正项级数比较判别法的极限形式
正项级数比较判别法
正项级数比较判别法概述正项级数比较判别法是微积分中用于判定无穷级数收敛或发散的一种方法。
通过将待判定的级数与已知的收敛或发散级数进行比较，可以推断待判定级数的收敛性。
前提条件正项级数比较判别法只适用于正项级数，即级数的每一项都是非负数。
基本思路正项级数比较判别法的基本思路是将待判定级数与已知的收敛或发散级数进行比较，通过比较判断待判定级数的收敛性。
具体步骤如下：1.首先，找到一个已知的收敛级数（记作级数A）。
2.然后比较待判定级数与级数A的每一项，判断待判定级数的每一项是否都小于等于级数A的每一项。
3.如果待判定级数的每一项都小于等于级数A的每一项，那么可以推断待判定级数收敛。
4.如果待判定级数的每一项都大于等于级数A的每一项，那么可以推断待判定级数发散。
5.如果待判定级数无法与已知的收敛或发散级数进行比较，那么无法通过正项级数比较判别法判断其收敛性。
比较级数的常用方法比较法比较法是正项级数比较判别法中最常用的方法之一。
比较法的基本思路是通过比较待判定级数与已知的收敛或发散级数的每一项，来判断待判定级数的收敛性。
比较法又可分为以下两种常用的具体方法：1. 大于法如果存在一个已知的收敛级数级数A，且对于所有的n，都有待判定级数的每一项大于等于级数A的对应项，那么可以推断待判定级数发散。
2. 小于法如果存在一个已知的发散级数级数A，且对于所有的n，都有待判定级数的每一项小于等于级数A的对应项，那么可以推断待判定级数收敛。
极限比值法极限比值法利用级数项的极限比值与已知级数的极限比值比较来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：1.首先计算待判定级数的每一项的绝对值与前一项绝对值的比值的极限值。
2.然后与已知的级数的极限比值进行比较。
根据比较结果，可以得出以下推断：•如果待判定级数的极限比值小于已知级数的极限比值，那么待判定级数收敛；•如果待判定级数的极限比值大于已知级数的极限比值，那么待判定级数发散；•如果待判定级数的极限比值等于已知级数的极限比值，该方法无法判定级数的收敛性。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法正项级数是指级数中每一项都是非负数的级数。
在数学中，我们常常关注正项级数的收敛性，即该级数的和是否有界。
为了判别正项级数的收敛性，有以下几个方法。
1.比较法比较法是最常用的判别正项级数收敛性的方法之一、比较法分为两种情况：-若存在一个已知的发散级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≤b_n，则可以得出该正项级数也是发散的。
-若存在一个已知的收敛级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≥b_n，则可以得出该正项级数也是收敛的。
2.极限比值法（达朗贝尔判别法）极限比值法是另一种判别正项级数收敛性的重要方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其相邻两项的比值a_(n+1)/a_n的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限比值法无法确定级数的收敛性。
3.极限根值法（柯西判别法）极限根值法和极限比值法类似，也是一种判别正项级数收敛性的方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其每一项的根值(a_n)^(1/n)的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限根值法无法确定级数的收敛性。
4.积分判别法积分判别法可以用来判别一类特殊的正项级数的收敛性。
对于形如∑(f(n)) 的级数，其中 f(n) 是一个递减的连续函数，则将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较：-若积分收敛，则级数同样收敛；-若积分发散，则级数同样发散；-若无法确定积分的收敛性，则积分判别法无法确定级数的收敛性。
5.积分判别法的特殊应用（比较法的延伸）积分判别法的特殊应用是一种将比较法与积分判别法结合使用的方法。
当我们需要比较一个难以处理的正项级数∑a_n 时，可以利用积分判别法找到一个相对简单的函数 f(x)，使得将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较时能够确定级数的收敛性。
2014专升本高等数学真题及答案
河南省2014年普通高校等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学一．选择题（每小题2分，共60分）1.函数2()sin 9ln(1)f x x x =-+-的定义域是（）A.(1,3] B.(1,)+∞ C.()3,+∞ D.[3,1)-2.已知2(2)2f x x x =-,则()f x =（）A.2114x + B.2114x - C.214x x - D.114x +3.设()f x 的定义域为R ,则()()()g x f x f x =--.()A.是偶函数 B.是奇函数C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数4.已知224lim 42x ax x →+=--,则（）A.1a =- B.0a = C.1a = D.2a =5.1x =-是函数2212x y x x -=--的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.连续点D.第二类间断点6.当x→0时，比1cos x -高阶的无穷小是（）A.211x +- B.2ln(1)x +C.sin xD.3arctan x7.已知()ln f x x =,则220()()lim 2h f x h f x h→+-=（）A.2ln xx -Bln x x C.-21xD.1x8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩(t 为参数）。
在2t=对应点处切线的方程为（）A.1x =B.1y =C.1y x =+ D.1y x =-9.函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则方程'()0f x =实根的个数为（）A.2B.3C.4D.510.设()y y x =是由方程xy xy e =+确定的隐函数。
