln 1x a a =．②将式①代入式②得0ln 1x a =，即0ln 1x a =．③ 再将式①代入式③得00ln 1x x e =⇒=．故1ln lnln 1a a e=⇒=-． 10．（2019·全国·高三竞赛）已知过点()0,2的直线l 与曲线()1:0C y x x x=+>交于两不同的点M 、N .则曲线C 在M 、N 处切线交点的轨迹为______. 【答案】1x =，12y <<. 【解析】【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，点M 、N 处的切线为1l 、2l ，交点坐标为(),p p P x y ，直线l 的方程为2y kx =+.由()()21,1210441002y x k x x k k x y kx ⎧=+⎪⇒-+-=⇒∆=+->⇒>⎨⎪=+⎩. 而12201x x k +=>-，1210011x x k k=>⇒<<-. 易知1l 的方程为()112211111211y y x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.同理，222212:1l y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 故12x x ≠，121221p x x x x x ==+. 又221212111112222122p p p p y x kx k y x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+++=-+=-⇒<<⎨⎬⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭. 故所求交点的轨迹为1x =，12y <<. 故答案为1x =，12y <<.11．（2019·全国·高三竞赛）若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+'.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ''=-⇔++=-()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+= 221212cos cos cos cos 1022x x x x a +-⎛⎫⎛⎫⇔++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos cos 1,0x x a ⇔=-=±=.故答案为012．（2019·全国·高三竞赛）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若34218a a a a +--=，则5678a a a a +++的最小值是______.【答案】44+【解析】【详解】设公比为q .由题设知1q >.由34218a a a a +--=，得()()21118a q q +-=.而()()()424256781281111q q a a a a a q q q q ++++=++=-.令21t q =-.则0t >，且()()()242228181228451q q t t tt q tt +++⎛⎫==+++ ⎪-⎝⎭.因为222245240t t t t t ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭，，所以t =时上式取最小值为44+13．（2019·全国·高三竞赛）已知数列{}n a 满足12a =，26a =，且2121n nn a a a +++=+.则limn →+∞=______.【答案】12 【解析】【详解】由已知有2112n n n n a a a a +++-=-+，从而，()()()1212121n n a a a a n n +-=-+-=+. 故()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ ()()21221n n n n =+-+⋅⋅⋅++=+.于是，()2221111312nnni i i n i nnnn===+=+=∑.从而，2131lim lim22nn n i n n n →+∞→+∞=+=.另一方面，2211111lim lim lim22nnn n n i i n i n n n →+∞→+∞→+∞==+≥==∑.从而，211lim 2nn i n →+∞==成立. 14．（2019·全国·高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶100m ，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退50m 进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退50m ，直到命中为止，已知他第一次的命中率为14，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_________. 【答案】12 【解析】【详解】记事件“第n 次射击命中”为n A ，其概率为()n P A .则()114P A =. 又第n 次射击时距离靶()()()100501501n n m +-=-，则()()()2122111n P A P A n n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭+.于是，前n 次内命中的概率为()()()()121211n n n P P A A A P A P A P A =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅()21111324211111492233111n n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()1212121n nn n +=-⋅=++.令n →∞，得1lim 2n n P →∞=. 因此，此人能够命中的概率是12.故答案为1215．（2019·全国·高三竞赛）已知数列{}n a 满足16a =，220a =，()()118122n n n n a a a a n -+-=--≥，记{}[]x x x =-，其中，[]x 表示不超过实数x 的最大整数.则lim n →∞_______.【答案】12 【解析】【详解】根据递推关系及初始值，易算得342a =. 由()11812n n n n a a a a -+=-=-， ① 得()112812n n n n a a a a +++-=-. ②-②①得()22112118n n n n n n n n a a a a a a a a +++-+---=-.整理得()()211188n n n n n n a a a a a a +++-+-=+-. 则21131128882n n n n n n a a a a a a a a a ++-++---+-==⋅⋅⋅==，即2128n n n a a a ++-+=.所以，()()2118n n n n a a a a +++---=.故{}1n n a a +-是以2114a a -=为首项、8为公差的等差数列，即()1148186n n a a n n +-=+-=+.则()()111111686n n n i i i i a a a a i --+===+-=++∑∑()()216861422n n n n n -=+︒+-=+.由()()22224221n n n n <+<+，知2n =.于是，2n ===.所以，1lim2n →∞=. 故答案为1216．（2019·全国·高三竞赛）设()20101005222k k k x x a x =+-=∑．则1352009352009a a a a ++++=______.【答案】1005 【解析】【详解】设()()1005222f x x x =+-．则()()()1004210052214f x x x x =+--'．从而，()()110053f ='⨯-，()110055f ='-⨯．又由()20101kk k f x a x ==∑，得()201011k k k f x ka x -=='∑．故1352009352009a a a a ++++()()()11110052f f =-='+'．故答案为100517．（2019·全国·高三竞赛）联结正多面体各个面的中心，得到一个新的正多面体，我们称这个新正多面体为原多面体的正子体．一正方体1T 的表面积为116a =，它的正子体为2T ，表面积为2a ，2T 的正子体为3T ，表面积为3a ，……如此下去，记第n 个正子体的表面积为n a ．则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=________．【答案】18+【解析】【详解】由已知13,,T T ⋅⋅⋅为正方体，24,,T T ⋅⋅⋅为正八面体．设i T 的边长为i b ，如图易知2122b b =．如图，计算得2122GH AC ==，32223b MN GH ===．易知，对于自然数n ，有2212n n b -=，2122n n b +=．而2116a b =，22221383a b ==，213a =，2232222423693a b b =⨯==．同样，2213n n a -=，21223n n a +=．于是，可得212119n n a a +-=，22219n n a a +=．故()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+ 121833111199a a =+=+--． 18．（2019·全国·高三竞赛）四次多项式()f x 的四个实根构成公差为2的等差数列.则()'f x 的所有根中最大根与最小根之差是_________. 【答案】25【解析】【详解】设()f x 的四个实根为 3113a a a a --++、，、.则()()()()()()31130f x k x a x a x a x a k =----⋅-+-+≠. 令x a t -=.则()()()()()()()423113109f x k t t t t k t t g t =--++=-+=.故()()()33'42045g t k t t k t t =-=-.故()'0g t =的根为0，则()'f x的根为a a . 故()'f x的最大根与最小根之差为19．（2021·全国·高三竞赛）若数列{}n a 是首项不为零的等差数列，则12212limn n nn na a a a a a ++→∞+++=+++___________.【答案】1或3##3或1. 【解析】【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1222212lim lim 1lim n n n n n n n n n n n nS S a a a a a S S Sa ++→∞→∞→∞+++==-+++-+，若{}n a 为常数列，则22lim 11nn nn S S S →∞-=-+=；若{}n a 不为常数列，则()()1221lim 1lim 1221222i 1l m3n n n n n n n nn a d S n SS S d S a →∞→∞→∞=-+=-+-⨯--+⨯=+，故答案为：1或3.20．（2021·全国·高三竞赛）两数列{}{},n n a b 满足110,1a a b =>=，且对任意正整数n ，1111,n n n n n n n n a b a a b b b a ++++=+=+，则1lim n n nb b +→∞为___________. 【答案】22,01311,1a a a a +⎧<<⎪+⎨⎪⎩ 【解析】【分析】【详解】易知两数列均为严格递增的正数列，且不同时存在极限（否则对递推式取极限得矛盾）. 将两个递推式等号两边加1，可得： 11(1)(1)(1)(1)1,1n n n n n n n na b a b a b b a +++++++=+=再取倒数可得11111111,11(1)(1)11(1)(1)n n n n n n n n a a a b b b a b ++=-=-++++++++ 所以1111111111122n n n n aa b a b a ++--=-=⋯=+++++，当01a <<时，由11122n a a a ->++得311n a a a+<-，于是数列{}n a 有极限，从而{}n b 没有极限，即1lim0n nb →∞=，此时1311122lim ,lim 1lim lim 131n n n n n n n n n nb a a a a b a a b a +→∞→∞→∞→∞-+==++=-+；当1a =时，n n a b =，于是都没有极限. 此时111lim 1lim lim 1n n n n n n n nb b a a b +→∞→∞→∞=++=，当1a >时，11122n a b a ->++，所以31n a b a +<-，于是数列{}n b 有极限，{}n a 没有极限，此时111lim 1lim lim 1n n n n n n n nb b a a b +→∞→∞→∞=++=.综上可得：122,01lim 311,1n n n a a b a b a +→∞+⎧<<⎪=+⎨⎪⎩. 故答案为：22,01311,1a a a a +⎧<<⎪+⎨⎪⎩. 21．（2021·浙江·高三竞赛）若1122ln ln x x x x =，12x x <，(1252k x x =++，k Z ∈，则k =______.【答案】3 【解析】【分析】【详解】解析:由题意知设2222,ln 2ln t x t y t t t t ====,问题转化为:若22112212ln ln ,t t t t t t =<,求()()22212121255222k t t t t t t =++=+, 即2ln y t t =与y a =的图象的两个公共点的横坐标设为12,t t 求12t t +的范围;如图所示，易知12t t e ⎛+∈ ⎝,所以510,2k e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,所以3k =. 故答案为：3.22．（2019·四川·高三竞赛）已知a 为实数，且对任意k ∈[－1，1]当x ∈(0，6]时，6lnx +x 2－8x +a ≤kx 恒成立，则a 的最大值是_____ . 【答案】6－6ln 6 【解析】【详解】由题意，对k ∈[－1，1]，6ln 8x ak x x x++-在x ∈(0，6]时恒成立，所以，6ln 18x ax x x-++-在x ∈(0，6]时恒成立，即a ≤－x 2－6lnx +7x 在x ∈(0，6]时恒成立.设h (x )=－x 2－6lnx +7x ，x ∈(0，6]，则max min ()a h x =.所以6(23)(2)()27x x h x x x x'---=--+=. 因为x >0，所以当3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，h '(x )>0，h (x )为增函数；当x ∈30,2⎛⎫⎪⎝⎭和(2，6]时h '(x )<0，h (x )为减函数.所以h (x )的最小值为32h ⎛⎫⎪⎝⎭和h (6)中的较小者.3939(6)6ln 6ln 612ln 202424h h ⎛⎫-=-+=+> ⎪⎝⎭，所以min ()(6)66ln 6h x h ==-，从而a 的最大值是6－6ln 6. 故答案为：66ln 6-．23．（2019·全国·高三竞赛）已知函数()[]()10,1,n n f x x x x n N ++=-∈∈.（1）求()f x 的极大值()g n ；（2）求()g n 的最大值.【答案】（1）()11nn n n ++；（2）14【解析】【详解】（1）由()()11n nf x nx n x --+'= ()11n x n n x -⎡⎤=-+⎣⎦，可知()f x 在0,1n n ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭上单调递增，在,11n n ⎛⎤⎥+⎝⎦上单调递减. 所以，在1nx n =+时，()f x 取得极大值()()11n n n g n n +=+.（2）()114g =. 下面证明：当2n ≥时，()14g n <. 则要证()114n n n n ++>.