Newmark-精细积分方法的选择及稳定性
固体力学中的数值方法_Newmark算法
Newmark 算法程序计算报告1.Newmark 算法理论基础在~t t t +∆的时间区域内，Newmark 积分方法采用下列的假设，即()2112t t t t t t t tt t t t t t t tδδαα+∆+∆+∆+∆=+-+∆⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+∆+-+∆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a a a a a a a a a （1.1） 其中α和δ是按积分精度和稳定性要求决定的参数。
另一方面，α和δ取不同的值则代表了不同的数值积分方案。
当1/6,1/2αδ==时，（1.1）式相应于线性加速度法，因为这时他们可以由下式得到()/ (0)t t t t t t t t ττ+∆+∆=+-∆≤≤∆a a a a （1.2）当1/4,1/2αδ==时，Newmark 算法相应于常平均加速度法这样一种无条件稳定的积分方案。
此时，t ∆内的加速度为()12t t t t t +∆+∆=+a a a （1.3） 因此，将（1.1）式可以得到()211112t t t t t t t t t ααα+∆+∆⎛⎫=---- ⎪∆∆⎝⎭a a a a a （1.4） 代入到动力学平衡方程中可以得到22111112 112t t t t t t t t t t t t t t t t δαααααδδδααα+∆+∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++-+ ⎪ ⎪⎢⎥∆∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-∆ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦K M C a Q M a a a C a a a （1.5）2.Newmark 算法计算步骤（1）形成刚度矩阵 K 、质量矩阵M 、阻尼矩阵 C 。
（2）给定0 a ，0a ，和0a（3）选择时间步长t ∆及参数α和δ，并计算积分常数。
这里要求：()20.5,0.250.5δαδ≥≥+()012324567111,,,121,2,1,2c c c c t t t t c c c t c t δααααδδδδαα====-∆∆∆∆⎛⎫=-=-=∆-=∆ ⎪⎝⎭（4）形成有效刚度矩阵01ˆˆc c + K :K =K +M C （5）三角分解ˆˆTK:K =LDL 对于每一个时间步长（1）计算时间t t +∆的有效载荷()()023145ˆt t t t t t t t t t c c c C c c c +∆+∆=++++++Q Q M a a a a a a（2）求解时间t t +∆的位移ˆT t t t t+∆+∆=LDL a Q （3）计算时间t t +∆的加速度和速度()02367t t t t t t t t t t t t tc c c c c +∆+∆+∆+∆=---=++a a a a a a a a a3.程序设计思路（1） 读入质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷列向量；读入初始状态值，如初始位移、初始速度、初始加速度；读入控制变量，如时间步长、时间步； （2） 计算8个积分常数；（3） 计算有效刚度矩阵ˆK并对有效刚度矩阵ˆK 进行LU 分解； （4） 求解时间t t +∆的有效载荷向量ˆt t+∆Q ； （5） 求解时间t t +∆的位移t t +∆a ；（6） 求解时间t t +∆的的加速度t t +∆a 和速度t t +∆a （7）计算下一时刻的有效载荷向量并循环。
Newmark-精细积分方法的选择及稳定性
2
4
因此 ,基于平均常加速度的基本假定 ,即 :
x¨i+1 + x¨i = xi+1 - xi
(2)
2
dt
xi +1
= xi
+ d txi
+
1 4
d t2
( x¨i+1
+ x¨i)
(3)
其中 : x¨i , xi , xi 分别为 ti 时刻的加速度值 、速度值和位移值 ; x¨i + 1 , xi + 1 , xi + 1分别为 ti + 1时刻的各项值 ; ti + 1 = ti + d t, d t为时间步长 , i = 0, 1, 2, …。
引言
结构动力响应的求解方法一般有直接积分方法和振型叠加方法 。直接积分方法包括传统的中心差分 方法 、W ilson法 、Newmark法 等 [1 ] 。文献 [ 2～4 ]提出了结构动力方程求解的精细时程积分法 ,结合指数矩阵 的精细算法能够获得高度精确的结果 。然而 ,精细时程法在将二阶微分方程降为一阶的同时 ,系统的自由度 数翻倍 ,矩阵的阶数和方程的个数将增加一倍 。如果将精细积分法直接应用于自由度数目较多的工程结构 中 ,则存在矩阵尺度太大的困难 。文献 [ 5 ]将 Newmark - β法中平均常加速度法的基本假定引入结构动力微 分方程 ,在实现方程降阶时 ,方程的个数保持不变 。然后运用精细指数运算和柯特斯积分 ,提出了 Newmark2 精细直接积分法 。
T0
= Dτ + (Dτ) 2 2!
+ … + (Dτ) l
l!
