椭圆的极坐标方程及其应用(供参考)
以焦点为原点的椭圆极坐标方程
以焦点为原点的椭圆极坐标方程（实用版）目录1.椭圆极坐标方程的定义2.焦点为原点的椭圆极坐标方程的特点3.椭圆极坐标方程的应用正文1.椭圆极坐标方程的定义在极坐标系中，椭圆的标准方程为 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
而当焦点在极点上时，即焦点为原点，椭圆的极坐标方程可以通过对标准方程进行一定的变换得到。
这种以焦点为原点的椭圆极坐标方程具有特殊的形式，可以更好地描述一些物理现象和数学问题。
2.焦点为原点的椭圆极坐标方程的特点在焦点为原点的椭圆极坐标方程中，椭圆的焦点位于极点，因此其方程具有以下特点：- 椭圆的长半轴 a 等于焦点到极点的距离，即 a = 2c，其中 c 为焦点到椭圆中心的距离。
- 椭圆的短半轴 b 等于焦点到椭圆中心的距离，即 b = c。
- 椭圆的离心率e等于c/a，因为a = 2c，所以 e = 1/2。
3.椭圆极坐标方程的应用椭圆极坐标方程在许多领域都有广泛的应用，如物理学、天文学、工程学等。
其中，焦点为原点的椭圆极坐标方程可以用于描述如下问题：- 天体运动：在研究天体运动时，通常可以将天体看作是沿椭圆轨道运行的，而焦点为原点的椭圆极坐标方程可以用来描述这种运动轨迹。
- 光学系统：在光学系统中，焦点为原点的椭圆极坐标方程可以用来描述透镜的成像规律，帮助我们更好地理解和设计光学仪器。
- 电子学：在电子学中，椭圆极坐标方程可以用来描述电场的分布，从而帮助我们分析电子器件的性能。
总之，椭圆极坐标方程是一种重要的数学工具，而焦点为原点的椭圆极坐标方程由于其特殊的形式，可以更好地描述一些实际问题。
直线与椭圆极坐标方程
这些是直线和椭圆的极坐标方程的一般形式。具体的方程形式可能会因直线或椭圆的特殊 性质而有所不同。
直线与椭圆极坐标方程
直线和椭圆的极坐标方程可以通过将直角坐标系下的方程转换为极坐标系下的方程得到。
1. 直线的极坐标方程： 在直角坐标系中，直线的一般方程为 y = mx + c，其中 m 是斜率，c 是截距。我们可以 通过将直线方程中的 x 和 y 转换为极坐标下的 r 和直角坐标系中，椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别是椭 圆的长半轴和短半轴。我们可以通过将直角坐标系下的方程转换为极坐标系下的方程得到椭 圆的极坐标方程。
使用极坐标变换公式： x = rcosθ，y = rsinθ，
直线与椭圆极坐标方程
对于直线方程 y = mx + c，使用极坐标变换公式： x = rcosθ，y = rsinθ， 将直线方程中的 x 和 y 替换为极坐标下的 r 和 θ，得到直线的极坐标方程为： rsinθ = mrcosθ + c，
直线与椭圆极坐标方程
化简后得到直线的极坐标方程为： r = (c / sinθ) - mcosθ。
椭圆的极坐标参数方程
椭圆的极坐标参数方程椭圆是一种特殊的圆形曲线，其在笛卡尔坐标系下的方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
而在极坐标系下，椭圆的参数方程可以用以下形式表示：x = a * cos(θ)y = b * sin(θ)在参数方程中，θ表示极角，取值范围为[0,2π]。
为了证明该参数方程确实满足椭圆的定义，我们可以将参数方程代入笛卡尔坐标系的方程中：(x/a)^2 + (y/b)^2 = (a * cos(θ) / a)^2 + (b * sin(θ) / b)^2= cos^2(θ) + sin^2(θ)=1由此可见，参数方程(x = a * cos(θ)，y = b * sin(θ))确实满足椭圆的定义。
通过参数方程，我们可以得到椭圆上的各个点的坐标。
当θ取不同的值，可以得到不同的点。
其中，θ的取值范围[0,2π]保证了椭圆的闭合性，即曲线围绕着中心点旋转一周后能回到原点。
特殊情况下，当a=b时，椭圆退化为圆形。
此时的参数方程可以简化为：x = a * cos(θ)y = a * sin(θ)这两个方程和极坐标下的圆形参数方程形式一致。
所以，椭圆可以看作是圆形的一种特殊情况。
得到了椭圆的极坐标参数方程后，我们可以通过改变a和b的值来调整椭圆的形状。
当a>b时，椭圆在x轴上横向拉伸；当a<b时，椭圆在y 轴上纵向拉伸。
椭圆在实际生活中有广泛的应用，例如天体轨道、天文学中的视差测量、地理学中的地球轨道等。
掌握了椭圆的参数方程，我们可以更加深入地研究和理解这些现象，为实际问题的解决提供更好的数学工具。
总之，椭圆的极坐标参数方程为x = a * cos(θ)，y = b *sin(θ)，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
这个参数方程满足椭圆的定义，并且可以用于描述椭圆上的各个点的坐标。
通过调整a和b的值，我们可以改变椭圆的形状。
椭圆在实际应用中有广泛的用途，了解椭圆的参数方程对深入研究这些应用问题非常重要。
椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标
当点P在双曲线左支上时，PF1aex，PF2aex；
3、若F是抛物线的焦点，PFx
p. 2坐标曲线题
题型研究
题型一坐标曲线题
热点题型精讲
坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。
类型一溶解类
解读：一定温度下，向一定量A物质的饱和溶液中加入A物质。A不再溶解，溶质质量分数不变。
解读：一定温度下，向一定量A物质的接近饱和的溶液中加入A物质。A溶解至饱和后不再溶解，溶解质量分数先增大，后不变。
类型二pH曲线
1.溶液稀释时pH的变化
解读：稀释碱性溶液时，开始时溶液的pH﹥7，随着加水量的增加，pH不断减小，但不会小于7。
ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos
其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PFe，∴PFe(PFcosp)，其中pFH，〈x轴，FP〉∴焦半径PFep．1ecos
