微积分课后习题答案

《微积分》课后习题答案详解八

A．①，②B．②，③C．③，④D．①，④
解：1）A是充分条件，B适用于交错级数，C是必要条件，D是充要条件。选D。
2）因为绝对收敛，所以收敛。
且
所以收敛。
又因为收敛，所以原级数绝对收敛，选B。
3）因为绝对收敛。
所以且收敛。且
所以
且
所以收敛。
又因为（c为常数）
所以收敛。
所以绝对收敛。
所以选C。
4）因为
所以且
所以收敛。
所以选D。
5）因为收敛。
所以收敛。
又因为
所以绝对收敛。
所以选C。
6）A
7）因为绝对收敛。
所以收敛。
所以收敛，收敛。
所以选B。
8）
因为收敛。
所以收敛。
所以选D。
9）因为是中的一部分。且收敛。
所以收敛
所以（2）正确。
因为
所以发散。所以（3）正确
C．若条件收敛，则与的敛散性都不定
D．若绝对收敛，则与的敛散性都不定
（8）设若发散，收敛，则下列结论中正确的是（D）.
A．收敛，发散B．收敛，发散
C．收敛D．收敛
（9）设有以下命题：
①若收敛，则收敛；
②若收敛，则收敛
③若，则发散；
④若收敛，则，，则以上命题中正确的是（B）.
收敛．
所以收敛．
（5）
因为是发散的．
所以是发散的．
（6），又因为收敛．
所以原级数收敛．
（7）=
因为为常数）且收敛．
所以原式也收敛．
（8）
因为收敛，所以原式收敛．

微积分课后习题答案知识讲解

习题1 —1解答1. 设 f(x,y)xyx11x，求 f ( x, y), f (, ), f (xy,),- 1 f(x, y) yx y y 解 f( x, y) xy-；f(-,-y x y )1-；f(xy,-) x 2 x y2y ;1 y 丿xyf(x,y) 2xy x 2. 设 f (x, y)In xIn y ，证明：f(xy,uv) f(x,u) f(x,v)f(y,u)f(y,v)f(xy,uv) In(xy) In(uv) (Inx In y)(1 nu Inv) Inx Inu In x Inv Iny Inu In y Inv f(x,u) f(x,v) f(y,u) f(y,v)（1）f(x, y),1 x 2 ,y 21;(2)f(x,y)\i'4x 2y .In(1 x 2 2/ y )(3)f(x, y)1 x2 a 22 y b 22z . 2; c (4) f(x, y,z)、x、y -z1 x2 2y2z3.求下列函数的定义域，并画出定义域的图形:解（1）D1,y 1{(x, y) x(2) D(x, y) 0 yx 24.求下列各极限:5.证明下列极限不存在:则 H m 3 lim^3;x 20x 0x y x 0x 2x如果动点P(x, y)沿x 2y 趋向(0,0)，贝y limy 0 x 2y(3) D2x(x,y)~ra(4) D(x, y,z)x0,y2y2y b 2I1zxyJxy(2xy1 xy 1 0 1y 2 0 (1)H xyxxyvxxy\1(1) r X y lim ; x 0 x yy 0lim 飞；0x y 2 (xy)2(1) 证明如果动点P(x,y)沿y2x 趋向(0,0)x yxynxylim 2x 0 x 2y 1 AH xy所以极限不存在。

(2)证明如果动点P(x,y)沿y x趋向(0,0)则limx 0y x 02 2x y~2~2 2 x y (x y)如果动点P(x, y)沿y 2x趋向(0,0)，则limx 0 y 2x 02 2x y~2~2 2x y (x y)"m0-^ 0x 04x x所以极限不存在。