(8)
其中 l表示保留项数 。 然后通过以下方式得到 :
基于Newmark法的一种新精细直接积分法
方 程 （ ） ｔ 时刻 的解 并经 过 数值 离散 化 为： ６在
川 ： ＋
ｆ ｘＤ 一）（ｄ， ｅ（（ ｓ．） ｐ ）ｓｓ 厂
（ ７ ）
精 细积分 法 中指 数 矩阵 １＝ ｘ （ ）的计算 步骤 为 ’ ｅｐ Ｄｈ （ ） 指数矩 阵 ｅｐ Ｄ叼） 开 为泰勒 级数 （ ｈ ２ 一般 Ｎ＝２ ） １将 ｘ（ 展 叼＝ ／ ， ０：
＝ 一
（） ３
（） ４
（
＋ｃ Ｋ 川 ＋（ ｘ
＋ｃ （
ｉ ＋
＋ １ ）’
（） ５
收稿 日期 ：０ ６—１ ｏ ２０ １一 ３ 构分析与设计。
基金项 目： 国家 自然科学 基金项 目（０ ７ １７ 。 １５ ２ ０ ）
作者简介 ： 郭泽英 （９４ ）女 ， 临汾人 ， 师范大学讲师 ， １７一 ， 山西 山西 西安建 筑科技大学博士生 ， 主要研究 方向为高层建筑结
维普资讯
陕
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学
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学
报
第２ ３卷
将式（） ５ 写成状 态 方程 的一 般形 式 ， ： 即
：Ｄ ＋ ｘ ｆ
， ＇
（） ６
其 中 ： Ｄ： 一（ Ｍ ＋ｃ） ～Ｋ．
．＝（ Ｍ ＋ｃ） （ Ｍ ． Ｍ ， Ｆ ）－ 厂 ＋ ＋
Ｉ＝ ｔ １ ４ ・ｈ ， 。＋ ／
， ，
） ，
Ｔ ： ｘ （ ・ 一） ２ ｅｐ Ｄ ，
２： ｔ ＋ Ｉ ２ ・ｈ， ／
。
７ ：ｅｐ Ｄ ・ ＂ ｘ（ ３
［ 中图分类号 ］ Ｔ ３ １３ Ｕ ｌ．
离散系统的动力微分方程一般表示为 ： Ｍｘ＋ＣFra bibliotekｘ＋Ｋ ＝Ｆ ｘ
matlab newmark法
matlab newmark法Matlab Newmark法是一种非线性动力学分析方法，主要用于求解动力学系统的时间响应。
该方法由Newmark在20世纪50年代提出，在工程结构领域得到了广泛应用。
本文将分步骤回答关于Matlab Newmark法的问题，包括算法原理、计算步骤、优缺点以及实际案例的应用。
一、算法原理1.1 基本原理Matlab Newmark法是一种基于离散时间步长的计算方法。
其基本原理是通过将系统的运动方程转化为等效的一阶微分方程组，然后使用步进法进行数值求解。
该方法采用了二阶精度的数值积分公式，具有较高的计算精度和稳定性。
1.2 新马克法公式Matlab Newmark法的核心公式为：δu(t+Δt) = u(t) + Δt * v(t) + Δt^2 * (0.5 - β) * a(t)δv(t+Δt) = v(t) + Δt * (1 - γ) * a(t)δa(t+Δt) = (1 - γ) * a(t) + γ* a(t+Δt)其中，δ表示增量，u(t)、v(t)和a(t)分别表示位移、速度和加速度在时间t的值，β和γ为Newmark法的两个参数。
二、计算步骤2.1 确定系统参数首先，需要确定系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，以及外部激励载荷等参数。
2.2 确定时间步长根据求解精度和计算效率的要求，选择合适的时间步长Δt。
2.3 初始化位移、速度和加速度给定初始位移、速度和加速度的值。
2.4 进行时间循环使用Newmark法的公式，根据当前时刻的位移、速度和加速度的值，计算下一时刻的位移、速度和加速度。
2.5 判断收敛条件在每个时间步长内，判断计算结果是否满足收敛要求。
如果满足要求，则继续计算下一个时间步长；如果不满足要求，则重新选择适当的步长，并重新进行计算。
2.6 输出结果将每个时间步长内计算得到的位移、速度和加速度的值保存起来，以获取系统的时间响应曲线。
三、优缺点3.1 优点Matlab Newmark法具有以下优点：- 可以处理复杂的非线性动力学系统。
结构动力学newmark法程序
用matlab编程实现Newmark-β法计算多自由度体系的动力响应姓名：***学号：**************专业：结构工程用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
newmark法程序法计算多自由度体系地动力响应
用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
Newmark
多自由度系统的振动——Newmark-β数值积分方法要求：（1）计算程序可以求出多自由度系统在任意荷载作用下的响应；（2）编写程序流程图；（3）做示例验算；（4）总结分析算法的稳定性及精度。
算例：计算图示结构的响应。
阻尼采用Rayleigh阻尼，α、β值自拟。
答：（1）程序流程图：是否（2）程序代码：%Newmark-β法求多自由度结构的响应dt=0.001; %计算时间间隔a=0.0452; b=0.0463; %计算阻力矩阵的α，β(Rayleigh阻尼) A=0.5;B=0.25; %Newmark-β法中的α，βa0=1/(A*dt^2); a1=B/(A*dt); a2=1/(A*dt); a3=1/(2*A)-1;a4=B/A-1; a5=dt/2*(B/A-2); a6=dt*(1-B); a7=B*dt;%计算所需数据T=30; %计算终点时刻n=T/dt+1;t=0:dt:T; %时间向量m=3; %质点个数M=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]; %质量矩阵y=ones(m,n); %位移矩阵v=ones(m,n); %速度矩阵ac=ones(m,n); %加速度矩阵%确定初始位移、初速，计算初始加速度y(:,1)=[0;0;0];v(:,1)=[0;0;0];%K=[t(1)+1,0,0;0,t(1)+1,0;0,0,t(1)+2];%以时间为自变量的刚度矩阵K=[1,-1,0;-1,3,-2;0,-2,5];%常量刚度矩阵C=a.