第3讲 凸集、凸函数、凸规划 Convex Set、Convex Function、Convex Programming
convex optimization中译本
一、导论随着科技的发展和应用，凸优化在各个领域中发挥着越来越重要的作用。
其在工程、金融、计算机科学等领域的应用不断扩展和深化。
对于凸优化的理论和方法的研究，以及文献的翻译与传播变得尤为重要。
本文旨在对凸优化中的一些重要主题和内容进行介绍和讨论，希望能够为相关领域的研究者和读者提供一些参考和帮助。
二、凸优化基本概念1. 凸集与凸函数凸集和凸函数是凸优化中非常基础且重要的概念。
凸集是指集合中任意两个点的线段都在该集合内部的集合。
凸函数则是定义在凸集上的实值函数，其函数图像上的任意两点组成的线段都在函数图像上方。
凸集和凸函数的性质为凸优化问题的理论和方法提供了基础。
2. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1,2,...,mh_j(x) = 0, j = 1,2,...,p其中，f(x)是要优化的目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别为不等式约束和等式约束。
凸优化问题通常要求目标函数和约束函数都是凸的。
三、凸优化中的常见算法1. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，尤其适用于凸优化问题。
其基本思想是通过计算目标函数的梯度方向，并沿着梯度的负方向进行迭代，以逐步逼近最优解。
2. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法主要用于处理约束优化问题，通过构建拉格朗日函数并对其进行优化，得到原始优化问题的最优解。
拉格朗日乘子法在凸优化问题中得到了广泛的应用。
3. 内点法内点法是一类迭代法，主要用于求解线性规划和二次规划等凸优化问题。
其优点在于可以较快地收敛到最优解，尤其适用于大规模的凸优化问题。
四、凸优化在科学与工程中的应用凸优化在科学与工程中有着广泛的应用，如在信号处理中的最小二乘问题、在机器学习中的支持向量机、在通信系统中的功率分配问题等。
这些应用不仅推动了凸优化理论的发展，也为实际问题的解决提供了有效的工具和方法。
凸优化课程详
2. 凸集，凸函数， 3学时
凸集和凸函数的定义和判别
3. 数值代数基础， 3学时
向量，矩阵，范数，子空间，Cholesky分解，QR分解，特征值分解，奇异值分解
4. 凸优化问题， 6学时
典型的凸优化问题，线性规划和半定规划问题
5. 凸优化模型语言和算法软件，3学时
模型语言：AMPL, CVX, YALMIP; 典型算法软件： SDPT3, Mosek, CPLEX, Gruobi
随着科学与工程的发展，凸优化理论与方法的研究迅猛发展，在科学与工程计算，数据科学，信号和图像处理，管理科学等诸多领域中得到了广泛应用。通过本课程的学习，掌握凸优化的基本概念，对偶理论，典型的几类凸优化问题的判别及其计算方法，熟悉相关计算软件
本课程面向高. 凸优化简介， 3学时
Numerical Optimization,Jorge Nocedal and Stephen Wright,Springer,2006,2nd ed.,978-0-387-40065-5；
最优化理论与方法,袁亚湘，孙文瑜,科学出版社,2003,
参考书
1st ed.,9787030054135；
教学大纲
（2） 课程项目： 60%
要求：
作业和课程项目必须按时提交，迟交不算成绩，抄袭不算成绩
教学评估
文再文：
凸优化课程详细信息
课程号
00136660
学分
3
英文名称
Convex Optimization
先修课程
数学分析（高等数学），高等代数（线性代数）
中文简介
凸优化是一种广泛的，越来越多地应用于科学与工程计算，经济学，管理学，工业等领域的学科。它涉及建立恰当的数学模型来描述问题，设计合适的计算方法来寻找问题的最优解，研究模型和算法的理论性质，考察算法的计算性能。该入门课程??适合于数学，统计，计算机科学，电子工程，运筹学等学科的高年级本科生和研究生。教学内容包括凸集，凸函数和凸优化问题的介绍；凸分析的基础知识； 对偶理论；梯度算法，近似梯度算法，Nesterov加速方法，交替方向乘子法；内点算法，统计，信号处理和机器学习中的应用。
最优化方法(凸集与凸函数)
{ {
} }
{
}
+ D1 ⊂ H 0 = x ∈ R n | a T x > β
− D2 ⊂ H 0
{ = {x ∈ R
n
| aT
} x < β}
+ − 则称超平面 H 严格分离 D1 和 D2 ，其中 H 0 和 H 0 分别表示
H + 和 H − 的内部
7
点到凸集的投影
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集， y ∈ R n 但是 y ∉ D ，则 的距离最小， （1）存在唯一的点 x ∈ D ，使得集合 D 到点 y 的距离最小，即 x − y = inf { x − y , x ∈ D} （2） x ∈ D 是点 y 到集合 D 的最短距离点的充分必要条件为
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
4
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集，则任意 m 个点 x ( i ) ∈ D( i = 1,2,⋯ , m ) 的凸组合仍 即有： 属于 D ， 即有：