《微积分》课后习题答案

习题五（A ）1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f .解：6x 5x )(f 2++-='xC x x x x f +++-=⇒62531)(236230625310)1(=⇒=+++-⇒=C C f 62362531)(23+++-=x x x x f2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 321+，求)(x f .解：x e x x f 321)(+=C e x x f x ++=⇒341)(21232)0(-=⇒=+⇒=C C f1341)(2-+=⇒x e x x f 3．已知)(x f 的一个原函数为2e x，求⎰'x x f d )(.解：222)()(x x xe e x f ='=⎰+=+='C xe C x f dx x f x 22)()(4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dtdxsin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.解：t t t S sin 3)(2-=C t t t S ++=⇒cos )(31212)0(=⇒=+⇒=C C S1cos )(3++=⇒t t t S5．设[]211)(ln x x f +='，求)(x f .解：[]1arctan )(ln 11)(ln C x x f x x f +=⇒+=')0()(arctan arctan 1>==⇒+C Ce e x f x C x6．求函数)(x f ，使5e 1111)(22+--++='x x x x f 且0)0(=f .解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=⇒--++=+521arcsin 1ln )(1111)(252 21002100)0(=⇒=++-+=C C f 21521arcsin 1ln )(2++-++=⇒x e x x x f x7．求下列函数的不定积分（1）⎰-x xx x d 2（2）⎰-)1(t a dt（3）⎰mnx x d （4）⎰+-x xx d 1122（5）⎰++x x x d 114 （6）⎰++x xx xd cos sin 2sin 1（7）⎰+x x x x d cos sin 2cos （8）⎰++x xxd 2cos 1cos 12（9）⎰x x x xd cos sin 2cos 22 （10）x x x d sin 2cos 22⎰⎪⎭⎫⎝⎛+ （11）⎰-x xx x d cos sin12cos 22（12）⎰+-x xx d 1e 1e 2 （13）⎰⨯-⨯x xxx d 85382 （14）x xx x d 105211⎰-+-（15）⎰-x xx -x x d )e (e （16）⎰++x xx x d )31)(2e ( （17）x x x xx d 1111⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+ （18）⎰----x x x x x x d 151)1(222（19）x xx d 1142⎰-+ （20）⎰-+-x xx xd sincos 1cos 1222（21）⎰+-+x x x x x d )1(1223 （22）⎰+-x x x x d 1224解：（1）=⎰+-=-C x x dxx x 252323215232)( （2）=⎰+-=--C tatt d a2121)1(2)1()1(.1（3）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=≠-≠++=⎰⎰⎰+0 0, m C x dx n m C x In dx x m n m C x m n m dx x m n m m n m n（4）=⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-C x x dx x arctan 2 121（5）=C x x x dx x x x x ++-=++-+⎰arctan 2311)1(32222（6）=⎰⎰++=+++dx xx x x dx xx xx x x cos sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 222=⎰+-=+C x x dx x x cos sin )cos (sin（7）=⎰⎰-=+-dx x x dx xx xx )sin (cos cos sin sin cos 22=C x x ++cos sin （8）=⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+C x x dx x dx xx2tan 21 1cos 121cos 2cos 1222 （9）=⎰⎰+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-C x x dx x x dx x x xx tan cot cos 1sin 1cos sin sin cos 222222 （10）=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++dx x x dx x x 122cos 2cos 22cos 121cos =C x x x +-+2sin 41sin 21（11）=⎰⎰+-=-=---C x dx x dx xx xx x x tan 2cos 12cos sin sin cos sin cos 2222（12）=()⎰+-=-C x e dx e x x 1（13）=⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x dx dx xx85ln 85328532（14）=⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--C dx dx x x xx22ln 5155ln 22151512（15）=⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x e dx x e x x ln 1（16）=[]⎰+++++=+++C e e dx e e xx x xxxxx6ln 63ln l )3(2ln 2)3(26（17）=⎰⎰+=-=--++C x dx xdx xx x arcsin 211211122（18）=⎰+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---C x x x dx x xx arcsin 5ln 21151222 （19）=⎰+=-C x dx xarcsin 112（20）=⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-C x x dx x dx xx2tan 211cos 121cos 2cos 1222 （21）=⎰⎰+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-+C x x x dx x x x dx x x x x arctan 1ln 1111)1(1)1(22222 （22）=⎰⎰++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++--C x x x dx x x dx x x x arctan 22312212)1(13222248．用换元积分法计算下列各题. （1）⎰+-x x x d 24 （2）⎰-x x d )23(8（3）x xxd e 3e 42⎰+ （4）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos d 2πx x（5）⎰-x xx d 432 （6）⎰+-52xd 2x x（7）⎰-+xxxe ed （8）⎰--xxxe e d（9）⎰-1tan cos d 2x xx（10）⎰)ln -(1d x x x（11）⎰-xx x2ln 1d （12）⎰-x xx d e9e 2（13）⎰+x xxx d sin2cos sin （14）⎰-x x x d 212（15）x xx x d 1arctan 2⎰++ （16）⎰+xxe1d（17）x x x d 11arctan2⎰+ （18）⎰+--x x x x d e )1(422（19）⎰+x xx d 1335（20）⎰+x xxx d ln 2ln（21）⎰+x xx d sin 1sin 2 （22）⎰+-x x xx d 2sin 1cos sin（23）⎰+2)cos 2(sin d x x x（24）⎰x xx xd cos sin tan ln（25）⎰+xx x22cos 3sin d （26）⎰-++1212d x x s（27）⎰+++3)1(1d x x x（28）⎰++52d 24x xxx（29）⎰+x x x x d )ln 1( （30）x x x x d 12⎰-+（31）⎰+)1(ln ln d 2x x x x（32）x x x xd )1(arcsin ⎰-（33）⎰xx x x cos sin d （34）x x x d )1(x arctan ⎰+（35）⎰+x xxd cos 1cos 2（36）⎰xdx x 3cos 2sin（37）x x x x ⎰-d 2cos )sin (cos （38）x xxx d sin1cos sin 4⎰+ （39）⎰x xd sin14（40）⎰xdx 3tan解：（1）=C x x x d x x dx x x ++-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+⎰⎰2123)2(12)2(32)2(262262（2）=⎰+-=--C x x d x 98)23(271)23()23(31 （3）=()()⎰+=+C e e e d x xx3arctan3213212222（4）=C x x x d +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰32tan 2132cos 32212πππ （5）=⎰⎰+--=---=-C x x x d x x d 333334324)4(314)(31（6）=C x x x d +-=+--⎰21arctan 214)1()1(2（7）=⎰+=+C e ee d x xx arctan 1)(2（8）=C e e e e d x x x x ++-=-⎰11ln 211)(2（9）=⎰+-=--C x x x d 21)1(tan 21tan )1(tan（10）=C xx d +--=---⎰lnx 1ln ln 1)ln 1(（11）=⎰+=-C x x x d ln arcsin ln 1)(ln 2（12）=C e e e d x x x +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰3arcsin2922222（13）=C x xx d x x xd ++=++=+⎰⎰2222sin 2ln 21sin 2)sin 2(21sin 2)(sin sin （14）=C x x x d +--=---⎰222212121)21(41（15）=C x x x d x x x d +++=+++⎰⎰23222)(arctan 32)1ln(21)(arctan arctan 1)1(21（16）=⎰⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++-=+=+C e e e e d e e d e e e d dx e e e x x xx xx xxx xxx 1ln 1)1()()1()()1( （17）=C x d x xx d x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰221arctan 211arctan 1arctan 1111arctan （18）=⎰+=+-+-+-C e x x d e x x x x 422422221)42(21 （19）=)(131)(131333333t d tttx x d xx ⎰⎰+=+令⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+=-)()1()()1(31)(1113131323t d t t d t t d t t C x x C t t ++-+=++-+=3233533235)1(21)1(51)1(21)1(51（20）⎰⎰+=+=tt td txx xd 2)(ln ln 2)(ln ln 令⎰⎰⎰++-++=+-+=tt d t d t tt d t 2)2(2)2()2(2)(2221C x x C t t ++-+=++-+=21232123)ln 2(4)ln 2(32)2(4)2(32 （21）⎰+-=--=C x xx d 2cos arcsincos 2)(cos 2（22）C x x x x x x d ++=++-=-⎰12)cos (sin )cos (sin )cos (sin（23）C x x x d ++-=++=-⎰12)2(tan )2(tan )2(tan（24）⎰⎰+===C x x xd x d x x 2)tan (ln 21)tan (ln tan ln )(tan tan tan ln （25）⎰⎰+=+=+=C x x x d xx d )tan 3tan(31)tan 3(1)tan 3(31tan31)(tan 22（26）C x x dx x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=--+=⎰2323)12(32)12(324121212C x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=2323)12()12(61（27）⎰⎰+=+++++=dt t t tt x x x x d 3321)1(1)1(令⎰++=+=+=C x C t dt t1arctan 2arctan 21122（28）⎰++=+++=C x xx d 21arctan 414)1()1(212222 （29）()⎰⎰+=+==+=C x C e e d dx x e x x x x x x x ln ln ln l )ln 1( （30）⎰⎰⎰++-=++-=+-=C x x x d x dx x dx x x x 23232222)1(3131)1(121)1(（31）⎰⎰+=+=)1()(ln 令)1(ln ln )(ln 22tt t d tx x x d⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C t t t t d t t d 1ln 211)1()(21222222 C x x C x x ++-=++=)1ln(ln 21ln ln 1ln ln ln 2122（32）t x ==arcsin 令，则tdt t dt cos sin 2=⎰⎰+=+==C x C t dt t tdt t tt t 232322)(arcsin 34342cos sin 2cos sin（33）⎰⎰+===C x xx d x x x d tan ln 2tan )(tan cos sin)(2（34）⎰⎰+==+=Cx x d x x d x x22)(arctan arctan arctan 2)(1arctan 2（35）⎰+-+=-=C xx xx d sin 2sin 2ln221sin2)(sin 2（36）⎰⎰+-=-==C x x xd xdx x x 543cos 52cos cos 2cos cos sin 2 （37）⎰⎰---=+-=)sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos 22x x d x x dx x x x xC x x +--=3)sin (cos 31（38）⎰+=+=C x x x d 242sin arctan 21sin 1)(sin 21（39）⎰⎰⎰+--=+-=-==C x x x d x xx d dx xx cot cot 31)(cot )1(cot sin )(cot sinsin 132（40）⎰⎰⎰+-=-=-=C x x xdx x xd xdx x cos ln )(tan 21tan tan tan tan )1(sec 229．求下列函数的不定积分（1）⎰+)1(d 7x x x（2）⎰-x x x d 12（3）⎰+-x x d 3211 （4）⎰+x x x-1)(1d（5）⎰+3d xx x （6）⎰-+x x xx d 21 （7）x x xd 11632⎰++ （8）x x d e 1⎰+ （9）⎰+-+x x x x d 4222（10）x x x d )1(3⎰-解：（1）⎰⎰++-=+=+=C x x x x dx dx x x x 77777761ln 71ln )1(71)1(（2）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 16-=-=⎰⎰+++-=+--=--=C t t t dt t t t dt t t t )315271(2)2(2)2()1(3572462（3）令t x =-21，则tdt dx t x -=-= , 212⎰⎰++-+--=+++-=+---+=C x C t t dt t dt t t 321ln 3213ln 3)331()(31 （4）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 12-=-=⎰⎰+---+-=+-+-=-=--=C xx C tt tdtdt tt t1212ln221.222ln221.222).2(222（5）令t x =6，则dt t dx t x 566 , ==⎰⎰⎰+-+-=+=+=dt t t t dt t t dt tt t 11)1(616623235C t t t t ++-+-=)1ln 2131(623 C t t t t ++-+-=1ln 663223（6）令t x =-2，则tdt dx t x 2 , 22=+=⎰⎰++=++=++=C t t dt t tdt tt 2arctan22)211(22.23222C x x +-+-=22arctan222（7）令t x =+312)1(，则dt t xds 232=⎰⎰+++-=++-=+=C t t t dt t t dt t t )1ln 21(9111919222C x x x +++++-+=1)1(ln )1()1(29312312322 （8）令t e x =+1，则12 , )1ln(22-=-=t tdt dx t x⎰++++-++=++-+=-=C e e e C t t t dt t t x x x)1111ln 211(2)11ln 21(21222（9）令t x =-1，则dt dx t x =+= , 1⎰⎰⎰+++++=+++=++=C t t tdt t dt t t dt t t 3ln 3)3(333332212223C x x x x x ++-+-++-=421ln 3)42(2212（10）令t x =2，则t x =⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=-+--=-=dt t t dt t t dt t t 3233)1(1)1(121)1(1121)1(21 C t t C t t +-+-=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=22)1(141)1(21)1(1211121Cx x C x x +--=+-+-=222222)1(412)1(141)1(2110．设⎰⎰+=+=x xb x a xx x xb x a xx F d cos sin cos )G( ， d cos sin sin )(求)()(x bG x aF +；)()(x bF x aG -；)(x F ；)(x G .解：⎰+=++=+C x dx xb x a xb x a x bG x aF cos sin cos sin )()(⎰⎰++=++=+-=-C x b x a dx xb x a x b x a d dx xb x a xb x a x bF x aG cos sin ln cos sin )cos sin (sin sin sin cos )()(C bx x b x a a b a x G +++-=⇒)cos sin ln (1)(22C ax x b x a b b a x F +++--=)cos sin ln (1)(2211．用三角代换求下列不定积分. （1）⎰-221x d x x（2）⎰32)-(1d x x（3）⎰-x x x d 122（4）⎰-x xa x d 22 （5）⎰-322)1(d x xx（6）x x x d )1(2101298⎰-解：（1）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dx⎰⎰+--=+-=+-===C x x C x C t t dtdt tt t2221)cot(arcsin cot sin cos sincos（2）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC xx C x C t tdtdt tt+-=+=+===⎰⎰2231)tan(arcsin tan cos cos cos（3）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC t t dt t tdt dt t t t +-=-===⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin cos cos sin 22 C x x x C x x +--=+-=2141arcsin 21)(arcsin 2sin 41arcsin 21 （4）令t a x sec =，则t a dx tan sec =，)20(π<<t⎰⎰⎰+-=-===C t a dt t a tdt a dt ta tt a t a )1(tan )1(sec tan sec tan sec .tan 22C saa a x C xa a a x a +--=+--=arccos )arccos (2222（5）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-===dt t t dt t t dt t t dt tt t22222232cos 1cos 11cos )cos 1(1cos sin1cos sincosC xx x x C t t +---=++-=2211tan cot （6）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+====C x x C td dt t dt tt t 992999810098101981991tan 991tan tan cos sin cos cos sin12．