椭圆焦点三角形面积
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆．2、推导过程：如图所示设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎩⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2,2,22122212212222121PF PF PF PF F F cb a a PF PFc F F ⇒ )cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=b c a PF PF ） )2tan()2(cos 22cos2sin2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+=+⨯==∆附：设γβ=∠=∠P F F P F F 1221,,则离心率γβγβsin sin )sin(++=e ．证明如下：)sin(2sin sin 2)sin[(sin sin )sin[()](sin[sin sin 212121212121γβγβγβγβγβγβπγβ+=+⇒+=+++=+-==∆ca F F PF PF F F F F PF PF P F F 由等比定理得：中，由正弦定理得：在故γβγβsin sin )sin(++==a c e二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆．2、推导过程：如图所示设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有⎪⎩⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF c F F ，，⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ） 12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF附：设γβ=∠=∠P F F P F F 1221,,则离心率γβγβsin -sin )sin(+=e ．证明如下：γβγβγβγβγβγβγβγβπγβsin -sin )sin()sin(2sin -sin 2)sin(sin -sin -)sin()](sin[sin sin 212121212121+==+=⇒+=+=+-==∆a c e ca F F PF PF F F F F PF PF P F F 故由等比定理得：中，由正弦定理得：在。
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程： 设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2222122212212222121PF PF PF PF F F c b a aPF PF cF F ⇒)cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=bc a PF PF ）)2tan()2(cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221αb S F PF =∆．二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF cF F ⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ）12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF 即1-2)2tan(21αb S F PF =∆．。
椭圆焦点三角形面积公式
椭圆焦点三角形面积公式定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F . .2tan 221θb S PF F =∴∆ 同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 例 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan 221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！。
椭圆焦点三角形的面积
综上所述，点 P 到 x 轴的距离 9 或 9
45
课堂总结
椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的焦点三角形的面积为：
S△PF1F2
1 2
PF1
PF2
sin
S△PF1F2
b2
tan
2
S△PF1F2 c y0 .（ y0 为 P 点的纵坐标）
作业：
椭圆的焦点三角形练习（二）
谢 谢！
椭圆焦点三角形的面积：
在椭圆
C： x2
a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）中，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
P 是椭圆上任意一点， F1PF2 ，则焦点三角形的面积为
S△PF1F2
b2
tan
2
证明：
记 | PF1 | m, | PF2 | n
m
n
在 F1PF2 中，由余弦定理有：
m2 n2 2mn cos | F1F2 |2 4c2
|
1 2
,求
F1PF2 的面积。
PF1 . PF2 | PF1 | . | PF2
|
cos
1 2
60
,
tan
2
tan 30
3 3
SPF1F2
b2
tan
2
3
3
例 3：已知椭圆 x2 y2 1的左、右焦点分别是
25 9
F1, F2 ，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2 是一个直
角三角形的三个顶点，求点 P 到 x 轴的距离。
