第六章方差分析的基本原理
方差分析的原理
方差分析的原理
（1）方差分析的概念
方差分析的目的是推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
当我们用多个t 检验来完成这一过程时，相当于从t 分布中随机抽取多个t 值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了Ⅰ型错误的概率。
我们可以把方差分析看作t 检验的增强版。
（2）方差的可分解性
方差分析依据的基本原理就是方差的可加性原则。
作为一种统计方法，方差分析把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。
数据的变异由两部分组成： 组内变异：由于实验中一些希望加以控制的非实验因素和一些未被有效控制的未知因素造成的变异，如个体差异、随机误差
组内变异是具体某一个处理水平之内的，因此在对总体变异进行估计的时候不涉及研究的处理效应。
组间差异：不仅包括组内变异的误差因素，还包括了是不同组所接受的实验处理不同造成的影响
如果研究数据的总变异是由处理效应造成的，那么组间变异在总变异中应该占较大比例。
B M S 表示组间方差，B B B
SS M S df =，1B df k =-，k 表示实验条件的个数 W
M S 表示组内方差，W
W W SS M S df =，()1W df k n =-，n 表示每种实验条件中的被试个数
（3）方差分析的基本假定
①样本必须来自正态分布的总体
②每次观察得到的几组数据必须彼此独立 ③各实验处理内的方差应彼此无显著差异
为了满足这一假定，我们可采用最大F 比率法2m ax m ax 2m in s F s ，求出各样本中方差最
大值与最小值的比，通过查表判断。
文章来源：博仁教育。
方差分析原理
第六章 方差分析第一节 方差分析的基本原理上章介绍了1个或两个样本平均数的假设测验方法。
本章将介绍k (k ≥3)个样本平均数的假设测验方法，即方差分析(analysis of variance)。
方差分析就是将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。
其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。
因而，方差分析象上章的t 测验一样也是通过将试验处理的表面效应与其误差的比较来进行统计推断的，只不过这里采用均方来度量试验处理产生的变异和误差引起的变异而已。
方差分析是科学的试验设计和分析中的一个十分重要的工具。
本章将在介绍方差分析基本原理和方法的基础上进一步介绍数学模型和基本假定。
一、自由度和平方和的分解方差是平方和除以自由度的商。
要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分。
因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。
下面先从简单的类型说起。
设有k 组数据，每组皆具n 个观察值，则该资料共有nk 个观察值，其数据分组如表。
表 每组具n 个观察值的k 组数据的符号表组别 观察值(ij y ，i =1，2，…，k ；j =1，2，…，n )总和平均均方 1 11y 12y … j y 1… n y 1 1T 1y 21s221y22y… j y 2… n y 22T2y22s……i1i y2i y…ij y…in yi Ti y2i s……k1k y 2k y … kj y … kn y k T k y2s∑∑==y y T ijy在表中，总变异是nk 个观察值的变异，故其自由度1-=nk ν，而其平方和T SS 则为：∑-∑=-=nknkijij T C y y y SS 1122)( （6·1） (6·1)中的C 称为矫正数：nkT nk y C 22=∑=)( (6·2) 这里，可通过总变异的恒等变换来阐明总变异的构成。
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
方差分析的基本原理是什么
方差分析的基本原理是什么
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个不同组之间的平均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过对数据的方差进行分解，将总平方和分解为组内平方和和组间平方和，从而判断不同组之间的差异是否超过了由随机因素引起的差异。
具体步骤如下：
1. 假设组间和组内的观测值都来自于正态分布的总体，并且方差相等（方差齐性）。
2. 计算组内平方和（误差平方和），即每个组内观测值与该组的平均值之差的平方和。
3. 计算组间平方和（效应平方和），即每组平均值与总体均值之差的平方和乘以每组样本量。
4. 比较组间和组内的方差大小，通过计算F统计量来衡量两
者之间的差异。
5. 根据显著性水平（如α=0.05），比较计算得到的F值与临
界F值进行比较，判断差异是否显著。
6. 若差异显著，则可以得出结论：不同组之间的平均值存在显著差异。
方差分析能够帮助研究者确定实验结果的可靠性和效应的大小，以及不同因素对结果的影响程度。
它广泛应用于各个领域的实验设计和数据分析中。
方差分析的原理
方差分析的原理方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上组的均值是否相等。
