高等数学下试题及参考答案华南农业大学
高数(下学期)试卷及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n ∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是 （ ）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz .７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D是由y =y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．４．计算曲面积分=++，I xdydz ydzdx zdxdy)∑其中∑为上半球面z=参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y=-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分）2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xyz z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分） 243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z zz z F F z z yx F e y F e∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1z z z dz dx dy dx ydy x y e∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域．解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分）212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）12d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂1.5CM3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑上a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分）而1)xdydz ydzdx zdxdy ∑++100Dzdxd y dxdy ∑===．．．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
华南农业大学09年高等代数(下)(A)卷参考答案
2009—2010学年第二学期高等代数II 参考答案一、选择题1. (D)2. (D)3. (A)4. (C) 5 (C)二、填空题1. 5;2. (2,0)x y +;3. 0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 4. 2; 5. (2,2,2) 三、判断题1. √2. ×3. √4. × 5 √四、解答题1. 解：因为()()12341234100 0110 0,,,,,,11 1 01 1 1 1ααααεεεε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2分 所以，()()112341234100 0110 0,,,,,,11 1 01 1 1 1εεεεαααα-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3分()1234100 0110 0,,,01 1 0 0 0 1 1αααα⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭6分 故从基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵为100 0110 001 1 0 0 0 1 1A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭7分 设ζ在基1234,,,αααα下的坐标为1234(,,,)x x x x ，则有()123412,,,34ζεεεε⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8分()123412,,,34A αααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭9分 故12341100 0112110 021301 1 0314 0 0 1 141x x A x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 10分 故ζ在基1234,,,αααα下的坐标为(1,1,1,1)。
11分2. 解：由于123123 1 2 2(,,)(,,) 2 1 22 2 1σεεεεεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基123,,εεε下的矩阵为1 2 22 1 22 2 1A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1分设1(0)ασ-∈，其中112233x x x αεεε=++， 则 2分1123230()(,,)x x x σασεεε⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭3分 1123231 2 2(,,) 2 1 22 2 1x xx εεε⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4分 故 1231 2 202 1 202 2 10x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5分 又因为 1 2 22 1 2502 2 1=≠， 6分故 11231 2 2002 1 2002 2 100x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 7分由于 123(,,)V L σσεσεσε= 8分由于||50A =≠，故dim()()3V R A σ==。
2011高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz. ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分）243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z z z z F F z z y x F e y F e ∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1zz z dz dx dy dx ydy x y e ∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =及y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分） 212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定． 解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分） 而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
华农高数下期末试卷
装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'220y y x---=是（）A．齐次方程B．可分离变量方程C．一阶线性方程D．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z+-==-垂直的平面方程是（）A．4250x y z+-+=B．4250x y z++-= C．42110x y z+-+=D．42110x y z++-=3．设(,)ln()2yf x y xx=+，则(1,1)yf=（）A．0 B．13C．12D．24．若lim0nnu→∞=，则级数1nnu∞=∑（）A．可能收敛，也可能发散B．一定条件收敛C．一定收敛D．一定发散5．下列级数中发散的是（）A ．112nn∞=∑B．111(1)nn n∞-=-∑C．111n n n∞=+∑D．311(1)n n n∞=+∑得分装订线二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y-+=的通解为____________________。