用分部积分法计算下列积分.（1）⎰++x x x x d e )31(2 （2）⎰--x x x d e 1 （3）⎰-x x x x d )sin (cos e （4）⎰x x x d cos （5）⎰x x d arcsin （6）⎰+x x d )4ln(2 （7）⎰x x x x d cos sin 4 （8）x x d l arctan 2⎰- （9）⎰x xx d )ln(ln （10）⎰x x x d sec 22 （11）⎰x x x d arctan 2 （12）x x d )(arccos 2 （13）⎰+-x x xxd 44ln 2（14）⎰+x x xx d arctan 122（15）⎰+x x x x d arctan )1(632 （16）⎰x x xd cos tan ln（17）⎰∙x x x d sin sec ln （18）⎰∙x x x d tan ln 2sin（19）x x x x d ln 32ln 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （20）⎰x x x d arctan 2解：（1）⎰⎰+-++=++=dx x e e x x de x x x x x )32()31()31(22⎰++-++=dx e x e e x x x x x 2)32()31(2（2）C ex C dx e xe xde e x x x x ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=+----⎰⎰)1()1(311 （3）⎰⎰⎰⎰-=-=xdx e xde xdx e xdx e x x x x sin cos sin cos⎰⎰+=-+=C x e xdx e xdx e x e x x x x cos sin sin cos（4）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x sd cos sin sin sin sin（5）⎰⎰--+=--=2221)1(21arcsin 1arcsin xx d x x xx x xC x x x +-+=21arcsin（6）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+-+=+=dx x x x dx x x x x dx x 2222224412)4ln(42)4ln()4ln( C xx x x ++-+=2arctan 42)4ln(2（7）⎰⎰+--=+-=-=C x x x xdx x x x xd 2sin 212cos 2cos cos 2cos（8）⎰⎰---=-+---=dx x x s dx x xx x x x 111arctan )1(121121.1arctan 222222C x x x x +-+--=1ln 1arctan 22（9）⎰⎰+-====C t t t tdt e x t x x d x tln ln ln )(ln )ln(lnCx x C x x x +-=+-=)1)(ln(ln ln ln )ln(ln .ln（10）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos ln 2tan 2tan 2tan 2)(tan 2 （11）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=++-=-=dx x x x xxdx x x x x xxd 11arctan 111arctan )1(arctanC x x x x ++-+-=)1ln(21ln arctan 2 （12）⎰⎰-=--===tdt t t t tdt t tdtdx tx .cos 2cos sin sin arccos 22⎰⎰+--=--=-=C t t t t t tdt t t t t t td t t cos 2sin 2cos )sin sin (2cos sin 2cos 222C x x x x x +---=21arccos 2arccos 2（13）⎰⎰⎰-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=dx x x x x x xd dx x x21.121.ln 21ln )2(ln 2 C xx x x dx x x x x +-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--+--=⎰2ln 212ln 121212ln（14）⎰⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=xdx xxdx xdx x arctan 11arctan arctan 11122⎰⎰-+-=)(arctan arctan 1arctan x xd dx x xx xC x x x x +-+-=22arctan 21)1ln(21arctan（15）()()()dx xx x x x xd 223232311.1arctan 11arctan ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰()⎰+++-+=dx x x x x x112arctan 13623()⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+=dx x x x x x x x 1212arctan 122423()()C x x x x x x x +++--+-+=1ln 3151arctan 1223523 （16）⎰==t x x xd tan )(tan tan ln 令⎰+-=+-==C x x x C t t t tdt tan tan ln .tan ln ln（17）()⎰⎰+-=-=xdx xx x x x x xd tan .cos 1.cos .cos cos .sec ln cos sec ln ⎰+--=+-=C x xdx x x cos sec ln .cos sin cos .sec ln ()C e x x ++=22121（18）()⎰⎰-==dx xx xx x x xd cos sin 1sin tan ln .sin sin tan ln 222⎰++=-=C x x x xdx x x cos ln tan ln .sin tan tan ln .sin 22（19）()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x x x x x x x d x x 1321.ln 231ln 32ln 31ln 32ln 3132332 ⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x xdx x x x x 222392ln 32ln 32ln 31 ()⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x xd x x 232392ln 92ln 32ln 31 ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x dx x x x x x 2232392.ln 92ln 32ln 31 C x x x x x x x +=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23323ln 31.ln 92ln 32ln 31 （20）()⎰⎰+-==dx x xx x x x d x 233.21.1131arctan 31arctan 31 ⎰⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--=+-=dx x x x x x x x dx x x x x 1161arctan 31161arctan 312121233253C x x x x x x ++-+-=arctan 313191151arctan 31212325313．计算下列有理函数的不定积分. （1）⎰+x x x d )31(1 （2）⎰---)32)(1)((d x x x x（3）x x x x x d )2()1(12---- （4）⎰-++x x xx d 32322（5）⎰-1d 4x x（6）⎰++++x x x xx d 25412 （7）⎰-+-x x x xxd 123（8）⎰+---x x xx x d )1)(1(122（9）⎰+++x x x xx d 14 （10）⎰+---x x x x x d )2()1(18332解：（1）C xC x x dx x x++=++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰311ln31ln ln 311313 （2）C x x x dx x x x +---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+-=⎰2)2()3)(1(ln 21)3(2121)1(21 （3）C x x dx x x +---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎰112ln 21)2(12（4）C x x dx x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎰1ln 453ln 43)1(45)3(43（5）⎰+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C x x x dx x x arctan 2111ln 4111112122 （6）C x x x dx x x x ++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++-=⎰2ln 51ln 41225)1(2142 （7）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=dx x x x x dx x xx)1(2111121)1(21)1(21222()C x x x +-+++-=1ln 21arctan 211ln 412 （8）⎰⎰⎰⎰+-++----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-=dx x xdx x x x dx x dx x x x x 1123121111211222C x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++---=312arctan 31ln 211ln 2 （9）()()()()⎰⎰⎰++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=dx x dx x x x x dx x x x 121121211111222()⎰⎰++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1ln 2111211141212222x dx x x x d x x ()C x x x x x +++-++-=arctan 211ln 411ln 212122（10）()()⎰⎰⎰+--+-=--+-+--=C x x x dx x dx x dx x 21ln 1121111223（B ）1．填空题（1）设x x f 21)(ln +='，则)(x f = . （2）设函数)(x f 满足下列条件 ①2)0(=f ，0)2(=-f ；②)(x f 在1-=x ，5=x 处有极值；③)(x f 的导数是x 的二次函数，则)(x f = . （3）若C x x x xf x +=⎰e d )(2，则⎰x x f xd )(e = . （4）设2ln)1(222-=-x x x f ，且[]x x f ln )(=ϕ，则=⎰x x d )(ϕ .（5）设x x f ln )(=，则='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-x f x x x x d )e (e-2e e 43 .（6）='⎰x x f xx f d )(ln )(ln .（7）设)(x f 的一个原函数为xxsin ，则='⎰x x f x d )2( . （8）若⎰⎰-=x x f x f x x x f d )(cos )(sin d )(sin ，则=)(x f .解：(1)()C e x x f x ++=2()()()C e x x f e x f e x x f x x x ++=⇒+='⇒+=+='2212121ln ln(2)215623+--x x x由已知可设d cx bx ax x f +++=23)( 有()C bx ax x f ++='232()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==+-=-'=+-+-=-==⇒2156101075502310248220d c b a c b a f c b a f d c b a f d f()215623+--=⇒x x x x f（3）C x ++2ln()()()x x x x x xe e x f e x xe x xf C e x dx x xf +=⇒+=⇒+=⎰2222⎰⎰++=+=⇒C x dx xdx x f e x2ln 21)( （4）C x x +++1ln 21)(1)(ln 11ln)(1111ln2ln)1(22222-+⇒-+=⇒--+-=-=-x x x x x f x x x x x f ϕϕ ⎰⎰⎰+-+=-+=-+=⇒-+=⇒C x x dx x dx x x dx x x x x 1ln 2)121(11)(11)(ϕϕ （5）C e e e x x x ++-+--22ln24121222⎰⎰++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---C e e e dx e e e dx ee e e x x x x x x x x x x 22ln 2412121.222242243原式（6）C xf +)(ln 2C x f x f x f d +==⎰)(ln 2)(ln ))(ln (原式（7）C xxx +-42sin 42cos ⎰-=⇒+=2sin cos )(sin )(xxx x c f C x x dx x f C x xx x x x x x x x dx x f x xf x f xd +-=--=-==⎰⎰42sin 42cos 22sin 4142sin 2cos 2.21)2(41)2(21))2((21原式（8）x ln⎰⎰'-=dx x f x f x x f x dx x g )()(cos )(sin )(sinC x x f xx f +=⇒='∴ln )(1)(，取x x f ln )(=2．选择题（1）设x x f 2cos )(sin ='，则⎰=dx x f )(（ B ） A ．C x x +-331 B ．1421212C Cx x x ++- C ．C x x ++421212 C ．C x x ++421212（2）设)()( , )(1)()( , )(1)()(2x g x F x f x f x g x f x f x F ='+=-=，且14=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=)(x f （ A ）A ．x tanB ．x cotC ．x arctanD ．x arc cot（3）若⎰+=C x x x f 2sin d )(，则⎰=--dx x x xf 12)12(22（ B ）A ．C x +22sin 41B ．C x +-)12sin(212 C ．C x +-)12(sin 2122 D ．C x +-)12sin(412 （4）设⎰⎰+∙=xdx x f x g dx xx f 22cot )()(sin)(，则)(x f ，)(x g 分别是（ D ）A ．x x f cos ln )(=，x x g tan )(=B ．x x f cos ln )(=，x x g cot )(-=C ．x x f sin ln )(=，x x g tan )(=D ．x x f sin ln )(=，x x g cot )(-= 解：（1）BC +-=⇒-='⇒-=='322x 31x )x (f x 1)x (f x sin 1x cos )x (sin f⎰++-=⇒142C x x 1212x f(x)dx C（2）A根据1)4f(=π，首先排除C 、D ，再将选项A 、B 分别代入原条件中，得A（3）B)1x 2sin(1x 2212x f 2xsinx f(x)2222--=-⇒= ⎰⎰+--=--=-=⇒C )1x 2sin(21)1d(2x )1x 2sin(2.41dx )1xsin(2x 22222原式，得B （4）D⎰⎰-=cotx)f(x)d(dx x sin f(x)取cotx g(x)-=则⎰+=xdf(x)cot f(x)g(x)上式与条件比较，得cotxg(x) ,lnsinx f(x)cotx df(x)-==⇒=，得D3．计算下列不定积分（1）x xx x d 11ln 112-+-⎰（2）x x x x d cos 1)sin 1(e ⎰++（3）⎰+)e1(e d 2xxx（4）x xx d cos sin144⎰（5）⎰x x x x d cos e （6）⎰+++x x x x d 112（7）⎰xxcos d （8）⎰++x aax x xd 22（9）⎰-+293d x x （10）⎰-xx1 （提示令t x 2sin =）（11）x x x d 283⎰++ （12）⎰-x xxxd 1arcsin 22（提示令t x =arcsin ，t x sin =，再用分部积分法）（13）⎰x x x d )(arctan 2 （14）x xxx d e 1arctan arctan 2⎰+（15）⎰+x xxx d )3(ln 22（16）x x x d )sin(ln ⎰（提示经过两次分部积分，又出现原积分形式，移项后便可得到所要结果）解：（1）C xxx x d x x ++-=+-+-=⎰11ln 41)11(ln 11ln 212 （2）dx x tg x tg e dx x xx e x x )2221(212cos )2cos 2(sin222++=+=⎰⎰⎰⎰++=dx e x tg dx e x tg e x x x 2212212 ⎰⎰+=++-+=C x tg e dx e x tg dx x tg e e x tg e x x x x x 2221)12(2122122 （3）⎰⎰+-=+=x xde eee ede )111()1(C e e x x +--=-arctan（4）C x x dx x +--==⎰cot cot 31sin 134C x x C x x x d x +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰2cot 382cot 82cot 2cot 31822sin 183134 （5）=[]c x x x x e x++-cos sin )1(21 （6）⎰⎰⎰+++++++=++-+=dx x x x x x d dx x x x 22222)23()21(1211)1(2112121C x x x x x C x x x x x ++++++++=++++++++=121ln 211121ln 2112.212222 （7）⎰⎰++=+==C x x x d x x d x32tan 31tan tan )tan 1()(tan cos 1（8）⎰⎰⎰++-+++++=++-+=dx aax x a aax x a ax x d dx a ax x aa x 222222221)2()(2122C a ax x ax a a ax x +++++-++=22222ln 2（9）t x sin 3==令，20π<<t 则⎰⎰⎰+-=+=+dt tdt t t dt t t )cos 111(cos 1cos cos 33cos 3⎰+-=-C tt t d t t 2arctan )2(2cos 12 C x x x C xx+-+-=+-=2933arcsin 23arcsintan3arcsin（10）t x 2sin ==令，20π<<t ，则⎰⎰⎰+==dt ttdt tdt t t t 22cos 12cos 2cos sin 2sin cos 2 C x x x t t dt t +-+=+=+=⎰2arcsin 2sin 21)2cos 1( （11）C x x x dx x x dx x x x ++-=++=++++=⎰⎰4342)42(2)42)(22(232（12）t x =arcsin 令，t x sin =，则⎰⎰⎰⎰+-=-===tdt t t t td dt tttdt tt tcot cot )cot (sincos cos sin22C x x xx C t t t ++--=++-=ln arcsin 1sin ln cot 2（13）xdx x x x x x d x arctan 1)(arctan 21)()(arctan 21222222⎰⎰+-==⎰⎰++-=xdx x xdx x x arctan 11arctan )(arctan 21222 C x x x x x x ++++-=2222)(arctan 21)1ln(21arctan )(arctan 21 （14）⎰⎰==dt te t x x d xe t x arctan )(arctan arctan arctan 令⎰⎰+-=+-=-==C e x C e t de te tde x t t t t arctan )1(arctan )1(（15）⎰⎰⎰+++-=+-=++=dx xx x x x xd x d x x )3(1213ln 21)31(ln 21)3()3(ln 21222222C x x x x dx x x x x ++-++-=+-++-=⎰)3ln(121ln 613ln 21)311(613ln 212222 （16）⎰⎰+-=-=dx xx x x x d x 322ln cos 21)sin(ln 21)1()sin(ln 21 dx x xx xx x⎰---=322ln sin 41ln cos 41)sin(ln 21[]C x x x ++-=⇒ln cos ln sin 251原式。

