(完整word)2006年江苏专转本高等数学真题

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2006-2010年江苏省专转本高数真题集参考答案

2006-2010年江苏省专转本高数真题集参考答案

2006年—2010年江苏省专转本真题参考答案1、 计算11lim31--→x x x解:原式32)1)(1()1)(1(lim)1)(1)(1()1)(1)(1(lim332033233230=++-+-=+++-+++-=→→x x x x x x x x x x x x x x x 2、 已知)21()21(lim ,2)2(lim==∞→→xxf x x f x x 则解:设ux 41=,则当x →0时,u →∞,代入已知极限得: 21)21(lim ,2)42(lim 4)42(4lim ===∞→∞→∞→u uf u uf u uf u u u 解得 即21)21(lim =∞→xxf x3、 求极限xx xx 3)2(lim -∞→ 解:原式6)6(2)21(lim --⋅-∞→=-=e x xx4、求极限xx x x sin lim 30-→解:6sin 6lim cos 13lim sin lim02030==-=-→→→x xx x x x x x x x 5、已知32lim22=-++→x bax x x ,则常数a,b 的值为( ) A 、a=-1,b=-2 B 、a=-2,b=0 C 、a=-1,b=0 D 、a=-2,b=-1解:2lim ,24,024)(lim 2222-++--==++=++→→x bax x a b b a b ax x x x34)2(lim 2)2()4(lim 224lim 22222=+=++=--+-=---+=→→→a a x x a ax x x a ax x x x x A=-1,b=-2 6、设2)(lim =-∞→xx cx x ,常数c= 。

解:2ln ,2)1(lim )1(lim )(lim ===-+=-+=--⋅-∞→∞→∞→c e cx c c x c c x x c c c ccx x x x x x7、计算xx x x )11(lim -+∞→解:21221)121(lim )121(lim )11(lim e x x x x x x x x x x =-+=-+=-++⋅-∞→∞→∞→8、设当x →0时,函数f(x)=x-sinx 与g(x)=a n是等价无穷小,则常数a,n 的值为( ) A.4,61.4,121.3,31.3,61========n a D n a C n a B n a 解:3,61,12,21,2lim cos 1lim sin lim 120100====-=-=--→-→→n a na n nax x nax x ax x x n x n x n x 9、设423)(22-+-=x x x x f ,则x=2是f(x)的( )A 、跳跃型间断点B 、可去间断点C 、无穷型间断点D 、振荡型间断点解:4121lim 423lim 2222=+-=-+-→→x x x x x x x 10、 若,)(lim 0A x f x =→且f(x)在x=x 0处有定义,则当A= f(x 0) 时f(x)在x 0处连续。

2006年江苏省高考试题(数学)含详解汇总

2006年江苏省高考试题(数学)含详解汇总

2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学(江苏卷)参考公式: 一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-=其中x 为这组数据的平均数一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,恰.有一项...是符合题目要求的。

(1)已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a =(A )0 (B )1 (C )-1 (D )±1 (2)圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是(A )x -y =0 (B )x +y =0 (C )x =0 (D )y =0(3)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x ,y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x -y |的值为(A )1 (B )2 (C )3 (D )4(4)为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点(A )向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) (B )向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)(C )向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)(D )向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)(5)10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是(A )0 (B )2 (C )4 (D )6(6)已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅=0,则动点P (x ,y )的轨迹方程为(A )x y 82= (B )x y 82-= (C )x y 42= (D )x y 42-= (7)若A 、B 、C 为三个集合,C B B A ⋂=⋃,则一定有(A )C A ⊆ (B )A C ⊆ (C )C A ≠ (D )φ=A (8)设a 、b 、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立....的是 (A )||||||c b c a b a -+-≤- (B )aa a a 1122+≥+ (C )21||≥-+-ba b a (D )a a a a -+≤+-+213 (9)两相同的正四棱锥组成如图1为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 某一个平面平行,且各顶点...的几何体体积的可能值有(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )无穷多个(10)右图中有一个信号源和五个接收器。

2001—2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2001—2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2011--2010江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试题及答案成败在于努力从2001年到2010年的转本试卷及答案杨威2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、下列各极限正确的是 ( )A 、e xx x =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 ( )A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=,且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ,则在)0,(-∞内必有 ( )A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 ( )A 、0B 、2C 、-1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 ( ) A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ,则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数,则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=x x y ,求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点,并说明其类型.14、已知x y x y ln 2+=,求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ,求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y2sin ,D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点,并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ,若b ax x f +=2'3)(,且)(x f 在1=x 处取得极值,试确定a 、b 的值,并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =,其中f 具有二阶连续偏导数,求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题(本大题共4小题,第21小题10分,第22小题8分,第23、24小题各6分,共30分) 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,求(1)切线方程; (2)由2-=x y ,切线及x 轴围成的平面图形面积;(3)该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