它是一种用于检验组间差异是否显著的方法，通常用于实验设计和数据分析中。
方差分析的原理基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。
方差分析的原理可以通过以下步骤来解释，首先，假设我们有多个组，每个组都有一定的样本量和均值。
我们想要知道这些组的均值是否有显著差异。
方差分析的原理就是通过计算组间变异和组内变异来判断这一点。
具体来说，方差分析的原理包括以下几个步骤：1. 计算组内变异，首先，我们计算每个组内观察值与该组均值的偏差平方和。
这个偏差平方和反映了每个组内观察值与该组均值之间的差异程度。
2. 计算组间变异，然后，我们计算每个组均值与总体均值的偏差平方和。
这个偏差平方和反映了每个组均值与总体均值之间的差异程度。
3. 比较组间变异和组内变异，接下来，我们比较组间变异和组内变异的大小。
如果组间变异显著大于组内变异，说明组间均值存在显著差异；反之，如果组间变异远小于组内变异，说明组间均值之间没有显著差异。
4. 判断显著性，最后，我们通过F检验或t检验来判断组间均值是否有显著差异。
如果F值或t值大于一定的临界值，我们就可以拒绝原假设，认为组间均值存在显著差异；反之，如果F值或t值小于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为组间均值之间没有显著差异。
方差分析的原理是基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。
它是一种常用的统计方法，可以帮助研究者判断不同组之间的差异是否显著，对于实验设计和数据分析具有重要意义。
通过深入理解方差分析的原理，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地进行数据分析和实验设计。
统计学中的方差分析方差分解原理
统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组别之间的均值差异是否显著。
方差分析可以帮助我们确定自变量对因变量的影响力，同时也可以进行方差分解，从而解释观测数据中的差异。
一、方差分析的基本原理方差分析基于总体均值模型，假设总体均值为μ，而其中的不同组别（A、B、C等）的均值分别为μA、μB、μC等。
我们的目标是确定组别之间的均值差异是否显著，即是否存在统计上的差异。
方差分析通过计算组内方差(SSE)和组间方差(SSA)来判断差异的显著性。
组内方差反映了组别内个体差异对总体差异的贡献，而组间方差则反映了不同组别均值之间的差异。
如果组间方差显著大于组内方差，则可以认为不同组别的均值差异是显著的。
二、方差分解原理方差分解是指将总体方差(总方差)分解为不同来源的方差组成部分。
在方差分析中，总方差可以分解为组内方差和组间方差，从而揭示组别之间的差异贡献。
1. 总方差总方差(SSTotal)表示了观测数据整体的离散程度。
它是每个观测数据与总体均值之差的平方和，即SSTotal = Σ(xi - X)^2，其中xi为第i个观测数据，X为总体均值。
2. 组内方差组内方差(SSE)表示了组别内个体之间的离散程度。
它是每个观测数据与所在组别均值之差的平方和的总和，即SSE = Σ(xi - X i)^2，其中xi为第i个观测数据，X i为第i个组别的均值。
3. 组间方差组间方差(SSA)表示了不同组别之间的离散程度。
它是每个组别均值与总体均值之差的平方和的总和，即SSA = Σ(ni * (X i - X)^2)，其中ni为第i个组别的样本量，X为总体均值，X i为第i个组别的均值。
通过对总方差的分解，我们可以得到方差分析的F值，用于判断组间方差是否显著大于组内方差。
如果F值大于临界值，即说明组别之间的均值差异是显著的。
三、方差分析的假设条件在进行方差分析时，需要满足以下假设条件，以保证结果的可靠性：1. 独立性：样本间相互独立，每个样本在分析过程中不会相互影响；2. 正态性：每个组别的样本符合正态分布；3. 方差齐次性：各组别的方差相等。
第六章方差分析
叫多重比较。
最小显著差数法(LSD法)
最小显著差数法的实质是两个平均数相比较的t检验法。 检验的方法是首先计算出达到差异显著的最小差数， 记为LSD，然后用两个处理平均数的差与LSD比较， 若 x1 x2 LSD，即为在给定的。水平上差异显著，反
之，差异不显著。
在t检验中，
第六章方差分析
例6.1
DependentVa riable: 猪增重（kg） L SD
2 e
，同时给出HA：
2
t
2 e
F
s
2 1
s
2 2
结第论六章方差分析
平方和的分解
设试验A具有k个处理样本，每个样本有n个观测值，则试 验A共有nk个观测值。
处理间变异
试验变异
(总变异)
处理间平方和 处理内平方和
k
n (xi x)2
j
kn
(x xi )2
ji
处理内变异
kn
总平方和 (x x)2
1、均方的分解。 2、试验处理和水平的确定。
第六章方差分析
第一节 方差分析的基本原理
问题的提出
某猪场对4个不同品种幼猪进行4个月增重量的测定，每个品种选择体重接近的幼 猪4头，测定结果列于表中，请问那个品系的增重效果最好？（p85,例6.1）
如果采用T检验进行一对一比较的方法检验4个样本平均数之间的差异显著性，
*. Th e mean d ifferen ce is sign ifican t at the .0 5 level.