*K+b.*M;F=[sin(t(1));0;0]; %t0时刻荷载向量ac(:,1)=M\(F-C*v(:,1)-K*y(:,1)); %t0时刻加速度%计算等效刚度矩阵、位移向量、加速度向量、速度向量fori=2:n%K=[t(i)+1,0,0;0,t(i)+1,0;0,0,t(i)+2];%以时间为自变量的刚度矩阵C=a.*K+b.*M;F=[sin(t(i));0;0];F1=F+M*(a0*y(:,i-1)+a2*v(:,i-1)+a3*ac(:,i-1))...+C*(a1*y(:,i-1)+a4*v(:,i-1)+a5*ac(:,i-1)); %等效力K1=K+a0*M+a1*C; %等效刚度矩阵y(:,i)=K1\F1; %计算位移向量ac(:,i)=a0*(y(:,i)-y(:,i-1))-a2*v(:,i-1)-a3*ac(:,i-1);%计算加速度向量v(:,i)=v(:,i-1)+a6*ac(:,i-1)+a7*ac(:,i);%计算速度向量end%提取某些指点的位移、速度、加速度向量，绘制响应图plot(t,y(1,:),':b',t,y(2,:),'-r',t,y(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('位移y');figure(2)plot(t,v(1,:),':b',t,v(2,:),'-r',t,v(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('速度v');figure(3)plot(t,ac(1,:),':b',t,ac(2,:),'-r',t,ac(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('加速度ac');程序运行结果：（3）算法稳定性及精度Newmark-β法基于泰勒公式将t(k+1)时刻的速度、位移在t(k)时刻展开，并将未知项做近似替换。
newmarkbeta法 -回复
newmarkbeta法-回复什么是newmarkbeta法？Newmarkbeta法，也被称为Wilson-Newmark法，是一种数值积分方法，用于求解结构动力学问题。
它是基于普通微分方程的数值求解方法之一，适用于求解线性和非线性、自由和强迫响应的结构动力学问题。
该方法基于Newmark积分方法，考虑了质量矩阵和刚度矩阵对结构响应的影响，通过引入一个积分参数beta，使得在不同的参数设定下可以得到不同阶数的数值积分方法。
注意事项：在使用Newmarkbeta法时，需要明确一些注意事项：1. 时间步长的选择：时间步长需要根据所研究的问题和模型的特性来进行选择。
通常情况下，较小的时间步长可以提高精度，但也增加了计算量。
如果时间步长选择过大，可能会导致数值解的不稳定性。
2. 弛豫因子的选择：在Newmarkbeta法中，引入了一个松弛因子gamma来平衡速度和加速度的权重。
gamma为0.5时，等效于中点积分法。
gamma为0时，等效于显式向前差分法。
根据所研究问题的稳定性和精度要求，可以选择不同的gamma值。
3. 初始条件的设定：在数值解求解之前，需要设定初始条件，即结构的初始位移和速度。
这些初始条件将影响数值解的准确性和稳定性。
通常情况下，可以根据结构的静态平衡状态设定初始条件。
数值解求解步骤：下面将一步一步介绍使用Newmarkbeta法求解结构动力学问题的步骤：步骤1：建立结构模型首先，需要根据所研究的结构问题建立相应的有限元模型。
这包括定义结构的几何形状、材料性质和边界条件等。
步骤2：离散化将结构模型离散化，将结构划分成一系列有限元单元。
对于每个有限元单元，可以根据其几何形状和材料性质计算出相应的刚度矩阵和质量矩阵。
步骤3：时间积分将时间划分成一系列离散时间步长。
通过使用Newmarkbeta法中的数值积分公式，可以迭代计算每个时间步长内的结构响应。
步骤4：计算每个时间步长内的位移和速度根据Newmarkbeta法的数值积分公式，可以计算出每个时间步长内的位移和速度。
newmark-integral method -回复
newmark-integral method -回复新马克积分法（Newmarkintegral method）是一种结构动力学分析方法，常用于求解结构响应的数字积分。
本文将逐步回答与新马克积分法相关的问题，希望能为读者提供相关的知识和理解。
什么是新马克积分法？新马克积分法是一种结构动力学分析方法，用于求解结构在时间域内的响应。
它基于牛顿第二定律和等效线性化原理，通过对结构的加速度进行数值积分，得到结构的速度和位移。
这种方法适用于非线性系统，尤其适用于考虑非线性材料和几何非线性的情况。
为什么使用新马克积分法？新马克积分法在结构动力学领域得到广泛应用的原因有三个方面：1. 考虑非线性响应：新马克积分法可以处理非线性材料和几何非线性的情况，例如混凝土结构的非线性行为或地震载荷下的结构反应。
这使得它成为研究或分析非线性系统的有力工具。
2. 数值计算效率高：新马克积分法是一种数值积分方法，通过将结构的动力方程离散化为一组常微分方程，使用迭代求解的方法得到结构的响应。
相比其他方法，它具有较高的计算效率，尤其是对于大型结构体系而言。
3. 解析解的不现实性：对于复杂的结构体系或非线性问题，往往难以获得解析解。
新马克积分法不仅可以处理线性问题，也可以处理复杂的非线性问题，为结构研究和设计提供了更多的便利。
新马克积分法的基本原理是什么？新马克积分法的基本原理是将结构的动力方程离散化为一组常微分方程，通过迭代求解得到结构的响应。
