第12章无穷级数小结

(
x
<
R)
,
n=0
n=0
n=1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
3．函数展开成幂级数
1）泰勒级数
泰勒级数 如果 f (x) 在点 x0 的某邻域内具有各阶导数 f ′(x), f ′′(x, ) ,⋅…, f (n) (x) , ⋅ ⋅ ⋅ 则
f (x0)+ f ′(x0)(x− x0)+
学习重点
1．级数的基本性质及收敛的必要条件； 2．正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法；交错级数的莱布尼茨判别法； 3．绝对收敛与条件收敛的概念； 4．幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5． e x ， sin x ， cos x ， ln(1 + x) 和 (1 + x)m 的麦克劳林展开式；
n =1
n =1
n =1
n =1
∞
∞
∑ ∑ 定理 3(比较审敛法的极限形式) 设 un 和 vn 都是正项级数, 那么
n =1
n =1
∞
∞
∑ ∑ 如果 nli→m∞(un / vn ) = l(0 ≤ l < +∞) ,
且 vn
n =1
收敛,
则 un 收敛；
n =1
∞
∞
∑ ∑ 如果 nli→m∞(un / vn ) = l(0 < l
≤ +∞) ,
且 vn
n =1
发散,
则 un 发散；
n =1
如果 nli→m∞(un / vn ) = l(0 < l < +∞) ，两级数的敛散性相同.
∞
定理 4(比值审敛法，达朗贝尔判别法) 设 ∑un 为正项级数, 如果
n=1
lim un+1 = ρ , n→∞ un
则当 ρ < 1 时级数收敛; 当 ρ > 1 (或 lim un+1 =∞ )时级数发散; 当 ρ = 1 时级数可能收敛也可能发散. n→∞ un
n=1
n=1
rn = s − sn = un+1 + un+2 + ...
∞
叫做级数 ∑un 的余项.
n=1
2．性质
∞
∞
性质 1 如果级数 ∑un 收敛于和 s , 则它的各项同乘以一个常数 k 所得的级数 ∑kun 也收敛, 且其和
n=1
n=1
为 ks .
∞
∞
∞
性质 2 如果级数 ∑un 、 ∑vn 分别收敛于和 s 、σ , 则级数 ∑(un ±vn) 也收敛, 且其和为 s ± σ .
二、正项级数及其审敛法
正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
高等数学（赵）
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高等数学阶段小结
第十二章 无穷级数
定理 1（充分必要条件）
正项级数
∞
∑un
收敛的充分必要条件是它的部分和数列
{s来自百度文库}有界.
n=1
∞
∞
定理 2（比较审敛法） 设 ∑un 和 ∑vn 都是正项级数, 且 un ≤ vn (∀n > N ) . 那么
n=0
n=0
n=0
∞
∞
乘法: ( ∑anxn)⋅( ∑bnxn) = a0b0 + (a0b1 + a1b0 )x + (a0b2 + a1b1 + a2b0 )x2 + ...
n=0
n=0
+ (a0bn + a1bn−1 + ... + anb0 )xn + ...
∞
性质 1 幂级数 ∑anxn 的和函数 s(x) 在其收敛域 I 上连续. 如果幂级数在 x = R (或 x = −R )也收敛, 则 n=0
n=1
n=1
∞
∞
∞
∞
若 ∑vn 收敛, 则 ∑un 收敛； 若 ∑un 发散, 则 ∑vn 发散.
n=1
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∑ ∑ 推论： 设 un 和 vn 都是正项级数, 且 un ≤ kvn (k > 0,∀n ≥ N ). 那么
n =1
n =1
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ 若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛； 反之, 若级数 un 发散, 则级数 vn 发散.
10．掌握 e x ，sin x ，cos x ，ln(1 + x) 和 (1 + x)m 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间
接展开成幂级数。 11．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[l，l]上的函数展
开为傅里叶级数，会将定义在［0，l］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表 达式。
n=1
即
lim
n→∞
sn
=
s
,
则称无穷级数 ∑un 收敛,
n=1
极限 s 叫做这级
∞
数的和, 并写成 s = ∑un = u1+u2 +u3 + ⋅ ⋅ ⋅ +un + ⋅ ⋅ ⋅
n=1
∞
如果{sn} 没有极限, 则称无穷级数 ∑un 发散.
n=1
∞
∞
当级数 ∑un 收敛时, 其部分和 sn 是级数 ∑un 的和 s 的近似值, 它们之间的差值
n=1
n=1
n=1
性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.
