非惯性系

由以上两式解得
a ( g a0 )sin (a0 g )cos
由运动学公式
v 2 2al
v 2l[( g a0 )sin (a0 g)cos ]
方向沿着斜面向下.
得物体相对车厢的速度
讨论:物体静止于A点的条件,先假设物体有下滑趋势,则摩擦力方向 向上,由 a 0 有 g a0 tan g a0 再假设物体有上滑趋势,则摩擦力方向向下,由 ma0 cos mg sin (mg cos ma0 sin ) 0 得
模型1
如图,最初,小车静止,小球静止于小车内光滑的水平桌面上.后来, 小车相对地面以加速度
a
作直线运动,成为一直线加速参考系.
从地面上观察,因桌面光滑,小球在 水平方向不受力,故相对地面保持静止. 以小车为参考系观察,小球不受力却以 加速度
a
f ma
a
相对车身运动,不符合牛顿
第二定律.然而以加速运动的车厢为参
(M m1 m2 )a0 m1a cos 1 m2a cos 2 0
解得
(m1 cos 1 m2 cos 2 )(m1 sin 1 m2 sin 2 ) a0 g 2 (m1 m2 )( M m1 m2 ) (m1 cos 1 m2 cos 2 )
a
a
根据牛顿定律可得到
整理后的到 若令,
f ma0 并称为物体在非惯性系中受到的惯性力,则有 F f ma
F (ma0 ) ma
F ma F ma ma0
a a a0
也就是说,当以非惯性系来考察物体的运动时,只要设想 物体在通常的相互作用力之外还受到一个惯性力的作用,那 么解答一切运动力学的步骤与惯性系中相同.当然,惯性力只 是设想的力,它没有施力物体,也没有反作用力.
考系观察时, 可设想有一力
球质量
f
作用于
小球,其方向与小车相对地面的加速度
m 与加速度 a
的乘积,即
f ma
a 的方向相反,其大小等于小
,该力称惯性力.这
样对于非惯性系,仍可沿用牛顿第二定律的形式,即小球相对车身的 加速度 是惯性力作用的结果
a
设有一非惯性系,它相对于惯性系的加速度为 0 ,质 量为 m 的物体(研究对象)受到合外力F的作用做加速运动, 令物体相对于惯性系的加速度为 ,相对于非惯性系的加 速度为a ,则有运动学公式可得
1 2 mg ( R R cos ) FR sin mv 由非惯性系中的动能定律得: 2
解得 得
153cos2 192cos 55 0
h 0.81R (另一解舍去)
端,绳跨在双斜面体的顶部.斜面与地的夹角分别为 1 和 2 ,摩擦均不计,斜面的质量为 斜面保持静止的条件是什么?
练习3 如图,质量为 m1 和 m2 的物体悬挂在绳的两
M ,整个系统起初静 止.求放开后斜面对地的加速度和 m1 , m2对斜面的加速度;
a T N1 m1a0
m1
1
T
a
M
a0
m2
N2 m2 a0
2
1 m1 g
a0
M
2
m2 g
分析与解
m2 和 在非惯性参照系中画出 m 1
的受力示意图如图，对 m1 和 m2 分别在平行于斜面方向列出运 动方程：
2
1
例1 如图所示,处于平直轨道上的甲乙两物体相距 同时同向开始运动,甲以初速度 v 0 速运动.乙以初速度为零,加速度为
加速度 a1 做匀加 a2 做匀加速运动,
s
甲
v0
a1
a2
乙
下述情况可能发生的是(假定甲能从乙旁通过互不影响) A. C.
s
a1 a2
能相遇一次 可能相遇一次 v
B. D.
a1 a2
能相遇两次
a1 a2
(
a1 a2 可能相遇两次
答案
ACD )
总结
相对运动要注意三个相对量,即相对加速度、相对速度 、以及相对位移 如研究对象的对地加速度为 参考系的对地加速度为 则
a 、 速度为 v 、位移为 s a 、 速度为 v 、位移为s
a相 a a
v相 v v

h
r0
例3一光滑细杆以匀角速度 转动,细杆 与竖直轴夹角为 保持不变,如图所示,一 个相对细杆静止的小环自离地面高 h 处沿 细杆下滑,求小环滑到细杆下端时的速度。
分析与解 取细棒为参考系,在小球下滑的过程中,重力做正功
N
r0
h
mg
2r
W1 mgh
1 2 2 惯性力做功 W2 m r0 (因为 f r ),式中 r0 h tan 2 1 1 根据动能定理得 mgh m 2 r02 mv 2 2 2
A情况中 a1 C D情况中 a1
s
a2甲相对乙做加速度 a a2 a1
;;
,初速度为 v 0
2 v 0 的匀减速直线运动,所以当 s 2(a2 a1 ) 时,恰好相遇一次; 2 2 v0 v 当s 0 s 当 时 , 则不会相遇 ; 时,相遇两次 2(a2 a1 ) 2(a a )
式中 v 是小球靠近地面处相对细棒的速度,因细棒靠近地面处的速 度为零,故v 也等于小球相对地面的速度,这样得
v 2 gh 2 h 2 tan 2
练习1
如图所示,一绳子套在固定于电梯天花板的滑轮上,两端各悬挂 质量为 m 和 1
（1）重物
m2 的重物,电梯开始以加速度 a0 上升,忽略滑轮的
牛顿运动定律不成立的参考系,称为非参 考系.
实验证明,地面已经是一个相当接近惯性系
的参照系.一般情况下,相对于地面静止的 或做匀速直线运动的参照系都可作为惯性 系.非惯性系相对惯性系必然做加速运动或 旋转运动
三﹑惯性力
牛顿定律对于非惯性系是不适用的,如果引入
“惯性力”的概念,就可在非惯性系中应用牛 顿第二定律,这为解决力学问题提供了新方法.
a
s
B. a1 a2 能相遇两次 D. a1
a2 可能相遇一次
a2 可能相遇两次
分析与解
本题解题方法可采用图像法,数学方法等.现在 我们用相对运动的方法来分析本题.运动中我们选乙
为参考系,则认为乙不动,甲相对乙的运动分析如下:
v0
a2
甲
a1
乙Baidu Nhomakorabea
a2 所以甲相对乙做加速度 a 0 初速度为 v 0 s 的匀速直线运动,所以相遇一次,时间 t v0 B情况中 a1 a2 甲相对乙做加速度 a a1 a2 初速度为v 0 1 2 的匀加速直线运动,所以相遇一次,时间 s v0t ( a1 a2 )t 2
a0 g tan g a0
因此,当 a0 与 一定时,要使物体静止于斜面,应满足的关系式
a0 g g a0 tan g a0 g a0
例3一光滑细杆以匀角速度 转动,细杆 与竖直轴夹角为 保持不变,如图所示,一 个相对细杆静止的小环自离地面高 h 处沿 细杆下滑,求小环滑到细杆下端时的速度。
A
例2 在火车车厢内有一长为
l ,倾角为

