数学必修四第三章章末检测(A)

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高一数学必修4第三章综合练习题

必修四第三章综合检测题1．sin 2π12－cos 2π12的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π2＋2θ)＝( )A ．－429B ．－79 C.429 D.794．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3 D.135．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( )A.54B.62C.32 D ．1＋236．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( )A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－27．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( )A ．－1B ．－15 C.57 D.178．函数y ＝cos2x ＋sin2x cos2x －sin2x的最小正周期为( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π49．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数10.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.若cosα＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα sinβcosα cosβ＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π311．y ＝sin(2x －π3)－sin2x 的一个单调递增区间是( )A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312π]D ．[π3，5π6]12 . 若，且，则的值是（）A. B. C. D.13. 在△ABC 中，若，则△ABC 的形状一定是 ( ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D. 等边三角形14．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.15．已知cos2α＝13，则sin 4α - cos 4α＝________.16．设向量a ＝(32，sin θ)，b ＝(cos θ，13)，其中θ∈(0，π2)，若a ∥b ，则θ＝________.17函数y x x x =82sin cos cos 的周期T=_______最大值A=________.18．已知ABC ∆中，23sin ,cos 34C B ==-，则A cos = ．19、已知tan α、tan β是方程22370x x +-=的两个实数根，求tan()αβ+的值。

数学必修4第三章单元测试题

（2）已知，求的值.
C．第三象限D．第四象限
6、化简 ( )
17、细胞学说的建立被誉为19世纪自然科学的三大发现之一。A. B. C. D.
10、由于煤、石油等化石燃料消耗的急剧增加，产生了大量的二氧化碳，使空气中的二氧化碳含量不断增加，导致全球气候变暖、土壤沙漠化、大陆和两极冰川融化，给全球环境造成了巨大的压力。7、已知，则 ( )
三、解答题（共44ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
4、科学家研究表明昆虫头上的触角就是它们的“鼻子”，能分辨出各种气味，比人的鼻子灵敏得多。15、(10分)已知，求的值
13、1663年，英国科学家罗伯特.胡克用自制的复合显微镜观察一块软木薄片的结构，发现它们看上去像一间间长方形的小房间，就把它命名为细胞。16、(12分)（1）已知求的值；
A.
B.答：水分和氧气是使铁容易生锈的原因。 B. C. D.
1、填空题（每题4分，共16分）
11、＝____________;
2、1969年7月，美国的“阿波罗11号”载人飞船成功地在月球上着陆。12、
13、已知是方程的两根，且. 都是锐角，则 ___________;
6、蚜虫是黄色的，在植物的嫩枝上吸食汁液，每个蚜虫只有针眼般大小，在10倍放大镜下我们可以看清它们的肢体。14、已知，那么；.
1、的值是( )
A. B. C. D.
2、已知都是锐角，则 ( )
A. B. C. D.
3、已知，那么 ( )
A. B. C. D.
4、已知则 ( )
六年级下册科学复习资料A． B． C． D．
预计未来20年，全球人均供水量还将减少1/3。5、已知，那么角的终边所在的象限为( )

