数学思想讲座-数学方法的优美

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中考数学复习专题讲座五数学思想方法(含详细参考答案)

运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
三、中考考点精讲
考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。例1 10．（2012•德州）已知
A．3 B．，则a+b等于（）C．2 D．1
考点：解二元一次方程组。810360
专题：计算题。
分析：①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．
解答：解：，
∵①+②得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故选A．
点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．
则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．

数学思想与数学文化——第三讲_数学思想方法介绍(1,2)

◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性；（2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；（3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言；（2）提供数量分析及计算的方法；（3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法中学数学中几种常用的具体方法
◆ 待定系数法
◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法
三. 几类常用的数学思想方法介绍
有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法等； 2. 逻辑性思想方法例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与系统等。
数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法
数学解题的思维方法
◆ 数学推理方法（演绎法、
归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换元法、初等变换方法）
☆精彩范例：
力学：牛顿万有引力定律；电磁学：麦克斯韦方程组；化学：门捷列夫元素周期表；生物学：孟德尔遗传定律…
☆数学模型应用日益广泛的原因：
a) 社会生活的各个方面日益数量化； b) 计算机的发展为精确化提供了条件； c) 很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一条捷径。
附：
参考文献
[1] 王子兴．数学方法论．中南工业大学出版社．2002 [2] 徐利治．数学方法论选讲（第三版）．华中理工大学出版社．2000 [3] 姜启源等．数学模型（第三版）．高等教育出版社．2003

高二数学数学学习方法讲座

祝愿同学们: 天天进步!
谢谢大家!
第八项：关注新教材更新的数学内容
第九项：用导数作为研究问题的方法上升为重要地位。
第十项：近年来高考命题改革的一个方向是试题切入容易，深入困难。
第十一项：加强原理复习
第十二项：加强不等式复习
第十三项：高考将仍然“坚持多角度，多层次考查”的命题思路。要求完全掌握定义法、分析法、反证法、数学归纳法、构造法。
三、怎样学习数学
（一）学习知识方面，狠抓联系形成知识结构，以少胜多，以不变应万变。（二）重过程轻结果
（三）探究“字母代式”实质
（四）重视复习时培养规范简洁的表达，这样既省时间又准确
四、怎样解题
数学是应用性很强的学科，学习数学就是学习解题。搞题海战术的方式、方法固然是不对的，但离开解题来学习数学同样也是错误的。其中的关键在于对待题目的态度和处理解题的方式上。
36. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
37. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
38. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形. 39.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？
3．所给图形和式子有什么特点？能否用一个图形（几何的、函数的、示意的）或数学式子（对文字题）将问题
表示出来？能否在图上加上适当的记号？
别 4．有什么隐含条件？
1．这个题以前见过吗？在哪里见过？以前做过吗？见过类似的问题吗？当联时是怎样想的？ 2．题中的一部分（条件，或结论，或想式子，或图形）以前见过吗？在什么问题中见过？
23. 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n 项的和）

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想初中数学作为数学教育的重要阶段，是培养学生数学思维能力和创新意识的关键时期。