由()1111111n n n n n n n n C n C ++++++=++⋅⋅⋅+()()11214n n n n n n n n n n +≥++=+>，知()14g n <，即()g n 的最大值为14. 24．（2019·广西·高三竞赛）已知函数11()ln f x a x x a x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.（1）设a >1，讨论f (x )在区间(0，1)上的单调性；（2）设a >0，求f (x )的极值.【答案】（1）减区间是10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，增区间是1,1a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）当a >1时，极小值为11ln a a a a a ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭，极大值为11ln a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭；当a =1时，无极值；当0<a <1时，极小值为11ln a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，极大值为11ln a a a a a ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭【解析】（1）221()111()1x a x a f x a a x x x '⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--=- ⎪⎝⎭. 由a >1可知101a a <<<，所以f (x )的减区间是10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，增区间是1,1a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）21()(),0x a x a f x x x '⎛⎫-- ⎪⎝⎭=->. 当a >1时，f (x )的减间是10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[a ，+∞)增区间是1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.f (x )的极小值为111ln f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，极大值为11()ln f a a a a a a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. 当a =1时，22(1)()0x f x x'-=-，f (x )无极值. 当0<a <1时，f (x )的减区间是(0，a ]和1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，增区间是1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.f (x )的极小值为11()ln f a a a a a a⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，极大值为111ln f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上可得：当a >1时，极小值为11ln a a a a a ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭，极大值为11ln a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭；当a =1时，无极值；当0<a <1时，极小值为11ln a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，极大值为11ln a a a a a ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭.25．（2021·全国·高三竞赛）求c 的最大值，使得对任意的正实数x 、y 、z ，均有()3222x xyc xy x y -≥-∑∑∑∑，其中“∑”表示轮换对称求和．12．【解析】【分析】【详解】注意到22()()()xy x y x y y z z x -=---∑∑，由不等式的轮换对称性，不妨设x 最小，则,y x a z x b =+=+，其中,0a b ≥．所以，原式等价于：333222()()()()()()()x x a x b x x a x a x b x b x c b a ab ++++-+-++-+≥-，化简得()223322()x a ab b a b ab c b a ab -+++-≥-．由220a ab b -+≥，且x 可无限接近于0，得332()a b ab c b a ab +-≥-，对,0a b ∀≥成立．又3320a b ab +-≥，为了求c 的最大值，可不妨设0b a >>．令1bt a=>，321(1)t t c t t -+≥-，设3211()(1)(1)(1)t t f t t t t t t t-+==+>--，则()2232(21)(1)21()1,()0((1))((1))t t t t f t f t t t t t ----=-=>-''-'，所以()f t '在(1,)t ∈+∞上严格单调递增．而243211()02210210f t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=⇒-+-+=⇒+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，解得t =()f t 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增．故min1()2f t f ==⎝⎭，所以，c 12． 26．（2019·全国·高三竞赛）在锐角△ABC 中，证明:()111sin sin sin sin sin sin A B C A B C ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111A B C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 【答案】见解析【解析】【详解】不妨设A≥B≥C.由A B C π++=，知式①等价于222++ 222sin sin A B ⎛-++ ⎝.记()sin x f x x =.则()sin cos 00,2x x x f x x x π⎛⎫-⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭. 故sin sin sin 1sin A BAAAB BB⇒.从而，22sin sin A B ⎛- ⎝. 类似地， 22sin sin B C ⎛ ⎝ 22sin sin C A ⎛ ⎝. 将这三式相加，便证明了原不等式.27．（2019·全国·高三竞赛）求所有的正实数k ，使得对于任意正实数a 、b 、c ，均有2a b kcb c c a a b+++++. 【答案】见解析【解析】【详解】 k≥4.一方面，令a ＝b ＝1，得 224212211kc kc c kc c c+⇔⇔+++. 令c→0，得k≥4.另一方面，只需证明k ＝4时，不等式成立. 由柯西不等式得()()()()242ab c a b c b c a c a b a b c b c c a a b ⎛⎫⎡⎤+++++⋅++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()22422a b c a b cb c c a a bab bc ca ++⇒+++++++.（因为()()22222420a b c ab bc ca a b c ab ++-++=++-.）故题设不等式成立.28．（2019·全国·高三竞赛）已知函数()()2221f x x ax g x x =-=--与，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a 的值.【答案】2a =± 【解析】【详解】设函数f(x)与g(x)的一条公切线分别过切点()()()()1122,,,x f x x g x .则公切线方程为()()()()()()111222y f x f x x x g x g x x x '=-≡'++-.故()()12''f x g x =，且()()()()111222''f x f x x g x g x x -=-. 注意到，()()'22,'2f x x a g x x =-=-221212,1x x a x x ⇒+=+=21212a x x -⇒=. 两于是，12x x 、是方程22102a x ax --+=的两实根.由f(x)与g(x)有两条公切线，知f(x)与g(x)不相交. 因此，12x x ≠.由22214?022a a a -∆=->⇒<. 设四个切点坐标为()()()()()()()()11222211,,,,,,,M x f x N x f x P x g x Q x g x . 则()()()2221212(PQ x x g x g x =-+-()()22212121221x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()2221a a =-+，()()11MQ f x g x =- 222111212x ax x a =-++=-.同理，()()222221,2MN a a NP a =-+=-.故四边形MNPQ 为平行四边形，且2226a⎤-=⎥⎦.解得a =.29．（2019·全国·高三竞赛）已知()()1ln 1x f x x++=,()g 1kx x =+.求最大的正整数k ,使得对任意的正数c ,存在实数a ?b 、满足1a b c -<<<,且()()()f c f g b α==. 【答案】3 【解析】【详解】对于正整数k ,显然,()kx 1g x =+在区间(1,+ ∞)上为减函数. 于是,对任意的正数c ,()()()f c g b g c =>. 当0x >时,不等式()()()()11ln 1x x f x g x k x⎡⎤+++⎣⎦>⇔<①令()()()()11ln 10x x h x x x⎡⎤+++⎣⎦=>,则()()21ln 1x x h x x --+'=. 令()()()1ln 10x x x x ϕ=--+>,则()01xx x ϕ'=>+. 故()x ϕ在0x >时为增函数.又()21ln30,ϕ=-< ()32ln40ϕ=->,因此,存在唯一的正实数吨,有()()0001ln 10x x x ϕ=--+=. ② 于是,()0'0h x = ,且()02,3x ∈.故当()00,x x ∈时,()'0h x < ,()h x 为减函数；当()0,x x ∈+∞时,()'0h x > , ()h x 为增函数. 因此,当0x >时,结合式②有()h x 的最小值为()()0013,4h x x =+∈. 结合式①有正整数,3k ≤. ③ 下面证明：当3k =时,对10x <<,有()()f x g x <. ④ 当10x <<时, ()()()()121ln 10f x g x x x x ⇔-+++.令()()()121ln 1x x x x τ=-+++,其中,10x <<.则()()'ln 110x x τ=+-<. 故()()10x x τ-<<为减函数.于是,()()00x ττ>＞. 因此,式④成立. 注意到,()()()k1,x 1g x x =∈+∞+的值域为(0,+∞),()()()()110,ln x f x x x++=∈+∞的值域也为(0,+ ∞),()()()()111,0ln x f x x x++=∈-的值域为R.结合函数的图像,知对任意的正数c ,存在实数a b 、满足1a b c -<<<,且()()()f c f a g b ==. 综上,正整数k 的最大值为3.30．（2019·全国·高三竞赛）已知()()0lim 01x f x f →==，()()22f x f x x -=对任意实数x 成立．求()f x 的解析式．【答案】()213x f x =+【解析】【详解】当0x ≠时，()2121,2,,222k k k x x xf f k n -⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．将这n 个等式相加得()2111441214nn x f x f x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=⋅ ⎪⎝⎭-．令n →∞，知()012n x f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．上式右边23x =．故()()2103x f x x =+≠．又()01f =也满足条件，因此，()213x f x =+． 31．（2019·全国·高三竞赛）已知各项均不小于1的数列{}n a 满足：11a =，21a =，2211121n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）limnn a n→+∞的值. 【答案】（1）1nn k a ==；（2）23【解析】【详解】（1）令211n n n a b a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.则112n n b b -+=且112b =. 由此，223b =，334b =，….观察知1n nb n =+. 下面用数学归纳法证明. 当1,2,3n =时，结论显然成立.设n k =时，结论成立，证明1n k =+时结论亦成立. 由1k k b k =+，知11122k k k b b k ++==-+. 因此，1n nb n =+对一切正整数n 成立. 由此得()22111n n n a a n +-=+. 由1n a ≥，知11n n a +=+.令n n c，则1n n c c +=11c =.故121nn n n k c c c --====⋅⋅⋅=从而，1nn k a ==（2）注意到1nnk k ==>12nk k==∑12n k =⎛=- ⎝（阿贝尔公式），故12233nk =>>23n a n >. 从而，2lim3n n a n →+∞≥.类似地，由于1nnk k ==12nk k==∑ (121nk n =⎡=+⎢⎣，故1nk =<2113n a n n ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 所以，212lim 1lim 33n n n a n n →+∞→+∞⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭. 综上，2lim3n n a n →+∞=.32．（2019·全国·高三竞赛）已知a R +∈，方程222ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有唯一解.求a 的值. 【答案】12a = 【解析】【详解】设函数()222ln f x x ax a x =--.则()()22222a f x x a x ax a x x-=-'=--. 令()0f x '=，即20x ax a --=.解得10x =<（舍去），2x =当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 故()f x 在2x x =时取到最小值()2f x .由()0f x =有唯一解知()20f x =，即2222222220,0.x ax alnx x ax a ⎧--=⎨--=⎩. 于是，222ln 0a x ax a +-=. 由0a >，知222ln 10x x +-=.当0x >时，函数()2ln 1g x x x =+-严格递增，又()10g =，从而，21x =. 由此可解得12a =. 33．（2019·全国·高三竞赛）设10a a =＞，对2n ≥，有()111n n i i a a -==+∏.