2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第三章章末优化总结 Word版含答案

章末优化总结, )三角函数式的求值三角函数求值主要有三种类型，即(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观看发觉题中的角与特殊角都有着肯定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要留意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要争辩角的范围．(1)已知π2<β<α<3π4，cos (α－β)＝1213，sin (α＋β)＝－35，求cos α，sin α的值．(2)已知tan α＝43，cos (α＋β)＝－1114，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.[解] (1)由于π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，所以sin (α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos (α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45.所以cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos (α－β)cos (α＋β)－sin (α－β)sin (α＋β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365. 所以cos 2α＝1＋cos 2α2＝1－33652＝1665.又由于π2<α<3π4，所以cos α＝－46565，sin α＝76565.(2)由于0°<α<90°，且tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝17，sin α＝437.由于cos (α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°，所以sin (α＋β)＝1－⎝⎛⎭⎫－11142＝5314.所以cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又0°<β<90°，所以β＝60°.三角函数式的化简三角函数式的化简，主要有以下几类：①对和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，通常考虑三个方面(1)化简的要求三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出值的应尽量求出值．(2)化简的方法①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用； ②常用切化弦，异名化同名、异角化同角等． (3)化简的技巧①留意特殊角与特殊值的互化；②留意角的变换技巧；③留意“1”的代换．化简下列各式： (1)1＋3tan θ2cos 2θ＋sin 2θ－1－3＋5tan θcos 2θ－4sin 2θ－4； (2)2sin 50°＋cos 10°（1＋3tan 10°）1＋cos 10°.[解] (1)原式＝1＋3tan θcos 2θ－3sin 2θ＋2sin θcos θ＋3＋5tan θ3cos 2θ＋5sin 2θ＋8sin θcos θ＝cos θ＋3sin θcos θ（cos θ＋3sin θ）（cos θ－sin θ）＋3cos θ＋5sin θcos θ（3cos θ＋5sin θ）（cos θ＋sin θ）＝1cos 2θ－sin θcos θ＋1cos 2θ＋sin θ·cos θ ＝cos θ＋sin θcos θ（cos 2θ－sin 2θ）＋cos θ－sin θcos θ（cos 2θ－sin 2θ）＝2cos θcos θ·cos 2θ＝2cos 2θ.(2)原式＝2sin 50°＋cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°2cos 25°＝2sin 50°＋cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 10°＋3sin 10°cos 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2cos 5°＝2cos 40°＋2sin 40°2cos 5°＝22sin （40°＋45°）2cos 5°＝2sin 85°cos 5°＝2.三角恒等式的证明证明三角恒等式是三角恒等变形的重要应用，主要有两种类型：不附加条件的恒等式的证明和条件恒等式的证明．(1)不附加条件的恒等式的证明三角恒等式的证明就是通过三角恒等变形，消退三角恒等式两端的差异，这是三角变形的重要应用之一．证明的一般思路是由繁到简，假如两边都较繁，则接受左右互推的思路，找一个桥梁过渡．(2)条件恒等式的证明这类问题的解题思路是恰当地、适时地使用条件或认真探求所附条件与需证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．(1)求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2（3＋cos 4x ）1－cos 4x.(2)已知锐角α，β满足tan (α－β)＝sin 2β，求证：2tan 2β＝tan α＋tan β.[证明] (1)法一：左边＝sin 2x cos 2x ＋cos 2x sin 2x ＝sin 4x ＋cos 4xsin 2x cos 2x＝（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x cos 2x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 14sin 22x＝1－12sin 22x 18（1－cos 4x ）＝8－4sin 22x 1－cos 4x ＝4＋4cos 22x 1－cos 4x ＝4＋2（1＋cos 4x ）1－cos 4x ＝2（3＋cos 4x ）1－cos 4x＝右边．所以原式得证．法二：右边＝2（2＋1＋cos 4x ）2sin 22x ＝2（2＋2cos 22x ）8sin 2x cos 2x ＝2（1＋cos 22x ）4sin 2x cos 2x ＝（sin 2x ＋cos 2x ）2＋（cos 2x －sin 2x ）22sin 2x cos 2x＝2（sin 4x ＋cos 4x ）2sin 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1tan 2x ＝左边．原式得证．(2)由于tan (α－β)＝sin 2β，tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2tan β1＋tan 2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β. 去分母整理得tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β，所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2tan 2β.三角恒等变形与三角函数的性质利用三角公式和基本的三角恒等变形的思想方法，可以化简三角函数的解析式，进而才能顺当地探求三角函数的有关性质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值，因而三角恒等变形与三角函数的性质是高考命题的热点．解决三角恒等变形与三角函数的综合问题关键在于娴熟地运用基本的三角恒等变形思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图像和性质有关的问题，在进行恒等变形时，要留意三角恒等思想．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a·b －1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的递减区间；(3)画出函数y ＝f (x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12的图像，由图像争辩并写出f (x )的对称轴和对称中心．[解] f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)T ＝2π2＝π.(2)2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2⇔k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)列表：x －7π12－π3 －π12π6 5π12 2x ＋π6－π －π2 0 π2 π y－22描点，连线，如图所示：从图像可以看出，此函数有一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，无对称轴．1．已知f (x )＝1－x ，当α∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2时，f (sin 2α)－f (－sin 2α)可化简为( )A ．2sin αB ．－2cos αC ．－2sin αD ．2cos α 解析：选D.f (sin 2α)－f (－sin 2α)＝1－sin 2α－1＋sin 2α＝（sin α－cos α）2－（sin α＋cos α）2＝|sin α－cos α|－|sin α＋cos α|，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，所以sin α<cos α<0， f (sin 2α)－f (－sin 2α)＝2cos α.2．函数f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x 的图像的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫2π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫5π6，0C.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 D ．⎝⎛⎭⎫π3，32 解析：选D.f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以x ＝k π2－π6，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝π3，此时f (x )＝32，所以函数f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32.3.sin 9°＋cos 15°sin 6°cos 9°－sin 15°sin 6°＝________. 解析：原式＝sin （15°－6°）＋cos 15°sin 6°cos （15°－6°）－sin 15°sin 6°＝sin 15°cos 6°－cos 15°sin 6°＋cos 15°sin 6°cos 15°cos 6°＋sin 15°sin 6°－sin 15°sin 6°＝sin 15°cos 6°cos 15°cos 6°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3.答案：2－ 34．函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．解析：f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ] ＝1＋a sin[(1－a )x ＋φ]，所以f (x )max ＝1＋a ，即1＋a ＝2，a ＝3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π|1－a |＝π.答案：π5．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a ·b ＝m ，求2cos 2α＋sin 2（α＋β）cos α－sin α的值．解：由于β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的最小正周期，所以β＝π，由于a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，所以a ·b ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1·(cos α，2)＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β·cos α－2＝m ，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋14πcos α＝m ＋2.由于0<α<π4，所以2cos 2α＋sin 2（α＋β）cos α－sin α＝2cos 2α＋sin （2α＋2π）cos α－sin α＝2cos 2α＋sin 2αcos α－sin α＝2cos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ＋4., [同学用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12等于( )A ．－32B ．－12C.12 D ．32解析：选D.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32.2. 