行列式及运算
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =将它的行依次变为相应的列，得称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212n n T n n nnb b b b b b D b b b =则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++=111211212n i i in n n nna a a a a a a a a +111211212n i i in n n nna a ab b b a a a . 证: 由行列式定义性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式解: 211231231232123223240188(1)3234086204250425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式 解: (1)1112132,3,1111100000i r r ni nna a a D a a a a -=+---=221111111001001nna a a a a -=+-(箭形行列式)(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=1[(1)]()n x n a x a -=+--.例3: 设111111111111,kk kk k n n nkn nna a a a D c cb bc c b b =11111,kk kka a D a a =11121,nn nnb b D b b =证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式: 对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式: 故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=.思考练习 1.计算行列式2.证明1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明4.计算行列式2324323631063a b c d a a b a b ca b c dD a a b a b ca b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案2.左边=21111111111111222222222222c c a bb c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b cc c cd d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++=右边 4. 解: 从第4行开始，后行减前行得， §2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算？ 一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如 三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132aa M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式1011025112331x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--= 二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即证 （1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地1122j j j j nj nj D a A a A a A =++同理有.推论 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即 证 考虑辅助行列式1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=（.关于代数余子式的重要性质在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的. 三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.304222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-. 例6: 计算n 阶行列式 解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++按第列展1(1)n n n x y +=+-.1110000200(1)(1)!00200001n n nn n n ++=-=---.例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)nn i j j i nn n n nx x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏,其中1()i j j i nx x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.112()nii x x ==-∏按第列展提取公因子2322223111nn n n nx x x x x x ---1()i j j i nx x ≤<≤=-∏.例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式解 ：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====- 所以有(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368 =----⋅---⋅--=. 第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.iA i=的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有。
§12行列式的性质与计算
§1.2 行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种特殊的方阵，由一个方阵中的所有元素按照一定规则构成。
行列式具有一些重要的性质和计算方法，以下是关于行列式的性质与计算的介绍。
一、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的独立性。
即对于一个n阶行列式，它的行和列都是n个独立的元素，可以独立进行变换，而不影响其他元素的位置。
2.行列式的行和列具有相同的代数余子式。
即对于一个n阶行列式，它的行代数余子式和列代数余子式都是n阶行列式，可以通过伴随矩阵的方式求得。
3.行列式的行和列具有相同的转置矩阵。
即对于一个n阶行列式，它的行转置矩阵和列转置矩阵都是n阶矩阵，可以通过转置矩阵的方式求得。
4.行列式的行和列具有相同的逆矩阵。
即对于一个n阶行列式，它的行逆矩阵和列逆矩阵都是n阶矩阵，可以通过逆矩阵的方式求得。
5.行列式的行和列具有相同的特征值。
即对于一个n阶行列式，它的行特征值和列特征值都是n个独立的特征值，可以通过特征多项式的方式求得。
二、行列式的计算1.按照定义计算。
行列式的定义是一个由方阵中的元素按照一定规则构成的多项式，可以按照定义直接计算。
2.化简计算。
行列式中的元素可以进行化简和约分，使得计算更加简便。
3.公式计算。
行列式有一些常用的公式，可以通过这些公式进行计算。
4.软件计算。
现在有很多数学软件可以用来计算行列式，例如MATLAB、Mathematica等等。
三、特殊行列式的计算1.二阶行列式的计算。
二阶行列式只有两个元素，可以通过交叉相乘的方式计算。
2.三阶行列式的计算。
三阶行列式有六个元素，可以按照展开式的公式进行计算，也可以通过软件计算。