微积分习题答案

习题1-1１．(1) ［－３，３］；（２）（－∞，０）∪（２，＋∞）；（３）（－２，１）；（４）（－１．０１，－１）∪（－１，０．９９）２．（１）［－１，０）∪（０，１）；（２）（１，２］；（３）［－６，１）．３．（１）（－∞，１）∪（１，２］，f(0)=0,f（２)＝１．当a＜０时，f(a)=1a,当0≤a≤1时，f(a)=2a,当１＜a≤2时，f(a)=1．(2) (-2，2)，f(0)=1,f((-a)２，当1＜a＜2时，f(a)=a２－１．４． 1．５．（１）偶函数；(2) 非奇非偶函数；(3) 奇函数．８．(1) y=13arcsinx2；(2) y=log２x1-x(3) f－１（x）=１２（x＋１），－１≤x≤1，2-2-x， 1＜x≤2．９．（１）y＝１０１＋x２（－∞，＋∞）；（２）y=sinxln２，（－∞，＋∞）；（３）y=arctana２＋x２（－∞，＋∞）．习题1-2１． (1) y=3u，u=arcsinv，v=ax；（２）y=u３，u=sinv,v=lnx;（３）y=au,u=tanv,v=x2;（４）y=lnu,u=v2,v=lnw,w=t3２．（１）［－１，１］，（２）［２kπ，（２k＋１）π］，k∈Z;(3) ［－a，１－a］；（４）（－∞，－１］．３． (1) φ（x)=6+x-x2;(2) g(x)=(1+x)2+(1+x)+1;(3) f(x)=x2-2．习题1-3１． R(x)=4x-12x2．２．R(x)≈１３０x，１１７x＋９１００，０≤x≤７００，７００＜x≤１０００．３．Ｌ＝Ｌ（Ｑ）＝－１５Ｑ２＋８Ｑ－５０，＝－Ｑ５＋８－５０Ｑ．习题2-1略．习题2-2２．f(x)=-1,１，x≤０x＞０，则limx→０f(x)=1，但limx→０－f(x)=-1，limx→０＋f(x)=1，故limx→０f(x)不存在．３．limx→０(x２＋a）＝a,limx→０-e１x＝０，a=0．２．，，，，，，，．３．(1)无穷大量．(2) x→０＋时为无穷大量，x→１时为无穷小量．x→＋∞时为无穷大量．（３）x→０＋时为无穷大量，x→０－时为无穷小量．(4) 无穷小量．（５）无穷小量．(6) 无穷小量．习题2-4５．（１）３/５；（２）０；（３）∞； (4) 1/3；(5) 4/3６．（１） 16；(2) ∞；（３）３；（４）－２２；（５）３x２．（６）４３；（７）n（n＋１）２；（８）１；（９）１；（１０）－１；（１１）０．习题2-5１．53；2．２５；３．１；４．２２；５．２１２；６．e－１；７．e３；８．lna；９．２lna；１０．０；１１．e－１2；１２．１；１３．１；１４．１；１５．e１e；１６．e－１．习题2-6３． tanx－sinx=O（x３）４．(1) ab；(2) k２２；(3) 2；(4) 24；(5) 1；(6) 1；(7) 49；(8) 3．习题2-7４． (1) x=1(可去)，定义f(1)=2;x=2(第二类)；(2) x=0(可去)，定义f(0)=1;x=kπ，k≠0，为整数(第二类)；(3) x=0(第一类；(4) x=2(第二类)；x=-2(可去)，定义f(-2)=0;(5) x=0(可去)，定义f(0)=0．６．f(x)=sgnx，x=0（第一类)，f(x)∈C［（－∞，０）∪（０，＋∞）］７．（１）１２；（２）３；（３）０；（４）π3；(5) 1．习题3-1１．２９．２．－１x２０．３．４x-y-4=0,8x-y-16=0４．（１）-f′(x0);(2) -f′(x0);(3) 2f′(x0)５．（１）１２x；（２）－２３x－５３；（３）１６x－５6．６．连续但不可导．８．（１）f′(2) f′12，f′９．f′(x)＝cosx，１，x＜０，x≥０．１０．a=2,b=-1．１１．（１）在x=0处连续，不可导；(2) 在x=0处连续且可导；(3) 在x=1必连续，不可导．１３．(1) -０．７８m/s；(2) 10-gt;(3) 10g（s)．１４． dＱdtt=t0．１５．（１）limΔＴ→０Q(T＋ΔＴ）－Ｑ（Ｔ）ΔＴ；（２）a＋２bＴ．习题3-2１．(1) 3t；(2) xx+12xlnx；(3) 2xsin２x－２xsinx＋cosx－x２cosx－sin２x＋x２sin２x．(4) 1-sinx-cosx(1-cosx)2；(5) sec2x；（６）xsecxtanx-secxx2-3secx·tanx；(7) １x１－２ln10＋３ln２；(8) －1+2x(1+x+x2)2．２．（１）２４１＋π２；（２）f′(0)=３２５，f′（２）＝１７１５；（３）f′（１）＝５．３．略．４．(1) 3e3x；(2) 2x1+x4；(3) 12x+1e2x+1；(4) 2xln(x+1+x２）＋１＋x２；(5) ２x·sin１x２－２xcos１x２；(6) －3ax２sin２ax３；(7) xx２·x２－１；(8) ２arcsinx２４－x２；(9) lnxx·1+ln２x；(10) nsinn-1x·cos(n+1)x;(11) １1-x2+1-x２；(12) －１（1+x）２x(1-x)；(13) -thx；（１４）a２-x2．５．１３．６．2x+3y-3=0; 3x-2y+2=0; x=-1; y=0．７． (1) 2xf′(x2);(2) sin2x［f′（sin２x）-f′(cos2x)］．８．（１）-x2-ayy2-ax；(2) 1-yx(lnx+lny+1)；(3) -ey+yexxey+ex;(4)x+yx-y；(5) ex+y－yx-ex+y．９．（１）x+2(3-x)4(x+1)512(x+2)－43-x-5x+1；(2) sinxcosxcos２xsinx-sinxln sinx；(3) e2x(x+3)(x+5)(x-4)2+1x+1-12(x+5)-12(x-4)．１０．（１）sinat+cosbtcosat-sinbt;(2) cosθ-θsinθ1-sinθ-θcosθ．１１．３－２．习题3-3１． f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)n．２． y(n)=(-1)n·an·n!·(ax+b)-(n+1)．f(n)(x)=(-1)n2·n!·1(x-1)n+1-1(x+1)n+1３． (1) 0;(2) 4e,8e;(3) 7200,720．４． (1) -b4a2y3;(2) e2y(3-y)(2-y)3;(3) -2csc2(x+y)cot3(x+y);(4) 2x2y［3(y2+1)2+2x4(1-y2)］(y2+1)3．５． (1) -1a(1-cost)2;(2) 1f″(t)．６． (1) 4x２f″(x2)+2f′(x2);(2) f″(x)f(x)-［f′(x)］2f．习题3-4１．(1) sint;(2) －１ωcosωt;(3) ln(1+x);(4) -12e-2x;(5) 2x;(6) 13tanx;(7) ln2x2;(8) -1-x2．２．（１）０．２１，０．２，０．０１；（２）０．０２０１，０．０２，０．０００１．３．（１）（x+1)exdx;(2) 1-lnx〖〗x2dx;(3) -12xsinxdx;(4) 2ln5·5ln tanx·1sin2xdx;(5) -12cscx2dx;(6) 8［xx(1+lnx)-12e2x］dx;(7) 121-x2arcsinx+2arctanx1+x2dx．４．(1) ey1-xeydx;(2)-b2xa2ydx;(3) 22-cosyds;(4)1-y21+2y·1-y2dx．５．(1) ２．００８３；（２）－０．０１；（３）０．７９５４．习题3-5１．（１）１．１；（２）６５０；（３）６５０－５０１２９．２．（１）９６．５６；（２）是，提高2．３．（１）a,axax+b,aax+b;(2) abebx,bx,b;(3) axa-1,a,ax．４．提高8%；提高16%．５．５．９．习题4-1１．ξ＝π２．２．（１）满足，有ξ＝０；（２）不满足第二个条件，没有；(3) 不满足第一和第三个条件，有ξ＝π２．３．有分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内的三个根．４．ξ＝３３．习题4-2１．（１）－３５；（２）１２；（３）mnam-n；（４）１a（５）０；（６）０；（７）1；(8) 32；(9) e；（１０）e－２π；（１１）１e；（１２）∞（１３）１３；（１４）e－１２．２．m=-4,n=3４．f″（x）；习题4-3１． xex=x+x2+x32!+…+xn(n-1)!+1(n+1)!(n+1+θx)eθxxn+1（０＜θ＜１）．２．1x=-1-(x+1)-(x+1)2-…-(x+1)n+(-1)n+1(x+1)n+1［-1+θ(x+1)］n+2（０＜θ＜１）．３．f(x)=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4．４．(1) １６(提示：只要将sinx展开成三次多项式即可)．(2) 12(提示：令u=１x，再将ln(1+u)展开成二次多项式）．习题4-4１．（１）(-∞，-1)和(3，+∞)为增区间，(-1，3)为减区间，f(-1)=3为极大值，f(3)=-61为极小值．(2) (1，+∞)为增区间，(0，1)为减区间，f(1)=1为极小值．（３）（－∞，2)为增区间，(2，+∞)为减区间，f(2)=1为极大值．（４）（－∞，０）和(0，2)为增区间，(2，+∞)为减区间，f(2)=-4为极大值．５．当a=2时，f(x)在x=π３取极大值3．习题4-5１． 15元２．x=αcPQ１１－α３．（１）Ｑ＝３；（２）ＭＣ＝＝６４．(1) 1000件；(2) ６０００件５． (1) ４３１．３２５吨(2) 12次(3) ３０．４５２天(4) 13６６４３．９元６．α＝２３（３－６）π．７．t=１４r２．８．v=３２００００≈２７．１４（km/h）习题4-6１．（１）在-∞，１３下凸，１３，＋∞上凸，拐点13，227；(2) 在(-∞，－１）上凸，(-1，1)下凸，(1，+∞)上凸，拐点(-1，ln２)及(1，ln ２）；（３）在(-∞，－２)上凸，(-2，+∞)下凸，拐点(-2，-2e－２)；（４）在(-∞，+∞)下凸，无拐点；(5) 在(-∞，-3)上凸，(-3，6)上凸，(6，+∞)下凸，拐点6，227；(6) 在-∞，12上凸，12，+∞下凸，拐点12，earctan１２．３．a=-32，b=９２．４．（１）垂直渐近线x=0;(2) 水平渐近线y=0;(3) 水平渐近线y=0，垂直渐近线x＝3；(4) 垂直渐近线x=12，斜渐近线y=12x+1〖〗4．５．（１）定义域(-∞，+∞)，极大值f(1)=12，极小值f(-1)=-12,拐点3，34，-3，-34，渐近线y=0；(2) 定义域(-∞，+∞)，极大值f(-1)=π2-1，极小值f(1)=1-π２，拐点(0，0)，渐近线y=x+π,y=x-π;(3) 定义域(0，+∞)，极大值f(1)=2e，拐点，２，４e2，渐近线y=0．习题5-1１．（１）２７x７〖〗２-103x3２+C；(2) 2x-43x3２+25x5２+C；(3) 3xex１＋ln３＋Ｃ；（４）x＋sinx２＋Ｃ；（５）２x－５２３xln２－ln３＋C；（６）－（cotx＋tanx）＋C．２．