第六章方差分析
Sig. .034 .008 .179 .034 .428 .356 .008 .428 .100 .179 .356 .100
第六章-方差分析
2021/4/9
20
第二节 单因素方差分析
以下是使用精确分布检验的程序： proc npar1way data=sasuser.veneer median
wilcoxon; class brand; var wear; exact;
run;
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21
第三节 多因素方差分析
如果观测数据受到两个或两个以上因 素的不同水平的影响，我们就称之为多因 素问题，所用的统计方法称为多因素方差 分析。
程序文件：p222.sas
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24
第三节 多因素方差分析
2、考虑交互作用时 例题：有A、B两种药物治疗缺铁性贫血，患者 12例，分为4组。实验方案是：第一组用一般疗 法，第二组在一般疗法基础上加用A药，第三组 在一般疗法基础上加用B药，第四组在一般疗法 基础上A、B两药同时使用，一个月后观察红细 胞增长数(百万/m3)，分析两种药物的疗效。数据 如下：
3、var语句——指明表示分析变量。
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第二节 单因素方差分析
对数据集sasuser.veneer使用非参数方 法比较四种牌号磨损指数的程序为：
proc npar1way data=sasuser.veneer median wilcoxon;
class brand; var wear; run;
单选： Standard models => effects up to 2-way interactions 4、means => comparisons。参数设置方法同上。 5、OK
=> Cross 4、OK。 数据文件：d148
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第三节 多因素方差分析
生物统计学 第六章 方差分析
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
【生物统计】第六章 方差分析
722 922 562 1162 SSt C 7056 504 n 4
Ti 2
dft k 1 4 1 3
SSe SST SSt 602 504 98
dfe dfT dft k (n 1) 4 (4 1) 12
yij y
Ｃ
试 验 误 差
yi y
Ａ ＢLeabharlann yij yiＡ Ｂ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｃ
-2 -2 -2 -2
0 0 0 0
2 2 2 2
-3 -2 -2 -1
-1 0 0 1
0 1 2 5
-1 0 0 1
-1 0 0 1
-2 -1 0 3
SSt n( yi y )2 32
SST ( yij y )2 50
2 2
因为
SST ( yij y ) ( yij yi yi y )
2
( y y ) 0
i
所以 SST SSt SSe
第一节 方差分析的基本原理
自由度的分解 总自由度： 处理项自由度： 误差项自由度：
dfT nk 1
dft k 1
dfe dfT dft k (n 1)
SSe ( yij yi )2 18
第一节 方差分析的基本原理
通过前面的平方和的直观分解可以看出： SSe SSt
SST SSt SSe
2
当然也可以由公式推导出来：
( yij yi ) ( yi y ) 2 (yij yi ) ( yi y )
18 23 14 29
y 21
第一节 方差分析的基本原理
方差分析的原理及依据
方差分析的原理及依据
方差分析是一种统计学方法，用于比较两个或多个组的平均值是否有显著差异。
方差分析的原理及依据是基于正态分布的假设，即每个组的数据符合正态分布，并且组间、组内的方差相等。
方差分析的原理：
方差分析的原理是通过比较组间方差与组内方差来判断不同组别之间是否有显著差异。
其中组间方差是指各组样本均值与总均值之间的差异，而组内方差则是指各样本值与对应组样本均值之间的差异。
在正态分布假设下，这两种方差是服从F分布的，因此可以通过计算组间方差与组内方差的比值F值，来确定不同组别之间是否有显著差异。
方差分析的依据：
方差分析的依据主要是基于以下假设：
