有理数基本概念

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有理数的概念

知识点一、有理数的概念及分类

1、正数与负数:

正数:像1,1.1,517,2009 等大于0 的数,叫做正数;

负数:像-1,-1.1,-517,-2009 等在正数前面加上“-”负号的数,叫做负数。 正数都大于零,负数都小于零,即正数>0>负数。

“0”既不是正数,也不是负数。

在实际生活中,用正数、负数表示相反意义的量:

向东走100 米记作-100 米,则向西走五十米记作+50 米。

盈利100 元记作+100 元,则亏损100 元记作什么?

水位升高1.2 米,下降0.7 米,如何用有理数表示?

2、有理数:整数与分数统称为有理数

注:(1)任意有限小数和无限循环小数都是分数;

(2)无限不循环小数不是有理数,如π ;

(3)正数和零统称为非负数;

注意:0 既不是正数,也不是负

数,是唯一的中性数

(4)0 是正数和负数的分界点,但不是最小的有理数。

3、数集:把一些具备同一特征的数放在一起,就组成数的集合,简称数集。

例如:所有的有理数组成的数集叫有理数集;所有的整数组成的数集叫整数集。

4、有理数“0”的作用:

随堂练习

1、气温下降2度记−2°C,那么上升3度表示为°C .

2、用+20米表示前进20米,那么−15米表示.

3、如果向北走10 m记作+10 m,那么−6 m表示().

A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m

4、有理数包括().

A 、整数、分数和零

B 、正有理数、负有理数和零

C 、正数和负数D、正数和分数

5、下列说法中,正确的是().

A 、在有理数中,零的意义表示没有

B 、一个数不是正数就是负数

C 、正有理数和负有理数组成全体有理数

D、零是整数

6、0 属于().

A 、负数集合B、整数集合C、正数集合D、什么也不是

7、既是分数,又是正数的是().

A、+3

B、−513 C 、0 D、2.2

8、下列说法中错误的是().

A、−2是负有理数

B、零不是整数

C 、34是正分数D、−0.26是负分数

9、已知下列各数:−8,2.1,19,3,0,−2.5,10,−1,其中非负数的个数有().

A 、2 个B、3 个C、4 个D、5 个

10、把下列各数填入相应的括号里.

正整数集合{ … }

分数集合{ … }

整数集合{ … }

负数集合{ … }

数轴

1、概念:规定了原点、正方向和单位长度的直线。

原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素,三者缺一不可。

数轴的画法:

▪ 画一条水平的直线;

▪ 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点;

▪ 确定向右的方向为正方向,用箭头表示;

▪ 选取适当的长度作为单位长度,用细短线画出,并对应标出各数,同时

要注意同一数轴的单位长度要一致.

2、有理数与数轴的关系

▪ 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来;

▪ 正有理数在原点的右边,负有理数在原点的左边,原点表示0;

▪ 在数轴上,右边的点所对应的数总是比左边的点所对应的数大。

☞ 注意:数轴上的点不都是有理数,如π 。

相反数

1、相反数定义:

如果两个数只有符号不同,则称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。

注意:0 的相反数是0.

几何意义:在数轴上到原点的距离相等,并且分别位于原点两侧的两个数,是一对相反数,这两点必须关于原点对称。

2、相反数的性质:

互为相反数的两个数的和为零。

若a与b互为相反数,则a + b=0;若a + b=0,则a与b互为相反数.。

3、求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号即可.

一般地,数a的相反数是-a;这里以a表示任意一个数,可以为正数、0、负数,

也可以是任意一个代数式,注意-a不一定是负数.

☞ 注意:当a > 0时,-a < 0 (正数的相反数是负数);

当a =0时,-a = 0 (0的相反数是0);

当a < 0时,-a > 0 (负数的相反数是正数).

4、多重符号的化简:“奇负偶正”

一个有理数前面不管有多少个“+”号,都可以去掉;

一个有理数前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号全部去掉;有奇数个“-”号,则化简后只保留一个“-”,即“奇负偶正”。

☞ 注意:负负得正,正负得负。(最常用)

绝对值

1、绝对值的几何意义及代数意义:

绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 数a的绝对值记做|a|.

绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;

2、倒数,负倒数

乘积为1 的两个数互为倒数。特别的,0 没有倒数

a,b互为倒数,则有ab =1,反之亦成立;

倒数是它本身的数是±1

乘积为-1 的两个数互为负倒数,特别的,0 没有负倒数,

a,b互为负倒数,则有ab = −1,反之亦成立;

随堂练习

1、判断下列各图中,没出现错误的是()

2、如图所示,数轴上的点M 和N 分别表示有理数m 和n ,那么以下结论正确

的是().

A、m > 0 , n > 0

B、m > 0 , n < 0

C、m< 0 , n > 0

D、m< 0 , n < 0

3、如图所示,根据有理数a ,b ,c 在数轴上的位置,比较a ,b ,c 的大小,有().

A、a < b < c

B、a < c < b

C、b < a < c

D、b < c < a

4、如图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含的整数

为 .

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