其具体步骤如下：1. 建立结构的动力方程：利用牛顿第二定律和等效线性化原理，将结构的加速度表达为位移和速度的函数，并将其离散化为一组常微分方程。
2. 定义时间步长和时间步数：确定时间的步长和时间的总数，决定了离散化的精度和计算的时间范围。
3. 迭代计算：从初始时刻开始，按照一定的时间步长依次计算结构的位移和速度，并利用牛顿迭代法不断修正位移和速度的值，直至收敛为止。
4. 结果输出：在每个时间步后，可以得到结构在该时刻的位移和速度，从而可以绘制结构的响应曲线或进行其他分析。
基于MATLAB的Newmark-β动力反应数值分析法的精度稳定性分析
５编程计算并绘制时程 曲线 分别编 写当 ｓ ０ １ ＝ ． Ｙ＝ ／ Ｂ＝ ／ 、／ １２ １４ １６时计算 ｕ ｖ ｗ的主程序 和 当 ｓＯ ３ Ｙ １２ ＝ ． ２ ＝ ／ Ｂ＝ ／ 、 ／ １４ ｉ６计算 Ｕ ｖＷ的主程序 。程序清单 （ 。 略）
Ｍ Ｔ Ａ 是矩阵实验 室（ａ ｒ ｘ Ｌ ｂｒ ｔｒ ） Ａ ＬＢ Ｍ ｔ ｉ ａｏ ａ ｏ ｙ 的简称 ， 是美 国 Ｍ ｔ Ｗ ｒ ｓ ａ ｈ ｏｋ 公司出品的商业数学软件 ， 于算法 开发、 用 数据可视 化、 数据分析 以及数 值
Ｔ＝ ＊ ｉ （／ ） ０ ５ ｎ２ ｐ ／ ｋ ｍ ‘．
Ｔ ：．３１ ｎ Ｏ ５ ４
当 Ｂ １４ ＝ ／ 时算法无条件稳定 ；当 Ｂ １ ６ ＝ ／ 时，算法稳定性条件 为 ｓ ≤
ｆ Ｏ５ Ｔ ＝ ． ５１ ｎ。
计算稳定性条件 ｆ ：
ｆ ０ ５ １Ｔ ＝ ． ５ ｎ ｆ０２ ３ ＝ ． ９４
然后分 别绘制 时程位移 曲线、 时程速度 曲线和绘制时程加速度 曲线 ， 并
计算 的高级技术计算语言和交互式环境。２ 世 纪 ７ 年代 ， 国新墨西哥大 Ｏ Ｏ 美
学计算机科学系主任 Ｃ ｅｅ Ｍ ｌｒ为 了减轻学生编程 的负担，用 ＦＲ Ｒ Ｎ ｌｖ ｏ ｅ Ｏ ＴＡ 编写 了最早的 Ｍ ＴＡ 。１ ８ ｉ ｆ ＬＢ ９ ４年由 Ｌ ｔ ｌ 、ｏ ｅ 、 ｔｖ ａ ｇ ｒ ｉ ｔｅ Ｍ ｌｒ Ｓ ｅ ｅ Ｂ ａ ｅ ｔ合作成立 了的 Ｍ ｔＷ ｒ ｓ公司正式把 Ｉ ＬＢ推 向市场 。到 ２ ａｈ ｏ ｋ ￣Ｔ Ａ Ｏ世纪 ９ Ｏ年代 ，Ａ ＬＢ Ｍ Ｔ Ａ
newmark法程序法计算多自由度体系的动力响应知识讲解
用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t t t t t t t u u t u u tu}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
newmark法matlab,newmark法程序newmark法程序.doc
newmark法matlab,newmark法程序newmark法程序.doc newmark法程序newmark法程序⽤matlab编程法⼀、法原理Newmark-?法是⼀种逐步积分的⽅法，避免了任何叠加的应⽤，能很好的适应⾮线性的反应分析。
Newmark-?法假定：(1-1)(1-2)式中，?和?是按积分的精度和稳定性要求进⾏调整的参数。
当?=0.5，?=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t到t+?t时刻的速度不变，取为常数。
研究表明，当?≥0.5，??≥0.25(0.5+?)2时，Newmark-?法是⼀种⽆条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到⽤及，，表⽰的，表达式，即有(1-3)(1-4)考虑t+?t时刻的振动微分⽅程为：(1-5)将式(2-143)、式(2-144) 代⼊(2-145)，得到关于ut+?t的⽅程(1-6)式中求解式(2-146)可得，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出和。
由此，Newmark-?法的计算步骤如下：1.初始计算：(1)形成刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]；(2)给定初始值， 和；(3)选择积分步长?t、参数?、?，并计算积分常数，，，，，，，；(4)形成有效刚度矩阵；2.对每个时间步的计算：(1)计算t+?t时刻的有效荷载：(2)求解t+?t时刻的位移：(3)计算t+?t时刻的速度和加速度：Newmark-?⽅?t的⼤⼩不影响解的稳定性，?t的选择主要根据解的精度确定。
法计算四层框架结构在顶部受⼀个简谐荷载的作⽤，⼒的作⽤时间=5s，计算响应的时间为100s，分2000步完成。
阻尼矩阵由Rayleigh阻尼构造。
具体数据如下图：图⼀：计算简图法程序m=[1,2,3,4];m=diag(m);k= [800 -800 0 0;-800 2400 -1600 0;0 -1600 4800 -3200;0 0 -3200 8000];c=0.05*m+0.02*k;f0=100;t1=5;nt=2000;dt=0.01;alfa=0.25;beta=0.5;a0=1/alfa/dt/dt;a1=beta/alfa/dt;a2=1/alfa/dt;a3=1/2/alfa-1;a4=beta/alfa-1;a5=dt/2*(beta/alfa-2);a6=dt*(1-beta);a7=dt*beta;d=zeros(4,nt);v=zeros(4,nt);a=zeros(4,nt);for i=2:ntt=(i-1)*dt;if (tke=k+a0*m+a1*c;fe=f+m*(a0*d(:,i-1)+a2*v(:,i-1)+a3*a(:,i-1))+c*(a1*d(:,i-1)+a4*v(:,i-1)+a5*a(:,i-1)); d(:,i)=inv(ke)*fe;a(:,i)=a0*(d(:,i)-d(:,i-1))-a2*v(:,i-1)-a3*a(:,i-1);v(:,i)=v(:,i-1)+a6*a(:,i-1)+a7*a(:,i);end计算结果截图最后程序分别计算出四个质点的位移、速度、加速度响应。