解读：同一反应，催化剂只影响化学反应速率，不影响生成物的质量。若横坐标为反应时间，由图像的斜率可以看出加入催化剂后化学反应速率明显加快，但生成物质量不变。化学反应前后物质总质量不变。
3.催化剂质量曲线
解读：化学反应前后，催化剂的质量不变。
椭圆化为极坐标方程公式(一)
椭圆化为极坐标方程公式(一)椭圆化为极坐标方程公式1. 椭圆的极坐标方程•椭圆的极坐标方程：r = a(1 - ecosθ)–其中，a为半长轴的长度，e为离心率，r为点的极坐标半径，θ为点的极坐标角度。
2. 椭圆极坐标方程的推导和理解推导过程•椭圆的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a 为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴•将直角坐标系转换为极坐标系得到：x = rcosθ，y = rsinθ•将x和y代入椭圆的标准方程得到：(rcosθ)^2 / a^2 + (rsinθ)^2 / b^2 = 1•化简得：r2(a2sin^2θ + b2cos2θ) - a2b2 = 0理解椭圆的极坐标方程•椭圆的极坐标方程为：r = a(1 - ecosθ)•可以看出，极坐标方程中的r与θ有关，r的长度由θ的取值决定。
•当θ = 0时，即在极坐标系中x轴的方向，r = a(1 - ecos0) = a(1 - e)，此时r为椭圆的最大值，即半长轴的长度。
•当θ = π/2时，即在极坐标系中y轴的方向，r = a(1 - ecos(π/2)) = a(1 - 0) = a，此时r为椭圆的最小值，即半短轴的长度。
•在极坐标系中，椭圆的形状由半长轴的长度和离心率决定。
3. 实例解释椭圆极坐标方程的实例1•假设椭圆的半长轴长度a = 4，离心率e = ，求取当θ = π/3时，点的极坐标半径r的值。
•根据椭圆的极坐标方程：r = a(1 - ecosθ)•将a和e代入，计算得：r = 4(1 - (π/3))•化简得：r = 4(1 - * 1/2) = 4(1 - ) = 4 * =•当θ = π/3时，点的极坐标半径r的值为。
椭圆极坐标方程的实例2•假设椭圆的半长轴长度a = 5，离心率e = ，求取当θ = π/6时，点的极坐标半径r的值。
•根据椭圆的极坐标方程：r = a(1 - ecosθ)•将a和e代入，计算得：r = 5(1 - (π/6))•化简得：r = 5(1 - * √3/2) = 5(1 - * √3/2) = 5(1 - * /2) = 5(1 - * ) = 5 * =•当θ = π/6时，点的极坐标半径r的值为。
椭圆面积极坐标
椭圆面积极坐标椭圆面积在极坐标系下的计算方法有很多，我们可以通过极坐标方程来求解椭圆的面积。
在这篇文章中，我将为大家介绍椭圆面积的计算方法，并且通过实例来说明其应用。
首先我们来回顾一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和恒定的点的轨迹，这个恒定的和就是椭圆的长轴，而两个定点F1和F2之间的距离就是椭圆的焦距。
对于椭圆来说，长轴和焦距的关系是大于等于2的，而当两点重合时，椭圆就变成了一个圆。
在极坐标系下，椭圆的极坐标方程可以表示为r = a(1 - e * cosθ)，其中a是长轴的一半，e是离心率，r和θ分别是点在极坐标系下的径向和极角。
要计算椭圆的面积，我们可以利用极坐标下的面积元素dA，然后对整个椭圆进行积分求和。
根据极坐标下的面积元素公式，dA = 1/2 * r^2 * dθ。
将极坐标方程代入，可以得到dA = 1/2 * a^2 * (1 - e * cosθ)^2 * dθ。
接下来，我们可以对这个面积元素进行积分。
由于θ的范围是从0到2π，所以积分的范围也是从0到2π。
将面积元素代入积分式中，可以得到椭圆的面积S = ∫(0 to 2π) 1/2 * a^2 * (1 - e * cosθ)^2 * dθ。
对于这个积分式，我们可以通过换元法进行求解。
令u = sinθ，然后进行变量代换和化简，可以得到积分式S = π * a^2 * (1 - e^2)。
通过这个公式，我们可以很方便地计算椭圆的面积。
只需要知道长轴的长度a和离心率e，就可以得到椭圆的面积。
现在我们来举一个具体的例子来说明椭圆面积的计算方法。
假设有一个椭圆，其长轴的长度是6，离心率是0.8。
我们可以利用上述公式来计算这个椭圆的面积。
根据公式S = π * a^2 * (1 - e^2)，代入a = 6和e = 0.8，可以得到S = π * 6^2 * (1 - 0.8^2) = 16.96π。
所以这个椭圆的面积约为53.29。
【精品】椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标
【关键字】精品椭圆的极坐标方程-双曲线焦点坐标圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ．当0＜e＜1时，方程表示椭圆；当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PF e，∴PF e(PFcos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep．1ecosep. 1ecos当P在双曲线的左支上时，PF推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有112. MFNFep三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，epep2ab2a2b2c1、椭圆中，p，MN222. cc1ecos1ecos()a ccos2、双曲线中，epep2ab2若M、N在双曲线同一支上，MN；1ecos1ecos()a2c2cos2epep2ab2若M、N在双曲线不同支上，MN. 1ecos1ecos c2cos2a23、抛物线中，MN pp2p. 21cos1cos()sin四、直角坐标系中的焦半径公式设P是圆锥曲线上的点，1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1a exPF2a ex；2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PF1ex a，PF2ex a；当点P在双曲线左支上时，PF1a ex，PF2a ex；3、若F是抛物线的焦点，PF xp. 2坐标曲线题题型研究题型一坐标曲线题热点题型精讲坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。