则dy dx=A.11x y x +-- B.21y xy x --C.11y x+- D.12x x xy---11.已知函数()f x 在区间[]0,a （a>0)上连实，(0)f >0且在（0，a)上恒有'()f x >0,设10()aS f x dx =⎰,2(0)S af =,1S 与2S 的关系是（）A.1S <2SB.1S =2SC.1S >2S D.不确定12.曲线31y x =+()A.无拐点B 有一个拐点C.有两个拐点D.有三个拐点13.曲线y=12x -的渐近线的方程为（）A.0,1x y ==B1,0x y ==C.2,1x y == D.2,0x y ==14.设()F x 是()f x 的一个原函数则()xx e f e dx --⎰=()A.()xF e c -+ B.()xF e c --+C.()x F e c+ D.()xF e c-+15.设()f x 在[],a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线x=a,x=b,y=0所围成平面图形的面积为（）A ()baf x dx⎰B.()baf x dx⎰C.()b af x dx ⎰D.()()()f b f a b a --16.设()f x 是连实函数，满足()f x =21sin 1x x ++_11(),f x dx -⎰则lim ()x f x →∞=（）A.B.-6πC.3πD6π17.设()f x =(1)sin ,xt tdt -⎰则'()f x =()A.sin cos x x x +B.(1)cos x x- C.sin cos x x x- D.(1)sin x x-18.下列广义积分收敛的是（）A.2ln xdx x+∞⎰B.11dx x+∞⎰C.2111dx x -⎰D.1cos xdx+∞⎰19.微方程0dx dy y x+=的通解是（）A.2225x y += B.34x y c+= C.22x y c+= D.227y x -=20解常微方程''2'xy y y xe -+=的过程中，特解一般应设为（）A.2=)xy Ax Bx e+半（ B.=xy Axe半 C.=xy Ae半 D.2=()xy x e Ax B +半21.已知a,b,c 为非零向量，且0a b ⋅=，0b c ⨯=则（）A.a b ⊥ 且b cB.a b b c⊥ 且 C.a c b c⊥ 且 D.a c b c⊥ 且22、直线L:==3-25x y z与平面π：641010x y z -+-=的位置关系是（）A、L 在π上B、L 与π平行但无公共点C、L 与π相交但不垂直D、L 与π垂直23、在空间直角坐标系内，方程222-y =1x 表示的二次曲面是（）A、球面B、双曲抛物面C、圆锥面D、双曲柱面24、极限0y 02lim+1-1x xyxy →→=（）A、0B、4C、14D、-1425、点（0,0）是函数z xy =的（）A、驻点B、极值点C、最大值点D、间断点26、设{}(,)21D x y x y =≤≤，则()+Dxy y dxdy ⎰⎰=（）A、0B、-1C、2D、127、设(),f x y 为连续函数，()()122-01,+,x xdx f x y dy dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰交换积分次序后得到（）A、()212,yy dy f x y dx⎰⎰B、()2,ydy f x y dx⎰⎰C、()12-0,y ydy f x y dx⎰⎰D、()2022,yy dy f x y dx⎰⎰28、L 为从（0,0）经点（0，1）到点（1,1）的折线，则2+Lx dy ydx ⎰=（）A、1B、2C、0D、-113.下列级数条件中收敛的是（）A、2n=12n-1n +1∞∑B、n nn=11-3∞∑（1）C、22n=1n +n+1n -n+1∞∑D、nn=11-n∞∑（1）30、级数2n=114n -1∞∑的和是（）A、1B、2C、12D、14二、填空题（每题2分，共20分）31、设-1=-1x x f x x x ⎛⎫≠⎪⎝⎭（0,1），则()f x =______.32、设连续函数()f x 满足22()()f x x f x dx =-⎰,则2()f x dx ⎰=______.33、已知(){,1ln 1x a x x x f x -<≥=，，若函数()f x 在1x =连续，则a=______.34、设33'(1)12f x x +=+是()01f =-，则()f x =______.35、不定积分cos 2xdx ⎰=______.36、若向量{}{}{}0,1,1;1,0,1;1,1,0a b c ===则()a b c ⨯ =______.37、微分方程"4'40y y y -+=的通解()y x =______.38、设arctan222(,)ln()cos y xf x y ex y xy =+，则'(1,0)x f =______.39、函数()222,,f x y z x y z =++在点（1，1,1）处方向导数的最大值为______.40、函数()112f x x=-的幂级数展开式是______.三、计算题（每题5分，共50分）41、求极限20(1)lim1tan -1x x x e x x→-++42、设n a 为曲线ny x =与1(1,2,3,4...)n y xn +==所围的面积，判定级数1n n na ∞-∑的敛散性43.求不定积分21xdx x -⎰.44.计算定积分402x dx -⎰.45.解方程3xy y x '-=.46.已知函数(,)z f x y =由方程20xyz ez e --+=所确定，求dz .47.已知点(4,1,2),(1,2,2),(2,0,1)A B C --求ΔABC 的面积.48.计算二重积分22lnDx y dxdy +⎰⎰,其中22{(,)14}D x y x y =≤+≤.49.计算曲线积分22(1)(1)y x dx x y dy <++-⎰其中L 是圆221x y +=（逆时针方向）.50.试确定幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域并求出和函数.四．应用题（每小题7分，共14分）51.欲围一个面积150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面每平方米6元，其余三面是每平方3元，问场地的长，宽各为多少时，才能使造价最低？52.已知D 是抛物线L:22y x =和直线12x =所围成的平面区域，试求：（1）区域D 的面积（2）区域D 绕Ox 轴旋转所形成空间旋转体体积.五．证明题（6分）53.设2e a b e <<<证明2224ln ln ()b a b a e ->-2014专升本真题答案一．选择题1-10A C B A B D B B C B 11-20C B D B C B D C C D 21-30B D D B A A C A D C 二．填空题31.1x 32.8933.134.21x x --35.1sin 22x c=36.237.2212xx x c ec e+38.239.2340.2n nn x ∞=∑,11(,)22x ∈-41.2030303030320220220(1)1tan 11tan 1(1tan 1)1tan (1)(1tan 1)tan 2tan 6sec 16tan 66lim limlimlimlimlim lim lim x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+=+-++++=+-++++=-=-=-===42.