1. 各组的数据是独立的。
2. 各组的数据符合正态分布。
3. 各组的方差相等。
基于这些假设，方差分析可以推导出各组均值之间的差异是否为随机变异的结果。
如果差异不是由随机变异引起的，而是由于不同组别之间确实存在差异，那么这些差异就是有意义的，需要对其进行进一步分析。
通过方差分析，可以找出不同组别之间的差异，并确定哪些因素对组别之间的差异产生了影响。
例如，在生产过程中，通过分析不同生产批次之间的质量差异，可以找出影响质量的因素，并进一步进行改进。
在医学研究中，通过比较不同药物治疗组之间的效果，可以找出哪种药物最为有效，并为临床应用提供依据。
总之，方差分析作为一种统计学方法，在各个领域都具有重要的应用价值。
通过对不同组别之间的差异进行分析，可以为相关领域的决策和实践提供有力的支持。
09第9讲第六章-方差分析第一节-方差分析的基本原理与步骤
SSt==-∑C nT i 7.4428.1520764378323352335356=-++++ SSe=SST-SSt=603.2-442.7=160.5 进而计算各部分方差：68.11047.4422==t s 7.10155.1602==e s二、F 分布与F 检验1．F 分布设想在一正态总体N （μ，σ2）中随机抽取样本含量为n 的样本k 个，将各样本观测值整理成表6-1的形式。
此时的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。
因此，由上式算出的2t S 和2e S 都是误差方差2σ的估计量。
以2e S 为分母，2t S 为分子，求其比值。
统计学上把两个方差之比值称为F 值。
即 22/e t S S F =F 具有两个自由度：)1(,121-==-==n k df k df e t νν。
F 值所具有的概率分布称为F 分布。
F 分布密度曲线是随自由度df 1、df 2的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df 1、df 2的增大逐渐趋于对称，如下图所示。
F 分布的取值范围是（0，+∞），其平均值F μ=1。
用)(F f 表示F 分布的概率密度函数，则其分布函数)(αF F 为：⎰0=<=αααF dF F f F F P F F )()()(因而F 分布右尾从αF 到+∞的概率为：⎰+∞=-=≥αααFdF F f F F F F P )()(1)(附表F 值表列出的是不同1ν和2ν下，P (F ≥αF )=0.05和P (F ≥αF )=0.01时的F 值，即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F 0.05，F 0.01。
如查F 值表，当v 1=3，v 2=18时，F 0.05=3.16，F 0.01=5.09，表示如以v 1=df t =3，v 2=df e =18在同一正态总体中连续抽样，则所得F 值大于3.16的仅为5%，而大于5.09的仅为1%。
2．F 测验F 值表是专门为检验2t S 代表的总体方差是否比2e S 代表的总体方差大而设计的。
SPSS_第6章 方差分析
-12.3756
15.7090
-31.0423
-2.9577
-15.7090
12.3756
-32.7090
-4.6244
2.9577
31.0423
4.6244
32.7090
40
结果2
英语
Subset for alpha = .05
Student-Newman-Keul sa
g rou p 2 1 3 Si g.
Std. Deviation 13.70280 12.42176 6.96898 13.79175
Std. Error 5.59414 5.07116 2.84507 3.25075
95% Confidence Interval for M ea n
Lower Bound Upper Bound
58.7865
75 70
74
80 72
72
77 66
68
68 72
71
75 70
71
75 70
Xt =72
4
从上表可知，三种不同实验教材的教学效果不完全 一致，表现在三个不同实验处理组的平均数之间存 在差异；同时，同一实验组内部的5名样本的反应变 量也存在差异。
5
我们可以将三个实验组的所有15名样本分数的差异 分为两部分：实验组间的差异（称为组间差异）和 实验组内的差异（称为组内差异）。
18.66667* 6.58815
*. The mean difference is significant at the .05 level.