(完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结
完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结概述椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。
在数学中，椭圆可以通过参数方程和极坐标方程进行描述和表示。
本文将详细介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，包括定义、推导以及应用等方面。
参数方程定义椭圆的参数方程通常由两个参数表示，分别是水平方向的参数t和垂直方向的参数u。
以坐标点(x,y)表示的椭圆上的任意一点，其参数方程可以用如下形式表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
参数方程推导为了推导出椭圆的参数方程，我们可以从椭圆的标准方程出发，即：x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心点坐标。
我们可以通过引入参数u，将标准方程中的变量x和y表示为：x = a * cos(u)y = b * sin(u)通过将x和y的表达式代入标准方程中，可以得到：a * cos(u) - h)^2 / a^2) + ((b * sin(u) - k)^2 / b^2) = 1进一步整理可得：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = 1因为`(cos(u))^2 + (sin(u))^2 = 1`，上式化简为：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = (cos(u))^2 / a^2 + ((sin(u))^2 /b^2) * (a^2 / b^2) = 1比较原式与化简式，可得：a^2 = 1b^2 = a^2 / b^2由此，我们得到了椭圆的参数方程。
极坐标方程定义椭圆的极坐标方程由一个参数θ表示，以坐标点(r,θ)表示的椭圆上的任意一点，其极坐标方程可以用如下形式表示：r(θ) = a * b / sqrt((b * cos(θ))^2 + (a * sin(θ))^2)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的参数方程和极坐标方程
椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆是一种常见的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。
一、参数方程椭圆的参数方程是一种描述椭圆上每个点的坐标的方式。
在参数方程中，椭圆的坐标由两个参数决定，通常用t和a表示。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，t是参数的取值范围。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的坐标。
当t取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。
参数方程的优点是它可以直观地描述椭圆的形状和位置。
例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。
当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。
二、极坐标方程椭圆的极坐标方程是另一种描述椭圆的方式。
在极坐标方程中，椭圆的坐标由极径r和极角θ决定。
椭圆的极坐标方程可以表示为：r = a*b / sqrt((b*cos(θ))^2 + (a*sin(θ))^2)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，θ是极角的取值范围。
通过改变极角θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的极坐标。
当θ取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。
极坐标方程的优点是它可以更直接地描述椭圆的形状和位置。
例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。
当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。
三、应用椭圆具有许多重要的应用。
在几何学中，椭圆是焦点与直线距离之和恒定的曲线，这个性质被广泛应用于光学、天文学等领域。
例如，椭圆的反射性质被用于设计反射望远镜和卫星天线。
在物理学中，椭圆是许多物理问题的模型。
例如，行星绕太阳运动的轨道近似为椭圆。
椭圆的运动方程可以帮助我们研究行星的运动规律和轨道参数。
椭圆还广泛应用于工程学和计算机图形学。
在工程学中，椭圆常被用作设计轮胎、齿轮等机械零件的基础。
椭圆极坐标方程其应用
椭圆的极坐标方程及其应用如图，倾斜角为θ且过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明:2211PF QF +为定值改为：抛物线22(0)y px p => 呢？例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r，求k 。