2006-2010年专升本高等数学真题

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2006年真题一、单项选择题(每小题2分,共计60分)在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者,该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ,则)(x f 的定义域为 ( ) A. ]1,21[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是 ( ) A .奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数3. 当0→x 时,x x sin 2-是x 的 ( ) A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 4.极限=+∞→nnn n sin 32lim( )A. ∞B. 2C. 3D. 55.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x x e x f ax ,在0=x 处连续,则 常数=a ( )A. 0B. 1C. 2D. 36. 设函数)(x f 在点1=x 处可导 ,则=--+→xx f x f x )1()21(lim0 ( )A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f '7. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行,则点M 的坐标( )A. (2,5)B. (-2,5)C. (1,2)D.(-1,2)8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin t y du u x t ,则=dx dy ( )A. 2tB. t 2C.-2t D. t 2-9.设2(ln )2(>=-n x x yn ,为正整数),则=)(n y ( ) A.x n x ln )(+ B. x 1 C.1)!2()1(---n n xn D. 0 10.曲线233222++--=x x x x y ( )A. 有一条水平渐近线,一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线,两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线,一条垂直渐近线,D. 有两条水平渐近线,两条垂直渐近线11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 ( ) A.]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D . ]1,0[,arcsin x x y =12. 函数xe y -=在区间),(+∞-∞内 ( )A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线 13.若⎰+=C x F dx x f )()(,则⎰=--dx e f e x x )( ( )A.C e F ex x++--)( B. C e F x +-)( C. C e F ex x+---)( D. C e F x +--)(14. 设)(x f 为可导函数,且xe xf =-')12( ,则 =)(x f ( )A. C e x +-1221 B. C ex ++)1(212 C. C e x ++1221 D. C e x +-)1(212 15. 导数=⎰ba tdt dxd arcsin ( ) A.x arcsin B. 0 C. a b arcsin arcsin - D.211x-16.下列广义积分收敛的是 ( )A.⎰+∞1dx e x B. ⎰+∞11dx x C. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成,则区域D 的面积为 ( )A.⎰-b adx x g x f )]()([ B. ⎰-badx x g x f )]()([C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-badx x g x f |)()(|18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行,则常数=n ( )A. 2B. 3C. 4D. 5 19.设yxy x y x f arcsin)1(),(-+=,则偏导数)1,(x f x '为 ( ) A.2 B.1 C.-1 D.-220. 设方程02=-xyz ez确定了函数),(y x f z = ,则xz∂∂ = ( ) A. )12(-z x z B. )12(+z x z C. )12(-z x y D. )12(+z x y21.设函数xy y x z +=2,则===11y x dz ( )A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -222.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内 ( )A.有极大值,无极小值B. 无极大值,有极小值C.有极大值,有极小值D. 无极大值,无极小值 23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域 ,则=⎰⎰Ddxdy ( )A. πB. 2πC.4πD. 16π 24.交换二次积分⎰⎰>axa dy y x f dx 00(),(,常数)的积分次序后可化为 ( )A. ⎰⎰ay dx y x f dy 0),( B. ⎰⎰a aydx y x f dy 0),(C.⎰⎰aa dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D,则积分区域D 为( )A. x y x 222≤+B. 222≤+y xC. y y x 222≤+ D. 220y y x -≤≤26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(( )A. 2B.1C. -1D. -227.下列级数中,绝对收敛的是 ( )A .∑∞=1sinn nπB .∑∞=-1sin)1(n n nπC .∑∞=-12sin)1(n nn πD .∑∞=1cos n n π28. 设幂级数n n nna x a(0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ),在点2-=x 处收敛,则∑∞=-0)1(n n na( )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为 ( ) A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 30.微分方程xxe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为 ( )A. x eb ax x y -+=*)( B. xeb ax x y -+=*)(2C. xe b ax y -+=*)( D. xaxe y -=*二、填空题(每小题2分,共30分)31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.32.=--+→xx x x 231lim22=_____________. 33.设函数x y 2arctan =,则=dy __________.34.设函数bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2,则常数b a 和分别为___________.35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.36.设函数)(),(x g x f 均可微,且同为某函数的原函数,有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.37.⎰-=+ππdx x x)sin (32_________.38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x ,则 ⎰=-20)1(dx x f __________.39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L :绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 41.设函数y x xy z sin 2+= ,则=∂∂∂yx z 2_________. 42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ,则________)(2⎰⎰=-Ddxdy xy .43. 函数2)(x e x f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x 的和函数为 _________. 45.通解为xx e C e C y 321+=-(21C C 、为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.三、计算题(每小题5分,共40分) 46.计算 xx ex x x 2sin 1lim3202-→--. 47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy. 48.求不定积分⎰-dx x x 224.49.计算定积分⎰--+102)2()1ln(dx x x . 50.设),()2(xy x g y x f z ++= ,其中),(),(v u g t f 皆可微,求yzx z ∂∂∂∂,. 51.计算二重积分⎰⎰=Dydxdy xI 2,其中D 由12,===x x y x y 及所围成.52.求幂级数n n nx n∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间(不考虑区间端点的情况). 53.求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解. 四、应用题(每小题7分,共计14分)54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品,月产量分别为y x ,千件;甲厂月生产成本是5221+-=x x C (千元),乙厂月生产成本是3222++=y y C (千元).若要求该产品每月总产量为8千件,并使总成本最小,求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.五、证明题(6分)56.设)(x f 在],[a a -(0>a ,为常数)上连续, 证明:⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.并计算⎰--+441cos ππdx e xx .2007年真题一. 单项选择题(每题2分,共计50分)在每小题的备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者,该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 82.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 ( ) A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[3. 当0→x 时,与x 不等价的无穷小量是 ( ) A.x 2 B.x sin C.1-xe D.)1ln(x + 4.当0=x 是函数xx f 1arctan)(= 的 ( ) A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 5. 设)(x f 在1=x 处可导,且1)1(='f ,则hh f h f h )1()21(lim+--→的值为( )A.-1B. -2C. -3D.-46.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ,则在区间),(b a 内,)(x f 图形 ( )A .单调递减且为凸的B .单调递增且为凸的C .单调递减且为凹的D .单调递增且为凹的 7.曲线31x y +=的拐点是 ( ) A. )1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1(8.曲线2232)(x x x f -=的水平渐近线是 ( ) A. 32=y B. 32-=y C. 31=y D. 31-=y9. =⎰→42tan limx tdt x x ( )A. 0B.21C.2D. 1 10.若函数)(x f 是)(x g 的原函数,则下列等式正确的是 ( )A.⎰+=C x g dx x f )()( B. ⎰+=C x f dx x g )()( C.⎰+='C x f dx x g )()( D. ⎰+='C x g dx x f )()( 11.⎰=-dx x )31cos( ( )A.C x +--)31sin(31B. C x +-)31sin(31C. C x +--)31sin(D. C x +-)31sin(312. 设⎰--=xdt t t y 0)3)(1(,则=')0(y ( )A.-3B.-1C.1D.313. 下列广义积分收敛的是 ( ) A.⎰+∞1x dx B. ⎰+∞1x dx C.⎰+∞1xx dxD.⎰10xx dx14. 对不定积分⎰dx x x 22cos sin 1,下列计算结果错误是 ( )A. C x x +-cot tanB. C xx +-tan 1tanC. C x x +-tan cotD. C x +-2cot15. 函数2x y =在区间]3,1[的平均值为 ( )A. 326B. 313 C. 8 D. 416. 过Oz 轴及点)4,2,3(-的平面方程为 ( ) A. 023=+y x B. 02=+z y C. 032=+y x D. 02=+z x17. 双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为 ( ) A.143222=-+z y x B. 143222=+-z y x C.143)(22=-+z y x D. 14)(322=+-z y x 18.=+-→→xy xy y x 93lim 00 ( ) A. 61 B. 61- C.0 D. 极限不存在 19.若yx z =,则=∂∂)1,(e y z ( )A.e1B. 1C. eD. 0 20. 方程 132=-xz y z 所确定的隐函数为),(y x f z =,则=∂∂xz ( )A. xz y z 322-B. y xz z 232-C. xz y z 32-D. yxz z 23-21. 设C 为抛物线2x y =上从)0,0(到)1,1( 的一段弧,则⎰=+Cdy x xydx 22( ) A.-1 B.0 C.1 D.222.下列正项级数收敛的是 ( )A. ∑∞=+2131n n B. ∑∞=2ln 1n n nC. ∑∞=22)(ln 1n n nD. ∑∞=21n nnn 23.幂级数∑∞=++01)1(31n nn x 的收敛区间为 ( ) A.)1,1(- B.)3,3(- C. )4,2(- D.)2,4(- 24. 微分x ey y y xcos 23-=+'+''特解形式应设为=*y ( )A. x Ce xcos B. )sin cos (21x C x C ex+-C. )sin cos (21x C x C xe x +-D. )sin cos (212x C x C ex x+-25.设函数)(x f y =是微分方程xe y y 2='+''的解,且0)(0='xf ,则)(x f 在0x 处( )A.取极小值B. 取极大值C.不取极值D. 取最大值 二、填空题(每题2分,共30分)26.设52)(+=x x f ,则=-]1)([x f f _________.27.=∞→!2lim n nn ____________. 28.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=02203)(4x ax x e x f x ,,在0=x 处连续,则=a ____________. 29.已知曲线22-+=x x y 上点M 处的切线平行于直线15-=x y ,则点M 的坐标为 ________30.设12)(-=x e x f ,则 =)0()2007(f_________ 31.设⎩⎨⎧+-=+=12132t t y t x ,则==1t dx dy__________ 32. 若函数bx ax x f +=2)(在1=x 处取得极值2,则=a ______,=b _____33. ='⎰dx x f x f )()( _________ 34.⎰=-121dx x _________ 35.向量k j i a -+=43的模=||a________36. 已知平面1π:0752=+-+z y x 与平面2π:01334=+++mz y x 垂直,则=m ______37.设22),(y x xy y x f +=+,则=),(y x f ________38.已知=I ⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy ,交换积分次序后,则=I _______39.若级数∑∞=11n n u 收敛,则级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111n n n u u 的和为 _______ 40.微分方程02=+'-''y y y 的通解为________三、判断题(每小题2分,共10分)你认为正确的在题后括号内划“√”,反之划“×”. 41.若数列{}n x 单调,则{}n x 必收敛. ( ) 42.若函数)(x f 在区间[]b a ,上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f ≠,则一定不存在),(b a ∈ξ,使0)(=ξ'f . ( )43.1sin sin lim cos 1cos 1lim sin sin lim -=-=+-======+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x 由洛比达法则. ( )44.2ln 23102ln 02≤-≤⎰-dx e x . ( ) 45.函数),(y x f 在点),(y x P 处可微是),(y x f 在),(y x P 处连续的充分条件.( )四、计算题(每小题5分,共40分) 46.求xx xsin 0lim +→.47.求函数3211x x x y +-⋅=的导数dx dy. 48.求不定积分⎰++dx x e x)]1ln([2.49.计算定积分dx x ⎰π+02cos 22 .50.设)3,sin (2y x y e f z x =,且),(v u f 为可微函数,求dz . 51.计算⎰⎰Ddxdy x 2,其中D 为圆环区域:4122≤+≤y x.52.将242xx-展开为x 的幂级数,并写出收敛区间. 53.求微分方程0)2(22=--+dx x xy y dy x 的通解.五、应用题(每题7分,共计14分)54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池,设计该池容积为V 立方米,底面造价每平方米a 元,侧面造价每平方米b 元,问长、宽、高各为多少米时,才能使污水处理池的造价最低?55. 设平面图形D 由曲线xe y =,直线e y =及y 轴所围成.求: (1)平面图形D 的面积;(2) 平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积. 六、证明题(6分)56.若)(x f '在],[b a 上连续,则存在两个常数m 与M ,对于满足b x x a ≤<≤21的任意两点21,x x ,证明恒有)()()()(121212x x M x f x f x x m -≤-≤-.2008年真题一. 单项选择题(每题2分,共计60分)在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者,该题不得分. 1. 函数2)1ln()(++-=x x x f 的定义域为 ( ) A. ]1,2[-- B. ]1,2[- C. )1,2[- D. )1,2(-2. =⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→3sin cos 21lim3x xx ( ) A.1 B. 0 C. 2 D.33. 点0=x 是函数131311+-=xxy 的 ( )A.连续点B. 跳跃间断点C.可去间断点D. 第二类间断点 4.下列极限存在的为 ( )A.xx e +∞→lim B. x x x 2sin lim 0→ C.xx 1cos lim 0+→ D.32lim 2-++∞→x x x5. 当0→x 时,)1ln(2x +是比x cos 1-的( )A .低阶无穷小B .高阶无穷小C .等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小6.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<+++=0,arctan 01,11,11sin )1(1)(x x x x x x x f ,则)(x f ( )A .在1-=x 处连续,在0=x 处不连续B .在0=x 处连续,在1-=x 处不连续C .在1-=x ,0,处均连续D .在1-=x ,0,处均不连续 7.过曲线xe x y +=arctan 上的点(0,1)处的法线方程为 ( ) A. 012=+-y x B. 022=+-y x C. 012=--y x D. 022=-+y x8.设函数)(x f 在0=x 处可导,)(3)0()(x x f x f α+-=且0)(lim 0=α→xx x ,则=')0(f( )A. -1B.1C. -3D. 39.若函数)1()(ln )(>=x x x f x,则=')(x f ( )A. 1)(ln -x x B. )ln(ln )(ln )(ln 1x x x x x +-C. )ln(ln )(ln x x xD. xx x )(ln10.设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 33sin cos 确定,则=π=422x dx y d ( )A.-2B.-1C.234-D. 234 11.下列函数中,在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的是 ( )A.xe y = B.||ln x y = C.21x y -= D.21xy =12. 曲线253-+=x x y 的拐点是 ( )A.0=xB.)2,0(-C.无拐点D. 2,0-==y x 13. 曲线|1|1-=x y ( )A. 只有水平渐进线B. 既有水平渐进线又有垂直渐进线C. 只有垂直渐进线D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线 14.如果)(x f 的一个原函数是x x ln ,那么=''⎰dx x f x )(2 ( )A. C x +lnB. C x +2C. C x x +ln 3D. x C - 15.=+-⎰342x x dx( ) A .C x x +--13ln 21 B.C x x +--31ln 21 C. C x x +---)1ln()3ln( D. C x x +---)3ln()1ln( 16.设⎰+=1041x dxI ,则I 的取值范围为 ( )A .10≤≤I B.121≤≤I C. 40π≤≤I D.121<<I17. 下列广义积分收敛的是 ( ) A.dx x ⎰+∞13B. ⎰+∞1ln dx xxC.⎰+∞1dx xD. dx e x ⎰+∞-0 18.=-⎰-33|1|dx x ( )A.⎰-30|1|2dx x B.⎰⎰-+--3113)1()1(dx x dx xC.⎰⎰----3113)1()1(dx x dx x D. ⎰⎰-+--3113)1()1(dx x dx x19.若)(x f 可导函数,0)(>x f ,且满足⎰+-=xdt ttt f x f 022cos 1sin )(22ln )(,则=)(x f ( )A. )cos 1ln(x +B. C x ++-)cos 1ln(C. )cos 1ln(x +-D. C x ++)cos 1ln(20. 若函数)(x f 满足⎰--+=11)(211)(dx x f x x f ,则=)(x f ( )A. 31-x B. 21-x C. 21+x D. 31+x21. 若⎰=edx x f x I 023)( 则=I ( )Adx x f )(0⎰2e x B dx xf )(0⎰e xC dx x f )(210⎰2e xD dx x f )(210⎰ex22.直线19452zy x =+=+与平面5734=+-z y x 的位置关系为A. 直线与平面斜交B. 直线与平面垂直C. 直线在平面内D. 直线与平面平行 23.=-+++→→11lim222200y x y x y x ( )A. 2B.3C. 1D.不存在 24.曲面22y x z +=在点(1,2,5)处切平面方程( ) A .542=-+z y x B .524=-+z y x C .542=-+z y x D .542=+-z y x25.设函数33xy y x z -=,则=∂∂∂xy z2 ( ) A. xy 6 B. 2233y x - C. xy 6- D. 2233x y - 26.如果区域D 被分成两个子区域1D 和2D 且5),(1=⎰⎰dxdy y x f D ,1),(2=⎰⎰dxdy y x f D ,则=⎰⎰dxdy y x f D),( ( )A. 5B. 4C. 6D.1 27.如果L 是摆线⎩⎨⎧-=-=ty tt x cos 1sin 从点)0,2(πA 到点)0,0(B 的一段弧,则=-++⎰dy y y x dx xe y x xL)sin 31()3(32 ( ) A.1)21(2-π-πe B. ]1)21([22-π-πeC.]1)21([32-π-πe D. ]1)21([42-π-πe28.以通解为xCe y =(C 为任意常数)的微分方程为 ( )A. 0=+'y yB. 0=-'y yC. 1='y yD. 01=+'-y y 29. 微分方程xxe y y -='+''的特解形式应设为=*y ( )A .xeb ax x -+)( B.b ax + C.xe b ax -+)( D.xeb ax x -+)(230.下列四个级数中,发散的级数是 ( )A. ∑∞=1!1n n B. ∑∞=-1100032n n n C. ∑∞=12n n n D. ∑∞=121n n解:级数∑∞=-1100032n nn 的一般项n n 100032-的极限为05001≠,是发散的,应选B. 二、填空题(每题2分,共30分)31.A x f x x =→)(lim 0的____________条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.32. 函数x x y sin -=在区间)2,0(π单调 ,其曲线在区间⎪⎭⎫⎝⎛π2,0内的凹凸性为 的.33.设方程a a z y x (23222=++为常数)所确定的隐函数),(y x f z = ,则=∂∂xz_____. 34.=+⎰xdx 1 .35.⎰ππ⋅-=+33________cos 1dx x x. 36. 在空间直角坐标系中,以)042()131()140(,,,,,,,,----C B A 为顶点的ABC ∆的面积为__ .37. 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+214922x y x 在空间直角坐标下的图形为__________. 38.函数xy y x y x f 3),(33-+=的驻点为 . 39.若x y xy ey x z xtan2312++=-,则=∂∂)0,1(xz .40.⎰⎰ππ=440___________cos x dy yydx41.直角坐标系下的二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),((其中D 为环域9122≤+≤y x )化为极坐标形式为___________________________.42.以x xxe C e C y 3231--+=为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 .43.等比级数)0(0≠∑∞=a aqn n,当_______时级数收敛,当_______时级数发散.44.函数21)(2--=x x x f 展开为x 的幂级数为__________________45.∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-12n nn n 的敛散性为________的级数.三、计算题(每小题5分,共40分)46.求2522232lim +∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x .47. 求⎰+→23241limx x dtt t x .48.已知)21sin(ln x y -=,求dxdy. 49. 计算不定积分⎰xdx x arctan . 50.求函数)cos(y x e z x+=的全微分. 51.计算⎰⎰σDd yx2,其中D 是由1,,2===xy x y y 所围成的闭区域. 52.求微分方程xex y y sin cos -=+'满足初始条件1)0(-=y 的特解.53.求级数∑∞=+013n nn x n 的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点). 四、应用题(每题7分,共计14分)54. 过曲线2x y =上一点)1,1(M 作切线L ,D 是由曲线2x y =,切线L 及x 轴所围成的平面图形,求(1)平面图形D 的面积;(2)该平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积.55.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积A 最大,求腰长x 和它对底边的倾斜角α.五、证明题(6分)56. 证明方程⎰π--=02cos 1ln dx x e x x 在区间),(3e e 内仅有一个实根.2009年真题一、选择题(每小题2分,共计60分)在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。