椭圆的焦点三角形
(第二课时）
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
椭圆焦点三角形面积
椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779 解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D.金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ. 故答案选D.4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a a c e ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-==120,21cos 2121θθ.3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。
椭圆双曲线焦点三角形面积公式
椭圆双曲线焦点三角形面积公式
椭圆双曲线焦点三角形面积公式指的是一种计算三角形面积的
公式，其中三角形的顶点分别为椭圆双曲线的两个焦点和一点，椭圆双曲线是二次曲线的一种，具有两个焦点和两个顶点。
该公式可以通过将三角形分解成三个小三角形，并利用椭圆双曲线的性质来求解。
具体公式如下：
设三角形顶点为 A、B、C，椭圆双曲线的两个焦点为 F、F，椭
圆双曲线的半轴长为 a、b，则有：
S △ABC = 2ab × sin ( ∠FAF ) × sin ( ∠FBF ) × sin ( ∠FCF )
其中，S △ABC 表示三角形 ABC 的面积，∠FAF、∠FBF、∠FCF 分别表示三角形 ABC 的三个内角所对应的椭圆双曲线焦点的角度。
通过上述公式，可以较为准确地计算椭圆双曲线焦点三角形的面积。
- 1 -。
焦点三角形面积公式
椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F .同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == Θ点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ F 2解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ 故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59B.779 C. 49D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D. 金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D.242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D.2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1B ．31C ．34D ．325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程. 答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ，Θ 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ，Θ 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ. 故答案选D.4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又Θ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. Θ 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又Θ3522=-==a b a ac e ， ∴95122=-a b ，即952012=-a.解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-==120,21cos 2121θθ.3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又Θ3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ； 当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ； 但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。
椭圆焦点三角形面积推导
椭圆焦点三角形面积推导
椭圆焦点三角形面积推导，是一种利用椭圆焦点定理和已知条件进行求解的方法。
椭圆焦点定理是一种有关椭圆的数学定理，它指出，任意的椭圆都有两个焦点，而且所有的抛物线都是由这两个焦点定义的。
三角形是一种最常见的多边形，它有三个角和三条边，它也是最基本的平面图形，可以应用到很多方面。
因此，椭圆焦点三角形面积推导就是通过利用椭圆焦点定理和已知条件，求解椭圆上任意三点组成的三角形的面积。
首先，我们要明确椭圆上三点的位置。
椭圆上任意三点A、B、C构成的三角形，如果将AB作为斜边，AC、BC作为射线，那么可以知道，AB的中点D，也就是AB的顶点，在椭圆的中心O上，因此，我们就可以确定三点A、B、C 的位置了。
其次，我们需要计算椭圆焦点三角形的长度。
因为我们已经知道三点的位置，计算三点之间的距离也不难。
我们可以使用勾股定理来计算，即三角形的三条边长a、b、c 分别等于√(x1-x2)²+(y1-y2)²，其中x1、x2分别为两点的横坐标，y1、y2分别为两点的纵坐标。
最后，利用海伦公式，就可以求出椭圆焦点三角形的面积。