2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b==-，则2a b+=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b==-，它们的夹角为θ，则c o sθ=____________________。
4．设xz y=，则dz=____________________。
5．设L是圆周229x y+=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy-+-⎰ 的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctanxzy=，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。
高等数学下试卷及答案 2复习课程
2009高等数学下试卷及答案2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上）1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求）2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则2Lydx xdy +=⎰__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数11(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
） 1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C ．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==-仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢32．设22()z y f x y =+-，其中()f u 是可微函数,则zy∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A．1n ∞= B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑ D．1n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-102202])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-12202])()([2dr r rf dr r rf π5.一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 212x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x ∂∂，2zx y∂∂∂。
11学年第二学期大学数学2试卷(A卷)-参考答案
2011-2012学年第 2 学期 大学数学Ⅱ 华南农业大学期末考试试卷（A 卷）-参考答案 一、1. 0.8； 2. 31e --； 3. 518； 4. 416 ； 5. )1(t ； 6. (4.412，5.588) 二、1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 三、1. 解 设A =“任取一产品，经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分） 则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（5分）（2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===. （8分） 2. 解 (1) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- (3分) (2) X 的分布律为 (5分) (3) X 的分布函数为 0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (8分)3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e ---<=-<<===-⎰⎰. (3分)（2）当0y ≤时，()()()20F y P Y y P X y =<=<=； (5分) 当0y >时，()()(20x x F y P X y P X dx dx --=<=<== (8分)所以2Y X =的密度函数为0,0()()0y f y F y y ≤⎧⎪'==>. (10分)4. 解 （1）因为随机变量X 与Y 相互独立， ( 1分)所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他(3分)（2）{}(,)y x P Y X f x y dxdy <<=⎰⎰3300[]x y edy dx -=⎰⎰ (6分) 330(1)x e dx -=-⎰3390181()333xx e e --=+=+()9183e -=+ (8分)（3）解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分) 所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (12分) 由X 与Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+= (14分) 四、1. 解 检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （1分） 依题意，取统计量：222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分） 查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==，220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, （5分） 计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分） 因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差与规定的方差无显著差异. （8分） 2. 解 (1)(2) 解 因为F =5.6681>0.01(3,16) 5.29F =，所以拒绝0H ，即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3. 解 2.10=x ，239=y (2分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈；01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分) 因此所求回归直线方程为 ˆ24.7725.86y x =-+ (8分)。
高等数学B-下册-历年考试题目及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2004学年第2学期 考试科目 高等数学（经济类）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号 姓名 专业年级一、填空题（每空2分）1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim2x f x f x x →+--=，则11x y fx==∂∂= 。
2．设(){}22,4D x y xy y =+≤，则(),Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为。
3．()200sin limx y xy x→→= 。
