南京理工大学高等数学2000
南京理工大学【精品】2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷
1装订线南京理工大学2016-2017学年第2 学期高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号学号 姓名姓名 年级专业年级专业 题号 一 二 三 四 总分 得分 评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为的定义域为。
2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a l =-，且a c ^，则l = 。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为轴的平面方程为 。
4．设yzu x =，则du = 。
5．级数11(1)npn n ¥=-å，当p 满足满足 条件时级数条件收敛。
条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）分）1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是的通解是（ ） A ．2xy Ce = B ．22xy Ce = C ．22yy eCx =D ．2ye Cxy =2．求极限(,)(0,0)24lim x y xy xy®-+=（ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12得分得分23．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z p -+-=的位置关系是的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面p B ．直线L 在平面p 上 C ．直线L 垂直于平面p D ．直线L 与平面p 斜交斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b £+£，则22Dx y d s +=òò （ ） A ．33()2b a p - B ．332()3b a p - C ．334()3b a p -D ．333()2b a p - 5．下列级数收敛的是下列级数收敛的是（ ） A ．11(1)(4)n n n ¥=++åB ．2111n nn ¥=++åC ．1121n n ¥=-åD ．311(1)n n n ¥=+å三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'xy y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
由高等数学习题教学谈创新能力的培养
则称 向量 （ 口 ，… ， 为 向量 值 函数 ， ） ｚ 处 ｎ ，ｚ 口） （ 在 。
的极 限．
参 考 文 献
［］ １ 复旦 大学 数学系． 数学分析［ ． 版． Ｍ］ ３ 北京 ： 高等教育 出版
社 ，０ ０： ９— ３ ． ２０ ２ ３
极限是一个 蕴涵深 刻 辩 证法 的数 学概 念 ， 限蕴 极
多少 ？ 由单 调 有界 原理 可知 数 列 ｛ ）的极 限存 在 ， 且
基金项 目： 南京理工大学教学改革项 目资助 （ ４ ６ ０． ＡＢ ２ ４ ） 作者简介 ： 杨传富 （９ ９－） 男 ， 徽六安人 ， １６ － ， 安 博士 。 副教授 ， 事应用 从 数学研究 ， Ｅ—ｍａｌｃ ｕ ｎｕ ａ ｇ ｏ ｃｍ． ｉ ｈ ａ ｆｙ ｎ ＠ｔｍ．ｏ ；
习题 Ｌ １ 已知 ］
观察 实验 结果 ， 学 生 获得 猜 想 ： 列 （ ） 第 使 数 从
二项起是单调递减的， 并且每项都不Ｊ Ｔ Ｆ Ｊ ４． ，
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这个 猜想 是 正确 的 吗 ？ 实 上 ， ＞ ０可知 事 由
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２ 数学分 析 中的典型 问题与方 法［ ． 版 ．北京 ： Ｍ］ ２ 涵着常数 与变数 、 限 与无 限、 确 与 近 似 、 有 精 已知 与未 ［ ］裴礼 文． 高等教育出版社 ，０ ６ ２ — ２ ． ２ ０ ：３ ４ 知、 任意与确定 、 抽象与具体、 量变 与质 变、 否定 与肯 ３ 论极 Ｊ．广州大学 学报 （ 自然科学 定， 并在此得 到完美 的科 学体现 和 辨证统 一． 限 的形 ［ ］吴振英． 限的思想方法 ［］ 极 版 ） ２０ ，（ ） ４ ０ ４ ３ ，０ ３ ２ ５ ：０ — １ ． 式有多种 ， 分 ， 积 级数 ， 导数 其本 质都 是用极 限定义 的 ， ４ 米平治． 关于 高等数学 中极 限思想研究 口］ ．工科数 仅在函数极 限中 ， 极限就 有很多 形 式 ， 其方 式在 于在 哪 ［ ］陈刚 ，
南京理工大学高数考试题
期中高等数学测验一 填空（共20分，每小题4分） 1 已知)(cos )(sin 22x f x f y +=，则___________________=dxdy2 已知x x x y )1(+=,则___________________=dxdy。