函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )A ．2πB ．3π2C ．πD ．π2解析：选A.f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以T ＝2π. 3．若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( )A.22 B ．－22 C.π4 D ．－π4 解析：选B.由于向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，所以2cos α·tan α＝－2，即2cos α·sin αcos α＝－2，解得sin α＝－22.4．当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1解析：选D.f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由于－π2≤x ≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2.5．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( ) A ．－12 B ．12C ．－32D ．32解析：选B.sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)＝sin 17°(－sin 43°)＋(－cos 17°)·(－cos 43°)＝cos 60°＝12.6．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A.1tan 2α B ．tan 2α C.1tan αD ．tan α 解析：选B.1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α＝2sin 2αcos 2α＋2sin 22α2sin 2αcos 2α＋2cos 22α＝2sin 2α（cos 2α＋sin 2α）2cos 2α（sin 2α＋cos 2α）＝tan 2α.7．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．b <a <c解析：选A.a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝2cos 213°－1＝cos 26°＝sin 64°，c ＝32＝sin 60°，在区间(0°，90°)上，函数y ＝sin x 是增函数，所以sin 60°<sin 62°<sin 64°，即c <a <b .8．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A. 2 B ．－22C ．2D ．2或－22解析：选B.由于tan 2θ＝－22且π<2θ<2π，所以3π2<2θ<2π，得3π4<θ<π.由tan 2θ＝－22得2tan θ1－tan 2θ＝－22，整理得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝2(舍去)或tan θ＝－22. 9．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69解析：选C.由于0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π4，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223；由于－π2<β<0，所以π4<π4－β2<π2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A＋B )，则C 的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D ．5π6解析：选C.由m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，得m ·n ＝3sin A cos B ＋sin B ·3cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin(π－C )＝3sin C ，而cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，则由m ·n ＝1＋cos(A ＋B )得3sin C ＝1－cos C ，即32sin C ＋12cos C ＝12⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，而C 为△ABC 的一个内角，所以π6<C ＋π6<7π6，得C ＋π6＝5π6，解得C ＝2π3.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．解析：3tan 15°＋13－tan 15°＝tan 15°＋331－33tan 15°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 30°tan 15°＝tan(15°＋30°)＝tan 45°＝1. 答案：112．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2<θ<3π4，则cos 2θ的值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，消去cos θ得sin 2θ－15sin θ－1225＝0，由于π2<θ<3π4，所以sin θ>0，所以sin θ＝45，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－725.答案：－72513．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝____________．解析：依据诱导公式，将已知条件的两个式子化简，联立得⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝3，sin β＝13，由tan α＝3和sin 2α＋cos 2α＝1得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝3，cos 2α＋sin 2α＝1，结合α为锐角解得⎩⎨⎧sin α＝31010，cos α＝1010，所以sin α＝31010.答案：3101014．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－513，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是35，则cos α＝________．解析：由题意，知cos β＝－513，sin(α＋β)＝35，又由于α，β∈(0，π)，所以sin β＝1213，cos(α＋β)＝－45.所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－513＋1213×35＝2065＋3665＝5665. 答案：566515．已知sin α－sin β＝63，cos α＋cos β＝33，则cos 2α＋β2＝________．解析： (sin α－sin β)2＝23，(cos α＋cos β)2＝13，两式开放相加得2－2sin αsin β＋2cos αcos β＝1⇒1＋cos(α＋β)＝12⇒cos(α＋β)＝－12⇒cos 2α＋β2＝14.答案：14三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知f (α)＝ sin 2（π－α）·cos （2π－α）·tan （－π＋α）sin （－π＋α）·tan （－α＋3π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18.可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又由于π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0.所以cos α－sin α＝－32.(3)由于α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝cos5π3·sin 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3 ＝cos π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3＝12·⎝⎛⎭⎫－32＝－34.17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由条件知cos α＝210，cos β＝255，且α，β为锐角，所以sin α＝7210，sin β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.(2)tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝43，所以tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝－1，由于α，β为锐角，所以0<α＋2β<3π2，所以α＋2β＝3π4.18．(本小题满分10分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)相互垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．解：(1)由于a ⊥b ，所以a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又由于sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55.(2)由于5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，所以cos φ＝sin φ.所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又由于0<φ<π2，所以cos φ＝22.19．(本小题满分12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )(其中ω>0)，n ＝(f (x )，cos ωx )，m ⊥n ，且函数f (x )的图像任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)探讨函数f (x )在(－π，π)上的单调性．解：(1)由题意，得m ·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝cos 2ωx ＋12＋3sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12.依据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π，又ω＞0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋12，由于x ∈(－π，π)，所以－π2＜23x ＋π6＜5π6，当－π2＜23x ＋π6＜π2，即－π＜x ＜π2时，函数f (x )是递增的；当π2≤23x ＋π6＜5π6，即π2≤x ＜π时，函数f (x )是递减的．综上可知，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，π2上是递增的，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π上是递减的．20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋34. (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，求函数f (x )的值域；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )的表达式及对称轴方程．解：(1)f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋34＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＋34＝12sin x cos x －32sin 2x ＋34＝14sin 2x －32×1－cos 2x 2＋34＝14sin 2x ＋34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由－π3≤x ≤π6，得－π3≤2x ＋π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，－34≤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－34，12.(2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，得到y ＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，所以g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，当4x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )时，g (x )取最值，所以x ＝k π4＋5π24(k ∈Z )，所以函数的对称轴方程是x ＝k π4＋5π24(k ∈Z )．。