固体力学中的数值方法_Newmark算法
Newmark 算法程序计算报告1.Newmark 算法理论基础在~t t t +∆的时间区域内，Newmark 积分方法采用下列的假设，即()2112t t t t t t t tt t t t t t t tδδαα+∆+∆+∆+∆=+-+∆⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+∆+-+∆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a a a a a a a a a （1.1） 其中α和δ是按积分精度和稳定性要求决定的参数。
另一方面，α和δ取不同的值则代表了不同的数值积分方案。
当1/6,1/2αδ==时，（1.1）式相应于线性加速度法，因为这时他们可以由下式得到()/ (0)t t t t t t t t ττ+∆+∆=+-∆≤≤∆a a a a （1.2）当1/4,1/2αδ==时，Newmark 算法相应于常平均加速度法这样一种无条件稳定的积分方案。
此时，t ∆内的加速度为()12t t t t t +∆+∆=+a a a （1.3） 因此，将（1.1）式可以得到()211112t t t t t t t t t ααα+∆+∆⎛⎫=---- ⎪∆∆⎝⎭a a a a a （1.4） 代入到动力学平衡方程中可以得到22111112 112t t t t t t t t t t t t t t t t δαααααδδδααα+∆+∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++-+ ⎪ ⎪⎢⎥∆∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-∆ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦K M C a Q M a a a C a a a （1.5）2.Newmark 算法计算步骤（1）形成刚度矩阵 K 、质量矩阵M 、阻尼矩阵 C 。
（2）给定0 a ，0a ，和0a（3）选择时间步长t ∆及参数α和δ，并计算积分常数。
这里要求：()20.5,0.250.5δαδ≥≥+()012324567111,,,121,2,1,2c c c c t t t t c c c t c t δααααδδδδαα====-∆∆∆∆⎛⎫=-=-=∆-=∆ ⎪⎝⎭（4）形成有效刚度矩阵01ˆˆc c + K :K =K +M C （5）三角分解ˆˆTK:K =LDL 对于每一个时间步长（1）计算时间t t +∆的有效载荷()()023145ˆt t t t t t t t t t c c c C c c c +∆+∆=++++++Q Q M a a a a a a（2）求解时间t t +∆的位移ˆT t t t t+∆+∆=LDL a Q （3）计算时间t t +∆的加速度和速度()02367t t t t t t t t t t t t tc c c c c +∆+∆+∆+∆=---=++a a a a a a a a a3.程序设计思路（1） 读入质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷列向量；读入初始状态值，如初始位移、初始速度、初始加速度；读入控制变量，如时间步长、时间步； （2） 计算8个积分常数；（3） 计算有效刚度矩阵ˆK并对有效刚度矩阵ˆK 进行LU 分解； （4） 求解时间t t +∆的有效载荷向量ˆt t+∆Q ； （5） 求解时间t t +∆的位移t t +∆a ；（6） 求解时间t t +∆的的加速度t t +∆a 和速度t t +∆a （7）计算下一时刻的有效载荷向量并循环。
matlab newmark法 -回复
matlab newmark法-回复Newmark法是一种常用于结构动力学中的数值计算方法，用于求解大挠度、大变形的结构动力响应问题。
本文将一步一步回答以下问题，介绍Newmark法的原理、实现步骤以及一些应用案例。
一、什么是Newmark法？Newmark法是一种被广泛应用于结构动力学中求解非线性动力响应的数值计算方法。
它是由美国工程师Nathaniel M. Newmark于1959年提出的，广泛应用于土木工程、航空航天工程、机械工程等领域。
二、Newmark法的原理是什么？Newmark法主要基于两个基本原理：受力平衡和位移一致性。
在求解结构动力问题时，我们需要找到结构在任意时间点的位移、速度和加速度。
先计算结构受力平衡，然后根据位移一致性进行迭代，逐步求得结构的动力响应。
三、Newmark法的具体实现步骤是什么？1. 将结构模型离散化为有限个质点，并将其连接为刚性结构体系。
2. 建立结构的动力学方程，可以使用拉格朗日方程、哈密尔顿原理等来描述结构的振动行为。
3. 通过数值积分方法，将结构动力学方程转化为差分形式。
常用的数值积分方法有欧拉法、中点法、Newmark法等，其中Newmark法是基于加速度前推法的一种积分方法。
4. 根据Newmark法的公式，计算每个离散质点的位移、速度和加速度。
主要步骤包括：- 计算预测位移和预测速度。
- 计算系统的预测加速度。
- 根据预测位移、预测速度和预测加速度，计算结构的残余力。
- 根据残余力修正预测加速度。
- 根据修正后的预测加速度和预测速度，计算结构的修正位移和修正速度。
- 更新位移、速度和加速度的值，进行下一时刻的计算。
5. 迭代以上步骤，直到达到要求的时间点或收敛条件。
四、Newmark法的优点和缺点是什么？优点：1. Newmark法适用于求解大挠度、大变形的结构动力响应问题。