解：由题意知112110111(1212(1)(2)n n n n n x x a x x dx n n n n n n +++⎡⎤=-=-=-=⎢⎥++++++⎣⎦⎰）1131123231112(1)(2)(1)(2)1(1)(2)lim 101(1)(2)1(1)(2)n n n n n n n n n n n n nna n n n n nn n n n n n n n a n n n∞∞==∞∞→∞==∞∞∞=====++++++=>++++∑∑∑∑∑∑∑故此级数为正项级数且u 由正项级数比较判别法的极限形式知故与级数的敛散性相同且为收敛级数，故为收敛级数即级数收敛43.22212221122211(1)2111(1)(1)21(1)11212xdx d x x x x d x x c x c--+=---=---=+=-+-+⎰⎰⎰44.42x dx-⎰4422422022(2)2222224x dx x dxx x x x =-+-⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=⎰⎰45.原方程可化为21'y y x x-=为一阶线性齐次微分方程，由公式知，其通解为112ln 2ln 2231(+c)2=2x xx xdx x e dx c e x e dx c x x dx c x x xdx c x x x cx ----⎡⎤⎰⎰⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+⎰⎰⎰⎰y=e 46..'''''''2,,22222xy z xy xy z x y Z xy x zz xy y zz xy xyz z z e F ye F xe F e F zye x F e F z xe y F e z zdz dx dy x yye xe dx dy e e --------+=-=-=-∂=-=∂-∂=-=∂-∂∂=+∂∂=+--解：令F(x,y,z)=e 则故所以47.解：{}AB=3,34-- ，，{}AC=2,11-- ，{}AB*AC=3341,5,3211i j k--=--AB ×AC=22215335++=ABC 的面积等于12AB ×AC =35248.在极坐标下22221221222211222122122212lnln .2ln 22.ln ln 22122ln .224ln 224ln 2434ln 2x r rr r x y dxdy d rdrr dr r l d r dr rdrr l θπππππππππ+==⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰49.由格林公式知2222222222212013410(1)(1)(1)(1)1(1)(1)()(2242x oy x dx x y dy x y y x dxdy y x y y x dxdy x y dxdyd r rdr r drr l θπππ++-⎧⎫⎡⎤⎡⎤∂-∂+⎪⎪⎣⎦⎣⎦=-+=⎨⎬∂∂⎪⎪⎩⎭⎡⎤=--+⎣⎦=-+=--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中D：x 用极坐标计算）50.解：幂级数01n n x n ∞=+∑中11n a n =+有公式知112limlim 111n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-1x =-时，幂级数为0(1)1nn n ∞=-+∑收敛；1x =时，幂级数为011n n ∞=+∑发散；故幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域为[1,1)-设幂级数01n n x n ∞=+∑的和函数为()s x ，即0()1nn x s x n ∞==+∑则10()1n n x xs x n +∞==+∑由100111n n n n x x n x +∞∞=='⎛⎫== ⎪+-⎝⎭∑∑则1(1)00011(1)ln 111n x x x n x dx d x n x x +∞-===--=-+--∑⎰⎰故(1)()ln x xs x -=-即(1)1()ln x s x x-=-51.解：设场地的长为x ，宽为y ，高为h 。
正项级数的判敛方法
nn
n nn
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )
n 2，
n
1
n 3 n 1
1
而 n1
4
n3
1 收敛， 4
n3
n
∴原级数收敛。
ln n
(3) n1 n
（4） ln n 3 n n1 2
若 un与 vn 同阶，则 un 与 vn 同敛散。
n1
n1
若 un是比 vn 高阶的无穷小，则 vn 收敛 un 收敛；
n1
n1
若 un是比 vn 低阶的无穷小，则 vn 发散 un 发散。
n1
n1
定理2.3 （比值判别法 达朗贝尔判别法）
设 an
n1
为正项级数，且 an
0(
n
解（3）∵ lim un1 lim 3n 2 3 1 ，∴原级数收敛。
u n n
n 4n 1 4
（4）∵ lim n n
un
lim n
n
( an )n n1
lim
n
an n1
a，
∴当 a 1 时，级数收敛；当a 1 时，级数发散；
当 a 1时，根值判别法失效。
但∵
lim
n
un
lim( n )n n n 1
x
2x x
∴ f ( x) ln x 在 (e2 , ) 内单调减少， x
例 7 说明，虽然定理 3 对于 1 的情形，不能判定级
数的敛散性，但若能确定在 lim un1 1 的过程中， un1
关于正项级数收敛性的判别法
关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。
正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。
正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。
关键词：级数；正项级数；收敛；发散。
AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。
比值判别法20110411
比较判别法
1、2
积分判别法
1
收 敛
1
发 散
补充：柯西积分判别法
设f ( x)在[1,)上有定义, 在[1,)上 非负且单调减少 ,则
f (n)与
n 1
1
f ( x)dx同敛散.
例如
1 1 与 dx当p 1时收敛， 当p 1时发散。 . p p 1 x n 1 n
反之不成立.
1 例如： 2 收敛, n 1 n
n 1
1 n 发散. n 1
比值判别法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值判别法失效，需它法判定。
1 例 级数 发散, n 1 n
级数
n 1
n
( 1) 1 收敛 , 2
适用于含因式乘积和阶乘项的级数。
2.是充分非必要条件
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n 例.判别级数敛散性 : n 1 ( n 1)!