( x − x )T ( x − y ) ≥ 0 ， ∀x ∈ D
证明： （1） 证明： ） （ 令 S = x ∈ R n | x ≤ 1 则取充分大的 µ > 0 使得
Ds = D ∩ ( y + µS ) ≠ φ
因此连续函数 f ( x ) = x − y 在 D s 上必定可以取到极小点 存在性证明完毕
凸函数凸规划
凸函数
下面的图形给出了凸函数f x, y x4 3x2 y4
y2 xy的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1:设 f x是定义在凸集 D Rn 上，x, y D ,
令 t f tx 1 t y, t 0,1, 则:
i1
i1
凸函数
性质
定理2.3.2
f1 , f2 ,..., fk 是凸集S上的凸函数, 则
k
(x) ifi (x),i 0(i 1,2,..., k) i 1
和
(x) max 1 i k
fi ( x)
都是S上的凸函数.
凸函数
水平集(Level Set)
凸函数
凸函数(Convex Function) ----定义2.3.1
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D ,及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y 则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
(1) f x是凸集 D上的凸函数的充要条件是对 任意的x, y D ,一元函数t为 0,1上的凸函数.
(2)设 x, y D , x y,若 t 在 0,1 上为严格
凸函数，则f x在 D上为严格凸函数．
凸函数
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之 间的部分是一段向下凸的弧．
故, cT x 是凸函数． 类似可以证明 cT x 是凹函数．
凸函数
性质
定理2.3.1
设 f x是凸集D Rn上的凸函数，
x1 , x2 ,..., xk S , i 0(i 1,2,..., k ),
第3讲凸集凸函数凸规划
(b)凹函数
P41 2.37
凸函数
例：设
试证明
上是严格凸函数．
证明: 设
且
在 都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
例：试证线性函数是 上的凸函数．
证明: 设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
性质
定理1 设
凸函数
是凸集
上的凸函数充要条件
不等式应用: 设
詹生(Jensen)不等式 ，证明:
P41 2.36
性质
定理2
凸函数
正线性组合
凸函关于数 的水平集.
定理3
设 是凸集
上的凸函数，则对任意
，水平集
是凸集．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1: 设 是定义在凸集
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2) αf( x1 ) +(1- α) f( x2) f(αx1+(1-α)x2 )
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
(2) 若 是凸集
上的严格凸函数，
且凸规划问题
局部极小点x*存在，
则x*是唯一的全局极小点．
定理 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。 证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使 如果x*不是整体最优解，则 又因为f是凸函数，所以
03凸优化理论与应用_凸优化
03凸优化理论与应用_凸优化凸优化理论与应用是数学领域的一个重要分支，是一种优化问题的求解方法，它在工程、经济学、物理学、统计学等领域具有广泛的应用。
凸优化问题是指目标函数是凸函数（convex function）且约束条件是凸集（convex set）的优化问题。
凸函数是一种特殊的函数，它的任意两个点之间的线段在函数图像上方。
凸集是一种特殊的集合，对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段的端点也在集合中。
凸优化问题是在满足凸性条件下，寻找使目标函数最大化或最小化的变量值。
凸优化问题具有以下重要性质：1.局部最优解是全局最优解：对于凸优化问题，只需要找到一个局部最优解，就可以确定它就是全局最优解，无需再进行进一步的。
2.解的存在性：凸优化问题在一些条件下保证存在解，这对于实际问题的求解非常重要。
3.解的唯一性：对于凸优化问题，只能存在一个最优解，不会出现多个最优解的情况。
4.算法的可行性：凸优化问题可以通过多种有效的算法求解，这些算法具有较高的收敛速度和稳定性。
凸优化问题可以分为无约束问题和有约束问题两类。
无约束问题是指目标函数只有一个变量，没有约束条件；有约束问题是指在目标函数的最优化问题的基础上增加约束条件。
在凸优化理论中，有一些重要的概念和定理，如凸集、凸函数、凸锥、支撑超平面、KKT条件等。
这些概念和定理为凸优化问题的求解提供了理论基础和方法。
凸优化问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：1.金融领域：用于投资组合优化、资产定价问题等。
2.电力领域：用于电网调度、能源管理等。