2018版高中数学人教A版必修4第3章章末综合测评含解

章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．16【解析】由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝13，所以cos αcos β＝16.【答案】 D2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故x ＝π是函数y ＝cos x 的一条对称轴．【答案】 C3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )【导学号：00680080】A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π5－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 C 4.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12【解析】原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【答案】 A5．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0B ．22 C ．1D ．－22【解析】原式＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8 ＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.【答案】 B6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ的值可以是( ) 【导学号：70512045】A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12【解析】由题得tan ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，故选A ．【答案】 A7．若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( ) A ．32B ．－32C ．±32D ．±12【解析】由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B ．【答案】 B8．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝45，则sin 2x 的值为( ) A ．1925B ．725C ．1425D ．－725【解析】 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725. 【答案】 D9．已知cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A ．－43－310B ．43－310C ．12D ．32【解析】由cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π，得π6＜x ＋π6＜π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310. 【答案】 B10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值是( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．3D ．1【解析】由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2，所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，所以3≤y ≤2＋2. 【答案】 C11．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C ．⎣⎡⎦⎤5π12，13π12D ．⎣⎡⎦⎤π3，5π6【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x＝－12sin 2x －32cos 2x＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递减区间， π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12. 【答案】 B12．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．17B ．－17C ．27D ．－27【解析】因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0，即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上) 13．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________．【解析】因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最小正周期为T ＝2π，最大值为2. 【答案】 2π 214．tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋3tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值是________．【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ1－tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋ 3tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ. 【答案】315．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.【答案】 316．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________．【解析】 ∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1＋21－2＝－3<0，①又0<A <π2，0<B <π2，∴0<A ＋B <π，②由①②知，π2<A ＋B <π，又tan[(A ＋B )＋C ]＝tan (A ＋B )＋tan C 1－tan (A ＋B )tan C ＝－3＋31－(－3)×3＝0.又∵0<C <π2，∴π2<A ＋B ＋C <32π，∴A ＋B ＋C ＝π. 【答案】 π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．【解】 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 18．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】因为tan(α－β)＝sin 2β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．【解】 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．【解】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 21.(本小题满分12分)如图1所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(－3,4)，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.图1(1)求tan(2α－β)的值；(2)若π2＜α＜π，0＜β＜π2，求α＋β.【解】 (1)由三角函数的定义知tan α＝－43，∴tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－431－⎝⎛⎭⎫－432＝247.又由三角函数线知sin β＝210. ∵β为第一象限角，∴tan β＝17，∴tan(2α－β)＝247－171＋247×17＝16173.(2)∵cos α＝－35，∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×7210－35×210＝22.又∵π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝3π4.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2cos ωx,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，－1⎝⎛⎭⎫其中14≤ω≤32，函数f (x )＝a ·b ，且f (x )图象的一条对称轴为x ＝5π8. (1)求f ⎝⎛⎭⎫34π的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2－π8＝23，f ⎝⎛⎭⎫β2－π8＝223，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求cos ()α－β的值．【解】 (1)∵向量a ＝(2cos ωx,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，－1＝(2(sin ωx ＋cos ωx )，－1)，∴函数f (x )＝a ·b ＝2cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )－1＝2sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4. ∵f (x )图象的一条对称轴为x ＝5π8，∴2ω×5π8＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )．又14≤ω≤32，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫34π＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×34π＋π4＝－2cos π4＝－1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2－π8＝23，f ⎝⎛⎭⎫β2－π8＝223， ∴sin α＝13，sin β＝23.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴cos α＝223，cos β＝53，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝210＋29.。