求常数1a ，使对一切正整数n 有11112011nk k a =+∑＜，而对任何12011c ＜，都存在正整数n ，使111nk kc a ＞=+∑. 【答案】4021.a = 【解析】【详解】由题设得()112n nn a a n a +=+≥，即()11111=.11n n n n n a a a a a +=-++从而，()1111=2.1n n n n a a a +-≥+则1212111111111212.11111nni i i i i n n a a a a a a a a a a ==+-+⎛⎫=+-=+-=- ⎪+++++⎝⎭∑∑＜由数学归纳法知，对2n ≥有()111 1.n n i i a a ＞-==+∏所以，1212lim .11n n a a a →∞+⎛⎫-= ⎪++⎝⎭故对任何21c a +＜，都存在正整数n ，使121.1n c a a +-+＞依题意得21=.12011a +因此，4021.a = 34．（2019·全国·高三竞赛）给定正整数()3n n ≥，··1.002n na ⎛⎫= ⎪⎝⎭（即n a 等于n 进制表示为··1.002的数）.试求334341111lim n n n a a a a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭的值. 【答案】67【解析】【详解】根据题意知32··33363233211221111.002111111111n n n n n n n a n n n n n n n n+++-+==+++⋅⋅⋅=+===⋅--++-- 注意到()()221111n n n n -+=-+-+.则()()23423111111nn k k k k a a a k k k =⎡⎤-+-++⋅⋅⋅=⋅⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦∏ ()()()22112217231611n n n n n n n n ++++=⋅=⋅⨯++++.故()34161611117171n a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪⋅⋅⋅+-⎝⎭⎢⎥⎣⎦.于是，有33343411111611lim lim 171n n n k n n a a a a a a n k k →∞→∞=⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⋅+- ⎪ ⎪⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭∑ ()61116lim 27317n n n n →∞⎡⎤=⋅-+-=⎢⎥-⎣⎦. 35．（2019·全国·高三竞赛）求最小的实数A ，使得对每个满足条件()()101f x x ≤≤≤的二次三项式()f x ，适合不等式()0f A '≤．【答案】8【解析】【详解】设二次三项式为()()20f x ax bx c a =++≠.由题意知()01f ≤，112f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()11f ≤.注意到()0f c =， 1242a bf c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ()1f a b c =++，()()04342a b f b c a b c c ⎛⎫==++-+⎝'+- ⎪⎭.则()()()10413041382f f f f ⎛⎫≤++≤++= ⎪⎝⎭'.因此，8A ≤.又()2881f x x x =-+-，当01x ≤≤时，()1f x ≤，()168f x x '=-+，()08f '=. 于是，8A ≥.所以8A =.36．（2019·全国·高三竞赛）已知()222af x x x x=-+，其中，常数(]0,4a ∈．求所有的实数k ，使对任意1x 、2x R +∈，恒有()()1212f x f x k x x -≥-．【答案】3,2108a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【详解】当12x x =时，k 任意．当12x x ≠时，不等式化为()()1212f x f x k x x -≥-．由于()()()121222121212121222f x f x a a x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=---+-⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎣⎦()122212121212222x x a ax x x x x x +=+->331212122108108a a ax x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭331222108108a a a x x ⎛⎫≥-+=- ⎪⎝⎭，由()()312122108f x f x a x x ->--．当12x x ≠，且都趋向于6a时，有()()312122108f x f x a x x -→--．于是，所求k 的集合是3,2108a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．37．（2019·全国·高三竞赛）设k 是一个给定的非零实数,在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为x y ≠且22x y k x k y=-+,点(),A k k . (1)设P 是1C 上的任意一点,试求线段AP 的中点Q 的轨迹2C 的方程并指出曲线2C 的类型和位置;(2)求出1C 、2C 在它们的交点B 处的各自切线之间的夹角θ(锐角)(用反三角函数式表示) 【答案】（1）见解析；（2）108arctan 145θ= 【解析】【详解】（1）22x y k x k y=-+ ()()22x k y y k x ⇔+=-（x k ≠且y k ≠-） ()()()x y y x k x y xy ⇔+-=+()y x k xy ⇔-=（由x y ≠，得0x y +≠） ()y k x kx ⇔-=2kx k y k k x k x⇔==-+--()()2x k y k k ⇔-+=-（0x ≠且2x k ≠）.故曲线1C 是在一条等轴双曲线()()2x k y k k -+=-上挖去点（0，0）和()2,2k k -所得的曲线.设PA 的中点为(),Q X Y ，则,22x k y kX Y ++==. 从而，2,2x X k y Y k =-=-. 代入方程()()2x k y k k -+=-得()22k X k Y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2k X ≠且32X k ≠）.因此，Q 的轨迹2C 的方程为()22k x k y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2k x ≠且32x k ≠）. 它的中心点为(),0k ，渐近线为x k =及0y =，即2C 是在一条等轴双曲线上挖去点,22k k ⎛⎫⎪⎝⎭和3,22k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭所得的曲线.（2）联立方程组()()()22 2k x k y x k y k k ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-+=-⎩，①，② ②÷①得4y ky+=. 解得13y k =，代入式②得4k x =. 故1C 与2C 的交点为,43k k B ⎛⎫⎪⎝⎭.对()22k x k y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的两边求关于x 的导数得()0dy x k y dx -+=，即4394kdy y k dx x k k =-=-=--.再对()()2x k y k k -+=-的两边求关于x 的导数得()0dyx k y k dx-++=，即16394k kdy y k k dx x k k ++=-=-=--.1C 与2C 在焦点B 处的各自的切线的夹角（锐角）的正切值为16491210899tan 1648164145199θ-⨯===++⨯. 故108arctan145θ=. 38．（2019·全国·高三竞赛）已知函数()()()3212213233f x x a x a a x =-++++，其中，a 为实数．（1）当函数()y f x '=的图像在()0,6上与x 轴有唯一的公共点时，求实数a 的取值范围；（2）当1a =-时，求函数()y f x =在[]0,6上的最大值与最小值．【答案】（1）20a -<≤，或1a =，或24a ≤<；（2）最大值为2903，最小值为1-【解析】【详解】由已知有()()()222132f x x a x a a =-+++'．（1）由函数()y f x ='的图像与x 轴公共点的横坐标是二次方程()()2221320x a x a a -+++=的实数根得122,3x a x a =+=．下面分三种情形讨论．（i ）当12x x =时，有231a a a +=⇒=．进而，123x x ==是函数()y f x ='的图像在()0,6上与x 轴的唯一公共点，故1a =为所求．（ii ）当12x x >时，有231a a a +>⇒<．进而，213x x <<．又由函数()y f x ='的图像在()0,6上与x 轴有唯一的公共点，得2103x x ≤<<，即3023a a ≤<+<．解得20a -<≤．（iii ）当12x x <时，有21a a a +⇒．进而，213x x >>．又由函数()y f x ='的图像在()0,6上与x 轴有唯一的公共点，得1236x x <≤，即3263a a <+<≤．解得24a ≤<．所以，实数a 的取值范围为20a -<≤，或1a =，或24a ≤<．（2）当1a =-时，有()3212333f x x x x =+-+，且()2230f x x x =+-='的两个根为121,3x x ==-，只有11x =在[]0,6上．则()f x 在[]0,1上单调递减，在[]1,6上单调递增，且()()()220,11,69033f f f ==-=．因此，函数()y f x =在[]0,6上的最大值为2903，最小值为1-．39．（2019·全国·高三竞赛）已知抛物线24y x =上的动点P ，及焦点()1,0F ．求OPF ∆的内切圆半径r 的最大值．【答案】max r =【解析】【详解】由对称性，不妨设(),04y P y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭.易知，2OPF yS ∆=，且21,1,4yOF PF OP ==+故()1224OPF OF PF OP y f y r S y ∆++==+=. 则()221818'11044f y t t y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛ =-=-+=> ⎪ ⎝⎝⎭⎝由10t -=，解得32t =.此时，y =从而'0f =⎝⎭，且()'f y 在()0,+∞上单调递增.故()f y在y =.所以，max r =40．（2019·全国·高三竞赛）设1=x a ，2=x b ，()12=1,2,2n n n x x x c n ++++=⋅⋅⋅，其中，a 、b 、c 为给定的实数．（1）求n x 的表达式．（2）问：当c 为何值时，极限+lim n n x →∞存在？如果存在，请求出其值．【答案】（1）1=x a ，2=x b ，3+3112=,=1++23322232nn a b c a b a bx c x cn c ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中，0,1,2,n =⋅⋅⋅，（2）23a b+ 【解析】【详解】(1)由题给条件得n n+1n+2+=+2x x x c ，n+1n+2n+3+=+2x xx c ，则n+2n n+3n+2=2x x x x --，()()n+2n+1n+1n +=2x x x x -- 令n+1n n y x x =-，则n+1n+22n y y y +=① 其中，121=y x x b a =--，212322+=++222x x a b a by x x c x c b c +-=--=+-= 由式①得n+1n n n+1+2+1+122n n n y y y y y y y +--=-= ()()2n+1n n n 11122y y y y -⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()211==2ny y ⎛⎫⋅⋅⋅-- ⎪⎝⎭1=22na b c b a -⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13=+22nc a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()()()+2+2+1n+1n 322=+n n n y y y y y y y y --+⋅⋅⋅+-+()1231111=222222n n a b c a b c -⎡⎤-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-+⋅⋅⋅+-+-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()11132=+122212na b c a b c ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎡⎤⎝⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝⎭()312=1+322n c a b a b c ⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤-⎛⎫⎣⎦--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12=32223n c a b c ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中，()2121,n n L L +- 故+3+212=32223nn n c a b x x c ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1+2+112=32223n n n c a b x x c -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……4312=32223c a b x x c ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭将以上n 个式子相加得+3311212=13322212nn c a b x x cn ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-++--+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭211=1332232n c a b cn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故+3112=1++3322232nn c a b a bx cn c ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭② 其中，()2121,n n L L +-，同时对0n =也成立.另外，1=x a ，2=x b ，3=2a bx c ++ （2）由式②知，若0c ≠，则+lim n n x →∞=∞ 若0c =，则+12lim 3223n n a b a b a bx →∞-++⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此，当且仅当0c =时，+lim n n x →∞存在，且+2lim 3n n a b x →∞+= 41．（2019·全国·高三竞赛）设函数()32f x ax bx cx d =+++的图像T 上有两个极值点P 、Q ，其中，P 为坐标原点.（1）当点Q(1，2)时，求f(x)解析式；（2）当点Q 在圆()()22:231C x y -+-=上时，求曲线T 的切线斜率的最大值.【答案】（1）()3246f x x x =-+；（2）3【解析】【详解】因为()32f x ax bx d =++，所以，()232f x ax bx c =++.因图像T 上有一极值点P 为坐标原点，所以()00f '=，且()00f =.故c=d=0. （1）当点Q(1，2)时，由()10f '=与()12f =，得3a+2b=0，a+b=2.解得a=-4，b=6.此时，()3246f x x x =-+.（2）因为()232f x ax bx '=+，且由题意点Q 在圆C 上知a<0，所以，曲线T 的切线斜率k的最大值为()f x '的最大值，即2max3b k a=-.设点(),Q m n ，则()0f m '=，且()f m n =. 2320am bm ⇒+=，且32am bm n +=.233,2b m n b a m ⇒=-= 2max 3·32b n k a m ⇒=-= 因为nm 表示过原点且圆C 有公共点的直线的斜率，而过原点且与圆C 有公共点的直线斜率的最大值为2所以2max3·32b nk a m=-=322323⎛+= ⎝⎭故曲线T 的切线斜率最大值为342．（2019·四川·高三竞赛）已知函数f (x )=xlnx －ax 2，a ∈R . （1）证明：当1<x <3时，22()21(3)e ex f x ax x x +-+>-；（2）设函数F (x )=|f (x )|(x ∈[1，e ])有极小值，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）10e a <<或11e 2a << 【解析】【详解】（1）设2()()2ln 2g x f x ax x x x x =+-+=-+，则()ln g x x '=.当1<x <3时，g '(x )>0，因此，g (x )在(1，3)上单调递增，所以，()(1)1g x g >=；设()(3)e x h x x =-，则()(2)e x h x x '=-. 当1<x <2时，h '(x )>0；当2<x <3时，h '(x )<0因此，h (x )在(1，2)上单调递增，在(2，3)上单调递减.。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：导数与极限