练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =u u u r u u u r ，求椭圆C 的离心率；例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值．练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=⋅MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： ||1||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.Q y O x P 2F AyOxBF推广：已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>,F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点12,,,nP P P⋅⋅⋅,若122311n n nPFP P FP P FP P FP-∠=∠=⋅⋅⋅=∠=∠,则11||ni inPF ep==∑，你能证明吗？练习3. （08年福建理科）如图，椭圆2222.1(0)x ya ba b+=>>的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有222OA OB AB+<,求a的取值范围.作业1. （08年宁夏文）过椭圆14522=+yx的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于BA,两点, O为坐标原点, 则△OAB的面积为 .作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆22:12xC y+=的右焦点为F,右准线l，点A l∈，线段AF交C于点B。
椭圆的极坐标方程 知乎
椭圆的极坐标方程知乎在数学中，椭圆是一种特殊的曲线，可以通过其极坐标方程来描述。
椭圆的极坐标方程为r=a(1-e*cosθ)，其中a表示长半轴的长度，e表示离心率，θ表示与极轴的夹角。
椭圆的定义可以简单地理解为，到焦点距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆有许多独特的性质。
首先，椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于椭圆形。
其次，椭圆有两个焦点，且到焦点距离之和等于常数。
这个性质被广泛运用于日常生活中，比如卫星轨道的设计、椭圆形的运动器械等。
此外，椭圆还具有对称性，即椭圆关于x轴和y轴对称。
在知乎平台上，有很多与椭圆相关的问题和回答。
例如，有人可能会问：“椭圆有什么实际应用？”这个问题引起了许多网友的关注。
回答者们纷纷列举了椭圆的应用领域。
有人提到了椭圆轨道在航天领域的应用，如人造卫星的轨道设计、空间站的轨道控制等。
还有人谈到了椭圆的几何特性在建筑设计中的应用，如椭圆形建筑的设计和构造等。
总之，椭圆的应用是广泛而多样的。
另一个问题可能是：“如何画出一个椭圆？”这个问题引起了很多绘图爱好者的兴趣。
回答者们纷纷给出了方法和技巧。
有人建议使用椭圆板或者绘图仪器来画椭圆，这样可以更准确地画出椭圆的形状。
还有人提到了利用数学原理，通过确定焦点和长半轴的位置，来画出椭圆的方法。
这些回答为有兴趣绘制椭圆的人提供了很好的指导。
还有一些有趣的问题和回答与椭圆相关。
例如，“椭圆和圆有什么区别？”这个问题引发了一场关于椭圆和圆的讨论。
回答者们从几何形状、数学定义、性质等方面进行了比较，并给出了具体的例子来说明它们之间的区别。
这个问题不仅帮助了提问者，也为其他网友提供了对椭圆和圆的深入理解。
椭圆的极坐标方程是一个有趣且广泛讨论的话题。
通过知乎平台，我们可以了解到椭圆的定义、性质以及应用，并与其他网友一起探讨与椭圆相关的问题。
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以焦点为原点的椭圆极坐标方程
以焦点为原点的椭圆极坐标方程椭圆是一种常见的二维图形，它具有许多有趣的特性和应用。
首先，我们来回顾一下椭圆的定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
在以焦点为原点的极坐标系中，椭圆的极坐标方程可以表示为r = a(1 - e*cosθ)，其中a是长轴的一半，e是离心率。
椭圆的极坐标方程揭示了许多椭圆的性质。
首先，我们注意到离心率e的大小对椭圆的形状有重要影响。
当离心率e = 0时，即椭圆退化成一个圆，此时椭圆的极坐标方程变为r = a。
而当离心率e = 1时，椭圆退化成一条直线，此时椭圆的极坐标方程变为r = a(1 + cosθ)。
当离心率e在0和1之间变化时，椭圆的形状逐渐拉长，长轴与短轴的比例越大，椭圆的形状越扁平。
另一个重要的椭圆性质是焦半径定律。
焦半径定律指出，对于椭圆上的任意一点P，它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
换句话说，对于椭圆上的任意一点P，有FP1 + FP2 = 2a，其中F1和F2是两个焦点。
椭圆还具有一些重要的应用。
一个常见的应用是天体轨道的描述。
根据开普勒定律，行星的轨道是一个椭圆，其中太阳位于椭圆的一个焦点上。
这个椭圆的极坐标方程可以用来描述行星的轨道形状和位置。
椭圆还在工程和物理学中有广泛的应用。
例如，在椭圆抛物面天线中，椭圆的形状用于优化天线的辐射模式。
在光学中，椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射平行光线聚焦到椭圆的一个焦点上。
总结一下，以焦点为原点的椭圆极坐标方程为我们提供了一种描述椭圆形状和性质的方法。
椭圆的极坐标方程可以通过离心率e的大小调整椭圆的形状，同时焦半径定律揭示了椭圆上点的位置与焦点的关系。
椭圆在天体轨道、工程和物理学中都有重要的应用，展示了其在科学和工程中的价值。
通过深入了解椭圆及其极坐标方程，我们可以更好地理解和应用这个有趣的几何图形。
椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标