2019版高中数学人教A版必修4：第三章检测A 含解析

1.1:由题意,得cos αcos β-sin αsin β+cos αcos β+sin αsin β=2cos αcos β=,所以cos αcos β=.1316:D2.sin 47°cos 43°+sin 137°sin 43°等于( )B.1C.-1D.12:sin 47°cos 43°+sin 137°sin 43°=sin 47°cos 43°+cos 47°sin 43°=sin 90°=1.:B3.函数y=3sin x-3cos x 的最大值是( )3A.3+4.A.15.函数f (x )=1-2sin 2,则f =( )(x +π4)(π6)B.- C. D.3121232:f (x )=1-2sin 2=cos 2=cos =-sin 2x ,(x +π4)(x +π4)(2x +π2)=-sin=-sin =-.π6)(2×π6)π332:A6.已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则cos α=( )353-433+433±434±337.:C8.已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则tan α=( )2B.- C. D.12222:将sin α-cos α=两边平方得sin 2α-2sin αcos α+cos 2α=2,即sin αcos α=-,212=-,sinαcosα2α+cos 2α=tanαtan 2α+112整理得2tan α+tan 2α+1=0,即(tan α+1)2=0,tan α=-1.故选A .9.10.则f (,k ∈Zkπ-π12,kπ+5π12],k ∈Zkπ+5π12,kπ+11π12],k ∈Zkπ+π6,kπ+2π3],k ∈Zkπ-π3,kπ+π6]:f (x )=2sin ,由题意得f (x )的最小正周期T=π,∴ω==2,∴f (x )=2sin ,令2k π-(ωx +π6)2πT =2ππ(2x +π6)x+≤2k π+,k ∈Z ,解得k π-≤x ≤k π+,k ∈Z ,则f (x )的单调递增区间是,k ∈Z .π6π2π3π6[kπ-π3,kπ+π6]11.解析12.cos 2β=1-2sin 2β=1-2×.(5)25:72513.设向量a =,b =,若a ∥b ,则sin 的值是 .(12,sinα)(32,cosα+23)(2α-5π6):因为a ∥b ,所以sin α,12(cosα+23)=32cos α+sin α,所以sin ,1213=32(α-π6)=13sin =sin =-cos =2sin 2-1=-1=-.(2α-5π6)(2α-π3-π2)(2α-π3)(α-π6)2979:-7914.15.C= 2sin =1.(6+C )sin .(π6+C )=12+C=+C=(舍去).5π6或π6π6C=.2π3:2π3三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)化简:.2cos 4x -2cos 2x +122tan (π4-x )·sin 2(π4+x )17.∈,∴2α∈(π,2π).(2)sin 2α=-.∴tan 2α=-2.2232tan 4α=.2tan2α1-tan 22α=-421-(-22)2=42718.(9分)已知函数f (x )=sin 2x-cos 2x.123(1)求f (x )的最小正周期和最小值;将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g (x )的图象.当x ∈时,求g (x )的值域.(1)f (x )=sin 2x-cos 2x=sin 2x-(1+cos 2x )=sin 2x-cos 2x-=sin,因此f (x )的最小正周1231232123232(2x -π3)‒3219.边在扇形的一半径对于题图①,MN=20sin θ,ON=20cos θ,S 1=ON ·MN=400sin θcos θ=200sin 2θ,所以当sin 2θ=1,即θ=45°时,=200 cm 2.S 1max 对于题图②,MQ=40sin(60°-α),MN=sin α,4033S 2=.80033[cos (2α-60°)-12]cos(2α-60°)=1,即2α-60°=0,α=30°时,cm 2.S 2max =400334003400320.。

数学必修4第三章章末检测卷含答案解析

又－ <α< ，－ <β< ，
所以－ <α<0，－ <β<0.
所以－π<α＋β<0.
因为tan(α＋β)＝＝＝1，
所以α＋β＝－ .
19．(12分)(2015·广东高考)已知tanα＝2.
(1)求tan 的值；
(2)求的值．
解析：(1)tan ＝
＝＝＝－3.
(2)
＝
＝
＝
＝
＝1.
20．(12分)(2016·杭州高一检测)已知f(x)＝Asin (A≠0)．
第三章章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·澄城县期末)cos24°cos36°－cos66°cos54°的值等于( )
A．0 B.
C. D．－
解析：cos24°cos36°－cos66°cos54°
＝sin66°cos36°－cos66°sin36°
C．[8，＋∞) D．(8，＋∞)
解析： sinθ＋ cosθ＝sin ＝ ∈[－1,1]，
即 ≤1，所以8m－32≥0.
解得m≥4.故选B.
答案：B
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋3 x＋4＝0的两个根，且－ <α< ，－ <β< ，则α＋β为( )
A. B．－
C. 或－ D．－或
解析：由题意得
＝sin(66°－36°)＝sin30°＝ .
答案：B
2．化简cos2 －sin2 等于( )
A．sin2θB．－sin2θ
C．cos2θD．－cos2θ
解析：原式＝cos ＝cos ＝sin2θ.故选A.

新课标A版高中数学必修4：第三章++三角恒等变换+单元同步测试(含解析)

