二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质

教学目标

1、知道二次函数的意义；

2、会用描点法画出二次函数的图象；

3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式；

4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值；

5、会根据已知条件求出二次函数的解析式.

知识讲解

1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2(a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。

2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，当

a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。

例题讲解

例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式：

⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1)

⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0)

⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0)

⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2

巩固练习：

1．二次函数y=2x 2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______．

2．将函数y=－2x 2

+8x －7，写成y=a （x －h ）2

+k 的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______．

3．已知抛物线y=x 2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．•满足y<0的x 的取值范围是________，将抛物线y=x 2－6x+5向________平移______•个单位，可得到抛物线y=x 2

－6x+9．

4．老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质：

甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小． 丙：函数的图像与坐标轴．．．

只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________． 5．不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是 ．

6．如图，如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，• 与y 轴交于C 点，且OB=OC=

12

OA ，那么b= _______________．

7．以下画抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的步骤，顺序正确的是（ ）

①利用函数的对称性列表；②确定抛物线的开口方向；③描点画图；•④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a （x －h ）2+k 的形式 A ．③②①④ B ．④②①③ C ．②④①③ D ．③②④① 8．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有（ ）

A ．b=3，c=7

B ．b=－9，c=－15

C ．b=3，c=3

D ．b=－9，c=21

9．抛物线y=ax 2

+bx+c 的图象如图2，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>

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；④b<1．其中正确的结论是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．③④

10．满足a<0，b>0，c=0的函数y=ax 2

+bx+c 的图象是图中的（ ）

11．关于二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点； ② 当b=0时，函数的图象关于y 轴对称；③函数图象最高点的纵坐标为2

44ac b a

；

④当a>0时，y 随x 的增大而增大，其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

12．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。

⑴二次函数的解析式为 ．

⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大． ⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． ⑷当自变量x 时，两函数的函数值的积小于0． 13．已知二次函数y=2x 2－4x －6，求：

（1）此函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标、最小值，并画出图象； （2）观察图象，回答：何时y 随x 的增大而增大；何时y 随x 的增大而减小；

（3）观察图象，x 为何值时，y>0．

14. 已知：抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示：

（1）求此抛物线的解析式； （2）当x 取何值时，y>0？

（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。

15. 如图，在一块三角形区域ABC 中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC 内建造一个矩形水池DEFG ，如图的设计方案是使DE 在AB 上。 ⑴求△ABC 中AB 边上的高h;

⑵设DG=x,当x 取何值时，水池DEFG 的面积最大？

⑶实际施工时，发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。

A

B

C

D

E

F

G