椭圆的极坐标方程-双曲线焦点坐标圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ．当0＜e＜1时，方程表示椭圆；当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PF e，∴PF e(PFcos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep．1ecosep. 1ecos当P在双曲线的左支上时，PF推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有112. MFNFep三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，epep2ab2a2b2c1、椭圆中，p，MN222.cc1ecos1ecos()a ccos2、双曲线中，epep2ab2若M、N在双曲线同一支上，MN；1ecos1ecos()a2c2co s2epep2ab2若M、N在双曲线不同支上，MN.1ecos1ecos c2cos2a23、抛物线中，MN pp2p. 21cos1cos()sin四、直角坐标系中的焦半径公式设P是圆锥曲线上的点，1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1a exPF2a ex；2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PF1ex a，PF2ex a；当点P在双曲线左支上时，PF1a ex，PF2a ex；3、若F是抛物线的焦点，PF xp. 2坐标曲线题题型研究题型一坐标曲线题热点题型精讲坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。
椭圆用极坐标系表示
椭圆用极坐标系表示椭圆用极坐标系表示椭圆是一种常见的二次曲线，常被用于描述许多物理现象。
在笛卡尔坐标系下，椭圆的方程为：(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1其中a和b分别为椭圆的两个半轴长。
今天，我们将介绍如何用极坐标系来表示椭圆。
1. 极坐标系下的椭圆方程极坐标系下，我们用ρ和θ来代替直角坐标系下的x和y。
椭圆的极坐标方程为：ρ = (a*b) / sqrt((b^2)*cos^2(θ) + (a^2)*sin^2(θ))这个方程看起来比较复杂，但其实它是直角坐标系下椭圆方程的简化形式。
2. 推导极坐标系下椭圆方程的过程为什么要用这个公式来表示椭圆呢？下面，我们来简单推导一下它的来源。
首先，任意一个极坐标点可以表示为(ρ,θ)的形式。
显然，这个点在直角坐标系下的坐标为：x = ρ*cos(θ)y = ρ*sin(θ)代入椭圆方程可以得到：(a^2)*(ρ*cos(θ))^2 + (b^2)*(ρ*sin(θ))^2 = (a*b)^2化简可得：ρ^2 = (a*b) / sqrt((b^2)*cos^2(θ) + (a^2)*sin^2(θ))也就是我们前面推导出的椭圆极坐标方程。
3. 椭圆极坐标方程的性质经过上述推导可知，椭圆的极坐标方程与其在直角坐标系下的方程有相似之处。
我们来看看它的一些性质：首先，方程的参数a和b代表了椭圆的半轴长，即在极坐标方程中的ρ在a和b的限制下，取遍的范围。
此外，我们还可以看出，椭圆在θ =0和θ = π/2的位置上分别与直角坐标系下的x轴和y轴相交成两个点。
其次，通过椭圆极坐标方程，我们还可以知道，在极角θ一定的情况下，点到椭圆中心的距离ρ发生了多大的变化。
在椭圆上，点到中心的距离ρ不断变化，这意味着极角θ的变化，无法影响椭圆上的点的距离。
最后，椭圆极坐标方程也为我们提供了一个新的视角来看待椭圆。
它将椭圆的对称性和周期性直观地呈现在极坐标图中。
以焦点为原点的椭圆极坐标方程
以焦点为原点的椭圆极坐标方程引言椭圆是一种经典的几何形状，其在数学和物理学中具有广泛的应用。
在笛卡尔坐标系中，椭圆的方程可以表示为两个焦点之间的距离之和等于常数的形式。
然而，我们也可以使用极坐标系来描述椭圆，并以其中一个焦点为原点。
本文将详细介绍以焦点为原点的椭圆极坐标方程的推导和性质。
一、椭圆的极坐标方程在极坐标系中，我们可以用径向距离r和角度θ来表示点的位置。
对于以焦点为原点的椭圆，其极坐标方程可以表示为：r = a(1 - e*cosθ)其中，a是椭圆的半长轴，e是离心率。
二、推导椭圆的极坐标方程为了推导椭圆的极坐标方程，我们首先需要回顾椭圆的定义。
椭圆是平面上所有到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
在极坐标系中，我们可以将椭圆的焦点表示为(a, 0)和(-a, 0)，其中a是椭圆的半长轴。
假设点P(x, y)位于椭圆上，我们可以根据距离公式得到以下方程：r = √((x - a)^2 + y^2) + √((x + a)^2 + y^2)将r表示为极坐标形式r = √(x^2 + y^2)，并展开上述方程，我们可以得到：x^2 + y^2 - 2ax + a^2 + x^2 + y^2 + 2ax + a^2 = r^2化简后得到：2x^2 + 2y^2 = r^2 - 2a^2由于在极坐标系中，x = r cosθ，y = r sinθ，我们可以将上述方程转化为：2r2cos^2θ + 2r^2sin2θ = r^2 - 2a^2化简后得到：r^2 = 2a^2 / (1 + cos2θ)由于cos2θ = cos^2θ - sin^2θ，我们可以进一步化简为：r^2 = 2a^2 / (1 + cos2θ) = 2a^2 / (1 + cos^2θ - sin^2θ)化简后得到：r = a(1 - e*cosθ)其中，e = √(2)是椭圆的离心率。
三、椭圆的性质以焦点为原点的椭圆极坐标方程具有许多有趣的性质。
积分区域是椭圆的二重积分用极坐标
积分区域是椭圆的二重积分用极坐标我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆是平面上的一个几何图形，它是所有到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
椭圆可以通过其半长轴（a）和半短轴（b）来确定，其中半长轴是椭圆的最长直径，而半短轴是椭圆的最短直径。
接下来，我们将介绍极坐标。
在平面上，我们通常使用直角坐标系来描述点的位置，即用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置。