3.n阶行列式的计算。
对于n阶行列式，可以使用Laplace展开式进行计算，也可以使用软件进行计算。
四、行列式的应用1.在解线性方程组中的应用。
通过求解线性方程组的系数矩阵和常数向量，可以得到方程组的解。
而系数矩阵就是一个n阶行列式，因此行列式在解线性方程组中有着重要的应用。
行列式的性质与运算法则
行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。
一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。
2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。
3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。
二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。
1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。
4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。
三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。
1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。
2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
行列式四则运算
行列式四则运算行列式四则运算是指行列式之间的加法、减法、乘法和除法运算。
行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。
在实际应用中，行列式的四则运算常常用于求解方程组、计算矩阵的逆以及求解线性方程组的行列式条件等。
一、行列式的加法行列式的加法是指两个行列式相加的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的和为|A+B|。
行列式的加法运算有以下性质：1. 加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 行列式的和的行列数等于原来行列数的阶数。
二、行列式的减法行列式的减法是指两个行列式相减的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的差为|A-B|。
行列式的减法运算有以下性质：1. 减法不满足交换律，即A-B≠B-A。
2. 行列式的差的行列数等于原来行列数的阶数。
三、行列式的乘法行列式的乘法是指两个行列式相乘的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的乘积为|AB|。
行列式的乘法运算有以下性质：1. 乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。
2. 行列式的乘积的行列数等于原来行列数的阶数。
四、行列式的除法行列式的除法是指两个行列式相除的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的商为|A/B|。
行列式的除法运算可以转化为乘法运算：|A/B| = |A|/|B|以上是行列式的四则运算的基本概念和性质。
行列式的四则运算在实际应用中有广泛的应用，如矩阵的逆的计算、线性方程组的求解、矩阵的正交性判断等。
行列式的四则运算可以通过行列式的定义和行列式的性质进行推导和计算，理解行列式的四则运算对于理解线性代数的基本概念和解决实际问题具有重要意义。
最后，需要注意的是，在实际计算行列式的四则运算时，可以使用行列式的定义直接计算，也可以利用行列式的性质和运算规则进行化简和简化，以提高计算的效率和准确性。
行列式定义性质与计算
行列式与逆序数的计算
总结词
行列式的逆序数与计算顺序有关。
详细描述
对于任何给定的方阵A，其逆序数与计算行列式的顺序有关。换句话说，如果你 改变计算行列式的顺序，那么逆序数也会相应地改变。这是因为行列式的定义涉 及对行和列的操作，而行和列的顺序会影响到这些操作的顺序和结果。
03
行列式的计算方法
二阶行列式的计算方法
矩阵逆运算中行列式的应用
总结词
行列式在矩阵逆运算中扮演关键角色。
详细描述
在求解矩阵的逆时，行列式是一个关键因素 。只有方阵才可能有逆矩阵，而判断一个方 阵是否可逆的方法之一就是查看其行列式值 。如果行列式值等于零，那么这个方阵就是 不可逆的；反之，如果行列式值不等于零， 那么这个方阵就是可逆的。因此，行列式在
用代数余子式展开，然后进行简单的 代数运算。
03
例子
对于三阶行列式
三阶行列式的计算方法
```
|abc| |def|
三阶行列式的计算方法
01
|ghi|
```
02
03
其值为 a*e*i + b*f*g + c*d*h c*e*g - b*d*i - a*f*h。
n阶行列式的计算方法-展开法
定义
n阶行列式是所有位于对角线上 的元素和它们不相邻的元素的总 和，共有n!项，每个项都是不同 行不同列的n个元素的乘积。
行列式定义性质与计算
2023-11-06
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算方法 • 行列式在解线性方程组中的应用 • 行列式在矩阵运算中的应用
01
行列式的定义
二阶行列式定义
01
二阶行列式是由2行2列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。
行列式的运算法则公式
行列式的运算法则公式1.行列式的性质：(1)交换定理：对于n阶行列式，将其行与列调换，则行列式的值不变。
(2)对角线法则：对于n阶行列式，行标和列标的和为偶数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之和；行标和列标的和为奇数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之差。
2.行列式的递推公式：(1)二阶行列式：对于2阶行列式，行列式的值等于左上角元素乘以右下角元素，减去右上角元素乘以左下角元素。
(2)三阶行列式：对于3阶行列式，行列式的值等于三个主对角线上元素的乘积之和，减去三个副对角线上元素的乘积之和。
3.行列式的初等变换：(1)行(列)交换：交换两行(列)，行列式的值不变。
(2)行(列)倍乘：将其中一行(列)的元素乘以k，行列式的值乘以k。
(3)行(列)倍加：将其中一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
4.行列式的倍数的性质：(1)行(列)成比例：若有两行(列)是成比例的，则行列式的值为0。
(2)带公因子：若行(列)中存在公因子，可提出公因子，行列式的值等于公因子乘以去掉公因子的行列式的值。
5.行列式的秩：(1)非零行列式：对于非零行列式，如果有r行(列)成线性相关，则行列式的值为0。
(2)对角行列式：对于对角行列式，主对角线上的元素均不为0，则行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。
6.行列式的乘改定义：(1) 行列式的乘积定义：两个行列式A和B的乘积定义为C=AB，其中C的元素为C_ij = ∑(A_i1*B_1j)，即A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
(2)顺序可交换：行列式的乘法满足顺序可交换，即AB=BA。
7.行列式的乘积规则：(1)两个行列式的乘积的维数：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，则AB的维数为m×p。
(2)AB的行列式的值：如果AB的行列式的值存在，且A的行行列式的值不为0，B的列行列式的值不为0，则AB的行列式的值等于A的行列式的值乘以B的行列式的值。
行列式的性质与计算
1b bb
a (n 1)b
ab
ab 0
0 ab
a (n 1)b(a b)n1.