（１）y＝x2-2x+1;(2) cosx+C;(3) x-sinx;(4) Q=1000１３Ｐ习题5-2１．(1) 1a；(2) 17；(3)110；(4) -12；(5) 112；(6) 12；(7) -2；(8) 15；(9) -1；(10) -1；(11) 13；(12) 12；(13) -1；(14) 32．２．（１）１５e５t＋Ｃ；（２）－１８（３－２x）４＋Ｃ；（３）－１２ln１－２x＋Ｃ；（４）－１２（２－３x）２３＋Ｃ；（５）－２cost＋Ｃ；（６）lnlnlnx＋Ｃ；（７）１１１tan１１x＋Ｃ；（８）－１２e-x２＋Ｃ；（９）lntanx＋Ｃ；（１０）－lncos１＋x２＋Ｃ；（１１）arctanex＋Ｃ；（１２）－１３（２－３x２）１２＋Ｃ；（１３）－３４ln１－x４＋Ｃ；（１４）１２cos２x＋Ｃ；（１５）１２arcsin２x３＋１４９－４x２＋Ｃ；（１６）x２２－９２ln（x２＋９）＋Ｃ；（１７）１２２ln2x-12x+1+C；(18) 13lnx-2x+1+C；(19) t2+14ωsin２（ωt＋φ）＋Ｃ；（２０）－１３ωcos３（ωt＋φ）＋Ｃ；（２１）１２cosx－１１０cos５x＋Ｃ；（２２）１３sin３x２＋sinx２＋Ｃ；（２３）１４sin２x－１２４sin１２x＋Ｃ；（２４）１３sec３x－secx＋Ｃ；（２５）（arctanx）２＋Ｃ；（２６）－１arcsinx＋Ｃ；（２７）１２（lntanx）２＋Ｃ；（２８）－1xlnx＋Ｃ；（２９）a２２（arcsinxa－xa２a２－x２）＋Ｃ；（３０）x１＋x２＋Ｃ；（３１）x９－９－３arccos３x＋Ｃ；（３２）１２（arcsinx＋lnx＋１－x２）＋Ｃ；（３３）arcsinx－x１＋１-x２＋Ｃ；（３４）arcsinxa－a２－x２＋Ｃ；（３５）－４－x２x－arcsinx２＋Ｃ；（３６）ln１＋x＋x２＋２x－２xx２＋２x＋Ｃ；（３７）－１１＋tanx+Ｃ；（３８）x＋lnx１＋xex＋Ｃ．习题5-3１．（１）-xcosx+sinx+C;(2) -(x+1)e－x +C;(3) xarcsinx+１－x２+C;(4) sinx-cosx2e-x+C;(5) -217e-2xx2＋4sinx2+C;(6) -12x2+xtanx+lncosx+C;(7) -t2+14e－2t+C;(8) x(arcsinx)2+21-x2arcsinx-2x+C;(9) 12-15sin2x-110cos2x）ex+C;(10) 3e3x(３x2-23x+2+C;(11) x2(coslnx+sinlnx)+C;(12) -12x2-32cos2x+x2sin2x+C;(13) 12（x２-1)ln(x-1)-14x2-12x+C;(14) x36+12x2sinx+xcosx-sinx+C;(15) -1x(ln3x+3ln2x+6lnx+6)+C;(16) -14xcos2x+18sin2x+C;(17) -12xcot2x-12x-12cotx+C;(18) 12x2ex2+C;(19) xlnlnx+C;(20) (1+ex)ln(1+ex)-ex+C;(21) 12tanxsecx-12lnsecx+tanx+C;(22) -ln(x+1+x22(1+x2)+x22+x2+C;(23) ex1+x+C;(24) x-121+x2earctanx+C．习题5-4(1) lnx+1x2-x+1+3arctan2x-13+C;(2) x3３+x２2+x+8lnx-3lnx-1-4lnx+1+C；（３） x-tanx+secx+C；（４）14lntanx2-18tan2x2+C．习题6-1１．１３（b3-a3)+b-a．２．（１）１；（２）14πa2．３．(1) ∫10x2dx较大；(2) ∫10exdx较大．４．(1) 6≤∫41(x2+1)dx≤51;(2)π9≤∫3１3xarctanxdx≤23π；(3) 2ae－a2＜∫a-ae-x2dx＜2a；(4)-2e2≤∫02ex2-xdx≤-2e-1〖〗4．习题6-2１．（１）２x１+x4;(2) x5e-3x;(3) (sinx-cosx)cos(πsin2x);(4) sinx-xcosxx2．2．(1) -12;(2) 6;(3) 2．３．cosxsinx-1．4．当x=0时．5．(1) 23(8-33);(2) 16;(3) 1+π8；(4) 203．６．－３２．习题6-3１．（１）０；（２）５１５１２；（３）１６；（４）１４；（５）π６-３８；（６）２（３－１）；（７）２－２３３；（８）π２；（９）１２ln３２；（１０）ln２－１３ln５；（１１）７ln２－６ln（６２＋１）；（１２）４３．２．（１）０；（２）０；（３）３２π．习题6-4２．（１）１－２e;(2) 14（e２+1);(3) 4(2ln2-1);(4) 14-133π+12ln32;(5) 15(eπ-2);(6) 2-34ln2；(7) π3６－π4；(8) 12(esin1-ecos1+1);(9) ln2-12;(10) 12-38ln3．３．０．习题6-5１．（１）１；（２）２；（３）４３；（４）７６；（５）１２＋ln２；（６）１６；（７）e＋１e-２；（８）b-a．２．（１）Vy=2π;(2) Vx=1287π,Vy=12．8π;(3) Vy=310π;(4) Vx=pa2π;(5)Vy=4π2．３．（１） a=1e，(x0,y0)=(e2,1);(2) S=16e2-12．4． 12ln2提示：f(x)=0,x1+x2, x≥０x＜０．5． a=-4,b=6,c=0．６． 50;100．7． (1) Q=2．5,L=6．25;(2) 0．25．８．９６．７３习题6-6１．（１）１３；（２）发散；(3) １a；（４）发散；(5) 发散；(6) π；（７）８３；（８）１；（９）π２；（１０）－１；（１１）发散；(12) 1．２．当k＞１时收敛于1(k-1)(ln2)12-1；当k≤1时发散；当k＝１－１lnln２时取得最小值．３．n!．４．（１）π4；(2) π2５．In=-(2n)!!(2n+1)!!=22n(n!)2〖〗(2n+1)!(n=0,1,2,…）．６．（１）1nΓ1n;(2) Γ(α+1);(3) 1nΓm+1n;(4) 12Γn+12．习题7-1１．略．２．(1) (a,b,-c),(-a,b,c),(a,-b,c);(2) (a,-b,-c),(-a,b,-c),(-a,-b,c);(3) (-a,-b,-c)．３．坐标面： (x0,y0,0),(0,y0,z0),(x0,0,z0)；坐标轴： (x0,0,0),(0,y0,0),(0,0,z0)．４．x轴： 34， y轴： 41， z轴： 5．５．（０，１，－２）．６．略．习题7-2１．ＭＡ→＝－１２（a+b);MB→＝１２（a-b);MC→=12(a+b);MD→=12(b-a)．２．略．３．（２，１，１）．４．（１６，０，－２０）．５．Ｍ１Ｍ２→＝（１，－２，－２），Ｍ１Ｍ２→＝３．１３，－２３，－２３或－１３，２３，２３．习题7-3１．（１）１；（２）４；（３）２８．２．（１）３，５i+j+7k;(2) -18，10i+2j+14k；(3) -10i－２j－１４k．３．－３２．４．±（６２，８２，０）．５．１４．６．略．７．４５j－３５k或－４５j＋３５k．８．∠Ａ＝７６°２２′，∠Ｂ＝７９°２′，∠Ｃ＝２４°３６′．习题7-4１．３x-2y+5z-22=0．２．2x+9y-6z=121．３．略．４．x+z-1=0．５．x+y+z-2=0．６．2x+3y+z-6=0．７．(1) x=2；(2) x+3y=0；(3) x-y=0．８．１３，２３，－２３．９．（１）互相垂直；(2) 互相平行；(3) 斜交(相交但不垂直)．习题7-51．（１）x-23=y-31=z-11；(2) x-31=y-4２=z+4-1；(3) x-21＝y-20=z+1〖〗0；(4) x2=y-31=z+23．２．x+3-5=y=z-25，[JB(｛〗x=-3-5t，y=t，z=2+5t．３．x-2＝y-23=z-4〖〗1．４．x-21=y+22=z3．５．x-10=y+37=z+2〖〗16．６．４６１，６６１，－３６１．７．Ｂ＝１，Ｄ＝－９．８．x-3-1=y-31=z1．９．φ＝arcsin1310．１０．４x-y-2z-1=0．１１．y-z+3=0，x-y-z+1=0．１２．５．１３．（１）垂直，(2) 平行，(3) 重合．习题7-6１．（x+1)2+(y+3)2+(z-2)2=32．２．以点(1，-2，-1)为球心，半径等于6的球面．３．(1) x23+y24+z24=1; x23+y24+z23＝１；(2) x2-y2-z2=1; x2+y2-z2=1．４．（１）母线平行于z轴的椭圆柱面；(2) 母线平行于x轴的抛物柱面；(3) 椭圆锥面；(4) 旋转椭球面；(5) 双叶双曲面；(6) 圆锥面．５．3y2-z2=16, 3x2+2z2=16６．x2+y2+(1-x)2=9，z=0；(1-z)2+y2+z2=9，x=0；x+z=1，y=0．７．（１）椭圆；(2) 双曲线；(3) 抛物线．８．略．习题8-1１．（１）（x,y)x2a2+y2b2≤１；(2) ｛(x,y)x＞y,且x-y≠１｝；(3) (x,y)-1≤yx≤１，且x≠０＝｛x＞０，－x≤y≤x；x＜０，x≤y≤－x｝；（４）｛(x,y)x≥y，x2+y2≤１，y≥０｝．２．（１）３１；（２）１x３－４xy＋１２y２；（３）（x+y）3－２（x２－y２）＋３（x－y）２．３．f(x)＝（x＋２）x，Ｆ（x,y）＝y＋x－１．４．略习题8-2１．（１）不存在，(2) 存在．２．（１）０，（２）１，（３）２，（４）０．３．｛（x,y)y２＝２x，x∈Ｒ｝．习题8-3１．（１）z′x=y(1+x)y-1,z′y=(1+x)yln(1+x);(2) z′x=-yx２cotyx·sec2yx，z′y=1xcotyx·sec2yx；（３）z′x=-yx2+y2，z′y=xx2+y2；(4) u′x=-zlnyx2·yzx，u′y=zx·yzx-1，u′z=１xyzx·lny．２．－１，２．３．１，１＋π６．４．略．５．偏导数存在．６．α＝π４．７．Δz=-0．12,dz=-0．1．８．（１）du＝dx-dy；（２）dz=-xy（x２＋y２）３／２dx＋xy（x２＋y２）３／２dy．习题8-4１．（１）２e2cost＋３t２［３t-sint］；（２）３－４t－３＋３２t１２sec23t+2t2+t32．２．（１）z′u=(2xy-y2)cosv+(x2-2xy)sinv；(2) z′v=-(2xy-y2)usinv,z′y=euvx２+y２（ux+vy）．３．（１）u x=1yf′1，u y＝－xy２f′１＋１zf′２，u z＝－yz２f′２；（２）z x＝２xf′，zy＝２yf′；（３）u x＝f′1+yf′2+yzf′3，u y＝xf′2+xzf′３，u z＝xyf′2．４．略．５．（１）dz=(x２+y２)sin（２x＋y）２sin（２x＋y）x２＋y２（xdx＋yd y）＋cos（２x＋y）ln（x２＋y２）（２dx＋dy）；（２）du＝１f（x２＋y２－z２）dy－yf′（x２＋y２－z２）f（x２＋y２－z２）（２xd x＋２ydy－２zdz）．６．（１）z′x＝ex＋y＋yzez－xy，z′y＝ex＋y＋xzez－xy；（２）z x＝zx＋z，z y＝z２y（x＋z）．