y
x
B
a0
f
N
ma0
mg

a0
分析与解 此题若以地面为参考系计算比较复杂,现以车厢为参考 系,在非惯性系中解题,受力分析如图。则物体受到的惯性力， 取如图所示的坐标系,设物体相对于斜面的加速度为 a 根据牛顿第二定律
f惯 ma0
mg sin N ma0 cos ma N mg cos ma0 sin 0
s相 s s
一﹑牛顿运动定律的适用范围和适用 条件
对于宏观低速的运动(运动速度远小于光速的
运动),牛顿运动定律是成立的,但对于物体的 高速运动(运动速度接近光速)和微观粒子的 运动,牛顿运动定律就不适用了,要用相对论 观点﹑ 量子力学理论处理.
二﹑惯性系和非惯性系
牛顿运动定律成立的参考系,称为惯性系.
R
分析与解
2 (1) h R 3
2 (2) h R 3
ma
h
mg

R
（3）物体沿球面滑下,当物体与半球面之间的相互作用力为零时, 物体将要脱离半球面.如以半球面为参照系,物体将要脱离半球面时. 受重力和惯性力作用,如图所示,将要脱离时,根据牛顿第二定律:
v2 mg cos F sin m R
;
质量和摩擦,求:
m1 相对于电梯的加速度和相对地的加速度
（2）滑轮作用于天花板的力
a0
m2 m1
分析与解
（1）设连接重物 m1 和 m2 的细绳中张力为 T 对 m1 和 m2 由牛顿第二定律:
T T
m2 a0
m1a0
a0
m1 g T m1a1
由加速度牵连关系
T m2 g m2a2
（2）滑轮作用于天花板的力
练习2 一质量为
m
的小物体,放在半径为
R
的半球面上,如
果物体和半球面间的摩擦系数等于零,初始时他们相对静 止然后滑下,求在下列情况下物体离开球面时,离半球底部 的距离 h .如图所示. （1）半球面以10m/s的速度匀速上升； （2）半球面以加速度a=g/2匀加速上升; （3）半球面以加速度a=g/4匀加速向右运动.
(M m1 m2 )(m1 sin 1 m2 sin 2 ) a g 2 (m1 m2 )(M m1 m2 ) (m1 cos 1 m2 cos 2 )
当斜面保持静止时，a0 0 即
m1 sin 1 m2 sin 2
模型2
a
T
mg
相对地面 , 小球在重力与细 绳的拉力作用下加速运动
a
ma
mg
T
相对小车 , 引入惯性力 , 小球 在三个力的作用下保持平衡
模型3
o
r
T

o
r
T
f m 2 r
相对地面 , 小球在拉力的 作用下做匀速圆周运动
相对圆盘,引入惯性力,则小球受 线的张力与惯性力平衡而静止
的斜面,当 车厢以恒定加速度 a0 从静止开始运动时,物体自倾角为 的斜面顶部点A由静止开始下滑,已知斜面的静摩擦因数 为 .求物体滑至斜面底部点B时,物体相对于车厢的速 度,并讨论当 a0 与 一定时,倾角 为多少时,物体可静 止于A点?
高二竞赛辅导课 ------动力学
非惯性参照系
孝昌一中 王凤波
相对运动
非惯性参照系
例1 如图所示,处于平直轨道上 的甲乙两物体相距
s ,同时同向开
v0 加速度 a1
甲
始运动,甲以初速度
v0
a1
a2
乙
做匀加速运动.乙以初速度为零,加
速度为 2 做匀加速运动,下述情况
可能发生的是(假定甲能从乙旁通 过互不影响) A. a1 a2 能相遇一次 C.a1
a T N1 m1a0
T
a
N2 m2 a0
T m1a0 cos 1 m1g sin 1 m1a m2 g sin 2 m2a0 cos 2 T m2a
，
1 m1 g
a0
M
2
m2 g
对
组成的系统而言，水平方 M m1 ，m 2
向不受外力作用，由系统牛顿第二定律：
m2 g
a1 a0 a2 a0
(m1 m2 ) g 2m2 a0 a1 m1 m2
m1g
2m1m2 ( g a0 ) 解得 T m1 m2
m1 相对于电梯的加速度
(m1 m2 )( g a0 ) a1 a1 a0 m1 m2
4m1m2 ( g a0 ) T 2T m1 m2