2016年广东适应性考试理科数学试题(一模)
广东省深圳市2016届高三数学一模试卷理(含解析)
2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．34．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．25．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．1706．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．558．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．49．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f （1）的值为．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．16．数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到（1﹣x）（x+3）≥0，即（x﹣1）（x+3）≤0，解得：﹣3≤x≤1，即A={x|﹣3≤x≤1}，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】将z=化为：4﹣3i，从而求出所在的象限．【解答】解：因为z==4﹣3i，所以z在复平面内对应的点为（4，﹣3），在第四象限．故选：D．3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，根据向量垂直得出（+）•（2﹣）=0，解方程得出λ．【解答】解： =||||cos120°=﹣1．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=0，即2+（2λ﹣1）﹣=0．∴8+1﹣2λ﹣λ=0，解得λ=3．故选：D．4．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，作出不等式组约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A点，由，可得A（0，2）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，∴目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2．故选：C．5．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．170【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：在公差为1的等差数列{a n}中，由a1，a3，a6成等比数列，得：，即a1=4．∴．故选：C．6．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】先求的φ=﹣，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），可得2sin（+φ）=1，即 sin（+φ）=，再根据+φ∈（﹣，），可得φ+=，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的一条对称轴方程为x=，故选：D．7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．55【考点】二项式定理的应用．【分析】（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r即可得出．【解答】解：（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r=3或4．∴（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项=+2=15﹣2×20=﹣25．故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率．【解答】解：∵4名同学参加3项不同的课外活动，每名同学可自由选择参加其中的一项，∴基本事件总数n=34=81，每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数m==36，∴每项活动至少有一名同学参加的概率p==．故选：A．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为M，协S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从而得到ME=SD=，进而求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中心的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．【解答】解：由题意，直线l的方程为y=x+2b，即bx﹣ay+2ab=0．∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，∴直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，转化为函数g（x）=lnx和h（x）=ax2﹣x交点的问题；讨论a≤0时不满足题意，a＞0时，求得（a）max=1，当x→+∞时，a→0，从而可得答案．或a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，由＞1求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x，将零点问题转化为两个函数交点的问题；又函数h（x）=x（ax﹣1），当a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，不满足题意；当a＞0时，由lnx﹣ax2+x=0，得a=；令r（x）=，则r′（x）==，当0＜x＜1时，r'（x）＞0，r（x）是单调增函数，当x＞1时，r'（x）＜0，r（x）是单调减函数，且＞0，∴0＜a＜1；或当a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，如图所示；g（x）=lnx交x轴于点（1，0），h（x）=ax2﹣x交x轴于点（0，0）和点（，0）；要使方程有两个零点，应满足两函数有两个交点，即＞1，解得0＜a＜1；∴a的取值范围是（0，1）．故选：A．二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f（1）的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件可以得到﹣f（x）+g（x）=3﹣x，该式联立f（x）+g（x）=3x便可解出f （x），从而可求出f（1）的值．【解答】解：f（x）+g（x）=3x①；∴f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x；又f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）；∴﹣f（x）+g（x）=3﹣x②；①②联立得，；∴．故答案为：．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24 ．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】写出AB的点斜式方程，与抛物线方程联立消元，利用根与系数的关系求出AB的中点坐标，利用直线垂直与斜率的关系列方程解出p．【解答】解：F（，0），∴直线AB的方程为：y=x﹣．联立方程组，消元得：x2﹣3px+=0，设AB的中点坐标为（x0，y0），则x0==，y0=x0﹣=p．∴AB的垂直平分线经过点（0，2），∴=﹣1，即=﹣1．解得p=．故答案为：．16．数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是{a1|a1≥} ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】对a1分类讨论，利用已知及其等比数列的通项公式性质即可得出．【解答】解：①当时，a2=4．由于，因此a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴42=9a1，解得a1=．而a4=42=16，不满足{a n}为等比数列，舍去．②当a1≥22时，a2=2a1，∴a2≥8．当8≤a2＜9时，a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴=9a1，解得a1=，舍去．当a2≥9时，a3=2a2．可得{a n}为等比数列，公比为2．此时a1．综上可得：a1的取值范围是{a1|a1≥}．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理可得cosB=．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，可得sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）．在△ABC中，由正弦定理可得： =，即可得出．【解答】解：（1）在△ABC中，cosB===．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，∴sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°=+=．在△ABC中，由正弦定理可得： =，∴BC===35．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由二项分布求出未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率值；（2）由随机变量的分布列与均值，计算方案一、二、三的损失是多少，比较选用哪种方案最好．【解答】解：（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为：P=•+••=，所以在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为；（2）由题意知，P（23≤X＜27）=0.74，P（27≤X＜31）=0.25，P（31≤X≤35）=0.01；用X1、X2、X3分别表示采取方案一、二、三的损失，，X2的分布列如下；23因为采用方案二的损失最小，所以采用方案二最好．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中点O，连接AC，CO，PO，运用菱形和等边三角形的性质，以及线面垂直的判定定理，可得CO⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）由面面垂直的性质定理，可得直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求得O，A，P，B，C，D，，，的坐标，设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），运用向量垂直的条件：数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，由ABCD是边长为2的菱形，可得AB=BC=2，又∠ABC=60°，可得△ABC为等边三角形，即有CO⊥AB，OC=，由PA⊥PB，可得OP=AB=1，而PC=2，由OP2+OC2=12+（）2=22=PC2，可得CO⊥OP，而AB，OP为相交二直线，可得CO⊥平面PAB，又OC⊂平面ABCD，即有平面PAB⊥平面ABCD；（2）由PA=PB，可得PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD，直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），D（，2，0），可得=（，0，﹣1），=（0，1，1），=（0，2，0），设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），由可得，取z1=，可得=（1，﹣，），由，可得，取x2=，可得=（，0，3），由题意可得二面角A﹣PC﹣D为锐角二面角，记为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．即有二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率可得a2=2b2，得到椭圆方程x2+2y2﹣2b2=0，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得b2，则椭圆方程可求；（2）由直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，得到坐标原点到直线l的距离为，然后分直线l的斜率存在和不存在两种情况求△ABO面积，当直线l的斜率不存在时，直接求解，当直线l的斜率存在时，设出直线方程y=kx+m，由原点到直线的距离列式，把m用含有k的代数式表示，然后再由弦长公式求得弦长，换元后利用判别式法求得弦长的最大值，求出斜率存在时△ABO面积的最大值，最后比较得答案．【解答】解：（1）由，得，即，∴a2=2b2，则椭圆方程为x2+2y2﹣2b2=0．联立，消去y得，，由，解得：b2=1．∴椭圆方程为：；（2）∵直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，∴原点O到直线l的距离为．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±，代入椭圆，得y=，不妨设A（），B（），则；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，由，得4m2=3k2+3．联立，消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．，∴|AB|===．设k2=t，令y=，则（4y﹣5）t2+（4y﹣6）t+y﹣1=0，当y=时，可得t=，符合题意；当y时，由△=（4y﹣6）2﹣（4y﹣5）（4y﹣4）≥0，得y且y．综上，y．∴当斜率存在时，．综①②可知，△ABO面积的最大值为．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系即可判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）根据函数的极值，建立方程关系进行求解即可求a的值．【解答】解：（1）∵函数y=（x+1）e x，∴f′（x）=e x+（x+1）e x=（x+2）e x，由f′（x）＞0得（x+2）e x＞0，即x+2＞0，得x＞﹣2，即函数的单调增区间为（﹣2，+∞）．由f′（x）＜0得x＜﹣2，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）．（2）g′（x）=e x（x﹣1）2+（e x﹣a）（2x﹣2）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2a）=（x﹣1）（f（x）﹣2a），当x＜﹣1时，f（x）=（x+1）e x≤0，①当0＜a＜e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（﹣1）﹣2a＜0，f （1）﹣2a=2e﹣2a＞0，则∃唯一x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（x0，1）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极大值，当x=1时，函数g（x）取得极小值．②当a=e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，此时函数g（x）无极值．③当a＞e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=2e﹣2a＜0，f（lna）﹣2a=a（lna+1）﹣2a=a（lna﹣1）＞0，则∃唯一x0∈（1，lna），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极小值，当x=1时，函数g（x）取得极大值．综上当a∈（0，e）∪（e，+∞）时，g（x）有两个极值点，当a=e时，g（x）无极值点．（3）由（2）知当0＜a＜e时，∵g（1）=0≠，故g（x0）=（e﹣a）（x0﹣1）2=2a2，①（x0﹣1）2=2[]2，由f（x0）=0得a=，代入①得（e﹣）整理得（1﹣x0）3﹣（1+x0）2e﹣=0，设h（x）=（1﹣x）3﹣（1+x）2e x，﹣1＜x＜1，∵h′（x）=﹣3（1﹣x）2﹣（x+3）（1+x）e x，∴当﹣1＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣1，1）上单调递减，∵h（0）=0，∴x0=0，a==∈（0，e）符号题意，当a＞e时，∵g（x0）＜g（1）=0＜a2，∴不存在符号题意的a，综上当a=时，g（x）存在极值等于a2．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D 四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径，所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB==2，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC==2，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2AE=12，即AE=．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）分别用x，y表示t，消去参数得到普通方程，再化为极坐标方程；（2）联立方程组解出A，B坐标，代入两点间的距离公式得出|OA|，|OB|，再进行化简计算．【解答】解：（I）由得，∴直线l的普通方程为﹣=0，即sinαx﹣cosαy=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得sinαρcosθ﹣cosαρsinθ=0．∵ρ=，∴p=ρ﹣ρcosθ=ρ﹣x，∴ρ=p+x，两边平方得ρ2=x2+2px+p2，∴x2+y2=x2+2px+p2，即y2﹣2px﹣p2=0．（II）联立方程组，解得或．21 ∴|OA|2=（）2+（）2=，|OB|2=（）2+（）2=，∴|OA|=，|OB|=．∴+=+=（+）=．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f （x ）=|x+a|+|x ﹣3|（a ∈R ）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为5，求a 的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x ﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f （x ）的最小值，再根据f （x ）的最小值为5，求得a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥x+8，即|x+1|+|x ﹣3|≥x+8， 若x ＜﹣1，则有﹣x ﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．若x ＞3，则有x+1+x ﹣3≥x+8，求得x≥10．综上可得，x 的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．（Ⅱ）∵f （x ）=|x+a|+|x ﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，∴函数f （x ）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，解得a=2，或a=﹣8．。
2016年广州一模理科数学答案
教
3 ， OA1 AA12 OA2 1．………………6 分
则 B 1,0,0 ， C 0, 3, 0 ， A 0, 3, 0 ， A 1 0,0,1 ，
州
所以 BB1 AA1 0, 3,1 ，OB1 OB + BB1 1, 3,1 ．………………………7 分 设平面 OBB1 的法向量为 n x, y, z ，
教
tr .e
所以 AD 的长为 5 . …………………………………………………………………6 分
研
解得 x 5 ．
du
.c n
/
AB 2 BC 2 AC 2 13x 2 100 ．…………4 分 2 AB BC 6 x 4 x 2 25
解法三：因为 AD 的长为 5 ， 所以 cosCDB = 所以 S ADC
6 5
．…………………………………………9 分
tr .e
du
.c n
C
/
所以 cos CKH
KH CK
6 4
．……………………………………………………11 分
所以二面角 B OB1 C 的余弦值为
6 4
．……………………………………12 分
（20） （Ⅰ）解法一：设椭圆 C 的方程为
A1
tp :/
x 0, x 3 y z 0.