７．略．８．z x＝（vcosv－usinv）e－u，z y＝（ucosv+vsinv)e-u．９．dudx＝f′x+y２f′y1-xy+zf′zxz-x．习题8-5１．（１）２z x２＝１２x２－８y２，２z y２＝１２y２－８x２，２z x y＝－１６xy；（２）２z x２＝２xy（x２＋y２）２，２z y２＝－xy（x２＋y２）２，２z xy＝y２－x２（x２＋y２）２；（３）２z x２＝yxln２y，２zy２＝x（x－１）yx-2；２z xy＝yx－１（１＋xlny）；（４）２z x＝１x，２z y２＝－xy２，２z x y＝１y．２．（１）２z x２＝４xf″（x２＋y２）＋２f′（x２＋y２），２z y２＝４yf″（x２＋y２）＋２f′（x２＋y２）；（２）２z x２＝y２f″１１＋２yf″１２＋f″２２，２z y２＝x２f″１１＋４xf″１２＋４f″２２，２z x y＝xyf″１１＋２yf′１２＋f′1+xf″２１＋２f″２２．３．２z x２＝z（２x－２－z２）x２（z－１）３，２z y２＝z（２z－２－z２）y２（z－１）３，２z x y＝－zxy（z－１）３．习题8-6１．１＋２３．２．２３．３．α＝π４时取得最大值2；α＝５π４时取得最小值-2；α＝７π４时，方向导数为零．习题8-7１．（１）极大值f(0,0)=3；(2) 极小值f１２，－１＝－e２；（３）极大值fa３，a３＝a３２７（a＞０)，极小值fa３，a３＝a３２７（a＜０）．２．极大值z（４，１）＝７，最小值z４３＋２２３，－１≈-１１．６７．３．极小值z(2,2)=4．４．a≥１２，最小距离为a－１４；a≤１２，最小距离为a．５．a的分法是三等分时，乘积最大为a３２７．６．x=100,y=25,f(100,25)=1250．７．x=70,y=30,λ＝－７２，Ｌ＝１４５（万元)．习题8-8１．（１）∫１－１dx∫３－３f(x,y)dy, ∫３－３dy∫１－１f(x,y)dx;（２）∫４０dx∫２xxf(x,y)dy, ∫４０dy∫y１４y２f(x,y)dx;（３）∫r－rdx∫r２－x２０f(x,y)dy, ∫r０dy∫r２－y２－r２－y２f(x,y)dx．２．（１）∫１０dx∫xx２f（x，y）dy；（２）∫a０dy∫a＋a２－y２a－a２－y２f （x，y）dx;（３）∫１０dy∫２－yyf（x，y）dx．３．（１）e－１e２；（２）２９１５；（３）－１２；（４）２３；（５）１－２π；（６）２πＲ２２＋Ｒ３；（７）３６４π２；（８）２－π２．４．５１４４．５．π．６．８π．７．ＳＤ＝１２e－１，ＶＤ＝１２e２－e－１２．习题9-1１．（１）a＞１收敛；0＜a≤１发散；(2) 发散；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 发散；(8) 发散．２．（１）收敛，s＝３２；（２）收敛，s＝１４；（３）发散；(4) 发散．习题9-2１．（１）收敛；(2) 发散；(3) 发散；(4) 收敛；(5) a＞１，收敛；0＜a≤１发散；(6) 发散；(7) 发散；(8) 收敛；(9) 发散；(10) 发散；(11) 收敛；(12) 收敛；(13) 收敛；(14) 收敛；(15) 收敛；(16) 收敛．习题9-3１．（１）条件收敛；(2) 绝对收敛；(3) 绝对收敛；(4) 绝对收敛；(5) 绝对收敛；(6) 条件收敛；(7) 绝对收敛；(8) 条件收敛．习题9-4１．（１）（-∞，+∞)；(2) (-e，e）；(3) (-2，2)；(4) (-1，1)；(5) (-4，0)；(6) １２，３〖〗２．２．（１）－ln（１＋x）；x＜１；（２）２x（１－x２）２，x＜１；（３）当x≠０且x＜１时，s(x)＝１＋１x－１ln（１－x）；当x＝０时，s(x)＝０；（４）１＋x（１－x）２，x＜１．３．（１）１５３２；（２）１２ln（１＋２）；（３）１０９；（４）４．习题9-5１．（１）１－x２２·２！＋x４２·４！－…＋（－１）nx２n２·（２n）！＋…（－∞＜x＜＋∞）；（２）∑∞n=1（－１）n-1（２n－１）！x２２n－１（－∞＜x＜＋∞）；（３）∑∞n=1（－１）n-1x2n-1〖〗（n－１）！（－∞＜x＜＋∞）；（４）∑∞n=0x2n, x＜１；（５）２２∑∞n=0（－１）nx2n（2n）！＋x2n+1（２n+1）！（－∞＜x＜＋∞）．２．（１）∑∞n=0１２n+1（x－１）n（－１＜x＜３）；（２）∑∞n=0[ＪＢ（（〗（－１）n２·x－π３２n（２n）！＋（－１）n＋１３２x－π２２n＋１（２n＋１）！（－∞＜x＜＋∞）；（３）∑∞n=0(－１）n１２n＋２－１２２n＋３（x－１）n（－１＜x＜３）；（４）∑∞n=0（－１）n３n＋１（x－３）n（０＜x＜６）．３．（１）２．７１８２８；（２）０．２５０４９．习题10-1１．（１）一阶，(2) 二阶，(3) 三阶，(4) 一阶．２．略．３．y′=y-xx．４．y′＝y－x＋１．习题10-2１．（１）（１－x)(1+y)=Ｃ（Ｃ为任意常数，以下Ｃ，Ｃ１，Ｃ２…均为任意常数)；(2) １－x２＝lny＋Ｃ；（３）y２＝Ｃ（１－x２）－１；（４）secx＋tany＝Ｃ；（５）２y３＋３y２－２x３－３x２＝５；（６）（y＋１）e－y＝１２（１＋x２）；（７）ey＝１２（e２x＋１）．２．Ｔ＝Ｔ０e－kt＋α（１－e－kt）， k为比例系数．３．（１）y+x２+y2=Ｃx2;(2) y=2xarctan(Ｃx);(3) x3+y3=Ｃx2;(4) y=2x1+x2;(5) y=xe1-x;(6) (x+3)２+(y+1)2=Ｃe-arctanyx;(7) x+3y+2ln2-x-y=Ｃ．４．（１）y=Ｃex－12（sinx+cosx);(2) y=xn(Ｃ+ex);(3) x=2(y-1)+Ｃe-y;(4) x=y+Ｃcosy；(5) y=(x+1)ex;(6) y=2(1+x3)3(1+x2);(7) y=2lnx-x+2;(8) y=(1+sinx-xcosx)·e－x2；(9) y3=Ｃx3+3x4;(10) １x2=1-y2+Ｃe-y2．５．y′=３yx2－2·yx，y-x=-x3y．６．x=ab+x0-abe-bt．７．f(x)=-2e-3x-1．８．Ｃ(x)=(x+1)［Ｃ０+ln(x+1)］．９．x＝ab（Ｃ０x０－a）１b＋１·x０．习题10-3１．（１）y=(x-3)ex+12Ｃ1x2+Ｃ2x+Ｃ3;(2) y=xarctanx-12ln（１＋x２）＋C1x＋C2；(3) y=C１arctanx+C2;(4) y=-lnx+c１+c2；(5) 1+C1x2=(C2t+C2)2；（６）lny=C1(y-x)+C2．２．（１）y=16x3lnx-1136(x3-1);（２）y=lnx+12ln２x;(3) y=x．３．C１＋C２ex＋x．４．（１）y=(Ｃ１＋Ｃ２x)e２x；（２）y＝Ｃ１e－x＋Ｃ２e２x；（３）y＝９e－２x－８e－３x；（４）y＝－１３exxcos３x．５．（１）y＝（１－１２x）e－２x＋Ｃ１e－５x＋Ｃ２e２x；（２）y＝（x＋１）２＋Ｃ１e２x＋Ｃ２e４x；（３）y＝１１８cosx＋４sinx－１８cos３x；（４）y＝x＋１２x２e４x．６．f（x）＝２（ex－x）．７．a=-3,b=2,α=-1;y=Ｃ１ex＋Ｃ２e２x＋xex．８．φ（x）＝１２（sinx＋cosx＋ex）．９．y＝２３e２x－２３e－x－xe－x．１０．y＝－７e－２x＋８e－x＋（３x２－６x）e－x．１１．s＝mgkt－m２gk２（１－e－kmt）．习题10-4１．C（x)=3ex（１＋２e３x）－１．２．Ｒ＝abs０（ebt－１），Ｓ（t）＝s０e－bt．３．Ｙ（t）＝Ｙ０eγt，Ｄ（t）＝αＹ０γeγt＋βt＋Ｄ０－αＹ０γ，limt→＋∞Ｄ（t）Ｙ（t）＝α〖〗γ．４．（１）Ｙ（t）＝（Ｙ０－Ｙe）eμt＋Ｙe，Ｙe＝b１－a，μ＝１－aka，Ｃ（t)=a(Ｙ０－Ｙe）eμt＋Ｙe，Ｉ（t)=(1-a)(Ｙ０－Ｙe）eμt；(2) limt→＋∞Ｙ（t）Ｉ（t）＝１１－a．５．y(6)=５０００１＋１１．５e－３（ln１１．５－ln８）．习题11-1１．（３），（４）．２．（１）一阶；(2) 五阶；(3) 三阶；(4) 六阶；(5) 二阶．３．（１）Δ２yt＝２；（２）Δyt＝（e－１）２et；（３）Δ２yt＝６（t＋１），Δ３yt＝６；（４）Δ２yt＝lnt２＋４t＋３t２＋４t＋４．４．略．习题11-2１．yＡ(t)＝Ａ１＋Ａ２t＋１（Ａ１，Ａ２为任意常数．以下A，A１，Ａ２…均为任意常数)．２．a(t)＝－１＋１５，f(t)＝１－１t·２t．３．略．４．（１）yt＝Ａ－１３t＋１；（２）yt＝Ａ－１２t＋７９＋１３t ；（３）yt＝Ａ（－１）t＋１３·２t；（４）yt＝Ａ－１３·２tcosπt．５．（１）yt＝０．１×３８t＋０．１；（２）yt＝１２t－２＋t；（３）yt＝２t－t＋４；（４）yt＝（－４）t＋sinπt．６．yt＝Ａ（－a）t＋b１＋a．７．（１）略；(2) yt＝１y０－bＣ－aaＣt＋bＣ－a）－１，１y０＋bat－１，当Ｃ≠a时，当Ｃ=a时．（３）yt＝１２t＋１＋３２－１．习题11-3１．（１）yＡ(t)＝Ａ１（－１）t＋Ａ２１２t；（２）yＡ（t）＝（３）t（Ａ１cosωt＋Ａ２sinωt），tanω＝－２；（３）yＡ（t）＝（Ａ１＋Ａ２t）·４t；（４）yＡ（t）＝Ａ１cosπ３t＋Ａ２sinπ３t；（５）yＡ（t）＝Ａ１（１．８）t＋Ａ２（２．１）t；（６）yＡ（t）＝Ａ１［２（a＋１）＋２a＋１）］t＋Ａ２［２（a＋１）－２a＋１］t．２．（１）yt＝Ａ１５＋１７２t＋Ａ２５－１７２t－１；（２）yt＝２tＡ１cosπ３t＋Ａ２sinπ３t＋１３（a＋bt）；（３）yt＝Ａ１＋Ａ２·２t＋１４×５t；（４）yt＝Ａ１＋Ａ２－１３t＋cosπ２t－２sinπ２t；（５）yt＝Ａ１（－１）t＋Ａ２（－２）t＋t２－t＋３；（６）yt＝Ａ１（－２）tt＋Ａ２·３t·t１１５t－２２５．３．（１）t＝２５t２＋１２５t＋６４１２５＋１８６１２５（－４）t；（２）t＝４t＋４３（－２）t－４３；（３）t＝１９５１３０－２０〖〗１３０（－４）t－９２６１３t；（４）t＝４＋３２１２t＋１２－７２t．习题11-4１．Ｙt＝（Ｙ０－Ｙe）αt＋Ｙe，Ｙe＝１＋β１－α；Ｃt＝（Ｙ０－Ｙe）αt＋αＩ＋β１－α．２．Ｙt＝（Ｙ０－Ｙe）·λt＋Ｙe，其中λ＝１＋r（１－α），Ｙe＝β１－α；Ｃt＝α（Ｙ０－Ｙe)λt＋Ｙe；Ｉt＝（１－α）（Ｙ０－Ｙe）λt．３．Ｙt＝Ｙ０＋βα·λt－βα，其中λ＝δrδr－α；Ｓt＝（αＹ０＋β）·λt；Ｉt＝１δ（αＹ０＋β）·λt．４．Ｄn（t）＝Ａ１λt１＋Ａ２λt２，其中λ１，２＝２［（ab＋１）±１＋２ab］．５．Ｙt＝（β)t（Ａ１cosωt＋Ａ２sinωt）＋α１－β，其中ω＝arctan１β－１，０＜ω＜πＵπ＝（β）t＋１［Ａ１cosω（t－１）＋Ａ２sinω（t－１）］＋αβ１－β；Ｓt＝（β）t｛Ａ１［βcosω（t－１）－cosω（t－２）］＋Ａ２［βsinω（t－１）－sinω（t－２）］｝．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