4．级数1025n n +∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑= 。
5．设2x xy z y e =+，则()1,2z y∂∂= 。
6．320y y y '''-+=的通解为 。
7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是 。
8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为 。
9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫⎪⎝⎭，处的全微分为 。
10. 若级数211p n n∞+=∑发散，则p ≤ 。
二、选择题（每题3分）1. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A 条件收敛B 发散C 不能确定D 收敛2. 设22D 14x y ≤+≤：，则二重积分Ddxdy ⎰⎰=（ ） A π B 4π C 3π D 15π3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（ ）()11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值5. 若级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑都发散，则（ ）A()1nn n uv ∞=+∑必发散 B ()1n n n u v ∞=∑必发散C()1nn n uv ∞=+∑必发散 D ()221n n n u v ∞=+∑必发散三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求zx∂∂ 3. 求级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域 4. 将函数()14f x x=-展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。
2010高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'220y y x ---=是（ ）A ．齐次方程B ．可分离变量方程C ．一阶线性方程D ．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z +-==-垂直的平面方程是（ ）A ．4250x y z +-+=B ．4250x y z ++-=C ．42110x y z +-+=D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,1)y f =（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．24．若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A ．可能收敛，也可能发散B ．一定条件收敛C ．一定收敛D ．一定发散5．下列级数中发散的是（ ）A ．112n n ∞=∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．n ∞= D ．n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。
（今年不作要求）2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b ==-，它们的夹角为θ，则c o s θ=____________________。
4．设x z y =，则dz =____________________。
5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。
高等数学下试题及参考答案华南农业大学
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'ln xy y y =的通解 。
2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯= 。
3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。
4．设2sin()z xy =，则zy∂=∂ 。
5．交换积分次序2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰ 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取正向，则322()()Lx xy dx x y dy +++⎰等于 （ ）A ．1-B ．1C ．12 D ．142．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ）A ．()i k ±- B．()2j k ±- C．()2j k ±+ D．)i j k -+ 3．设ln z xy =（），则11x y dz === （ ）A ．dy dx -B ．dx dy +C ．dx dy -D ．04．对于级数1(1)np n n∞=-∑，有 （ ）A ．当1p >时条件收敛B ．当1p >时绝对收敛C ．当01p <≤时绝对收敛D ．当01p <≤时发散5．设10(1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞=∑ B ．1(1)nn n u ∞=-∑ C．n ∞=．21(1)n n n u ∞=-∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）计算二重积分arctanDy d xσ⎰⎰，其中D 是1.22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
2009高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上） 1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求） 2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则 2Lydx xdy +=⎰Ñ__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====u r, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数1(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
）1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==- 2．设22()z y f xy =+-，其中()f u 是可微函数,则zy ∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A ．1n ∞=B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑D ．n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-1222])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-1222])()([2dr r rf dr r rf π5. 一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 2122x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x∂∂，2z x y ∂∂∂。
高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。
4．设yz u x =，则du = 。