在数学教学中，体现数学美的思想是非常重要的，不仅可以激发学生的学习兴趣，还能提高学生的数学素养和解决问题的能力。

所以，如何在初中数学课堂中体现数学美的思想，是每一个数学教师都需要思考和实践的问题。

一、培养学生的审美能力数学美是一种独特的审美体验，它不仅仅是外表的美感，更是内在结构的美感。

因此，在数学教学中，应该培养学生对数学问题的审美能力，使他们能够从数学问题中感受到美的存在。

1.注重培养学生对问题本身的兴趣。

直观的问题会引起学生的兴趣，激发他们的学习热情。

而深入的问题会引发学生思考，培养他们的批判性思维能力。

通过这些问题的讨论和解答，学生可以慢慢理解数学中的美。

2.引导学生去感受数学的美。

数学美不仅仅是计算的结果，还包括数学公式和定理的美。

通过数学实例和例题的讲解，可以让学生体验到数学问题的独特之处，感受到其中的美。

3.从实践中展示数学的美。

数学家或许看到数学的美主要是从抽象的符号和定理中得出的，但学生往往无法从中体会到。

因此，数学教师应该尽量用实际的例子来揭示数学的美。

例如，通过建模和数据分析，让学生从实际问题中感受到数学的应用之美。

二、培养学生的创新思维数学美和创新思维是相辅相成的。

数学美需要学生拥有创新思维，而创新思维也可以进一步提升数学美的表达。

1.培养学生的观察力。

观察力是培养学生创新思维能力的基础，通过观察问题的特点和规律，可以帮助学生找到解决问题的方法和思路。

因此，数学教师在课堂上要引导学生多观察，积累问题的经验，并注意培养学生的审美观察力。

2.培养学生的思辨能力。

思辨能力是创新思维的核心，它能够让学生通过推理和思考来解决问题。

因此，数学教师应该在课堂上注重培养学生的逻辑思维能力，通过提出问题和引导学生找到解决问题的方法，锻炼学生的思考能力。

3.给学生提供创新的机会。

高中数学思想专题讲座--整体的思想方法

高中数学思想专题讲座---整体的思想方法一、知识要点概述解数学题时，人们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之．但思考方法并非对所有题目都适用，它常常导致某些题解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废．其实，有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．一般地，我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法．在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。

它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法．简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。

运用整体思想，可以理清数学学习中的思维鄣碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。

它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。

高考中，整体思想方法是一个重点考查对象，在选择题、填空题、解答题中都有不同层次的渗透。

二、解题方法指导1．运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径。

2．运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的；在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。

3．运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。

三、整体的思想方法主要表现形式1、整体补形【例1】甲烷分子（CH4）由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，其中四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都相等．若视氢原子、碳原子为一个点，四面体的棱长为a ，求碳原子到各个氢原子的距离．思路：透过局部→整体补形→构建方程解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上．如图，将此四面体ABCD 补成正方体BD’，其中A’，B’，D’也在球面上．设碳原子到每个氢原子的距离为x ，则2x= BD’，BD’、AB （a ）、AA’之间的关系是a=AB=2AA’，2x=BD’=3AA’，因此，2x=，23a ⋅a x 46=∴．即碳原子到各个氢原子的距离为a 46．评注：这里，我们将一个正四面体补成一个正方体，则正四面体的中心与各顶点的距离与正四面体棱长通过正方体的棱长搭桥立即建立联系，局部问题便在正方体这个整体内快速获解，体现了整体补形较高的思维价值．在立几中，我们常常将四面体补成正四面体或平行六四面体、正四面体补成正方体、过同一个顶点的三条棱两两垂直的三棱锥（或四面体）补成长方体、四棱锥补成平行六面体，等等．近几年的高考题或高考模拟题中，经常出现这类问题，试题常常以选择题、填空题的形式出现，具有一定的创新性．复习中大家要注意总结这种问题的补形规律，力争在高考中速战速决．【例2】、如图2，已知三棱锥子P —ABC ，10,PA BC PB AC PC AB ======P —ABC的体积为（）。

中学数学思想方法讲座讲稿

数学思想与数学方法简介临汾学院科研部李建堂1．1、什么是数学思想数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是人们对数学内容和数学方法的本质认识，是对数学知识、方法的进一步抽象和概括，是对数学规律的理性认识，是指导人们学习数学、解决数学问题的观点（如函数观点、统计观点、集合观点等）、原则。

然而，我们所谈的中学数学思想指的是基本、常见、较浅显的数学思想，如定义、定理、公式、法则等；人们常用数学思想来泛指某些具有重要意义的、丰富内容的、体系相当完整的数学成果，如：集合思想、函数思想、方程思想、统计思想、公理化思想等等。

1．2、什么是数学方法一般地，方法是指人们为了实现某种目的而采取的行为手段、方式、措施、策略等，它是一种实践活动，人们在实践活动中为实现这一目标，可以创设情境，有效地选择各种手段、方式、技巧、程序、措施、途径、策略等加以实现。

我们把讲授数学、学习数学、探究数学、应用数学等活动均称之为数学活动。

数学方法就是人们从事这种数学活动时所用的方法，是指某一数学活动过程的程序、手段和途径，是实施有关数学思想的策略。

1．3、数学思想与数学方法的联系数学思想是数学方法的灵魂，是处理问题的基本观点，是数学基础知识和基本方法的本质概括，是精神实质和理论的依据，是创造性地发展数学的指导思想，它来源于基础知识和基本方法，高于知识与方法，指导知识和方法的运用，能使知识向深、高层次发展；数学方法则是处理、探索、解决数学问题，实现数学思想的技巧手段和有效策略，是数学思想的表现形式。

当我们用同一个数学成果去解决某个问题时，可称之为方法，当论及它在数学体系中的价值和意义时，可称之为思想。

一般地，数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想的指导下，运用相应的数学技能手段、策略实现的。