高中数学竞赛与强基计划试题专题：导数与极限一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）一个人以匀速6m s 去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m 时，交通灯由红变绿，汽车以21m s 的加速度匀加速开走，那么（）．A ．人可在7s 内追上汽车B ．人可在10s 内追上汽车C ．人追不上汽车，其间最近距离为5mD ．人追不上汽车，其间最近距离为7m2．（2022·全国·高三专题练习）设()E x 是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（）A ．()()()()ln ln E X X E X E X +>+B ．()()()()22ln ln E X X E X E X >C ．()()()()sin sin E X X E X E X +>+D ．()()22(sin )()sin E X X E X E X >二、填空题3．（2021·上海·统考模拟预测）lim x =______4．（2019·全国·高三竞赛）函数sin cos 0,1cos 2y ααπαα⎛⎫⋅⎛⎫=∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的最大值是______.5．（2018·全国·高三竞赛）对01x <<，若复数z =n 个在单位圆上，则n =______．6．（2018·全国·高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为m 、n 、p .则函数322132n y mx x px =--+在[)1,+∞上为增函数的概率为______.7．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()()sin cos xf x e x x =+，其中，20112013,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()f x 图像的切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x .则数列{}n x 的所有项之和S 的值为______.8．（2021·全国·高三竞赛）若数列{}n a 是首项不为零的等差数列，则12212lim n n nn na a a a a a ++→∞+++=+++ ___________.9．（2022·江苏南京·高三强基计划）设0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数2sin cos y x x =的最大值为___________.10．（2022·浙江·高二竞赛）已知函数axy e b -=+在()()0,0f 处的切线方程为32xy =-，则+=a b ______.11．（2019·全国·高三竞赛）已知过点()0,2的直线l 与曲线()1:0C y x x x=+>交于两不同的点M 、N .则曲线C 在M 、N 处切线交点的轨迹为______.12．（2019·全国·高三竞赛）设1a >．则当x y a =与log a y x =两个函数图像相切时，ln ln a =______．13．（2019·全国·高三竞赛）设函数()()()22log log f x x x a x a x =+--的图像关于直线12x =对称.则对满足411ii x==∑的任意实数()()0,114i x i ∈≤≤，421log i i i s x x ==∑的最小值为__________．14．（2019·全国·高三竞赛）满足1201411112014n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的整数n=__________．15．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()f x 的导函数()f x '连续,且()00,f =()0f a '=.记曲线()y f x =与(),0P t 最近的点为()(),f Q s s .则0lim t st→=______.16．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知直线2y ax =+与三次曲线3y x ax =-有三个不同交点，则a 的取值范围为___________.17．（2021·浙江·高三竞赛）若1122ln ln x x x x =，12x x <，(1252k x x =++，Z k ∈，则k =______.三、解答题18．（2021·全国·高三竞赛）已知三次函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =-+++∈，满足对任意[]2,2x ∈-都有|()|2f x ≤，求a b c 、、的所有可能值.19．（2023·全国·高三专题练习）求下列极限：(1)21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)121001lime x x x -→；(3)()()220ln 1ln 1limsec cos x x x x x x x→+++-+-．20．（2019·全国·高三竞赛）已知()()1ln 1x f x x++=,()g 1kx x =+.求最大的正整数k ,使得对任意的正数c ,存在实数a b 、满足1a b c -<<<,且()()()f c f g b α==.21．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）已知函数()()3223632022f x x ax a x a =++-+.若()f x 是区间[]22-,上的单调增函数，求实数a 的取值范围.22．（2019·全国·高三竞赛）在锐角△ABC 中，证明:()111sin sin sin sin sin sin A B C A B C ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111A B C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭.23．（2018·全国·高三竞赛）已知实数x 、y 满足244x y x y x +=+.试求88x y U =+的取值范围.24．（2019·全国·高三竞赛）已知函数()()2221f x x ax g x x =-=--与，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a 的值.25．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c abλ+-的最大值.26．（2023·全国·高三专题练习）设函数()2e xf x b cx ax =-+-，(1)若()00f =，()11ef a -=-（a 为常数），求()f x 的解析式；(2)在（1）条件下，若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．27．（2019·江苏·高三校联考竞赛）证明：对任意x ∈(－∞，0)∪(0，+∞)，211max{0,ln ||}||1ln 22x x x -+，且等号成立的充要条件是x =28．（2018·全国·高三竞赛）已知正实数a 、b 满足22141a b+≤，22215a b +≤．求a b +的取值范围．29．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()3211, ,1121371, 0,362x x x f x x x ⎧⎛⎤+∈⎪ ⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩．记函数()f x 的值域为A ，且实数a 、b 、c A Î．证明：4abc ab bc ca +≥++．30．（2018·全国·高三竞赛）记[]x 表示不超过实数x 的最大整数．证明：（1）方程[][]3223x x x x +=+的解为整数；（2）方程3232x x x x ⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎣⎦有非整数解．高中数学竞赛与强基计划试题专题：导数与极限答案一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）一个人以匀速6m s 去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m 时，交通灯由红变绿，汽车以21m s 的加速度匀加速开走，那么（）．A ．人可在7s 内追上汽车B ．人可在10s 内追上汽车C ．人追不上汽车，其间最近距离为5mD ．人追不上汽车，其间最近距离为7m【答案】D【详解】如图，设汽车在点C 开始运动，此时人通过点A ．经过t 秒后，汽车到达D 点，有路程212CD at =；人此时追到点B ，有路程AB vt =．依题意两者的距离是()22211125625677222S AC CD AB at vt t t t =+-=+-=-+=-+≥．可见，人不能追上汽车，他与汽车最近距离是在汽车开动6s 后的瞬间，两者距离为7m ．2．（2022·全国·高三专题练习）设()E x 是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（）A ．()()()()ln ln E X X E X E X +>+B ．()()()()22ln ln E X X E X E X >C ．()()()()sin sin E X X E X E X +>+D ．()()22(sin )()sin E X X E X E X >【答案】A【分析】根据各选项的期望，分别判断ln y x x =+、2ln y x x =、sin y x x =+、2sin y x x =在定义域内是否存在下凹区间即可.【详解】A ：由ln y x x =+且定义域为(0,)+∞，则11y x '=+，210y x''=-<，即y 为上凸函数，有11221212ln ln ln 222x x x x x x x x+++++<+，所以()()()()ln ln E X X E X E X +<+；B ：由2ln y x x =且定义域为(0,)+∞，则2ln y x x x '=+，2ln 3y x ''=+，显然32(e ,)-+∞上0y ''>，即y 在32(e ,)-+∞为下凹函数，22211221212ln ln ()ln 222x x x x x x x x +++>，所以存在()()()()22ln ln E X X E X E X >；C ：由sin y x x =+，则1cos y x '=+，sin y x ''=-，显然在[(21),2]k k ππ-，Z k ∈上0y ''>，即y 在[(21),2]k k ππ-，Z k ∈为下凹函数，有11221212sin sin sin 222x x x x x x x x+++++>+，所以存在()()()()sin sin E X X E X E X +>+；D ：由2sin y x x =，则22sin cos y x x x x '=+，2(2)sin 4cos y x x x x ''=-+，显然存在(0,)2π上0y ''>，即y 在(0,)2π为下凹函数，有22211221212sin sin ()sin 222x x x x x x x x +++>，所以存在()()22(sin )()sin E X X E X E X >.【点睛】关键点点睛：利用函数二阶导数的几何意义判断各选项对应函数定义域内是否存在下凹区间即可.二、填空题3．（2021·上海·统考模拟预测）lim x =______【答案】【分析】把分子分母都放在根号下，再同时除以2n 即可.【详解】lim x =xx 4．（2019·全国·高三竞赛）函数sin cos 0,1cos 2y ααπαα⎛⎫⋅⎛⎫=∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的最大值是______.【详解】设cos 0,2x παα⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()0,1x ∈.由y =2y '=令0y '=.解得x=.故max y =5．（2018·全国·高三竞赛）对01x <<，若复数z =n 个在单位圆上，则n =______．【答案】1【详解】由点在单位圆上有()sin 101x x x +=<<．作函数()(()sin 10,1x x x x ϕ=+-∈．由()()()1cos 00,1x x x ϕ=->∈'，知()x ϕ为严格递增函数．又()()010,1sin10ϕϕ=-=，故方程sin 1x x +=在()0,1内恰有一个实根．因此，1n =．6．（2018·全国·高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为m 、n 、p .则函数322132n y mx x px =--+在[)1,+∞上为增函数的概率为______.【答案】1124【详解】注意到，()322 132n f x mx x px =--+在[)1,+∞上为增函数等价于()220f x mx nx p =-->'在[)1,+∞上恒成立，等价于()10f '>，即2m n p >+.当2m =时，3n p +≤，有3种；当3m =时，5n p +≤，有10种；当4m =时，7n p +≤，有21种；当5m =时，9n p +≤，有30种；当6m =时，11n p +≤，有35种.故所求概率为331021303511624++++=.7．