5．级数11(1)np n n∞=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y+=的通解是（ ）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →= （ ）A ．14 B ．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （） A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．1n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
1. 求2. 计算二重积分22Dx y dxdy x y++⎰⎰，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
2014高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业（估计不考或考的可能性比较小的题目已删除）一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'ln xy y y =的通解 。
2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯= 。
3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。
4．设2sin()z xy =，则zy∂=∂ 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取正向，则322()()Lx xy dx x y dy +++⎰等于 （ ）A ．1-B ．1C ．12 D．142．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是（）A ．()i k ±-B ．()2j k ±- C ．)2j k ±+ D ．)2i j k ±-+3．设ln z xy =（），则11x y dz=== （ ）A ．dy dx -B ．dx dy +C ．dx dy -D ．04．对于级数1(1)np n n∞=-∑，有 （ ）A ．当1p >时条件收敛B ．当1p >时绝对收敛C ．当01p <≤时绝对收敛D ．当01p <≤时发散 5．设10(1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞=∑ B ．1(1)nn n u ∞=-∑ C．1n ∞=D ．21(1)n n n u ∞=-∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctanDyd xσ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
华南农业大学珠江学院期末高数考试A卷和答案
华南农业大学珠江学院期末考试试卷2020学年度下学期 考试科目：高等数学考试年级：信工系08本科_ 考试类型：（闭卷）A 卷 考试时刻：120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）1.微分方程2323230d y d y dx x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的阶数为 .2.已知{}1,2,2a =，{}b ,,=λ-21，且b a ⊥，那么=λ .3.已知函数2x yz e=, 那么 1 2x y dz=== _ .4.已知ln 1(,)exdx f x y dy ⎰⎰, 那么改变积分顺序后，二次积分变成 _ .5.已知三重积分(,,),I f x y z dv Ω=Ω⎰⎰⎰: 由旋转抛物面22z xy =+ 与平面1z =围成，将其化成三次积分为 _ _ .6.曲面222236x y z ++=在点（1，1，1）处的法线方程为 ________________________7.若是级数1nn u∞=∑收敛，那么必然知足的条件是lim n n u →∞= _ .8.已知 L 为连接（1, 0）及( 0 ,1 )两点的直线段，那么积分 ()Lx y ds +⎰= _ .二、单项选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）在每题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多项选择或未选均无分。
9.二元函数(,)z f x y =在00,)x y 点（处可微是偏导数 00 00,),,)x y f x y f x y （（存在的（ ）. A. 必要条件 ; B. 充要条件 ; C. 充分条件 ; D. 既非充分又非必要条件.10.方程22212y x z -+=所表示的曲面是（ ）. A. 双曲抛物面 ; B.椭圆锥面 ; C. 双叶旋转双曲面 ; D. 单叶旋转双曲面 . 11.点（0，0）是函数z xy =的（ ）.A. 极值点;B. 驻点 ;C. 最大值点 ;D. 不持续点 . 12.设D 由圆22(1)1x y -+= 所围成,那么(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（ ）A. 2cos 0(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰; B.2cos 2 02(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;C.2cos 22(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰; D.22 0(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ .13.已知L 为从点（1，1）到点（4，2）的直线段，那么()()Lx y dx y x dy ++-⎰值为（ ）.A. 10 ;B. 11 ;C. 8 ;D. 9 . 14.以下级数中绝对收敛的是（ ）.A. 1(1)nn n ∞=-∑ ; B.1!3n n n ∞=∑ ; C. 121(1)n n n -∞=-∑ ;D. 1(1)nn ∞=-∑ . 三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）15.求微分方程440y y y '''-+=知足初始条件01,4x x y y =='==的特解.16.过点（2，0，-3）且与直线 247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程.17.设22(,)y z f x y x =-，f 具有一阶持续编导数,求z z x y∂∂∂∂及.18.函数(,)z z x y = 由方程zx y z e +-=所确信，求2z zx x y∂∂∂∂∂及.19.求22Dx d yσ⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==与双曲线1xy =所围成的闭区域.20.计算222(2sin )cos L y xy x dx x dy -+⎰ ，其中L 为椭圆22221x y a b+=的右半部份，取逆时针方向.21.求1(1)321n n nn x n ∞=--∑ 的收敛半径及收敛域.四、应用题（本大题共1题，共12分）22.在曲面22()1x y z --=上求出点的坐标，使其到原点的距离最短，并求出此最短距离.五、证明题（本大题共1题，共5分）23.设(()),u x y ϕψ=+其中,ϕψ具有二阶导数，证明：222u u u u x x y y x ∂∂∂∂⋅=⋅∂∂∂∂∂ .A 卷答案及评分标准一、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. 3； 2. 0； 3. 2(4)e dx dy +； 4.1ee (,)ydy f x y dx ⎰⎰；5.2211-1(,,)x y dx f x y z dz +⎰⎰⎰； 6.111123x y z ---==； 7. 0； 8..二、单项选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）9. C; ; 11. B; 12. C; 13. B; 14. C.三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分） 15.