解：
(解法4)(比较判别法) : 而
n 1 1 1 n1 , (n 1)! n! 1 2 ... n 2
1 收敛， 则原级数收敛。 n 1 n1 2
n 1 n1 (n 1)! 2 1 2 n 1 1 1 1 sn ... 1 2 ... n1 2 n1 2 2! 3! (n 1)! 2 2 2 2 (解法5)(正项级数收敛的充要条件) : 从而部分和数列有上界， 则原级数收敛。
(3)根值判别法（柯西判别法）
一、正项级数及其审敛法
1.定义:
用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性
用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性∑n=1到无穷1/1+a的n次方当a>1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a<1，所以级数和收敛。
当0<=a<=1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和是不收敛的。
当-1<a<0时，|a^n|=|a|^n < 1，所以-1< a^n < 1，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和还是不收敛的。
当a=-1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中的奇数项分母为零，没有意义。
当a<-1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a，绝对值<1，所以级数和也是收敛，并且是绝对收敛的。
阿贝尔（Abel）判别法是分析学中一条十分重要的判定法则，与狄利克雷（Dirichlet）判别法合称为A-D判别法。
主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。
编辑本段级数应用数项级数若数列{an} 单调有界，级数Σ(n=1,∞) bn 收敛，则任意项数项级数Σ(n=1,∞) (an×bn) 收敛函数项级数若函数列 {an(x)} 对于每一个固定的x↔D关于n单调，且函数列{an(x)} 在D上一致有界，即存在M>0，使得│an(x)│≤M (x↔D，n↔N)；同时，函数项级数Σ(n=1,∞) bn(x) 在D上一致收敛，则函数项级数Σ(n=1,∞) [an(x)×bn(x)] (x↔D) 在D上一致收敛编辑本段积分应用反常积分无穷限反常积分：若∫(a,+∞) f(x)dx收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则反常积分∫(a,+∞) f(x)g(x)dx收敛无界函数反常积分：若∫(a,b) f(x)dx收敛，g(x)在[a,b)上单调有界，则反常积分∫(a,b) f(x)g(x)dx收敛含参变量积分若(1)、∫(a,+∞) f(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛；(2)、g(x,y)关于x单调，即对于每一个固定的y↔[c,d]，g(x,y)是x的单调函数；(3)、g(x,y)一致有界，即存在M>0，使得│g(x,y)│≤M (a≤x<+∞，y↔[c,d])。
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
考研数学一(高等数学)模拟试卷300(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷300(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设常数α＞2，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与α有关．正确答案：C解析：由于设常数p满足1＜p＜α一1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即(C)正确．知识模块：高等数学2．设a＞0为常数，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与口有关．正确答案：B解析：用分解法．分解级数的一般项知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)因发散，故原级数发散．(Ⅱ)因(Ⅲ)使用比值判别法．因，故原级数收敛．涉及知识点：高等数学4．判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：正确答案：(Ⅰ)由于收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时，0＜＞0，所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数(n→∞)，所以，级数条件收敛．是条件收敛的，故原级数条件收敛．涉及知识点：高等数学5．求下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)注意=1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则当＞1，即x＜0时，原级数发散(x=一1除外)，因为一般项不是无穷小量；当x=0时，原级数为收敛的交错级数．因此，级数的收敛域为[0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判别法，则有这就说明：当｜x｜＞1时，级数收敛，而且绝对收敛；然而，当｜x｜≤1(x≠—1)时，比值判别法失效．但是，当｜x｜＜1时，=1；当x=1时，un(x)=(n=1，2，…)，都不满足级数收敛的必要条件．所以，级数的收敛域为｜x｜＞1．涉及知识点：高等数学6．求下列幂级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)=3，故收敛半径R=1／3．当x=1／3时，原幂级数为，是一个收敛的交错级数；当x=一1／3时，原幂级数为的收敛域为(一1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于，的收敛半径R=+∞，即收敛区间也是收敛域为(一∞，+∞)．涉及知识点：高等数学7．求幂级数的收敛域及其和函数．正确答案：容易求得其收敛域为[一1，1)．为求其和函数S(x)，在它的收敛区间(一1，1)内先进行逐项求导，即得S’(x)=，x∈(—1，1)．又因为S(0)=0，因此S(x)=∫0xS’(t)dt=∫0x=一ln(1—x)．注意原级数在x=一1处收敛，又ln(1一x)在x=一1处连续，所以S(x)=一ln(1一x)，x∈[一1，1)．涉及知识点：高等数学8．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)本题可采用比值判别法．由于，所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列{(1+)n}是单调递增趋于e的，所以当p=e时，＞1，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．总之，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)本题适宜采用根值判别法．由于=0，所以原级数收敛．这里用到=0．涉及知识点：高等数学9．判别下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛．涉及知识点：高等数学10．判别级数的敛散性，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．正确答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1—．现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．涉及知识点：高等数学11．判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：正确答案：(Ⅰ)由于发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知的单调性，令f(x)=＞0(当x充分大时) →当x充分大时g(x)．这说明级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于sin(nπ+，所以此级数是交错级数．又由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，sin 随着n的增加而单调递减．又显然满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．涉及知识点：高等数学12．判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．正确答案：为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当p＞1时，级数绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤1时，是否条件收敛．