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()()sin cos xf x e x x =+，其中，20112013,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()f x 图像的切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x .则数列{}n x 的所有项之和S 的值为______.【答案】1006π【详解】设切点坐标为()()0000,sin cos xx e x x +.则切线方程为()()000000sin cos 2cos xxy e x x e x x x -+=⋅-.将点1,02M π-⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入切线方程得()0000001sin cos 2cos 2x x e x x e x x π-⎛⎫-+=⋅- ⎪⎝⎭001tan 122x x π-⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭00tan 22x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭.令tan t y x =，222y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.则这两个函数的图像均关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，其交点的横坐标也关于2x π=对称成对出现，方程20112013tan 2,222x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的根，即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{}n x 的项也关于α对称成对出现，在20112013,22ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内共构成1006对，每对的和均为π.因此，数列{}n x 的所有项的和1006S π=.8．（2021·全国·高三竞赛）若数列{}n a 是首项不为零的等差数列，则12212lim n n nn na a a a a a ++→∞+++=+++ ___________.【答案】1或3##3或1.【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1222212lim lim 1lim n n n n n n n n n n n nS S a a a a a S S Sa ++→∞→∞→∞+++==-+++-+ ，若{}n a 为常数列，则22lim 11nn nn S S S →∞-=-+=；若{}n a 不为常数列，则()()1221lim 1lim 1221222i 1l m3n n n n n n n nn a d S n SS S d S a →∞→∞→∞=-+=-+-⨯--+⨯=+，9．（2022·江苏南京·高三强基计划）设0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数2sin cos y x x =的最大值为___________.【详解】23sin cos cos cos y x x x x ==-+，令()cos 0,1t x =∈，所以3y t t =-+，231y t '=-+，则t ⎛∈ ⎝⎭时，0y >'；t ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，0'<y ，所以3y t t =-+在⎛ ⎝⎭上增，⎫⎪⎪⎝⎭上减，3max339y ⎛=-+= ⎝⎭，10．（2022·浙江·高二竞赛）已知函数axy e b -=+在()()0,0f 处的切线方程为32xy =-，则+=a b ______.【答案】1-【详解】由函数的解析式可得()32112axy ae x -'-=--+，则013'|22x y a ==--=-，解得1a =-，当0x =时，3=02xy =-，即切点坐标为()0,0，故00a eb -⨯=，解得2b =-，1a b ∴+=-.11．（2019·全国·高三竞赛）已知过点()0,2的直线l 与曲线()1:0C y x x x=+>交于两不同的点M 、N .则曲线C 在M 、N 处切线交点的轨迹为______.【答案】1x =，12y <<.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，点M 、N 处的切线为1l 、2l ，交点坐标为(),p p P x y ，直线l 的方程为2y kx =+.由()()21,1210441002y x k x x k k x y kx ⎧=+⎪⇒-+-=⇒∆=+->⇒>⎨⎪=+⎩.而12201x x k +=>-，1210011x x k k=>⇒<<-.易知1l 的方程为()112211111211y y x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.同理，222212:1l y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故12x x ≠，121221p x x x x x ==+.又221212111112222122p p p p y x kx k y x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+++=-+=-⇒<<⎨⎬⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭.故所求交点的轨迹为1x =，12y <<.12．（2019·全国·高三竞赛）设1a >．则当x y a =与log a y x =两个函数图像相切时，ln ln a =______．【答案】1-【详解】因为两个函数互为反函数，且关于直线y x =对称，所以，相切时切点在y x =上．设切点为()00,x y ．则00x x a =，①0ln 1x a a =．②将式①代入式②得0ln 1x a =，即0ln 1x a =．③再将式①代入式③得00ln 1x x e =⇒=．故1ln lnln 1a a e=⇒=-．13．（2019·全国·高三竞赛）设函数()()()22log log f x x x a x a x =+--的图像关于直线12x =对称.则对满足411ii x==∑的任意实数()()0,114i x i ∈≤≤，421log i i i s x x ==∑的最小值为__________．【答案】2-【详解】由题意，知定义区间()0,a 的中点为12.于是，1a =.则()()()22log 1log 1f x x x x x =+--()2'log 1xf x x⇒=-令()'0f x =，得12x =.由对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()'0f x <，及对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()'0f x >知()min 112f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭记()120,1x x x +=∈则()3410,1x x x +=-∈①由121x x x x +=，得1122122log log 1x x x x x f x x x x x ⎛⎫+=≥- ⎪⎝⎭即1212222log log log x x x x x x x +≥-+.类似地，由式①得()()()3234242log log 11log 1x x x x x x x +≥--+--.两式相加得()421log 12i i i x x f x =≥-+≥-∑.当123414x x x x ====时，上式等号成立.故min 2S =-.14．（2019·全国·高三竞赛）满足1201411112014n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的整数n=__________．【答案】2015-【详解】注意到，对任意的()1,x ∈-+∞有()ln 11xx x x≤+≤+则()()1110x f x x x +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与()()110xg x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的导函数分别为()1111'1ln 10x f x x x x +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-< ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()111'1ln 101xg x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故()f x 在区间()0,+∞上递减，()g x 在区间()0,+∞上递增.且对任意的()0,x ∈+∞有()()f x e g x >>.从而，对任意的m 、n Z +∈有11111n me n m +⎛⎫⎛⎫+>>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因此，满足1201411112014n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的整数n 必为负数.记()n k k Z +=-∈，代入题设等式得20141111111120141k k k k -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故12014k -=，2015n k =-=-.15．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()f x 的导函数()f x '连续,且()00,f =()0f a '=.记曲线()y f x =与(),0P t 最近的点为()(),f Q s s .则0lim t st→=______.【答案】211a +【详解】记()()222y PQ x t f x ==-+.则()()()'22'y x t f x f x =-+.由已知得()()()22'0s t f s f s -+=.则()()()()'11f s f s f s s s f s t t t s =-='-⋅.①记0lim t s A t →=.而()()s 0lim 0f s f a s→'==，故()s 0lim f s a →'=.对式①两边取极限得2220111lim 11t s A a A A a t a →=-⇒=⇒=++16．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知直线2y ax =+与三次曲线3y x ax =-有三个不同交点，则a 的取值范围为___________.【答案】3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】依题意得：32ax x ax +=-,即322x ax =+有三个不同解,考虑22y ax =+与3y x =相切于()00,P x y ,则300020=-1=2+23=2=32x x ax a a x ⇒⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩,结合图象可知：3,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.17．（2021·浙江·高三竞赛）若1122ln ln x x x x =，12x x <，(1252k x x =++，Z k ∈，则k =______.【答案】3【详解】解析:由题意知设2222,ln 2ln t x t y t t t t ====,问题转化为:若22112212ln ln ,t t t t t t =<,求()()22212121255222k t t t t t t =++=+,即2ln y t t =与y a =的图象的两个公共点的横坐标设为12,t t 求12t t +的范围;如图所示，易知12t t ⎛+∈ ⎝,所以510,2k e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,所以3k =.三、解答题18．（2021·全国·高三竞赛）已知三次函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =-+++∈，满足对任意[]2,2x ∈-都有|()|2f x ≤，求a b c 、、的所有可能值.【答案】0,3a c b ===.【详解】由题意得：2(2)8422,2(2)8422,2(1)12,2(1)12,f a b c f a b c f a b c f a b c -≤=-+++≤⎧⎪-≤-=+-+≤⎪⎨-≤=-+++≤⎪⎪-≤-=+-+≤⎩①②③④由,--①②③④得：41644,4224,b b -≤-+≤⎧⎨-≤-+≤⎩即35,13,b b ≤≤⎧⎨-≤≤⎩所以3b =.将3b =代入①，②，③，④得：044,440,40,0.40,0,04,a c a c a c a c a c a c a c ≤+≤⎧⎪-≤+≤+=⎧⎪⇒⇒==⎨⎨-≤+≤+=⎩⎪⎪≤+≤⎩下面证明3()3f x x x =-+符合题意，由2()333(1)(1)f x x x x =-+=-+-'，令()()011,01f x x f x x '>⇒-<<'<⇒<-或1x >，所以()f x 在[][]2,1,1,2--单调递减；在[]1,1-单调递增，且()()()()22,12,12,22f f f f -=-=-==-，所以3()3f x x x =-+符合题意，a b c 、、的所有可能值为0,3a c b ===.19．（2023·全国·高三专题练习）求下列极限：(1)21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)1210001lim e x x x-→；(3)()()220ln 1ln 1limsec cos x x x x x x x→+++-+-．【答案】(1)12-(2)0(3)1【分析】（1）先将题给代数式转化为0型分式，再利用洛必达法则即可求得其值；（2）先将题给代数式转化为∞∞型分式，再利用洛必达法则即可求得其值；（3）利用已知重要极限和洛必达法则即可求得其值.【详解】（1）令1t x=，则21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()2200ln 111lim ln 1lim t t t t t t t t →→+-⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦由洛必达法则可得，()2ln 1limt t tt →+-()()00011111=lim lim lim 221212t t t t t t t t t →→→---+===-++则211lim ln 12x x x x →∞⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）令21t x =，则1210001lim e x x x -→5050lim e lim e ttt t t t -→+∞→+∞==由洛必达法则可得，50lim e t t t →+∞=4950lim et t t →+∞.继续用洛必达法则可得，4950lim e t t t →+∞50!lim 0e t t →+∞===L .则1210001lim e x x x-→=0（3）()()220ln 1ln 1limsec cos x x x x x x x→+++-+-()2220ln 1lim sec cos x x x x x→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-()240ln 1lim sec cos x x x x x →++=-又0u →时，()ln 1u u +~，则()24240ln 1limlimsec cos sec cos x x x x x x x xx x →→+++=--由洛必达法则可得，240lim sec cos x x x x x →+=-()3024lim sec tan sin x x x x x x →+--22024lim 1sin sec 1x x x x x →⎡⎤+=⋅=⎢⎥+⎣⎦．