解：所给微分方程的特点方程为 2440r r -+=解得两相等实根122r r == …………2分故所给微分方程的通解为：212()xy C C x e =+将初始条件01,x y==代入通解，得11C =，将11C =再代回通解，得22(1)xy C x e =+ …………5分 对上式求导，得2222(1)2x x y C e C x e '=++再将初始条件04x y ='=代入上式，得22C =，将其代回通解中，得特解：2(12)xy x e =+ …………7分 16. 解：依照题意，所求平面的法向量n 可取直线的方向向量s ，即 n = s =124352i j k-- …………3分{}16,14,11=- …………5分由已知点（2，0，-3）（平面点法式方程），所求平面方程为：16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=即161411650x y z ---= …………7分17.解：令22,yu x y v x=-=…………1分2z z z z z 2z z z 1z 2u v x u x v xy x u x vz u v y u y v yy u x v∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=-∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂ …………4分…………7分 18.解：(可用公式法, 也能够直接方程两边同时对自变量求偏导方式) 方程两边同时对x 求偏导,z z 1z 11z ze x xx e ∂∂-=∂∂∂=∂+ …………2分…………3分方程两边同时对y 求偏导,z z 1z 11z ze y yy e ∂∂-=∂∂∂=∂+因此 …………5分23z z 1()()1(1)zzz z x y y x y eee ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂+=-+…………7分19. 解：由题意可知： D=1(,)12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭…………2分因此：222 x 122 1 221 1 23 122411()()19()244x Dx xx x d dx dyy y x dxyx x dxx x σ==-=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …………5分…………7分20. 解：设1L 是从点（0,)b -到点(0,b)的有向直线段，由1L 与L 所围成的闭区域为D ， 那么由L 与1L -组成的有向闭曲线是D 的正向边界曲线。
高等数学下册试题及答案解析.docx
高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）1、z =log a ( x2y 2 )( a 0) 的定义域为D=。
2、二重积分ln( x2y 2 )dxdy 的符号为。
|x| |y| 13 、由曲线y ln x 及直线x y e 1 ， y 1 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4L 的参数方程表示为x(t)(x),则弧长元素ds。
、设曲线y(t)5 、设曲面∑为x2y 29 介于z0 及 z 3 间的部分的外侧，则（x2y21)ds。
6、微分方程dyy tany的通解为。
dx x x7、方程y( 4) 4 y0 的通解为。
8、级数1的和为。
n1n(n1)二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）1、二元函数z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是（）（A）f ( x, y)在(x0, y0)处连续；（B）f x( x, y)，f y( x, y)在( x0, y0)的某邻域内存在；（ C）z f x (x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 ) y 当( x) 2(y) 20 时，是无穷小；（ D）lim z f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y0。
22x0(x)( y) y02、设u yf ( x)xf (y), 其中 f 具有二阶连续导数，则x2u y 2 u等于（）y x x 2y 2（A）x y ；（ B）x；(C) y；(D)0。
3、设： x 2y 2z21, z0, 则三重积分I zdV 等于（）（ A ） 4 2d2 d1 3sin cos dr ；r 02 dd 1 dr ；（ B ）r 2 sin0 022 d13sin cos dr ；（ C ）dr0 02d 13sin cos dr 。
（ D ）dr0 04、球面 x 2 y 2z 2 4a 2 与柱面 x 2 y 22ax 所围成的立体体积 V=（）（A ） 4 2d2 a cos 4a2r 2dr ；（B ） 4 2d2 a cos r 4a2r 2dr ；（C ） 8 2d2 a cos r 4a2r 2dr ；（D ）2d2a cos r 4a2r 2dr 。
06高数下(含答案)2022
2006（2）华南农业大学工科高数期末考试试卷（A ）卷 一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____ 二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（ ） A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （ ） A. 0 B. e C. e 1 D. e11+3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（ ）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（ ）A.1B.2C.3D.4 5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）A.∑∞=+-11)1(n n n n B.∑∞=-1)1(n n n C.∑∞=-11)1(n n n D.∑∞=-121)1(n n n 三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性 2.设z e z y x =-+2，求y z x z ∂∂∂∂, 3.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(y dx y x dy I4.求二重积分⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++D y x dxdy xey )(21221的值，其中D 是由直线1,1,=-==x y x y 围成的平面区域5.求微分方程01122=--+dy yx dx 的通解6.试将函数x 3展开成x 的幂级数，并求其收敛域7.计算曲面积分⎰⎰∑+dxdz x 2)1(，:∑半球面2222R z y x =++)0(≥y 的外侧 四.解答题（每题7分，共21分）1.设⎪⎭⎫⎝⎛=23x y f x z ，其中f 为可微函数，证明z y z yx z x 32=∂∂+∂∂ 2.在所有对角线为d 的长方体中，求最大体积的长方体的各边之长 3.