/w
D O A B x
C
y
令 y 1，
得 n 0,1, 3 ．…………………………………………………………9 分
ht
同理可求得平面 OCB1 的法向量为 m 1,0, 1 ．………………………………10 分 所以 cos n, m
2016年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
【选修 4-1：几何，△ABC 内接于⊙O，直线 AD 与⊙O 相切于点 A，交 BC 的延长线于点 D，过点 D 作 DE∥CA 交 BA 的延长线于点 E． （I）求证：DE2=AE•BE； （Ⅱ）若直线 EF 与⊙O 相切于点 F，且 EF=4，EA=2，求线段 AC 的长．
2．（5 分）（2016•广州一模）已知复数，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复 数所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出． 【解答】解：∵复数===1+2i，复数 z 的共轭复数=1 2i 所对应的点在第四象 限． 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序
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平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是 ． 14．（5 分）已知双曲线 C：（a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B （0，b），且，则双曲线 C 的离心率为 ． 15．（5 分）（x2 x 2）4 的展开式中，x3 16．（ 5 分 ） 已 知 函 数 f（ x） =， 则 函的系数数g（为 x） =（2|用x|f数（字x）填写2 答的案零）点 个 数 为．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD⊥BC，AC=5，CD=5， BD=2AD． （Ⅰ）求 AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．
2016年广州市一模试题及答案(理科数学)
2016年广州市一模试题及答案(理科数学) 2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2.回答第Ⅰ卷时，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一。
选择题：共12小题，每小题5分。
1.已知集合 $A=\{x|x<1\}$，$B=\{x|x-x\leq0\}$，则 $A\cap B$ 等于A) $x-1\leq x\leq1$ (B) $x\leq x\leq1$ (C) $x<x\leq1$ (D) $x\leq x<1$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{1-i}$，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的共轭复数 $z$ 所对应的点在A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3.执行如图所示的程序框图，如果输入 $x=3$，则输出$k$ 的值为开始输入 $x$是 $x>100$。
$k=k+2$，$x=2x+3$ 输出 $k$否结束A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 124.如果函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})$ 的相邻两个零点之间的距离为 $6$，则 $\omega$ 的值为A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 245.设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且$a_2+a_7+a_{12}=24$，则 $S_{13}$ 等于A) 52 (B) 78 (C) 104 (D) 2086.在直线 $y=4x$ 上的点，它们的横坐标依次为$x_1,x_2,\dots,x_n$，如果 $P$ 是抛物线 $C$ 的焦点，若$x_1+x_2+\dots+x_n=10$，则 $PF+P_2F+\dots+P_nF$ 等于A) $n+10$ (B) $n+20$ (C) $2n+10$ (D) $2n+20$7.在梯形$ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，已知$AD=4$，$BC=6$，若 $CD=mBA+n$，则 $m+n$ 等于A) $-3$ (B) $0$ (C) $3$ (D) $33$8.设实数 $x$，$y$ 满足约束条件 $x+y-1\leq0$，则$x+(y+2)^2$ 的取值范围是A) $x\leq -1$，$y\leq -2$ (B) $x\leq -1$，$y\geq 1$ (C)$x\geq 0$，$y\leq -2$ (D) $x\geq 0$，$y\geq 1$9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上。
2016广一模数学理科(解析版)
绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则A B =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 答案：D解析：集合A ＝{}11x x <－＜，集合B ＝{}1x x ≤≤0，所以，A B = {}01x x ≤<。
（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D解析：(3)(1)122i i z i ++==+，共轭复数为12i -，在第四象限。
（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答案：C解析：第一步：x ＝9，k ＝2；第二步：x ＝21，k ＝4；第三步：x ＝45，k ＝6； 第四步：x ＝93，k ＝8；第五步：x ＝189，k ＝10；退出循环，故k ＝10。
（4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。
广东省揭阳市2016届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(扫描版)
揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：C D C A B C A D B C C B 解析：11.由，又得或 或，即点, 故. 12. 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即， 【或由，因直线与圆有两个不同的交点， 所以，】 由得----① 如图，又由得 因,所以,故----② 综①②得. 二、填空题：13.；14.1；15. ；16.2. 解析：14. 由函数是周期为的奇函数得 ， 故 15. 依题意知，该几何体是上面长方体下接半圆柱的组合体，故其体积 为：. 16. ∵A、B、C成等差数列，∴，又，∴， 由得，∵， 及，∴，，∴b的最小值为2. 三、解答题： 17.解：（Ⅰ）当时，（），-------------------------------------------------------------3分 当时，由得，时上式也适合， ∴.--------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）------------------------------------6分 ∴-------------------------------------7分 ---------------------9分 ---------------------------------------------------------11分 -------------------------------------------------------12分 18．解：（Ⅰ） 不满意满意合计男 3 4 7 女11 2 13 合计14 6 20 -------------------------------2分 ∵0，∴f(x)在上单调递增， 同理f(x)在上单调递减，在上单调递增， 又极大值，所以曲线f(x) 满足题意；---------------------------------------8分 ③当a>1时，， ∴，，即，得， 可得f(x) 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，若要曲线f(x) 满足题意，只需，即， 所以，由知，且在[1,+∞)上单调递增， 由，得，因为在[1,+∞)上单调递增， 所以；----------------------------------------------------------------11分 综上知，。
2016年广东省广州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
]
D．[
，
]
9． （5 分） 一个六棱柱的底面是正六边形， 侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为 1， 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ A．20π B． C．5π ） D．
10． （5 分）已知下列四个命题： p1：若直线 l 和平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； p2：若 f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x） ； p3：若 ，则∃x0∈（0，+∞） ，f（x0）＝1；
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之 和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（
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）
A．2017×22015
B．2017×22014
C．2016×22015
D．2016×22014
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． （5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序 平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量 为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码 是 ． （a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 ，则双曲线 C 的离心率为 ．
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19． （12 分）如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，AC∩BD＝ O，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝2． （I）证明：平面 A1CO⊥平面 BB1D1D； （Ⅱ）若∠BAD＝60°，求二面角 B﹣OB1﹣C 的余弦值．
20． （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦 点为 F1（﹣2，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y＝kx（k≠0）与椭圆 C
广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题(含详细答案)
1 / 17广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题2016.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R ，集合124xAx ，10B x x ，则U A B I e ＝（A ）12x x （B ）01x x（C ）01x x（D ）12x x （2）已知,a bR ，i 是虚数单位，若i a 与2i b 互为共轭复数，则2i=a b （A ）3+4i （B ）5+4i（C ）34i （D ）54i（3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f ”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若20:,10p x xx R ，则2:,10p x xx R （C ）若p q 为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”（4）已知f x 在R 上是奇函数,且满足4f xf x,当0,2x 时,22f xx ，则7f （A ）2（B ）2（C ）98（D ）98（5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）22，（B ）40，（C ）44，（D ）08，（6）各项均为正数的等差数列n a 中，3694a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78（B ）48（C ）60（D ）72开始x=1，y=1，k=0s =x -y ，t=x+yx=s ，y=tk=k+1k ≥3输出(x ，y)结束是否。
广东省广州市2016届高三1月模拟考试数学(理)试卷
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学2016.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）若全集U=R ，集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则U A B I ð＝（A ）{}12x x << （B ）{}01x x <≤ （C ）{}01x x << （D ）{}12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i =a b +（A ）3+4i （B ）5+4i （C ）34i - （D ）54i - （3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” （4）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则()7f =（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98 （5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）()22-， （B ）()40-，（C ）()44--，（D ）()08-，（6）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78（B ）48（C ）60 （D ）72（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个 几何体的体积为 （A（B（C（D（8）已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像 的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 （A ）35- （B ）45- （C ）35 （D ）45（9）若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是（A ）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）[]1,2（10）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r，则此双曲线的离心率为（A（B（C ）2 （D（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（A ） 150种 （B ） 180种 （C ） 240种 （D ）540种（12）已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =uu r ，则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r的最小值是（A1- （B1 （C1 （D1+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上的投影是12，则=a b ． （14）已知()1cos 3θ+π=-，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． （15）102a x ⎫+⎪⎭展开式中的常数项为180，则a = ．