考察部分和Sn=(n≥2)的极限是否存在．先考虑部分和数列的奇数项，即注意到等式右端的每一项都是正的，所以S2n+1＜0，而且单调递减．又由于亦即S2n+1＞，这就说明{S2n+1}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n+1=S．又由于(S2n+1—u2n+1)=S，即Sn=S，亦即级数的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0＜p≤1时，该级数条件收敛．解析：对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．知识模块：高等数学13．判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数vn也收敛．证明你的判断．正确答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．涉及知识点：高等数学14．确定下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)使用比较判别法．当x≤1时，由于也发散．当x＞1时，取p∈(1，x)，由于=0，所以的收敛域为(1，+∞)．(Ⅱ)当x＞0时，由于满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的．而当x≤0时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的．故级数的收敛域为(0，+∞)．涉及知识点：高等数学15．求下列幂级数的收敛域或收敛区间：(Ⅲ) anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)(Ⅳ) ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．正确答案：(Ⅰ)有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算所以R=1．再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f’(x)＜0，f(x)单调递减．所以满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛．这样，即得结论：xn—1的收敛域为[一1，1)．(Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n—1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法：它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于(Ⅲ)nan(x一1)n+1=(x一1)2[an(x一1)n]’，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，nan(x一1)n+1与an(x一1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)．(Ⅳ)令t=x一3，考察antn，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，antn的收敛域是[一3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．涉及知识点：高等数学16．求下列幂级数的和函数并指出收敛域：(Ⅰ)n(n+1)xn．正确答案：(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设=一4ln(1一x)，(一1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式)所以S(x)=S1(x)—S2(x)+S3(x)=ln(1—x) =ln(1—x)，x∈(—1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a0=1，同时，也容易看出=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．涉及知识点：高等数学17．将函数arctan展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间．正确答案：由于，利用公式，并以x2代替其中的x，就有(一1)nx2n，一1＜x2＜1即一1＜x＜1．上式两端再进行积分，注意到arctan，所以由f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt即得注意函数arctan在端点x=一1处连续，幂级数在点x=一1处也收敛，从而上式在端点x=一1处也成立，即涉及知识点：高等数学18．将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：(Ⅰ)，在x=1处；(Ⅱ)ln(2x2+x 一3)，在x=3处．正确答案：在上述展式中就是以(—1)nxn=1—x+x2—x3+…+(—1)nxn+…，(一1＜x＜1) (11．16)式中的x．类似地，有(Ⅱ)由于ln(2x+x一3)=ln(2x+3)(x 一1)=ln(2x+3)+ln(x一1)，对于右端两项应用公式得解析：使用间接法在指定点x0处作泰勒展开，就要用x—x0或者x一x0的倍数与方幂等代替原来的x．知识模块：高等数学19．将下列函数f(x)展开成戈的幂级数并求f(n)(0)：正确答案：(Ⅱ)应用公式(11．12)，有(一∞＜x＜+∞)．逐项积分得(一∞＜x ＜+∞)．由此又得f(2n)(0)=0 (n=1，2，3，…)，f(2n+1)(0)= (n=0，1，2，…)．解析：在这两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分．像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便．而且某些题目也必须先展开，第(Ⅱ)小题就是如此．知识模块：高等数学20．求下列级数的和：正确答案：(Ⅰ)S==S1+S2．S2为几何级数，其和为2／3．S1可看作幂级数(一1)(n)n(n一1)x(n)在x=1／2处的值．记直接利用ln(1+x)的展开式得涉及知识点：高等数学21．(Ⅰ)设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于_________；(Ⅱ)设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，则S(一)=____________．正确答案：(Ⅰ) 3／2；(Ⅱ)—1／4解析：(Ⅰ)根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于[f(1—0)+f(一1+0)]=3／2．(Ⅱ)由S(x)的形式可知：S(x)是奇函数．又f(x)在x=连续，所以知识模块：高等数学22．设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，(Ⅰ)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(一π≤x≤π)，及g(2π)的值．正确答案：(Ⅰ)根据定义注意：奇函数xcosnx在对称区间上的积为零．从另一个角度看，f(x)一(ancosnx+bnsinnx)实际上就是f(x)一a0／2的傅里叶级数，所以an=0．(Ⅱ)根据收敛定理，和函数g(x)=另外，g(2π)=g(0)=π．涉及知识点：高等数学23．设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明。
正项级数的比较判别法
正项级数的比较判别法
正项级数的比较判别法是一种用来判断正项级数收敛或发散的方法，即对于一组非负的项数递增的级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$，如果存在正常数$M$使得
对于所有$n$，都有$a_n \leq M b_n$，那么有以下结论：
1. 如果$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛。
2. 如果$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$发散。
该判别法的逻辑基于比较，即通过与已知的收敛或发散的级数进行比较，来判断待判定的正项级数的性质。
当待判定的级数与一个已知收敛的级数具有类似的增长规律时，可以使用比较判别法。
需要注意的是，比较判别法只适用于非负的项数递增的级数，当级数中存在负项或者项数不是递增的时候，就不能使用比较判别法进行判断。
【2019年整理】任意项级数的敛散性判别
0 r ,同敛散
给定
v
n
,
若
lim
n
un vn
r r 0, r ,
vn收敛，则 un收敛
v
发
n
散
，
则
un发散
1、p
级数
:
n1
1 np
当p 1时, 当p 1时,
收敛 发散
2、 aqn敛散性
n0
当q 当q
1时, 收 敛 1时, 发 散
3、调和级数
1 发散.
n1 n
比值判别法： （不需要比较对象）
复习
正项级数判别法：
（1）
lim
n
un
0?