则()()220ln 1ln 1lim1sec cos x x x x x x x→+++-+=-20．（2019·全国·高三竞赛）已知()()1ln 1x f x x++=,()g 1kx x =+.求最大的正整数k ,使得对任意的正数c ,存在实数a b 、满足1a b c -<<<,且()()()f c f g b α==.【答案】3【详解】对于正整数k ,显然,()kx 1g x =+在区间(1,+∞)上为减函数.于是,对任意的正数c ,()()()f c g b g c =>.当0x >时,不等式()()()()11ln 1x x f x g x k x⎡⎤+++⎣⎦>⇔<①令()()()()11ln 10x x h x x x⎡⎤+++⎣⎦=>,则()()21ln 1x x h x x --+'=.令()()()1ln 10x x x x ϕ=--+>,则()01xx x ϕ'=>+.故()x ϕ在0x >时为增函数.又()21ln30,ϕ=-<()32ln40ϕ=->,因此,存在唯一的正实数吨,有()()0001ln 10x x x ϕ=--+=.②于是,()0'0h x =,且()02,3x ∈.故当()00,x x ∈时,()'0h x <,()h x 为减函数；当()0,x x ∈+∞时,()'0h x >,()h x 为增函数.因此,当0x >时,结合式②有()h x 的最小值为()()0013,4h x x =+∈.结合式①有正整数,3k ≤.③下面证明：当3k =时,对10x <<,有()()f x g x <.④当10x <<时,()()()()121ln 10f x g x x x x ⇔-+++.令()()()121ln 1x x x x τ=-+++,其中,10x <<.则()()'ln 110x x τ=+-<.故()()10x x τ-<<为减函数.于是,()()00x ττ>＞.因此,式④成立.注意到,()()()k1,x 1g x x =∈+∞+的值域为(0,+∞),()()()()110,ln x f x x x++=∈+∞的值域也为(0,+∞),()()()()111,0ln x f x x x++=∈-的值域为R.结合函数的图像,知对任意的正数c ,存在实数a b 、满足1a b c -<<<,且()()()f c f a g b ==.综上,正整数k 的最大值为3.21．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）已知函数()()3223632022f x x ax a x a =++-+.若()f x 是区间[]22-,上的单调增函数，求实数a 的取值范围.【答案】[]7,2-【详解】由()()323632022f x x ax a x a =++-+,则()()2=63'f x x ax a ++-，又()f x 在区间[]22-,上是单调递增,所以()'0f x ≥,即()223013x ax a a x x ++-≥⇔-+≥-在区间[]22-,上恒成立.如图所示，考虑过定点()13P ，的直线()13y a x =-+和抛物线2y x =-在[]22-,上的两个临界位置：当直线()13y a x =-+与抛物线2y x =-相切于A 点时,有()2Δ4302a a a --=⇒=（舍去负值）.当()13y a x =-+与拋物线2y x =-相交于()2,4B -点时,有()347.12PB a k --===--综上可得，实数a 的取值范围是[]7,2-.22．（2019·全国·高三竞赛）在锐角△ABC 中，证明:()111sin sin sin sin sin sin A B C A B C ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111A B C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭.【详解】不妨设A≥B≥C.由A B C π++=，知式①等价于222⎛⎛++ ⎝⎝222⎛⎛++ ⎝⎝ .记()sin x f x x =.则()sin cos 00,2x x x f x x x π⎛⎫-⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭ .故sin sin 1A B A B ⇒ .从而，22⎛⎝ .类似地，22⎛⎝22⎛ ⎝ .将这三式相加，便证明了原不等式.23．（2018·全国·高三竞赛）已知实数x 、y 满足244x y x y x +=+.试求88x y U =+的取值范围.【答案】(]1,2【详解】令2x a =，2y b =.则已知条件化为()220a b a b a b +=+>、.配方得2221122a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.①观察满足式①的(),a b 在直角坐标系aOb 中的图像，易知(]1,2t a b =+∈.又注意到，()()222222a b a b tt ab +-+-==.故()()2333332138833222xyt t U a b a b ab a b t t t t -=+=+=+-+=-⨯⋅=-+.记()321322f t t t =-+.则当(]1,2t ∈时，()()23332022f t t t t t =-+=-->'于是，()f t 在(]1,2t ∈上单调递增，易得当(]1,2t ∈时，()(]1,2f t ∈.综上，88x y U =+的取值范围为(]1,2.24．（2019·全国·高三竞赛）已知函数()()2221f x x ax g x x =-=--与，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a 的值.【答案】2a =±【详解】设函数f(x)与g(x)的一条公切线分别过切点()()()()1122,,,x f x x g x .则公切线方程为()()()()()()111222y f x f x x x g x g x x x '=-≡'++-.故()()12''f x g x =，且()()()()111222''f x f x x g x g x x -=-.注意到，()()'22,'2f x x a g x x=-=-221212,1x x a x x ⇒+=+=21212a x x -⇒=.两于是，12x x 、是方程22102a x ax --+=的两实根.由f(x)与g(x)有两条公切线，知f(x)与g(x)不相交.因此，12x x ≠.由22214·022a a a -∆=->⇒<.设四个切点坐标为()()()()()()()()11222211,,,,,,,M x f x N x f x P x g x Q x g x .则()()()2221212(PQ x x g x g x =-+-()()22212121221x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()2221a a =-+，()()11MQ f x g x =-222111212x ax x a =-++=-.同理，()()222221,2MN a a NP a =-+=-.故四边形MNPQ 为平行四边形，且2226a ⎤-=⎥⎦.解得2a =±即为所求.25．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c ab λ+-的最大值.【分析】解法一：设12x m λ=-，22x m λ=+，()30x m t t =+>，利用韦达定理可化简所求式子为解法二：由()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x +-=+-+-+-可令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，由此可化简所求式子为3922n n λλ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，令0n t λ=>，()()39202g t t t t =->，利用导数可求得()max g t ，即为所求式子的最大值.【详解】解法一：由题意可设：12x m λ=-，22x m λ=+，()31212x x x m >+= ，∴可令()30x m t t =+>，由韦达定理得：()()123221223312232123332444a x x x m t b x x x x x x m mt c x x x m m t m t λλλ⎧⎪=-++=-+⎪⎪=++=+-⎨⎪⎪=-=--++⎪⎩，则()323222327929292727244a ab a a b m m t m t t λλ-=-=+---，3222272727272744c m m t m t λλ=--++，则323332279942a c abt t λλλ+--=要取得最大值，则23940t t λ->，()3223322791942a c abt t λλλ+-=-2=（当且仅当222948tt λ-=，即2t λ=时取等号），又t =满足23940t t λ->，∴取0m =，2λ=，则t =，此时11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =时，3322792a c ab λ+-=，332279a c abλ+-∴的最大值为2.解法二：323227927273333a a a a a c ab a b c f⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()12312327333333a a a x x x a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------=------ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又123a x x x -=++，()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x ∴+-=+-+-+-，令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，322339227922224a c ab n n n n n λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233339222799422n n a c ab n n λλλλλ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅- ⎪⎝⎭；令0nt λ=>，则3332279922a c abt t λ+-=-，令()()39202g t t t t =->，则()2962g t t '=-，令()0g t'=，解得：t=，∴当0,2t ⎛∈ ⎝⎭时，()0gt '>；当t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g t '<；()g t ∴在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 2g t g ∴=-⎝⎭∴当2λ=，n =11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =3322792a c abλ+-=，332279a c abλ+-∴的最大值为2.26．（2023·全国·高三专题练习）设函数()2e xf x b cx ax =-+-，(1)若()00f =，()11ef a -=-（a 为常数），求()f x 的解析式；(2)在（1）条件下，若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】(1)()2e 1xf x x ax=---(2)12a ≤【分析】（1）根据()00f =，()11ef a -=-求解；（2）由（1）知0x =时，()000f =≥，此时，a ∈R ，将问题转化为2e 1x x a x --≤对0x >恒成立求解．【详解】（1）解：因为()00f =，()11ef a -=-，所以()010f b =-=，()111e ef b c a a -=---=-，解得1,1b c ==-，所以()2e 1x f x x ax =---；（2）由（1）可知，0x =时，()000f =≥，此时，a ∈R ；故0x ≥时，()0f x ≥成立0x ⇔>时，()0f x ≥成立，210x e x ax ⇔---≥对0x >恒成立，即2e 1x x a x --≤对0x >恒成立；记()2e 1x x h x x --=，则()3e 2e 2x x x x h x x -++'=，记()e 2e 2x x x x x ϕ=-++，则()e e 1x xx x ϕ'=-+，记()e e 1x xr x x =-+，则()e x r x x '=，∴当x >0时，()0r x '>，()x ϕ'在()0,∞+上单调递增；()()00x ϕϕ''>=，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增；()()00ϕϕ>=x ；∴()0,x ∈+∞时，()h x '>0，即()h x 在()0,∞+上单调递增；记()1x p x e x =--，()2q x x =，当0x →时，()0p x →，()0q x →符合洛必达法则条件，∴20000e 1e 1e 1lim ()lim lim lim 222x x x x x x x x h x x x →→→→---====，∴0x >时，()12h x >，∴12a ≤．【点睛】方法点睛：不等式()0f x ≥恒成立问题，往往通过()min 0f x ≥求解或转化为()min a g x ≤或()max a g x ≥求解.27．（2019·江苏·高三校联考竞赛）证明：对任意x ∈(－∞，0)∪(0，+∞)，211max{0,ln ||}||1ln 22x x x -+，且等号成立的充要条件是12x =±.【详解】设102a <<，令121||(),(,0)(0,)max{1,||}aa x x xg x x x ⋅-=∈-∞⋃+∞，则1()()a a a g g x g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因此，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，+∞)，有：12\{0}011||()max ()max ()max{1,||}aa a a y R y x x xg x g y g y x ∈<<⋅-== ①当0<y <1时，121()aa g y y y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1112221111()12aa a g y y y ay y y y y --'⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0a g y '=，得y =.由函数的单调性，得12401124max ()1212a aa a y a a g y g a a -<<-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭②由①②知，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，+∞)及任意102a <<，有：21ln ||ln 12a x a x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭12124ln ln max{0,ln ||}41212a a a a x a a --++++ .③在③式中，令a =211max{0,ln ||}||1ln 22x x x -+.此时，当x ==11x x x =-=-=从而，等号成立的充要条件是x =28．（2018·全国·高三竞赛）已知正实数a 、b 满足22141a b+≤，22215a b +≤．