a0 1 1
1
1 a1 0
0
例 求行列式的值 D 1 0 a2
0
100
an
解
D
c1
(
1 a1
)c2
(
1 an
)cn1
a0
1 a1
0
0
0
1 an
1 a1 0
0
1 0 a2
0
1 0 0
an
(a0
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12.
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
ni j1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
11
1
x1 x2
xn
Dn x12
x22
xn2
x x n1
n1
1
2
x n1 n
rn ( x1 )rn1 1 rn1 ( x1 )rn2 0
1 16 81 256 625
解 D5 是 5 阶范德蒙行列式
D5
(xi xj )
行列式的性质及其运算
1 ta1 p1 aipj a jpi anpn ,
其中 1 i j n 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 p j pi pn 的逆序数为 t1, 则有
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
证明 记 D det aij 的转置行列式
b11 b12 b1n DT b21 b22 b2n ,
bn1 bn2 bnn
即bij aji i, j 1,2, ,n, 按定义
DT
1 N b1 j1 b2 j2 bnjn
1 N ai1 a1 i2 2 ainn .
又因为行列式D可表示为
下面我们利用行列式性质1及性质3的推论2证明,
奇数阶反对称行列式的值为零.
例2 证明奇数阶反对称行列式的值为零. 证明: 设反对称行列式
0
a12
a13 a1n
a12 0
a23 a2n
D a13 a23 0 a3n
a1n a2n a3n 0 其中 aij a ji (i j时), aij 0(i j时).
a31 a32 a33
3a31
解: 利用行列式性质, 有
2a12 a22 a32
6a11 2a12 10a13
3a11 a12 5a13
3a21 a22
5a23 2 3a21 a22 5a23
3a31 a32
5a33
3a31 a32 5a33
10a13 5a23 . 5a33
a11 a12 a13
如:
31 22 4 0
12,
12 30 1 3
而
3
1
行列式的运算法则举例
行列式的运算法则举例行列式是线性代数中的重要概念，它具有多种运算法则。
下面将列举10个行列式的运算法则，并进行详细解释。
1. 行列式转置法则：行列式的转置等于行列式本身。
即，若A为一个n阶行列式，则A^T = A。
2. 行列式交换法则：行列式中交换两行（或两列）的位置，行列式的值不变。
即，若A为一个n阶行列式，将第i行与第j行交换，则A' = A，其中A'为交换后的行列式。
3. 行列式倍乘法则：行列式的某一行（或某一列）的元素乘以k，行列式的值也乘以k。
即，若A为一个n阶行列式，将第i行的所有元素都乘以k，则A' = kA，其中A'为变换后的行列式。
4. 行列式加法法则：行列式中的某一行（或某一列）的元素与另一行（或另一列）的元素相加，行列式的值不变。
即，若A为一个n 阶行列式，将第i行的所有元素都加上第j行的对应元素，则A' = A，其中A'为变换后的行列式。
5. 行列式相等法则：行列式具有相等的性质，即两个行列式的对应元素都相等，则它们的值也相等。
即，若A、B为两个n阶行列式，且A(ij) = B(ij)，其中A(ij)表示A的第i行第j列元素，B(ij)表示B的第i行第j列元素，则A = B。
6. 行列式乘法法则：两个行列式的乘积等于它们对应元素的乘积的和。
即，若A、B为两个n阶行列式，则它们的乘积C为：C(ij) = Σ(A(ik) * B(kj))其中，Σ表示求和符号，k的范围为1到n。
7. 行列式分解法则：对于n阶行列式，可以通过对其中一行（或一列）进行展开，将行列式分解为n个n-1阶行列式的乘积之和。
即，若A为一个n阶行列式，展开第i行，则有：A = Σ((-1)^(i+j) * A(ij) * Mij)其中，Mij为A(ij)的代数余子式，(-1)^(i+j)表示(-1)的i+j次方。
8. 行列式的性质法则：行列式具有一些特殊的性质，如行列式的任意两行（或任意两列）互换，行列式的值取相反数；行列式的某一行（或某一列）中的元素全为0，行列式的值为0；行列式的某一行（或某一列）中的元素成比例，行列式的值为0等。
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =将它的行依次变为相应的列,得112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =)事实上，若记111212122212n n T n n nnb b b b b b D b b b =则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==1212()12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑说明：行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论， 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔）或两列（i j c c ↔)，行列式变号.例如123123086351.351086=-推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =。
证明： 互换相同的两行， 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行(列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即111211112112121212nn i i in i i in n n nnn n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论:（1) D 中某一行(列）所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零,则0D =;性质4： 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5： 若行列式某一行(列）的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和。