而在极坐标系中，我们使用极径r和极角θ来描述点的位置，其中极径r表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角。
通过极坐标系，我们可以更方便地描述和计算具有对称性的图形。
那么，我们如何将椭圆的二重积分转换为极坐标下的积分呢？我们可以利用极坐标的性质，将椭圆表示为极坐标的方程。
对于一个椭圆而言，其极坐标方程可以表示为：r = (a*b) / sqrt((b*cosθ)^2 + (a*sinθ)^2)其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
通过这个极坐标方程，我们可以将椭圆上的点用极径r和极角θ来表示。
接下来，我们需要确定极坐标下的积分区域。
对于椭圆而言，我们可以看作是在极坐标系下的θ从0到2π的范围内，r从0到椭圆的极径公式中的r的上限。
这样，我们就确定了椭圆在极坐标系下的积分区域。
现在，我们可以开始计算椭圆上的二重积分了。
在极坐标下，二重积分的表达式为：∬f(x,y)dA = ∫∫f(r*cosθ,r*sinθ)r dr dθ其中，f(x,y)表示被积函数，dA表示微元面积，r表示极径，θ表示极角。
通过将被积函数和微元面积用极坐标表示，并在积分区域上进行积分，我们就可以得到椭圆上的二重积分的结果。
当然，在具体计算中，我们可能需要进行一些变量代换或者利用对称性简化计算过程。
通过将椭圆的二重积分转换为极坐标下的积分，我们可以更方便地计算椭圆上的积分。
极坐标的引入使得计算过程更加简洁，且适用于具有对称性的图形。
通过灵活运用极坐标的性质和积分技巧，我们可以更高效地解决与椭圆相关的问题。
椭圆的极坐标方程及其应用
椭圆的极坐标方程及其应用2 2如图，倾斜角为且过椭圆C:笃爲1（a b 0）的右焦点F2的直线I交椭圆C于P,Q两点，椭圆a b 1 iC的离心率为e，焦准距为P，请利用椭圆的第二定义推导PF2，QF2, PQ，并证明：忑为定值改为：抛物线y2 2 px（ p 0）呢?例1. （10年全国n）已知椭圆直线与C相交于代B两点•若2C：笃auuuAF2 y_u b U3FB ,1(a b2 x ~~2 auuu ___A, B两点，直线I的倾斜角为60°, AF 2FB，求椭圆练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C:2占1(abuuu0）的离心率为£b 0）的右焦点为C的离心率;X2例2. （07年全国I）已知椭圆一3过F2的直线交椭圆于A, C两点，且AC1的左、右焦点分别为F, , F2 •过F,的直线交椭圆于BD，垂足为P，求四边形ABCD的面积的最值.练习2. （05年全国n）P、Q M N四点都在椭圆X2PF与FQ共线,MF与FN线，且PF MF 0.求四边形B, D两点1 上, F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知PMQN勺面积的最小值和最大值F,过点F的直线I与椭圆C相交于例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3,0），右准线I的方程为X 12.（I）求椭圆的方程；（n）在椭圆上任取三个不同点R,P2, &，使P1FP2 P2FP3 P3FP1，证明:IFP1 | | FP2 | |FP a|—为定值，并求此定值.yA作业2. (09年全国I)已知椭圆y21的右焦点为F,右准线I，点A I，线段AF交C于点B。
若2推广：已知椭圆^2a 0), F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点R,F2, ,P n,若urn uuu uuurFA 3FB,求AF练习3. (08年福建理科) 如图，椭圆P n FR ,则一^i 1 | PF i |—，你能证明吗?ep0)的一个焦点是F (1, 0), O为坐标原点.(I)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；2 2 2(H)设过点F的直线I交椭圆于A、B两点•若直线I绕点F任意转动，值有OA |OB AB ,求a的取值范围•作业 3. ( 15年四市二模) 在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆AC BD，椭圆的一条准线方程为x 4(1)求椭圆方程;(2)求四边形ABCD面积的取值范围。
椭圆极坐标系方程
椭圆极坐标系方程椭圆极坐标系是一种常见的坐标系，它在图形绘制、物理建模等领域中有广泛的应用。
本文将介绍椭圆极坐标系的方程，以及如何通过方程描述椭圆在该坐标系下的形状。
1. 椭圆极坐标系简介椭圆极坐标系是一种二维坐标系，它使用极坐标来描述点的位置。
在椭圆极坐标系中，向量的长度表示点到坐标原点的距离，而向量的角度表示点与坐标原点的连线与正半轴的夹角。
2. 椭圆方程椭圆可以用椭圆极坐标系方程进行描述。
椭圆的极坐标方程可以写成以下形式：r = a * (1 - e * cos(theta))在上述方程中，r表示点到坐标原点的距离，theta表示点与坐标原点的连线与正半轴的夹角，a是椭圆的长半轴长度，e是椭圆的离心率。
离心率e是一个描述椭圆形状的参数，它的取值范围为0 < e < 1。
当离心率等于0时，椭圆退化为一个圆；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一个细长的椭圆。
3. 椭圆的性质椭圆具有一些特殊的性质，下面我们将介绍其中几个重要的性质。
3.1 等距离性质在椭圆上任意两点到两个焦点的距离之和是一个常数。
这个性质被称为椭圆的等距离性质。
这意味着椭圆上的点到两个焦点的距离之和是固定的，不会因为点的位置的变化而改变。
3.2 双焦点性质椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是椭圆的长轴的长度。
这个性质被称为椭圆的双焦点性质。
换句话说，椭圆上的每一个点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长半轴长度。