（16）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为___________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*n ∈N ，都有()21n n S n a =+． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ,求证：112n T ≤<.（18）(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（Ⅰ）证明：MN ⊥平面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角1A A M N --的余弦值．ABCDPM N A 1B 1C 1D 1（19）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率e =，且椭圆1C 上一点M 到点()30，Q 的距离的最大值为4． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1016A ⎛⎫⎪⎝⎭，，N 为抛物线22x y C =：上一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ，C 两点，求ABC ∆面积的最大值．（21）（本小题满分12分）已知函数()e xf x ax =-（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点()0,1处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值； （Ⅱ）证明：当0>x 时，2e x x <；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2e x x c <.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=o,NF 与O e 相交于点F ，求NF 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，0a >)． （Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）当3a =时，曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+，*m ∈N ，存在实数x 使()2f x <成立． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若,1αβ>，()()2f f αβ+=，求证：4192αβ+≥．参考答案。
广东省揭阳市2016届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含答案
揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2x y xA ==-，{}220x xx B =-<，则（ ）A ．AB =∅B ．R A B =C ．B ⊆AD ．A ⊆B2.设复数z 满足()12i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -4.()842xx --展开式中含2x项的系数是（ )A ．56-B ．28-C ．28D ．565。
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验,收集数据如右所示:根据右表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为（）A ．63.6minB ．65.5minC ．67.7minD ．72.0min6.已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2x =( )A ．35-B ．105C ．35D ．17。
执行如图1的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．2B ．3-C ．12- D ．138.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线6x y +=下方的概率是（ )A ．718B ．13C ．16D ．5189。
若x ，y 满足1x y +≤，则2z x y =-的取值范围是( ） A ．(],2-∞- B ．[]2,2- C ．[]1,1-D ．[)1,+∞10.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M 点，若2F M 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．3C ．12+D ．13+11.已知函数()sin f x x π=和函数()cos g x x π=在区间[]1,2-上的图象交于A 、B 、C 三点，则C ∆AB 的面积是（)A ．22B ．324C ．2 D ．52412。
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2016年广东省中山市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年广东省中山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数等于（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）设x∈R，则“x＞0“是“x+≥2“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为10时，输出S 的值为（）A．45B．49C．52D．544．（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣805．（5分）在等比数列{a n}中，，则a3＝（）A．±9B．9C．±3D．36．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sin A＝（）A．B．C．D．﹣7．（5分）直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，点D在斜边AB上，且，λ∈R，若，则λ＝（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）＝f（3﹣x），若f（1）＝﹣2，则2012f（2012）﹣2013f（2013）＝（）A．﹣4026B．4026C．﹣4024D．4024二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取人．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）已知集合A＝{x∈R||x﹣1|＞2}，集合B＝{x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}，若A∩B＝（3，5）则实数a＝．12．（5分）若直线x﹣y+t＝0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则实数t的值为．13．（5分）如图，在⊙O中，CD垂直于直径AB，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB＝8，CE•CB＝7，则AD＝．14．（5分）设函数若f（﹣3）＝f（﹣1），f（﹣2）＝﹣3，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为个．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．（13分）已知函数f（x）＝sin2x+a cos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球．（I）求两球颜色不同且标号之和为3的概率；（Ⅱ）记所摸出的两球标号之积为ξ，求ξ的分布列与数学期望．17．（13分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝，E，F分别为AB、SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求锐二面角F﹣CE﹣B的余弦值；（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．18．（13分）已知数列{a n}中a1＝2，，数列{b n}中，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）设S n是数列{}的前n项和，求；（Ⅲ）设T n是数列的前n项和，求证：．19．（14分）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．20．（14分）已知函数f（x）＝ax3+bx2在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y ﹣10＝0，且对任意的x∈[0，+∞）f′（x）≤kln（x+1）恒成立．（I）求a，b的值；（Ⅱ）求实数k的最小值；（Ⅲ）证明：．2016年广东省中山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数等于（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：复数＝＝＝2﹣i．故选：B．2．（5分）设x∈R，则“x＞0“是“x+≥2“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵设x∈R，“”∴，∴，∴x＞0，∴“”⇒“x＞0”又当x＞0时，成立．则“x＞0“是““的充分必要条件；故选：C．3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为10时，输出S 的值为（）A．45B．49C．52D．54【解答】解：当输入的值为10时，循环前，S＝0，n＝10，第1次判断后循环，s＝10，n＝9，第2次判断并循环，s＝10+9，n＝8，第3次判断并循环，s＝10+9+8，n＝7，第4次判断并循环，s＝10+9+8+7，n＝6，第5次判断并循环，s＝10+9+8+7+6，n＝5，第6次判断并循环，s＝10+9+8+7+6+5，n＝4，第7次判断并循环，s＝10+9+8+7+6+5+4，n＝3，第8次判断并循环，s＝10+9+8+7+6+5+4+3，n＝2，第9次判断并循环，s＝10+9+8+7+6+5+4+3+2，n＝1，退出循环，输出S＝10+9+8+7+6+5+4+3+2＝54．故选：D．4．（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【解答】解：的展开式的通项为T r+1＝（x）5﹣r（﹣）r＝（﹣2）r，r C5令5﹣＝2得r＝2，故展开式中x2项的系数是T3＝（﹣2）2C52＝40，故选：A．5．（5分）在等比数列{a n}中，，则a3＝（）A．±9B．9C．±3D．3【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则∵，∴＝27，＝3两式相除，可得∴a3＝±3当a3＝﹣3时，++1+q+q2＝﹣9，q无解．故选：D．6．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sin A＝（）A．B．C．D．﹣【解答】解：∵C为三角形的内角，，∴sin C＝＝，又a＝2，b＝3，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C得：c2＝4+9﹣3＝10，解得：c＝，又sin C＝，c＝，a＝2，∴由正弦定理得：sin A＝＝．故选：C．7．（5分）直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，点D在斜边AB 上，且，λ∈R，若，则λ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，∴BC＝，再由cos A＝＝，∴A＝，B＝．由＝（）•＝（）•＝+λ•＝0+λ•2××cos＝2，解得λ＝，故选：D．8．（5分）定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）＝f（3﹣x），若f（1）＝﹣2，则2012f（2012）﹣2013f（2013）＝（）A．﹣4026B．4026C．﹣4024D．4024【解答】解：由于函数f（x）对任意x∈R都有f（x+1）＝f（3﹣x），∴f（x）＝f（4﹣x），∴f（﹣x）＝f（4+x）．再由函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝f（x+4），∴f （x）＝f（x+8），故函数f（x）的周期为8．∴f（2012）＝f（8×251+4）＝f（4）＝f（4﹣4）＝f（0）＝0，f（2013）＝f（251×8+5）＝f（5）＝f（4﹣5）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，2012f（2012）﹣2013f（2013）＝0﹣2013×2＝﹣4026，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取12人．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于＝，故应抽取的女运动员人数为84×＝12，故答案为12．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为36π．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半径为6的球的8分之一由球的半径R＝6可得故V＝•π•63＝36π故答案为：36π11．（5分）已知集合A＝{x∈R||x﹣1|＞2}，集合B＝{x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}，若A∩B＝（3，5）则实数a＝5．【解答】解：∵集合A＝{x∈R||x﹣1|＞2}＝{x|x＞3，或x＜﹣1}，集合B＝{x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，当a＝1时，B＝∅，不满足条件．当a＞1时，B＝（1，a），由A∩B＝（3，5）可得a＝5．当a＜1时，B＝（a，1 ），不满足A∩B＝（3，5）．综上可得，只有a＝5，故答案为5．12．（5分）若直线x﹣y+t＝0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则实数t的值为﹣2或6．【解答】解：由，得，①2+②2得，（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16．所以曲线表示以（1，3）为圆心，以4为半径的圆．因为直线x﹣y+t＝0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则半弦长为．所以圆心（1，3）到直线x﹣y+t＝0的距离d＝．解得t＝﹣2或t＝6．故答案为﹣2或6．13．（5分）如图，在⊙O中，CD垂直于直径AB，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB＝8，CE•CB＝7，则AD＝1．【解答】解：根据射影定理得：CD2＝CE•CB，且CD2＝AD•DB，又CE•CB＝7，∴AD•DB＝7，即AD•（AB﹣AD）＝7，又AB＝8，∴AD•（8﹣AD）＝7，解之得AD＝1．故答案为：114．（5分）设函数若f（﹣3）＝f（﹣1），f（﹣2）＝﹣3，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为3个．【解答】解：因为当x＜0时，f（x）＝x2+bx﹣c，又f（﹣3）＝f（﹣1），f（﹣2）＝﹣3，所以，解得．所以．作函数y＝f（x），y＝x的图象如图，由图象可知，关于x的方程f（x）＝x的解的个数为3．故答案为3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．（13分）已知函数f（x）＝sin2x+a cos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得即，所以a＝﹣2所以f（x）＝sin2x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1＝所以函数f（x）的最小正周期为π（Ⅱ）由，得则所以所以函数y＝f（x）的最大值为；最小值为16．（13分）一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球．（I）求两球颜色不同且标号之和为3的概率；（Ⅱ）记所摸出的两球标号之积为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）从盒中不放回地摸出2个小球的所有可能情况有种，颜色不同且标号之和为3的情况有6种∴（Ⅱ）依题意ξ的可取值为0，1，2，3，4，6；；；；；∴ξ的分布列为∴17．