矩阵乘法的性质

2.2-3
10 01
10 00
1
1
1
1
1
1
复合变换λ ·β 对单位正方形区域作用结果如图 2.2-4
10
1
10
1
02
1
00
1
2
1
1
1
于是 λ·I 与 λ ·β 对单位正方形区域的作用效果相同。 事实上，不难证明 λ· I = λ ·β 从而，B������2 =BA 。但������2≠A 类似地，可以得到 ， ������2B=AB 但������2≠A ，所以我们有结论 ： 矩阵的乘法不满足削去律.
=
0 1
−1 0
x ������
变换������900 ·β对单位正方形区域的作用结果如图2.2.-1所表示； 变换β ·������900对单位正方形区域的作用结果如图2.2-2
1 20 01
0 −1 10
1
1
1 1
0 −1 10
1 2 2.2-1
1
1
1
2.2-2
1 2 -1 1 20 01
= ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3

A=
������1 ������1
������1 ������1
B=
������2 ������2
������2 ������2
C=
������3 ������3
������3 ������3
一方面

AB
=
������1 ������1
������1 ������1
������2 ������2
首先考察矩阵的 乘法是否满足结合律。

例如
，对于矩阵A
=
1 0
1 1
，B=
1 −2
−1 3
,C=
0 1
1 0
,可以得到

（AB）C
=
−1 −2
2 3
0 1
1 0
=
2 3
−1 −2

A（BC）
=
1 0
1 1
−1 3
1 −2
=
2 3
−1 −2
于是 有 （AB）C = A（BC）
一般地，设二阶矩阵
=
������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3
+ +
������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3
������ ������
A������2
=
������ ������
������ ������
1 0
0 1
=
������ ������
������ ������
从而������2A =A������2 =A
正式������2 在二阶矩阵的乘法运算中扮演这样的角色
所以我们称������2 为二阶单位矩阵。
1 0
3 1
=
1 0
6 1
下面考察二阶矩阵的乘法是否满足交换律。我们从某些具体的
二阶矩阵所对应的线性变换对平面图形的作用效果入手，
1
例如：矩阵 2
0 确定的伸缩变换
01

β：
x‘ ������′
1
=2 0
0 1
x ������

矩阵
0 1
−1 0
确定的是旋转变换

������900
:
x‘ ������′
矩阵乘法的性质
我们知道实数乘法运算满足一定的运算律。即对实数 a ，b ,c 有结合律：（ab）c=a（bc）； 交换律：ab=ba ;削去律: 设a≠0 ,如果ab =ac ,那么 b =c; 如果ba =ca ,那么 b =c
探究 类比实数乘法的运算律，二阶矩阵的乘法是否 也满足某些运算律？
������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3
从而

A（BC）=
������1 ������1
������1 ������1
������2������3 + ������2������3 ������2������3 + ������2������3
������2������3 + ������2������3 ������2������3 + ������2������3
1
AB = 2 0
0 1
0 1
−1 0
=0 1
−1
2
0

BA
=
0 1
−1 0
1
2
0
0
0 =1
12
−1 0
于是 AB≠ BA
所以，我们有结论：矩阵的乘法不满足交换律。 注意（对于某些矩阵A,B也可能有AB =BA）
最后，考察二阶矩阵 的乘法是否满足削去律，我们也从具体 线性变换入手，例如：
例1
设A
=
1 0
1 1
，求������6 。
解法一 （根据定义）

A²=A·A
=
1 0
1 1
1 0
1 1
=
1 0
2 1

A³=A·A²=
1 0
1 1
1 0
2 1
=
1 0
3 1

������4
=A
·A³=
1 0
1 1
1 0
3 1
=
1 0
4 1

������5
=A
·������4
=
1 0
1 1
1 0
4 1
=
1 0
5 1

������6
=A
·������5
=
1 0
1 1
1 0
5 1
=
1 0
6 1
解法 2：根据定义及方幂的性质

A²=A·A
=
1 0
1 1
1 0
1 1
=
1 0
2 1

A³=A·A²=
1 0
1 1
1 0
2 1
=
1 0
3 1

������6
=������3
·������3
=
1 0
3 1
设I表示有单位矩阵������2确定的恒等变换
10
矩阵A = 0
1 确定的是伸缩变换
2

β：
x′ ������′
1 =0
0
1 2
������ ������

矩阵
B=
1 0
0 0
确定的是投影变换

λ
：
x′ ������′
=
1 0
0 0
������ ������
可以得到，复合变换 λ ·I 对单位正方形区域的作用结果如图
另一方面，

BC
=
������2 ������2
������2 ������2
������3 ������3
������3 ������3
=
������2������3 + ������2������3 ������2������3 + ������2������3
������2������3 + ������2������3 ������2������3 + ������2������3
………..
������������ = ������������������−1
Fra Baidu bibliotek 称������������为 A的n次方幂
根据矩阵乘法的结合律可以证明，二阶矩阵A的次方幂具有如下性质
������������ ������������ = ������������+������
������������ ������ =������������������ 其中 k ,l 是任意自然数
1
-
1 2
比较土图2.2-1 和2.2-2 可以看到 ，β·������900 ≠ ������900·β 由于二阶
矩阵与线性变换是一一对应的，因此有

1
2
0
0 1
0 1
−1 0
≠
0 1
−1 0
1
2
0
0 1
1
实际上，对于矩阵A= 2 0
0 1
，B=
0 1
−1 0
.通过直接计算也
可以得到这个结果
因此 （AB）C= A（BC） 所以，二阶矩阵的乘法满足结合律即
性质结合律 设A ,B ,C是任意的三个二阶矩阵，则A（BC）=（AB）C
设A是二阶矩阵，n是任意自然数，规定
Aº=������2 A¹ =A
1 0
0 1
称为二阶单位矩阵，记作������2
A²= A A¹
A ³=A A²
������1������2 + ������1������2 ������1������2 + ������1������2
������1������2 + ������1������2 ������1������2 + ������1������2
������3 ������3
������3 ������3
我们知道，对任意实数a , 1·a =a ·1 =a ,二阶矩阵
中
������2=
1 0
0 1
也有相当于实数1的作用：
设A
=
������ ������
������ ������
是 任意的二阶矩阵，则
������2 A
=
1 0
0 1
������ ������
������ ������
=
������ ������
������2 ������2
=
������1������2 + ������1������2 ������1������2 + ������1������2
������1������2 + ������1������2 ������1������2 + ������1������2
从而
（AB）C=