3.3 对称性质椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。
这意味着椭圆上的点关于坐标轴对称，即对于椭圆上的任意一点(x, y)，点(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也在椭圆上。
4. 总结椭圆极坐标系方程提供了一种描述椭圆形状的方法。
通过设置椭圆的长半轴长度和离心率，我们可以获得不同形状的椭圆。
椭圆具有等距离性质、双焦点性质和对称性质，这些性质使得椭圆在几何、物理、工程等领域中有广泛的应用。
希望本文对您理解椭圆极坐标系方程有所帮助。
椭圆的极坐标方程怎么写
椭圆的极坐标方程怎么写椭圆是一种经典的几何形状，它在数学和物理学中有广泛的应用。
在直角坐标系中，椭圆可以用代数方程表示。
然而，有时候使用极坐标系描述椭圆更加方便。
下面我们将介绍如何推导和写出椭圆在极坐标系下的方程。
在极坐标系中，一个点的位置不再由其在直角坐标系中的横纵坐标确定，而是由该点与原点的距离（称为极径）和与极轴（通常为x轴）的夹角（称为极角）来确定。
我们知道，直角坐标系下的椭圆可以使用以下方程表示：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
为了将其转换为极坐标系下的方程，我们需要将直角坐标系下的x和y转换为极坐标系下的r和θ。
根据极坐标的定义，我们可以得到以下关系：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)将上述关系带入直角坐标系下的椭圆方程，得到：(r * cos(θ))^2 / a^2 + (r * sin(θ))^2 / b^2 = 1变形并化简上述方程，得到椭圆在极坐标系下的方程：r^2 = (a * b) / sqrt((b * cos(θ))^2 + (a * sin(θ))^2)上述方程即为椭圆在极坐标系下的方程。
通过这个方程，我们可以方便地描述椭圆在极坐标系下的形状。
通过改变半长轴a和b的取值，我们可以调整椭圆在x轴和y轴上的大小。
同时，通过改变极角θ的取值，我们可以描述椭圆围绕极轴旋转的情况。
需要注意的是，上述方程只适用于具有对称轴的椭圆。
对于非对称的椭圆，我们需要进一步调整方程以适应特定的情况。
综上所述，椭圆的极坐标方程描述了椭圆在极坐标系下的形状。
通过半长轴a 和b的取值，我们可以控制椭圆在x轴和y轴上的大小，通过极角θ的取值，我们可以描述椭圆的旋转情况。
这使得使用极坐标方程来描述椭圆更加方便和灵活。
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椭圆的极坐标方程及其应用如图，倾斜角为θ且过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明:2211PF QF +为定值改为：抛物线22(0)y px p => 呢？例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。
练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =，求椭圆C 的离心率；例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值．练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=⋅MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： ||1||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.Q y O x P 2F AyOxBF推广：已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>,F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点12,,,nP P P⋅⋅⋅,若122311n n nPFP P FP P FP P FP-∠=∠=⋅⋅⋅=∠=∠,则11||ni inPF ep==∑，你能证明吗？练习3. （08年福建理科）如图，椭圆2222.1(0)x ya ba b+=>>的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有222OA OB AB+<,求a的取值范围.作业1. （08年宁夏文）过椭圆14522=+yx的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于BA,两点, O为坐标原点, 则△OAB的面积为 .作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆22:12xC y+=的右焦点为F,右准线l，点A l∈，线段AF交C于点B。
若3FA FB=,求AF。
作业 3. （15年四市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点1(1,0)F-和右焦点2(1,0)F，且AC BD⊥，椭圆的一条准线方程为4x=（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD面积的取值范围。