（13分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝，E，F分别为AB、SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求锐二面角F﹣CE﹣B的余弦值；（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．【解答】解：（Ⅰ）取AC中点O，根据题意可得OA、OB、OS两两互相垂直，因此以O为原点，分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），，，，，C（﹣1，0，0）∴，∵∴，即得AC⊥SB．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设为平面CEF的一个法向量，则，取z＝1，得．∴平面CEF的一个法向量为．又∵为平面ABC的一个法向量，∴，结合题意二面角F﹣CE﹣B是一个锐二面角，所以二面角F﹣CE﹣B的余弦值为．（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ），可得，∵为平面CEF的一个法向量∴由点到平面的距离公式，可得点B到平面CEF的距离为．18．（13分）已知数列{a n}中a1＝2，，数列{b n}中，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）设S n是数列{}的前n项和，求；（Ⅲ）设T n是数列的前n项和，求证：．【解答】解：（Ⅰ），而，∴．n∈N*∴{b n}是首项为，公差为1的等差数列．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n＝n，，于是＝，故有＝＝6．（9分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知＝，则．∴．则+…+＝，∴T n＝．（14分）19．（14分）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由|FB|＝2，得，即，故．又∵b＝2，∴a2＝＝12，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为y＝kx﹣3（k≠0），由，知点A在线段MN的垂直平分线上，由得x2+3（kx﹣3）2＝12即（1+3k2）x2﹣18kx+15＝0①△＝（﹣18k）2﹣4（1+3k2）×15＝144k2﹣60＞0即时方程①有两个不相等的实数根设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0）则x1，x2是方程①的两个不等的实根，故有从而有，于是，可得线段MN的中点P的坐标为又由于k≠0，因此直线AP的斜率为由AP⊥MN，得即5+6k2＝9，解得，∴，∴所求直线l的方程为：．20．（14分）已知函数f（x）＝ax3+bx2在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y ﹣10＝0，且对任意的x∈[0，+∞）f′（x）≤kln（x+1）恒成立．（I）求a，b的值；（Ⅱ）求实数k的最小值；（Ⅲ）证明：．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝3ax2+2bx，f'（2）＝﹣2，∴12a+4b＝﹣2①将x＝2代入切线方程得，∴②①②联立，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f'（x）＝﹣x2+x，∴﹣x2+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；即x2﹣x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；设g（x）＝x2﹣x+kln（x+1），g（0）＝0，∴只需证对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），，设h（x）＝2x2+x+k﹣1，（1）当△＝1﹣8（k﹣1）≤0，即时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增，∴g（x）≥g（0）；（2）当△＝1﹣8（k﹣1）＞0，即时，设是方程2x2+x+k﹣1＝0的两根且x1＜x2由，可知x1＜0，分析题意可知当时对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）；∴k﹣1≥0，k≥1，∴综上分析，实数k的最小值为1．（Ⅲ）令k＝1，有﹣x2+x≤ln（x+1），即x≤x2+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立令，得∴＝＝＜ln（n+1）+2∴原不等式得证．。
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试(理科数学)试题
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项：1 •本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分•答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上.2 •回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3 .回答第n 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一•选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)若全集 U= R ，集合 A ={x1<^2 <4^, B={xx —1 畠o}，贝V Al e u B =(2) (3) (A) 已知 (A) (B) {x 0 V X 兰1} (C) {xOcxc1}a,b ・R , i 是虚数单位，若a-i 与2 bi 互为共轭复数，则3+4i (B) 5+4i (C ) 3 — 4iF 列说法中正确的是(A) “ f (0) = 0 ”是“函数 f (x)是奇函数”的充要条件 (B)若 p: x^ R ,x f -x °2-10，则—p : —X R , x 一 x -1 ：： 0(C ) 若p q 为假命题，则 p , q 均为假命题2a bi =(D) 5-4iji，则 sin ：■ 6 (4)已知f x 在R 上是奇函数，且满足f x 4 = f x ,当 时，f x =2x 2，则 f 7 二(A )2(C ) -98(D)i 1命题―二，则s 「H ”的否命题是“若J ”2 x 0,2(5) 执行如图所示的程序框 图，输出的结果为(A) -2 , 2(C ) -4 , -4(6) (7) (B ) -2 (D) 98(B) -4 , 0(D )0 , - 8各项均为正数的等差数列'a n 』中，a 4a 9 = 36，则前12项和^2的最小值为(A) 78 (C ) 60(B) (D) 48 72一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为的直角三角形，俯视图是半径为 1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为(C )旦43(C )-5工2x -y-2 冬 0,X(9)若实数x, y 满足约束条件 2x ・y-4_0,贝V的取值范围是y.八2,ABC 的三个顶点 A , B , C 的坐标分别为 0,1 , -.2,0 , 0,-2 , O 为坐标原点，动点P 满uir uin uin=1,贝U OA+OB +OP 的最小值是(A) z --；3 -1(B ) ■： 11-1第口卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题 第24题(A)旦12⑻已知八|2 -，函数 f(x)二sin( .X ：)( • .0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于f4的值为(A) 一35(D )(A) |2(B )丄,3 IL 2 2(C) _|'2(D ) 1.1,2 1(10)过双曲线2X ~2 a2b % 0,b 0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点uir uir若FB =2FA ，则此双曲线的离心率为(B ) .3(C ) 2(D )..5(11)将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有(A ) 150种(B ) 180 种 (C ) 240 种 (D ) 540 种(12)已知uir 足CP (D 11为选考题，考生根据要求做答.•填空题：本大题共 4小题，每小题5分.1(13)已知向量a , b 满足| b |=4 , a 在b 方向上的投影是 ，则^b =2(15)、、x 展开式中的常数项为180,则a 二•I X 丿(16)已知y = f x 为R 上的连续可导函数，且 xr x f x \ >0，则函数g x j ；二xf x 1 x 0的零点个数为 ____________ •三•解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分)设S n 为数列江？的前n 项和，已知a^2，对任意n N *，都有2&二n 1 a n • (i )求数列江？的通项公式；「4〕 1 (n)若数列的前n 项和为T n ,求证： T n ：：： 1 .l a n (an +2)J2(18) (本小题满分12分)如图，在三棱柱 ABC -ABQ 中，侧棱 AA 1 _ 底面 ABC , AB = AC =2从,■ BAC =120 , D, D 1 分别是线段BC,B 1C 1的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB , AC 于点M , N •(I)证明：MN _ 平面 ADD 1A 1 ； (n)求二面角 A - A 1M -N 的余弦值.(19) (本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上•其中，不足80的年份有(14) 1 ,■ p ■,已知逸―3，则sin 「10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年•将年入流量在以上三段的频(I)求证：BC CE 二 AD DB ；率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(I)求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率; (n)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；年入流量X 40仆 c8080 兰 X 「20X >120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？(20) (本小题满分12 分)M 到点Q 0,3的距离的最大值为4. (I)求椭圆C 1的方程；(n)设A o,丄，N 为抛物线C 2： y =x 2上一动点，过点 N 作抛物线C ?的切线交椭圆 G 于B , I 16丿C 两点，求 ABC 面积的最大值.(21) (本小题满分12分)已知函数f x =e x -ax ( e 为自然对数的底数，a 为常数)在点 0,1处的切线斜率为-1.(I)求a 的值及函数f x 的极值； (n)证明：当 x 0时，x 2 :: e x ；(III )证明：对任意给定的正数 c ,总存在x 0，使得当xw 〔x 0, •二，恒有x 2 :: ce x .请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分•做答时请写清题号.(22) (本小题满分10分)选修4 — 1:几何证明选讲如图• ACB =90 , CD _ AB 于点D ，以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E .在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2xC i ：—2a,且椭圆C 1上一点4(n)若BE =4，点N 在线段BE 上移动，.ONF =90°,NF 与e O 相交于点F ，求NF 的最大值.i x = t 1,x = a COST ，在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 1:( t 为参数)与曲线 C 2:U 为』= 1-2t, = 3s in 日参数，a 0).(I)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在 x 轴上，求a 的值；(24)(本小题满分10分)选修4 — 5:不等式选讲(I)求实数m 的值;(n)若〉，L ： 一1, f G ) f ( ^ =4，求证:2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，(23)(本小题满分10分)选修4 — 4:坐标系与参数方程(n)当a =3时，曲线 G 与曲线C 2交于A ,B 两点，求A , B 两点的距离.已知定义在 R 上的函数f x =|x-m|，|x|.m 三N *，存在实数x 使f(x)：：：2成立.-3.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数.选择题不给中间分. •选择题 (1) C (2) A (3) D (4) B (5) B (6) D (7) A(8) B(9) B(10) C(11) A(12) A填空题(13) 2(14) 一？(15)2或-2(16) 09（其中第 15题中， 答对2个给5分， 答对1个给 3分）三•解答题（17）证明：（I ）因为 2S n =[n 1 a n , (1)当 n _ 2 时，2S n 」=na nJ ,两式相减，得 2a n =：[n ，1 a n -na n 」, .......................................... 2分 即 n -1 a n =na n ,所以当n _2时，鱼=也. .................................................. 3分n n -1所以色=色. .............................................. 4分n 1因为a^2，所以an =2n . .................................................................................... 5分(n)因为 a n = 2n ,■i扛川 ＞九1 1因为肓o 所以1一肓".所以b n4 2n(2n 2)1 1 1 ........................................................................................ n(n -1) n n 110分11分51 *因为f n在N 上是单调递减函数，n +11 *所以1在N 上是单调递增函数.n 11所以当n =1时，T n 取最小值- ..... .......................................... 11分21所以一＜T n -：1. ..................................................................................... 12 分2(18) (I)证明：因为 AB 二AC , D 是BC 的中点，所以，BC _ AD . 因为M , N 分别为AB , AC 的中点，所以MN^BC . ........................................... 1分所以MN _ AD • ............................................................................. 2分因为AA _平面ABC , MN 二平面ABC ，所以AA^ MN ............ ..................................... 3分 又因为AD, AA|在平面ADD 1A 内,且AD 与AA|相交, 所以MN —平面ADD 1A ...... ..............................(n)解法一：连接AP ,过A 作AE_AP 于E ,过E 作EF _ AM 于F ,连接AF . 由(I)知，MN _平面AEA 1, 所以平面AEA _平面AMN . 所以AE _平面AMN ,则AM _ AE . 所以AM _平面AEF ,则AM _ AF .故• AFE 为二面角A -AM -N 的平面角(设为二).设 AA 1 =1,则由 AB =AC =2^^ BAC =120",有 BAD =60" , AB =2, AD =1. 又P 为AD 的中点，贝U M 为AB 的中点，所以 AP75在 RtLAAf , AP ，在 RtL^AM 中，AM2从而 AE-g^’A—AA^ 公5AM2APAM10分AF二丄 AM -1 .2「2.3x 2 = 0.