第3章 轴对称问题的有限元法

第三章 轴对称问题的有限元法
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第一节 轴对称问题
几何形状,所受载荷对称于中心轴,则其变形 也对称于此轴,这种问题称为轴对称问题. 也对称于此轴,这种问题称为轴对称问题 轴对称问题. 通过中心轴的平截面--子午面. 通过中心轴的平截面--子午面 子午面. 坐标系:柱坐标系,以中心轴为z轴 位移,应力和应变与角坐标 θ 无关,只是径向r和轴向 z的函数. 研究子午面的变形 二维问题
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算例: 受内压的厚壁圆筒.其内径为 12cm ,外径为 20cm ,两端自由,内压为 p = 1.2 ×108 Pa 材料的弹性模量为 E = 2.0 ×1011 Pa ,泊松比为 . = 0.3 .试分析轴向位移和径向位移.
23
�
提问:轴对称问题的三角形单元是否为常应变单 提问:轴对称问题的三角形单元是否为常应变单 元?
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三,应力矩阵
{ε } = [B]{δ }
e
{σ } = [D ]{ε }
{σ } = [D][B]{δ }e = [S ]{δ }e
应力矩阵
应力矩阵是由节点位移求单元内任一点应力 的转化矩阵.
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四,单元刚度矩阵
应力向量为
{σ } = [σ r
σθ
σ z τ rz ]
T
4
物理方程
{σ } = [D]{ε }
弹性矩阵
写成矩阵形式
1 σ r σ 1 E θ (1 ) = 1 σ z (1 + )(1 2 ) τ rz 0 1 ε r εθ ε z 1 2 γ rz 2(1 )
Se
分布体力的等效节点载荷向量 3,表面压力的节点载荷 微元面积内可看成集中力 e T T {R}FT = ∫∫ [N ] {FT }dA = 2π ∫ [N ] {FT }rdl
A l
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六,整体刚度矩阵和整体节点载荷向量的叠加
整体刚度矩阵是由刚度集成法叠加的:先求每 一个单元的刚度矩阵,然后将每一子块送到整体刚 度矩阵的相应位置,在同一位置若有几个单元的相 应子块送到,进行叠加得到整体刚阵的相应子块, 从而形成整体刚度矩阵. 类似于单元刚阵组合成整体刚阵,节点载荷向 量集合成整体节点载荷向量.
1
0
1 0
5
第二节 轴对称问题的简单三角形单元
3个节点的坐标分别为 ( r1 , z1 ) ( r2 , z2 ) ( r3 , z3 ) 三角形单元的节点位移向量为
{δ } = [u1
e
w1 u2
w2 u3
w3 ]
T
三角形单元的节点力
{p} = [ f r1
e
f z1
e
fr2
e
fz2
e
fr3
u N1 {f } = = w 0 = [N ]{δ }
e
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 {u1 N3
w1 u2
w2 u3
w3 }
T
单元的形函数矩阵
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二,应变矩阵
单元位移函数为 几何方程
u εr = r
εr =
w εz = z
3
u = N1u1 + N 2u 2 + N 3u3 = ∑ N i ui
2
子午面内各点位移为
u = u(r , z ) w = w( r , z )
ε r , ε z , γ rz
当圆周上各点都存在径向位移时, 圆周被拉伸,产生环向应变
u εθ = r
3
几何方程
u r r εr u 1 ε {ε } = θ = rw = r ε z 0 z γ rz u w + z r z 0 0 u w z r
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{ε } = [B]{δ }
N1 r N 1 [B] = r 0 应变矩阵 N1 z 0 0 N1 z N1 r N 2 r N2 r 0 N 2 z
e
0 0 N 2 z N 2 r
N 3 r N3 r 0 N 3 z
0 0 N 3 z N 3 r
应变矩阵是由节点位移求单元内任一点应变的转化矩阵
f z3 ]
T
{p}
= [k ] {δ }
单元刚度矩阵
6
1,单元位移函数和形函数
选取如下位移函数
u = α1 + α 2 r + α 3 z
u1 1 r1 u2 = 1 r2 u 1 r 3 3
w = α 4 + α 5r + α 6 z
将3个节点的坐标代入写成矩阵表达形式
z1 α1 α z2 2 z3 α 3
w1 1 r1 w2 = 1 r2 w 1 r 3 3
α 4 1 r1 α 5 = 1 r2 α 1 r 3 6
z1 α 4 α z2 5 z3 α 6
z1 z2 z3
1
α1 1 r1 α 2 = 1 r2 α 1 r 3 3
七,求解
求解如下方程组
[K ] {δ } = {F }
*
P *
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求解方程组 节点位移向量 {δ } 单元的节点位移向量 {δ }e
单元内各点的应变和应力
{ε } = [B]{δ }
e
{σ } = [D ][B ]{δ }e = [S ]{δ }
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选择二维实体单元的建议: 如果分析的问题比较简单,采用二次减缩积分单元. 如果存在应力集中,则应在局部采用二次完全积分 单元. 对含有非常大的网格扭曲模拟(大应变分析),采 用细网格划分的线性减缩积分单元. 对接触问题采用线性减缩积分单元或非协调单元. 如果在模型中采用非协调单元应使网格扭曲减至最 小.