（2）比值判别法（含n的阶乘）不用比较对象
或根式判别法（通项中含有n次幂）
（3）比较判别法极限形式(含对数函数时 经常采用比较法)
（4）比较判别法 需要敛散性已知的比较对象
比 较 判 别 法：非极极限限形形式式：：un
cvn
,
则
vn收敛，则 un收敛 un发散，则 vn发散
(2)
lim
n
un
0
则 (1)n1un收敛,且它的和s u1 .
n1
证 un1 un 0, S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
即数列 {S2n }是单调增加的 ,
又S2n u1 (u2 u3 )
u (u2n2 u2n1 ) u2n
n1 n
当x 1时, 原级数 1 发散.
n1 n
例
判别级数
n1
s
in na n2
(a
0)
的收敛性.
解 经判断该级数为任意项级数（易出错认为正项级数）
浅谈正项级数收敛性的几种判别方法
浅谈正项级数收敛性的几种判别方法浅谈正项级数收敛性的几种判定方法摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，正项级数的收敛性更是级数理论的核心问题。
正项级数收敛性的判别方法很多，但是用起来需要有一定的技巧。
本论文从四个方面（1）、比较原则；（2）、达朗贝尔判别法，或称为比式判别法；（3）、柯西判别法，或称为根式判别法；（4）、积分判别法归纳了正项级数收敛性。
关键词：正项级数、收敛、判别法、判断引言关于正项级数收敛性的问题，本文首先分析题目的要求，然后再来选择最合适的判别方法来判断正项级数的收敛性。
下面用（1）比较原则，（2）比式判别法，（3）根式判别法，（4）积分判别法四种判别方法对正项级数的收敛性进行判别。
（1）比较原则比较原则是一种常用的极限形式，也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。
根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性。
比较原则：设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n >N 都有n u ≤n v（i ）若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛；（ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。
推论设++++n u u u 21 ，（1） ++++n v v v 21 （）是两个正项级数，若l v u nn n =∞→lim，（3）则（ⅰ）当+∞<<="" 且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛；="" （ⅱ）当0="l" （ⅲ）当+∞="l">例1、考察∑+-112n n 的收敛性。
解由于当2≥n 时，有nn n n -≤+-22111=2)1(1)1(1-=-n n n因为正项级数∑∞=-22)1(1n n 收敛，通过比较原则可得级数∑+-112n n 也收敛。
以上例题，用比较原则判断该正项级数，结果是收敛的。
正项级数的判别法
法
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un 收敛?
2 n1 n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2 n 1 n1
un lim lim un 0 n u n n
由比较审敛法知 un 收敛.
2
1时级数发散; 1 时失效.
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
n
小 结
正 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛;
审
敛
2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质; 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法Leabharlann lim a2 nn
1 , 6
lim a2 n1
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例 4 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解
n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
1 (1) sin ; n n 1
二、比值判别法
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
比较判别法的极限形式结论
比较判别法的极限形式结论比较判别法是在初等实分析中常用的一种方法，用于判断无穷级数的敛散性。
它的基本思想是将待求级数与一个已知敛散性的级数进行比较，从而得出结论。
当比较对象为正项级数时，比较判别法有一个重要的极限形式结论。
设a_n和b_n是两个正项级数，若存在正常数c使得当n趋向无穷大时，有a_n/c<b_n，则有以下结论：1.若b_n收敛，则a_n也收敛；2.若a_n发散，则b_n也发散。
这个结论被称为比较判别法的极限形式。
它告诉我们，如果一个正项级数可以被另一个已知收敛（或发散）的正项级数所控制，那么它们具有相同的收敛（或发散）性质。
这个结论可以通过下面的证明来理解：1.若b_n收敛，则存在正常数M使得b_n<M对所有n成立。
由于a_n/c<b_n，因此有a_n<Mc对所有n成立。
由于Mc是一个正常数，所以a_n也受到类似于b_n受到的控制，并且必然收敛。
2.若a_n发散，则对于任意正常数M，存在一个自然数N使得a_n/M>b_n对所有n>N成立。
由于b_n是一个正项级数，所以b_n 发散。
比较判别法的极限形式在实际应用中非常有用。
例如，在求解无穷级数的收敛性时，我们可以将待求级数与已知收敛的级数进行比较，从而得出结论。
这种方法不仅简单易行，而且可以节省大量计算时间。
当然，比较判别法的极限形式也有一些局限性。
首先，它只适用于正项级数。
其次，在某些情况下，即使两个正项级数满足a_n/c<b_n，并不能得出它们具有相同的收敛性质的结论。
因此，在实际应用中需要谨慎使用比较判别法。
总之，比较判别法的极限形式结论是实分析中重要的基本定理之一。
它为我们判断无穷级数的收敛性提供了简单有效的方法，并且在实际应用中具有广泛的适用性。
正项级数收敛的几种判别法
正项级数收敛的几种判别法一：比较判别法：设两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv间成立着关系：0>∃c ，使得n n cv u ≤，,...,3,2,1=n （或自某项以后，即N ∃当N n >时）成立以上关系式，那么(1)当级数∑∞=1n n v 收敛时，∑∞=1n n u 也收敛。
(2)当级数∑∞=1n n u 发散时，∑∞=1n n v 也发散。
比较判别法的极限形式：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n nv，如果n u 和n v 是同阶无穷小量，即)0(lim∞<<=∞→l l v u nn n ,则∑∞=1n n u 和∑∞=1n nv同时收敛或同时发散。
二：Cauchy 判别法：设∑∞=1n n u 为正项级数，n nn u r ∞→=lim ，则： (1)当1<r 时，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)当1>r 时，级数∑∞=1n n u 发散；(3)当1>r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
三：D ’Alembert 判别法：设∑∞=1n n u )0(≠n u 是正项级数，则(1)当1lim1<=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞=1n n u 收敛； (2)当1lim1>=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞=1n n u 发散； (3)1≥r 或1≤r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。
引理：设∑∞=1n n u 为正项级数，则nn n n n n n n n n n n u uu u u u 11lim lim lim lim+∞→∞→∞→+∞→≤≤≤上述引理说明：若一个正项级数的收敛情况可以由D ’Alembert 判别法判定，则它一定也能用Cauchy 判别法判定，但是，能用Cauchy 判别法判定的，却未必能用D ’Alembert 判别法判定。
