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三角函数型应用题（高一）

1．如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道

( Rt FHE ，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好. 设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点，E, F分别落在线段BC , AD 上.已知AB20 米，AD10 3 米，

记BHE.（ 1）试将污水净化管道的长度L 表示为的函数,并写出定义域；（2）若sin cos 2 ，求此时管道的长度L ；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？

并求出此时管道的长度.

EH

10 10

FH

sin

解：（ 1）

cos ，

EF

10

AF

10 sin cos

由于

BE

10 tan10 3 10 3

，

tan

3 tan

3

[

, ] L 10

10 10

[ ,

]

3

sin

sin

cos ，

，

6 3

cos

6 3 .

sin cos

1 L 20(

2 1) ;

(2)

sin

cos

2 ,

2

时，

L

10 10 10

10( sin

cos 1) （3）

cos

sin sin

cos = sin cos

sin

cos

t 2 1

[ , ]

设 sin

cos

t

2

则

由于

6 3 ，

t

sin

cos 2 sin(

) [ 3 1

2]

,

所以

4

2

20

[

3 1

2]

L

1 2

,

t 在

内单调递减，

t

3 1

,

3 时 ， L 的最大值

20(

3 1) 米 .

2

于是当

时

6

答：当

6 或 3 时所铺设的管道最短，为

20(

3

1)

米.

2．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD ，AB=50 米， BC= 25 3米，为了便于居民平时休闲散步，

该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF 和 OF，考虑到小区整体规划，

要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且∠ EOF =90°，如图所示．（ 1）设∠ BOE= ，试将OEF的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；

（ 2）经核算，三条路每米铺设费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？

并求出最低总费用．

D

F

A O C E

B

解： (1) ∵在 Rt △BOE 中， OB=25, ∠ B=90°，∠ BOE=

，∴ OE=

25 . ????2分

cos

在 Rt △ AOF 中， OA=25, ∠ A=90°，∠ AFO=

，∴ OF=

25 . ????????4 分

sin

又∠ EOF=90° ，∴ EF=

OE 2

OF 2 ( 25

)2

( 25 )2 =

cos 25

,

cos sin

sin

∴ l OE OF

EF 25 25 25

cos

sin

cos sin

25(sin

cos

1)

????????????????6分

即 l

sin

．

cos

当点 F 在点 D ， 角

最小，求得此

= π

；

6 当点 E 在 C 点 ， 角

最大，求得此

= π

．

3

π π

故此函数的定 域

[ , ] . ???????????????????????8 分

6 3

(2) 由 意知，要求 路 用最低，只要求 OEF 的周 l 的最小 即可 . 由（ 1）得， l

25(sin

cos

1)

π π

cos sin

，

[ ,

]

6 3 sin

cos

t

2

1

t ， sin cos ，

2

∴ l

25(sin cos

1) 25(t 1)

50

?????????????????

分

12

cos sin

t 2 1 t 1

2

由，

5π π 7π

3 1 2 ，∴

3 1

1 2 1 ，

12

4 ，得

2 t

t

12 2

从而 2 1

1

3 1， ??????????????????????? 15

分

1

t

当

π

，即 BE=25 ， l min

25( 2

1) ,

4

所以当 BE=AE=25 米 ， 路 用最低，最低 用 10000( 2 1) 元 . ???? 16 分

3. 如图， ABCD 是块边长为 100 m 的正方形地皮，其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山，

其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点

P 在

弧

ST 上，相邻两边 CQ 、CR 落在正方形的边 BC 、CD 上，求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最 小值。

D R C

S

P Q

A

T

B

解：设

PAB (0

90 ), 延长 RT 交 AB 于 M

AM 90 cos , MP 90sin PQ

MB 100 90 cos .

PR MR MP 100 90 sin

S 矩形

PQRC

PQ PR

(100 90 cos )(100 90sin )

10000 9000(sin

cos ) 8100 sin cos (0

90 ),

令 t

sin cos

(1 t

2), sin cos

t 2 1

2

S

矩形

PQRC

10000 9000t

8100 t 2 1 4050( t 10 )2

950 -10

10

2

9

故当 t

时， S 的最小值为 950m 2 , 当 t 2 时 S 的 (14050

9000 2)m 2

9

5

4．如 ，在半径

3 、 心角

60o 的扇形的弧上任取

一点 P ，作扇 形的内接矩形

PNMQ ，使点 Q 在 OA 上，点 N , M 在 OB 上， 矩形

PNMQ 的面 y ,按下列要求写

出函数的关系式： （ 1）① PN

x ，将 y 表示成 x 的函数关系式；②

POB

，将 y

表 示成

的函数关系式； 你 用（

1）中的一个函数关系式，求出

y 的最大 ．

A

P Q

B

O

N

M

解：（ 1）①因 ON

3 x 2

， OM

3

x ，

所以 MN

3 x 2

3

x ，? 2 分，

3

3

所以 y

x( 3 x 2

3

x), x

(0, 3

) .????? 4 分

3

2

②因 PN

3 sin

， ON

3 cos ， OM

3 3 sin

sin

，

3

所以 MN ON OM 3 cos

sin ????????? 6 分

所以 y

3 sin

( 3 cos

sin

) ，即 y

3sin cos

3 sin 2

， (

(0, )) ? 8 分

3

（2） y

3sin cos

3 sin 2

3 sin(2

)

3 ，?????