3 已知曲线的极坐标方程为θ3sin a r =，则它在6πθ=处的切线方程____________.4 x x y 2sin =则)(n y=__________________________.5 已知02])2([522lim=-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________二 计算或证明 （每小题7分，共56分 ）1求 xx x x e sin 1)23(lim +-→ 的极限。
2 求函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+≤≤-=21,21121,ln 2)(x xx x x f 的导数。
3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项）4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx yd 。
5 222,1)1ln(dx yd arctgty t x 求⎩⎨⎧-=+= 6. 求函数3326)(x x x f -=的极值 7 求⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)1|(||,1|);1|(|,2cos )(x x x xx f π的间断点，并判断其类型。
8 证明方程0132=---x x e x有且仅有三个实根。
三 （8分）设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-0,0;0,)()(x x xe x g xf x其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。
（1）求)('x f ; （2）讨论)('x f 在),(+∞-∞上的连续性。
四（8分） 设 ),,,max (21m a a a A =, 且0>k a （m k ,,2,1 =），证明A nnm n n n a a a =++∞→ 21lim。
南京理工大学高等数学历年期末试卷
2009级（下）A 卷一：填空与选择题(每空3分，共30分)1. 一动点到(1,0,0)的距离为到平面4x =的距离的一半, 则动点的轨迹方程是___________________。
2. ),(y x z z =由方程ln x z z y =所确定，则yz∂∂=______________ 。
3. 改变积分顺序=⎰⎰-122)d (d y yx y x,f y _________ _。
4. 若级数1()1n n nu n ∞=++∑收敛，则n n u ∞→lim = ______________。
5 L 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x , 则积分222()d Lx y s +⎰=_______。
6 方程(2)0x y dx xdy ++=的通解是_________________。
7 设222:1x y z Ω++≤，则3(2)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰= ( ) A 0 B 443π+ C 843π+ D 83π 8. 下列级数中收敛的是( )A 23112n n n n ∞=+-∑ B ∑∞=1sin n n π C ∑∞=+1123n n D ∑∞=+112cos n n n π9. 设∑是半球面2222a z y x =++(0z ≥)，则⎰⎰∑++S z y x d 222的值为( )A 34a π B 32a π C 32a -π D 34a π- 10. 设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为：,1x y =,e 2xx y +=x x y e 13++=，则该微分方程的通解可表达为( )A x C x C x x +++e e 21B x xC x C x x +++++)e 1()e (21 C x C C x x +++)e 1(e 21D x x x C x C e )e 1(21++++二： （9分） 求过点)2,1,3(-M 且通过直线12354zy x =+=-的平面方程。
南京理工大学考研初试参考书
考试科目代码
考试科目
参考教材
出版社
作者
617
毛泽东思想与中国特色社会主义理论体系概论
《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》（2018 修订版）
高等教育出版社
公共教材
871
马克思主义基本原理
国家马克思主义理论研究和建设工程重点教材，《马克思主义基本原理概论》（2018 年修订版）
高等教育出版社
大学语文
华东师范大学出版社
徐中玉等
现代汉语
高等教育出版社
黄伯荣、廖序东
253
英语（二外）
《现代大学英语》（1-4 册）
外语教学与研究出版社
杨立民等
624
基础日语
新编日语（重排版）（1-4）
上海外语教育出版社
周平、陈小芬
高级日语（1-2）
上海外语教育出版社
吴侃、村木新次郎
858
日语翻译
日汉翻译教程
上海外语教育出版社
人民教育出版社
中日合编
252
德语（二外）
《新编大学德语》（第二版）（1-3）