四：积分判别法：对正项级数∑∞=1n n u ，设n u 为单调减少的数列，做一个连续的单调减少的正值函数)0)((>x x f ，使得当x 为自然数n 时，其值恰为n u ，亦即n u n f =)(，那么级数∑∞=1n n u 与数列}{n A ，这里⎰=nn dx x f A 1)(同为收敛或同为发散。
02第二节正项级数的判别法
第二节 正项级数的判别法 一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.分布图示★ 正项级数★ 比较判别法 ★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4 ★ 例5★ 比较判别法的极限形式★ 例6 ★ 例7★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 比值判别法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 根值判别法★ 例14★ 例15★ 例16 ★ 积分判别法 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-2★ 返回内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{n s 有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法： 比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p 级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1+n u 与n u 有公因式且nn n u u 1lim +∞→ 存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ=∞→n n n u lim 或等于∞+的情形.积分判别法：对于正项级数,1∑∞=n na ，如果}{na 可看作由一个在),1[+∞上单调减少函数)(x f 所产生, 即有).(n f a n = 则可用积分判别法来判定正项级数∑∞=1n n a 的敛散性. 例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论p —级数)0(131211>+++++p np p p 的收敛性. 解 1p ≤时，,11n np≥-∴p 级数发散. 1>p 时，由图可见,11⎰-<n n p p x dx n p p p n ns 131211++++=,111111111111121-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+=+++<--⎰⎰⎰p n p x dx x dx x dx p n n n pp p即n s 有界，-∴p 级数收敛. 当1>p 时收敛 故-p 级数 . 当1≤p 时发散例2（E 02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证 )1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散， ∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.例3（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性.解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n na及∑∞=1n nb均收敛， 证明级数∑∞=1n nc收敛.证 由,n n n b c a ≤≤得 ,),2,1(0 =-≤-≤n a b a c n n n n 由于∑∞=1n na与∑∞=1n nb都收敛,故)(1nn na b ∑∞=-是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数)(1n n n a c ∑∞=-也收敛.再由∑∞=1n na与)(1n n na c-∑∞=的收敛性可推知: 级数∑∞=1n n c )]([1n n n na c a∑∞=-+=也收敛.例5 设⎰=40tan πxdx a nn ，证明级数∑∞=1n nna λ)0(>λ收敛. 证 由⎰=4tan πxdx a n n ⎰<42sec tan πxdx x n⎰=40tan tan πx xd n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+41tan 11πx n n 11+=n n 1< 得.λλ+<<110n n a n 因为,11>+λ所以∑∞=+111n n λ收敛, 由比较判别法知∑∞=1n nn a λ收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1) ;11ln 12∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n (2).cos 111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n π解 )1(因⎪⎭⎫ ⎝⎛+211ln n ),(1~2∞→n n 故 n n u n 2lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→2211ln lim n n n 221lim nn n ⋅=∞→1=根据极限判别法,知所给级数收敛. )2(因为n n u n2/3lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→n n u n n n πcos 11lim 2/322211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∞→n n n nn π,212π= 根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7 判别级数∑∞=++1)(n an nn a n 的敛散性. 解 记an nn na n u ++=)(a n n n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,1a nn n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 采用比较法的极限形式,取,1an n v =因 nn n v u ∞→lim nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim a e =,0≠ 所以原级数与级数∑∞=11n an具有相同的敛散性,从而知当1>a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 收敛; 当1≤a 时，级数∑∞=++1)(n an nna n 发散.例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin n n n ππ的敛散性. 解 选取级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π作比较.由,613cos 1lim sin lim203=-=-→→x x x n x x x π可得3sinlim ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n n n πππ.61=因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π收敛,所以原级数也收敛.注:从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项n u 趋向于零的“快慢”程度.例9（E06）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n的敛散性. 解 令)1ln()(x x x u +-=),0(0>>x .)(2x x v =由于2)1ln(limx x x x +-+∞→x x x 2111lim +-=+∞→)1(21lim x x +=+∞→,21=从而2111ln 1limn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→211ln1lim nn n n n +-=∞→.21= 由级数∑∞=121n n 的收敛推知本题所给级数也收敛.