Si g. .804 .021 .804 .013 .021 .013
95% Confidence Interval
6第六章 单因素方差分析
32
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析
33
①建立原假设“H0：各组平均数相等” ②构造统计量“F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（a-1），计算组内均 方时，使用自由度为a（n-1）。 ③F满足第一自由度为（a-1），第二自由度为a（n-1） 的F分布。查表。 ④推断：若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各
方差分析也主要是由 Fisher推导出来的，也叫F 检验。
6
方差分析优缺点
优：可以一次检验多组样本，避免 了t检验一次只能比较两组的缺陷。 缺：只能反映出各组样本中存在着
差异，但具体是哪一组样本存在差异，
无法进行判定。
方差分析的基本原理7差分析的意义其目的是推断两组或多组 资料的总体均数是否相同，检 验两个或多个样本均数的差异 是否有统计学意义。
72.1
70.0 69.1 71.0
68.2
69.8 68.3 67.5
株高
46
47
Test of Homogeneity of Variances 株高（ cm） Levene Statis tic 1.362 df1 4
ANOVA 株 高 （ cm） Sum of Squares 131.740 15.580 147.320 df 4 20 24 Mean Square 32.935 .779 F 42.279 Sig. .000
单因素方差分析
41
a
SSe SST SSA 147.32 131.74 15.58
单因素方差分析
42
3. 将以上结果列成方差分析表
变差来源
品系间 误 差 总 和
单因素方差分析
统计学第六章方差分析
总离差平方和=组间离差平方和+组内离差平方和
方差的分解
组间方差反映出不同的因子对样本波动的影响；组内方差则是不考虑组间方差的纯随机影响。
如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因子是引起波动的主要原因，可认为因子对实验的结果存在显著的影响 ；
第28页，共55页。
X4
第24页，共55页。
如果备择假设成立，即H1: (i=1，2，3，4)不全相等
– 至少有一个总体的均值是不同的
– 有系统误差
Xi
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 。
第25页，共55页。
f(X)
X
X1 X2 X3
X4
第26页，共55页。
方差的分解 样本数据的波动又两个来源：一个是随机波动；一个是因子影响。样本数据的波动，可通过离差平方和来反映。这个离差平 方和可分解为组间方差与组内方差两部份。即
算术均值
x1 x...2....
x3
方差
S12 S22
.......
Sr2
si2ni1 1jn i1
2
xijxi
(i1,2, ,r)
第37页，共55页。
SST是全部观察值 与总平均值的离差平方和，反映全部观察值的离散状况。 其计算公式为：
r n
2
SST
xij X
i1 j1
SST反映了全部数据总的误差程度。
样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分。
第22页，共55页。
• 如果原假设成立，即H0: = = • 四种颜色饮料销售的均值都相等
– 没有系统误差
•
这意味着每个样本都来自均值为 、方差为2的同一正态总体
生物统计学 第六章 方差分析
【���������2���
=
���������2��� ������−1
=
(������������−������)���2��� ������−1
���������2��� 为效应方差，������������为处理效应】
方差分析
4.F检验
4.1 F值和F分布 F=������������������������������������=������2+���������2������������2���，自由度������������1 = k − 1, ������������2=������������������=kn-k 在������������1, ������������2确定条件下，F值对应的概率分布称为F 分布, 对应的密度函数为f(F)。������������1, ������������2决定F分布 的形状, 随着自由度的增加，曲线趋向对称。
������������. 各处理观测值之和。
方差分析
自由度的剖分
总自由度dfT=kn-1 处理间自由度dft=k-1 误差自由度 dfe=dfT-dft 均方
试验的总均方、处理间均方、处理内均方分别为：
MST=���������������2���
=
������������������ ������������������
第六章 方差分析
第一节 方差分析的基本原理和步骤
1.基本概念
试验指标 为衡量试验结果的好坏或处理效应 的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项 目。
试验因子 试验中所研究的影响试验指标的因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试 验；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指 标的影响时，则称为两因素或多因素试验。试验 因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
第六章第一节方差分析基本原理
第六章第⼀节⽅差分析基本原理教学内容及组织安排：教学内容及组织安排：回顾卡⽅检验和T检验讲授的有关知识，引进⽅差分析的概念。
第六章⽅差分析⽅差分析的定义⽅差分析(Analysis of variance，ANOV A)：⼜叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。
它是⽤以检验两个或多个均数间差异的假设检验⽅法。
它是⼀类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的⼀种引伸。
⽅差分析的基本功能t检验法适⽤于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，但在⽣产和科学研究中经常会遇到⽐较多个处理优劣的问题，即需进⾏多个平均数间的差异显著性检验。
这时，若仍采⽤t检验法就不适宜了。
这是因为：1、检验过程烦琐例如，⼀试验包含5个处理，采⽤t检验法要进⾏ =10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理，则要作 k(k-1)/2次类似的检验。