这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列)的元素与原行列式相同 。
行列式性质与计算
记
a11 a12 a21 a22 D
a1n a2n
a11 a21 DT a12 a22an1 a2 an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 ai1 a j1 Aj1 a jn Ajn a j1 an1
a1n ain ,
a jn
ann
把 a jk 换成 aik (k 1, ,n),可得
于是
D1
1 tb1 p1 bipi bjp j bnpn
1 ta1 p1 aipi a jp j anpn
1 ta1 p1 aipj a jpi anpn ,
其中 1 i j n 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 pi pj pn 的逆序数为t1, 则有
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
D a21 a22 (a2i a2 i ) a2n
an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和： a11 a1i a1n a11 a1i a1n
关于代数余子式的重要性质
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
行列式性质及其计算方法
目录页
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1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算 。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展 开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所 构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工 具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时 ，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的 符号变化。 以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获 取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于 用数k乘此行列式。 行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些 性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计 算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时， 需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法
行列式的运算
行列式的运算一、基本概念1、行列式，又称为列式、阶梯或矩阵，是一种矩阵，是有n个行和n个列的方阵，由n个方块和m个非零数字所组成。
2、对称性，就是指若行或者列中只要有一个元素的值，则另外两个都取值为该元素的平方。
3、最高次幂：就是在计算某个数时不考虑次幂的最高位。
4、同构：就是可以化为等价关系的两个矩阵，也就是说，如果行列式中只要有一个元素，它们便可互相化为行或列相同，其余的各个元素都是自己的对应元素的反转。
5、秩：就是指行或列的个数，也叫元素的个数。
6、逆矩阵：就是它的转置矩阵，因为两个矩阵的乘积是一个向量，所以逆矩阵的列数等于矩阵的行数减一。
3、极端性，就是把一个方程化成一个行或者列均为零的方程，就叫做该方程的极端形式。
4、初等变换：就是对于每一个数，若把数乘以一个常数，所得的新数与原数相同，那么这个数就是原来数的一个初等变换。
5、行列式值的算术平方根：就是指行列式的值等于该行列式除以它的阶梯数。
二、简单介绍行列式的计算公式：二、相关运算1、去尾法、调位法、按位法2、两个系数的和列=，第一项为系数和（单位矩阵），第二项为另外一个矩阵的列。
3、两个系数的积列=。
第一项为系数积（方阵），第二项为另外一个矩阵的行。
4、一个系数乘以它的某一列=，第一项为系数乘以其中一个列（或者是最后一个列）。
5、求行列式的值：就是在原式的右边开平方。
6、行列式的秩=，行列式为1时，行的数目为1。
三、行列式的性质1、秩为0，其行数、列数相等。
2、行数等于列数。
3、行数、列数相同。
4、行列式等于零。
5、行列式行数与列数都是偶数。
6、行列式的秩为零。
7、行列式可交换。
8、行列式可分解。
9、两个行列式不同的原因是行列式的定义出错了。
10、行列式中的一些特殊情况： 1、两个行列式相等。
2、行列式等于零。
3、行列式的阶梯数为零。
4、行列式可以分解。
11、行列式中未知数必须连续。
12、行列式为零的特殊情况： 1、行列式为零，不一定能行列式值为零； 2、行列式可以为零，但一定能行列式值为零。
行列式及运算
200
r4
5 4
r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 0 25
2
●行列式旳展开与计算
定理 行列式等于它旳任一行（列）旳各元素与其 相应旳旳代数余子式乘积之和。
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
ai1 Ai1 ai2 Ai2
a23
a31 a32 a33
例 根据定义计算行列式旳值
514 3 2 1 2 0 2
对角线 法则
5 2 2 1 (1)(2) 4 3 0
4 2 (2) 1 3 2 5 (1) 0 32
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