数学思想是凹现的，数学方法是凸现的。

“数学思想方法”暂时没有严格的定义，它是在数学科学的发展中逐步形成起来的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂，是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识，是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的。

数学的思想方法

数学的思想方法数学是一门古老而又深邃的学科，它不仅是一种工具，更是一种思维方式。

数学的思想方法贯穿于我们日常生活的方方面面，无论是解决实际问题还是推理论证，都需要数学的思维方式来帮助我们进行思考和分析。

在数学的思想方法中，有许多重要的原则和技巧，它们对于我们理解和运用数学知识具有重要的指导意义。

首先，数学的思想方法强调逻辑性和严谨性。

数学是一门严谨的学科，它要求我们在思考和推理时要严格地遵循逻辑规律，不能出现逻辑混乱或者矛盾的情况。

在数学证明中，逻辑性和严谨性是至关重要的，只有通过严密的逻辑推理，才能得出正确的结论。

因此，数学的思想方法教会我们在思考和推理时要善于运用逻辑规律，严格地进行推理和论证。

其次，数学的思想方法注重抽象和概括。

数学是一门抽象的学科，它通过抽象和概括来揭示事物的本质和规律。

在数学中，我们经常需要将具体的问题抽象成数学模型，然后通过对模型的分析和推理来解决实际问题。

因此，数学的思想方法教会我们在思考和分析问题时要善于进行抽象和概括，从而能够更好地理解和解决问题。

另外，数学的思想方法注重严密的推理和精确的表达。

在数学中，推理是一种重要的思维方式，它要求我们在推理过程中要严密而精确，不能出现模棱两可或者不严谨的情况。

同时，数学的思想方法还要求我们在表达数学概念和结论时要准确而清晰，不能出现歧义或者模糊的表达。

因此，数学的思想方法教会我们在进行推理和表达时要注重严密性和精确性，从而能够更好地理解和传达数学知识。

最后，数学的思想方法强调创造性和启发性。

数学是一门富有创造性的学科，它要求我们在解决问题和发现规律时要具有创造性的思维。

同时，数学的思想方法还要求我们在教学和学习中要注重启发性，激发学生的兴趣和潜能，培养他们的创造性思维能力。

因此，数学的思想方法教会我们在思考和学习数学时要具有创造性和启发性，从而能够更好地发现和解决问题。

总之，数学的思想方法是一种重要的思维方式，它对于我们理解和运用数学知识具有重要的指导意义。

数学思想方法数学课堂活的灵魂

小学数学教学中渗透数学思想方法的实践与思考困惑数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。

结合数学知识的教学，对学生进行数学思想与方法的引领应当是小学数学教学一项十分重要的任务。

观察我们的小学数学课堂，往往能看到一条明线（数学知识），有时却看不到一条暗线（数学思想和方法）。

看不到暗线的数学课堂趋向于例题教学，教师常照本宣科，重模仿、技巧和记忆，对数学的思想方法缺乏必要的引导，导致学生数学思维能力得不到真正的提高。

如两位教师教学“观察物体”一课，不同的教学定位演绎出不同的教学效果。

甲老师教学片断：出示教学情景图。

师：三个小朋友在观察“小药箱”，能说说你观察到的结果吗？生1：我看到了“小药箱”的正面，是一个长方形，里面有“小药箱”三个字和一条横线。

生2：我看到了“小药箱”的右面，也是一个长方形，里面有“一班”两个字和一条横线。

生3：我看到了“小药箱”的上面，也是一个长方形，中间有一个红十字。

生4：我一次最多只能看到三个面。

师：同学们观察得很仔细，你能把观察的结果画下来吗？有困难的同学可以请教课本。

（学生画观察结果）师：课本上已经表明了“从正面看”的结果，你能写出另外两个观察结果是从什么方向观察的吗？完成后，小组交流。

生5：长方形加一条横线的，是从左面观察的；长方形加中间有一个红十字的，是从上面观察的。

师：真不错，同学们很会观察。

乙老师教学片断：师：现在老师请大家来当一回侦探，你有兴趣吗？（有！）猫博士刚刚研制出一种新药，他把新药放在小药箱里，可是有一天，他发现药不见了，是谁偷了药？“冒险小虎队”找到四只见到过药箱的小老鼠（其中有一只小老鼠一定是偷药的），让他们说出观察到的药箱：A 我看到的那一面上画了个红十字。