外语教学与研究出版社
朱建华等
623
基础英语
《现代大学英语》（1-6 册）
外语教学与研究出版社
杨立民等
《高级英语》（第三版）
张汉熙
857
翻译与写作
《实用翻译教程（英汉互译）》（第 3 版）
上海外语教育出版社
冯庆华
《英语写作手册》
中国人民大学出版社
高鸿业
828
管理学原理
《管理学教程》（2011 年）第 3 版
上海财经大学出版社
周健临
829
会计学
南理工高等数值分析课程设计张军
南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：求解线性方程组Ax=b的极小化方法比较姓名：学号：成绩：摘要本文对求解线性方程组Ax=b的极小化方法进行了理论上的阐述，并且选取三种具有代表性的方法：最速下降法、共轭梯度法（CG）、预处理共轭梯度法（PCG），使用Matlab编程并分别求解相同的线性方程组，在准确性和收敛速度方面进行比较。
结果表明，如果预处理矩阵选择得当，使用预处理共轭梯度法（PCG）效果最好。
1、 极小化方法极小化方法的基本原理是变分原理。
设A 对称正定，求解的方程组为Ax b =(1.1)其中()n n ij A a R ⨯=∈，1(,,)T n x x x = ，1(,,)T n b b b = 。
考虑2次函数:n R R ϕ→，定义为1111()(,)(,)21 2n nnij i j j ji j j x Ax x b x a x x b x ϕ====-=-∑∑∑ (1.2)ϕ有如下性质⑴对一切n x R ∈，()x Ax b ϕ∇=-(1.3)⑵对一切,,n x y R R α∈∈，21()((),)(,)2=()(,)(,)2x y A x y x y b x y x Ax b y Ay y ϕαααααϕα+=++-++-+(1.4)⑶设1x A b *-=为(1.1)的解，则1111()(,)(,)22x b A b x A x ϕ*-*-*=-=- 而且对一切n x R ∈，有11()()(,)(,)(,)221((),)2x x Ax x Ax x Ax x A x x x x ϕϕ******-=-+=--(1.5)则有定理：设A 对称正定，则x *为（1.1）解的充分必要条件是x *满足()min ()nx R x x ϕϕ*∈=求n x R ∈，使()x ϕ取最小，这就是求解等价于方程组（1.1）的变分问题。
求解的方法一般是构造一个向量序列{}()k x ，使()()min ()k x x ϕϕ→。
南理工高等数学上第6章定积分应用61
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
o
x
2
曲边扇形的面积 A 1[ ( )]2 d . 2
例 5 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第
一象限部分面积
y x
A 4A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
A1
2 a2 cos 2
n
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi值
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、
直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
可看作平面图OABC 与OBC
x x1( y) o
A
2a x
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2a
x
2
2
(
y
)dt
0
2a
x
2
1
(
y
)dt
0
南京理工大学高数上中值定理与导数应用3-7
练习题答案
一、0.18 x0 0.19． 二、 .32 x0 0.33． 0
f ( 3 ) 0.16 0, 故 a3 0.625, b2 0.75;
2 0.75,
3 0.625,
4 0.687,
f ( 4 ) 0.062 0, 故 a4 0.625, b4 0.687;
5 0.656,
6 0.672,
(1)
例２ 用切线法求方程 x 3 1.1 x 2 0.9 x 1.4 0
的实根的近似值, 使误差不超过 10 3.
解 令 f ( x ) x 3 1.1 x 2 0.9 x 1.4,
[0,1] 是一个隔离区间. f (0) 0, f (1) 0.
如图，在 [0,1] 上，
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根． 常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
二分法
设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，f (a ) f (b ) 0， 且方程 f ( x )＝０在 (a , b ) 内仅有一个实根 ，于是 [a , b] 即是这个根的一个隔离区间．
f ( x ) 0 至多有一个实根．
f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0,
f ( x ) 0 在 [0,1] 内有唯一的实根.
取 a 0, b 1, [0,1] 即是一个隔离区间.