符号旳外面。 推论2：假如行列式D有一行（列）旳元素全为零，则D=0
推论3：假如行列式D有两行（列）旳元素相应成百分比，则D=0
4. 假如行列式旳某一行（列）旳元素都是两项旳和，
则能够把该行列式拆成两个行列式之和。
如 a a
b b a
b a
b
c d cd c d
5. 把行列式旳某一行（列）旳元素都乘以同一种数k
案 2、提醒：用数学归纳法，后一行
a 减去前一行旳 1 倍
行列式旳计算措施：一般是先利用性质，用 小 消法变换将行列式中某一行（或列）旳元素
尽量地化为零，最佳是只留下一种元素不 结 为零，然后按该行（或列）展开，使行列式
降阶，最终化为二阶行列式，而得解。
作业：P251 2（1） 3（4）、6（2，3）、7 预习第三节、第四节
a31 a32 a33
行列式算法
行列式算法行列式(matrix)：由n行或n列的元素所构成的方阵。
是矩阵的一种，它既是一个乘法运算，又是一个加法运算。
行列式可以写成数学公式： C=A|B|C|D|E|F|G|H，其中A、 B、 C为行、列号， D、 E、F为它们的值。
行列式的值等于每个元素乘以其行列式的值，即所有行列式相乘的积。
如果行列式的值是0，则称这个行列式为零行列式，也称为单元格矩阵。
1、行式(row-column matrix)：每个非零元素的取值范围都是该行(row)或该列(column)所在的单元格的元素之和。
2、列式(column-row matrix)：每个非零元素的取值范围都是这两个单元格所在的行和列。
3、矩阵(matrix)：有行(列)的数据元素排成的一个数据表示。
是由一些具有特定关系的数据元素按照一定规律组成的表示，它具有对应的一个或多个行列式。
4、阵列(array)：相互不交或相交的一组数据元素排成的一个数据表示。
是由若干相同元素排成的一个数据表示。
因此，在上面三种情况下，只要把某个列看作是行，另外的列就看作是列式。
行列式有许多性质和计算方法，这里仅举例介绍行列式算法。
比较三个列之间的大小时，前两个列之间的大小比较容易处理，这时采用如下方法计算：第一行是第一列，第二行是第二列，第三行是第三列，则行列式=A^2+B^2+C^2-A-B-C；例如，将A=3^2和B=3^3，C=6^3两列合并，得到A=1^2+1^3+2^2+3^2+3^3= 8，而B=3^2+3^3+2^2+1^3+3^2=20。
可见，列式中A、 B、 C的值的乘积相当于A、 B、 C本身的乘积，因此行列式算法与排序算法是基本类似的。
当然，最后一步的计算需要进行行列互换，并且适当选择B值。
计算行列式算法：第一步： B=A；第二步： B=B；第三步： B=C。
三种方法依次交替使用，最终结果就是行列式值。
但是，有一点必须说明：行列式计算和列式计算都属于“二进制”运算，这意味着，运算顺序和“二进制”运算是一样的，即，任何两个“二进制”值都能相互转化，但是，运算的结果并不完全一样。
关于行列式的一般定义及计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值一样。
即nnn n nn a a a a a a a a a212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行〔列〕，行列式的值变号.322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==〔1如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行〔或两列〕完全一样，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
〔第i 行乘以k ，记作r i k ⨯〕推论1：一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
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k ri ri krj
交换i, j两列
ci c j
数K乘第 i 列 k ci
数K乘第 j 列 后加到第 i 列 上去
ci kc j等值 变号Biblioteka 翻倍 等值变号 翻倍 等值
利用行列式的性质计算行列式的值
3 1 1 2
1 3 1 2
5 1 3 4 c1 c2
2 0 1 1
（2） a b d c bad c
111
bacd
2、证明：Vandermonde行列式
11
a1 a2
a12
a22
1
an
课 堂
an2
(xj xi )
练
n ji1
习
a a n1
n 1
1
2
a n 1 n
答 1、（1） 3 13
（2） 0
案 2、提示：用数学归纳法，后一行
a21 a22
a23
a31 a32 a33
例 根据定义计算行列式的值
514 3 2 1 2 0 2
对角线 法则
522 1(1)(2) 430
4 2 (2) 132 5 (1) 0 32
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0
4. 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，
则可以把该行列式拆成两个行列式之和。
如 a a
b b a
b a
b
c d cd c d
5. 把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k
后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式
1 28 25 2
200
r4
5 4
r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 0 25
2
●行列式的展开与计算
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的的代数余子式乘积之和。
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
ai1 Ai1 ai2 Ai2
1 2 3 2
1 2 3 2
原式
C1 C2 3
3
3
2
1 3 1 2
1 3 3 1
r2 3r1 0
rr43
rr11
0 0
3 6 4 1 4 0 1 0 3
3 6
按第一列展开
(1) (1)11 1 4
4 0
c2 4c1 3 18 4 100
a 减去前一行的 1 倍
行列式的计算方法：一般是先利用性质，用 小 消法变换将行列式中某一行（或列）的元素
尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不 结 为零，然后按该行（或列）展开，使行列式
降阶，最终化为二阶行列式，而得解。
作业：P251 2（1） 3（4）、6（2，3）、7 预习第三节、第四节
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1. 行列式转置后，其值不变。
对等的，行具 有的性质，列
2. 互换行列式的两行（列），行列式变号。 也具有
推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0
3.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数K，等于用数 K 乘此行列式 。
推论1:行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式
符号的外面。 推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0
第六章 行 列 式 与 矩 阵
n阶行列式的概念
行列式的性质与计算 Cramer法则 矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩 分块矩阵 矩阵的初等变换
第 一 节 n 阶行列式
学习重点
余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念
●行列式的引入
引例：用加减消元法求解
二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12x2 a22 x2
a11
a22 a32
a23 a33
a21
a12 a32
a13 a33
a31
a12 a22
a13 a23
a11 A11 a21 A21 a31 A31
三阶行列式等于 第一列所有元素与其代数余子式乘积之和
●定理
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a11 A11 a12 A12 a1n A1n
n
a1 j A1 j j 1
按第一行展开
例 根据定义计算行列式的值
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 5 3 4 0 2 1 1
1 5 3 3
5 1 3 3
r2 r1
r4 5r1
1 3 1 2 0 8 4 2 0 2 1 1 0 16 2 7
r2 r3
1 3 1 2 r3 4r2
0 2 1 1
0 8 4 2 r4 8r2
0 16 2 7
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 10 15
a13
a21 a31
a22 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
元素 a12 的余子式 元素 a12 的代数余子式
a21 a31
a23 a33
M12
(1)12 M12 A12
●余子式
a11a22a33a44
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11(a22a33 a23a32 ) a21(a12a33 a13a32 ) a31(a12a23 a13a22 )
b2 a11
a22 a12
D1 D
a21 a22
x2
a11 a21 a11 a21
b1 b2 a12 a22
D2 D
●二阶行列式 定义
determinant
ab ad bc
cd
a
b
c
d
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6(3) 2(5) 8
5 3
cos sin cos2 (sin2 ) 1
小结 行列式按行展开得D，串行展开得零。
ai1 Ak1 ai2 Ak 2
ain Akn
D 0
(i k) (i k)
D ( j s) a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0 ( j s)
例题 1、计算行列式的值
2 1 3 2 （1） D 3 3 3 2
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 (1)11 0 0 1 3 (1)31 0 1 0
1 0 2
1 0 2
134 11
第 二 节 行列式的性质及计算
学习重点
行列式的性质 行列式的按行按列展开定理
●行列式的几种变换
n
ain Ain aij Aij j 1
a1 j A1 j a2 j A2 j
n
anj Anj aij Aij i 1
(i 1, 2, ( j 1, 2,
, n） , n）
推论 行列式中某一行（或列）的元素与另一行 （或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。
交换i, j两行 数K乘第 i 行 数K乘第 j 行后 加到第 i 行上去 交换i, j两列 数K乘第 i 列
ri rj k ri ri krj ci c j k ci
数K乘第 j 列后 加到第 i 列上去
ci kc j
行变 row
列变换 column
●行列式的性质
表明行与列是
2、将代数式还原成 行列式，得
3A11 A12 3A13 A14
3 1 3 1 3322 0340 3 1 3 1
按第二列展开 31 (1)32 1 2 1 13
0
3 (13 2) 45
1、计算下列行列式
111
ab c d
（1） 1 1 1 111
1 0 2
0 1 2
132 5
下三角形行列式
逐次按第一行 展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11a22a33a44
下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积
特别
a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44
b1 b2
当 a11a22 a12a21 0 时
方程组有唯一解
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
如果规定
a11
a21
则有