B 我看到的那面上写着：小药箱。

C 我看到的是白色的面，没什么标记。

D 药箱有一个面是正方形。

出示小药箱图片：师：偷药的小老鼠因心虚说了谎话，你能找到它吗？生1：我确定D老鼠是偷药的，因为它说了谎。

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想数学美，是指数学中的美感和美学价值，它是指数学中对于美感的追求和发现。

而初中数学课堂则是学生接触数学美的重要场所。

在这里，数学老师应该努力培养学生对数学的兴趣和热爱，同时也能够引导学生通过数学问题的解决来感受和体验数学美。

在初中数学课堂中，有许多方法可以体现数学美的思想。

一、培养学生的观察力和想象力数学美首先是美的观察力和想象力。

在初中数学课堂中，数学老师可以通过多种教学方法来培养学生的观察力和想象力。

比如，可以通过展示一些具有对称性的图形，让学生观察并发现它们的对称特点。

通过观察不同角度的平行线相交时形成的角度关系，培养学生的空间想象力。

此外，数学老师还可以通过鼓励学生思考一些奇特的数学问题，比如“无限大是什么意思”、“零的概念是什么”等等，来引导学生发散思维，培养学生的想象力。

二、展示数学的简洁和深邃数学美还体现在数学的简洁和深度上。

在初中数学课堂中，数学老师可以通过引导学生探索数学问题的解决方法，展示数学的简洁性。

比如，通过引导学生用不同方法计算一个简单的加法或乘法，让学生发现到底哪一种方法更简洁有效。

此外，数学老师还可以通过引导学生对一些数学问题进一步思考，深化学生对数学问题的理解。

例如，在探究等差数列的时候，数学老师可以引导学生思考等差数列中每一项之间的关系，从而进一步探讨等差数列的特点和性质。

三、引导学生追求数学的完美数学美还体现在对数学完美的追求上。

在初中数学课堂中，数学老师应该鼓励学生在解决数学问题时，不仅注重答案的正确性，更注重解决方法的完美性。

比如，在解方程的过程中，数学老师可以引导学生提出不同的解法，并探究每一种解法的优缺点，从而培养学生的解题思路和解题方法。

此外，数学老师可以引导学生反思每一步操作的合理性，从而追求数学解法的完美。

四、数学美与实际生活的联系数学美还体现在与实际生活的联系中。

在初中数学课堂中，数学老师可以通过举一些实际的例子来帮助学生理解数学概念和方法，从而将抽象的数学知识与学生的生活联系起来。

数学思想方法讲稿(WORD)

数学思想方法1．学习目标：通过学习，对于人们自觉地掌握正确的数学思想和方法，掌握数学创造的规律与法则以及数学中的重要思想和方法。

并将数学方法论融合于中学数学教学的具体实践，提高中学数学教师的教学水平，解决数学思想方法与中学数学教学实际相脱离的现象。

总之，通过数学思想方法的学习，以提高中学教师的素养。

2．内容介绍：数学思想方法是哲学、方法论和数学史等多门学科的交叉科学，其着眼点在于数学的创新。

它是研究数学发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明等的一门学科。

数学思想方法是高师数学教育专业以及中学数学教师继续教育的主要课程。

该课程主要数学思想方法概论、波利亚数学的启发式、数学化归方法、公理化方法与数学结构主义、数学模型方法与构造方法、数学中的思维方式、数学美和数学发现方法、数学思想方法论与中学数学教学以及它在中学数学教学中的体现。

等内容。

本课程的任务是了解数学思想方法的产生，发展和特点，掌握数学中的典型方法，了解数学的创造法则以及数学运动发展规律，形成正确的数学观，并能自觉地用数学方法论观点去指导数学学习与数学教学，从而提高数学教师驾驶教材之能力。

数学发现的方法。

3．考核或方案：通过学习，了解数学思想方法，并能够解决一些实际问题。

采用考试的方法。

4．重要参考书目：[1] 徐利治著. 数学方法论选讲[M]. 武汉：华中理工学院出版社，1983[2] 肖柏荣，潘娉娇主编. 数学思想方法及其教学示例[M]，南京：江苏教育出版社，2000[3] 张奠宙，过佰祥著.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社，1996[4] 解恩泽，徐本顺主编.数学思想方法，济南：山东教育出版社，1989一、数学思想方法简介1．数学思想与方法1．从词义看：思想是指客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。

2．从哲学角度看，思想的涵义有二：一是与“观念”同义，二是指相对于感性认识的理性认识成果。

3．数学思想：对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的思想观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学问题的指导思想。