ai , bi , ci
(i=1,2,3)为
α 4 a1 a2 1 α 5 = b1 b2 α 2 c c 2 6 1 1 r1 z1 1 r z 2 2 1 r3 z3
a3 w1 b3 w2 c3 w3
求逆过程中的代数余子式
如
r2 a1 = r3
1 Ni = ( ai + bi r + ci z ) (i = 1,2,3) 2
11
b1 0 f 0 1 1 [B] = 2 0 c1 c1 b1
b2 f2 0 c2
0 0
c2 b2
b3 0 f3 0 0 c3 c3 b3
1 ai ( + bi + ci fi = 2 r
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z ) (i = 1,2,3) r
{δ } {F } = ∫∫ {ε } {σ }2πrdrdz
* eT
e
T *
S
e
外力虚功
内力虚功的负值
内三角 形单元 的面积 域
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{σ } = [D][B]{δ } = [S ]{δ }
e
e
{ε }= [B]{δ }
*
* e
{δ } {F } = {δ }
* eT
e
* eT
2π ∫∫ [B ] [D ][B ]{δ } rdrdz
M ( r , z ) 作用集中载荷 FP
FPr {FP } = FPz
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等效节点载荷向量为
{R}eF
p
= [Fr1
Fz1
Fr 2
Fz 2
*
Fr 3
*
Fz 3 ]
假设该单元产生虚位移 单元内各节点的虚位移
{f }= [u
*
w
* T
]
{δ } = [u
* e
* 1
w
* 1
u2
w2
e
* e
z1 z2 z3
1
u1 u 2 u 3
w1 w2 w 3
7
1 r1 2 = 1 r2 1 r3
z1 z2 z3
a2 b2 c2
――三角形面积
α 1 a1 1 α 2 = b1 α 2 c 3 1
a3 u1 b3 u 2 c3 u 3
z2 z3
8
3
u = N 1u1 + N 2 u 2 + N 3 u 3 = ∑ N i u i
i =1
3
w = N1w1 + N 2 w2 + N 3 w3 = ∑ N i wi
i =1
其中
1 Ni = ( ai + bi r + ci z ) 2
(i=1,2,3)
插值函数,是坐标的函数,反映单元的位移形态, 在有限元法中称为形函数. 在有限元法中称为形函数 形函数.
变形体的虚功原理:要使变形体在某一形变位置处 变形体的虚功原理:要使变形体在某一形变位置处 于平衡,其充要条件是,在这一变形位置,所有内 力和外力在任何虚位移上所做的虚功之和为零.
δWI + δWE = 0
--变形体虚功方程
* e
设单元产生虚位移,单元节点虚位移为 { } δ 单元内部的虚应变为 {ε * } 注意:三角形单元代表 环状单元体 S e 子午面
T e Se
任意性
{F }e = 2π ∫∫ [B ]T [D][B]{δ }e rdrdz
Se
其中的元素为常量
e
{F } = [k ] {δ }
e e
[k ]
e
= 2π ∫∫ [B ] [D ][B ]rdrdz
T Se
单元刚度矩阵 单元节点位移求节点力的转换矩阵
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五, 单元等效节点载荷向量
单元所受的非节点载荷一般包括:集中载荷, 单元所受的非节点载荷一般包括:集中载荷 集中载荷, 移置到节点上 分布体力,边界面力. 分布体力,边界面力. 依据虚功原理--原载荷与等效节点载荷在任 依据虚功原理 虚功原理--原载荷与等效节点载荷在任 意虚位移上的虚功相等. 1,集中载荷的等效节点载荷
*
u3
*
w3
* T
]
由
{ f } = [N ]{δ }
*
{f }= [N ]{δ }
根据虚功原理
M点虚位移
T
{R}eF
p
= [N ] {FP }
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2,离心力的节点载荷 单位体积的体积向量
{Fb } = [ω 2 ρr
T
0
]
微元体积内可看成集中力
{R}
e Fp
= 2π ∫∫ [N ] {Fb }rdrdz
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算例: 平顶盖是锅炉等受内压元件大量使用的零部件 之一.如图所示平顶盖,其内径为 D0 = 25.5cm . . s = 3.5cm s1 = 4.8cm r0 = 3.2cm 取半长 l = 22.6cm 7 q 的一段计算. = 2.16 ×10 Pa ,材料的弹性模量为 . E = 2.0 ×1011 Pa 泊松比为 = 0.3.试分析应力分布.
i =1
3
w = N1w1 + N 2 w2 + N 3 w3 = ∑ N i wi
i =1
u εθ = r
w u γ rz = + r z
N1 N N N N N u1 + 2 u2 + 3 u3 ε θ = 1 u1 + 2 u2 + 3 u3 r r r r r r N 3 N1 N 2 εz = w1 + w2 + w3 z z z N1 N 2 N 3 N1 N 2 N 3 γ xy = u1 + u2 + u3 + v1 + v2 + v3 y y y x x x