《微积分》上册部分课后习题答案

微积分上册一元函数微积分与无穷级数第2章极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )．证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim．解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→．解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限．证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解：原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→．解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =．解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1）原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2）原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='．解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=，又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解：令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '；（3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy．解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =．解（1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足（1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解（1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华李建平毛志强著))第二章

x 0
x 0
lim f ( x) lim ex 0
x 0
所以，当 a 0 时， lim f ( x) 存在。
x 0
4. 利用极限的几何意义说明 lim sinx 不存在.
x
解：因为当 x 时，sin x 的值在-1 与 1 之间来回振摆动，即 sin x 不无限接近某一定直线 y A ，亦即 y f ( x) 不以直线 y A 为渐近线，所以 lim sin x 不存在。
lim xn 0
n
n.
即 xn 0
2. 证明：若 lim xn=a,则 lim ∣xn∣=|a|.考察数列 xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.
ne
由数列极限的定义得
lim xn k a .
t
1
xn k a
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第二章
习题 2-1 1. 证明：若 lim xn=a,则对任何自然数 k，有 lim xn+k=a.
n n
证：由 lim xn a ，知 0 ， N1 ，当 n N1 时，有
n
xn a
n.
x 0
1 x
当 x 从小于 0 的方向无限接近于 0 时， e 的值无限接近于 0，故 lim e 0.
x 0
ww
（2）若 lim f ( x) 存在，则 lim f ( x) lim f ( x) ，
x 0 x 0
x 0
由（1）知
lim f ( x) lim ( x 2 a) lim ( x 2 a) a ，

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解

第三章习题3-11．设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g dss t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim(2)22t g t g →=+= 2．设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)．解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．（1）求曲线2y x =上点（2，4）处的切线方程和法线方程；（2）求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程；（3）求xy e =上点（2，2e ）处的切线方程和法线方程；（4）求过点（2，0）且与xy e =相切的直线方程。

解：略。

4．下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim limh h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+- 000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5．求下列函数的导数：(1) y ；(2) y；(3) y 3225x x．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx -==15661()6y x x -''∴===6．讨论函数y x =0点处的连续性和可导性．解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。

微积分课后题答案习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高

第一章　函数习　题　一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９；（２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解　（１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３　或　x－２＜－３由此得　x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证　（１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解　（１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２；（２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解　（１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０　且　ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０，　１－x＞０，　１－x≠１解得　｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得　x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０，　x－１０≠０，　x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０，　（x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０　且　x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０　且　x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解　因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２；（２）y＝ｅ｜x｜．解　（１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６），　x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２；（２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解　（１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ；（２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解　（１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x），　x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时，　f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时，　f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx；（２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解　（１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x；（２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３，　x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解　（１）由y＝１－x１＋x　解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞），　Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５），　y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２　（舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x；（２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解　（１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解　设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０　所以c＝０又知R（１０）＝８００，　R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００，　４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０，　２０a＋b＝６０由此解得　a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解　设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解　供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１　（倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p，　Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答　（１）（－∞，０］，１４，３４；（２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解　（１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得　p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）；（Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答　（１）Ｃ；　（２）Ｃ；　（３）Ｄ；　（４）Ｄ；　（５）Ｂ．解　（１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解　令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证　（１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２）　（f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２）　（g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若　a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２）　（或f（x１）＞f（x２））若　a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２）　（或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证　因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１，　｜g（x）｜＜M２，　橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证　要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解　由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解　设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ，　０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００），　７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解　设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解　设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２，　b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章　极限与连续习　题　二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n；（２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解　（１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０；（２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４；（２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解　（１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５；（２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解　（１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２；（２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解　（１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４；（２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解　（１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）；（２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解　（１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］；（２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解　（１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）；（２）ｌｉｍx →１f （x ）；（３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解　令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ；（２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx；（２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）；（２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解　（１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以　ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ；（４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解　（１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解　（１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝，k＝；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是．答　（１）０；（２）１a；（３）１２a；（４）２００８，１２００８；（５）等价；（６）可去；（７）跳跃；（８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解　（１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的．（Ａ）必要条件；（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝．（Ａ）０；（Ｂ）１；（Ｃ）不存在；（Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则．（Ａ）a ＝－５，b ＝６；（Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时，．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０；（Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３；（Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）；（Ｂ）［a ，b ］；（Ｃ）［a ，b ）；（Ｄ）（a ，b ］．答　（１）Ｄ；　（２）Ｄ；　（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；　（６）Ｄ；　（７）Ｃ；　（８）Ｂ．解　（１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞，　ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。

微积分课后题答案

微积分课后习题答案习题一（A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ；（2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ；（4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ；（6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ；4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax a x δδ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2）， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由：（1）x y =与x y lg 10=；（2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ；（6）xxy +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞- 时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立； 4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）：（1）1)4lg(--=x x y ；（2）45lg 2x x y -=；（3）xx y +-=11；（4）)5lg(312x x x y -+-+-=；（5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21；（8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210,30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ；（2）x y sin 2=；（3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。