数学思想方法

数学思想方法数学思想方法是数学家们为了解决问题而采用的一系列思考方法和策略。

这些方法和策略涉及到逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等方面。

首先，逻辑推理是数学思想方法中的重要组成部分。

在数学中，逻辑推理是通过合乎逻辑的推导和推理来得出结论。

数学家会使用各种推理方法，如直接推理、间接推理、反证法等来证明定理和解决问题。

其次，归纳和演绎也是数学思想方法中常用的推理方法。

归纳是通过观察已有的例子或情况得出一般规律或结论。

数学家通过对特殊情况的研究和总结，逐步提炼出普遍规律。

演绎则是从一般规律出发，通过逻辑推理得出特殊情况或结论。

另外，分类和比较是数学思想方法中一种重要的策略。

数学家通过将问题或对象进行分类，找出其中的共性和差异，进而解决问题。

比较不同的对象或方法，可以更好地理解数学概念和定理，并找到解题的思路。

此外，抽象和具体也是数学思想方法中的关键因素。

数学家常常通过抽象来简化问题，将其转化为更容易处理的形式。

同时，数学家也会通过具体的例子或实验来验证和巩固理论和结论。

还有，观察和实验也是数学思想方法中的重要环节。

观察可以帮助数学家发现问题的特征和规律，实验则可以验证和验证数学家的猜想和推论。

最后，模型和推广是数学思想方法中的重要策略。

数学家经常使用模型来描述和分析现实世界中的问题，从而得到理论和结论。

然后，数学家还会尝试将已有的理论和结论推广到更一般的情况，以便解决更复杂的问题。

总之，数学思想方法包括逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等多个方面。

这些方法和策略有助于数学家解决问题、发现规律和推导定理。

数学思想方法讲座-张晶

形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩思想、方法的一次次良机。
如初中数学《有理数》这一章中关于“有理数大小的比较”，对它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总
比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负
可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如在教学
同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。
二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用
（一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力
所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问
是科学世界观在数学中的体现，是最重要的数学思想之一，不仅可以培养学生的科学意
识，而且可以提高学生的观察能力、探索能力和分析解决问题的能力。
（二）渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力恩格斯曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。而“数”和 “形”是数学中两个最基本的概念。“数”是数量关系的体现，而“形”则是空间形式的体现。它们两者既有对立的一面，又有统一的一面。我们在研究数量关系时，有
在初中数学教学中，常见的数学思想有：转化思想、方程思想、数形结合思想、分

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想初中数学课堂是培养学生数学思维和兴趣的重要环节，也是让学生感受到数学美的场所。

数学美指的是数学的优雅、简洁、深邃等方面，它是一种抽象思维的艺术。

本文将从数学课堂内容、教学方法和学生参与等方面，探讨如何体现数学美的思想。

一、数学课堂内容的体现1.整体性思维。

数学是一个系统的学科，数学课堂应该展示出数学的整体性。

教师可以通过引导学生解决复杂问题、进行整体思考，让学生从整个数学体系中感受到数学的完整性和美感。

2.抽象思维。

数学课堂强调培养学生的抽象思维能力，教师可以通过举一反三的例子，引导学生从具体的问题中发现普遍规律，从而提高学生的抽象思维水平。

例如，在讲解数列时，教师可以通过一个具体的数列例子，引导学生找到通项公式，并使用通项公式计算其他项。

3.空间思维。

数学课堂也应该体现空间思维，培养学生的几何直觉和想象力。

例如，在讲解三角形的面积时，教师可以引导学生通过剪纸、折纸等活动，感受到几何形状的美感和规律。

4.逻辑思维。

数学是一门基于逻辑的学科，数学课堂的内容应该注重培养学生的逻辑思维能力。

教师可以通过解决数学问题的过程，引导学生形成清晰的逻辑链条，培养学生的逻辑推理和分析能力。

二、数学教学方法的体现1.激发兴趣。

数学美的体现需要学生对数学产生兴趣。

教师可以运用启发性问题、趣味游戏等方式，激发学生的学习兴趣，让他们主动参与到数学活动中。

2.开放性问题。

数学课堂应该注重引导学生进行探究学习，而不是简单地灌输知识。

教师可以提出开放性问题，让学生自由思考，寻找多种解决路径和方法，从而培养学生的创新意识和解决问题的能力。

3.学以致用。

数学是一门应用广泛的学科，数学课堂应该将知识与实际生活相结合。

教师可以通过实际问题的引入，让学生明确数学知识与日常生活和实际问题的联系，培养学生将抽象概念应用于实际的能力。

三、学生参与的体现1.合作学习。

数学课堂可以采用小组合作学习的方式，让学生相互合作、交流，共同解决问题。

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想一、引言数学，作为一门科学，常常被描述为一种冷漠的、严谨的、精确的学科。