2006江苏数学高考真题

2006江苏数学高考真题

2006江苏数学高考真题2006年江苏省高考数学试题是考生备考的重要资料之一,通过分析这套试题,可以帮助考生更好地了解高考数学考试的题型和命题风格,帮助考生提高解题能力,为高考备考提供有益帮助。

一、填空题1. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1,那么f(1) + f(2) + f(3)的值为多少?解析:将f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1代入计算得f(1) = 0,f(2) = 1,f(3) = 10,所以f(1) + f(2) + f(3) = 0 + 1 + 10 = 11。

2. 某银行推出月存息的储蓄存款,每月存款100元,存12年,月利率为0.1%,则本息为多少?解析:本题可以用终值和现值的方法来求解,根据利息的计算公式:本息 = 本金×(1 + 利率)^存款月数= 100×(1 + 0.001)^12×12 ≈ 1615.04元。

二、选择题1. 函数y = x^3 + 3x^2 - 15x + 1的图象关于直线y = 2x + 3对称,则x的取值范围是( )A. x ≥ 3;B. -3 ≤ x ≤ 0;C. -5 ≤ x ≤ 3;D. -3 ≤ x < 0.解析:当函数的图象关于直线y = ax + b对称时,函数也对称于直线y = ax + b,即对称轴为x = -a/2,所以应该求解2x + 3 = -x/2,解得x = -6,故x的取值范围为-5 ≤ x ≤ 3。

2. 射线OB在第一象限出发,穿过一下几条线段后,它的位置与如图(如图略)所示相同的是( )A. EF;B. GH;C. IJ;D. KL.解析:通过对射线OB穿过每条线段的位置进行分析,可以得出答案为EF。

三、计算题1. 解方程组2cosx - 5cos^3x = 1,3sinx + 4sin^3x = 1.解析:将两个方程相加可得cosx + sinx = 1,从而x = π/4或x = 5π/4。

01—10年江苏专转本数学真题(附答案)

01—10年江苏专转本数学真题(附答案)

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、下列各极限正确的是 ( )A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 ( )A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=,且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ,则在)0,(-∞内必有 ( )A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 ( )A 、0B 、2C 、-1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 ( ) A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ,则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数,则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ,求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.等价无穷小,洛必达13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点,并说明其类型.x 分别为0,1,-1时化简求极限14、已知x y x y ln 2+=,求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ,求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y2sin ,D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点,并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ,若b ax x f +=2'3)(,且)(x f 在1=x 处取得极值,试确定a 、b 的值,并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =,其中f 具有二阶连续偏导数,求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题(本大题共4小题,第21小题10分,第22小题8分,第23、24小题各6分,共30分) 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,求(1)切线方程; (2)由2-=x y ,切线及x 轴围成的平面图形面积;(3)该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

