2020高考数学函数和导数知识点归纳汇总(含答案解析)
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2020年高考数学（理）
函数和导数
知识点归纳汇总
目录
基本初等函数性质及应用 (3)
三角函数图象与性质三角恒等变换 (17)
函数的图象与性质、函数与方程 (43)
导数的简单应用与定积分 (60)
利用导数解决不等式问题 (81)
利用导数解决函数零点问题 (105)
基本初等函数性质及应用
题型一 求函数值 【题型要点解析】
已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化．
例1．若函数f (x )＝a |2x －4|
(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝1
9
，则f (x )的单调递
减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－1
3
(舍去)，即f (x )＝
4
231-⎪⎭
⎫
⎝⎛x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在
(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
【答案】 B
例2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0，
3x 2
＋ln 1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1) 1)，则x 的取值范围为________． 【解析】 若x >0，则－x <0，f (－x )＝3(－x )2＋ln (1＋(－x )2＋x )＝3x 2 ＋ln (1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )是偶函数．因为当x >0时，函数f (x )单调递增，所以不等式 f (x －1) 【答案】 (－∞，－2)∪(0，＋∞) 例3．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________. 【解析】 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或1 2.∵a >b >1，∴ log a b 2，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2.∴2b ＝b 2，∴b ＝2，a ＝4. 【答案】 4；2 题组训练一 求函数值 1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增．若实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 1 2 a )≤2f (1)，则a 的最小值是( ) A.3 2 B ．1 C.1 2 D ．2 【解析】 log 12a ＝－log 2a ，f (log 2 a )＋f (log 1 2 a )≤2f (1)，所以2f (log 2 a )≤2f (1)，所以|log 2 a |≤1，解得12≤a ≤2，所以a 的最小值是12 ，故选C. 【答案】 C 2．若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎪⎭ ⎫ ⎝⎛31,0x ，则函数f (x ) 在[0,3]上的最小值等于________． 【解析】令x －2＝0得x ＝2，且f (2)＝1－2a ，所以函数f (x )的图象恒过定点(2,1－2a )，因此x 0＝2，a ＝13，于是f (x )＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13x －2－23，f (x )在R 上单调递减， 故函数f (x )在[0,3]上的最小值为f (3)＝－1 3 . 【答案】 －1 3 题型二 比较函数值大小 【题型要点解析】 三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题 (1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较； (3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小． 例1．已知a ＝3 4 21-⎪⎭⎫ ⎝⎛，b ＝5 241-⎪⎭⎫ ⎝⎛，c ＝3 1251-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛，则( ) A ．a B ．b C ．c D ．b 【解析】 因为a ＝3 421-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝243，b ＝5 241-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝245，c ＝3 1251-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛＝523，显然有 b 3<523