海伦公式是一种用于求三角形面积的公式，它指出，若三角形的三条边分别为a、b、c，则三角形的面积
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2。
因此，只要将椭圆焦点三角形的三条边长代入，即可求出该三角形的面积。
总之，椭圆焦点三角形面积推导的方法是：首先，确定椭圆上任意三点的位置；其次，计算椭圆焦点三角形的三条边长；最后，利用海伦公式，即可求出椭圆焦点三角形的面积。
椭圆标准方程焦点三角形面积公式
椭圆焦点三角形面积公式的应用性质 1( 选填题课直接用，大题需论证 ):在椭圆x 2 y 2 1 a b ＞ 〕中，焦点分别为F 1 、F 2 ，点 P 是椭圆上任意一点，a 2b 2 〔 ＞ 0F 1 PF 2，那么 S F PF b 2 tan .y212P证明：记 | PF 1 | r 1 ,| PF 2 | r 2 ，由椭圆的第一定义得 Pr 1 r 2 2a,(r 1r 2 ) 24a 2 .F 1 OF 2x在△ F 1 PF 2 中，由余弦定理得： r 1 2r 2 2 2r 1r 2 cos(2c) 2 .配方得： (r 1r 2 )2 2r 1r 22 2 cos 4 c 2 .r 1r即 422 r 1r 2 (1 cos ) 4 c 2 . a r 1r 22( a 2 c 2 )2b 2.1 cos1cos由任意三角形的面积公式得：1r 1r 2 sin sin2sincosSF PF2b 2b 22 2 b 2 tan .121 cos2 cos 222SF PF2b 2 tan .12同理可证，在椭圆 y2x 2 1 〔 a＞ b ＞ 〕中，公式仍然成立.a 2b 2典型例题22例 1 假设 P 是椭圆xy1上的一点，F 1、 F 2 是其焦点，且 F 1PF 260 ，求10064△ F 1 PF 2 的面积 .例 2已 知 P 是 椭 圆x 2y 2 1 上 的 点 ， F 1 、 F 2 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 假设25 9PF 1 PF 21，那么△ F 1 PF 2 的面积为〔〕| PF 1 | | PF 2 |2A. 3 3B.2 3C.3D.33例 3〔 04 湖北〕椭圆 x2y 2 1的左、 右焦点分别是 F 1、 F 2 ，点 P 在椭圆上 . 假设 P 、F 1、16 9F 2 是一个直角三角形的三个顶点，那么点P 到 x 轴的距离为〔〕A. 9B.9 7 C.9 D.9 或 9 757447答案：例 1假设 P 是椭圆x 2y 21上的一点，F 1、 F 2 是其焦点，且 F 1PF 260 ，求10064△ F 1 PF 2 的面积 .x 2y 26, 而60 . 记 | PF 1 | r 1 , | PF 2 | r 2 .解法一：在椭圆 1001 中， a 10, b 8, c64点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：r 1 r 2 2a 20.在△ F 1 PF 22 22r 1r 2 cos(2c) 2 .中，由余弦定理得： r 1 r 2配方，得： ( r 1r 2 )23r 1r 2 144.400 3r 1r 2144. 从而 r 1r 2256 .3SF 1 PF 21r 1r 2 sin1 256 3 64 3 .22 32 3解法二：在椭圆x 2y21 中， b2 64 ，而60 .100 64SF 1PF 2b 2 tan64 tan 30 64 3 .23解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知 P 是椭圆x2 y 21 上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，假设25 9PF1 PF2 1，那么△ F1PF2 的面积为〔〕| PF1 | | PF2 | 2A. 3 3B. 2 3C. 3D.3 3解：设F1 PF2 ，那么 cosPF1 PF2 1，60 . | PF1 | | PF2 | 2S F PF2 b 2 tan 9 tan 303 3.1 2 应选答案 A.例 3〔 04 湖北〕椭圆x2y 2 1的左、右焦点分别是F1、 F2，点P在椭圆上.假设 P、F1、16 9F2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P 到x轴的距离为〔〕A. 9B. 9 7C. 9D. 9 或 9 75 7 4 4 7解：假设 F1或 F2是直角顶点，那么点P 到x轴的距离为半通径的长b2 9；假设 P 是直角顶点，设a 4 点 P 到x轴的距离为 h，那么S FPF2 b2 tan 9 tan 45 9 ，又 S F PF21(2c) h 7h,1 2 1 27h 9 ， h 9 7. 故答案选 D. 7金指点睛1( 略 ). 椭圆 y 2 x2 1上一点P与椭圆两个焦点F1、 F2的连线互相垂直，那么△F1 PF2的面积为49 24〔〕A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆x221的左右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，当△ F1 PF2的面积为PF1 PF2 y 1 时，4的值为〔〕A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆 x2 y 2 1的左右焦点为 F 、F ，P 是椭圆上一点，当△F P F 的面积最大时，PF1 PF24 1 2 1 2的值为〔〕A. 0B. 2C. 4D. 24．椭圆x2 y2 1〔 a ＞1〕的两个焦点为F1、 F2，P为椭圆上一点，且F1PF2 60 ，a 2那么 |PF1 | | PF2 |的值为〔〕A．1 B ．1C ．4D ．