3.交通领域：用于交通流优化、交通路线规划等。
4.通信领域：用于信号处理、无线通信系统设计等。
5.机器学习领域：用于模型训练、参数优化等。
6.图像处理领域：用于图像恢复、图像分割等。
总之，凸优化问题在不同领域的应用非常广泛，它的理论基础和求解方法为解决复杂的优化问题提供了有效的工具和思路。
随着科学技术的不断发展，凸优化理论与应用领域将会不断扩展和深化，为实际问题的求解提供更多的可能性和机会。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
第二章凸性(Convexity)
凸集-----性质
推论： 设 Di , i 1,2,, k 是凸集， 则 i Di 也是凸集， 其中 i 是实数．
i 1 k
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
f x 1 y f x 1 f y 都有：
则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x, y D ( x y), 及任意的 0,1 则称函数 f x 为 D
一个可微函数 是凸函数当且 仅当函数图形 上任一点处的 切平面位于曲 面的下方.
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件
定理5:
2 x1 2 f G x 2 f x x x 2 1 2 f x n x1
设在开凸集 D R 内 f x 二阶可微,则 f x 是 D 内的凸函数的充要条件为: 对任意 x D, f x 的Hesse矩阵 G x 半正定, 其中： 2 f 2 f 2 f
称为函数f在集合S上关于数 定理3 设 f x 是凸集 S R n 上的凸函数，则对任意 R ，水平集 S f , 是凸集． 注：定理3 的逆命题不成立.
的水平集.
凸函数
y 2 xy 的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
4 2 4 f x , y x 3 x y 下面的图形给出了凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数凸集与凸函数是数学中具有较高应用价值的两个概念，它们在优化、经济学、工程学、数学物理等领域都有着广泛的应用。
一、凸集的定义凸集是指在欧几里得空间中，对于任意两个点$x_1$和$x_2$ ，如果这两个点都处于凸集内，那么它们之间的所有点也都应该在该凸集内，即：$$x_1,x_2\in C\Rightarrow\lambda{x_1}+(1-\lambda)x_2\in C\0\leq\lambda\leq1$$其中的$\lambda$是权重系数，使得对于$x_1$和$x_2$的线性组合能够在凸集内。
凸集不仅包括均匀分布的整个区域，而且还包括所有边界上的点。
凸函数是指在定义域内的任意两个点$x_1$和$x_2$之间，其函数值的线性组合仍然处于函数的值域内，即：凸函数是凸集上的实值函数，其定义域是一个凸集。
凸函数的定义与凸集的定义类似，可以形式化证明凸函数在其定义域上是凸集。
具体来说，对于凸函数$f(x)$，当且仅当它的定义域是凸集时，它才是凸函数。
同时，凸函数也存在一些性质，例如其导数是递增的、局部最小值是全局最小值等。
除此之外，凸集与凸函数还有许多更深入的联系。
例如，可分离凸函数、第一性原理的凸优化算法、鞍点理论等，都是凸集与凸函数相关的研究领域。
四、应用举例凸集与凸函数的应用非常广泛，例如：1. 在优化中，凸集与凸函数是常用的工具。
例如，线性规划、半定规划、凸优化等问题都涉及到凸集和凸函数。
2. 在经济学中，凸集与凸函数可以用来描述市场需求、供给等重要问题，例如企业的利润最大化、消费者选择最大化等问题。
3. 在计算机科学中，凸集与凸函数被广泛应用于机器学习、人工智能等领域。
例如，梯度下降法、反向传播算法等都是基于凸函数的优化算法。
总之，凸集与凸函数是数学中非常重要的概念，不仅应用广泛，而且具有一些深刻的理论性质。
在未来的科学研究中，凸集与凸函数的研究将会得到更加广泛的关注和应用。
凸集凸函数凸规划
凸集-----性质
k
推论：设Di , i 1,2,, k是凸集，则 i Di i 1 也是凸集，其中i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点． D2 0, yT y R 表示 y 轴上的点．
x 1 y D,
则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b ,
H
半空间：
x Rn a1x1 a2 x2
= x Rn aT x b
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1 D2 R2 凸集．
凸集-----凸包(Convex Hull)
定义 设 S Rn , S 中任意有限个点的所有凸 组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
m
m
H(S) i xi xi S, i 0, i 1,2...,m, i 1, m N
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D (x y),及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
i 1
i 1
凸组合 (Convex Comb, xi Rn , i 1,2,...m且 i 1.