第三章测试(时间：120分钟 ,总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14 C.34D ．－34解析原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14. 答案 B2．假设sin2α＝14 ,π4<α<π2 ,那么cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－32 C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34. 又π4<α<π2 ,∴cos α<sin α ,cos α－sin α＝－34＝－32.答案 B3．180°<α<270° ,且sin(270°＋α)＝45 ,那么tan α2＝( ) A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D4．在△ABC 中 ,∠A ＝15° ,那么 3sin A －cos(B ＋C )的值为( )A. 2B.22C.32D. 2解析在△ABC 中 ,∠A ＋∠B ＋∠C ＝π , 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A )＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．tan θ＝13 ,那么cos 2θ＋12sin2θ等于( ) A ．－65 B ．－45 C.45D.65解析原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6．在△ABC 中 ,sin A cos A ＝sin B cos B ,那么△ABC 是( ) A ．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵sin2A＝sin2B ,∴∠A＝∠B ,或∠A＋∠B＝π2.答案 D7．设a＝22(sin17°＋cos17°) ,b＝2cos213°－1 ,c＝32,那么()A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c解析a＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28° ,b＝2cos213°－1＝cos26° ,c＝32＝cos30° ,∵y＝cos x在(0,90°)内是减函数,∴cos26°>cos28°>cos30° ,即b>a>c.答案 A8．三角形ABC中,假设∠C>90°,那么tan A·tan B与1的大小关系为()A．tan A·tan B>1 B. tan A·tan B<1C．tan A·tan B＝1 D．不能确定解析在三角形ABC中,∵∠C>90° ,∴∠A ,∠B分别都为锐角．那么有tan A>0 ,tan B>0 ,tan C<0.又∵∠C＝π－(∠A＋∠B) ,∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0 ,易知1－tan A ·tan B >0 , 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22 2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－221＋22 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ,∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时 ,y 有最|大值1＋22；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时 ,y 有最|小值1－22.∴值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－221＋22. 答案 C11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2解析原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案 C12．假设α ,β为锐角 ,cos(α＋β)＝1213 ,cos(2α＋β)＝35 ,那么cos α的值为( )A.5665B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π ,cos(α＋β)＝1213>0 , ∴0<α＋β<π2 ,sin(α＋β)＝513. ∵0<2α＋β<π ,cos(2α＋β)＝35>0 , ∴0<2α＋β<π2 ,sin(2α＋β)＝45. ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分．将答案填在题中横线上)13．α ,β为锐角 ,且cos(α＋β)＝sin(α－β) ,那么tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β) ,∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角 ,∴sin β＋cos β≠0 ,∴cos α＝sin α ,∴tan α＝1. 答案 114．cos2α＝13 ,那么sin 4α＋cos 4α＝________. 解析 ∵cos2α＝13 , ∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59. 答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α ,∴原式＝cos α2cos α＝12. 答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6) ,那么以下命题： ①y ＝f (x )的最|大值为2； ②y ＝f (x )最|小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π24 13π24上是减函数； ④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后 ,将与函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12 , ∴y ＝f (x )的最|大值为 2 ,最|小正周期为π ,故① ,②正确．又当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π24 13π24时 ,2x －π12∈[0 ,π] ,∴y ＝f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π24 13π24上是减函数 ,故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12 ,故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题 ,共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23 －1 ,n ＝(sin x,1) ,m 与n 为共线向量 ,且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2 0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量 ,∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0 ,即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29 , ∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2 0 ,∴sin α－cos α<0.∴sin α－cos α＝－43. ∴sin2αsin α－cos α＝712.18．(12分)求证：2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210 ,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2 3π4.(1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解(1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2 3π4 ,∴x －π4∈⎝ ⎭⎪⎪4π2 , 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210. sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45.解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210 ,即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1 ,从而25sin 2x －5sin x －12＝0 ,解得sin x ＝45 ,或sin x ＝－35 , 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2 3π4 ,所以sin x ＝45.(2)∵x ∈⎝ ⎭⎪⎪23π4 ,故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425. cos2x ＝2cos 2x －1＝－725. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.20．(12分)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 3x 2 sin 3x 2 ,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos x 2 －sin x 2 ,c ＝( 3 ,－1) ,其中x∈R .(1)当a ⊥b 时 ,求x 值的集合；(2)求|a －c |的最|大值．解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0 ,即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝0 , 那么cos2x ＝0 ,得x ＝k π2＋π4(k ∈Z ) ,∴x 值的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ＝k π2＋π4 k ∈Z . (2)|a －c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1 ＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3 , 那么|a －c |2的最|大值为9.∴|a －c |的最|大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面 ,假设扇形的半径长为1 cm ,求割出的长方形桌面的最|大面积(如图)．解连接OC ,设∠COB ＝θ ,那么0°<θ<45° ,OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ ,∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12 ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0 ,即θ＝π8时 ,S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最|大面积为2－12 m 2.22．(12分)函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最|小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12 ,纵坐标不变 ,得到函数y ＝g (x )的图象 ,求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 π16上的最|小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0 ,依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16 ,π4≤4x ＋π4≤π2. 所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 π16上的最|小值为1.。

北师大版数学必修4第三章单元检测题及答案

第1页共11页第三章命题人：吴亮检测人：李丰明第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知，，则的值为（的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．或Ｄ．或 2. 如果，那么等于（等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于（等于（）A ．－12 B.12 C ．－32 D.324．化简：的值为（的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5．在△ABC 中，如果sinA ＝2sinCcosB ，那么这个三角形是，那么这个三角形是A ．锐角三角形．锐角三角形B ．直角三角形．直角三角形C ．等腰三角形．等腰三角形D ．等边三角形．等边三角形6．若β∈(0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2β＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是的取值范围是A ．[0，π2]B ．[π2，π]C ．[π，3π2]D ．[π2，2π] 7．若为锐角三角形的两个锐角，则的值（的值（）Ａ．不大于Ｂ．小于Ｃ．等于Ｄ．大于8．已知θ为第四象限角，sinθ＝－32，则tanθ等于（等于（） A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－3 9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ－cosγ＝0，则cos(α－β)的值是的值是4cos()5αβ+=4cos()5αβ-=-cos cos αβ045045045±sin()sin()mnαβαβ+=-tan tan βαm n m n -+m n m n +-n m n m -+n mn m+-ππcos sin 44ππcos sin 44x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan2xtan 2x tan x -cot x A B ，tan tan A B 1111A ．－1B ．1C ．－12D.D.112 10．已知sin(α－β)＝1010，α－β是第一象限角，tanβ＝12，β是第三象限角，则cosα的值等于值等于A.7210 B ．－7210 C.22 D ．－22二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)把答案填第Ⅱ卷题中横线上1111．若．若0＜α＜π2，0＜β ＜π2且tanα＝17，tanβ＝34，则α＋β的值是________．1212．已知函数．已知函数f(x)＝(sinx －cosx)sinx ，x ∈R ，则f(x)的最小正周期是________．13．若，则______．14. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是为增函数的区间是。