2. 该方法具有较高的计算精度和稳定性，在工程实践中被广泛应用。
3. Newmark法能够较好地处理非线性材料模型和非线性几何模型。
newmark beta法
newmark beta法Newmark Beta法是一种常用的地震动力强度评估方法，被广泛应用于工程抗震设计中。
本文将详细介绍Newmark Beta法的原理、应用和局限性。
1. 引言地震是一种破坏性极大的自然灾害，给人类社会带来了巨大的威胁。
为了确保工程建筑的安全性，需要对地震动力强度进行合理评估。
Newmark Beta法是一种基于动力学原理的地震动力强度评估方法，具有简便、实用和可靠的特点。
2. Newmark Beta法的原理Newmark Beta法基于地震动力学原理，通过计算结构的位移与加速度之间的关系，来评估地震动力强度。
其基本原理是根据结构的动力学特性，将地震作用过程分为弹性阶段和塑性阶段，通过对结构的塑性变形进行分析，来评估地震动力强度。
3. Newmark Beta法的应用Newmark Beta法可以用于评估结构在地震作用下的位移和加速度响应，进而判断结构的破坏程度。
它可以对结构的抗震性能进行准确评估，为工程抗震设计提供重要依据。
此外，Newmark Beta法还可以用于评估结构的剪切破坏和倾覆破坏等情况，提供更全面的安全评估。
4. Newmark Beta法的局限性尽管Newmark Beta法具有许多优点，但也存在一定的局限性。
首先，该方法需要对结构的动力学特性进行准确建模，包括结构的质量、刚度和阻尼等参数，这对于大型复杂结构来说可能存在一定困难。
其次，该方法在考虑结构非线性行为时存在一定局限性，对于某些特殊结构类型，如高层建筑和桥梁等，可能需要其他更为精细的分析方法。
5. 结论Newmark Beta法是一种常用的地震动力强度评估方法，具有简便、实用和可靠的特点。
它可以用于评估结构在地震作用下的位移和加速度响应，为工程抗震设计提供重要依据。
然而，该方法也存在一定的局限性，需要结合实际情况进行合理应用。
在工程实践中，我们应当根据具体情况选择合适的评估方法，确保结构的抗震性能和安全性。
newmark-β积分法
newmark-β积分法Newmark-β积分法是一种求解动力学方程的数值方法，它是将齐次二阶常微分方程转化为一组一阶常微分方程组合而成的。
Newmark-β积分法适用于非线性和线性问题，它的优点是稳定性好、精度高、计算速度快，并且求解结果具有高精度和可靠性。
Newmark-β积分法由美国科学家Newmark于1959年提出，它采用了一个半隐式的时间推进格式，将时间积分精确到二阶，即在时间推进过程中同时计算位移和速度。
Newmark-β积分法可以看做是一种基于变速度的方法，它将时间积分的加速度通过一个参数β进行调整，使得加速度的影响逐渐变弱，而速度和位移的影响逐渐变强，从而保证了数值解的精度和稳定性。
在Newmark-β积分法中，位移和速度分别表示为u(t)和v(t)，加速度可以通过力和质量计算得出。
通过一定的推导可得到如下的方程：u(t+Δt) = u(t) + Δt*v(t) + Δt^2*[(1-2β)/2]*a(t) +Δt^2*β*a(t+Δt)v(t+Δt) = v(t) + Δt*[(1-γ)]*a(t) + Δt*γ*a(t+Δt)其中，γ和β均是调节参数，它们的取值会对数值解的精度和稳定性产生影响。
通常情况下，β取值在0.25~0.35之间，γ取值在0.5左右。
Newmark-β积分法在工程领域有广泛的应用，特别是在结构动力学和地震工程等领域具有重要地位。
例如，当地震发生时，建筑物和桥梁等结构会受到很大的地震力，这时可以采用Newmark-β积分法来模拟结构的动态响应。
通过对模拟的结果进行分析，可以评估结构的安全性和稳定性，从而指导设计和修建。
总之，Newmark-β积分法是一种有效的数值方法，它在很多应用领域有着广泛的应用。
通过对Newmark-β积分法的理解和运用，可以提高工程师对动力学问题的分析和解决能力。
newmark-integral method -回复
newmark-integral method -回复什么是新马克积分法（Newmark Integration Method）？新马克积分法，又称为Newmark Integration Method，是一种用于结构动力学分析的数值计算方法。
它是由美国工程师Nathan Newmark 于20世纪50年代初开发的。
新马克积分法可以用于分析结构在地震或其他动力荷载作用下的响应。
新马克积分法基于结构的运动方程，通过离散化时间步长，将连续时间的问题转化为离散时间的问题。
这种方法是基于中点积分的一阶差分离散化方法，它可以精确地模拟结构的振动响应。
新马克积分法的步骤如下：1. 定义系统的初始条件：首先需要定义结构的初始位移、初始速度和初始加速度。
这些初值可以通过实际测量或基于结构几何和质量特性的估计得出。
2. 确定时间步长：选择适当的时间步长用于离散化求解。
时间步长的选择取决于结构的特性以及所需的计算精度。
通常情况下，时间步长越小，计算结果越精确，但计算量也越大。
3. 计算加速度：基于初始条件和结构的动力学方程，可以通过求解牛顿第二定律得到当前时间步长下的加速度。
在新马克积分法中，采用中点积分的方法计算加速度。
4. 更新速度和位移：根据当前时间步长下的加速度，可以通过积分计算更新速度和位移。
由于采用中点积分的方法，需要先根据当前时间步长的加速度估计下一个时间步长的速度和位移。
然后，根据速度和位移的更新公式进行迭代计算，直至满足收敛要求。
5. 更新初始条件：将当前时间步长的速度和位移作为下一个时间步长的初始条件，并进一步迭代计算。
6. 重复步骤3至5，直至达到所需的计算时间或满足其他收敛准则。
新马克积分法的优点是可以精确地模拟结构的动力响应，并且可以考虑结构的非线性特性。