凸集和凸函数和凸规划-完整ppt课件
X αx1+(1-α)x2 X2
.
23
f(X) f(X1)
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
.
24
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
证法：在Young不等式中令
n
n
n
xkyk
n
xkpp
n
ykqq
k1
k1kq
ykq
.
P41 2.37
26
凸函数
例：设fxx12,试证明 f x在,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, yR, 且xy, 0 ,1 都有：
.
1
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
m ix i,其i 中 R ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ...
i 1
仿射组合 (Affine Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ,.且 . i 1 .
(a)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸; 集 (b)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸. 集
.
7
凸集-----性质
k
推论：设D i,i1,2,,k是凸集，则 i D i i1 也是凸集，其中 i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化（Convex Optimization）是数学中一个重要的研究领域，旨在解决凸函数的优化问题。
凸分析（Convex Analysis）则是凸优化的理论基础，探讨凸集合和凸函数的性质。
本文将介绍凸优化与凸分析的基本概念和原理，以及其在各个领域中的应用。
一、凸集合与凸函数1.1 凸集合在数学中，凸集合是指任意两点之间的连线上的点也属于该集合。
具体地，对于一个集合A，若对于该集合中的任意两点x和y，以及任意的t（0≤t≤1），都有tx + (1-t)y ∈ A，则该集合A为凸集合。
凸集合具有许多良好的性质，例如，凸集合的交集仍为凸集合，凸集合加凸集合的运算结果仍为凸集合。
1.2 凸函数凸函数是定义在凸集合上的实值函数，满足函数图像上的任意两点之间的连线位于函数图像上方。
具体地，对于一个凸集合A上的函数f(x)，若对于该凸集合上的任意两点x和y，以及任意的t（0≤t≤1），都有f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y)，则该函数f(x)为凸函数。
凸函数具有许多重要的性质，例如，凸函数的局部最小值就是全局最小值，凸函数加凸函数仍为凸函数。
二、凸优化问题凸优化问题是指在满足一定约束条件下，求解凸函数的最优值问题。
一般形式的凸优化问题可以表示为：minimize f(x)subject to g_i(x) ≤ 0, i = 1,2,...,mh_i(x) = 0, i = 1,2,...,p其中，f(x)为目标函数，g_i(x)和h_i(x)分别为不等式约束和等式约束。
凸优化具有许多良好的性质，例如，任意局部最小值就是全局最小值。
凸优化问题可以通过各种数值方法进行求解，常用的方法包括梯度下降法、牛顿法和内点法等。
这些方法对于大规模的凸优化问题具有较高的收敛速度和求解精度。
三、凸优化与凸分析的应用凸优化与凸分析在众多领域中具有广泛的应用，下面将列举几个典型的应用领域。
凸集和凸函数的性质和应用
凸集和凸函数的性质和应用凸集和凸函数是数学领域中的两个重要概念，分别在几何、优化、概率等领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将会详细讨论凸集和凸函数的性质以及它们的应用。
一、凸集凸集是指满足任意两个点之间的线段都在集合内的集合。
换句话说，如果有一个集合S，那么S是凸集当且仅当对于S中的任意两个点x和y，x和y之间的线段上的所有点都在S内。
对于凸集，我们可以根据其性质进行分类。
首先，全空间和空集都是凸集，这两个极端情况被称为平凸集和空凸集。
而对于非平凸集来说，则可以有以下几种情况。
1.开凸集：对于某个凸集，如果它不包含任何边界点，则被称为开凸集。
2.闭凸集：对于某个凸集，如果它包含所有边界点，则被称为闭凸集。
3.紧凸集：对于某个凸集，如果它是有限的并且紧致的，则被称为紧凸集。
4.凸包：对于一组点，包含这些点的最小凸集，被称为凸包。