经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高

第一章　函数习　题　一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９；（２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解　（１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３　或　x－２＜－３由此得　x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证　（１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解　（１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２；（２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解　（１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０　且　ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０，　１－x＞０，　１－x≠１解得　｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得　x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０，　x－１０≠０，　x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０，　（x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０　且　x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０　且　x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解　因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２；（２）y＝ｅ｜x｜．解　（１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６），　x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２；（２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解　（１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ；（２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解　（１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x），　x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时，　f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时，　f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx；（２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解　（１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x；（２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３，　x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解　（１）由y＝１－x１＋x　解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞），　Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５），　y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２　（舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x；（２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解　（１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解　设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０　所以c＝０又知R（１０）＝８００，　R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００，　４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０，　２０a＋b＝６０由此解得　a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解　设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解　供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１　（倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p，　Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答　（１）（－∞，０］，１４，３４；（２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解　（１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得　p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）；（Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答　（１）Ｃ；　（２）Ｃ；　（３）Ｄ；　（４）Ｄ；　（５）Ｂ．解　（１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解　令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证　（１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２）　（f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２）　（g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若　a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２）　（或f（x１）＞f（x２））若　a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２）　（或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证　因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１，　｜g（x）｜＜M２，　橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证　要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解　由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解　设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ，　０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００），　７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解　设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解　设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２，　b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章　极限与连续习　题　二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n；（２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解　（１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０；（２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４；（２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解　（１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５；（２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解　（１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２；（２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解　（１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４；（２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解　（１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）；（２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解　（１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］；（２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解　（１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）；（２）ｌｉｍx →１f （x ）；（３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解　令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ；（２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx；（２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）；（２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解　（１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以　ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ；（４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解　（１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解　（１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝，k＝；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是．答　（１）０；（２）１a；（３）１２a；（４）２００８，１２００８；（５）等价；（６）可去；（７）跳跃；（８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解　（１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的．（Ａ）必要条件；（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝．（Ａ）０；（Ｂ）１；（Ｃ）不存在；（Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则．（Ａ）a ＝－５，b ＝６；（Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时，．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０；（Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３；（Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）；（Ｂ）［a ，b ］；（Ｃ）［a ，b ）；（Ｄ）（a ，b ］．答　（１）Ｄ；　（２）Ｄ；　（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；　（６）Ｄ；　（７）Ｃ；　（８）Ｂ．解　（１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞，　ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ))()(x g x f +；(Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ)α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。

(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有。

(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。

经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高

第一章　函数习　题　一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９；（２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解　（１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３　或　x－２＜－３由此得　x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证　（１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解　（１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２；（２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解　（１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０　且　ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０，　１－x＞０，　１－x≠１解得　｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得　x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０，　x－１０≠０，　x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０，　（x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０　且　x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０　且　x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解　因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２；（２）y＝ｅ｜x｜．解　（１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６），　x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２；（２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解　（１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ；（２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解　（１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x），　x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时，　f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时，　f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx；（２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解　（１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x；（２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３，　x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解　（１）由y＝１－x１＋x　解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞），　Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５），　y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２　（舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x；（２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解　（１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解　设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０　所以c＝０又知R（１０）＝８００，　R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００，　４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０，　２０a＋b＝６０由此解得　a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解　设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解　供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１　（倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p，　Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答　（１）（－∞，０］，１４，３４；（２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解　（１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得　p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）；（Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答　（１）Ｃ；　（２）Ｃ；　（３）Ｄ；　（４）Ｄ；　（５）Ｂ．解　（１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解　令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证　（１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２）　（f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２）　（g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若　a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２）　（或f（x１）＞f（x２））若　a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２）　（或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证　因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１，　｜g（x）｜＜M２，　橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证　要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解　由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解　设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ，　０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００），　７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解　设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解　设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２，　b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章　极限与连续习　题　二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n；（２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解　（１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０；（２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４；（２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解　（１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５；（２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解　（１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２；（２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解　（１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４；（２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解　（１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）；（２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解　（１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］；（２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解　（１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）；（２）ｌｉｍx →１f （x ）；（３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解　令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ；（２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx；（２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）；（２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解　（１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以　ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ；（４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解　（１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解　（１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝，k＝；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是．答　（１）０；（２）１a；（３）１２a；（４）２００８，１２００８；（５）等价；（６）可去；（７）跳跃；（８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解　（１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的．（Ａ）必要条件；（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝．（Ａ）０；（Ｂ）１；（Ｃ）不存在；（Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则．（Ａ）a ＝－５，b ＝６；（Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时，．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０；（Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３；（Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）；（Ｂ）［a ，b ］；（Ｃ）［a ，b ）；（Ｄ）（a ，b ］．答　（１）Ｄ；　（２）Ｄ；　（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；　（６）Ｄ；　（７）Ｃ；　（８）Ｂ．解　（１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞，　ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。

《微积分》课后答案（复旦大学出版社（曹定华李建平毛志强著））第1章

第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解(1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1).(4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).2.用区间表示下列函数的定义域:1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2) y y x x xy x ==-+=-解(1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 0x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),f),f (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩；(2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解(1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a af ff a a a a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解当|x |≤1时,f (x )=1,f (f (x ))=f (1)=1;当|x |>1时,f (x )=-1,f (f (x ))=f (-1)=1,综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝21cos x x-；(2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x xx x -⎧-≤⎨->⎩解(1)∵221()1()()cos()cos x x f x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠且()()f x f x -≠-,∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0,()1(1)()ee xx f x f x ---=-=--=-;当x ≥0时,-x ≤0,()()11(1)()ee e x x xf x f x ---=-=-=--=-,综上所述,x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1)f (-x )+f (x )为偶函数；(2)f (-x )-f (x )为奇函数.证(1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7.试证：(1)两个偶函数的代数和仍为偶函数；(2)奇函数与偶函数的积是奇函数.证(1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =±则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-±-=±=,所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅,则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-,所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数.8.求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2.xx y x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解(1)由2sin 3y x =得1arcsin 32yx =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin (22)32xy x =-≤≤.(2)由221x x y =+得21xy y =-,即2log 1y x y =-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x=<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112yx y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212xx f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩.9.将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u v y u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解(1)211010ux y +==,定义域为(-∞,+∞);(2)sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3)arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?(1)y=；(2)y =sin 3ln x ;(3)y =tan 2x a；(4)y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解(1)令arcsin x u a =,则y =再令x v a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则uy a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2tan x y a=是由基本初等函数2,tan ,u y a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域：(1)f (x 2)；(2)f (sin x );(3)f (x +a ),(a ＞0)；(4)f (e x +1).解(1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1)π],k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ].(4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1].3.求下列函数的表达式：(1)设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x );(2)设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x );(3)设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解(1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x xϕ=-++=+-令sin t x =,得2()6t t t ϕ=+-,即2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得2()33g t t t =++,即2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x +=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴(0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =-即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期.证狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数,x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=;当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=.综上所述,x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数,x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR ===即04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即130700()91001177001000TR xx x x x ≤⎧=⎨+<≤⎩.3.已知需求函数为105QP =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解由题设知总收入2()105Q R Q PQ Q ==-,则总利润()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭,平均利润()150()85L Q AL Q Q Q Q==--.4.已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。

大一微积分二至四章课后习题答案

第二章习题解答习题 2—11. 用定义求函数2y x =在1x =处的导数。

解：（1）22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆;（2)22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆； (3）00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.2. 已知一物体的运动方程为38s t =+ ()m ,求该物体在2()t s =时的瞬时速度。

解:(1）323(2)(2)(2)816126()()s s t s t t x t ∆=+∆-=+∆+-=∆+∆+∆；（2）230[126()()](2)lim12t s t x t v t t∆→∆∆+∆+∆===∆∆。

3. 求在抛物线22y x =+上点1x =处的切线方程与法线方程. 解：因为2(2)2y x x ''=+=,12,x y ='= 故所求的切线方程为 32(1)y x -=- 即 210x y -+-=所求的法线方程为 13(1)2y x -=--即 15022x y +-=。

4. 设0()f x '存在，试利用导数的定义求下列极限:(1）000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆; （2)000()()lim h f x h f x h h →+--；(3)000()(2)lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆.解：（1） 0000000()()[()]()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆；（2）原式0000000()()()()lim lim 2()h h f x h f x f x h f x f x h h→→+---'=+=-；（3）原式0000000()()(2)()3lim lim ()222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆--∆-'=+=∆-∆。

大学微积分习题答案

7.3作业答案1.下列微分方程中，是线性微分方程的是(D ).A.02='-''y y y B.032=+'-''y y x y C.)(45y f x y =-'' D.x y x y x y =+'-'''322.下列函数组线性相关的是(D ).A.x e 2，xe B.x ，x xe C.x 4cos ，x 4sin D.x 2sin ，xx sin cos 3.设)(),(x b x a 为已知的连续函数，21,C C 是任意常数，可以说)()(2211x y C x y C y +=是所给方程的通解的情形是(D ).A.)(),(21x y y x y y ==是方程0)(='+''y x a y 的解B.)(),(21x y y x y y ==是方程设0)(2=+'+''y y x a y 的两个不成比例的解C.)(),(21x y y x y y ==是方程1)(='+''y x a y 的两个不成比例的解D.)(),(21x y y x y y ==是方程0)()(=+'+''y x b y x a y 的两个不成比例的解4.设2,,x x y e y e y x ===是方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''(其中)(),(x b x a ，)(x f 是已知函数，且0)(≠x f )的三个解，21,C C 是任意常数，则关于()()0y a x y b x y '''++=（记为()*）的解的说法正确的是(D ).A.x y e =是()*的特解B.2x y e x =-不是()*的解C.212x y C e C x =+是()*的通解D.212()()x x y C e x C e x =-+-是()*的通解5.设)(),(),(321x y x y x y 是方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''（0)(≠x f ）的三个解，则下列函数中为方程的解的是(B ).A.123y y y ++B .321313131y y y ++C.12y y - D.)(3221y y C y -+6.设123,,y y y 是方程()()()y p x y q x y r x '''++=的三个不同的特解，且1223y y y y --不是常数，则该方程的通解为(B )A.11223c y c y y ++ B.1122231()()c y y c y y y -+-+C.11232c y c y y ++ D.112223()()c y y c y y -+-。

微积分课后题答案高等教育出版社1

习题一（A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ；（2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ；（4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ；（6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ； 4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax ax δδ+-00 , ()5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2）， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由：（1）x y =与x y lg 10=；（2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ；（6）xx y +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞-时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立；4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+；6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）：（1）1)4lg(--=x x y ；（2）45lg2x x y -=；（3）xx y +-=11；（4）)5lg(312x x x y -+-+-=；（5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21；（8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足1>-x 和4>-x 可解得⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-.4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210, 30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ；（2）x y sin 2=；（3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。

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