2 3 3 35. 椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、 F2 为焦点，点 P 在椭圆上，直线PF1与 PF2倾斜角的差为90 ，△ F1PF2的面积是20，离心率为5，求椭圆的标准方程 . 36．椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，且PF1 PF21，△ F1 PF2 | PF1 | | PF 2 | 2的面积是 3 ，准线方程为 x 4 3，求椭圆的标准方程 .3 答案1. 解： F1PF2 90 ,b 2 24 ，S F PF2 b2 tan 24 tan 45 24 .1 2 故答案选 D.2. 解：设F1 PF2 ，S F PF2 b2 tan tan 1 ，45 , 90 ， 1PF 20 .1 2 2 2 PF故答案选 A.3. 解： a 2, b 1,c 3 ，设F1 PF2 ，S F1PF2 b 2 tan tan ，2 2当△ F1 PF2的面积最大时，为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点，120 ，PF1 PF2 | PF1 | | PF2 | cos a 2 cos120 2 .故答案选 D.4．解：F1 PF2 60 ， b 1 ， S F1PF2 b 2 tan tan30 3 ，2 3又SF1PF21| PF1 | | PF2 | sin3| PF1 | | PF2 |，2 43| PF1 | | PF 2 | 3，从而 | PF1 | | PF 2 | 4 .4 3 3 故答案选 C.5. 解：设F1PF2 ，那么90 .SF PF2b 2 tan2b2 tan 45 b 2 20 ，1又 e c a 2 b 2 5 ，a a 31 b2 5，即 1 20 5 .a2 9 a2 9解得： a 2 45 .所求椭圆的标准方程为x 2 y 2 1或 y 2 x2 1.45 20 45 206．解：设F1PF2 ， cos PF1 PF2 1 , 120 .| PF1 | | PF2 | 2SF1PF2 b 2 tan b2 tan 60 3b 2 3 ， b 1 .2又 a 2 4 3 ，即 c2 b2 c 2 1 c 1 4 3 3 3 .c 3 c c c 3 3c 3 或 c 3 .3当 c 3 时，a b 2 c2 2 ，这时椭圆的标准方程为x 2 y 2 1 ；4当 c3时， a b 2 c22 3，这时椭圆的标准方程为x2 y 2 1；3 3 43但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60 ，不合题意 .故所求的椭圆的标准方程为x 2 y2 1.4性质二： 有关角的问题椭圆方程为x 2 y 2 1(a b 0), 左右两焦点分别为F 1, F 2 , 设焦点三角形 PF 1F 2 ，a 2b 2若 F 1 PF 2 最大，那么点 P 为椭圆短轴的端点。
焦点三角形的面积公式推导过程
焦点三角形的面积公式推导过程焦点三角形是以一个椭圆的两个焦点和任意一点为顶点所构成的三角形。
焦点三角形的面积可以通过以下公式计算：$S = \frac{a\times c}{2}$其中，$a$ 和 $c$ 分别表示焦点到三角形顶点的距离。
这个公式可以通过以下步骤推导得到：1. 根据椭圆的定义，椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和是一个定值，即椭圆的两个焦距之和。
设椭圆的焦点为 $F_1(0,-c)$ 和$F_2(0,c)$，则对于任意一点 $P(x,y)$，有 $PF_1+PF_2=2c$。
2. 将焦点三角形的顶点 $P$ 沿着椭圆的长轴线移动，直到$P$ 与椭圆的两个焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 重合，此时焦点三角形就变成了一个直角三角形。
3. 在直角三角形中，设 $PF_1=a$，$PF_2=c$，则根据勾股定理可知 $a^2+b^2=c^2$，其中 $b$ 是直角边的长度。
4. 将 $a^2+b^2=c^2$ 中的 $a$ 替换为 $PF_1$，得到 $S = \frac{1}{2}PF_1\times \sqrt{c^2-PF_1^2}$。
因为椭圆的长轴长度就是 $c$，所以我们可以将上式中的 $\sqrt{c^2-PF_1^2}$ 替换为$\sqrt{c^2-a^2}$。
5. 最后，将 $a^2+b^2=c^2$ 中的 $b$ 替换为 $\sqrt{c^2-a^2}$，得到 $S = \frac{1}{2}a\times \sqrt{c^2-a^2}$。
由于$PF_1=a$，所以我们可以将上式中的 $a$ 替换为 $PF_1$，得到最终的面积公式 $S = \frac{a\times c}{2}$。
拓展一下，焦点三角形还有一些其他的性质：1. 焦点三角形的外心在椭圆长轴的中点，即$O(\frac{a}{2},0)$。
2. 焦点三角形的内心在椭圆的中心点，即 $I(0,0)$。
3. 焦点三角形的重心在椭圆的短轴的中点，即$G(0,\frac{b}{2})$。
椭圆焦点三角形面积二级结论
椭圆焦点三角形面积二级结论
椭圆焦点三角形面积二级结论是一个数学中的重要定理，也被称为“双焦点三角形面积定理”。
它是由18世纪意大利数学家埃尔米努耳·布朗诺斯费罗于1759年提出的，他发现如果将椭圆的两个焦点连接成一条直线，这条直线将会在椭圆上切割出一个三角形，其面积与椭圆周长之比是固定的，这就是椭圆焦点三角形面积二级结论。
椭圆焦点三角形面积二级结论的公式为：S=2*a*b*π,其中 a 为椭圆的长轴半径，b 为短轴半径，π 为圆周率。
该定理的应用范围也很广泛，对于正常椭圆，其长轴半径a等于短轴半径b，此时定理变为：S=2*a^2*π，这个结论也被称为“平行轴定理”，可以用来计算椭圆的面积。
同时，这个定理也可以用来计算椭圆的周长，根据定理，椭圆周长C=4*a*b*π，其中 a 和 b 是椭圆的长轴半径和短轴半径。
此外，椭圆焦点三角形面积二级结论也可以用来计算椭圆的曲线长度，由定理可知，椭圆的曲线长度