计算得:
1 0.5,
f (1 ) 0.55 0, 故 a1 0.5, b1 1; f ( 2 ) 0.32 0, 故 a2 0.5, b2 0.75;
高等数学试题(I)A卷评分标准复制
南京理工大学课程考试答案及评分标准课程号-课序号： 11223301 课程名称：高等数学（I ） 学分： 5 考试方式 闭卷笔试 满分分值： 80 考试时间： 120分钟一 、填空题（每小题3分，共15分） 1. 23-=a , 此题为基本题，考察等价无穷小。
2. ()()a F b F -, 此题为基本题，考察牛顿莱布尼慈公式。
3. 6a , 此题为基本题，考察参数方程形式下曲线弧长的计算。
4. ()()1012k n x n k k x o x +=-+∑ ()0→x , 此题为基本题，考察泰勒公式。
5. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22ln ,22， 此题为基本题，考察曲率公式及极值求法。
二、求极限（每小题5分，共15分）1，2题为基本题，考察未定式函数的极限；3题为提高题，考察利用定积分定义求数列极限。
1. 21sin 212sin 22cos lim 2cot )2(lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-→→x x x x x x x x πππππ ------5分 2.x dt e e xt t x cos 1)(lim 00--⎰-→00lim lim 2sin cos x x x x x x e e e e x x--→→-+=== ------5分 3. ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n 312111lim 3ln 1120=+=⎰dx x 。
------5分 三．求导计算（8分）此题为基本题，主要考察参数方程确定函数的二阶导数。
()()t t t t t y t t x sin cos 2,2-='=' ------3分 t t t dxdy sin cos 2-=∴ ------5分t t t dxy d sin 3cos 22-=。
------8分 四、计算积分（每小题4分，共8分）此题为基本题，考察积分的计算 1. ⎰-+dx x x x 221 令22-+=x x t ---------------------2分 则 ⎰-+dx x x x 221=c x x x x x x +-+--+--++22arctan 2221221ln --------------------4分 2. 22(cos )xx x e dx -⋅+⎰22223--+==⎰e e dx xe x 。
高等数学(ii)南京理工大学-dfsservice高等数学(下)期中考试试卷及及答案20130420
考生注意：所有答案（包括填空题）按试题序号写在答题纸上，写在试卷上不给分 一、 填空题(本题共8小题，每小题4分，满分32分)(1)已知{1,1,1},{0,2,1}a b ==-，则a prj b = _________.(2) 原点O 关于平面3270x y z +-+=对称点P 的坐标为_________.(3) 曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为 .(4) 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f 在点（0，0）处的连续性为______.(5) 设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+∂∂= . (6) 设),(y x f 为连续函数，222:t y x D ≤+，则=I ⎰⎰=+→Dt d y x f t σπ),(1lim 2.(7) 设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dvz y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= .(8) 设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰(1,2,3,4)k =，若0k I >，则k =___________.二、 计算题（本题共2小题，每小题6分，满分12分）(1) 求过点M(3, 1, -2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. (2) 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧-==+2222yx z xy e z 在点)0,1,1(处的切线方程.三 、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分）(1) 求22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.(2) 设f (u , v )有一阶连续偏导数，()()xy ,y x f z cos 22-=，ϑϑsin cos r y ,r x ==，求ϑ∂∂∂∂z r z ,，并证明：()xy vz y u z x z r r z sin 2sin 1cos ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ϑϑϑ. 四、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分） (1) 计算σd y x yD⎰⎰-22, 其中D 是由直线y =x 、x =1及y =0围成的闭区域.(2) 设Ω是由曲面226z x y =--及z =所围成的有界闭区域,求Ω的体积.五、（本题满分10分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．六、（本题满分10分）设直线L 过点(1,00)(0,1,1)A B ，，，将L 绕z 轴旋转一周得到曲面∑。
南京理工大学高等数学作业上(答案)
第一章函数 极限 连续§1函数1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且13≠≠x x 3412+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、 （3）,1010.101110ln 110ln arccos e x ee x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10[e e（4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,21 ±±=+≠+k k x ππ;即函数定义域为.,2,1,0,12⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时xarctgx x x 1033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞（6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义，必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、-- 2． .2)21(,2)21(,2)0(,1)2(,2)3(21-=-====f f f f f3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-=x x x x x x g f 有意义；必须因此要使，即[])(x g f 的定义域为[1，3]。
4．解⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=;0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1)]([x x x e e e x g f xx x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<==,1,1,1,1,1,)]([)(x ex x e e x f g x f 。
5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。
南京理工大学10份高等数学I试题
南京理工大学2002级高等数学I 试题（A 卷）一．填空题（每小题2分，共26分） 1．设)12(sin 2+=x x y，则'y = 。
2. 已知0)(2sin lim30=+>-x x xf x x , 则20)(2lim x x f x +>-= 。
3. 设)(x f 在[1, 3]上具有连续导数，则=+⎰dx x f x f 312)]([1)('________。
5. 当1→x 时，已知1-x x 和k x a )1(-是等价无穷小，则a =_____，.___=k6、(1 , 3 )为曲线23bx ax y +=的拐点，则a =____，b=______。
7. 0=x 是函数xxexsin 111++的_________间断点。
8. 已知61)(2--=x x x f , 则)0()100(f=___________.9. 设)(x y y =是由方程202=+⎰x xyt ye dt e 所确定的隐函数，则0|=x dxdy=_________. 12. 曲线x y ln =上曲率最大的点为__________________。
13. 极限nn nn !lim ∞>-的结果为_________。
.二、计算题(每小题4分，共24分) 1.⎰+-→x x dt tt xx sin 030)1ln(sin lim2xxx x e sin 1023lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+->- 3.xdx x 2cos 2⎰4dx x ⎰+cos 2115.dx e x ⎰+∞∞--|| 6.⎰+31221xxdx三、(6分)求xx ey -=2在]2,0[上的最大与最小值，并证明：2241222e dx e exx≤≤⎰--。
五、(6分)已知曲线)(x y y =的参数方程⎩⎨⎧++==)41ln(2arctan 2t t y t x ，求22dx yd dx dy ，。
积分恒等式及其在无穷级数求和中的应用
n= 0
∃ (% 0
1) d n (
n
2
!f ( x ) cos ( nx ) dx ) ,
0
由此得到积分恒等式
n= 1
∃!f ( x ) cos ( 2nx ) d x =
4
[ f ( 0) + f ( ) ] - 1 2
!f ( x ) dx ,
0
( 1)
即 D Alembert 判别法失效 . 可见定理 1 是正项级数 敛散性判别法的一个有效补充 .