江苏省专转本高等数学试题题型分类整理

江苏省专转本高等数学试题题型分类整理

江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分) 四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分)知识分类与历年真题一、函数、极限和连续(一)函数(0401)[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是( ) A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数 (0801)设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义,下列函数中必为奇函数的是( )A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= (二)极限(0402)当0→x 时,x x sin 2-是关于x 的( )A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小(0407)设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(,则=∞→)(lim x f x .(0601)若012lim 2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=,则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭( ) A.21 B.2C.3D.31 (0607)已知0→x 时,(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小,则=a .(0613)计算x →. (0701)若0(2)lim2x f x x→=,则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A.41B.21 C.2D.4(0702)已知当0→x 时,)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小,而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小,则正整数=n ( ) A.1B.2C.3D.4(0813)求极限:32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭. (0901)已知22lim32x x ax bx →++=-,则常数b a ,的取值分别为( ) A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a(0907)已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则常数=C . (1001)设当0x →时,()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小,则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == (1007) 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭. (1101)当0→x 时,函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小(1107)已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭,则=k _________. (1201)极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A.0 B.2 C.3D.5(1301)当0x →时,函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小(1310)设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭,则常数a = . (三)连续(0413)求函数xxx f sin )(=的间断点,并判断其类型. (0501)0=x 是xx x f 1sin )(=的( ) A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点(0513)设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续,并满足0)0(=f ,(0)6f '=,求a . (0602)函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处( ) A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续(0608)若A x f x x =→)(lim 0,且)(x f 在0x x =处有定义,则当=A 时,)(x f 在0x x =处连续.(0707)设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩,在点0=x 处连续,则常数=k .(0807)设函数21()(1)x f x x x -=-,则其第一类间断点为 .(0808)设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续,则a = .(0902)已知函数423)(22-+-=x x x x f ,则2=x 为)(x f 的( )A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点(1123)设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩,问常数为何值时:(1)0=x 是函数)(x f 的连续点? (2)0=x 是函数)(x f 的可去间断点? (3)0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点? (1202)设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-,则函数)(x f 的第一类间断点的个数为( ) A.0 B.1C.2D.3(1207)要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续,则需补充定义(0)f =_________.(1303)设sin 20()0xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨>,这点0x =是函数()f x 的( )A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点(1307)设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续,则常数a = . 二、一元函数微分学(一) 导数与微分(0403)直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切,则切点的坐标是( ) A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1(0409)设()(1)(2)()f x x x x x n =+++,N n ∈,则=)0('f .(0415)设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定,求22d d x yx=的值.(0502)若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点,则常数=a ( ) A.1-B.21C.21- D.1 (0514)设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定,求d d y x 、22d d yx .(0614)若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定,求d d y x 、22d d yx .(0708)若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线,则常数=m .(0714)设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定,求d d x yx=、22d d x y x =.(0802)设函数)(x f 可导,则下列式子中正确的是( ) A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ (0814)设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩(2t n π≠,n Z ∈)所决定,求d d y x 、22d d y x .(0903)设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导,则常数α的取值范围为( ) A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α(0914)设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定,d d y x 、22d d yx . (0923)已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩,证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导.(1008).若(0)1f '=,则0()()limx f x f x x→--= .(1014)设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定,求d d y x 、22d d yx .(1022)设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数,且(0)0ϕ=,(0)1ϕ'=,证明:函数()f x 在0x =处连续且可导.(1102)设函数)(x f 在点0x 处可导,且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ,则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4(1110)设函数x y arctan=,则1d x y==_____________.(1114)设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定,求d d y x .(1208)设函数()22221x y x x x e =⋅+++,则=)0()7(y________.(1209)设xy x =(0x >),则函数y 的微分=dy ___________.(1214)设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定,求d d y x 、22d d y x . (1304)设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中f 具有二阶导数,则22d d y x =( )A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1306)已知函数()f x 在点1x =处连续,且21()1lim 12x f x x →=-,则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为( ) A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-(1309)设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定,则221d d t yx == .(二)中值定理及导数的应用(0423)甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧,甲城位于岸边,乙城离河岸40公里,乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里,两城计划在河岸上合建一个污水处理厂,已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元.问污水处理厂建在何处,才能使铺设排污管道的费用最省?(0507)02limsin x x x e e xx x-→--=- . (0508)函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ . (0521)证明方程:0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.(0603)下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是( ) A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= (0621)证明:当2x ≤时,332x x -≤.(0703)设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则方程()0f x '=的实根个数为( ) A.1B.2C.3D.4(0713)求极限01lim tan x x e x x x→--.(0722)设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质:(1)在点1-=x 的左侧临近单调减少; (2)在点1-=x 的右侧临近单调增加; (3)其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变. 试确定a ,b ,c 的值.(0724)求证:当0>x 时,22(1)ln (1)x x x -⋅≥-.(0809)已知曲线543223++-=x x x y ,则其拐点为 . (0821)求曲线1y x=(0x >)的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值. (0823)设函数)(x f 在闭区间[]0,2a (0a >)上连续,且)()2()0(a f a f f ≠=,证明:在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ,使得()()f f a ξξ=+. (0824)对任意实数x ,证明不等式:(1)1xx e -⋅≤. (0904)曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为( )A.1B.2C.3D.4(0913)求极限30lim sin x x x x→-.(0921)已知函数13)(3+-=x x x f ,试求: (1)函数)(x f 的单调区间与极值; (2)曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点;(3)函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值.(0924)证明:当12x <<时,24ln 23x x x x >+-.(1002)曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条 (1006)设3()3f x x x =-,则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的(1013)求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭.(1021)证明:当1x >时,121122x e x ->+. (1103)若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点,则( ) A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a(1113)求极限()()22limln 1xx x eex -→-+.(1121)证明:方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根. (1122)证明:当0>x 时,x x201120102011≥+.(1203)设232152)(x x x f -=,则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值(1213)求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+. (1223)证明:当10<<x 时,361arcsin x x x +>. (1302)曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条(1313)求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦.(1323)证明:当1x >时,2(1ln )21x x +<-.三、一元函数积分学(一)不定积分(0410)求不定积分3x = .(0416)设)(x f 的一个原函数为xe x,计算(2)d x f x x '⎰.(0503)若()d ()f x x F x C =+⎰,则sin (cos )d x f x x =⎰( )A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos(0515)计算3tan sec d x x x ⎰.(0522)设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ,在拐点处的切线斜率为3-,又知该函数的二阶导数6y x a ''=+,求)(x f .(0604)已知2()d x f x x e C =+⎰,则()d f x x '-=⎰( )A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221(0615)计算x . (0622)已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2,求此曲线方程. (0704)设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ,则(2)d f x x '=⎰( )A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin(0715)求不定积分2d x x e x -⎰.(0810)设函数)(x f 的导数为x cos ,且21)0(=f ,则不定积分()d f x x =⎰ . (0815)求不定积分3d 1x x x +⎰. (0905)设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数,则(21)d f x x '+=⎰( )A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123(0915)求不定积分x ⎰.(1015)求不定积分arctan d x x x ⎰.(1115)设)(x f 的一个原函数为x x sin 2,求不定积分()d f x x x⎰. (1215)求不定积分sin 2d x x x ⎰. (1315)求不定积分sin 2d x x x ⎰.(二)定积分(0404)2228R y x =+设所围的面积为S ,则0x ⎰的值为( )A.SB.4S C.2S D.S 2(0421)证明:0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰,并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰.(0509)1211d 1x x x π-+=+⎰.(0516)计算10arctan d x x ⎰.(0609)设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =,10()d 3f x x =⎰,则1()d x f x x '=⎰ .(0616)计算22cos d x x x π⎰.(0709)定积分)231cos d x x x -+⎰的值为 .(0716)计算定积分x . (0811)定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为 .(0816)求定积分10d x ⎰.(0916)求定积分:210⎰.(1009)定积分31211d 1x x x -++⎰的值为 . (1016)计算定积分40x ⎰. (1111)定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________.(1116)计算定积分3⎰ . (1216)计算定积分21⎰.(1316)计算定积分20⎰(1324)设函数()f x 在[,]a b 上连续,证明:[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰.(三)变限积分与广义积分(0417)计算广义积分2+∞⎰(0422)设函数)(x f 可导,且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰,求)(x f .(0705)设221()sin d x f x t t =⎰,则()f x '=( )A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x(0803)设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰,则()f x '等于( )A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-(0908)设函数20()d x t x te t ϕ=⎰,则()x ϕ'= .(1003)设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰,则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - (1108)设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰ ,则=Φ'')1(____________.(1211)设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰,则常数=a ______. (1222)已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰,试求:(1)函数()f x 的表达式; (2)函数)(x f 的单调区间与极值; (3)曲线()y f x =的凹凸区间与拐点.(1224)设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰,其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续,且3cos 1)(lim 0=-→xx g x .证明:函数)(x f 在0=x 处可导,且1(0)2f '=. (1322)已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数,求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点. (四)定积分的几何应用(0523)已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成,求:(1)曲边三角形的面积;(2)曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积.(0623)已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成.(1)求此平面图形的面积;(2)求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.(0721)设平面图形由曲线21x y -=(0≥x )及两坐标轴围成.(1)求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积;(2)求常数a 的值,使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分.(0822)设平面图形由曲线2x y =,22x y =与直线1=x 所围成.(1)求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积;(2)求常数a ,使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.(0922)设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =,0y =所围成的平面封闭区域,2D 是由抛物线22x y =和直线x a =,2x =及0=y 所围成的平面封闭区域,其中20<<a .试求:(1)1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ,以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ; (2)求常数a 的值,使得1D 的面积与2D 的面积相等.(1023)设由抛物线2y x =(0x ≥),直线2y a =(01a <<)与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ,由抛物线2y x =(0x ≥),直线2y a =(01a <<)与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ,另12()()()V a V a V a =+,试求常数a 的值,使()V a 取得最小值.(1024)设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=,且(0)2f =,记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =,x t =(0t >)及y 轴所围平面图形的面积为()A t ,试求lim ()t A t →+∞.(1124)设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+(其中a 为正常数),且1)1(=f ,由曲线()y f x =(1x ≤)与直线1x =,0y =所围成的平面图形记为D .已知D 的面积为32. (1)求函数)(x f 的表达式;(2)求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ; (3)求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V .(1221)在抛物线2y x =(0x >)上求一点P ,使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32,并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.(1321)设平面图形D 是由曲线x =y =1y =所围成,试求:(1)平面图形D 的面积;(2)平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.四、向量代数与空间解析几何(一)向量代数(0510)设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ;a 、b 互相垂直,则=k . (0610)设1=a ,⊥a b ,则()⋅+=a a b . (0710)已知a 、b 均为单位向量,且12⋅=a b ,则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为 . (0804)设向量(1,2,3)=a ,(3,2,4)=b ,则⨯a b 等于( )A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--(0909)已知向量{}1,0,1=-a ,{}1,2,1=-b ,则+a b 与a 的夹角为 . (1010)设{}1,2,3=a ,{}2,5,k=b ,若a 与b 垂直,则常数k = .(1109)若1=a ,4=b ,2⋅=a b ,则⨯=a b ____________.(1210)设向量a 、b 互相垂直,且3=a ,2=b ,则2+=a b ________.(1308)已知空间三点(1,1,1)A ,(2,3,4)B ,(3,4,5)C ,则ABC ∆的面积为 .(二)平面与直线(0518)求过点(3,1,2)A -且通过直线L :43521x y z-+==的平面方程. (0619)求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.(0719)求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程.(0817)设平面∏经过点(2,0,0)A ,(0,3,0)B ,(0,0,5)C ,求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程. (0917)求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程. (1017)求通过点(1,1,1),且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直,又与平面250x z --=平行的直线的方程.(1117)求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程. (1217)已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴,求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行,又与x 轴垂直的直线方程.(1318)已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上,又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行,求平面∏的方程.五、多元函数微积分(一)多元函数微分学(0418)设(,)z f x y xy =-,且具有二阶连续的偏导数,求x z ∂∂、yx z∂∂∂2.(0505)设yxy x u arctan),(=,(,)v x y =,则下列等式成立的是( )A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ (0517)已知函数2(sin ,)z f x y =,其中),(v u f 有二阶连续偏导数,求x z ∂∂、yx z∂∂∂2.(0611)设x e u xysin =,=∂∂xu. (0620)设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在,求y z ∂∂、xy z∂∂∂2.(0711)设yxz =,则全微分d z = . (0717)设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数,求yx z∂∂∂2.(0805)函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为( )A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --(0818)设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其中)(x f 具有二阶连续偏导数,求y x z ∂∂∂2.(0910)设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定,则xz∂∂= . (0919)设函数(sin ,)z f x xy =,其中)(x f 具有二阶连续偏导数,求yx z∂∂∂2.(1011)设函数z =,则10d x y z=== .(1018)设()2,xz y f xy e =⋅,其中函数f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.(1104)设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数,则=∂∂==00y x yz ( )A.21-B.21C.2-D.2(1118)设)(y xyxf z ,=,其中函数f 具有二阶连续偏导数,求y x z ∂∂∂2.(1204)设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -(1218)设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++,其中函数f 具有二阶连续偏导数,函数()x ϕ具有二阶连续导数,求yx z∂∂∂2.(1314)设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定,求d z 及22zx∂∂.(1317)设()223,x yz fx e+=,其中函数f 具有二阶连续偏导数,求2zy x∂∂∂.(二)二重积分(0411)交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰.(0419)计算二重积分sin d d Dyx y y ⎰⎰,其中D 由曲线x y =及x y =2所围成. (0504)设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域,区域1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰( )A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0(0511)交换二次积分的次序11d (,)d x x f x y y -+=⎰;(0524)设)(x f 为连续函数,且1)2(=f ,1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰(1u >). (1)交换)(u F 的积分次序; (2)求(2)F '.(0606)设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-,22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥,=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥,则(,)d d Df x y x y =⎰⎰( )A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰(0612)D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域,d d Dx y =⎰⎰ .(0624)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ,其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域,函数)(x f 连续.(1)求a 的值使得)(t g连续;(2)求)('t g .(0720)计算二重积分d Dx y ,其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥.(0723)设0>>a b ,证明:()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰.(0819)计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰,其中D 是由曲线xy 1=,直线y x =,2x =及0=y 所围成的平面区域. (0918)计算二重积分d Dy σ⎰⎰,其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥. (1005)二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰(1019)计算d d Dx x y ⎰⎰,其中D 是由曲线x =y x =及x 轴所围成的闭区域.(1105)若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ,则积分域D 可表示为( ) A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-(1119)计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰,其中D 是由曲线y =直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域. (1205)二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为( )A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ (1220)计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰,其中D 是由曲线y =2xy =及x 轴所围成的平面闭区域.(1320)计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰,其中D 是由曲线y =0x >)与三条直线y x =,3x =,0y =所围成的平面闭区域.六、无穷级数(一)数项级数(0506)正项级数(1)∑∞=1n n u 、(2)∑∞=13n n u ,则下列说法正确的是( ) A.若(1)发散、则(2)必发散 B.若(2)收敛、则(1)必收敛C.若(1)发散、则(2)不确定D.(1)、(2)敛散性相同(0605)设∑∞=1n nu为正项级数,如下说法正确的是( )A.若0lim 0=→n n u ,则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ,则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛,则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛,则∑∞=1n n u 必定收敛(0706)下列级数收敛的是( )A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn(0906)设α为非零常数,则数项级数∑∞=+12n n n α( )A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关(1004)下列级数收敛的是( )A.11n nn ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑C.nn ∞= D.212n n n ∞=∑(1206)下列级数中条件收敛的是( )A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑D.1nn ∞=(1305)下列级数中收敛的是( )A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑C.1!2n n n ∞=∑D.1n ∞= (二)幂级数(0412)幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为 .(0420)把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数,并写出它的收敛区间. (0512)幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为 .(0519)把函数222)(x x x x f --=展开为x 的幂级数,并写出它的收敛区间.(0618)将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数(要求指出收敛区间).(0812)幂函数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域为 . (0911)若幂函数21n nn a x n∞=∑(0a >)的收敛半径为21,则常数=a .(1012)幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为 .(1106)若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑(22x -<<),则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn -D.1(1)2nn +-(1112)幂级数0nn ∞=的收敛域为_ _ _________. (1212)幂级数1(1)(3)3nn nn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________. (1312)幂级数1n nn ∞=的收敛域为 . 七、常微分方程(一)一阶微分方程(0520)求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解.(0617)求微分方程22x y xy y '=-的通解. (0718)求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解.(0820)求微分方程22xy y x '=+的通解.(0912)微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为 . (1311)微分方程d d y x y x x+=的通解为 . (二)二阶线性微分方程(0406)微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为( )A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+(0712)设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解,则该微分方程为 .(0806)微分方程321y y y '''++=的通解为( )A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y (0920)求微分方程y y x ''-=的通解. (1020)已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解,试确定常数p 、q 的值,并求微分方程xy py qy e '''++=的通解.(1120)已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解,求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解.(1219)已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ,求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解. (1319)已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解,求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解.时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A .2、B .3、C .4、B .5、A .6、D .7、1-e . 8、32241-+==-z y x . 9、!n . 10、C x +4arcsin 41. 11、12201d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰.12、()3,1-.13、解:间断点为πk x =(Z k ∈),当0=x 时,1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ,为可去间断点;当πk x =(0≠k ,Z k ∈)时,∞=→xxx sin lim0,为第二类间断点.14、解:原式0430(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x →→--==⎰233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===. 15、解:0=x 代入原方程得1)0(=y ,对原方程求导得0''=--y xe e y yy,对上式求导并将0=x 、1=y 代入,解得:22''e y =.16、解:因为)(x f 的一个原函数为x e x,所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰ 222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x xx x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰. 17211122d d 22arctan (1)12t tt tt t t π+∞∞+∞+===++⎰.18、解:12zf f y x∂''=+⋅∂; []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂.19、解:原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰.20、解:01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x . 21、证:00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得: 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰, 原命题证毕.222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰. 22、解:等式两边求导得()2()x f x x f x '=+,即()()2f x x f x x '-=-,且(0)1f =-,x p -=,x q 2-=,而2()d 2x x xe e --⎰=,由公式求得通解:222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰, 将初始条件(0)1f =-代入通解,解得:3-=C ,故22()23x f x e =-.23、解:设污水厂建在河岸离甲城x 公里处,则()500M x x =+500≤≤x ),由150070002M '=+⨯=解得:650050-=x (公里),唯一驻点,即为所求.2005年高等数学真题参考答案1、A .2、C .3、D .4、A .5、A .6、C .7、2. 8、1-e . 9、2π. 10、5. 11、11d (,)d y y f x y x -⎰⎰.12、(1,1)-.13、解:因为)(x F 在0=x 处连续,所以)0()(lim 0F x F x =→,'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=, 解得:a F =)0(,故8=a .14、解:d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--,22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='.15、解:原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰.16、解:原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦.17、解:1cos zx f x∂'=⋅∂,()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂. 18、解:直线L 的方向向量{}5,2,1=s ,过点()4,3,0B -,{}1,4,2AB =-;所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ,点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=,即592298=--z y x .19、解:2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑, 收敛域为:11<<-x .20、解:1x e y y x x '+⋅=,即1p x=,x e q x =,而1d 1x x e x -⎰=;故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰.把初始条件1x y e ==解得:0=C ;故所求特解为:xe y x=.21、证:令13)(3+-=x x x f ,[]1,1x ∈-,且(1)30f -=>,(1)10f =-<,(1)(1)0f f -⋅<;由连续函数零点定理知:)(x f 在(1,1)-内至少有一实根;对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<,即)(x f 在(1,1)-内单调递减, 故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根; 原命题获证.22、解:设所求函数为)(x f y =,则有4)2(=f ,(2)3f '=-,(2)0f ''=;由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得:12-=a ,即()612f x x ''=-,故21()312f x x x C '=-+,由(2)3f '=-解得:91=C ,故22396C x x x y ++-=,由(2)4f =解得:22=C ; 所求函数为:29623++-=x x x y .23、解:(1)112300111d 266S y y y ===⎰;(如图1所示) (2)()()112222012d 4x V x x x xπππ=-=-=⎰.24、解:积分区域D 为:u y ≤≤1,u x y ≤≤;(1)111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰;(2)()(1)()F u u f u '=-,(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==.2006年高等数学真题参考答案1、C .2、B .3、C .4、C .5、C .6、A .7、2. 8、)(0x f . 9、1-. 10、1. 11、(sin cos )xye y x x +. 12、1.13、解:原式322131lim 21341==--→x xx .图114、解:2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+,2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+. 15、解:原式322ln )(1ln )3x x C =+=++.16、解:原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰.17、解:方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭,即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程; 令y u x =,则d d d d y u u x x x =+,代入得:2d d u x u x =-,分离变量得:211d d u x u x-=; 两边积分,得:211d d u x u x -=⎰⎰,1ln x C u=+,故ln x y x C =+. 18、解:令()ln (1)g x x =+,则(0)0g =;由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑((]1,1x ∈-), 所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰((]1,1x ∈-),故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑,收敛域为:11x -<≤.19、解:由题意知:{}11,1,1=-n ,{}24,3,1=-n ;{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ,故所求直线方程的对称式方程为:123123+=-=-z y x .20、解:22z x f x∂'=∂,2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂. 21、证:令33)(x x x f -=,[]2,2x ∈-,由2()330f x x '=-=解得驻点:1±=x ,比较以下函数值的大小:(1)2f -=-,(1)2f =,(2)2f =-,(2)2f -=; 所以2min -=f ,2m ax =f ,故2)(2≤≤-x f ,即332x x -≤,原命题获证.22、解:0)0(=y ,2y x y '=+,通解为:xCe x y +--=)22(;将0)0(=y 代入通解解得:2=C ,故所求特解为:xe x y 222+--=.23、解:(1)()2222648d 3S x x x -=--=⎰; (2)224804d d 16y V y y πππ=+=⎰⎰.24、解:()d d d ()d ()d tt tt D f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰,0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰;(1)00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰,由)(t g 的连续性可知:0)(lim )0(0===→t g g a t ;(2)当0≠t 时,()()g t f t '=,当0=t 时,0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰; 综上,()()g t f t '=.2007年高等数学真题参考答案1、B .2、C .3、C .4、A .5、D .6、D .7、2ln . 8、1. 9、π2. 10、23. 11、21d d xx y y y-. 12、06'5''=+-y y y . 13、解:212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e . 14、解:当0=x 时,0=y ;。