湖北襄阳2018学年数学必修4练习：第三章章末测试 Word版含解析

故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋ ](k∈Z)．
7．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ的值为()
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，∴sin(－β)＝m，sinβ＝－m，又∵β为第三象限角，∴cosβ＝－ .
8．已知tan(α＋β)＝，tan(β－ )＝，则tan(α＋ )等于()
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝ [1＋cos(2x＋ )]＋1＋ sin2x
＝ [cos(2x＋ )＋sin2x]＋
＝ ( cos2x＋ sin2x)＋＝ sin(2x＋ )＋ .
当2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋，即kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)时，
函数h(x)＝ sin(2x＋ )＋是递增的．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝ .
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以
1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是
sin(2θ＋ )＝－ .
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝ .
因此θ＝或θ＝ .
18．已知函数f(x)＝cos2(x＋ )，g(x)＝1＋ sin2x.
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t Mt N t =-的最小值为（） A ．21- B ．1C ．22D ．212-2．若160,0,cos ,sin 224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．53B ．3-C ．53-D ．3 3．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（） A ．23 B ．23-C ．32D ．32-4．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则233cos sin cos 222ααα--的值为（）A ．45B ．35C ．45-D ．356．已知()3sin 2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 7．函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间是（）A ．(,)()44k k k Z ππππ-+∈ B ．3(,)()44k k k Z ππππ++∈ C ．(,)()4k k k Z πππ+∈D ．(,)()42k k k Z ππππ++∈8．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +=，2bc =，则角C 的大小是（）A ．6π或23π B ．3πC ．23π D ．6π 9．已知()0,απ∈，()2sin 2cos21παα-=-，则sin α=（）A ．15B C ．-D10．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（）A B ．13C ．13-D ．11．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos2=α（）A ．BC ．9-D ．912．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形二、填空题13．已知函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，且点P 在角6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边上cos α=_______.14．tan 80tan 4080tan 40︒+︒︒︒=________.15．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.16．函数3sin 4cos y x x =-在x θ=处取得最大值，则sin θ= ______ 17．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.18．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则cos()αβ-=______. 19．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，那么该函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______________． 20．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______.三、解答题21．已知cos α5=，sin （α﹣β）10=，且α、β∈（0，2π）．求：（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值；（Ⅱ）β的值．22．已知函数2()cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=-+>，且()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上的所有点向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．23．已知函数2()sin cos 0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π．（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的12,,66x x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，求ϕ的取值范围．24．如图，在扇形OPQ 中，半径OP =1，圆心角3POQ π∠=，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形.记POC α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.25．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式. （2）若3()5f x =-，且36x ππ-<<，求cos2x 的值.26．已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案．【详解】函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期，因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1，不妨()f t 取得最大值()=1M t ，则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 442N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭, 故()()()g t M t N t =-取最小值为12-．故选：D ．【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．A解析：A 【分析】由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选：A. 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.3．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++，对上述式子分子分母同除以2cos2θ得：222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 4．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 5．B解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（），即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 2222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫-=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.6．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．7．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理，再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==，得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+，故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈，又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间，利用复合函数单调性的性质，可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用，对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.8．A解析：A 【分析】由222b c a +=可得cosA =2bc =可得2A =C 值. 【详解】∵222b c a +=，∴cosA 2222b c a bc +-===，由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =，∴2A =∴5sin 64C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即()1sinCcosC 12244cos C +-=解得50C 6π<< ∴2C=3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．9．D解析：D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果【详解】解：由()2sin 2cos21παα-=-，得2sin 2cos21αα=-，所以24sin cos 12sin 1ααα=--，即22sin cos sin ααα=-，因为()0,απ∈，所以sin 0α≠，所以2cos sin αα=-，因为22sin cos 1αα+=，所以221sin sin 14αα+=，所以24sin 5α=，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以sin 5α=，故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题10．B解析：B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.11．A解析：A【分析】在等式sin cos αα+=cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin αα∴-=，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin 333ααααααα=-=-+=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数（且）过定点所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用展开求解【分析】由指数为0时可得定点P ，进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=，所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+1132=⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14．【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解：根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为：【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析：【分析】逆用两角和的正切公式进行化简，即可得所求的值. 【详解】解：根据两角和的正切公式，可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=，所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为：.【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用，考查化简运算能力，属于基础题.15．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．【分析】利用辅助角公式两角差的正弦公式化简解析式：并求出和由条件和正弦函数的最值列出方程求出的表达式由诱导公式求出的值【详解】解：其中依题意可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查辅助角公式诱导公式解析：35【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：()5sin y x ϕ=-，并求出cos ϕ和sin ϕ，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出θ的表达式，由诱导公式求出sin θ的值．【详解】解：()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55y x x x x x ϕ⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=依题意可得()5sin 5θϕ-=，即()sin 1θϕ-=，2,2k k Z πθϕπ∴-=+∈所以3sin sin 2cos 25k πθϕπϕ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭故答案为：35【点睛】本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力．17．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查解析：3365-【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin ,3522β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18．【分析】把两个条件平方相加再利用两角差的余弦公式求得的值【详解】将两式平方可得：①②将①和②相加可得：即解得故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用考查逻辑思维能力解析：5972-【分析】把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得cos()αβ-的值．【详解】1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，将两式平方可得： 221cos 2cos cos cos 4ααββ++=①， 221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②，将①和②相加可得：1322cos cos 2sin sin 36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，解得59cos()72αβ-=-. 故答案为：5972-. 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.19．【分析】根据三角公式得辅助角公式结合三角函数的对称性求出值再利用的取值范围求出函数的最小值【详解】解：令则则因为函数的图象关于直线对称所以即则平方得整理可得则所以函数因为所以当时即函数有最小值为故答解析：【分析】根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出a 值，再利用x 的取值范围求出函数的最小值. 【详解】解：sin 2cos 2sin 2cos 2y x a x x x ⎫=+=+，令cos θ=，则sin θ=则)()sin 2cos cos 2sin 2y x x x θθθ=⋅+⋅=+. 因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，所以sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则12=平方得22131424a a a ++=+.整理可得(20a -=，则a =所以函数1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，当4233x ππ+=时，即2x π=，函数有最小值为故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.20．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+=故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ；（Ⅱ）4π．【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sin α和cos （α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．【详解】（Ⅰ）∵02παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴α﹣β∈（2π-，2π），∵cos 5α=，()sin 10αβ-=，∴sin α5==，cos （α﹣β）10==， ∴cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sin α10=-=（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos α cos （α﹣β）+ sin α sin （α﹣β）2=+=，又∵02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴β4π=．【点睛】关键点点睛：拆角2()αβαβα-=-+，()βααβ=--是本题解题关键.22．（1）最小正周期为π，单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）化简可得()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由题可得T π=，则可解出1ω=，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求出单调递减区间；（2）可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间，即可求出a 的范围.【详解】（1）()2cos 22sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π，T π∴=，则22ππω=，解得1ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故()f x 的单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）可得()2sin 22sin 26666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，()1,12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，要使关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根，只需找出()g x 有两个点相等的区间即可，当2,662x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭和52,626x πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦时满足题意，此时()1,12g x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1,12a ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角函数与方程的应用，解题的关键是得出题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间.23．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）08πϕ<≤【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由22T ππω==即可求解.（2）由三角函数的平移变换可得()cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，设()()()212h x f x g x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为()h x 在区间,66ππϕϕ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭上单调递增，只需22,22,2,124422x k k k Z πππππϕϕππ⎛⎫⎡⎤+∈---+⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可. 【详解】（1）()2sin 2()sin cos 1cos 22222x f x x x x x ωωωωω=+-=++-12sin 2sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0>ω，22T ππω==，解得1ω=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由题意可得()sin 2cos 2433g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()()sin 2cos 233h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12,,66x x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x ->-恒成立，即()()12h x h x >恒成立，()h x ∴在区间,66ππϕϕ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭上单调递增，,66x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，则22,22,2,124422x k k k Z πππππϕϕππ⎛⎫⎡⎤+∈---+⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 224222422244k k ππϕπππϕπππϕϕ⎧--≥-+⎪⎪⎪∴-+≤+⎨⎪⎪--<-+⎪⎩，8380k k πϕππϕπϕ⎧≤-⎪⎪⎪∴≤+⎨⎪>⎪⎪⎩，08πϕ∴<≤【点睛】关键点点睛：本题考查了三角恒等变换、三角函数的平移变换，三角函数的单调性，解题的关键是结合不等式将问题转化为()()()2sin 212h x f x g x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭在区间是单调递增函数，考查了计算能力、分析能力以及转化能力. 24．6πα=时，矩形ABCD 的面积，最大面积为36【分析】由题意可得cos sin 3CD αα=-，sin BC α=，从而可得矩形ABCD 的面积为S CD BC =⋅(cos sin )sin 3ααα=-⋅sin(32)623πα=+-，再由03πα<<可得52666πππα<+<，由此可得262ππα+=时，S 取得最大值【详解】在Rt OBC 中，sin BC α=，cos OC α=，在Rt ADO 中，tan 33AD OD π==，所以sin 333OD AD BC α===，所以cos sin 3CD OC OD αα=-=-，设矩形ABCD 的面积为S ，则S CD BC =⋅(cos sin )sin 3ααα=-⋅ 2sin cos sin 3ααα=-1sin 2cos 222323αα=+- sin(32)623πα=+-，由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时， max 36323S ==，因此，当6πα=时，矩形ABCD 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形ABCD 的面积表示为S CD BC =⋅(cos )sinααα=-⋅2)6πα=+，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题25．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）310. 【分析】（1）根据最大值求出A ，根据周期求出ω，根据极大值点求出ϕ（2）根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和与差的余弦公式展开，求解即可. 【详解】（1）由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T 又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+ 又||2πϕ<，,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ （2）3()5f x =- 所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ,236262x x πππππ-<<-<+<，又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-⨯=【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.26．（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭ 【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解.【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，112cos 2222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点，所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈，所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。