求a b +的取值范围．【答案】【详解】由2222215152a b a b +≤⇒≤-．由42222221414111130056152b b b a b b b+≤⇒+≤⇒-+≤⇒≤≤-．又22141a a b +≤⇒≥a b b +≥+．考虑函数()f x x在区间上的单调性，知()10f x '=<．于是，a b b +≥+当ba由a a b b ≤⇒+．考虑函数()g x x=在区间上的单调性，知()10g x =≤'．于是，a b b +≤≤．当b a ==综上，a b +的取值范围为．29．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()3211, ,1121371, 0,362x x x f x x x ⎧⎛⎤+∈⎪ ⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩．记函数()f x 的值域为A ，且实数a 、b 、c A Î．证明：4abc ab bc ca +≥++．【详解】注意到，当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，均有()()()()23322261246011x x x x x f x x x +-+==+'>+．于是，()f x 在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增．故当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()7,26f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减，()71,6f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．因此，当[]0,1x ∈时，()[]1,2f x ∈-．故[]1,2A =-．构造一次函数()()[]()41,2g x bc b c x bc x =---+∈-．21根据一次函数的单调性，只需证明()20g ≥和()10g -≥即可．而()()()()1914212122g bc b c bc b c -=----+=---+．因为21b -、[]213,3c -∈-，所以，()()21219b c --≤．从而，()10g -≥．又()()()()224220g bc b c bc b c =---+=--≥，故4abc ab bc ca +≥++．30．（2018·全国·高三竞赛）记[]x 表示不超过实数x 的最大整数．证明：（1）方程[][]3223x x x x +=+的解为整数；（2）方程3232x x x x ⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎣⎦有非整数解．【详解】（1）用反证法．若方程有非整数解x ，记[]x A =，{}x B =．则A Z ∈，()0,1B ∈．于是，原方程化为()2231320B A B A A +-+-=．则23210A A ∆=-++≥．解得113A -≤≤．故0A =或1．当1A =时，有1B =-，矛盾；当0A =时，有0B =或1，亦矛盾．因此，方程没有非整数解．而对于任意的x Z ∈，方程均成立，故该方程的解为整数．（2）设()321f x x x =--．则()()32f x x x '=-，()01f =-，203f ⎛⎫< ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的零点唯一，记为0x ．利用()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0x <<注意到，20f =-，30f =-．于是，0x ∈．从而，()303,4x ∈，()202,3x ∈．故32320000321x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-==-⎣⎦⎣⎦，即0x （非整数）为方程的解．。

高考数学一本策略复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语教案文

第一讲集合、常用逻辑用语年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷集合交集运算·T1本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷”考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题.Ⅱ卷集合交集运算·T2Ⅲ卷集合交集运算·T12017Ⅰ卷集合的交、并运算·T1Ⅱ卷集合的并集运算·T1Ⅲ卷求集合交集中元素个数·T12016Ⅰ卷集合的交集运算·T1Ⅱ卷集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1Ⅲ卷集合的补集运算·T1集合的概念及运算授课提示：对应学生用书第3页[悟通——方法结论]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．(1)(2018·南宁模拟)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：∵M ＝{x |x <4}，N ＝{x |0<x <2}，∴M ∪N ＝{x |x <4}＝M ，故选项A 正确；M ∪∁R N ＝R ≠M ，故选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x |0<x <2}∪{x |x ≥4}≠R ，故选项C 错误；M ∩N ＝{x |0<x <2}＝N ，故选项D 错误．故选A.答案：A(2)(2018·宜昌模拟)已知两个集合A ＝{x ∈R |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＋11－x≥0}，则A ∩B＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{－1,1}D ．∅解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x <1}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}．答案：B 【类题通法】破解集合运算需掌握2招第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn 图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算.[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A. 答案：A2．(2018·德州模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |y ＝4x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{－1,0,1,2}D ．{0,1,2}解析：由题意知，A ＝{x ∈Z |4x －x 2≥0}＝{x ∈Z |0≤x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{y |y >2}，则∁U B＝{y|y≤2}，则A∩(∁U B)＝{0,1,2}，故选D.答案：D3．(2018·枣庄模拟)已知集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，若A⊆B，则∁B A＝( ) A．{－2,0,2} B．{－2,0}C．{－2} D．{－2,2}解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁B A＝{－2}．答案：C命题及真假判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．2．“或”“且”联结词的否定形式“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．3．命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．[全练——快速解答]1．(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.答案：B2．给出下列3个命题：p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，a20－a0b0＋b20<0；p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k ∈Z)．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨(綈p 3) C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3解析：对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3为真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.答案：D3．命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________．答案：若xy ≠1，则x ，y 不互为倒数若xy ＝1，则x ，y 不互为倒数【类题通法】判断含有逻辑联结词命题真假的方法方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．充分、必要条件的判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．(1)“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2时，直线l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y ＋4＝0，所以直线l 1∥l 2；若l 1∥l 2，则－a (a ＋1)＋2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.所以“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．答案：A(2)(2018·南昌模拟)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m 与n 反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n ＝|m·n|，则m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝|m |·|n |·|cos 〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D 【类题通法】1．(2018·胶州模拟)设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1时，有x ＋y ≤2，但反之不成立，例如当x ＝3，y ＝－10时，满足x＋y ≤2，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件．所以“x ＋y >2”是“x ，y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．答案：B2．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q, 则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第107页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0，1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．故选A. 答案：A2．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数 y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．答案：D3．设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3 解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴A ∩B ＝{1,2}．故选C. 答案：C5．(2018·合肥模拟)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为真命题解析：全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题．答案：D6．(2018·郑州四校联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A7．(2018·石家庄模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件．答案：A8．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要不充分条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b”的必要不充分条件．故选A.答案：A10．已知命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧q解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．答案：C11．(2018·济宁模拟)已知命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：若随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0<X<1)＝0.4，则P(0<X<2)＝0.8，则下列命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∧qC．p∨q D．(綈p)∧(綈q)解析：因为“x<0”是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0<X<1)＝P(1<X<2)＝0.4，所以P(0<X<2)＝0.8，q为真命题，所以p∨q为真命题．答案：C12．下列命题是假命题的是( )A．命题“若x2＋x－6＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：由复合命题的真假性知，p、q中至少有一个为真命题，则p∨q为真，故选项C 错误．答案：C 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}，则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |1<x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)16．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)。

2015专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(第四讲)

a＋b 2 (4)ab≤ 2 (a，b∈R)；
(5)
a2＋b2 a＋b 2ab 2 ≥ 2 ≥ ab≥a＋b(a>0，b>0)； (a＋b)2(a，b∈R，当 a＝b 时等号成立)．
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(6)2(a2＋b2) ≥
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热点一不等式的解法
不等式的求解尤其是一元二次不等式的求解是高考重点考查的知识点之一，既可数列、平面向量、解析几何、导数等内容综合在解答题中进行考查.