例10 级数,11∑∞=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑∞=+1111n nn 收敛. 你认为他的说法对吗?解 不对.前者-p 级数的p 是一常数与n 无关,而后者n11+与n 有关,事实上 n nnn /11lim11+∞→1)(lim -∞→=n n n 1=由级数∑∞=11n n 的发散性,可知级数∑∞=+1111n nn 也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1) ∑∞=1!1n n ； (2)∑∞=110!n nn . (3) ().21211∑∞=⋅-n n n解 )1(n n u u 1+!/1)!1/(1n n +=11+=n ,0−−→−∞→n 故级数∑∞=1!1n n 收敛.)2(n n u u 1+!1010)!1(1n n n n ⋅+=+,∞−−→−∞→n 故级数∑∞=110!n n n 发散. )3(nn n u u 1lim+∞→)22()12(2)12(lim +⋅+⋅-=∞→n n nn n ,1=比值判别法失效,改用比较判别法,因为n n 2)12(1⋅-,21n <而级数∑∞=121n n 收敛,所以∑∞=⋅-12)12(1n n n 收敛.例12（E08）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n 的散敛性.解 因为n nn )12(2+,22nn <而对于级数,212∑∞=n n n 由比值判别法,因 nn n u u 1lim +∞→21222)1(lim n n n n n ⋅+=+∞→2)11(21lim n n +=∞→21=,1< 所以级数∑∞=122n nn 收敛,从而原级数亦收敛.例13 判别级数)0(!1>∑∞=a n a n n n n的收敛性.解 采用比较判别法,由于nn n u u 1lim +∞→!)1()!1(lim 11n a n n n a n n n n n ⋅⋅++=++∞→n n n a )/11(lim +=∞→,e a= 所以当e a <<0时，原级数收敛;当e a >时，原级数发散;当e a =时，比值法失效,但此时注意到:数列nn n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11严格单调增加,且,e n n<⎪⎭⎫⎝⎛+11于是,11>=+nn n x e u u 即,n n u u >+1故,e u u n =>1由 此得到,0lim ≠∞→n n u 所以当时原级数发散.例14 判别级数2111n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-的散敛性.解 一般项含有n 次方, 故可采用根值判别法.因为n nn u ∞→lim n n n n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→11lim e1=1<故所求级数收敛.例15（E 09）判别级数∑∞=---1)1(2n n n的收敛性：解 因为n n n u ∞→lim nn n n n)(2lim ---∞→=nn n)1(12lim ---∞→=21=1< 由根值判别法知题设级数收敛.例16（E10） 判别级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为n 21n n 2)1(2-+≤n23≤ 而,2121lim =∞→n n n ,2123lim =∞→n n nn n nn 2)1(2l i m -+∞→21=1< 故原级数收敛.例17（E11）试确定级数∑∞=1ln n n n的敛散性. 解 若设,xxx f ln )(=则显然)(x f 在1>x 时非负且连续. 因,2ln 1)(x xx f -='所以在e x >时有,0)(<'x f 函数)(x f 单调减少, 于是,可以对级数∑∞=1ln n n n应用积分判别法.注意到 dx xxe⎰∞ln ⎰∞→=beb dx x xln limbeb x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+∞→2ln lim 22ln ln lim 22e b b -=+∞→,+∞= 即广义积分以散,所以级数∑∞=1ln n n n发散.课堂练习1.设正项级数∑∞=1n n u 收敛, 能否推得∑∞=12n n u 收敛? 反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性.1)3(;22)2(;cos 1)1(111∑∑∑∞=∞=∞=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n n e n n n π达朗贝尔（D ’Alember Jean Le Rond ，1717~1783）达朗贝尔是法国物理学家、数学家。
05第五讲 比较判别法的极限形式
数学分析第十二章数项级数比较判别法的极限形式第五讲数学分析第十二章数项级数推论（比较原则的极限形式）,nnu v∑∑设是两个正项级数,若lim ,(3)nn nu l v →∞=则(i)0,;n n l u v <<+∞∑∑当时级数,同敛散(ii)0,;n n l v u =∑∑当且级数收敛时级数也收敛(iii),.n n l v u =+∞∑∑当且级数发散时级数也发散数学分析第十二章数项级数(i)0,;n n l u v <<+∞∑∑当时级数,同敛散证(i) 由(3),l ε<对任给正数存在某正整数N, 当n > N 时,恒有-<nnu l v ε或()().(4)n n n l v u l v εε-<<+lim ,(3)nn nu l v →∞=由比较原则及(4)式得,与n v ∑同时收敛或同时发散. 这就证得了(i).<<+∞0l 当n u ∑级数时,数学分析第十二章数项级数§2 正项级数正项级数收敛性的一比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法(ii)当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得, n v ∑n u ∑级数收敛, 则级数也收敛.(iii),l =+∞若则对于正数1,当n > N 时,都有于是由比较原则知道, 若级数n v ∑发散, 则级数nu∑也发散.若存在相应的正整数N ,1nnu v >.n n v u >或般判别原则→∞=lim ,(3)nn nu l v ()().(4)n n n l v u l v εε-<<+数学分析第十二章数项级数例3 级数-∑12n n是收敛的, 以及等比级数∑12n 收敛, 式,因为12lim12n n nn →∞-2lim 2n n n n →∞=-1lim 12n nn →∞=-1=根据比较原则的极限形12nn-∑级数也收敛.数学分析第十二章数项级数例4 正项级数=++++∑111sin sin1sin sin 2n n是发散的, 1sin lim 1,1n n n →∞=根据比较原则的极限∑1n 形式以及调和级数发散, 散.因为∑1sin n也发得到级数数学分析第十二章数项级数*例5 判断正项级数12sin1n nn∑的敛散性.1sinlim 1,1n n n→∞=解因为12sin 1n n n∑21n ∑故可将与进行比较. 12(1sin )ln lime,n nnn -→∞=212sinlimn n nn n→∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→=n n n n1sin 12lim 由于12211sinlimn nn n n→∞∞型数学分析第十二章数项级数注意到1lim 1sin ln n n n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭所以12(1sin )ln lime1.n nnn -→∞=根据比较原则, 原级数收敛.221ln lim n n n o n n →∞⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0=211lim 1ln n n o n n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin1n nn级数的收敛性,∑-→∞12(1sin )ln limen nnn 极限。
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。