微积分 课后习题答案
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习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +
=),(，求)
,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y
x
xy y x f +
=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(
2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=
)
,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=
3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f
（2）;)
1ln(4),(222y x y x y x f ---=
（3）;1),(22
2222c
z b y a x y x f ---=
（4）.1),,(2
2
2
z
y x z y x z y x f ---++=
解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D
（2）
{
y y x y x D ,10),(22<+<=
（3）
⎫⎩⎨⎧++=),(2
2222b y a x y x
D
（4）{}
1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D
4．求下列各极限： （1）2
21
01lim
y x xy y x +-→→=11
00
1=+- （2）2ln 0
1)1ln(ln(lim
02
2
)0
1=++=
++→→e y
x e x y y x
（3）41
)42()42)(42(lim 42lim
000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x
（4）2)
sin(lim )sin(lim
202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x
5．证明下列极限不存在：
（1）;lim 0
0y
x y x y x -+→→ （2）22
22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim
00
20-=-+=-+→→=→x x x
x y x y x x x y x ；
如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim
00
20==-+→→=→y y
y x y x y y x y
x
所以极限不存在。
（2）证明 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0(
则1lim )(lim 44
0222220
0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 2440222220
20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。
6．指出下列函数的间断点：
（1）x
y x
y y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。
解 （1）为使函数表达式有意义，需022
≠-x y ，所以在022
=-x y 处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。 习题1—2 1．（1）x y y x z +=
,21x y y x z -=∂∂，21y
x
x y z -=∂∂. (2)
)]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x
z
-=-=∂∂ )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y
z
-=-=∂∂ (3)
121)1()1(--+=+=∂∂y y xy y y xy y x
z
, lnz=yln(1+xy)，两边同时对y 求偏导得
,1)1ln(1xy
x
y xy y z z +++=∂∂ ]1)1[ln()1(]1)1[ln(xy
xy xy xy xy xy xy z y z
y ++++=+++=∂∂; (4))
(22133
23y x x y x x y x x y x z +-=+-=∂∂,;11
3
2
2y x x y x x y z +=+=∂∂ (5)x x z
y z u
x x z y u x z y x u z y
z y
z y
ln ,ln 1,21-=∂∂=∂∂=∂∂-;