易错提醒 (1)利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式的适用条件，否则容易出错． (2)解决线性规划问题时，一定要注意最优解必须在可行域内，否则达不到最值．
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R热点探究悟道
(3)a>b >0 ⇒an>bn(n∈N，n≥1)． n n >0 (4)a>b ⇒ a> b(n∈N，n≥2)．
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3．六个重要的不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)； (2)a2＋b2 ≥2ab (a，b∈R)； a＋b ≥ ab (3) (a>0，b>0)； 2
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专题二集合函数不等式导数一能力培养1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想; 4,运算能力; 5,转化能力. 二问题探讨[问题1] 已知{3}A x x a =-≤,2{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的取值范围:(I)A B =∅;(II)A B B =.[问题2]求函数()af x x x=+的单调区间,并给予证明.[问题3]已知()1x f x e ax =--.(I)若()f x 在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围;(II)若()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,求a 的值;(III)设2()22g x x x =-++在(II)的条件下,求证()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.[问题4]设11()lg 21x f x x x-=+++. (I)试判断()f x 的单调性;(II)若()f x 的反函数为1()f x -,证明1()0f x -=只有一个解;(III)解关于x 的不等式11[()]22f x x -<.三习题探讨选择题1已知函数()2x f x =,则12(4)f x --的单调减区间是 A,[0,)+∞ B,(,0]-∞ C,[0,2) D,(2,0]-2已知集合M={01}x x ≤≤,N={01}x x ≤≤,下列法则不能构成M 到N 的映射的是 A,2y x = B,sin y x = C,tan y x =D,y3已知函数(1)()(1)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时,()(1)g x x x =+，则方程()()()f x g x f x +=·()g x 的解的个数有A,4个 B,2个 C,1个 D,0个 4如果偶函数()y f x =在[0,)+∞上的图象如右图,则在(,0)-∞上,()f x =A,1x + B,1x - C,1x -+ D,1x -5设函数121()1(0)2()(0)xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,已知()1f a >,则a 的取值范围为A,(1,1)- B,(,1)(1,)-∞-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(1,)+∞6对于函数32()3f x x x =-,有下列命题:①()f x 是增函数,无极值;②()f x 是减函数,无极值;③()f x 的增区间是(,0)-∞,(2,)+∞,()f x 的减区间是(0,2);④(0)0f =是极大值,(2)4f =-是极小值.其中正确的命题有A,一个 B,二个 C,三个 D,四个填空题7函数2(2)log xf x =的定义域是 .8已知2(1cos )sin f x x -=,则()f x = .9函数2log (252)x y x x =-+-单调递增区间是 .10若不等式2log 0(0,1)a x x a a -<>≠对满足102x <<的x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .112ln y x x =-在点M(1,0)处的切线方程是 . 解答题12函数y A,函数2lg(43)y kx x k =+++的定义域集合B,当A B ⊃时,求实数k 的取值范围.13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线22()y x ax a R =++∈与线段AB 有两个不同的交点,求a 的取值范围.14已知定义在R 上的函数()f x ,满足:()()()f a b f a f b +=+,且0x >时,()0f x <, (1)2f =-.(I)求证:()f x 是奇函数; (II)求()f x 在[3,3]-上的最大值和最小值.15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力(()f x 值越大,表示接受的能力越强),x 表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可有以下公式:20.1 2.643(010)()59(1016)3107(1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?16已知函数2()ax f x x e =,其中0a ≤,e 为自然对数的底数.(I)讨论函数()f x 的单调性;(II)求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值.四参考答案:问题1:(I):(1)a<0,A=,∅∅解当时有AB=,{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}.由∅AB=,有3813a a -+≥-⎧⎨≥+⎩ 得112a a ≤⎧⎨≤-⎩与≥a 0,矛盾! 故当∅AB=时,a 的取值范围是(,0)-∞;(II)解:(1)a<0,A=,∅当时有A B=B ,{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}由AB=B,必有A B ⊆,得 38a +<-或31a -+> 得11a <- (舍去)或2a < 得02a ≤<故当AB=B 时, a 的取值范围是(,2)-∞.温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友空集.问题2:解:(1)当0a =时,0()f x x x=+, 令'()0f x <,得x <<它的定义域是0x ≠, 得()f x 的单调增区间是(,-∞,)+∞它分别在(,0)-∞,(0,)+∞上为增函数. ()f x 的单调减区间是(. (2)当0a >时,()f x 的定义域是0x ≠, (3)当0a <时,()f x 的定义域是0x ≠,2'22()1a x a f x x x -=-= 2'22()1a x a f x x x-=-=0>令'()0f x >,得x >x < 得()f x 的单调增区间是(,0),(0,)-∞+∞.温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法, ②'()0f x >('()0f x <)⇒()f x 为增(减)函数,反之不行; ③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用. 问题3:解:(I)()1x f x e ax =--,得'()x f x e a =-.()f x 在R 上单调递增,'()0x f x e a ∴=-≥恒成立,即xa e ≤,x R ∈恒成立又xa e ≤时,(0,)x e ∈+∞,得0a ≤. (II)'()x f x e a =-,而()f x 在(,0]-∞上单调递减,得0xe a -≤在x ∈(,0]-∞上恒成立,有max x a e ≥, 又当x ∈(,0]-∞时,(0,1]xe ∈ ,得1a ≥ ①又()f x 在[0,)+∞上单调递增,得0x e a -≥在[0,)x ∈+∞上恒成立,有min x a e ≤, 又当[0,)x ∈+∞时,[1,)xe ∈+∞,得1a ≤ ② 由①,②知1a =.(III)由(II)可知(0)f 是()f x 的最小值,有()(0)f x f ≥, 而0(0)010f e =--=,2()(1)11g x x =---≤- 故()()f x g x >,即()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.温馨提示:()()f x g x ≥恒成立时,转化为min max ()()f x g x ≥进行考虑,合情合理.问题4:(I)解:()f x 的定义域是11x -<<,得'2212()lg (2)1f x e x x=--+-0< 所以()f x 在(1,1)-上是减函数.(II)证明:假设存在12,x x 且12x x ≠,使11()0f x -=,12()0f x -=,则有1110lg 0210x -=+++,2110lg 0210x -=+++,于是得1212x x ==,与12x x ≠矛盾! 所以1()0f x -=只有一个实根12x =.(III)解:由(II)得11()02f -=,即1(0)2f =,又11[()]22f x x -<=(0)f而()f x 在(1,1)-上是减函数,得11()]02x x >->,有104x <<或1124x +<<.即11[()]22f x x -<的解集是1117(,2+. 温馨提示:()f x 为增(减)函数⇒'()0f x ≥('()0f x ≤),反之不行. 习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.1,12()log f x x -=,有1222(4)log (4)f x x --=-,2,我们由映射的概念:每一个x ,有唯一的由240x ->,得22x -<< 一个y 与它对应.知,A,B,D.都满足.函数2log y x =为(0,)+∞上的增函数, 而在C 中,M 中的1与tan1对应, 求22log (4)x -的单调减区间, 但tan11>,tan1在N 中找不到了.选C. 即求24u x =-的单调减区间,于是选C.3,设0x >,则0x -<,得()(1)g x x x -=--=()g x -,有()(1)g x x x =-, (1)当0x ≤时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)()(1)x x x x x x -++=-⋅+,解得12x =-,20x =.(2)当01x <<时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)()(1)x x x x x x -+-=-⋅-,无解. (3)当1x ≥时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)(1)x x x x x x +-=⋅-,无解.选B. 4,由(1)(1)0f f -==,(2)(2)1f f -==-,知只有C 正确.5,当a →+∞与a →-∞时,均合题意,而1a =时,1211=,不合题意,选B.6,③④正确.选B. 7,令2xt =,得2log x t =,22()log (log )f x x =,得1x >.8,令1cos t x =-,有cos 1x t =-,22()1cos 1(1)f t x t =-=--,得2()2f x x x =-,x ∈[0,2].9,令2252,u x x =-+-0u >,得122x <<.而它在5(1,]4上递增,在5(,2)4上递减, 而当1(,1)2x ∈时,log x y u =,x ↗,u ↗,y ↘;当5(1,]4x ∈时,x ↗,u ↗,y ↗;当5,2)4x ∈时,x ↗,u ↘,y ↘.于是得递增区间是5(1,]4.10,设2()f x x =,()log a g x x =,由题意,当102x <<时,()f x 的图象总在()g x 的图象的下方.当1a >时,显然不合题意;当01a <<时,必有11()()22g f ≥,211log ()22a ≥,得116a ≥,又01a <<,于是1116a ≤<. 11, 1''2''2(ln )()[(2)]y x x x -=-+-= 3'2112(2)(2)2x x x x ----⋅-=32112(2)2x x x --+-,得'112x k y ===-,有x+2y-1=0.12,解:{23}A x x =-≤≤,而B ≠∅,2{430,}B x kx x k x R =+++>∈,又由题意知0k <,且22k --≤,23k-≤,解得342k -<≤-,故k 的取值范围是3(4,]2--. 温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?13,解:过A,B 两点的直线方程为1y x =+,令221x ax x ++=+,则这方程有两相异实根12,x x ,且12,[0,2]x x ∈.设2()(1)1f x x a x =+-+,则问题等价于21022(1)40(0)0(2)0a a f -⎧<-<⎪⎪⎪∆=-->⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,解得312a -≤<-.所以a 的取值范围是312a -≤<-. 14,解:(I)由()()()f a b f a f b +=+,令a b =-,得(0)()()f f a f a =+-, 又令0a b ==,有(0)2(0)f f =,得(0)0f =,于是()()f a f a -=-,a R ∈. 所以()f x 是奇函数. (II)又0x >时,()0f x <设120x x <<,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-=21()f x x -- 而210x x ->,得21()f x x -0<,有21()f x x --0>,即12()()f x f x > 得()f x 在R 上是减函数,于是它在[3,3]-上有最大值(3)f -,最小值(3)f 而(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)6f f f f f f f =+=++==-,(3)(3)f f -=-=6. 所以()f x 在R 上有最大值6,最小值6-. 15,解:(I)当010x <≤时,22()0.1 2.6420.1(13)59.9f x x x x =-++=--+,得()f x 递增, 最大值为(10)f =59.当1630x <≤时,()f x 递减,()31610759f x <-⨯+=因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟. (II)(5)f =20.1(513)59.953.5-⨯-+=,(20)3201074753.5f =-⨯+=< 因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些. 16,解:(I)'()(2)ax f x x ax e =+. ①当0a =时,令'()0f x =,得0x =.若0x >,则'()0f x >,从而()f x 在(0,)+∞上单调递增; 若0x <,则'()0f x <,从而()f x 在(,0)-∞上单调递减;②当0a <时,令'()0f x =,得(2)x ax +=0,有1220,x x a==-. 若0x <或2x a >-,则'()0f x <,从而()f x 在(,0)-∞,2(,)a -+∞上单调递减;若20x a <<-,则'()0f x >,从而()f x 在2(0,)a-上单调递增;(II)①当0a =时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是(1)1f =;②当20a -<<时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是(1)af e =;③当2a ≤-时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是2224()f a a e-=.。