所以 AM =1亠,丄,1 , AA = (0,0,1 ), NM =(伍0,0 )•设平面AA i M 的法向量为 厲二为，％,乙,(X , %, Z1 )• —, — ,1 — 0, 故有殳 ° 2 2所以m 二1,「3,0是平面ARM 的一个法向量. 设平面A1MN 的法向量为“2 = X 2,y 2,Z 2 ,从而A "取『2=2，则Z-1,因为.AFE 为锐角,则 A 0,0,0 , A 0,0,1 . 因为P 为AD 的中点，所以M , N 分别为AB, AC 的中点，故像,讣| 卑1〕,BB i* A 1A = 0,(花畀，乙)・(0,0,1 ) = 0.从而孑x牛ViZ 1=0.0,取 x 1 = 1,则 _. 3 ,2 '22 ‘2-1『-1n 2 _ AM ,n 2 *A|M =0,则21即2n 2 — NM ,n 2 *NM =0,故有｛"沁)・1亍』严X 2,y 2,Z 2 …3,0,0 =0.设二面角A-AM -N 的平面角为 X 又二为锐角,1,- 3,o . 0,2, -1152•屆-510 1(19)解：(I )依题意 R =P(40 : X ：：：80)：50535751P 2 =P(80 乞 X 乞120), P 3=P(X 120). .................................. 3 分50 1050 10由二项分布，在未来 4年中至多有1年入流量超过120的概率为：(n)记水电站年总利润为 Y (单位：万元)① 安装1台发电机的情形:对应的年利润 Y=5000, EY = 5000 1 =5000 -② 安装2台发电机的情形：当40：：：X : 80时，一台发电机运行，此时 Y =5000-800 = 4200, 因此 P(Y =4200) =P(40 VX £80) = P =0.2 .当X -80时，两台发电机运行，此时 Y=5000 2 =10000, 因此 P(Y =10000) =P(X _80)=F 2 P 3 ^0.8 . 所以Y 的分布列如下：Y4200 10000所以亚二0,2, -1是平面AMN 的一个法向量.10分贝y COST讥| ..........................ii 分故二面角 12分f 9 "4—0(54+斯一职十J+4沧〕 110丿 1109477 10000= 0.9477 .由于水库年入流量总大于 40,所以至少安装1台.由于水库年入流量总大于 40,所以一台发电机运行的概率为1,A —AM -N 的余弦值为4P0.2 0.8所以 EY=4200 0.2 10000 0.8=8840. ......................................................... 9 分③ 安装3台发电机的情形：当 40 ：：： X :：: 80 时，一台发电机运行，此时 Y =5000 -800 2 =3400 , 因此 P(Y =3400) = P(40<X c80) = R = 0.2 .当80岂X <120时，两台发电机运行，此时 Y =5000 2-800 = 9200, 此时 P(Y =9200) = P(80 乞 X 乞 120) = p 2 = 0.7 . 当X 120时，三台发电机运行，此时y=5000 3 =15000,因此 P(Y =15000) =P(X 120) =p 3 =0.1. 所以Y 的分布列如下：Y 3400 9200 15000 P0.20.70.1所以 EY =3400 0.2 9200 0.7 15000 0.1 =8620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.2 2则椭圆方程为与=1,即x 2，4y 2 =4b 2 .4b 2 b 2设 M (x, y)，贝y MQ| = J(x_0)2 +(y_3)2 = J4b 2 _4y 2 十(y _3)2=-3y 2 -6y 4b 2 9 = -3(y 1)2 4b 2 12 . .................................................. 3 分当y =「1时，|MQ|有最大值为，4b 2.12 =4 . .......................................................... 4分 解得 b 2 = 1，则 a 2 = 4.2所以椭圆 G 的方程是 — y 2 =1 . .................................................................. 5分11分 12分(20)解:(I)因为e 2，所以 a 2 =4b 2 .. ...............................................4c 22a(n)设曲线 C : y=x 2上的点N(t,t 2)，因为y =2x ,所以直线BC 的方程为：y-t 2 =2t(x-t),即y=2tx-t 2.2将①代入椭圆方程才八1中整理,得(1 16t 2)x 2 -16t 3x 4t 4 —4 = 0 .3 22442则有.=-(16t ) -4(1 16t )(4t -4)=16(-t16t 1).34口 16t4t -4且 x 1 x 22 , x-j x 2 2 1 16t 2 1 16t 2所以 | BC |=、1 4t 2 |捲-X 2 |= 1 4t 2(为 X 2)2 -4X 1X 24 .. 1 4t\ -t 4 16t 2 11 16t 221 +16t 2设点A 到直线BC 的距离为d ,则d = 16 J1 + 4t 211 4J1 +4t2 J —t 4 +16t 2 +1 1+16t 2所以=ABC 的面积BC|d=丄* 1• ' = 22 1+16t 216/^4t^1 16t2 10分叮二厂16厂1叮m 罟-当t = ±2J2时取到“=”,经检验此时心＞0，满足题意. 11分综上，「ABC 面积的最大值为 一65812分(21)(1)解：由 f (x) = e x -ax ，得 f '(x) = e x -a . 因为 f (0) =1 -a = -1,所以 a = 2. 所以 f (x) =e x _2x , f '(x)二 e x - 2 .令 f'(x) = 0,得 x =1 n2 . ................................................................... 2 分 当x l n2时,f '(x) <0, f (x)单调递减；当x l n2时,f '(x)0, f (x )单调递增所以当x=l n2时，f(x)取得极小值，且极小值为f (l n2)=e ln2-2l n2 = 2-l n4, f(x)无极大值.(n)证明：令 g(x)=e x -x 2,则 g'(x)=e x -2x .由( I )得 g'(x)二 f(x) _ f(ln2)0,故 g(x)在 R 上单调递增.所以当 x 0时，g(x) g(0) =10，即 x 2 :：: e x .（川）证明一：①若c _1,则e x <ce x . .................................................................................. 7分由（n ）知，当 x 0时，x 2 ::: e x .所以当 x 0时，x 2 ：：：ce x .2x取x ° =0,当x •（心•：：）时，恒有x :: ce ....................................................................... 8分1②若 0 ：：： c ：：： 1,令 k 1, ....................................................................... 9 分c要使不等式x 2 ::: ce x 成立，只要e x kx 2成立.x22而要使e - kx 成立，则只要 x • In(kx ),只要x 2ln x • In k 成立.2 x —2 令 h(x) = x —2ln x — ln k ,贝U h'(x) =1 — — = .x x所以当x 2时,h'(x) 0,h(x)在(2,：：)内单调递增. 取X 。
广东省2016年全国卷适应性考试理科数学试题(解析版)
15．已知数列 { an} 的各项均为正数， Sn 为其前 n 项和，且对任意 n N * ，均有 an 、 Sn 、 an2 成等差数列，
∴
i．
1 ai 1 2i (1 2i)(1 2i) 3
3．设 Sn 为数列 { an} 的前 n 项的和，且 Sn
3 (an
2
1)(n
N * ) ，则 an
（
）
A ． 3(3n 2n)
B． 3n 2
C． 3n
D ． 3 2n 1
【答案】 C
3
【解析】
a1 S1
( a1 2
1)
，
a1
3
，
3
a1 a2
(a2 1)
99
．
100
1
开始
输入 N n=1,x= 0
n= n+ 1
n< N
否
输出 x
是
1
x= x+
n(n+ 1)
结束
5．三角函数 f ( x) sin( 2x) cos2x 的振幅和最小正周期分别是（
）
6
A ． 3, 2
【答案】 B
B ． 3,
C． 2, 2
D ． 2,
【解析】 f ( x) sin cos2x cos sin 2x cos 2x
D． y 2 x 2 2
【答案】 D
【解析】∵椭圆的端点为 (0, 2) ，离心率为 2 ，∴双曲线的离心率为
2，
2
依题意双曲线的实半轴 a 2 ，∴ c 2 ， b 2 ，故选 D．
12．如果定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足：对于任意 x1 x2 ，都有 x1 f ( x1) x2 f ( x2 ) x1 f ( x2 ) x2 f ( x1) ， 则 称 f ( x ) 为 “ H 函 数 ”． 给 出 下 列 函 数 ： ① y
广东省2016年高考数学适应性考试试题 理(全国卷,含解析)
广东省2016年高考数学适应性考试试题 理（全国卷，含解析）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B = （ ） A ．[3,1]-- B ．(,3][1,0)-∞--C ．(,3)(1,0]-∞--D ．(,0)-∞ 【答案】B【解析】(,3][1,)A =-∞--+∞ ，(,0)B =-∞， ∴(,3][1,0)A B =-∞-- ．2．若(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则7i 1ia a +=+（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1- 【答案】C【解析】∵z为纯虚数，∴a =∴7i 3i i 1i 3a a +-====-+． 3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ） A ．3(32)n n- B ．32n+ C ．3nD ．132n -⋅【答案】C【解析】1111223(1)23(1)2a S a a a a ⎧==-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，1239a a =⎧⎨=⎩，经代入选项检验，只有C 符合．4．执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ）A ．0.95B ．0.98C ．0.99D ．1.00 【答案】C 【解析】111112233499100x =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111199(1)()()()2233499100100=-+-+-+⋅⋅⋅+-=．5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A2πBπC2πDπ【答案】B 【解析】()sincos 2cossin 2cos 266f x x x x ππ=-+31cos 223(2sin 2)2222x x x x =-=-)6x π=+，故选B ．6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】D【解析】11=2(2+1)2232V ⨯⨯⨯⨯=正四棱锥．7．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题， 那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题【答案】D8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．76 【答案】A【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率27317P C ==． 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵(2)⊥-a a b ，∴(2)0⋅-=a a b ， ∴21122⋅==a b a ，∴||+==a b==10．62)21(x x -的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．1615【答案】D【解析】2612316611()()()22rr r r r rr T C x C xx --+=-=-， 令1230r -=，解得4r =．∴常数项为446115()216C -=． 11．（2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y xB ．122=-x yC ．222=-y xD ．222=-x y 【答案】D【解析】∵椭圆的端点为(0,，离心率为2依题意双曲线的实半轴a =2c =，b =D ．12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)cos sin (23x x x y --=；③1+=xe y ；④⎩⎨⎧=≠=00||ln x x x y ，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】∵1122()()x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>， ∴1212()[()()]0x x f x f x -->，∴)(x f 在R 上单调递增．①231y x '=-+， (x ∈-∞，0y '<，不符合条件；②32(cos +sin )=3)04y x x x π'=--+>，符合条件；③0x y e '=>，符合条件；④()f x 在(,0)-∞单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H 函数”是②③．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ． 【答案】(,2)-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C , ∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴64264a a a +<⎧⎨+<⎩，解得2a <-．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．【答案】4【解析】223()162p p+=，∴4p =． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2na 成等差数列，则=n a ． 【答案】n【解析】∵n a ，n S ，2n a 成等差数列，∴22n n n S a a =+当1n =时，2111122a S a a ==+ 又10a > ∴11a =当2n ≥时，2211122()n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--， ∴2211()()0n n n n a a a a ----+=，∴111()()()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， 又10n n a a -+>，∴11n n a a --=，∴{}n a 是等差数列，其公差为1， ∵11a =，∴*(N )n a n n =∈．16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．【答案】2【解析】直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴， ∴(2)()f x f x -=，(4)()f x f x -=，∴(2)(4)f x f x -=-，∴)(x f y =的周期2T =． ∴(4)(10)(0)(0)2f f f f +=+=．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值； （2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 【解析】（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，∴2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+， ∴2sin cos sin()A A B C ⋅=+，∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=， ∴2sin cos sin A A A ⋅=．∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴2cos 1A =，∴1cos 2A =．（2）由1cos 2A =，得sin A =，由2sin aA=，得2sin a A == ∵2222cos a b c bc A =+-，∴222431bc b c a =+-=-=，∴11sin 22ABC S bc A ∆===．18．（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ，x b y aˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值． 【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2．152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为∴()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=． （3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，21()2.250.250.25 2.255nii x x =-=+++=∑，41()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，121()()7 1.45()niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ5 1.4 2.5 1.5ab =-=-⨯=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元． 19．（本小题满分12分）如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．【解析】（1）证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，F ．∵4BF ==，3PF =，∴3(2P，(2,0,FB =- ，(0,2,0)AC =，3(,0,22AP = ．∵0FB AC ⋅= ，∴FB AC ⊥． ∵0FB AP ⋅= ，∴FB AP ⊥ ．∵FB AC ⊥，FB AP ⊥，AC AP A = ， ∴FB ⊥平面APC ．PCABEF（2）∵(2,0,0)AB =，3(,2,22PC =-- ，记AB 与PC夹角为θ，则cos =AB PC AB PC θ⋅==【方法2】（1）4FB =,cos cos PFA BFA ∠=∠=，PA=∵2223912PA PF AF +=+==，∴PA BF ⊥．∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF 平面ABC AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面ABEF ．∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC BF ⊥． ∵PA AC A =I ，∴BF ⊥平面PAC ．（2）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC ．PN MB ==，32AN =，52NC ==，BC =PC ==，MC ==，135744cos22MPC+-∠===⋅∴异面直线PC与AB20．（本小题满分12分）已知抛物线C：xy42=，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛物线C于点1P、2P和点3P、4P，线段21PP、43PP的中点分别为1M、2M．（1）求21MFM∆面积的最小值；（2）求线段21MM的中点P满足的方程．【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F，设直线12PP的方程为(1)y k x=-，0k≠．联立2(1)4y k xy x=-⎧⎨=⎩，得22222(2)0k x k x k-++=．（*）22222[2(2)]416(1)0k k k k∆=-+-=+>．设111(,)P x y，222(,)P x y，则21222(2)kx xk++=．设111(,)M MM x y，则1112122222(1)MM Mx x kxky k xk⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩．类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M kx k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩．∴1||FM ==2||2||FM k ==， 因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+．∵1||2||k k ≥+，∴124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （2）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-．21．（本小题满分12分）设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；（3）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=．令()0f x '=，得210x mx -+=．当240m ≤∆=-，即02m ≤<时，()0f x ≥'，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增．当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得1x =2x =120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<， ∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．（2）由（1）可知，当02m ≤<时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点．又∵1()(2)ln 2f x x x m x =-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <；当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点．当2m >时，∵()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且211(()()ln 2m m m m f x =+-=，而22222044m m m -+-+-<<，40124m <=<=（∵2m >），∴1()0f x <，由此知21()()0f x f x <<，又∵当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点． 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点．（3）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mx x +-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）．（*）记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x =．当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥．由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ， AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．【解析】（1）连接FC ，OF ， ∵ AB AF =，OB OF =，EFG COABAF∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥． ∵BC 是O 的直径，∴CF BF ⊥． ∴//OG CF ．∴AOB FCB ∠=∠，∴90,90DAO AOB FBC FCB ∠=︒-∠∠=︒-∠， ∴DAO FBC ∠=∠．（2）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中， 由（1）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，∴OAD ∆≅OBG ∆，于是OD OG =． ∴AG OA OG OB OD BD =-=-=． 在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中， 由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =，∴AGE ∆≅BDE ∆，∴AE BE =． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C的交点为,A B ．（1（2【解析】（1）∵直线过点(1,2)P -，且倾斜角为45 ．∴直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 即直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（2）∵2sin 2cos ρθθ=，∴2(sin )2cos ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =，∵1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴2(2)2(1)22t t -+=+，∴240t -+=，∴124t t =24．（本小题满分10分）选修4-5设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴5315x x x ≤+++， ∴13x +≤，∴24x -≤≤．∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-． （2）若1x ≥-时，有()0f x ≥， ∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-，∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥． ∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞ ．。
2016年模拟考试答案(理科数学)
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）D （7）A （8）B（9）B（10）C（11）A（12）A二．填空题（13）2（14）79- （15）2或2- （16）0 （其中第15题中，答对2个给5分，答对1个给3分）三．解答题（17）证明：（Ⅰ）因为()21n n S n a =+，………………………………………………………………1 分当2≥n 时，112n n S na --=，两式相减，得()121n n n a n a na -=+-， ………………………………………………………2 分 即()11n n n a na --=， 所以当2≥n 时，11n n a a n n -=-. ………………………………………………………3分 所以11n a a n =. ………………………………………………………4分 因为12a =，所以2n a n =. ………………………………………………………5 分 （Ⅱ）因为2n a n =，4(2)n n n b a a =+，*∈N n ，所以41112(22)(1)1n b n n n n n n ===-+++． ………………………………………………………7分所以12n n T b b b =+++1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1111n n n -=++． ………………………………………………………9分 因为101n >+，所以1111n -<+．………………………………………………………10 分 因为()11f n n =+在*N 上是单调递减函数，所以111n -+在*N 上是单调递增函数．所以当1n =时，n T 取最小值21． ………………………………………………………11 分所以112n T ≤<. ………………………………………………………12 分（18）（Ⅰ）证明：因为AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥.因为M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以MN BC ． ……………………………………1 分所以MN AD ⊥. ………………………………………………………2分因为1AA ⊥平面ABC ,MN ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥MN .…………………………………3分又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交, 所以MN ⊥平面11ADD A . ………………………………………………………4 分（Ⅱ）解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E , 过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由（Ⅰ）知,MN ⊥平面1AEA , 所以平面1AEA ⊥平面1AMN . 所以AE ⊥平面1AMN ,则1A M AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A AM N --的平面角(设为θ)． ………………………………………6 分 设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==.A BCDP M N A 1B 1C 1D 1F E又P 为AD 的中点，则M 为AB 的中点，所以1,12AP AM ==. 在1Rt AA P，1AP =1Rt A AM中，1AM ………………………………8 分 从而1155AA AP AE A P ==,1122AA AM AF A M ==． ………………………………………10 分 所以sin AE AF θ==. ………………………………………………………11 分因为AFE ∠为锐角，所以cos 5θ===． 故二面角1A AM N --的余弦值为5. ………………………………………………………12 分 解法二: 设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,AE AD ,1A A 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz -(点O 与点1A 重合)． ………………5 分 则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以131,12A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,()3,0,0NM =． (6)分设平面1AAM 的法向量为()1111,,x y z =n ， 则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 故有()()()1111111,,,10,2,,0,0,10.x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩…………………………7分 从而111110,220.x y z z ++=⎪⎨⎪=⎩取11x =,则1y =, 所以()11,=n 是平面1AAM 的一个法向量． ……………………………………………8 分1C设平面1AMN 的法向量为()2222,,x y z =n , 则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 故有()())2222221,,,10,22,,0.x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩ ………………………9分从而222210,20.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-, 所以()20,2,1=-n 是平面1AMN 的一个法向量． ……………………………………………10 分 设二面角1A AM N --的平面角为θ,又θ为锐角， 则1212cos θ∙=∙n n n n ………………………………………………………11 分5==. 