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三角函数型应用题（高一）

1．如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道

( Rt FHE ，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好. 设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点，E, F分别落在线段BC , AD 上.已知AB20 米，AD10 3 米，

记BHE.（ 1）试将污水净化管道的长度L 表示为的函数,并写出定义域；（2）若sin cos 2 ，求此时管道的长度L ；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？

并求出此时管道的长度.

EH

10 10

FH

sin

解：（ 1）

cos ，

EF

10

AF

10 sin cos

由于

BE

10 tan10 3 10 3

，

tan

3 tan

3

[

, ] L 10

10 10

[ ,

]

3

sin

sin

cos ，

，

6 3

cos

6 3 .

sin cos

1 L 20(

2 1) ;

(2)

sin

cos

2 ,

2

时，

L

10 10 10

10( sin

cos 1) （3）

cos

sin sin

cos = sin cos

sin

cos

t 2 1

[ , ]

设 sin

cos

t

2

则

由于

6 3 ，

t

sin

cos 2 sin(

) [ 3 1

2]

,

所以

4

2

20

[

3 1

2]

L

1 2

,

t 在

内单调递减，

t

3 1

,

3 时 ， L 的最大值

20(

3 1) 米 .

2

于是当

时

6

答：当

6 或 3 时所铺设的管道最短，为

20(

3

1)

米.

2．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD ，AB=50 米， BC= 25 3米，为了便于居民平时休闲散步，

该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF 和 OF，考虑到小区整体规划，

要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且∠ EOF =90°，如图所示．（ 1）设∠ BOE= ，试将OEF的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；

（ 2）经核算，三条路每米铺设费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？

并求出最低总费用．

D

F

A O C E

B

解： (1) ∵在 Rt △BOE 中， OB=25, ∠ B=90°，∠ BOE=

，∴ OE=

25 . ⋯⋯⋯⋯2分

cos

在 Rt △ AOF 中， OA=25, ∠ A=90°，∠ AFO=

，∴ OF=

25 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分

sin

又∠ EOF=90° ，∴ EF=

OE 2

OF 2 ( 25

)2

( 25 )2 =

cos 25

,

cos sin

sin

∴ l OE OF

EF 25 25 25

cos

sin

cos sin

25(sin

cos

1)

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

即 l

sin

．

cos

当点 F 在点 D ， 角

最小，求得此

= π

；

6 当点 E 在 C 点 ， 角

最大，求得此

= π

．

3

π π

故此函数的定 域

[ , ] . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分

6 3

(2) 由 意知，要求 路 用最低，只要求 OEF 的周 l 的最小 即可 . 由（ 1）得， l

25(sin

cos

1)

π π

cos sin

，

[ ,

]

6 3 sin

cos

t

2

1

t ， sin cos ，

2

∴ l

25(sin cos

1) 25(t 1)

50

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

分

12

cos sin

t 2 1 t 1

2

由，

5π π 7π

3 1 2 ，∴

3 1

1 2 1 ，

12

4 ，得

2 t

t

12 2

从而 2 1

1

3 1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15

分

1

t

当

π

，即 BE=25 ， l min

25( 2

1) ,

4

所以当 BE=AE=25 米 ， 路 用最低，最低 用 10000( 2 1) 元 . ⋯⋯⋯⋯ 16 分