线性代数典型例题

线性代数

第一章 行列式

典型例题

一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式

已知行列式412343

344

615671

12

2

D =

=-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式

1．计算221

1231223131

5

1319x D x -=

-.

2．设()x b

c d b x

c d f x b c

x d b c d

x

=

，则方程()0f x =有根_______.x =

四、抽象行列式的计算或证明

1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B +

2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1

||2

A =

，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A

4.设矩阵210120001A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵

123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++

如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式

1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为

1111

,,,2345

，则行列式1||________.B E --=

2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E +

第二章 矩阵

典型例题

一、求逆矩阵

1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

2.设00021000531

23004580034600A ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，求1.A -

二、讨论抽象矩阵的可逆性

1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A -

2.已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆，并求出逆矩阵。

3.设T A E xy =+,其中,x y 均为n 维列向量，且2T x y =,求A 的逆矩阵。

4.设,A B 为n 阶矩阵，且E AB -可逆，证明E BA -也可逆。 三、解矩阵方程

1.设矩阵111111111A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

，矩阵X 满足*12A X A X -=+,求矩阵X . 2.已知矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，且矩阵X 满足 AXA BXB AXB BXA E +=++，求X . 四、利用伴随矩阵进行计算或证明 1.证明下列等式

(1)**()()T T A A =； (2)若||0A ≠,则1**1()()A A --=； （3）||0A ≠,则1**1[()][()]T T A A --=；

(4) ||0A ≠,则*1*()(0,n kA k A k A n -=≠为阶矩阵）；

（5）若,A B 为同阶可逆矩阵，则***()AB B A =.

2.设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =,若111213,,a a a 为三个相等正数，则11_______.a = 五、关于初等矩阵和矩阵的秩（看教材）

第三章 矩阵

典型例题

一、判断向量组的线性相关性 1.设12(,,,)(1,2,

,;)T i i i in i r r n αααα==<是n 维实向量，且12,,

,r ααα线性无

关，已知12(,,

,)T n b b b β=是线性方程组

1111221211222211220

00

n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++

+=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++

+=⎩

的非零解向量，试判断向量组12,,,,r αααβ的线性相关性。

2.设12,,

,n ααα是n 个n 维的线性无关向量，11122n n n k k k αααα+=++

+，其中

12,,

,n k k k 全不为零，证明121,,

,n ααα+中任意n 个向量均无关。

3.设A 为43⨯矩阵，B 为33⨯矩阵，且0AB =,其中111121230012A -⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

，证明B 的列向量组线性相关。 4.设121,,

,n ααα-为1n -个线性无关的n 维列向量，1ξ和2ξ是与121,,

,n ααα-均

正交的n 维非零列向量，证明（1）1ξ、2ξ线性相关；（2）121,,,n ααα-，1ξ线