凸集不仅仅在数学中有着广泛的应用，还在计算机科学、优化问题等领域中得到广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用凸集来进行边界的处理和剪裁等；在优化问题中，我们可以使用凸集来化简复杂问题，以便更好地对其求解。
二、凸函数凸函数是指函数图像上任意两点的连线不在函数图像下方的函数。
更具体地说，如果一个函数f(x)满足以下不等式：f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)，其中0≤λ≤1则f(x)是凸函数。
这个不等式的意义是，对于函数图像上的任意两点x和y，它们之间线段上的所有点都在函数图像上方，即满足上述不等式。
凸函数的常见形式包括线性函数、指数函数、幂函数、对数函数等。
此外，两个凸函数的和、积和复合函数也都是凸函数。
凸函数的定义和凸集的定义类似，都是指在某一区间（或者全空间）内，满足一定的条件（凸性）。
凸函数的性质包括以下几个方面。
1.凸函数的上确界在左连续下降。
2.凸函数的导函数单调不减，且导函数的左导数和右导数存在并相等。
3.凸函数的一阶导数是凸函数。
线性规划 凸集凸函数
2 f
x1x2 2 f x22 L 2 f
xnx2
为 f (x) 在点x处的Hesse矩阵。
精品PPT
…
2 f
x1xn
…
2 f
x2 xn L
…
2 f
xn2
多元函数(hánshù)Taylor展开：
f x0 + p = f x0 + f x0 T p + o(|| p ||)
f x0 +
即Hesse矩阵 2 f (x)半正定。
若 " x ∈D , 2 f (x)>0，即Hesse矩阵正定，则 f (x)为严格
凸函数。
例：证明函数
f ( x) = xT x = x12 + x22 + + xn2
是 Rn上的凸函数。
精品PPT
定义6:凸规划(guīhuà)
设D Rn 为凸集,f ( x) 是定义在D上的凸函数，则
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 " x(1)，x(2)∈D，"a
∈[0,1]恒有 ax (1) +(1- a ) x(2) ∈D 则称D为凸集。ax (1)+ (1- a ) x(2)称为 x(1)和 x(2)的凸组合。
精品PPT
例
精品PPT
{ } 定义为
(i) 超平面 H = x PT x = b 为凸集。
精品PPT
凸函数的判断
设(p函àn数dufà(nx))存在一阶偏导数，x∈R n，向量
f
(x)
=
f x1
,
f x2
,…,
f xn
T
为 f (x) 在点x处的梯度。
仿射集、凸集和锥的概念
仿射集、凸集和锥的概念1、仿射集和凸集1.1 仿射集相关概念仿射（affine）定义：对于集合，如果通过集合C中任意两个不同点之间的直线仍在集合C中，则称集合C为仿射（affine）。
也就是说，C包括了在C中任意两点的线性组合，即：这个概念可以推⼴到n个点，即，其中。
也称为仿射组合。
仿射集（affine set）定义：仿射集包含了集合内点的所有仿射组合。
若C是仿射集，，，则点也属于C.仿射包（affine hull）的定义：仿射包是包含C的最⼩的仿射集，表⽰为：1.2 凸集的相关概念凸（convex）的定义：对于集合，如果通过集合C中任意两个不同点之间的线段仍在集合C中，则称集合C为凸（convex）。
注：所有仿射集都是凸的，因为它包含集合中任意不同点的所有直线凸组合：的点，其中和，则称点的凸组合。
凸组合与仿射组合的区别：在凸组合中，参数必须⼤于等于0。
凸集（convex set）：该集合包含了所有点的凸组合。
凸包（convex hull）：最⼩的凸集，表⽰为：注：1）凸包总是凸的2）若B是凸集并且包含C，则在⼆维欧⼏⾥得空间中，凸包可想象为⼀条刚好包着所有点的橡⽪圈1.3、锥锥（cone）的定义：若对于任意和，有，则称为锥。
如果集合C既是凸也是锥，则称为凸锥。
锥组合：的点，其中，则称为锥组合。
也称为⾮负线性组合。
若在凸锥C中，则的所有凸组合在C中；相反，集合C为凸锥，当且仅当它包含了所有元素的凸组合。
锥包（cone hull）：集合C中所有锥组合的集合，也是包含C的最⼩凸锥。
即2、例⼦空集、点、整个空间都是仿射（affine），因此也是凸（convex）任意线是仿射（affine），若过原点，则为凸锥（convex cone）线段是凸（convex），但不是仿射形式如的射线是凸，但不是仿射任意⼦空间是仿射和凸锥超平⾯是仿射集（affine set）半平⾯是凸集（convex set）球体和椭圆体是凸集Norm ball 和norm cone是凸锥多⾯体（polyhedra）是凸集参考⽂献：convex optimization[Stephen Boyd]。
运筹学及其应用7.3 凸函数和凸规划
X
)
=
∂2 g1 ∂x12
∂2 g1 ∂x2∂x1
∂2 g1 ∂x1∂x2
∂2 g1 ∂x22
=
0 00 0 Fra bibliotek,凹(凸)函数.
