角平分线的判定定理

12.3角的平分线的性质（第2课时）

教学目标：

知识与技能：

1、掌握角平分线判定定理的内容、证明及应用

2、会运用角平分线判定定理证明一射线是角的平分线，并且能判断一个点在一个角的平分线上。

过程与方法：

让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论。

情感、态度、价值观：

1、培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，

2、培养学生团结合作精神

教学重点：角平分线判定定理的运用

教学难点：角平分线判定定理的证明

教学过程：

一、复习

1、角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？

2、角平分线性质定理的作用是证明什么？

3、填空如图：

∵OC平分∠AOB，

∴AC=BC（角平分线性质定理）

二、新课

1、逆向思维探求角平分线的判定定理

问：把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？它正确？如何证明？

指出：以上问题是我们今天所要解决的重点。

2、证明上面提问得出的猜想：

如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上。

已知：PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE

求证：点P在∠AOB的平分线上

分析：

∠AOP=∠BOP

直角△DOP≌直角△EOP

（PD⊥OA，PE⊥OB）

PD=PE PO=PO

证明：（学生板书）

3、引导学生得出角平分线判定定理：

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

4、理解角平分线是到角的两边距离相等的点的集合

（1）角平分线上任意一点到角的两边的距离都相等（即在角平分线上找不到一个到角的两边的距离不相等的点）

（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点都在这个角的平分线上。（即在角的内部找不到一个到角两边距离相等，而不在角的平分线上的点）即：角平分线上的点是到角两边距离相等的点，或者说到角两边距离相等的点也是角平分线上的点

由此得：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

3、定理的应用

（1）现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？

已知：，CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC

求证： OC平分∠AOB

证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB

∴∠A=∠B

在△AOC和△BOC中

OA =OB

∴△AOC≌△BOC（HL）

∴∠AOC=∠BOC∴OC平分∠AOB

证法2：∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC

∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）

指出：在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

（2）例已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点求证：O在∠C的平分线上

分析：作辅助线“过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，

OG⊥AB于G”。要证“O在∠C的平分线上”必须证“OM=

ON”。而由“AD、BE是△ABC的两个角平分线”、“OM⊥BC，

ON⊥A，OG⊥AB”所以“OG=ON，OG=OM”得“OM=ON”。

此题目得证。

证明：过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G

∵OM⊥BC，ON⊥AC，OG⊥AB，AD、BE是△ABC的两个角平分线

∴OG=ON，OG=OM（角平分线性质定理）

∴OM=ON

∵OM⊥BC，ON⊥A

∴O在∠C的平分线上（角平分线判定定理）

（3）练习：P 50（2）

四、小结

1、角平分线的判定定理是什么？它的作用是用来证明什么相等？

2、在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

五、作业P 56 / 6 、7、8