2001—2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2001—2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1、下列各极限正确的是( )A 、e xx x =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211( ) A 、211x- B 、c x+-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=,且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ,则在)0,(-∞内必有 ( )A 、0)('<x f ,0)(''<x fB 、0)('<x f ,0)(''>x fC 、0)('>x f ,0)(''<x fD 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21( ) A 、0 B 、2C 、-1D 、15、方程xy x 422=+在空间直角坐标系中表示( ) A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ,则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx xx22),(9、函数y x z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数,则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 11、已知5cos )21ln(arctan π+++=x x y ,求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim2002⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点,并说明其类型.14、已知x y x y ln 2+=,求1,1==y x dxdy.15、计算dx e e xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ,求k 的值.17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ,D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点,并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ,若b ax x f +=2'3)(,且)(x f 在1=x 处取得极值,试确定a 、b 的值,并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =,其中f 具有二阶连续偏导数,求x z ∂∂、yx z∂∂∂2.四、综合题(本大题共4小题,第21小题10分,第22小题8分,第23、24小题各6分,共30分)21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,求 (1)切线方程;(2)由2-=x y ,切线及x 轴围成的平面图形面积; (3)该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

2006年江苏省数学高考试卷(含答案)

2006年江苏省数学高考试卷(含答案)

绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学第I 卷(选择题 共60分)参考公式:一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x nSn -++-+-=其中x 为这组数据的平均数一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,恰有..一项..是符合题目要求的。

(1)已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a =(A )0(B )1(C )-1(D )±1(2)圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是(A )x -y =0(B )x +y =0(C )x =0(D )y =0(3)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x ,y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x -y |的值为 (A )1 (B )2(C )3(D )4(4)为了得到函数Rx x y ∈+=),63sin(2π的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 (A )向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)(B )向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)(C )向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)(D )向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)(5)10)31(x x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是(A )0 (B )2 (C )4 (D )6(6)已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足MP MN MP MN ⋅+⋅||||=0,则动点P (x ,y )的轨迹方程为 (A )x y 82=(B )x y 82-= (C )x y 42=(D )x y 42-=(7)若A 、B 、C 为三个集合,C B B A ⋂=⋃,则一定有(A )C A ⊆(B )A C ⊆ (C )C A ≠ (D )φ=A(8)设a 、b 、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立....的是 (A )||||||c b c a b a -+-≤- (B )aa aa 1122+≥+(C )21||≥-+-ba b a (D )a a a a -+≤+-+213(9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点...均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )无穷多个(10)右图中有一个信号源和五个接收器。

2006年普通高等学校招生全国统一考试答案参考(江苏卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考试答案参考(江苏卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)参考答案及评分标准一、选择题:本题考查基本概念和基本运算.每小题5分,满分50分.1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.D 10.D二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分30分. 11. 12.18 13.1260 14.2 15.122n +-16.({}331---+ 三、解答题17.本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力,满分12分.解:(I )由题意,可设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>,其半焦距6c =.122a PF PF =+==a ∴=22245369b ac =-=-=. 所以所求椭圆的标准方程为221459x y +=. (II )点()52P ,,()160F -,,()260F ,关于直线y x =的对称点分别为()25P ',,1(06)F '-,,()206F ',.设所求双曲线的标准方程为()22112211100y x a b a b -=>>,.由题意知,半焦距16c =,1122a P F P F ''''=-=1a ∴=222111362016b c a =-=-=.所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 18.本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分14分.解:设1OO 为m x ,则14x <<.由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m=.于是底面正六边形的面积为(单位:2m))22682x x=+-.帐篷的体积为(单位:3m)())())231821116123V x x x x x x⎡⎤=+--+=+-⎢⎥⎣⎦.求导数,得())21232V x x'=-.令()0V x'=,解得2x=-(不合题意,舍去),2x=.当12x<<时,()0V x'>,()V x为增函数;当24x<<时,()0V x'<,()V x为减函数.所以当2x=时,()V x最大.答:当1OO为2m时,帐篷的体积最大.第18题注:若解题步骤正确,某处开始出现错误,则对该错误以后部分,无论是否再出现计算错误,一律按一半给分.19.本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识,以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.满分14分.解法一:不妨设正三角形ABC的边长为3.(I)在图1中,取BE的中点D,连结DF.::1:2AE EB CF FA==,2AF AD∴==,而60A=∠,ADF∴△是正三角形.又1AE DE==,EF AD∴⊥.在图2中,1A E EF⊥,BE EF⊥,1A EB∴∠为二面角1A EF B--的平面角.由题设条件知此二面角为直二面角,1A E BE∴⊥.CP图1AFCPBE图2Q又BE EF E = ,1A E ∴⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP .(II )在图2中,1A E 不垂直于1A B ,1A E ∴是平面1A BP 的斜线.又1A E ⊥平面BEP ,1A E BP ∴⊥,从而BP 垂直于1A E 在平面1A BP 内的射影(三垂线定理的逆定理). 设1A E 在平面1A BP 内的射影为1AQ ,且1AQ 交BP 于点Q ,则1EAQ ∠就是1A E 与平面1A BP 所成的角.且1BP AQ ⊥.在EBP △中,2BE BP == ,60EBP =∠,EBP ∴△是等边三角形,BE EP ∴=.又1A E ⊥平面BEP ,11A B A P ∴=,Q ∴为BP的中点,且EQ =. 又11A E =,在1Rt A EQ △中,11tan EQ EAQ A E==∠,160EAQ ∴=∠. 所以直线1A E 与平面1A BP 所成的角为60.(III )在图3中,过F 作1FM A P ⊥于M ,连结QM ,QF . 1CF CP == ,60C = ∠,FCP ∴△是正三角形,1PF ∴=.又112PQ BP ==,PF PQ ∴=.① 1A E ⊥平面BEP ,EQ EF ==11A F AQ ∴=,11A FP AQP ∴△≌△, 从而11A PF A PQ =∠∠.② 由①②及MP 为公共边知FMP QMP △≌△,90QMP FMP ∴== ∠∠,且MF MQ =,从而FMQ ∠为二面角1B A P F --的平面角.在1Rt AQP △中,112AQ A F ==,1PQ =,1A P ∴ 1AFCPBE MQ图31MQ A P ⊥,115AQ PQ MQ A P ∴==,MF ∴=. 在FCQ △中,1FC =,2QC =,60C =∠,由余弦定理得QF =.在FMQ △中,222cos 2MF MQ QF FMQ MF MQ +-== ∠所以二面角1B A P F --的大小为7πarccos 8-.解法二:不妨设正三角形ABC 的边长为3. (I )同解法一.…………4分(II )如图1,由解法一知1A E ⊥平面BEF ,BE EF ⊥.建立如图4所示的空间直角坐标系O xyz -,则()000E ,,,()1001A ,,,()200B ,,,()0F . 在图1中,连结DP ,2AF BP == ,1AE BD ==,A B =∠∠,FEA PDB ∴△≌△,PD EF ==由图1知PF DE ∥且1PF DE ==,()P ∴. ()1201A B ∴=-,,,()BP =- , ∴对于平面1A BP 内任一非零向量a,存在不全为零的实数λμ,,使得()12a A B BP λμλμλ=+=-- ,,又()1001A E =-,,,111cos A E a A E a A E a ∴==,. 直线1A E 与平面1A BP 所成的角是1A E与平面1A BP 内非零向量夹角中最小者, ∴可设0λ>,从而1cos A E a =,又221544442μμμλλλ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4,图41cos A E a ∴ ,的最大值为12,即1A E 与a 夹角中最小的角为60 ,所以直线1A E 与平面1A BP 所成的角为60.(III )如图4,过F 作1FM A P ⊥于M ,过M 作1MN A P ⊥交BP 于N ,则FMN ∠为二面角1B A P F --的平面角.设()M x y z ,,,则()MF x y z =--,. 1MF A P ⊥,10MF A P ∴=,又()11A P =-,0x y z ∴+-=.① 1A ,M ,P 三点共线,∴存在λ∈R ,使得11AM AP λ=.()11A M x y z =-,,,()()11x y z λ∴-=-,,.从而1x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩,,,代入①得45λ=,4155M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭,,. 同理可得302N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,从而4155MF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ,,71105MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ,.77cos 8MF MN MF MN MF MN -∴===- ,, 所以二面角1B A P F --的大小为7πarccos8-. 20.本小题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分16分. 解:(I)t =∴要使t 有意义,必须10x +≥且1x -≥0,即11x -≤≤.[]22240t t =+ ,,≥,①t ∴的取值范围是2⎤⎦.2112t =-,()2211122m t a t t at t a ⎛⎫∴=-+=+- ⎪⎝⎭,t ⎤∈⎦. (II )由题意知()g a 即为函数()212m t at t a =+-,t ⎤∈⎦的最大值.注意到直线1t a =-是抛物线()212m t at t a =+-的对称轴,分以下几种情况讨论. (1)当0a >时,函数()y m t =,t ⎤∈⎦的图像是开口向上的抛物线的一段,由10t a=-<知()m t在⎤⎦上单调递增,()()22g a m a ∴==+.(2)当0a =时,()m t t =,t ⎤∈⎦,()2g a ∴=. (3)当0a <时,函数()y m t =,t ⎤∈⎦的图像是 开口向下的抛物线的一段.若(10t a =-∈,即2a -≤,则()g a m ==若1t a⎤=-∈⎦,即122a ⎛⎤∈-- ⎥ ⎝⎦,,则()112g a m a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. 若()12t a =-∈+∞,,即102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,,则()()22g a m a ==+. 综上有 ()12211222a a g a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪=---<-⎨⎪,,,,≤≤ (III )解法一: 情形1:当2a <-时,112a >-,此时()g a =112g a a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由12a +=12a =--2a <-矛盾. 情形2:当2a -<≤112a <-≤,此时()g a . 112a g a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12a a =--解得a =a <情形3:当a ≤1a ≤,此时()1g a g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以2a -≤.情形4:当122a -<-≤时,12a -<≤()12g a a a =--,1g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭12a a --=2a =-,与2a >-矛盾.情形5:当102a -<<时,12a <-,此时()2g a a =+,1g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由2a +=2a =,与12a >-矛盾.情形6:当0a >时,10a >,此时()2g a a =+,112g a a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 由122a a+=+解得1a =±,由0a >知1a =.综上知,满足()1g a g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的所有实数a 为:2a -≤或1a =. 解法二:当12a >-时,()322g a a =+>>当122a -<-≤时,122a ⎡-∈⎢⎣⎭,,1122a ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦,,所以12a a --≠,()12g a a a=-->=2a >-时,()g a > 当0a >时,10a >,由()1g a g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭知122a a +=+解得1a =.当0a <时,11a a= ,因此1a -≤或11a -≤,从而()g a =或1g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭要使()1g a g a ⎛⎫=⎪⎝⎭,必须有a ≤,1a ≤,即a ≤此时()1g a g a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.综上知,满足()1g a g a ⎛⎫=⎪⎝⎭的所有实数a 为:a ≤1a =. 21.本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.证明:必要性.设{}n a 是公差为1d 的等差数列,则()()()()1132132110n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d +++++++-=---=---=-=, 所以()1123n n b b n += ,,,≤成立.又()()()112132*********n n n n n n n n c c a a a a a a d d d d ++++++-=-+-+-=++=(常数),(123n = ,,,),所以数列{}n c 为等差数列.充分性.设数列{}n c 是公差为2d 的等差数列,且()1123n n b b n += ,,,≤. 证法一:1223n n n n c a a a ++=++ ,① 223423n n n n c a a a ++++∴=++.②①-②得()()()221324122323n n n n n n n a n n n c c a a a a a a b b b ++++++++-=-+-+-=++.()()211222n n n n n n c c c c c c d ++++-=-+-=- ,122232n n n b b b d ++∴++=-,③从而有1232232n n n b b b d +++++=-.④④-③得()()()12132230n n n n n n b b b b b b +++++-+-+-=.⑤10n n b b +- ≥,210n n b b ++-≥,320n n b b ++-≥, ∴由⑤得10(123)n n b b n +-== ,,,. 由此不妨设()3123n b d n == ,,,,则23n n a a d +-=(常数). 由此121323423n n n n n n c a a a a a d +++=++=+-, 从而112313423425n n n n n c a a d a a d ++++=+-=+-.两式相减得()11322n n n n c c a a d ++-=--,因此()113231122n n n n a a c c d d d ++-=-+=+(常数)(123n = ,,,),所以数列{}n a 是等差数列. 证法二:令1n n n A a a +=-,由1n n b b +≤,知213n n n n a a a a +++--≤, 从而132n n n n a a a a +++--≥,即()2123n n A A n += ,,,≥. 由1223n n n n c a a a ++=++,112323n n n n c a a a ++++=++得()()()11213223n n n n n n n n c c a a a a a a ++++++-=-+-+-,即 12223n n n A A A d ++++=.⑥由此得234223n n n A A A d +++++=.⑦⑥-⑦得()()()21324230n n n n n n A A A A A A +++++-+-+-=.⑧ 因为20n n A A +-≥,130n n A A ++-≥,240n n A A ++-≥, 所以由⑧得()20123n n A A n +-== ,,,.于是由⑥得11224223n n n n n A A A A A d ++++=++=.⑨ 从而11222442n n n n A A A A d ++++=+=.⑩由⑨和⑩得114224n n n n A A A A +++=+,故1n n A A +=,即()211123n n n n a a a a n +++-=-= ,,,,所以数列{}n a 是等差数列.。

