2018重庆二诊理科数学答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试

4月调研测试卷

理科数学

参考答案

一、选择题1～6BABBCA

7～12ADCCDB

第（12）题提示：由ln 1x a ax b +++≤得0a >，即ln 10ax x a b --++≥，令()ln 1h x ax x a b =--++，

1()h x a x '=-

，()h x 在1(0)a ， 上递减，在1()a +∞， 上递增，min 1()(ln 20h x h a a b a ==-++≥，ln 2

1b a a a +-

≥，令ln 2()1x u x x +=-，2

ln 1()x u x x +'=，max 1

()(1u x u e e

==-，所以1b

e

a -≥二、填空题（13）64

（14）1

[)

3

-+∞， （15）36

（16）3

第（16）题提示：圆2

2

(3sin )(3cos )1x y αα+++=的圆心(3sin 3cos )αα--， 在圆2

2

9x y +=上，

当α改变时，该圆在绕着原点转动，

集合A 表示的区域是如右图所示的环形区域，直线34100x y ++=恰好与环形的小圆相切，所以A B 所表示的是直线34100x y ++=截圆2

2

16x y +=所得的弦长.

三、解答题

（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）π31()cos(2)sin 2cos 2sin 2sin 2622f x x x x x x =-

-=+-2π

sin(2)3

x =+令π2π3π2π22π232k x k +++≤≤，解得π5π

ππ1212

k x k -+

≤≤，k Z ∈单调递减区间为π5π

[ππ]1212

k k -+， ，k Z

∈（Ⅱ）2π1sin()32C +=，2π5π36C +=

，π

6

C =，外接圆直径28sin AB

r C

==，4r =，外接圆面积16π

S =（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题可得如下用车花费与相应频率的数表

花费1416182022频率

0.2

0.36

0.24

0.16

0.04

估计小刘平均每天用车费用为140.2160.36180.24200.16220.0416.96

⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2

用时不超过45钟的概率为0.8，~(20.8)

B ξ， 0022(0)0.80.20.04P

C ξ==⋅=，1112(1)0.80.20.32P C ξ==⋅=2202(2)0.80.20.64

P C ξ==⋅=ξ

012

P 0.04

0.320.64

20.8 1.6

E ξ=⋅=（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设8AB =，则13A M =，2AN =，16A N =，1

tan 2

AN NEA AE ∠=

=，111

tan 2A M MNA AN ∠=

=，1NEA MNA ∠=∠，又π2NEA ENA ∠=-∠，所以1π

2MNA ENA ∠=-∠，MN EN

⊥BC AC =，CE AB ⊥，

111ABC A B C -为直三棱柱，∴CE ⊥平面11AA B B ，

∴MN CE ⊥，MN ⊥平面CEN ，平面CMN ⊥平面CEN .

（Ⅱ）由AC BC ⊥，以C 为原点1CB CA CC

， ， 分别为x y z ， ，

轴建立空间直角坐标系.

3252

(8)22

M ， ，(0

2)N ，

设平面CMN 的法向量为1()n x y z =

， ， ，

由11104)0

n CM n n CN ⎧⋅=⎪⇒=-⎨⋅=⎪⎩

平面1CNA 的法向量2(100)n =

， ， 设所求二面角平面角为θ，1212310

cos 10||||

n n n n θ⋅==⋅

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设P 00()x y ， ，由题222222

0000222

1x y a y x a a b b

+=⇒-=-222

00000034

43

y y x a y x a x a ⋅=-⇒-=--+结合1c =得，2

4a =，2

3

b =所求椭圆方程为22

143

x y +=（Ⅱ）设直线:(1)AB y k x =-，联立椭圆方程2

2

3412x y +=得

2222(43)84120

k x k x k +-+-=得222218424343M k k x k k =⋅=++，2

3(1)43M M k y k x k =-=-+∴222444433N k x k k ==++，2

213(13(1)4433N N k k y x k k k

⋅-=--=-=++

由题，若直线AB 关于x 轴对称后得到直线A B ''，则得到的直线M N '

'与MN 关于x 轴对称，所以若直线MN 经过定点，该定点一定是直线M N ''与MN 的交点，该点必在x 轴上.

设该点为P (0)s ， ，()M M MP s x y =-- ， ，()M N M N NM x x y y =--

， 由//MP NM 得N M M N M N

x y x y s y y -=-，代入,M N 坐标化简得47s =

经过定点为4

(0)

7

， （21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）2

()ln 23F x x x x =--，1(41)(1)

()43x x F x x x x

-+'=

--=-()F x 在1(04， 上单调递增，在1

()4

+∞， 上单调递减.（Ⅱ）20000000

121

()()(2)ax bx f x g x ax b x x --''-=-+=

22

212121212002()()1212()222

x x x x a x x b x x ax bx a b ++-+-+--=--=

2111ln ax bx x +=，2222ln ax bx x +=，11121212122122

1

()()()ln

()ln x x a x x x x b x x a x x b x x x x +-+-=⇒++=-1

212121

121211222

2

1

()()ln ln 1x x x x x x

a x x

b x x x x x x x x +++++==--不妨设12x x >，令1

()ln 1

x h x x x +=

-(1)x >，下证12(1)44

()ln 2ln 2ln 2

1111

x x h x x x x x x x x +-=>⇔>=-⇔+>-+++4

()ln 1u x x x =+

+，222

14(1)()(1)(1)x u x x x x x -'=-=++，所以()(1)2u x u >=∴21212()()2a x x b x x +++>，00()()

f x

g x ''<（22）（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由题21:4C y x =，2

2

sin 4cos ρθρθ=，即2

sin 4cos ρθθ

=2:C 225x y x

+=（Ⅱ）联立2

4y x =和2

2

5x y x +=得1A x =，2

A y =设2

()4

m B m ，由OA OB ⊥，218m m m =-⇒=-，(168)B -，

1||||20

2AOB S OA OB ∆=⋅==