必修4 第三章章末复习答案

1．两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )2．对任意角α，sin 2α＝2sin α均不成立．( × )提示如α＝k π，k ∈Z ，则sin 2α＝2sin α＝0.3．y ＝sin x ＋cos x 的最大值为2.( × )提示 ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∴函数最大值为 2. 4．存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立．( √ )提示如α＝－π4，β＝π2，则cos(α＋β)＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋π2＝22，cos α＋cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋cos π2＝cos π4＝22，两式相等.1．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β等于( ) A.22 B.210 C.22或－210 D.22或210考点和、差角公式的综合应用题点综合运用和差角公式化简求值答案 A解析由α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，得sin α＝255，cos(α－β)＝31010，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22. 2．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为________．考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用降幂公式化简求值答案－1－a 2解析 sin 2θ4＝1－cos θ22， ∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2， ∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a 2. 3．已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝________. 考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案－5972解析由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝1336，得2sin(α－β)＝－5936，即sin(α－β)＝－5972. 4．设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B,3sin B )．若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________ . 考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式的综合应用答案 ±π3解析 cos π3＝a ·b |a ||b |＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )．又－π2＜A －B ＜π2，∴A －B ＝±π3. 5．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用解 (1)由已知，得f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.。

北师大版高中数学必修四第三章章末测试.docx

第三章章末测试时间：90分钟分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知sin α＝35且α∈(π2，π)，则tan α的值为( )A ．－45 B.34C ．－34 D.43答案：C解析：∵α∈(π2，π)，由同角基本关系易知cos α＝－45.tan α＝sin αcos α＝－34.2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)的值为( )A ．－7 210 B.7 210C ．－210 D.210答案：A解析：由题知，cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－7210，故选A.3．若cos θ＝－45，θ是第三象限的角，则1－tanθ21＋tanθ2＝( )A.12 B ．－12 C.35D ．－2 答案：D解析：由已知得1－tan θ21＋tan θ2＝cos θ2－sin θ2cos θ2＋sin θ2＝(cos θ2－sin θ2)(cos θ2＋sin θ2)(cos θ2＋sin θ2)2＝cos θ1＋sin θ，因为cos θ＝－45，且θ是第三象限的角，故sin θ＝－35，故1－tan θ21＋tan θ2＝－451－35＝－2.4．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(32π＋2θ)的值为( )A ．－4 29B ．－79C.4 29D.79答案：C解析：∵cos θ＝13，θ∈(0，π)∴sin θ＝223cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝429.5．设α，β∈(0，π2)，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( )A.π3B.π4C.π6D.π8 答案：B解析：∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝43－171＋43×17＝1，α，β∈(0，π2)，∴－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝π4.6．当x ∈[－π6，π3]时，y ＝tan x 21－tan2x 2的最小值为( )A ．－33B ．－36C ．－233D ．－32答案：B解析：∵y ＝tan x 21－tan 2x 2＝12tan x ，∴当x ＝－π6时，y min ＝－36.7．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1 D ．－m 2－1 答案：B解析：∵sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，∴sin(－β)＝m ，sin β＝－m ，又∵β为第三象限角，∴cos β＝－1－m 2.8．已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于( )A.16B.1322C.322D.1318 答案：C解析：tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝322.9．要得到y ＝2sin2x 的图像，只需将函数y ＝sin2x ＋3cos2x 的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案：D解析：y ＝sin2x ＋3cos2x＝2(12sin2x ＋32cos2x )＝2sin(2x ＋π3)而y ＝2sin2x ＝2sin[2(x －π6)＋π3]∴只需将图像向右平移π6，故选D.10．如图，在5个并排的正方形图案中作出一个∠AO n B ＝135°(n ＝1,2,3,4,5,6)，则n ＝( )A ．1,6B ．2,5C ．3,4D ．2,3,4,5 答案：C 解析：若n ＝1或n ＝6，显然∠AO n B <90°，若n ＝2，则有∠AO 2O 1＝45°，∠BO 2O 6<45°，∴∠AO n B >135°，根据对称性可知，若n ＝5，∠AO n B >135°，若n ＝3，则有tan(∠AO 3O 1＋∠BO 3O 6)＝12＋131－12·13＝1，又∵∠AO 3O 1，∠BO 3O 6∈(0,45°)，∴∠AO 3O 1＋∠BO 3O 6＝45°，∴∠AO 3B ＝135°，同理根据对称性有∠AO 4B ＝135°.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．已知cos α＝35，且α∈(3π2，2π)，则cos(α－π3)＝________.答案：3－4310解析：∵cos α＝35，α∈(32π，2π)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(35)2＝－45，∴cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝35×12－45×32＝3－4310.12．函数f (x )＝sin 23x ＋cos 23x 的图像相邻两条对称轴之间的距离是________．答案：3π2解析：∵f (x )＝sin 23x ＋cos 23x ＝2sin(23x ＋π4)，∴其相邻两条对称轴之间的距离是T 2＝3π2.13．如图，四边形ABCD 为矩形，且AB ＝2，AD ＝1，延长BA 至E ，使AE ＝2，连接EC 、ED ，则tan ∠CED ＝________.答案：29解析：由题意可知，tan ∠DEB ＝12，tan ∠CEB ＝14，∴tan ∠CED ＝tan(∠DEB －∠CEB )＝tan ∠DEB －tan ∠CEB 1＋tan ∠DEB ·tan ∠CEB ＝29.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．化简求值：sin47°－sin17°cos30°sin73°.解：原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.15．已知α∈(0，π4)，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β.解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝12－171－12×(－17)＝13，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝13＋121－13×12＝1.又∵β∈(0，π)，tan β＝－17，∴π2＜β＜π，又α∈(0，π4)，∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4.16．如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P 、Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．(1)若Q (35，45)，求cos(α－π6)的值；(2)设函数f (α)＝OP →·OQ →，求f (α)的值域．解：(1)由已知可得cos α＝35，sin α＝45.∴cos(α－π6)＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝35×32＋45×12 ＝33＋410.(2)f (α)＝OP →·OQ →＝(cos π6，sin π6)·(cos α，sin α)＝32cos α＋12sin α ＝sin(α＋π3)．∵α∈[0，π)，∴α＋π3∈[π3，4π3)，－32<sin(α＋π3)≤1. ∴f (α)的值域是(－32，1]．17．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以 1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.18．已知函数f (x )＝cos 2(x ＋π12)，g (x )＝1＋12sin2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图像的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．解：(1)由题设知f (x )＝12[1＋cos(2x ＋π6)]．因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图像的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6(k ∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin2x 0＝1＋12sin(k π－π6)．当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin(－π6)＝34；当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12[1＋cos(2x ＋π6)]＋1＋12sin2x＝12[cos(2x ＋π6)＋sin2x ]＋32 ＝12(32cos2x ＋12sin2x )＋32＝12sin(2x ＋π3)＋32. 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin(2x ＋π3)＋32是递增的．故函数h (x )的单调递增区间是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．。

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第三章三角恒等变换单元测试 (时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( )A ．－32B ．－12 C.12 D.322．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝π D ．x ＝3π23．已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于( )A ．－45B ．－35 C.35 D.454．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤5π12，13π12 D.⎣⎡⎦⎤π3，5π6 5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A.43 B.34 C.53 D.12 6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.327．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A. 2 B ．－22 C ．2 D.2或－228．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位9．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c10．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A.1tan 2α B ．tan 2α C.1tan αD ．tan αA ．－55B ．－11525C.11525D.5512．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．14．已知sin α＝cos 2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________.15．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2.求：tan(α＋β)及α＋β的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．19．(12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．20．(12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．22．(12分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值．第三章三角恒等变换(A )答案1．D [(cosπ12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.] 2．C [y ＝sin ⎣⎡⎦⎤(2x ＋π3)－(x －π6)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1.] 3．B [sin (α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55，∴sin α＋cos α＝105.两边平方，∴1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－35.]4．B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x ＝－12sin 2x －32cos 2x＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 当x ＝π12时，y min ＝－1；当x ＝712π时，y max ＝1，且T ＝π.故B 项合适．]5．A [∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，1<sin θ＋cos θ≤ 2.] 6．B [sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313° ＝sin (90°＋73°)sin (270°－47°)＋sin (180°＋73°)sin (360°－47°) ＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°) ＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°) ＝－cos (73°＋47°)＝－cos 120°＝12.]7．B [∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，则tan θ<0，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2(舍去)，∴tan θ＝－22.]8．C [y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ∴y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4.] 9．A [a ＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°.∵y ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2为递增函数，∴c<a<b.] 10．B [原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝tan 2α.]11．A[tan β＝tan (π－θ1)＝－tan θ1＝－2，∴tan θ1＝2，tan θ2＝43.∴tan ∠POQ ＝tan θ1＋tan θ21－tan θ1tan θ2＝－2，∴π2<∠POQ<π.∴cos ∠POQ ＝－55.] 12．C [OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2，12)⊗(x ，y )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12y )，则x Q ＝2x ＋π3，y Q ＝12y ，所以x ＝12x Q －π6，y ＝2y Q ，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)．所以最大值A ＝12，最小正周期T ＝4π.]13．1解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1，∴3tan 15°＋13－tan 15°＝1.14．－33解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin 2α∴2sin 2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝12或－1.∵π2<α<π，∴sin α＝12， ∴α＝56π，∴tan α＝－33.15.2＋1 解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x －π4)＋1，∴y max ＝2＋1. 16．1解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β) ∵α、β均为锐角， ∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.17．解 ∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4.18．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.19．解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.解之，得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)．∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]． 21．解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)．因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 2(2x 0＋π6)＝－45.所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.22．解 (1)tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以β＝3π4.。