2006年江苏省数学高考试卷(含答案)

2006年江苏省数学高考试卷(含答案)

绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学第I 卷(选择题 共60分)参考公式:一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-=其中x 为这组数据的平均数一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,恰.有一项...是符合题目要求的。

(1)已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a =(A )0(B )1(C )-1(D )±1(2)圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是(A )x -y =0(B )x +y =0(C )x =0(D )y =0(3)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x ,y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x -y |的值为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4(4)为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有 的点(A )向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) (B )向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)(C )向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)(D )向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)(5)10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是(A )0 (B )2 (C )4 (D )6(6)已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足⋅+⋅||||=0,则动点P (x ,y )的轨迹方程为 (A )x y 82=(B )x y 82-= (C )x y 42=(D )x y 42-=(7)若A 、B 、C 为三个集合,C B B A ⋂=⋃,则一定有(A )C A ⊆(B )A C ⊆ (C )C A ≠ (D )φ=A(8)设a 、b 、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立....的是 (A )||||||c b c a b a -+-≤- (B )aa a a 1122+≥+(C )21||≥-+-ba b a (D )a a a a -+≤+-+213(9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点...均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )无穷多个(10)右图中有一个信号源和五个接收器。

2006年江苏专转本高等数学真题

2006年江苏专转本高等数学真题

2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)1、若21)2(li m=→x x f x ,则=→)3(limx f xx ( ) A 、21 B 、2 C 、3D 、31 2、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(2x x xx x f 在=x 处( )A 、连续但不可导B 、连续且可导C 、不连续也不可导D 、可导但不连续 3、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是( ) A 、xe y = B 、x y +=1C 、21x y -= D 、xy 11-= 4、已知C e dx x f x +=⎰2)(,则=-⎰dx x f )('( )A 、C ex+-22B 、C e x +-221 C 、C e x +--22D 、C e x +--2215、设∑∞=1n nu为正项级数,如下说法正确的是 ( )A 、如果0lim 0=→n n u ,则∑∞=1n n u 必收敛 B 、如果l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ,则∑∞=1n n u 必收敛 C 、如果∑∞=1n nu收敛,则∑∞=12n nu必定收敛 D 、如果∑∞=-1)1(n n nu 收敛,则∑∞=1n n u 必定收敛6、设对一切x 有),(),(y x f y x f -=-,}0,1|),{(22≥≤+=y y x y x D ,=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ,则⎰⎰=D dxdy y x f ),(( )A 、0B 、⎰⎰1),(D dxdy y x f C 、2⎰⎰1),(D dxdy y x f D 、4⎰⎰1),(D dxdy y x f二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)7、已知0→x 时,)cos 1(x a -与x x sin 是等级无穷小,则=a 8、若A x f x x =→)(lim 0,且)(x f 在0x x =处有定义,则当=A 时,)(x f 在0x x =处连续.9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ,⎰=13)(dx x f ,则⎰=1')(dx x xf10、设1=a ,b a ⊥,则=+⋅)(b a a11、设x e u xysin =,=∂∂xu12、=⎰⎰Ddxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三角形区域.三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)13、计算11lim31--→x x x .14、若函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定,求dx dy 、22dx yd . 15、计算⎰+dx x xln 1. 16、计算dx x x ⎰202cos π.17、求微分方程2'2y xy y x -=的通解.18、将函数)1ln()(x x x f +=展开为x 的幂函数(要求指出收敛区间).19、求过点)2,1,3(-M 且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.20、设),(2xy x xf z =其中),(v u f 的二阶偏导数存在,求y z ∂∂、xy z∂∂∂2.四、证明题(本题满分8分).21、证明:当2≤x 时,233≤-x x .五、综合题(本大题共3小题,每小题10分,满分30分)22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2,求此曲线方程.23、已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成. (1)求此平面图形的面积;(2)求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.24、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ,其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域,函数)(x f 连续. (1)求a 的值使得)(t g 连续; (2)求)('t g .2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、A7、28、)(0x f9、1- 10、111、)cos sin (x x y e xy + 12、113、原式322131lim 21341==--→x xx 14、21211122''t t t t x y dx dy t t =++-==,t t t t x dx dy dx y d t 411221)(22''22+=+== 15、原式C x x d x ++=++=⎰23)ln 1(32)ln 1(ln 116、原式x d x dx x x xx x d x cos 24sin 2sin sin 20220202202⎰⎰⎰+=-==πππππ24cos 2cos 24220202-=-+=⎰ππππxdx x x17、方程变形为2'⎪⎭⎫⎝⎛-=x y x y y ,令x y p =则''xp p y +=,代入得:2'p xp -=,分离变量得:dx x dp p ⎰⎰=-112,故C x p +=ln 1,C x x y +=ln . 18、令)1ln()(x x g +=,0)0(=g ,200'1)1()1()(+∞=∞=∑∑+-=-=n n n n nnx n dx x x g ,故201)1()(+∞=∑+-=n n n x n x f ,11<<-x .19、{}1,1,11-n 、{}1,3,42-n ,k j i kj in n l ++=--=⨯=3213411321直线方程为123123+=-=-z y x .20、'22f x y z =∂∂,''222''213'2''22''212'2222)2(2yf x f x xf y f x f x xf x y z ++=⋅+⋅+=∂∂∂. 21、令33)(x x x f -=,[]2,2-∈x ,033)(2'=-=x x f ,1±=x ,2)1(-=-f ,2)1(=f , 2)2(-=f ,2)2(=-f ;所以2min -=f ,2max =f ,故2)(2≤≤-x f ,即233≤-x x .22、y x y +=2',0)0(=y通解为x Ce x y +--=)22(,由0)0(=y 得2=C ,故x e x y 222+--=. 23、(1)364)8(2222=--=⎰-dx x x S (2)πππ16)8()(28424=-+=⎰⎰dy y dy y V24、dx x f t dy x f dx dxdy x f tttD t⎰⎰⎰⎰⎰==0)()()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(0t at x f t g t(1)0)(lim)(lim 000==⎰→→dx x f t g tt t ,由)(t g 的连续性可知0)(lim )0(0===→t g g a t(2)当0≠t 时,)()('t f t g =,当0=t 时,)0()(lim )(lim )0()(lim)0(0000'f h f hdx x f h g h g g h hh h ===-=→→→⎰ 综上,)()('t f t g =.。

2006年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及解答(WORD版)

2006年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及解答(WORD版)

2006年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,恰.有一项...是符合题目要求的。

1.已知R a ∈,函数a x x f -=sin )(,R x ∈为奇函数,则=a (A ) A .0 B .1 C .-1 D .1±2.圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是(C ) A .0=-y x B .0=+y x C .0=x D .0=y3.某人5次上班途中所花时间(单位:分钟)分别为x 、y 、10、11、9。

已知这组数据的平均数为10,方差为2,则y x -的值为(D ) A .1 B .2 C .3 D .4 4.为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图象,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图象上的所有点(C )A .向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B .向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C .向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D .向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)5.10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是(B ) A .0 B .2 C .4 D .66.已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,0=⋅NP MN 则动点),(y x P 的轨迹方程为(B )A .x y 82= B .x y 82-= C .x y 42= D .x y 42-= 7.若A 、B 、C 为三个集合,C B B A =,则一定有(A ) A .C A ⊆ B .A C ⊆ C .C A ≠ D .φ=A8.设a 、b 、c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立....的是(C )A .||||||c b c a b a -+-≤-B .a a a a 1122+≥+C .21||≥-+-ba b a D .a a a a -+≤+-+213 9.两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放入棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有(D )A .1个B .2个C .3个D .无穷多个 10.右图中有一个信号源和5个接收器,接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能收到信号。