L=2*a*b*π，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴半径和短轴半径。
此外，椭圆焦点三角形面积二级结论还可用于求解椭圆的两个焦点的距离，由定理可知，椭圆的两个焦点的距离d=2*√(a^2-b^2)，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴半径和短轴半径。
椭圆焦点三角形面积二级结论还可以用来计算椭圆的一些几何特征，如椭圆的短轴半径b可以通过长轴半径a、面积S以及椭圆的曲线长度L来求解。
综上所述，椭圆焦点三角形面积二级结论是一个非常重要的数学定理，它不仅可以用来计算椭圆的面积、周长、曲线长度等，还可以用来求解椭圆的两个焦点的距离以及椭圆的一些几何特征，广泛应用于数学和几何学方面。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)：椭圆焦点三角形的面积
今天我们研究椭圆焦点三角形的面积。
椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。
其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形。
先看例题：例：已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).求椭圆C的方程.解:依题意,设椭圆C的方程为22221x ya b+=(a>b>0)焦距为2c,由题设焦点和短轴的两个端点围成正方形且面积为8可知：b=c, a2=8，进而22142b a==,故椭圆C的方程为22184x y+=.归纳整理：12焦点三角形的面积求法：2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=；122r r a += 22212122cos (2)r r r r c θ+-= ∴222122()21cos 1cos a c b r r θθ-==++ 122121sin sin 21cos FP F Sr r b θθθ==+；再看一个例题，加深印象： 例：若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积. 解：可以直接用焦点三角形面积公式计算，即122121sin 643sin 21cos FP F S r r b θθθ===+ 注意：不必死记硬背公式，也可以求解，我们只需要记住求解思路，具体问题具体分析即可。
在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==3点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r .144340021=-∴r r 从而.325621=rr .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F总结：1.椭圆焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有椭圆的定义、余弦定理等.2.掌握椭圆焦点三角形的面积公式，根据已知条件合理选择面积公式计算.练习：1.已知点P 是椭圆2216251600x y +=上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为43-，求12PF F ∆的面积.2.曲线C 是平面内与两个顶点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.4给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点;②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于212a . 其中,所有正确结论的序号是________. 3. 已知F 1,F 2是椭圆C:22221x y a b+=(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥ .若△PF 1F 2的面积为9,则b=________.答案：1. 解：椭圆即22110064x y +=，所以右焦点()26,0F 直线PF 2为)6y x =--，代入椭圆方程，消去x得2197680y --= 因为0y >，所以y =P的纵坐标P y =，所以12122PF F P S c y ∆=⨯⨯=。
椭圆焦点三角形面积
椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779 解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D.金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ. 故答案选D.4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a a c e ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=120,21cos 2121θθ.3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。
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椭圆焦点三角形面积公式的应用
多年来，椭圆、双曲线相关的焦点∆21F PF
,(为曲线上的任意一点P 21F F 与为曲线的焦点）中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是
高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势.现列举部分典型试题说明其应用类型.