12 分

6

2

Q(0,

)

2

(

, 5

) ??????? 13 分所以 y max

3

.??? 14 分

2

3

6

6

6

5． 如下图，某小区准备绿化一块直径为

BC 的半圆形空地， ABC 的内接正方形 PQRS 为

一水池， ABC 外的地方种草 ,其余地方种花 . 若 BC=a, ABC= ，设 ABC 的面积为

S 1 ，正方形 PQRS 的面积为 S 2 ，将比值

S 1

称为 “规划合理度 ”.

S 2

（ 1 ）试用 a , 表示 S 1 和 S 2 ；

（ 2 ）若 a 为定值，当

为何值时 , “规划合理度 ”最小？并求出这个最小值．

A

P

S

B

Q R

C

（1）在 Rt

ABC 中， AB

a cos , AC a sin

，

S 1

1

AB AC

1

a 2 sin cos ?????3 分

2

2 x

正方形的

x

BP , AP x cos

，

sin

由 BP

AP

AB ，得 x x cos a cos ，

sin

a sin

cos

故 x

1 sin

cos

所以 S 2

x 2

( a sin cos ) 2 ?????6 分

1 sin cos 1

2

（2）

S 1

1 (1 sin cos )

2 (1 2 sin 2 )

1 1 S 2

2

sin

cos

sin 2

sin 2

sin 2 1 ， ?? 8分

4

令 t

sin 2

，因 0

，

2

2

所以

， t

sin 2

(0,1] ????? 10 分

所以 S 1 1

1 t 1

g(t) ， g (t) 1 1 0 ，

S 2 t

4 t 2 4

所以函数 g (t ) 在 (0,1] 上 减， ????? 12

分

因此当 t

1 g(t) 有最小 g (t)min

g(1)

9

，

4

此 sin 2

1, 4

????? 14分

所以当 9 ， “ 划合理度 ”最小，最小 4

4

． ????? 15 分

6． 如图所示，一条直角走廊宽为 2 米。现有一转动灵活的平板

2m

车，其平板面为矩形 ABEF ，它的宽为 1 米。直线 EF 分别交直线

AC 、 BC 于 M 、N ，过墙角 D 作 DP ⊥ AC 于 P ， DQ ⊥BC 于 Q ；

N

⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠

CAB ，试求平板面的长

E

( 用 表示 ) ；

?

D

Q

⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米 F

B

2m

l

M

A

P

C

2

， DN =

2

1 ， EN = tan ，

解：（ 1） DM =

，MF =

sin

cos

tan

2 2

－

1 － tan

EF=DM+DN-MF-=EN

+

tan

sin

cos

= 2(sin

cos ) 1 （ 0

）

sin

cos

2

（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角

（ 0

），平板车的长度不能通过，

2

即平板车的长度

l min ；记 sin

cos

t, 1

t

2 ，有 sin cos = t 2

1 ，

2

= 2(sin cos ) 1 = 4t 2

sin cos

t 2 1

此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记

4t 2

m ，则 t

m

2

4）或直接求导，

7．（本小分15 分）一棒欲通如所示的直角走廊，回答下列：（ 1）求棒L 关于的函数关系式：L；

（ 2）求能通直角走廊的棒的度的最大．

2

解：（ 1）如，AB

2

, BC2L

22

AC AB BC0 cos sin cos sin

（ 2）L 2 cos sin sin cos

令 t cos sin 2 sin，因 0，所以 t 1, 2 ，

44

sin cos2 1 t 21

sin cos

22

22t22

21

随着的增大而增大，

L

21，当 t 1,， t

t

t t1t

t

A

所以 t10,2所以 L4,2 t2

所以能通个直角走廊的棒的最大度4???15分

2

2

C

2 B

8．如图， A， B， C 是三个汽车站， AC， BE 是直线型公路．已知 AB＝ 120km，∠ BAC ＝

75°，∠ ABC＝ 45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（ km）的速度往返于车站A， C 之间，

到达车站后停留 10 分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（ km）的速度从车站 B 开往