2、⽆统⼀的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低对同⼀试验的多个处理进⾏⽐较时，应该有⼀个统⼀的试验误差的估计值。
若⽤ t 检验法作两两⽐较，由于每次⽐较需计算⼀个，故使得各次⽐较误差的估计不统⼀，同时没有充分利⽤资料所提供的信息⽽使误差估计的精确性降低，从⽽降低检验的灵敏性。
例如，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。
进⾏t检验时，每次只能利⽤两个处理共12个观测值估计试验误差，误差⾃由度为 2(6-1)=10 ；若利⽤整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性⾼，且误差⾃由度为5(6-1)=25。
可见，在⽤t检法进⾏检验时，由于估计误差的精确性低，误差⾃由度⼩，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。
3、推断的可靠性低，检验的 I 型错误率⼤即使利⽤资料所提供的全部信息估计了试验误差，若⽤t 检验法进⾏多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互⽐较的两个平均数的秩次问题，因⽽会增⼤犯 I型错误的概率，降低推断的可靠性。
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i1 j1
k
k
n
kn
n (xi.x..)2 2 [(xi.x..) (xij xi.)] (xij xi.)2
i1
i1
j1
i1 j1
其中 所以
n
(xij xi. ) 0
j 1
kn
k
kn
(xijx.).2n (xi.x.).2 (xijxi.)2
i 1j 1
i 1
i 1j 1
（7-5）
2个平均数比较： α = 0.05 5个平均数比较： α’ = 1-(1-0.05)10= 0.4013 10个平均数比较：α” = 1-(1-0.05)45= 0.9006
因此，多个平均数的差异显著性检验不宜 用t (或u)检验，须采用方差分析法。
方差分析 (analysis of variance)由英国统计学家 R.A.Fisher于1923年提出的。
总和Ti. 76
92
72
96
T 336
平均 x i . 19
23
18
24
x21
t i 2
2
3
3
ti0 eij0 eij~N(0,2)
可 见 ， 直 接 用 效 法应 衡值 量无 处 理 所 引 异起
程 度 ， 根 据 前 面 ，的 需知 要识 比 较 其 方 差
2、自由度与平方和的剖分
在方差分析中是用样本方差即均方（MS）来度 量资料的变异程度的。
k
（7-5）式中， n (xi. x..)2 为各处理平均数与总
i1
平均数的离均差平方和与重复数n的乘积 ，反映
了重复 n 次的处理间变异 ，称为处理间平方和，
记为SSt，即: k
SSt n (xi.x..)2
i1
（7-6）
(7-5)式中，k n (xij xi.)2 为各处 理内离均差平方
x1.
2 x21 x22 … x2j … x2n T2.
x2.
┇ ┇ ┇…┇…┇ ┇ ┇
i
xi1 xi2 … xij … xin Ti.
xi.
┇ ┇ ┇…┇…┇ ┇ ┇
k xk1 xk2 … xkj … xkn Tk. xk.
T xij
Tx
注：xij指第i个处理第j个观察值（i =1~k ; j =1~n）
19 21 2 0 21 21 2 2 20 21 3 2 22 21 3 2
观察值
23 21
21 21
2 2
4 2
24 27
21 21
2 2
1 4
18 19
21 21
3 3
0 1
25 27
21 21
3 3
1 3
13 21 2 6 20 21 2 3 15 21 3 3 22 21 3 2
——将多个样本 (处理)的观测值作为一个总 体，用方差来表示变异，把引起事件总的变异 分解为各种因素的变异，并对每个因素引起的 变异作数量估计，从而说明各因素的变异幅度 及其在总变异中的重要程度；并用剩余变异无 偏估计随机误差，进而比较处理均值间的差异。
有关术语：
1、试验指标(experimental index) 为衡量试验结 果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性 状或观测的项目称为试验指标。由于试验目的不同， 选择的试验指标也不相同。在畜禽、水产试验中常用 的试验指标有：日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、 瘦肉率、某些生理生化和体型指标(如血糖含量、体高、 体重)等。 2、试验因素(experimental factor) 试验中所研究 的影响试验指标的因素叫试验因素。如研究如何提高 猪的日增重时，饲料的配方、猪的品种、饲养方式、 环境温湿度等都对日增重有影响，均可作为试验因素 来考虑。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因 素试验；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指 标的影响时，则称为两因素或多因素试验。试验因素
在这个模型中xij表示为总平均数μ、处理效应 i、
试验误差εij之和。
由εij 相 互独立且服从正态分布 N（0，σ2 ）， 可知各处理i(i=1，2，…，k)所属总体亦应具 正态性，即服从正态分布N(μi , σ2 )。尽管各总 体的均数 μi 可以不等或相等， σ2则必须是相 等的。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：
xij 可以分解为:
xiji ij
(7-1)
其中:μ表示全试验观测值总体的平均数；
i 是 第 i 个 处理的效应 （treatment effects）表示处理i
对试验结果产生的影响。显然有
k
i 0
(7-2)
i 1
εij 是试验误差，相互独立，且服从 正态分布N（0，σ2）。
（7-1）式叫做 单因素试验的线性模型，亦称数学模型。
表7.1中全部观测值的总变异可以用总均方来度 量。
将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就 是要将 总 均方 分解为处理间均方和处理内均方。 但这种分解是通过将总均方的分子──称为总离均差 平方和，简称为总平方和，剖分成处理间平方和与 处理内平方和两部分；将总均方的分母──称为总自 由度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分 来实现的。
二、方差分析的基本原理
1、线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。这类试验资料的 数据模式如表7.1所示。
表7.1 k个处理每处理有n个观测值的数据模式
处理 观察值(xij,i =1~k ; j =1~n) 总和 平均
1 x11 x12 … x1j … x1n T1.