H
g
2
(
X
)
=
∂2g2 ∂x12
∂2g2 ∂x2∂x1
∂2g2 ∂x1∂x2
∂2g2 ∂x22
7.3 凸函数与凸规划
凸集概念： 设D是n维线性空间En的一个点集，若D中的
任意两点x(1),x(2)的连线上的一切点x仍在D中， 则称D为凸集。 即：若D中的任意两点x(1),x(2) ∈D，任意0<α<1 使得 x= α x(1)+(1- α)x(2) ∈ D,则称D为凸集
1
一、凸函数的定义
设R为凸集,∀X (1), X (2) ∈ R及α ∈ (0, 1) • 若f (αX (1) + (1−α ) X (2) ) ≤ αf ( X (1) ) + (1−α ) f ( X (2) )
因为 f ( X ) 是凸函数，由凸函数判别一阶条件知， f ( X ) ≥ f ( X *) + ∇f (X *)T ( X − X *) = f ( X *) 即 X * 是全局极小点。
12
解无约束问题的算法： Ø求f(X)的驻点X*，若是凸函数，得到最优 解。否则，转下一步。 Ø在驻点X*处，计算H(x)。 Ø根据H(x)来判断该驻点X*是否是极值点。
H
f
(
X
)
=
∂x12 ∂2 f
凸函数
凸函数编辑讨论41 上传视频本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。
凸函数是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
中文名凸函数外文名convex function类别数学性质局部最小值即全局最小值定义域实线性空间注意国内外凹凸性定义不同目录1 基本简介2 属性▪性质▪定义3 微积分4 初等运算5 举例子基本简介编辑凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。
[1]注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。
Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。
Concave Function指凸函数。
但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。
碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量、有成立。
于是容易得出对于任意（0,1）中有理数，有如果f连续，那么可以改变成区间（0,1）中的任意实数。
若这里凸集C即某个区间I，那么就是：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意的实数，总有则f称为I上的凸函数，当定义中的“≤”换成“<”也成立时，对应可称函数f为对应子集或区间上的严格凸函数。
[2]判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数，对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上小于等于零，就称为凸函数。
如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凸函数。
[3]属性编辑性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。
数学讲义(高微)
（一）函数1 凹（凸）函数1.1 凸集凸集（Convex Set）：对于任意两点u∈S和v∈S，且对于每一个θ∈[0,1] ，当且仅当w=θu+(1−θ)v∈S为真时，集合S⊂R n 为凸集。
凸集要求集合内的任意两点，其连线也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。
例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。
1.2 凹（凸）函数引入凸集的概念后我们就可以介绍凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集。
我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数y=−x2 +4x−4 就是一个凹函数，它在定义域内呈现的形状是一只倒立的碗；而函数y=x2 −4x+4是一个凸函数，它在定义域内呈现的形状就像一只碗。
现在具体给出凹（凸）函数的定义（x 为自变量向量）：对于函数f: D→R，其定义域内任意两个不同的点x1 和x2 ,当且仅当tf 1 +−t f 2 ≤f t 1 +−t 2 ∀t∈(x ) (1 ) (x ) ( x (1 )x ) (0,1)时，函数f 为凹函数(Concave Function)。
对于函数f: D→R，其定义域内任意两个不同的点x1 和x2 ,当且仅当tf 1 +−t f 2 ≥f t 1 +−t 2 ∀t∈(x ) (1 ) (x ) ( x (1 )x ) (0,1)时，函数f 为凸函数(Convex Function)。
如果f 为一元函数，我们能从图形上看，凸函数的定义是指该曲线上任何两点之间的连线在曲线的上面，而凹函数则要求曲线上任何两点之间的连线在曲线的下面。
如果是二元函数，则把“曲线”改为“曲面”也可以感受它们的特征。
若将不等号“≤”和“≥”分别变换成严格不等号“<”和“>”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。
t x +(1−t)x1 2因为凹函数的定义域为凸集，因此点也一定在函数的定义域内。
我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。
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设S R , x0 S，如果对一切 xS
n
及 0, 有x 0 x S, 则称S是 以x 0为顶点的锥. 如果S又是凸集， 则称S为凸锥.