另一个城市 E，途经车站 C，并在车站 C 也停留10 分钟．已知早上 8 点时甲车从车站 A、

乙车从车站 B 同时开出．（ 1）计算 A，C 两站距离，及 B，C 两站距离；（ 2）若甲、乙两车

上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站 C 处利用停留时间交换．（ 3）求 10

点时甲、乙两车的距离．（参考数据： 2 1.4 ，3 1.7 ， 6 2.4 ， 11110.5 ）

E

C

A

B

（1）在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 60°．∵AB BC AC，

sin 60sin 75sin 45

120sin 451202

2

40 696(km) ，

∴ AC

3

sin 60

2

120sin 7512062

4

602206132(km) ．

BC

3

sin 60

2

（2）甲车从车站 A 开到车站 C 约用时间为96

1 （小时）＝ 60（分钟），即 9 点到 C 站，96

至 9 点零 10 分开出．乙车从车站 B 开到车站 C 约用时间为132

1.1（小时）＝ 66（分钟），

120

即 9 点零 6 分到站， 9 点零 16 分开出．则两名旅客可在9 点零 6 分到 10 分这段时间内交换到对方汽车上．

（ 3 ） 10 点时甲车离开 C站的距离为50

9680(km) ，乙车离开 C 站的距离为60

44

120 88(km) ，两车的距离等于

60

802882 2 80 88 cos608 100 121 110＝8 1118 10.5 84(km) ．

9． 如图所示， 某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室， 已知

已有两面墙的夹角为

60°（即

C 60 ），现有可供建造第三面围墙的材料

6 米（两面墙

的长均大于 6 米），为了使得小老虎能健康成长， 要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，

记

ABC

，问当 为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？

解：在

ABC 中，由正弦定理： AC

AB

BC

··············3 分

sin

sin

sin(

)

3

3 化简得： AC

4 3 sin

BC

4 3 sin(

)

1

3

所以 S

ABC

AC BC sin

w.w. w. .s.5.u.c.o.m

2

3

12 3 sin

sin(

) 12 3 sin

( 1

sin

3

cos ) ··············8 分

3

2

2

6 3(sin

2

3 sin

cos ) 6 3(

1

cos 2 3

sin 2 )

[

1

2

2

6 3 sin(2

)]

2

6

2

即 S ABC 6 3 sin(2

) 3 3 (0 ) ···················12 分

6

3

所以当

2

, 即

时，

(S

ABC )max = 9

3 ··················· 分

6 2

3

14

答：当

60 时，所建造的三角形露天活动室的面积最大。 ··············15 分

另解：

S ABC

1 BC sin

12 3 sin sin( ) 6 3[cos(2 ) cos ]

AC 3

2 2

3 3 3 6 3 cos(2

) 3 3 (0

) （下同）

33

10． 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上

. 在小艇出发时，轮船

位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以

30 海里 / 小时的航行速度沿

正东方向匀速行驶． 假设该小船沿直线方向以

v 海里 /小时的航行速度匀速行驶， 经过 t 小时

与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，

则小艇航行速度的大小应为多少？

（ 2）

假设小艇的最高航行速度只能达到

30 海里 /小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行

速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

解：（ 1）设相遇时小艇航行的距离为

s 海里，则

A

C

D

s ＝ 900t 2＋ 400－ 2×30t ×cos(90 °－ 30°) ＝

900t 2 － 600t ＋ 400

30°

1 θ

故当 t ＝ 3时， s min ＝ 10 3，此时 v ＝ 30 3．

O

即小艇以 30 3海里 /小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

（ 2）如图，由（ 1）得 OC ＝ 10 3， AC ＝ 10，故 OC ＞ AC ，

且对于线段 AC 上任意点 P ，有 OP ≥ OC ＞ AC ．而小艇的最高航行速度只能达到

30 海里 /小

时，故轮船与小艇不可能在

A 、 C （包含 C ）的任意位置相遇．

π 3tan θ， OD ＝ 10 3

设∠ COD ＝ θ（0＜ θ＜ ），则在 Rt △ COD 中， CD ＝ 10

，

2

cos θ

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为

t ＝

10＋ 10 3tan θ 10 3

，

30

和 t ＝

v cos θ

10＋ 10 3tan θ 10 3 15 3

．又 v ≤

π

3 π

π 所以 ＝ v cos θ

，解得 v ＝

30，故 sin(θ＋ )≥ 2 ，从而 ≤ θ≤ ．

30

π 6 6 2

sin(θ＋ 6)

π

3

，于是当

π

10＋ 10 3tan θ

2.

由于 θ＝ 时， tan θ取得最小值

θ＝ 时， t ＝

30

取得最小值

6

3

6

3

此时，在△ AOB 中， OA ＝ OD ＝ AD ＝ 20，故可设计航行方案如下：

π 航行方向为北偏东

，航行速度为 30 海里 /小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

6