[ f ( 0) + f ( ) ] - 1 4 2 4
!f ( x ) d x =
0
∃
%
n= 1
2 4 1 1 1 coth ( ) . 4 = lim[ 22 ( 2 )] = 0 6 n 2 2 90 %
( 1 + e2 ) - 1 ( e 2 - 1) , 4 1 m +
2
因此由式 ( 7) 可以求出 ∃ 1 2k ( k n= 1 n 是级数( 7) 及( 8 ) 的和可以求得.
10
高等数学研究
%
2010 年 5 月
n= 1
∃ (2
1) n 0 f ( x ) cos( nx ) dx = f( )- 1 2
!
公式 ( 4) , ( 5) , ( 6) ( 见[ 2 ] ) 在数学及工程领域经 常用到, 而很少在教材中看到有关它们的证明. ( 2) 若取 f ( x ) = e
2s- 2k- 2
1 [ 12k +2
%
( 8)
∃
1 m2 2x
2
=
).
( 4)
若取 f ( x ) = e2 x
南京理工大学高等数学历年期末试卷
2009级（下）A 卷一：填空与选择题(每空3分，共30分)1. 一动点到(1,0,0)的距离为到平面4x =的距离的一半, 则动点的轨迹方程是___________________。
2. ),(y x z z =由方程ln x z z y=所确定，则y z∂∂=______________ 。
3. 改变积分顺序=⎰⎰-122)d (d y yx y x,f y _________ _。
4. 若级数1()1n n nu n ∞=++∑收敛，则n n u ∞→lim = ______________。
5 L 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x , 则积分222()d Lx y s +⎰ =_______。
6 方程(2)0x y dx xdy ++=的通解是_________________。
7 设222:1x y z Ω++≤，则3(2)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰= ( ) A 0 B 443π+ C 843π+ D 83π 8. 下列级数中收敛的是( )A 23112n n n n∞=+-∑ B ∑∞=1sin n n π C ∑∞=+1123n n D ∑∞=+112cos n n n π9. 设∑是半球面2222a z y x =++(0z ≥)，则⎰⎰∑++S z y x d 222的值为( )A 34a πB 32a π C 32a -π D 34a π- 10. 设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为：,1x y =,e 2xx y +=x x y e 13++=，则该微分方程的通解可表达为( )A x C x C x x +++e e 21B x xC x C x x +++++)e 1()e (21C x C C x x +++)e 1(e 21D x x x C x C e )e 1(21++++二： （9分） 求过点)2,1,3(-M 且通过直线12354zy x =+=-的平面方程。
南理工高等数学上第6章定积分应用61课件
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长 ；功；水压力；引力和平均值等．
二、平面图形的面积
直角坐标系情形
y y f (x)
y
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区 o
一、微元法
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
x b所围成。
oa
b
A a f ( x)dx
y f (x)
bx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a, b]分成n 个长度为xi 的小区间，
相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr2 . 3
2
2
2
例 10 求星形线 x 3 y 3 a 3(a 0) 绕x 轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2