∞
性质.4 如果级数 ∑un 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.
n=1
∞
性质 5
如果 ∑un 收敛,
n=1
则它的一般项 un 趋于零,
即 nli→m0un =0 （级数收敛的必要条件）
和函数 s(x) 在 (− R, R](或 [− R, R))连续.
∞
性质 2 幂级数 ∑anxn 的和函数 s(x) 在其收敛域 I 上可积, 并且有逐项积分公式 n=0
∫0x s(x)dx
=
∫0x
∞
( ∑ an
n=0
xn)dx
=
∑∫∞ x
n=0 0
an
xndx
=
∞
∑
n=0
an n +1
xn+1
(x ∈
2!
n!
此级数称为 f (x) 的麦克劳林级数.
定理（函数展开成泰勒级数的充分必要条件） 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域U (x0 ) 内具有各阶导数, 则
f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项 Rn (x) 当 n → ∞ 时的极
限为零, 即
lim
n→∞
Rn
(x)
=
0
(x∈U (x0)) .
2）函数展开成麦克劳林级数的步骤
第一步 求出 f (x) 的各阶导数: f ′(x), f ′′(x),..., f (n) (x),... .
第二步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值:
f (0), f ′(0), f ′′(0),..., f (n) (0),....
n=1
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第十二章 无穷级数
∞
∑un = u1+u2 +u3 + ⋅ ⋅ ⋅ +un + ⋅ ⋅ ⋅
n=1
n
∞
其中第 n 项 un 叫做级数的一般项. sn = ∑ui = u1+u2 +u3 + ⋅ ⋅ ⋅ +un 称为级数 ∑un 的部分和.
i=1
n=1
∞
∞
如果级数 ∑un 的部分和数列{sn}有极限 s ,
n=1
n=1
∞
∞
∞
若级数 ∑un 收敛, 而级数 ∑|un | 发散, 则称级 ∑un 条件收敛.
n=1
n=1
n=1
∞
∞
定理 如果级数 ∑un 绝对收敛, 则级数 ∑un 必定收敛.
n=1
n=1
四、幂级数
1．幂级数及其收敛性
a0 + a1x + a2x2 + ... + an xn + ...,
称为幂级数，其中常数 a0, a1, a2,..., an ,... 叫做幂级数的系数.
正数 R 存在, 使得
当 x < R 时, 幂级数绝对收敛;
当 x > R 时, 幂级数发散;
当 x = R 与 x = −R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.
正数 R 通常叫做幂级数
∞
∑anxn 的收敛半径.
开区间 (− R, R)叫做幂级数
∞
∑anxn 的收敛区间.
再由幂
n=0
n=0
级数在 x = ±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域.
∞
定理.5(根植审敛法，柯西判别法)* 设 ∑un 为正项级数, 如果
n=1
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第十二章 无穷级数
lim n
n→∞
un
=
ρ
,
则当 ρ < 1 时级数收敛;
当ρ >1
(或
lim
n→∞
n
un
=
+∞
)时级数发散;
当 ρ = 1 时级数可能收敛也可能发
散.
∞
定理.6（极限审敛法） 设 ∑un 为正项级数, 那么 n=1
敛半径 R = +∞ , 这时收敛域为 (−∞,+∞) .
定理（收敛半径的求法）
如果 lim | an+1 |= ρ , n→∞ an
其中 an
∞
an+1 是幂级数 ∑anxn 的相邻两项的系数, 则这幂 n=0
级数的收敛半径
2．幂级数的运算
⎧ +∞
R
=
⎪⎪ ⎨
⎪⎪⎩
1 ρ
0
ρ =0 ρ≠0 . ρ = +∞
f
′′(x0) 2!
(x
−
x0)2
+
f
′′′(x0) 3!