设函数)(x ϕ连续可微，且21)0(=ϕ，试求)(x ϕ，使曲线积分[]⎰-+Lxdy x ydx x e)()(ϕϕ与路径无关华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2006学年第2学期高等数学（工科） 考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____解答：32123432//=⇔==⇔k k b a2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____解答：令v y x u y x =-=+,，则2,2vu y v u x -=+=，从而 2)(),(v u v y y x v u f -=-=，即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ，所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr r d d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答：特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1 因此通解为)sin cos (212x C x C e y x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____解答：121)1()1(21)1(lim 1=-+--∞→nn n nn ，因此收敛半径1=R二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（ ）A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 解答：直线的方向向量为)1,1,3(-，因此点向式方程为141332-+=-=-z y x 选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （ ）A.0B. eC. e 1D. e11+解答：从被积函数角度考虑，将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--101011)1(e dx e dy xe dx xxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（ ）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（ ）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdy ydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nn C. ∑∞=-11)1(n nn D. ∑∞=-121)1(n n n解答：选项A 一般项不趋于0，因此不收敛；选项B 一般项不趋于0，也不收敛；选项D 绝对收敛 选C三.计算题（每题7分，共49分） 1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性 解答：11231lim 232lim 21231lim =+=+=+∞→∞→∞→nn n n n n n n ，因此该级数与等比∑∞=121n n 同敛散性，而级数∑∞=121n n收敛，因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2，求yzx z ∂∂∂∂,解答：两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy eydx e dz zz +++=1211 因此zz e y y z e x z +=∂∂+=∂∂12,11 3.计算二次积分⎰⎰-+=110222)sin(y dx y x dy I解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。
华农-11-12年第二学期高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设有向量(1,2,2)a =-，(2,1,2)b =-，则数量积()()a b a b -⋅+ 。
2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是 。
3．设u =，则(1,1,1)u =grad 。
4．幂级数0()3n n x∞=∑的收敛半径R = 。
35．（此题新大纲不做要求，已删除）二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC 的夹角θ是（B ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．2π2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是 （ D ）A ．8B ．4dx dy +C ．22y dx xydy +D ．4()dx dy + 3．设L 为圆周222x y a +=，取逆时针方向，则2222()Lx ydx x xy dy ++=⎰（ B ）A ．2a πB ．42a π C ．2πD ．04．下列级数中收敛的是 （ C ）A．n ∞= B．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．114n n∞=∑5．微分方程12x y e-'=的通解是 （ C ）A ．12x y eC -=+ B ．12x y e C =+C ．122x y e C -=-+ D ．12x y Ce -=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,xs f x xyz y⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f 具有一阶连续偏导数，求s x ∂∂，s y ∂∂，s z∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
华南农业大学高等数学(下)试卷
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008学年第2学期 考试科目：高等数学(经济类)考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟一 .填空题（每小题3分，共15分）1.过点(1,2,1M -且与直线2,34,x t y t z t =-+=-=-垂直的平面方程是 。
2. 设函数()f u 可微，且(0)0.5f '=，则22(4)z f x y =-在点(1,2)处的全微分是()12dz=，。
3. 交换积分次序12201(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰。
4. 二阶微分方程22sin x y y y ex -'''++=的特解形式y *= 。
（本题只要求写出特解形式，不必求解）5. 幂级数11(1)(1)n nn x n ∞-=--∑的收敛区域是 。
二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设平面曲线0z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩z 轴旋转一周，所得旋转曲面的方程是（ ）。
A. z =；B.z =C.z =； D.z =2. 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 处可微，则在该点处下列结论不一定成立的是（ ）。
A ．连续； B ．极限存在； C ．偏导数存在； D ．偏导数连续 。
3. 极坐标系下的二次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标系下的形式（ ）。
A ．100(,)dy f x y dx ⎰； B ．1(,)dy f x y dx ⎰；C．1(,)dx f x y dy ⎰； D．1(,)dx f x y dy ⎰.4.设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解1()y x 和2()y x ，C 为任意常数，则该方程的通解为（ ）。
A. []12()()C y x y x -；B. []112()()()y x C y x y x +-；C. []12()()C y x y x +；D. []112()()()y x C y x y x ++. 5.若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散，则（ ）。
高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =r ，(4,1,10)b =-r，c b a λ=-r r r ，且a c ⊥r r ，则λ= 。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。
4．设yz u x =，则du = 。
5．级数11(1)npn n ∞=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y+=的通解是（ ）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →= （ ）A ．14 B．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （ ） A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