定理 在椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，
θ=∠21PF F ，则2
tan
2
21θ
b S PF F =∆.
证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得
.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ
配方得：.4cos 22)(2
2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242
212
c r r a =+-θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ+=+-=∴b c a r r
由任意三角形的面积公式得：
2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ⋅=⋅=+⋅==
∆b b b r r S PF F .
.2
tan 221θ
b S PF F =∴∆
同理可证，在椭圆122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.
典题妙解
例1 若P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.
解法一：在椭圆
164
1002
2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==
点P 在椭圆上，
∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ
配方，得：.1443)(212
21=-+r r r r
.144340021=-∴r r 从而.3
256
21=
r r .3
36423325621sin 212121=⨯⨯==
∆θr r S PF F 解法二：在椭圆
1641002
2=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .3
3
6430tan 642
tan
221=
︒==∴∆θ
b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
例2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，2
1
||||2121=⋅PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）
A. 33
B. 32
C.
3 D.
3
3
解：设θ=∠21PF F ，则2
1
|
|||cos 2121=
⋅=
PF PF PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92
tan
221=︒==∴∆θ
b S PF F
故选答案A.
例3（04湖北）已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）
A.
59 B. 779 C. 49 D. 4
9
或
7
7
9
解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4
9
2=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92
tan
221=︒==∆θ
b S PF F ，又,7)2(2
1
21h h c S PF F =⋅⋅=
∆ 97=∴h ，.7
7
9=
h 故答案选D. 金指点睛
1. 椭圆124
492
2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
2. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6
3. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 2-
4．已知椭圆12
22=+y a
x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，
则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1
B ．
3
1 C ．
3
4 D ．
3
2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为
3
5
，求椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21
|
|||212
1-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为3
3
4±=x ，求椭圆的标准方程.
参考答案
1. 解：24,902
21=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242
tan
221=︒==∆θ
b S PF F .
故答案选D.
2. 解：设θ=∠21PF F ， 12
tan
2
tan
221===∆θ
θ
b S PF F ，∴
︒=︒=90,452
θθ
，021=⋅PF PF .
故答案选A. 3. 解：3,1,2=
==c b a ，设θ=∠21PF F ， 2
tan
2
tan
221θ
θ
==∆b S PF F ，
∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，
∴2120cos cos ||||2
2
121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ. 故答案选D.
4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3
330tan 2
tan
2
21=
︒==∆θ
b S PF F ， 又 ||||4
3sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=
∆θ， ∴
33||||4321=⋅PF PF ，从而3
4
||||21=⋅PF PF . 故答案选C.
5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2
tan
22221==︒==∆b b b S PF F θ
，
又 3
5
22=-=
=a b a a
c e ， ∴95122=-a b ，即95
2012=-a
.
解得：452=a .
∴所求椭圆的标准方程为
1204522=+y x 或120
452
2=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=
120,21
|
|||cos 212
1θθPF PF PF PF .
3360tan 2
tan
22221==︒==∆b b b S PF F θ
，∴1=b .
又 3342=c a ，即3
3
333411222+==+=+=+c c c c c b c .
∴3=c 或33=c .当3=c 时，22
2=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为
1422=+y x ； 当33=c 时，3
322
2=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13
422=+y x ；
但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.
故所求的椭圆的标准方程为14
22
=+y x .。