常用大写字母A、B、C、…等表示。
3、因素水平(level of factor) 试验因素所处的某种特 定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。研究某种 饲料中4种不同能量水平对肥育牛瘦肉率的影响，这4种 特定的能量水平就是饲料能量这一试验因素的4个水平。 因素水平用代表该因素的字母加添足标1，2，…，来表
i 1j 1
i 1
i 1j 1
于是有
SST =SSt+SSe
（7-8）
这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：
kn
S S SS T
x
2 ij
C
i 1 j 1
S SS t
1 n
k
T
2 i.
i 1
C
SSe ST SSS t
（7-9）
其中，C = T2 /(kn) 称为矫正数。
(2)自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
➢ 效应的可加性(additivity)、分布的正态性 (normality)、方差的同质性(homogeneity)。这 也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。
若将表7.1中的观测值 xij（i=1,2,…,k; j=1,2,…,n） 的数据结构（模型）用样本符号来表示，则
x i jx ( x i. x ) ( x i jx i.) x ti e i j(7-3)
所以
dTf dtfdef
(7-13)
综合以上各式得：
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
(7-14)
(3)均方的计算
各部分平方和除以各自的自由度便得到总均
方、处理间均方和处理内均方， 分别记为 MST
（或
S
2 T
）、MSt（或
S
2 t
）和MSe（或
S
2 e
观察值
23 21
13
总和Ti. 76
平均 x i . 19
xi. x -2
B(x2) 21 24 27 20 92
23
2
C(x3) 20 18 19 15 72
18
-3
D(x4) 22 25 27 22
96 T 336
24 x21
3
4种药品处理水稻苗 得， 的测 苗(高 cm)
药剂 A(x1) B(x2) C(x3) D(x4)
受
kn
(xij
x..)0这一条件的约束，故总自由度
i1 j1
等于资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
总自由度记为dfT，即: dfT = kn – 1
（7-10）
在计算处理间平方和时，各处理均数要受
k
(xi. x..) 0 这一条件的约束，故处理间自由度
i1
为处理数减1，即k-1。 处理间自由度记为dft，
）。
即：
MTSST 2ST S/dTf
MtSSt2StS/dtf （7-15）
MeSSe2SeS/def
总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。
计算均方后，通过比较处理间均方相对误差 均方的大小即可判断处理效应所引起的变异 所占比重，从而可以判断试验是否存在明显 处理效应。
1、u或t 检验过程烦琐
例如，一试验包含5个处理，采用t检验法要
进行
C
2 5
=10次两两平均数C
2 k
= k(k-1)/2 次类似的
检验。
2、无统一的试验误差，误差估计的准确 性和检验的灵敏性低
(1)t 检验要进行两两比较，每次仅用2个样本信 息估计总体方差，误差估计的准确性低
xiji ij
（7-1）、（7-3）两式告诉我们：
每 个 观 测 值 都包含处理效应(i 或 xi. x)，
与误差( εij 或 xij xi. )，故kn个观测值的总变异
可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。
【例7.1】
4种药品处理水稻苗 得， 的测 苗(高 cm)
药剂 A(x1)
19
5、试验单位(experimental unit) 在试验中 能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验 单位。在畜禽、水产试验中，一只家禽、一头 家畜、一只小白鼠、一尾鱼，即一个动物；或 几只家禽、几头家畜、几只小白鼠、几尾鱼， 即一组动物都可作为试验单位。试验单位往往 也是观测数据的单位。