专转本数学历年真题

专转本数学历年真题

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学 负责人:张源教授装饰11-2一、选择题 (本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、下列各极限正确的是 ( )A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 ( )A 、211x-B 、c x+-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=,且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ,则在)0,(-∞内必有 ( ) A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 ( )A 、0B 、2C 、-1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 ( ) A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ,则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数,则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 11、已知5cos)21ln(arctanπ+++=x x y ,求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点,并说明其类型.14、已知x y x y ln 2+=,求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ,求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ,D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点,并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ,若b ax x f +=2'3)(,且)(x f 在1=x 处取得极值,试确定a 、b 的值,并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2yx x f z =,其中f 具有二阶连续偏导数,求x z ∂∂、y x z∂∂∂2.四、综合题(本大题共4小题,第21小题10分,第22小题8分,第23、24小题各6分,共30分) 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,求(1)切线方程; (2)由2-=x y ,切线及x 轴围成的平面图形面积;(3)该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

2006本二试卷

2006本二试卷

2006年江苏省高等数学竞赛试题(本二)一、 填空题(每个小题5分,共40分)1、函数3()x f x a =,则41lim ln[(1)(2)()]n f f f n n →∞=2、2()5001lim (1)x tx x e dt x -→-=⎰ 3、1220arctan (1)x dx x =+⎰ 4、已知点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点,则四面体 OABC 的内切球面方程为5、设由y z x ze +=确定(,)z z x y =,则(,0)e dz =6、函数2(,)()x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时,(1,0f -)为其极大值. 7、设Γ是sin (0)y a x a =>上从点(0,0)到(,0)π的一段曲线,则a = 时,曲线积分22()(2)y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值.8、级数1(1)n n ∞+=-∑条件收敛时,常数p 的取值范围是二、(10分)某人由甲地开汽车出发,沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通,若开车的最大速度为100公里/小时,求证:该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于-200公里/小时3.三、(10分)曲线Γ的极坐标方程为1cos (0)2πρθθ=+≤≤,求该曲线在4πθ=所对应的点处的切线L 的直角坐标方程,并求曲线Γ、切线L 与x 轴所围图形的面积.四、(8分) 设()f x 在(,)-∞+∞上是导数连续的有界函数,()()1f x f x '-≤,求证:()1f x ≤,(),x ∈-∞+∞.五、(12分)设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑,为计算曲面∑的面积,用薄铁片制作∑的模型,(1,0,5)A ,B(1,0,1)-,C(1,0,0)-为∑上的三点,将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ,建立平面直角坐标系,使D 位于x 轴正上方,点A 的坐标为(0,5),写出D 的边界的方程,并求D 的面积.六、(10分)曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω,求()222x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰. 七、(10分)求幂级数()2112n n n n x ∞=+∑的收敛域与和函数。

江苏专升本高等数学真题(附答案)

江苏专升本高等数学真题(附答案)

江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续(一)函数(1)理解函数的概念:函数的定义,函数的表示法,分段函数。

(2)理解和把握函数的简单性质:单调性,奇偶性,有界性,周期性。

(3)了解反函数:反函数的定义,反函数的图象。

(4)把握函数的四则运算与复合运算。

(5)理解和把握基本初等函数:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数。

(6)了解初等函数的概念。

重点:函数的单调性、周期性、奇偶性,分段函数和隐函数(二)极限(1)理解数列极限的概念:数列,数列极限的定义,能根据极限概念分析函数的变化趋势。

会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)了解数列极限的性质:唯一性,有界性,四则运算定理,夹逼定理,单调有界数列,极限存在定理,把握极限的四则运算法则。

(3)理解函数极限的概念:函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,x趋于无穷(x→∞,x→+∞,x→-∞)时函数的极限。

(4)把握函数极限的定理:唯一性定理,夹逼定理,四则运算定理。

(5)理解无穷小量和无穷大量:无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量与无穷大量的性质,两个无穷小量阶的比较。

(6)熟练把握用两个重要极限求极限的方法。

重点:会用左、右极限求解分段函数的极限,把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。

(三)连续(1)理解函数连续的概念:函数在一点连续的定义,左连续和右连续,函数在一点连续的充分必要条件,函数的中断点及其分类。

(2)把握函数在一点处连续的性质:连续函数的四则运算,复合函数的连续性,反函数的连续性,会求函数的中断点及确定其类型。

(3)把握闭区间上连续函数的性质:有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理(包括零点定理),会运用介值定理推证一些简单命题。

(4)理解初等函数在其定义区间上连续,并会利用连续性求极限。

重点:理解函数(左、右连续)性的概念,会判别函数的中断点。

2019—2019年江苏专转本高数真题(打印版)共18页

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2019—2019年江苏专转本⾼数真题(打印版)共18页第 1 页2005年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、选择题(本⼤题共6⼩题,每⼩题4分,满分24分.)1、0=x 是xx x f 1sin )(=的A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、第⼆类间断点D 、连续点2、若2=x 是函数)21ln(ax x y +-=的可导极值点,则常数=aA 、1-B 、21C 、21- D 、13、若?+=C x F dx x f )()(,则?=dx x xf )(cos sinA 、C x F +)(sinB 、C x F +-)(sin C 、C F +(cos)D 、C x F +-)(cos 4、设区域D 是xoy 平⾯上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三⾓形区域,区域1D 是D 在第⼀象限的部分,则:=+??dxdy y x xy D)sin cos (A 、??1)sin (cos 2D dxdy y xB 、??12D xydxdyC 、??+1)sin cos (4D dxdy y x xy D 、05、设yxy x u arctan ),(=,22ln ),(y x y x v +=,则下列等式成⽴的是v x u ??=?? B 、xvx u ??=C 、x v y u ??=??D 、yv y u ??=??6、正项级数(1) ∑∞=1n n u 、(2) ∑∞=13n n u ,则下列说法正确的是A 、若(1)发散、则(2)必发散B 、若(2)收敛、则(1)必收敛C 、若(1)发散、则(2)不定D 、若(1)、(2)敛散性相同⼆、填空题(本⼤题共6⼩题,每⼩题4分,满分24分)第 2 页7、=----→x x xe e x x x sin 2lim; 8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满⾜拉格郎⽇中值定理的=ξ;9、=++?-11211x x π;10、设向量{}2,4,3-=α、{}k ,1,2=β;α、β互相垂直,则=k ;11、交换⼆次积分的次序=?-+-dy y x f dx x x 2111),( ;12、幂级数∑∞=-1)12(n n x n 的收敛区间为;13、设函数+=a xx x f x F sin 2)()( 00=≠x x 在R 内连续,并满⾜:0)0(=f 、6)0('=f ,求a .14、设函数)(x y y =由⽅程?-==t t t y t x cos sin cos 所确定,求dx dy、22dx y d .15、计算?xdx x sec tan 3.16、计算?10arctan xdx17、已知函数),(sin 2y x f z =,其中),(v u f 有⼆阶连续偏导数,求xz、y x z2 18、求过点)2,1,3(-A 且通过直线12354:zy x L =+=-的平⾯⽅程. 19、把函数222)(xx x x f --=展开为x 的幂级数,并写出它的收敛区间.20、求微分⽅程0'=-+x e y xy 满⾜e y x ==1的特解.四、证明题(本题8分)21、证明⽅程:0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有⼀根.第 3 页五、综合题(本⼤题共4⼩题,每⼩题10分,满分30分) 22、设函数)(x f y =的图形上有⼀拐点)4,2(P ,在拐点处的切线斜率为3-,⼜知该函数的⼆阶导数a x y +=6'',求)(x f .23、已知曲边三⾓形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成,求:(1)、曲边三⾓形的⾯积;(2)、曲边三⾓形饶X 轴旋转⼀周的旋转体体积.24、设)(x f 为连续函数,且1)2(=f ,dx x f dy u F uyu=)()(1,)1(>u(1)、交换)(u F 的积分次序;(2)、求)2('F .⾼等数学参考答案1、A2、C3、D4、B5、A6、C7、2 8、1-e 9、2π10、5 11、dx y x f dy y y ??---11102),( 12、)1,1(-13、因为)(x F 在0=x 处连续,所以)0()(lim 0F x F x =→,8262)0(2)0()(sin 2)()('0lim limlim =+=+=+-=+=→→→f x f x f x x x f x F x x x a F =)0(,故8=a .14、t t t t t t dtdx dt dydx dy -=-+-==sin sin cos cos ,t t x y dx y d t t csc sin 1)('''22=--==. 15、原式C x x x x xd x d x +-=-=-=??sec sec 31sec sec sec sec )1(sec 322.16、原式??++-=+-=102210211)1(2141arctan x x d dx x x x x π 102)1ln(214x +-=π2ln 214-=π 17、'z ?=??,''12''122cos 2)2(cos xf y y f x y x z =?= 18、{}1,2,5=l ,{}0,3,4-=B ,{}2,4,1-= {}22,9,8241125--=-=?=kj il π平⾯点法式⽅程为:0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ,即592298=--z y x .19、x x x x x x x x f -?++?=-++=1132116)1121(3)(222nn n n x x ∑∞=+??+-=01212)1(3,收敛域为11<<-x . 20、xe y x y x=?+1',通解为第 5 页x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=+=-11 因为e y =)1(,C e e +=,所以0=C ,故特解为xey x=.21、证明:令13)(3+-=x x x f ,[]1,1-∈x ,且03)1(>=-f ,01)1(<-=f ,0)1()1(由连续函数零点定理知,)(x f 在)1,1(-上⾄少有⼀实根. (提醒:本题亦可⽤反证法证明)22、设所求函数为)(x f y =,则有4)2(=f ,3)2('-=f ,0)2(''=f .因为126''-=x y ,故12'123C x x y +-=,由3)2('-=y ,解得91=C . 故22396C x x x y ++-=,由4)2(=y ,解得22=C . 所求函数为:29623++-=x x x y . 23、(1)61612113102===?y dy y S (2)4021)()21(2212πππ=-=-=?x x dx x V x24、解:积分区域D 为:u y ≤≤1,u x y ≤≤(1)-===uxuDdx x f x dy x f dx d x f u F 111)()1()()()(σ;(2))()1()('u f u u F -=,1)2()2()12()2('==-=f f F .2006年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、A7、2 8、)(0x f 9、1- 10、1 11、)cos sin (x x y e xy + 12、113、原式3221==--→x xx 14、21211122''t t t t x y dx dy tt =++-==,t t t t x dx dy dx y d t 411221)(22''22+=+== 15、原式C x x d x ++=++=?23 )ln 1(32)ln 1(ln 1第 6 页16、原式x d x dx x x xx x d x cos 24sin 2sin sin 20220202202+=-==πππππ24cos 2cos 24220202-=-+=πππx17、⽅程变形为2'-=x y x y y ,令x y p =则''xp p y +=,代⼊得:2'p xp -=,分离变量得:dx x dp p ??=-112,故C x p +=ln 1,C x x y +=ln . 18、令)1ln()(x x g +=,0)0(=g ,200'1)1()1()(+∞=∞=∑∑+-=-=n n n n nn x n dx x x g ,故201)1()(+∞=∑+-=n n n x n x f ,11<<-x . 19、{}1,1,11-n 、{}1,3,42-n ,k j i kj i n n l ++=--=?=3213411321直线⽅程为123123+=-=-z y x . 20、'22f x yz=??, ''222''213'2''22''212'2222)2(2yf x f x xf y f x f x xf xy z ++=?+?+=. 21、令33)(x x x f -=,[]2,2-∈x ,033)(2'=-=x x f ,1±=x ,2)1(-=-f ,2)1(=f ,2)2(-=f ,2)2(=-f ;所以2min -=f ,2max =f ,故2)(2≤≤-x f ,即233≤-x x .22、y x y +=2',0)0(=y通解为x Ce x y +--=)22(,由0)0(=y 得2=C ,故x e x y 222+--=. 23、(1)364)8(2222=--=?-dx x x S (2)πππ16)8()(284240=-+=??dy y dy y V 24、dx x f t dy x f dx dxdy x f tt t D t==000)()()(=≠=?00)()(0t a(1)0)(lim )(lim 00==?→→dx x f t g tt t ,由)(t g 的连续性可知0)(lim )0(0===→t g g a t (2)当0≠t 时,)()('t f t g =,第 7 页当0=t 时,)0()(lim )(lim )0()(lim )0(000'f h f hdx x f hg h g g h hh h ===-=→→→?综上,)()('t f t g =.2006年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、选择题(本⼤题共6⼩题,每⼩题4分,满分24分.)1、若21)2(lim 0=→x x f x ,则=→)3(lim0x f x x A 、21 B 、2 C 、3 D 、312、函数=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处A 、连续但不可导B 、连续且可导C 、不连续也不可导D 、可导但不连续3、下列函数在[]1,1-上满⾜罗尔定理条件的是A 、x e y =C 、21x y -=D 、xy 11-= 4、已知C e dx x f x +=?2)(,则=-?dx x f )('A 、C e x +-22B 、C e x +-221C 、C e x +--22D 、C e x +--2215、设∑∞=1n n u 为正项级数,如下说法正确的是A 、如果0lim 0=→n n u ,则∑∞=1n n u 必收敛B 、如果l u u nn n =+∞→1lim)0(∞≤≤l ,则∑∞=1n n u 必收敛 C 、如果∑∞=1n n u ,则∑∞=12n nu 必定收敛 D 、如果∑∞=-1)1(n n nu ,则∑∞=1n n u 必定收敛=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ,则??=Ddxdy y x f ),(A 、0B 、??1),(D dxdy y x f C 、2??1),(D dxdy y x f D 、4??1),(D dxdy y x f⼆、填空题(本⼤题共6⼩题,每⼩题4分,满分24分)第 8 页7、已知0→x 时,)cos 1(x a -与x x sin 是等级⽆穷⼩,则=a 8、若A x f x x =→)(lim 0,且)(x f 在0x x =处有定义,则当=A 时,)(x f 在0x x =处连续.9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ,?=103)(dx x f ,则=1')(dx x xf10、设1=,⊥,则=+?)(b a a11、设x e u xysin =,=??xu12、=??Ddxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三⾓形区域.三、解答题(本⼤题共8⼩题,每⼩题8分,满分64分)13、计算11lim31--→x x x . 14、若函数)(x y y =是由参数⽅程-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定,求dx dy 、22dx y d .15、计算?+dx xxln 1. 16、计算dx x x ?20.17、求微分⽅程2'2y xy y x -=的通解.18、将函数)1ln()(x x f +=展开为x 的幂函数(要求指出收敛区间). 19、求过点)2,1,3(-M 且与⼆平⾯07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平⾏的直线⽅程.20、设),(2xy x xf z =其中),(v u f 的⼆阶偏导数存在,求y z ??、x y z 2.四、证明题(本题满分8分).21、证明:当2≤x 时,233≤-x x .五、综合题(本⼤题共3⼩题,每⼩题10分,满分30分)22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2,求此曲线⽅程.第 9 页23、已知⼀平⾯图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成. (1)求此平⾯图形的⾯积;(2)求此平⾯图形绕y 轴旋转⼀周所得的旋转体的体积.24、设??=≠=??00)(1)(t a t dxdy x f t t g t D ,其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正⽅形区域,函数)(x f 连续. (1)求a 的值使得)(t g 连续;(2)求)('t g .2007年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、单项选择题(本⼤题共6⼩题,每⼩题4分,满分24分.)1、若2)2(lim0=→x x f x ,则=∞→)21(lim x xf xA 、41B 、21C 、2D 、42、已知当0→x 时,)1ln(22x x +是x n sin 的⾼阶⽆穷⼩,⽽x n sin ⼜是x cos 1-的⾼阶⽆穷⼩,则正整数=nA 、1B 、2C 、3D 、43、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ,则⽅程0)('=x f 的实根个数为B 、2C 、3D 、4 4、设函数)(x f 的⼀个原函数为x 2sin ,则=?dx x f )2('A 、C x +4cosB 、C x +4cos 21C 、C x +4cos 2D 、C x +4sin5、设dt t x f x ?=212sin )(,则=)('x fA 、4sin xB 、2sin 2x xC 、2cos 2x xD 、4sin 2x x 6、下列级数收敛的是A 、∑∞=122n n n B 、∑∞=+11n n nC 、∑∞=-+1)1(1n n nD 、∑∞=-1)1(n n n。