(x
−
x0)3
+
⋅
⋅
⋅
+
f
(n)(x0) n!
(x
−
x0)n
+
⋅
⋅
⋅
这一幂级数称为函数 f (x) 在点 x0 的泰勒级数.
在泰勒级数中取 x0 = 0 , 得
f (0)+ f ′(0)x + f ′′(0) x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f (n)(0) xn + ⋅ ⋅ ⋅ ,
如果
lim
n→∞
nun
=
l
>
0(或
lim
n→∞
nun
=
+∞)
,
∞
则级数 ∑un n=1
发散;
如果
p
>
1，而
lim
n→∞
n
pun
= l (0 ≤ l
< +∞) ,
∞
则级数 ∑un n=1
收敛.
常用级数
∑ 1) 几何级数
∞
aq n (a ≠ 0) ；当 q < 1 时 级数收敛于
a
当 q ≥ 1 时 级数发散
n=0
1− q
∑ 2)
p − 级数
∞ n=1
1 np
当p
> 1时
级数收敛
当 p ≤1时
级数发散
∑ 3) 调和级数 ∞ 1 发散
n=1 n
三、任意项级数的审敛法
1．交错级数及莱布尼兹审敛法
∞
交错级数的一般形式为 ∑(−1)n−1un , 其中 un >0 .
n=1
∞
定理（莱布尼茨定理） 如果交错级数 ∑(−1)n−1un 满足条件:
I)
,
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
∞
性质 3 幂级数 ∑anxn 的和函数 s(x) 在其收敛区间 (−R, R) 内可导, 并且有逐项求导公式 n=0
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第十二章 无穷级数
s′(x) =
∞
( ∑anxn)′ =
∞
∑(anxn)′
=
∞
∑
nan
xn−1
∞
∞
设幂级数 ∑anxn 及 ∑bnxn 分别在区间 (−R, R) 及 (−R′, R′) 内收敛, 则在 (−R, R) 与 (−R′, R′) 中较小
n=0
n=0
的区间内有
∞
∞
∞
加法: ∑anxn + ∑bnxn = ∑(an +bn)xn ,
n=0
n=0
n=0
∞
∞
∞
减法: ∑anxn − ∑bnxn = ∑(an −bn)xn ,
幂级数
∞
∑
an
xn
的收敛域是
(−
R,
R)(或[
−
R,
R
)
(−R, R]
[−R, R]之一).
n=0
∞
∞
规定: 若幂级数 ∑anxn 只在 x = 0 收敛, 则收敛半径 R = 0 ；若幂级数 ∑anxn 对一切 x 都收敛, 则收
n=0
n=0
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第十二章 无穷级数
∞
∑ 定理(阿贝尔定理) 如果幂级数 an xn 当 x = x0 (x0 ≠ 0) 时收敛, 则适合不等式 x < x0 的一切 x 使这幂 n =1
∞
∑ 级数绝对收敛. 反之, 如果 an xn 当 x = x0 时发散, 则适合不等式 x < x0 的一切 x 使这幂级数发散. n =1
∞
推论 如果级数 ∑anxn 不是仅在点 x = 0 一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的 n=0
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第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数
学习内容和要求
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与 p 级数的收敛性。 3．会用正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4．会用交错级数的莱布尼茨定理。 5．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法。 8．了解幂级数的一些基本性质，会求一些幂级数的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
n=1
(1) un ≥ un+1(n = 1, 2, 3,...);
(2)
lim
n→∞
un
=
0
,
则级数收敛, 且其和 s ≤ u1 ，其余项 rn 的绝对值 rn ≤ un+1 .
2．绝对收敛与条件收敛
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第十二章 无穷级数
∞
∞
若级数 ∑|un | 收敛, 则称级数 ∑un 绝对收敛;
6．函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，正弦级数与余弦级数．
一、常数项级数的概念和性质
内容提要
1．定义：
给定一个数列 u1,u2,u3,...un ,..., 则由这数列构成的表达式
u1 + u2 + u3 + ... + un + ...
∞
叫做常数项无穷级数, （简称常数项级数）, 记为 ∑un , 即