重积分习题课(高数名师课件)超经典超全

D 上连续，平面薄片的重心为
x( x, y)d
y( x, y)d
x D
,
( x, y)d
y D
.
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
x
1 A
D
xd
,
y
1 A
D
yd
.
其中
A d
D
(4) 转动惯量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在
的体积为
V f ( x, y)dxdy. D
(2) 曲面积
设S曲面的方程为：z f ( x, y).
曲面S的面积为 A
1
z 2
x
z y
2dxdy;
Dxy
(3) 重心
设有一平面薄片，占有xoy 面上的闭区域D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在
f (i ,i , i ) vi ，(i 1,2, , n)，并作和, 如果当各
小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和式
的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y, z)在闭区域
上的三重积分，记为
n
f
( x,
y, z)dv
lim
0
f (i ,i , i )vi .
i 1
7、三重积分的几何意义
积分区域 ( x 1)2 ( y 2)2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
形心坐标
5 xA 3 yA [5 (1) 3 2]A 9
x
1 A D
x dxd y
y
1 A D
y dxd y
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例４： 计算积分
其中D 由
所围成 .
y y2 2x
解 关于 yoz 面为对称，f ( x, y, z) x 为 x 的
奇函数， 有 xdv 0.
( x z)dv zdv
利用球面坐标
2
d
4 d
1 r cos r2 sin dr
.
0
0
0
8
例８ 计算 e z dv， : x2 y2 z2 1.
解 被积函数仅为z 的函数，截面 D(z) 为圆域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
D 上连续，计算该平面薄片对位于z 轴上的点
M0(0,0,a)处的单位质点的引力．(a 0)
薄片对 z 轴上单位质点的引力 F {Fx , Fy , Fz },
Fx G
( x, y)x d , 3
D (x2 y2 a2)2
(x, y)y
Fy G
d ,
3
D (x2 y2 a2)2
Fz aG
Iz ( x2 y2 )dv,
I y (z2 x2 )dv,
Io ( x2 y2 z2 )dv.
三、典型例题 例1. 计算二重积分
(1) I Dsgn( y x2 )dxd y, D : 1 x 1，0 y 1
(2) I D( x2 y2 2xy 2)dxd y, 其中D 为圆域
f
(
y)dy
n
1
1ab(b
y)n1
f
(
y)dy.
b
x
证 dx ( x y)n2 f ( y)dy
a
a
b
b
b
dy ( x y)n2 f ( y)dx
a
y
a
b a
f
(
y)dy[ 1 ( x n1
y)n1 ]by
1
b
(b
y )n1
f
(
y)dy.
n1 a
y x
D
a
b
例７ 计算 ( x z)dv，其中 由 z x2 y2 与 z 1 x2 y2 所围成的．
dx
dy y2 ( x )
z2( x,y) f ( x, y, z)dz.
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
{(x, y, z)( x, y)Dz , c1 z c2}.
f
( x,
y, z)dv
c2 dz c1
f
( x,
y, z)dxdy.
Dz
(２) 柱面坐标
x r cos ,
D
D
性质２ [ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
性质４ 若 为D的面积 1 d d .
利用对称性 , 得
D1 x ye x2 y2 dxd y D2 x ye x2 y2 dxd y
11 x2 d xx1d y 0 0
y
yx
o D2
D1
1
x
1 y x
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例3. 计算二重积分
其中D 是由曲
线
所围成的平面域 .
解: I 5D x dxd y 3D y dxd y
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i
) i
２、二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
３、二重积分的性质
性质１ 当 k 为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
e z dv 2 ezdv
n，其中 i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，
在每个 i 上任取一点(i ,i ) ，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2, , n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D 上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
f ( x, y)d f ( ,) .
D
（二重积分中值定理）
４、二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : a x b, 1( x) y 2( x).
提示:如图所示 D D2 \ D1 ,
4 2
f
( x,
y)
x
y 在 D2内有定义且
o
4
D1 D2
D
x
连续, 所以
6
D( x y)d D2 ( x y)d D1 ( x y)d
46dy 1y22 y ( x y)d x
24 d y
4
y2
y
(
x
y)d
x
2
2
54311 15
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(2) D由直线
围成 .
解: (1) 利用对称性.
I D x2 d x d y D x ye x2 y2 d x d y
y
1 2
D (
x2
y2 )dxd y
0
1 2
02
d 01r
3
d
r
4
D o 1x
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(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 ( x y)dxd y 2Ddxd y
2( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
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例2. 计算二重积分 I D ( x2 x ye x2 y2 )dxdy , 其中: (1) D为圆域
z
1 M
zdv.
其中 M dv.
(２) 转动惯量
设物体占有空间闭区域 ，在点( x, y, z) 处的
密度为 ( x, y, z)，假定 ( x, y, z) 在 上连续，则该
物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为
Ixy z2dv, I yz x2dv, Izx y2dv,
Ix ( y2 z2 )dv,
f (r cos ,r sin )rdrd
D2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
D3 : 0 2 , 0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D3
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
5、二重积分的应用
(1) 体积 在曲面 z f ( x, y) 与区域 D 之间直柱体
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
10、三重积分的应用
(１) 重心
设物体占有空间闭区域 ，在点( x, y, z) 处的
密度为 ( x, y, z)，假定 ( x, y, z) 在 上连续，则该
物体的重心为
x
1 M
xdv,
y
1 M
ydv,
D 上连续，平面薄片对于x 轴和y 轴的转动惯量为
薄片对于x轴的转动惯量
Ix y2 ( x, y)d , D
薄片对于y轴的转动惯量
I y x2 ( x, y)d . D
(5) 引力
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外: 面、线、点) 列不等式法
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二、主要内容
定义 定义
二
几何意义 几何意义
三
重 积
性质 性质
重
积
分
计算法 计算法
分
应用 应用
1、二重积分的定义
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将
闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，
当 f ( x, y, z) 1时,
dv V 表示空间区域的体积．
8、三重积分的性质
类似于二重积分的性质．
9、三重积分的计算
(１) 直角坐标
: z1( x, y) z z2( x, y); y1( x) y y2( x); a x b.
f ( x, y, z)dv
b
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
a
1( x)
D
X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
［Y－型］ D : c y d , 1( y) x 2( y).
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
பைடு நூலகம்( x, y) d . 3
D (x2 y2 a2)2
G为引力常数
6、三重积分的定义
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界函
数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域v1 ，v2 ,
, vn，其中vn表示第i 个小闭区域，也表示它的
体积, 在每个vi 上任取一点(i ,i , i ) 作乘积
例５ 计算 x2 y2d . 其中 D 是由心脏线 D
r a(1 cos )和圆 r a 所围的面积（取圆外部）．
解 x2 y2d
D
a(1cos)
2
d
a
r rdr
1 3
2
2
a
3[(1
cos
)3
2
1]d
a3 ( 22 ). 92
例6 证明
abdxax ( x
y)n2
习题课 重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、主要内容 三、典型例题
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一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
D
c
1( y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
（２）极坐标系下
D1 : , 1( ) r 2( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D1
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
D2 : , 0 r ( ).
y
r
sin
,
z z.
dv rdrddz,
f ( x, y, z)dv
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
(３) 球面坐标
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
D
D
性质５ 若在D上， f ( x, y) g( x, y)
特殊地
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的最
大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
在第一象限部分. 解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
D1, D2 两部分, 则
1
I D1 dxd y D2 dxd y
y 1 D1
o 1x D2
11d x
1 x2
d
y
11d
x
x2 0
d
y
2 3
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(2) 提示:
I D( x2 y2 2xy 2)dxd y