故二面角1A AM N --. ………………………………………………………12 分（19）解：（I ）依题意1101(4080)505P P X =<<==， 2357(80120)5010P P X =≤≤==，351(120)5010P P X =>==． ……………………………3分 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：43041343433991C (1)C (1)4101010P P P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………4 分94770.947710000==．………………………………………………………5分（Ⅱ）记水电站年总利润为Y （单位：万元），由于水库年入流量总大于40,所以至少安装1台． ………………………………………………6 分 ①安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000=Y ，500015000EY =⨯=． ……………………………………………7分②安装2台发电机的情形：当8040<<X 时，一台发电机运行，此时42008005000=-=Y ， 因此1(4200)(4080)0.2P Y P X P ==<<==．当80≥X 时，两台发电机运行，此时1000025000=⨯=Y ， 因此23(10000)(80)0.8P Y P X P P ==≥=+=. 所以Y 的分布列如下：所以42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=． ………………………………………………9分 ③安装3台发电机的情形：当8040<<X 时，一台发电机运行，此时500080023400Y =-⨯=， 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P ．当12080≤≤X 时，两台发电机运行，此时920080025000=-⨯=Y ， 此时7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P ．当120>X 时，三台发电机运行，此时1500035000=⨯=y ， 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P ． 所以Y 的分布列如下：所以86201.0150007.092002.03400=⨯+⨯+⨯=EY ． ……………………………………11 分 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装2台发电机．………………………12 分（20）解：（Ⅰ）因为22222234c a b e a a -===，所以224a b =．……………………………………1 分 则椭圆方程为,142222=+by b x 即22244x y b +=．设),(y x M ，则MQ == 124)1(394632222+++-=++--=b y b y y ．……………………3 分当1-=y 时，||MQ 有最大值为41242=+b ．………………………………………4分 解得21b =，则24a =．所以椭圆1C 的方程是1422=+y x ． ………………………………………………………5 分 （Ⅱ）设曲线C ：2y x =上的点2(,)N t t ，因为2y x '=，所以直线BC 的方程为：222),(2t tx y t x t t y -=-=-即． ①…………………………6 分将①代入椭圆方程1422=+y x 中整理， 得04416)161(4322=-+-+t x t x t ． ………………………………………………………7分 则有)116(16)44)(161(4)16(244223++-=-+-=∆t t t t t ．且2421232116144,16116t t x x t t x x +-=+=+．所以2122122124)(41||41||x x x x t x x t BC -++=-+=2242161116414t t t t +++-+=． ………………………………………………………8分设点A 到直线BC 的距离为d ，则2d =．…………………………………………9 分所以ABC ∆的面积2211||22116S BC d t ==∙+10 分== 当22±=t 时取到“=”，经检验此时0>∆，满足题意． …………………………………11 分综上，ABC ∆面积的最大值为865． ………………………………………………………12分（21）（I ）解：由()e x f x ax =-，得'()e x f x a =-.因为(0)11f a '=-=-,所以2a =． ………………………………………………………1 分 所以()e 2x f x x =-，'()e 2x f x =-.令'()0f x =,得ln 2x =． ………………………………………………………2 分 当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为ln2(ln 2)e 2ln 22ln 4,()f f x =-=-无极大值．………………………………………………………4分（Ⅱ）证明：令2()e x g x x =-,则'()e 2x g x x =-.由（I ）得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>,故()g x 在R 上单调递增． ……………………………5分 所以当0x >时，()(0)10g x g >=>，即2e xx <． ……………………………………………6 分 （Ⅲ）证明一：①若1c ≥,则e e x xc ≤. ………………………………………………………7分由（Ⅱ）知，当0x >时，2e x x <.所以当0x >时, 2e xx c <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e xx c <． ……………………………………………………8分 ②若01c <<,令11k c=>, ………………………………………………………9 分 要使不等式2e xx c <成立，只要2e xkx >成立．而要使2e xkx >成立，则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立． 令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x-=-=. 所以当2x >时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增. 取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+， 易知ln ,ln 2,50k k k k >>>． 所以0()0h x >.即存在016x c=,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e xx c <． …………………………11 分综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e xx c <． …………………12 分 证明二：对任意给定的正数c ，取0x =， ……………………………………………………8分 由（Ⅱ）知，当0x >时，2e xx >，所以2222e e e 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………10分当0x x >时，222241e 222xx x x x c c⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e xx c <． …………………12分 证明三：首先证明当()0,x ∈+∞时，恒有31e 3x x <． 令()31e 3xh x x =-，则()2e x h x x '=-． 由（Ⅱ）知，当0x >时，2e xx >，从而()0h x '<，()h x 在()0,+∞上单调递减。
广东省佛山市2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足z （l ﹣i ）=﹣1﹣i ，则|z+1|=（ ）A ．0B ．1C ．D ．22．已知U=R ，函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M ，集合N={x|x 2﹣x ＜0}．则下列结论正确的是（ ） A ．M ∩N=N B ．M ∩（∁U N ）=∅C ．M ∪N=UD ．M ⊆（∁U N ）3．已知a ，b 都是实数，那么“＞”是“lna ＞lnb ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．555．己知x 0=是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极大值点，则f （x ）的一个单调递减区间是（ ）A ．（，）B ．（，）C ．（，π）D ．（，π）6．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P 使∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，那么双曲线C 的离心率为（ ）A ． +1B ．2C ．D ．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知tanx=，则sin 2（+x ）=（ ）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为（用数字作答）．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．20．已知椭圆：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：∵z（l﹣i）=﹣1﹣i，∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，∴2z=﹣2i，∴z=﹣i，∴z+1=1﹣i，则|z+1|=，故选：C．【点评】本题考查了复数的化简与模的计算．2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；集合．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴M∩N=N，故选：A．【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，而＞，如a=1，b=0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．5．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，） C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B．【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A．+1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．【解答】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，∴2a=，2c=2x，∴双曲线C的离心率e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20，a=1，当S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×21=21，a=2当S=21，a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=21×22=23，a=3当S=23，a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=23×23=26，a=4当S=26，a=4，满足退出循环的条件，则z==6故输出结果为6故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】特称命题．【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】①求出f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；②求出（e x+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．【解答】解：对于①，f（x）=xsinx，∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，令2sina﹣2acosa=0，∴sina=acosa，又cosa≠0，∴tana=a；画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；在（0，）内，两函数的图象有交点，即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；对于②，f（x）=e x+x，（e x+x）dx=（e x+x2）=e a﹣e﹣a；令e a﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，且积分的上下限互为相反数，所以定积分值为0，满足条件；综上，∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．故选：B．【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为﹣10（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在（﹣）5展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项．【解答】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ．【解答】解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为2．【考点】余弦定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在△ABM 和△ABC 中分别使用余弦定理得出bc 的关系，求出cosA ，sinA ，代入面积公式求出最大值．【解答】解：在△ABM 中，由余弦定理得：cosB==．在△ABC 中，由余弦定理得：cosB==．∴=．即b 2+c 2=4bc ﹣8．∵cosA==，∴sinA==．∴S=sinA=bc=．∴当bc=8时，S 取得最大值2．故答案为2．【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc 的关系是解题关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =3S n ﹣2（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a n =3S n ﹣2与a n ﹣1=3S n ﹣1﹣2（n ≥2）作差、整理可知a n =﹣a n ﹣1（n ≥2），进而可知数列{a n }是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知na n =（﹣1）n ﹣1•，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵a n =3S n ﹣2， ∴a n ﹣1=3S n ﹣1﹣2（n ≥2）， 两式相减得：a n ﹣a n ﹣1=3a n ，整理得：a n =﹣a n ﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=3S 1﹣2，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为﹣的等比数列，∴其通项公式a n =（﹣1）n ﹣1•；（2）由（1）可知na n =（﹣1）n ﹣1•，∴T n =1•1+（﹣1）•2•+…+（﹣1）n ﹣2•（n ﹣1）•+（﹣1）n ﹣1•，∴﹣T n =1•（﹣1）•+2•+…+（﹣1）n ﹣1•（n ﹣1）•+（﹣1）n •n •，错位相减得： T n =1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n ﹣1•]﹣（﹣1）n •n •=1+﹣（﹣1）n •n •=+（﹣1）n ﹣1••，∴T n = [+（﹣1）n ﹣1••]=+（﹣1）n ﹣1••．【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm ）．（Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）利用平均值与标准差的计算公式即可得出μ，σ；（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），分别计算出满足满足2σ的概率及其3σ的概率，即可得出．【解答】解：（I）平均值μ=100+=105．标准差σ==6．