有理数基本概念
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有理数的概念
知识点一、有理数的概念及分类
1、正数与负数:
正数:像1,1.1,517,2009 等大于0 的数,叫做正数;
负数:像-1,-1.1,-517,-2009 等在正数前面加上“-”负号的数,叫做负数。 正数都大于零,负数都小于零,即正数>0>负数。
“0”既不是正数,也不是负数。
在实际生活中,用正数、负数表示相反意义的量:
向东走100 米记作-100 米,则向西走五十米记作+50 米。
盈利100 元记作+100 元,则亏损100 元记作什么?
水位升高1.2 米,下降0.7 米,如何用有理数表示?
2、有理数:整数与分数统称为有理数
注:(1)任意有限小数和无限循环小数都是分数;
(2)无限不循环小数不是有理数,如π ;
(3)正数和零统称为非负数;
注意:0 既不是正数,也不是负
数,是唯一的中性数
(4)0 是正数和负数的分界点,但不是最小的有理数。
3、数集:把一些具备同一特征的数放在一起,就组成数的集合,简称数集。
例如:所有的有理数组成的数集叫有理数集;所有的整数组成的数集叫整数集。
4、有理数“0”的作用:
随堂练习
1、气温下降2度记−2°C,那么上升3度表示为°C .
2、用+20米表示前进20米,那么−15米表示.
3、如果向北走10 m记作+10 m,那么−6 m表示().
A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m
4、有理数包括().
A 、整数、分数和零
B 、正有理数、负有理数和零
C 、正数和负数D、正数和分数
5、下列说法中,正确的是().
A 、在有理数中,零的意义表示没有
B 、一个数不是正数就是负数
C 、正有理数和负有理数组成全体有理数
D、零是整数
6、0 属于().
A 、负数集合B、整数集合C、正数集合D、什么也不是
7、既是分数,又是正数的是().
A、+3
B、−513 C 、0 D、2.2
8、下列说法中错误的是().
A、−2是负有理数
B、零不是整数
C 、34是正分数D、−0.26是负分数
9、已知下列各数:−8,2.1,19,3,0,−2.5,10,−1,其中非负数的个数有().
A 、2 个B、3 个C、4 个D、5 个
10、把下列各数填入相应的括号里.
正整数集合{ … }
分数集合{ … }
整数集合{ … }
负数集合{ … }
数轴
1、概念:规定了原点、正方向和单位长度的直线。
原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素,三者缺一不可。
数轴的画法:
▪ 画一条水平的直线;
▪ 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点;
▪ 确定向右的方向为正方向,用箭头表示;
▪ 选取适当的长度作为单位长度,用细短线画出,并对应标出各数,同时
要注意同一数轴的单位长度要一致.
2、有理数与数轴的关系
▪ 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来;
▪ 正有理数在原点的右边,负有理数在原点的左边,原点表示0;
▪ 在数轴上,右边的点所对应的数总是比左边的点所对应的数大。
☞ 注意:数轴上的点不都是有理数,如π 。
相反数
1、相反数定义:
如果两个数只有符号不同,则称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。
注意:0 的相反数是0.
几何意义:在数轴上到原点的距离相等,并且分别位于原点两侧的两个数,是一对相反数,这两点必须关于原点对称。
2、相反数的性质:
互为相反数的两个数的和为零。
若a与b互为相反数,则a + b=0;若a + b=0,则a与b互为相反数.。
3、求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号即可.
一般地,数a的相反数是-a;这里以a表示任意一个数,可以为正数、0、负数,
也可以是任意一个代数式,注意-a不一定是负数.
☞ 注意:当a > 0时,-a < 0 (正数的相反数是负数);
当a =0时,-a = 0 (0的相反数是0);
当a < 0时,-a > 0 (负数的相反数是正数).
4、多重符号的化简:“奇负偶正”
一个有理数前面不管有多少个“+”号,都可以去掉;
一个有理数前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号全部去掉;有奇数个“-”号,则化简后只保留一个“-”,即“奇负偶正”。
☞ 注意:负负得正,正负得负。(最常用)
绝对值
1、绝对值的几何意义及代数意义:
绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 数a的绝对值记做|a|.
绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;
2、倒数,负倒数
乘积为1 的两个数互为倒数。特别的,0 没有倒数
a,b互为倒数,则有ab =1,反之亦成立;
倒数是它本身的数是±1
乘积为-1 的两个数互为负倒数,特别的,0 没有负倒数,
a,b互为负倒数,则有ab = −1,反之亦成立;
随堂练习
1、判断下列各图中,没出现错误的是()
2、如图所示,数轴上的点M 和N 分别表示有理数m 和n ,那么以下结论正确
的是().
A、m > 0 , n > 0
B、m > 0 , n < 0
C、m< 0 , n > 0
D、m< 0 , n < 0
3、如图所示,根据有理数a ,b ,c 在数轴上的位置,比较a ,b ,c 的大小,有().
A、a < b < c
B、a < c < b
C、b < a < c
D、b < c < a
4、如图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含的整数
为 .