凸函数
凸函数(Convex Function) ----定义2.4 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x , y D , 及任意的 0, 1
f x 1 y f x 1 f y 都有：
则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x, y D ( x y), 及任意的 0,1 则称函数 f x 为 D
上的严格凸函数．
都有：f x 1 y f x 1 f y
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
凸函数
几何性质
0 1 表示连接 x1 , f x1 , x2 , f x2 的线段． f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2处的
例：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点．
D2
T
0, y
y R表示 y 轴上的点．
则 D1 D2 表示两个轴的所有点， 它不是凸集； 而 D1 D2 R 2 凸集．
凸集-----凸包(Convex Hull)
定义 设 S R , S 中任意有限个点的所有凸 组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
第 3讲
凸集、凸函数、凸规划
凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性 的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理 论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
凸集 (Convex Set) 凸函数 (Convex Function) 凸规划 (Convex Programming)
an xn b
凸集----举例
例： 证明超球 x r 为凸集．
0 1, 证明： 设 x ,பைடு நூலகம்y 为超球中的任意两点，
则有：
x 1 y
x 1 y
即点x 1 y 属于超球, 所以超球为凸集．
r 1 r r ,
X2
X
f(X) f(X2)
m
凸组合 (Convex Combination)
n x , 其中 R , x R , i 1,2,...m且 i 1. i i i i m
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
m i 1
i 1
i 1
n x , 其中 R , x R , i 1,2,...m . i i i i
n
m m H ( S ) i x i x i S , i 0, i 1,2...,m , i 1, m N i 1 i 1
定理2.1.4 H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
H(S)是包含S 的最小凸集.
凸集-----凸锥 (Convex Cone)
x 1 y D, 则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面： H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b , 半空间：
H x R n a1 x1 a2 x2 = x R n aT x b
函数值． 所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点 的线段总是位于曲线弧的上方．
对一元函数 f x ,在几何上 f x1 1 f x2
f(X) f(X2)
f(X1)
X1
X2
X
f(X) f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
线性组合 (linear Combination) m n i xi , 其中i R, xi R , i 1,2,...m .
i 1
m
凸集---定义
仿射组合
i 1
m
(Affine Combination)
n x , 其中 R , x R , i 1,2,...m , 且 i 1. i i i i i 1
凸集-----性质
推论： 设 Di , i 1,2,, k 是凸集， 则 i Di 也是凸集， 其中 i 是实数．
i 1 k
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
凸集-----性质
(1) 任意多个凸集的交集为凸集．
是一实数， 则下面的 (2) 设 D 是凸集，
集合是凸集： D y y x , x D n (3) 设D1和D2 是R 上的凸集，则 (a) D1 D2 x1 x2 | x1 D1 , x2 D2 是凸集; (b ) D1 D2 x1 x2 | x1 D1 , x2 D2 是凸集.
凸集---定义
例
二维情况下，两点x1, x2 的
(a)线性组合为全平面；
(b)仿射组合为过这两点的直线；
(c)凸组合为连接这两点的线段；
(b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.
凸集---定义
凸集---定义
定义1 设集合 D R n , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1 , 都有：