（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），∴P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=P（93＜Z＜117）=0.9544，可知：落在区间（93，117）的数据有3个：95、103、109，因此满足2σ的概率为：0.95443×0.04562≈0.0017．P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=P（87＜Z＜123）=0.9974，可知：落在区间（87，123）的数据有4个：95、103、109、118，因此满足3σ的概率为：0.99744×0.0026≈0.0026．由以上可知：此打印设备不需要进一步调试．【点评】本题考查了茎叶图、平均值与标准差、正态分布，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D为BB1的中点；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中点，∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA1=2，则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），则=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D（，1，0），∴D为BB1的中点；（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），则由•=x ﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，令x=3，则y=3，z=， =（3，3，），显然平面A 1DA 的法向量为==（0，0，），则cos ＜，＞===，即二面角C 1﹣A 1D ﹣A 的余弦值是．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．20．已知椭圆：+=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2，0），且焦距为2，直线l 交椭圆于E 、F 两点（E 、F 与A 点不重合），且满足AE ⊥AF ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，若点P 满足2=+，求直线AP 的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE 的方程为y=k （x ﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E 的坐标，由两直线垂直可得F 的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b==，则椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+x E=，可得x E=，y E=k（x E﹣2）=，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F=，y F=，由2=+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；当s＜0时，t=≥﹣，综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用．【分析】（1）当a=λ时，函数f（x）=﹣（x＞0）．f′（x）=，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其单调性，即可得出最小值．（2）函数f（x）=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．f′（x）=﹣=，∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，∴f（（λ）==0，解得λ=．（2）证明：函数f（x）=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；方程思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB；（Ⅱ）利用割线定理求AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠PAD=∠PCB，∴∠APD=∠CPB，∴△APD∽△CPB，∴=，∵BP=2BC∴PD=2AD，∴AB=AD，∴PD=2AB；（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t，由割线定理得PD•PC=PA•PB，∴2t×5=（4﹣t）×4∴t=，即AB=．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．【分析】（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．【解答】解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．可得极坐标分别为：，．（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，∴a的范围是（﹣2，3）．【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．。
2016年广东适应性考试理科数学试题(一模)
2016年广东省适应性考试2016、3、5 理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}034|{2≥++=x x x A ，}12|{<=x x B ，则=⋂B A （ ）A ．}13|{-≤≤-=x xB B ．3|{-≤x x 或}01<≤-xC ．3|{-≤x x 或}01≤<-xD ．}0|{<x x2．若ai a z +-=2为纯虚数，其中∈a R ，则=++aii a 17（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ． 1-3．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，且)1(23-=n n a S （∈n N *），则=n a （ ） A ．)23(3n n - B ．nn23+ C ．n3 D ．123-⨯n4．执行如图所示的程序框图，如果输入的100=N ，则输出的=x （ ）A ．95.0B ．98.0C ．99.0D ．00.15．三角函数x x y 2cos )26sin(+-=π的振幅和最小正周期分别为（ ）A ．3，2π B ．3，π C ．2，2πD ．2，π6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．6C ．4D ．27．设p 、q 是两个命题，若)(q p ∨⌝是真命题，那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．76 9．已知平面向量、满足1||||==，)2(-⊥，则=+||（ ）A ．0B ．2C ．2D ．310．62)21(x x -的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．1615 11．已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y x B ．122=-x y C ．222=-y x D ．222=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)cos sin (23x x x y --=；③1+=x e y ；④⎩⎨⎧=≠=00||ln x x x y ，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取正视图 2俯视图2 1侧视图得最小值，则a 的取值范围是 ．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2na 成等差数列，则=n a ． 16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值； （2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 21)())((ˆx x y y x xbi ni i i---=∑=，x b y aˆˆ-=，其中、y 为样本均值． 19．（本小题满分12分）如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．ABCE F P20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段21P P 、43P P 的中点分别为1M 、2M ．（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．21．（本小题满分12分）设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；（2）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，BC 是半圆O 的直径，BC AD ⊥，垂足为D ，AB 的弧长等于AF 的弧长，BF 与AD 、AO 分别交予点E 、G ．（1）证明：FBC DAO ∠=∠； （2）证明：BE AE =．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，过点)2,1(-P 的直线l 的倾斜角为︒45．以坐标原点为极点，xAB C D O F E G轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为θθρcos 2sin 2=，直线l 和曲线C 的交点为点A 、B ．（1）求直线l 的参数方程；（2）求||||PB PA ⋅的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数x a x x f 5||)(+-=．（1）当1-=a 时，求不等式35)(+≤x x f 的解集； （2）若1-≥x 时，有0)(≥x f ，求a 的取值范围．答案： 一．选择题CDDCBC CABDBA二．填空题13．10- 14．113- 15．120 13．32 三．解答题（略）。
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2016年广东省适应性考试2016、3、5 理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}034|{2
≥++=x x x A ，}12|{<=x
x B ，则=⋂B A （ ）
A ．}13|{-≤≤-=x x
B B ．3|{-≤x x 或}01<≤-x
C ．3|{-≤x x 或}01≤<-x
D ．}0|{<x x
2．若ai a z +-=2为纯虚数，其中∈a R ，则
=++ai
i a 17
（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ． 1-
3．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，且)1(2
3
-=
n n a S （∈n N *）
，则=n a （ ） A ．)23(3n
n
- B ．n n 23+ C ．n 3 D ．1
23-⨯n
4．执行如图所示的程序框图，如果输入的100=N ，则输出的=x （ ）
A ．95.0
B ．98.0
C ．99.0
D ．00.1
5．三角函数x x y 2cos )26
sin(+-=π
的振幅和最小正周期分别为（ ）
A ．3，
2π B ．3，π C ．2，2
π
D ．2，π
6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．12
B ．6
C ．4
D ．2
7．设p 、q 是两个命题，若)(q p ∨⌝
是真命题，
那么（ ）
A ．p 是真命题且q 是假命题
B ．p 是真命题且q 是真命题
C ．p 是假命题且q 是真命题
D ．p 是假命题且q 是假命题
8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．
71 B ．73 C ．74 D ．7
6 9．已知平面向量、满足1||||==，)2(-⊥，则=+||（ ）
A ．0
B ．2
C ．2
D ．3
10．6
2
)21(x x -
的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．16
15
11．已知双曲线的顶点为椭圆12
2
2
=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）
A ．12
2
=-y x B ．12
2
=-x y C ．22
2
=-y x D ．22
2
=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +
)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13
++-=x x y ；②
)cos sin (23x x x y --=；③1+=x e y ；④⎩⎨
⎧=≠=00
||ln x x x y ，其中“H 函数”的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(
取
正视图 2俯视图
2 1
侧视图
得最小值，则a 的取值范围是 ．
14．已知双曲线116322
2=-p
y x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，
则=p ． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、
2
n a 成等差数列，则=n a ．
16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且
1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．
三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值； （2）若42
2
=+c b ，求ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 2
1
)()
)((ˆx x y y x x
b
i n
i i i
---=∑=，x b y a
ˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值． 19．（本小题满分12分）
如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．
（1）证明：⊥FB 面PAC ；
（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．
E F
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：x y 42
=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段21P P 、43P P 的中点分别为1M 、2M ．
（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．
21．（本小题满分12分）
设函数mx x x x f -+=
ln 2
1)(2
（0>m ）
． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；
（2）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号． 22．（本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲
如图所示，BC 是半圆O 的直径，BC AD ⊥，垂足为D ，AB 的弧长等于AF 的弧长，BF 与AD 、AO 分别交予点E 、G ．
（1）证明：FBC DAO ∠=∠； （2）证明：BE AE =．
23．（本小题满分10分）
选修4—4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xOy 中，过点)2,1(-P 的直线l 的倾斜角为︒45．以坐标原点为极点，x
A
B C D O F E G
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为θθρcos 2sin 2
=，直线l 和曲线C 的交点为点A 、B ．
（1）求直线l 的参数方程；
（2）求||||PB PA ⋅的值． 24．（本小题满分10分）
选修4—5：不等式选讲
已知函数x a x x f 5||)(+-=．
（1）当1-=a 时，求不等式35)(+≤x x f 的解集； （2）若1-≥x 时，有0)(≥x f ，求a 的取值范围．
答案： 一．选择题
CDDCBC CABDBA
二．填空题
13．10- 14．11
3
- 15．120 13．32 三．解答题（略）。