数值分析模拟试题

数值分析模拟试题

一、填空题（每小题3分，共30分）

1、已知近似值* 2.4560x =是由真值x 经四舍五入得到，则相对误差限为 。

2

、为减少舍入误差的影响，应将10改写成 。

3、设(1,1,2,3)T x =-，则12_______,_______,_______x x x ∞===。

4、设1123A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1________,________F A A ==，A 的谱半径()A ρ=。

5、用Gauss-Seidel 迭代法解方程组1212423

x ax ax x +=⎧⎨+=-⎩，其中a 为实数，则该方法收敛的充要

条件是a 满足 。

6、迭代法12213k k k x x x +=+收敛于*x =，此迭代格式是 阶收敛的。

7、设01(),(),,()n l x l x l x 是以01,,

,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则0()n

i

i l x ==∑。 8、设3()321f x x x =++，则差商[0,1,2,3]_____,[0,1,2,3,4]_____f f ==。

9、数值积分的辛普森公式为()b a f x dx ≈⎰。

10、数值积分公式0()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑⎰中，0n

k k A ==∑。

二、设函数2()(3)x x a x ϕ=+-，由迭代公式1()k k x x ϕ+=产生的序列为{}k x ，试讨论

⑴当a 为何值时，序列{}k x 收敛；

⑵当a 取何值时，收敛速度最快，并指出迭代法收敛的阶。（12分）

三、设4()[0,2]f x C ∈，且(0)2,(1)1,(2)0,'(1)0f f f f ==-==，试求函数()f x 的三次

插值多项式()P x ，并求余项表达式。（14分）

四、用矩阵的直接三角分解法（即LU 分解）解方程组Ax b =，其中

1225132,62114A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（10分） 五、已知线性方程组123121

3253 12 730x x x x x x x -+=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩，写出解方程组的Jacobi 迭代格式，并

判断迭代法是否收敛。（10分）

六、已知数值求积公式1

0()(0)(1)'(0)'(1)xf x dx Af Bf Cf Df ≈+++⎰，试确定其中的待

定参数，使其代数精度尽可能高，并指出具体的代数精度。（12分）

七、设向量12[,,,]T n x x x x =，试证明：

⑴2x x ∞∞≤≤

；⑵212x x ≤≤。（12分）