1.2. 计算二重积分22Dx y dxdy x y++⎰⎰，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
华南农业大学15年高代下填空选择解答
华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2014-2015学年 第2学期 考试科目： 高等代数II 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 设1324[],[]W P x W P x ==，则12dim()W W +=解：123121212[]dim()dim +dim -dim()=3+4-3=4W W P x W W W W W W =∴+=，.2. 在线性空间3R 中，定义线性变换σ: 12311223(,,)(,,2)x x x x x x x x σ=+-, 那么σ在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===解：1()(1,1,0)σε=，,2()(0,1,2)σε=，3()(0,0,1)σε=，()()123123100()()()110021σεσεσεεεε⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭，，，，.3. 若σ是有限维线性空间V 的线性变换, 则σ是V 上的双射的充要条件是σ的解：见课本305页,给出了判断线性变换为单射，满射，双射的方法,主要记住下列等价条件.{}-1V =V =0σσσσσσσσ⇔⇔⇔⇔⇔线性变换是满射（）， 是单射（0），是满射是单射是一一映射是可逆变换4. 已知10=52A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若B 与A 相似，则2B B E +-=解：1212222122=1=2A B B =1=2B =1+-=1=2+-==15=5A B B E B B E λλλλλλ∴+-∴+-⨯的特征值，，又，相似，所以的特征值，，为的多项式，特征值11，215，5. 设123,,εεε是欧氏空间V 的标准正交基,则12+εε与23+εε解：()12+1,1,0εε的坐标为，()23+0,1,1εε的坐标为，()()()()1,1,00,1,1cos =1,1,01,1,0θ∴=用坐标的普通内积计算二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 下列集合为线性空间R n 的子空间的是( B ). A. {}11212(,,,)0,R,1,2,,n n i W x x x x x x x i n ==∈=B. {2(,,,,,,)R n W a b a b a b n =∈为偶数｝C. {31212(,,,),,,n n W x x x x x x =是整数｝D. {}41212(,,,)+++1,R,1,2,,n n i W x x x x x x x i n ==∈=解：A 错. {}()()112121(,)0,R,1,21,00,1i W x x x x x i W ==∈=∈例如：，向量，, 但是()()()11,0+0,1=1,1.W ∉，对加法不封闭C 错.在数域中任取一个有理数0.5，则330.5.W W ∉中向量取倍后 数乘运算不封闭D 错.对数乘运算不封闭.2. 数域P 上的n 维线性空间V 有( D )个基.A. 1B. nC. ！nD. 无穷多 3. 设(){},,|,R W a a b a b a b =+-∈，这里R 为实数集，则( ) . A. W 与2R 同构 B. W 与3R 同构C. W 与2R 的一个真子空间同构D. 2R 与W 的一个真子空间同构解：()()()()(),,=1,1,10,1,1,1,1,10,1,1W dim 2.W a a b a b a b w ∀+-+--∴=中向量而，线性无关，故为的基，注意: 线性空间同构的充要条件是维数相等.4. 设σ为线性空间V 上的线性变换，则以下子空间：σ的值域，23σσ-的值域，σ的核，零空间{}0中是σ的不变子空间的有( 4 )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：课本306页，307页给出了常见的不变子空间：{}-11.;2.0,3.(),(0)V V σσσ空间零空间的值域核()-14.(),(0)5.V f στττσσ与可交换的线性变换的值域核的多项式的值域与核6.V λσλ的属于特征值的特征子空间7. σ的不变子空间的交与和所以σ的值域，σ的核，零空间{}0都是σ的不变子空间，线性变换σ与23σσ-可交换，故23σσ-的值域是σ的不变子空间.5. 关于实对称矩阵A ，下列结论中( C )正确.A. A 的特征值可能是复数B. 对A 的对应于特征值λ的特征向量α，β，有(),0αβ=C. 一定存在正交矩阵T ，使得1T AT -为对角矩阵D. A 有n 个不同的特征值三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）(请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”.）1. ( 错 )设123,,V V V 是n 维线性空间V 的子空间，并且12,V V ⊕23,V V ⊕13,V V ⊕则123V V V ⊕⊕.分析：见课本264页定理11, 结论3）.()()()123123213312+=+=+=V V V V V V V V V V V V φφφ⊕⊕⇔，，，该条件显然比12,V V ⊕23,V V ⊕13,V V ⊕强.反例.设123101=0=1=2000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则()()()()()()121323,,,L L L L L L αααααα⊕⊕⊕但是()()()()123123++=L 2.L L L αααααα，，的维数是，不是直和2. ( 错 )设n 阶方阵,A B 有相同的特征值，则,A B 可以看作同一线性变换在两组不同基下的矩阵.分析：,A B 有相同的特征值，不一定有,A B 相似，故,A B 可以看作同一线性变换在两组不同基下的矩阵.3. ( 对 )若欧氏空间V 的向量,αβ线性无关，则 (),αβαβ<. 分析：柯西不等式(),,.αβαβαβ≤，等号成立的充要条件是线性相关4. ( 对 )若A 是正交矩阵，则齐次线性方程组0AX =的只有零解. 分析：A 是正交矩阵，则A =1±，，即从而0AX =只有零解. 5. ( 错 )若线性空间V 的线性变换σ在一组基下可以对角化，则σ在任何基 下可以对角化.。
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高等数学下试题及参考答案华南农业大学Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'ln xy y y =的通解 。
2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯= 。
3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。
4．设2sin()z xy =，则zy∂=∂ 。
5．交换积分次序2220(,)y y dy f x y dx ⎰⎰。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取正向，则322()()Lx xy dx x y dy +++⎰等于（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．142．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ）A ．()i k ±- B．)j k - C．)j k ±+ D．)i j k -+ 3．设ln z xy =（），则11x y dz ===（ ）A ．dy dx -B ．dx dy +C ．dx dy -D ．04．对于级数1(1)np n n∞=-∑，有（ ）A ．当1p >时条件收敛B ．当1p >时绝对收敛C ．当01p <≤时绝对收敛D ．当01p <≤时发散 5．设10(1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必定收敛的是 （ ）A ．1n n u ∞=∑B ．1(1)nn n u ∞=-∑ C．1n ∞=D ．21(1)n n n u ∞=-∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctan Dyd xσ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求,u ux y∂∂∂∂。