练习4.（08年安徽文）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=＞＞，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点F1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A，B两点.求证：2422cosAB=-θ；（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求AB DE+的最小值.作业5. 已知以F为焦点的抛物线24y x=上的两点A、B满足3AF FB=,求弦AB的中点到准线的距离.参考答案：例1.练习1.例2.练习 2..例3. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+bya x . 因焦点为)0,3(F ，故半焦距3=c .又右 准线l 的方程为ca x 2=，从而由已知36,1222==a ca ，因此3327,622==-==c a b a .故所求椭圆方程为1273622=+y x . （Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,3)i i AFP i θ∠==,不失一般性假设1203θπ≤<,且213124,33θθθθππ=+=+又设点i P 在l 上的射影为i Q ,因椭圆的离心率12c e a ==,据椭圆第二定义得 2||||(||cos )i i i i ia FP PQ e c FP e c θ==--1(9cos )2i i FP θ=-(1,2,3)i = ∴121(1cos )92i i FP θ=+(1,2,3)i =. ∴11112311121243(cos cos()cos()9233FP FP FP θθθππ⎡⎤++=+++++⎢⎥⎣⎦ 又11111111241313cos cos()cos()cos cos cos 03322θθθθθθθθππ++++=--+= ∴12311123FP FP FP ++=(定值) 方法二:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,3)i i AFP i θ∠==,不失一般性假设1203θπ≤<,且 213124,33θθθθππ=+=+,另设点(,)i i P x y ,则||cos 3,||sin i i i i ii x PF y PF θθ=+= 点i P 在椭圆上,∴22(||cos 3)(||sin )13627i i ii PF PF θθ++= ∴11(2cos )9i i FP θ=+(1,2,3)i =,以下同方法一 ∴12311123FP FP FP ++=(定值) 推广：引理1:(1)sincos()22cos cos()cos(2)cos()sin2n n n ββθθθβθβθββ+++++++⋅⋅⋅++=.证明:1cos sin[sin()sin()]2222βββθθθ=+-------------------------(1) 13cos()sin [sin()sin()]2222βββθβθθ+=+-+----------------------(2)……12121cos()sin[sin()sin()]2222n n n βθβθβθβ+-+=+-+----------(1n +) 将上述1n +个式子相加得1211[cos cos()cos()]sin[sin()sin()]2222n n βθθβθβθβθβ++++⋅⋅⋅++=+-- ∴(1)sin cos()22cos cos()cos()sin2n n n ββθθθβθββ+++++⋅⋅⋅++=证明:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,,)i i AFP i n θ∠==⋅⋅⋅,不失一般性假设120n θπ≤<,且2131124,,,n n n n nθθθθθθππ2(-1)π=+=+⋅⋅⋅=+又设点i P 在l 上的射影为i Q ,据椭圆第二定义得 2||||(||cos )i i i i i a FP PQ e c FP e cθ==--(1,2,,)i n =⋅⋅⋅ ∴21(1cos )i i ae FP bθ=+(1,2,,)i n =⋅⋅⋅. ∴11121122(1){[cos cos()cos()]}||ni ia n n e PFb n n ππθθθ=-=++++⋅⋅⋅++∑在引理1中,令12,n πθθβ==,则11122(1)cos cos()cos()n n nππθθθ-+++⋅⋅⋅++11(1)(1)sin cos()sin cos()220sinsin2n n n n nπββπθθβπ--++===∴211||ni i naPF b ==∑.练习3.解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，所以32OF MN =, 即1＝32, 3.3bb 解得＝ 2214,a b =+=因此，椭圆方程为221.43x y += (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y(ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),.OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x y x my a b=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-= 所以222212122222222,b m b a b y y y y a b m a b m-+==++ 因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++2222222222222222222222(1)()210.m b a b b m a b m a b mm a b b a b a a b m +-=-+++-+-+=<+ 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立， 即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0.a 2<a 2b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4,因为a >0,b >0,所以a <b 2,即a 2-a -1>0,解得a >152+或a <152-(舍去)，即a >152+, 综合（i ）(ii)，a 的取值范围为（152+，+∞）.解法二。
作业 1.作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。
解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||3BF =⋅=||2AF ∴=. 作业3.作业4.作业5.83。