相比于其他数值计算方法，新马克积分法的数值稳定性较好，计算精度较高。
然而，由于需要迭代计算，计算量较大，且每个时间步长的计算结果都依赖于前一个时间步长的结果，所以计算效率较低。
精细时程积分法
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精细时程积分法是一种数值计算方法，主要用于求解常微分方程或者偏微分方程的初值问题或者边值问题。
这种方法将积分区间进行无限分割，并对每个小区间上的微小时间段进行逐步积分，从而得到整个积分区间的积分结果。
具体来说，精细时程积分法首先将积分区间[a, b]进行等分，每个小区间的长度为h。
然后，在每个小区间上采用适当的数值积分方法进行逐步积分，得到每个小区间上的积分结果。
最后，将所有小区间上的积分结果进行累加，即可得到整个积分区间的积分结果。
精细时程积分法的优点在于精度高、稳定性好、易于实现。
由于采用了逐步积分的方式，因此对于初值问题和边值问题都可以使用该方法进行求解。
此外，由于该方法只需要求解每个小区间上的数值积分，因此计算量较小，适用于大规模的数值计算问题。
基于newmark积分方案的dda方法
基于newmark积分方案的dda方法近些年，由于工程计算需求的增加，计算机技术及其应用也发生了显著的变化。
其中，Newmark积分方案（Newmark Integration Scheme，NIS）作为一种计算机技术，在工程计算中发挥了重要作用。
在改进NIS的基础上，提出了基于Newmark积分方案的动力系统数值分析方法（Dynamic Discrete Analysis，DDA），它可以用来模拟动力系统的行为。
本文将会介绍DDA的原理、概念、性能和如何应用它来分析动力系统信息，以及一些有关NIS和DDA的研究进展。
一、DDA方法概述DDA是基于Newmark积分方案的动力系统数值分析方法，它用来从复杂的动力系统中提取、处理和分析力学计算的结果。
简而言之，它是一种模拟动力系统行为的新型数值分析技术。
DDA方法结合了Newmark积分方案的一些优势，既可以有效地解决离散动力系统中质点运动方程的模型，又能准确评估模型的稳定性，实现模型的自动控制以及复杂系统的分析。
DDA的核心思想是将时间转换成离散的阶段，将系统状态的更新限制在每一个阶段内。
模型运行列表示为：系统从原始状态开始，采用NIS方案对系统进行积分计算，实现了离散的动力系统模拟。
二、DDA方法特点（1）高效算法DDA方法采用了NIS算法，具有较高的计算效率和精度。
DDA算法可以有效地解决离散动力系统中质点运动方程的模型，实现了快速、准确的计算。
（2）模型稳定性DDA方法可以有效解决NIS积分方案可能带来的模型不稳定现象，确保了动力系统的模型稳定性。
（3）准确评估DDA方法可以准确测量系统的特性，综合考虑不同的力学参数，使得研究者可以准确得到所需的系统信息。
三、DDA方法的应用DDA方法主要应用于动力系统的数值分析，它可以有效模拟系统的特性，实现对力学参数的准确测量，例如：有限元分析、机器人仿真、可服役结构的可靠性预测和计算等等。
四、NIS与DDA研究进展NIS积分方案是DDA分析的基础，它采用变步长的局部积分方法。
matlab newmark法 -回复
matlab newmark法-回复一、引言（150-200字）在工程学和地震工程中，结构动力学分析是非常重要的一项任务。
传统的动力学分析方法可以精确地反映结构的动力响应，但通常需要耗费大量计算时间。
因此，为了更高效地分析结构的动力响应，人们提出了许多快速动力学分析方法，其中之一就是Newmark法。
Newmark法是一种常用的数值积分方法，用于求解动力学方程，特别适用于分析结构在地震荷载下的响应。
本文将详细介绍Newmark法的原理、步骤和应用。
二、Newmark法概述（200-300字）Newmark法由美国加州大学伯克利分校的Nathaniel Newmark于1959年提出，是一种线性加速度法，通过对动力学方程进行离散化和近似求解来估计结构的响应。
与其他数值积分方法相比，Newmark法具有更高的精度和数值稳定性。
据其原理，结构的加速度、速度和位移可以通过近似求解一个差分方程组得到。
在Newmark方法中，加速度和速度采用一阶差分逼近，位移则采用二阶差分逼近。
该方法根据结构当前状态的速度和加速度估计其未来状态。
三、Newmark法的步骤（400-600字）Newmark法的求解步骤主要可以划分为以下几个部分：1. 建立动力学方程：根据结构的质量、刚度和阻尼，可以得到结构的动力学方程。
一般而言，地震响应分析采用单自由度体系，方程形式为：\[M\ddot{u}+C\dot{u}+Ku=F(t)\]其中，\(M\)为结构的质量矩阵，\(\ddot{u}\)为结构的加速度向量，\(C\)为阻尼矩阵，\(\dot{u}\)为结构的速度向量，\(K\)为结构的刚度矩阵，\(u\)为结构的位移向量，\(F(t)\)为结构受到的外部荷载。
2. 离散化：将动力学方程离散化，得到几个离散时间步点上的方程。
这可以通过使用定义在连续时间步长上的加速度和速度进行近似来实现。
一般而言，采样时间步长会远小于结构的固有周期，以保证精度。
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1 Newma rk2精细直接积分法
1. 1 基本原理
离散结构模型的动力方程为 :
M x¨+ Cx + Kx = F
(1)
式中 : x, x, x¨分别为体系的水平位移 、速度和加速度向量 ; F 为外力列向量 ; M , C, K分别为体系的质量 、阻尼
和刚度矩阵 。
在 Newmark2β法中 ,当控制参数 α = 1 ,β= 1时 , 即平均常加速度法 , 具有二阶精度 , 是无条件稳定的 。
T0
= Dτ + (Dτ) 2 2!
+ … + (Dτ) l
l!