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<1>一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、下列各极限正确的是( )A 、e xx x =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211( ) A 、211x- B 、c x+-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=,且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ,则在)0,(-∞内必有 ( )A 、0)('<x f ,0)(''<x fB 、0)('<x f ,0)(''>x fC 、0)('>x f ,0)(''<x fD 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21( ) A 、0 B 、2C 、-1D 、15、方程xy x 422=+在空间直角坐标系中表示( ) A 、圆柱面 B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ,则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx xx22),(9、函数y x z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数,则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([ 三、计算题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 11、已知5cos )21ln(arctan π+++=x x y ,求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim2002⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点,并说明其类型.14、已知x y x y ln 2+=,求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ,求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ,D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点,并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ,若b ax x f +=2'3)(,且)(x f 在1=x 处取得极值,试确定a 、b 的值,并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =,其中f 具有二阶连续偏导数,求xz∂∂、y x z ∂∂∂2.四、综合题(本大题共4小题,第21小题10分,第22小题8分,第23、24小题各6分,共30分)21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,求(1)切线方程;(2)由2-=x y ,切线及x 轴围成的平面图形面积; (3)该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

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2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
1、若
2
1
)
2(lim 0=→x x f x ,则
=→)3
(lim
x f x
x ( ) A 、
2
1 B 、
2 C 、3
D 、
3
1 2



⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
01sin )(2
x x x
x x f 在
=x 处
( )
A 、连续但不可导
B 、连续且可导
C 、不连续也不可导
D 、可导但
不连续 3






[]
1,1-上满足罗尔定理条件的是
( ) A 、x
e y = B 、x y +=1 C 、2
1x y -= D 、x
y 1
1-
= 4、已知C e dx x f x +=⎰2)(,
则=-⎰dx x f )(' ( ) A 、C e
x
+-22
B 、
C e x +-221 C 、C e x +--22
D 、C e x +--22
1
5、设
∑∞
=1
n n
u
为正项级数,如下说法正确的是 ( )
A 、如果0lim 0
=→n n u ,则∑∞
=1n n u 必收敛 B 、如果l u u n
n n =+∞→1
lim
)0(∞≤≤l ,则∑∞
=1n n u 必收敛 C 、如果
∑∞
=1
n n
u
收敛,则
∑∞
=1
2
n n
u
必定收敛 D 、如果
∑∞
=-1
)
1(n n n
u 收敛,则∑∞
=1
n n u 必定收敛
6、设对一切x 有),(),(y x f y x f -=-,}0,1|),{(2
2
≥≤+=y y x y x D ,
=
1D }
0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ,则
⎰⎰=D dxdy y x f ),(
( )
A 、0
B 、
⎰⎰1
),(D dxdy y x f C 、2⎰⎰1
),(D dxdy y x f D 、4⎰⎰1
),(D dxdy y x f
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
7、已知0→x 时,)cos 1(x a -与x x sin 是等级无穷小,则=a 8、若A x f x x =→)(lim 0
,且)(x f 在0x x =处有定义,则当=A 时,)(x f 在0
x x =处连续.
9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ,⎰
=1
3)(dx x f ,则
⎰=1
'
)(dx x xf
10
1=,⊥,则=+⋅)(b a a
11、设x e u xy
sin =,
=∂∂x
u
12、=⎰⎰D
dxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三角形区域.
三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)
13、计算1
1lim
3
1
--→x x x .
14、若函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=+=t
t y t x arctan )1ln(2所确定,求dx dy 、2
2dx y
d . 15、计算

+dx x
x
ln 1. 16、计算dx x x ⎰
20
2cos π
.
17、求微分方程2
'2y xy y x -=的通解.
18、将函数)1ln()(x x x f +=展开为x 的幂函数(要求指出收敛区间).
19、求过点)2,1,3(-M 且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.
20、设),(2
xy x xf z =其中),(v u f 的二阶偏导数存在,求y z
∂∂、x
y z ∂∂∂2.
四、证明题(本题满分8分). 21、证明:当2≤x 时,233≤-x x .
五、综合题(本大题共3小题,每小题10分,满分30分)
22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2,求此曲线方程.
23、已知一平面图形由抛物线2
x y =、82
+-=x y 围成. (1)求此平面图形的面积;
(2)求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
24、设⎪⎩

⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1
)(t a t dxdy x f t t g t
D ,其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域,函数)(x f 连续. (1)求a 的值使得)(t g 连续; (2)求)('
t g .
2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、C
2、B
3、C
4、C
5、C
6、A
7、2
8、)(0x f
9、1- 10、1
11、)cos sin (x x y e xy
+ 12、1
13、原式322
131lim 2134
1
==--→x x
x 14、21211122''t t t t x y dx dy t t =++-
==,t t t t x dx dy dx y d t 411221
)(22
''22+=+==
15、原式C x x d x ++=++=

23
)ln 1(3
2
)ln 1(ln 1
16、原式x d x dx x x x
x x d x cos 24
sin 2sin sin 20
2
20
20
220
2⎰⎰⎰
+=
-==
π
π
π
π
π
24
cos 2cos 24
2
20
20
2
-=
-+=
⎰πππ
π
xdx x
x
17、方程变形为2
'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x y x y y ,令x y p =则''xp p y +=,代入得:2
'p xp -=,分离变
量得:
dx x dp p ⎰⎰
=-112
,故C x p +=ln 1
,C x x y +=ln . 18、令)1ln()(x x g +=,0)0(=g ,2
00'
1)1()1()(+∞
=∞
=∑∑+-=-=n n n n n
n
x n dx x x g , 故2
01
)1()(+∞
=∑+-=n n n x n x f ,11<<-x . 19、{}1,1,11-n 、{}1,3,42-n ,k j i k
j i
n n ++=--=⨯=321
34113
21
直线方程为
1
2
3123+=
-=-z y x .
20、'
22f x y
z =∂∂,''222''213'2''22''212'2222)2(2yf x f x xf y f x f x xf x y z ++=⋅+⋅+=∂∂∂. 21、令3
3)(x x x f -=,[]2,2-∈x ,033)(2
'
=-=x x f ,1±=x ,2)1(-=-f ,2)1(=f ,
2)2(-=f ,2)2(=-f ;所以2min -=f ,2m ax =f ,故2)(2≤≤-x f ,即233≤-x x .
22、y x y +=2'
,0)0(=y
通解为x
Ce x y +--=)22(,由0)0(=y 得2=C ,故x
e x y 222+--=. 23、(1)3
64
)8(2
2
22=
--=⎰
-dx x x S (2)πππ16)8()(284
24
=-+=⎰⎰
dy y dy y V
24、
dx x f t dy x f dx dxdy x f t
t
t
D t
⎰⎰⎰⎰⎰
==0
)()()(
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(0t a
t x f t g t
(1)0)(lim )(lim 0
00
==⎰→→dx x f t g t
t t ,由)(t g 的连续性可知0)(lim )0(0
===→t g g a t
(2)当0≠t 时,)()('
t f t g =,
当0=t 时,)0()(lim )(lim )0()(lim
)0(00
00'
f h f h
dx x f h g h g g h h
h h ===-=→→→⎰ 综上,)()('
t f t g =.。

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