3．设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
4.判定级数12!nn n n n ∞=∑的敛散性。
5.使用间接法将函数24()4f x x=-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
6．求微分方程'cos yy x x x-=满足初始条件22x y ππ==-的特解。
7．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中D是由曲线y =2y x =所围成的闭区域。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何值时，曲线积分2322(6)(2)Lxy y dx a xy x y dy -+-⎰与积分路径无关，并计算此时的积分值。
2．要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。
3．设()f x 在||1x <上有定义，在0x =某邻域有一阶连续的导数且0()lim 0x f x a x →=>，求证：（1）11()n f n ∞=∑发散；（2）-111()n n f n ∞=∑（-1）收敛。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．Cx y e = 2．(6,-8,-11) 3．11321x y z+-==- 4．22cos()xy xy 5．102(,)x dx f x y dy ⎰⎰二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C 2．B 3．B 4．B 5．D三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．计算二重积分arctanDyd xσ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
解：在极坐标中D 为{(,)001}4r r πθθ≤≤≤≤，………………3分 arctanDDyd rd dr x σθθ=⎰⎰⎰⎰………………5分 140d rdr πθθ=⎰⎰………………6分264π=………………7分2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求,u u x y∂∂∂∂。
解：'''12((,)(,))()(1)(,)()zf x xy yf x xyg x xy y f x xy g x xy x∂=+++++∂…4分 ''2(,)()(,)()uxf x xy g x xy xf x xy g x xy y∂=+++∂………………7分 3.设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
解：设(,,)z F x y z xyz e =-………………1分,,z x y z F yz F xz F xy e ===-………………4分,y x z zz z F F z yz z xzx F e xy y F e xy∂∂=-==-=∂-∂-………………6分 ()zzdz ydx xdy e xy=+-………………7分 4.判定级数12!nn n n n ∞=∑的敛散性。
解：11112!lim lim 2(1)!n n n n n n n nu n n u n n ρ+++→∞→∞+==+()………………4分 11lim (1)122n n en →∞=+=<………………………………6分 所以级数14!nn n n n ∞=∑发散 (7)分5.使用间接法将函数24()4f x x=-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
解:211(11)1x x x x =+++-<<- 211(11)1x x x x=-++-<<+………………1分24111()()421122f x x x x ==+--+………………3分 242214162n n x x x =+++++………………5分展开式成立的区间为(2,2)-………………7分 6.求微分方程'cos yy x x x-=满足初始条件22x y ππ==-的特解。
解：原方程化为'cos yy x x x-= 11()()(())(cos )dx dxp x dxp x dxx x y e Q x e dx C e x x e C --⎰⎰⎰⎰=+=⋅+⎰⎰………………2分(sin )x x C =+………………5分 由22x yππ==-，得2C =-，特解为(sin 2)y x x =-………………7分7.计算二重积分Dσ⎰⎰，其中D是由曲线y =和2y x =所围成的闭区域。
解：2{(,)|01,D xy x x y=≤≤≤≤………………2分210xDdx σ=⎰⎰⎰………………4分714402()3x x dx =-⎰………………5分 655=………………7分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）4．1.L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何值时，曲线积分2322(6)(2)Lxy y dx a xy x y dy -+-⎰与积分路径无关，并计算此时的积分值。
解：令23226,(2)P xy y Q a xy x y =-=-，则22(4),123Q Pa y xy xy y x y∂∂=-=-∂∂………………2分 令Q Px y∂∂=∂∂，得3a =-，曲线积分与路径无关………………3分 选择路径1212:0(11),:1(02)L L L L y x L x y =+=-≤≤=≤≤，，………………5分2232220(6)(2)3(2)4Lxyy dx a xy x y dy y y dy -+-=--=⎰⎰………………7分2.要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。
解：设水池的长、宽、高分别为,,x y z ，水池的表面积为A ，则22,A xy xz yz xyz k =++=………………2分令22()F xy xz yz xyz k λ=+++-………………4分2020220x yz F y z yz F x z xz F x y xy xyz k λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=⎩………………5分解得x y z===………………7分3.设()f x在||1x<上有定义，在0x=某领域有一阶连续的导数且0()lim0xf xax→=>，求证：（1）11()nfn∞=∑发散；（2）-111()nnfn∞=∑（-1）收敛。
解：因为()lim0xf xax→=>，所以当n充分大后1()0fn>………………1分又因为改变级数前面有限项不影响级数敛散性，所以可认为11()nfn∞=∑是正项级数………………2分（1）因为1()()lim lim01x nff x naxn→→+∞==>………………3分11nn∞=∑发散，所以11()nfn∞=∑发散………………4分（2）因为()lim0xf xax→=>，所以lim()0xf x→=又lim()(0)xf x f→=（连续），所以(0)0f=………………5分所以00()(0)()'(0)lim lim0x xf x f f xf ax x→→-===>又'()f x在0x=连续，得lim()(0)0xf x f a→''==>由极限性质得，当n充分大时，1()fn单调递减………………5分又由lim()(0)xf x f→=得1lim()0nfn→+∞=由莱布尼兹判别法得-111()nnfn∞=∑（-1）收敛。
………………7分。