(8)
其中 l表示保留项数 。 然后通过以下方式得到 :
Tk = 2Tk - 1 + Tk - 1 ·Tk - 1
T = I + TN ( k = 1, 2, 3, …, N )
(9)
对式 ( 7)中第 2项的非齐次项分别采用辛浦生积分 (代数精度为 3) 、柯特斯积分 (代数精度为 5) 、三节
(1. 西安建筑科技大学 土木工程学院 ,陕西 西安 710055; 2. 山西师范大学 工程学院 ,山西 临汾 041000)
摘要 : :针对 Newmark2精细直接积分法 ,对其非齐次项的积分方法进行了讨论 ,并分析了该逐步积分 方法的稳定性 。通过理论推导和数值验证 ,此方法的非齐次项采用高斯积分公式 ,其计算误差均比采 用柯特斯积分公式和辛浦生积分公式的误差小 ,且其计算工作量比原方法的少 ,因此 Newmark2精细 直接积分法得到了改进 。通过稳定性的分析得知 ,改进的 Newmark2精细直接积分法虽是条件稳定 的 ,但是其稳定性条件极易满足 。综合分析 ,此方法可推广应用于实际结构的动力反应分析中 。 关键词 : : Newmark2精细直接积分法 ;直接积分 ;稳定性分析
( 1. School of Civil Engineering, Xi’an University of A rchitecture and Technology, Xi’an 710055, China; 2. School of Engineering, Shanxi Normal University, L infen 041000, China)
根据稳定性分析理论 ,直接积分法的稳定性分析只需要研究一个典型的单自由度体系的运动方程 : m x¨
+ cx + kx = f ( t) ,在无阻尼的情况下 ,使其积分传递算子的谱半径小于或等于 1,即 ρ(A )
= m ax
λ i
≤1 (A 为
积分传递算子 ;λi 为传递算子 A 的第 i个特征值 ) 。
中图分类号 : P315. 96; TU311. 3 文献标志码 : A
In tegra tion form ula selection and stab ility for Newmark2prec ision d irect in tegra l m ethod
GUO Zeying1, 2 , L I Q ingning1
x i+1 = Txi + exp (D ( ti+1 - τ) ) r (τ) dτ
(7)
ti
其中第一项中的矩阵 T可用数值方法精细算得 ,即 :
T = exp (D ·d t) = [ exp (D ·d t / n) ]n ,η = d t / n, n = 2N
由泰勒级数有 :
T (η) = eDη = I + T0
第 24卷 ,第 3期 2008年 9月
世 界 地 震 工 程
WORLD EARTHQUAKE ENGINEER ING
文章编号 : 100726069 (2008) 0320107205
Vol. 24, No. 3 Sep. 2008
N ewm a rk2精细积分方法的选择及稳定性
郭泽英 1, 2 , 李青宁 1
引言
结构动力响应的求解方法一般有直接积分方法和振型叠加方法 。直接积分方法包括传统的中心差分 方法 、W ilson法 、Newmark法 等 [1 ] 。文献 [ 2～4 ]提出了结构动力方程求解的精细时程积分法 ,结合指数矩阵 的精细算法能够获得高度精确的结果 。然而 ,精细时程法在将二阶微分方程降为一阶的同时 ,系统的自由度 数翻倍 ,矩阵的阶数和方程的个数将增加一倍 。如果将精细积分法直接应用于自由度数目较多的工程结构 中 ,则存在矩阵尺度太大的困难 。文献 [ 5 ]将 Newmark - β法中平均常加速度法的基本假定引入结构动力微 分方程 ,在实现方程降阶时 ,方程的个数保持不变 。然后运用精细指数运算和柯特斯积分 ,提出了 Newmark2 精细直接积分法 。
由式 ( 2)得 :
x¨i + 1
=
2 dt
(
xi+1
-
xi )
-
x¨i
(4)
将 ( 4)代入 ti + 1时刻的方程 ( 1)中得到 :
xi+1 = -
2M dt
+C
-1
Kxi + 1
+
2M + C -1 dt
2M dt
xi
+ M x¨i +
F i+1
(5)
将式 ( 5)写成精细积分法一般形式 ,即 :
xi +1
=
T xi
+ dt 2
8 9
T1
r (τ1
)
+
5 9
T2 r (τ2 )
+
5 9
T3
r (τ3 )
( 10 )
xi+1 = D xi+1 + r ( ti+1 )
x¨i+1 = M - 1 ( - C xi+1 - Kxi+1 + F i+1 )
( 11 ) ( 12 )
2 Newma rk2精细直接积分法的稳定性分析
由式 ( 10) ～式 ( 12)可以得到单自由度体系下相应的表达式 ,经过整理化简得到以下关系式 :
其中 : A = a11 a12 a21 a22
xi+1 = A xi + L f ( t)
xi +1
xi
a11 = T - d2tD0 dk, a12 = D0 nd
a21
= DT
-
DD0
dtdk 2
2
4
因此 ,基于平均常加速度的基本假定 ,即 :
x¨i+1 + x¨i = xi+1 - xi
(2)
2
dt
xi +1
= xi
+ d txi
+
1 4
d t2
( x¨i+1
+ x¨i)
(3)
其中 : x¨i , xi , xi 分别为 ti 时刻的加速度值 、速度值和位移值 ; x¨i + 1 , xi + 1 , xi + 1分别为 ti + 1时刻的各项值 ; ti + 1 = ti + d t, d t为时间步长 , i = 0, 1, 2, …。
110
世 界 地 震 工 程 第 24卷
当 l→∞时 , T = exp
πΩ η - 1 +ξωd tTn
由于任一积分方法的稳定性仅依赖于积分传递算子 A 的特征值 ,因此未具体列出荷载矢量算子 L 的表
达式 。ω, Tn 分别是体系振动的圆频率 、结构的固有周期 ,采样频率 Ω =ωΔt,阻尼比 ξ= 2MCω。
ti
柯特斯公式的积分格式 :
∫ti+1 exp (D ( ti+1
ti
- τ) ) r (τ) dτ = d t /90· 7exp (D ·d t) ·r( ti )