圆锥曲线存在性问题

圆锥曲线中的存在性问题

一、基础知识

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在

2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y

（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题：

例1：已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交

于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2

。 （1）求,a b 的值

（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由

解：（1）::3

c e a b c a =

=⇒=

则,a b =

=，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时

:0l y x c x y c =-⇒--=

2

O l d -∴=

=

解得：1c =

a b ∴== 椭圆方程为：22

132

x y +=

（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-

OP OA OB =+012

012

x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩

联立直线与椭圆方程：()221236

y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()222

2316x k x +-=，整理可得：

()2

222326360k

x k x k +-+-=

2122632k x x k ∴+=+()312122264223232

k k

y y k x x k k k k +=+-=-=-++

22264,3232k k P k k ⎛⎫

∴- ⎪++⎝⎭

因为P 在椭圆上

2

2

2

22

642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

()()()2

2

42222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+

(

)2224632k k k ∴=+⇒=

当k =

):1l y x =-

，3,2

2P ⎛ ⎝⎭

当k =

时，):1l y x =-

，322P ⎛⎫

⎪⎝⎭

当斜率不存在时，可知:1l x =

，1,

,1,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝

⎭，则()2,0P 不在椭圆上

∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭或):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭ 例2：过椭圆()22

22:10x y a b a b

Γ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左

焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2

（1）求椭圆Γ的方程

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且

OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由

解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=

2

c e c a ∴=

=⇒=2221b a c ∴=-= 椭圆2

2:14

x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为2

2

2

x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

01r ∴<<

若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y

PQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴=

=⇐=+

0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=

联立方程：2

2

44

y kx m x y =+⎧⇒⎨

+=⎩()222148440k x kmx m +++-=

2121222844

,4141

km m x x x x k k -∴+=-=++

()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++

()2222

244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭

22254441

m k k --=+

225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立

将()

2221m r k =+代入可得：()()

22251410r k k +-+=

()()225410r k ∴-+=245

r ∴=

∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=

当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =

若:PQ x =

,5

555P Q ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭

0OP OQ ∴⋅=:PQ x ∴=

若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：22

45

x y +=

例3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为1

2

，左，右焦点分别为

()1,0F c -和()2,0F c

（1）求椭圆C 的方程

（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ①证明：1k k ⋅为定值

②是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由

解：（1）依题意可知：1

2

c e a =

=可得：::2a b c =