然而，在初中数学课堂中，数学美的思想也应当得以体现。

数学美是指在数学的严谨性、逻辑性、美感和审美意识等方面的一种审美追求。

本文将从教学内容、教学方法、教学环境三个方面来探讨如何在初中数学课堂中体现数学美的思想。

二、教学内容中的数学美1.数学定理的证明在初中数学中，教师常常以公式、定理的形式讲解知识点。

然而，在课堂上仅仅告诉学生一个定理是不能真正体验到数学美的。

因此，针对一些重要的定理，教师可以带领学生一起进行证明。

通过证明过程，学生不仅能够理解和记忆定理，更能深刻感受到数学世界的美妙和奇妙。

例如，在初中代数中，有一个重要的定理是二项式定理，即(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+ab^(n-1)+b^n。

教师可以和学生一起探讨这个定理的证明过程，启发学生发现其中的规律，并引导学生使用归纳法或图形法进行推理和证明。

通过这样的学习过程，学生将会对二项式定理有更深入的理解和感悟，同时也能感受到证明过程中的美感。

2.数学中的对称性对称是数学美的重要体现之一。

在初中数学中，教师可以引导学生观察和发现数学中的对称性，通过绘制图形、解决问题等方式，让学生感受到对称的美。

例如，在初中几何中，学生学习了正方形的性质。

教师可以通过对称性讲解正方形的对角线相等、内角度数为90度等特点。

同时，教师可以引导学生通过绘制图形来观察和验证这些定理，进一步加深对正方形及其对称性的理解，并让学生欣赏正方形对称性所体现出的美感。

三、教学方法中的数学美1.启发式教学启发式教学是一种通过引导学生独立探索和解决问题的教学方法。

在初中数学课堂中，采用启发式教学方法可以鼓励学生主动思考和探索，培养学生的数学思维和创造力，也能体现数学美的思想。

例如，在初中代数中，学生学习了分式的概念和运算规则。

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想

浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想初中数学作为一门深受学生们热爱和厌恶的科目，在教学过程中如何体现数学美的思想，是一个需要我们思考和探讨的问题。

数学作为一种独特而神奇的语言，其本身就具有着无穷无尽的美感。

因此，在初中数学的教学中，如果能够恰当地体现出数学美的思想，就能够更好地吸引学生的兴趣，使他们更加愿意投入到学习中来。

首先，初中数学中的美学表现在它独特的逻辑表达方式上。

数学不是单纯的算术，更是一种用符号和公式表达的逻辑体系。

通过思考，观察和发现规律，可以建立出能够描述自然现象的数学模型。

从而把复杂的现实问题转化为符号、数量和公式，这种思考方式和运用数学语言的能力，正是数学美的思想所体现的。

在数学课堂上，教师可以通过举一反三的方式，引导学生深入思考，从而激发他们的兴趣。

其次，初中数学中的数学美表现在其各种运算符号和符号的几何意义上。

例如，加减乘除符号之间互相依存，相互统一、相互转换，这种凝练和简化了的符号，本身就是一种天然的美。

在解题的过程中，在数轴上画出图形，将未知数的意义转化为几何意义，从而更形象地表达数学概念和运算符号之间的关系。

在一些抽象的概念上，教师也可以运用类比、比喻等手段，使学生更易于理解和掌握。

再次，在初中数学教学中，还可以通过运用数学中的分类、排列等方式，来体现数学美的思想。

这些方法往往能够在一定程度上激发学生的兴趣。

“分类”就是将一堆东西根据某种规则或特征，分成若干组。

通过分类，可以归纳总结同类型的事物，发现其本质和共性。

同时，分类法也能够帮助学生更好地理解和掌握一些数学概念。

除此之外，“排列”也是数学美的一种表现形式。

排列是数学中一种基本的概念，指的是从一组元素中，按照规定的顺序选取若干个元素并排列，记作Anm。

排列不仅能够帮助学生理解数学，而且也是一种针对学生的职业规划和创意思维的锻炼方式。

最后，初中数学中的美学表现还可以通过其严谨的论证方法来展现。

数学研究常常伴随着推理和证明，从而达到一种结论，这种过程在数学教学中也同样重要。

名师讲座陈忠怀数学数思想方法说(2)

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 名师讲座陈忠怀数学数思想方法说(2) 数学月刊二月号陈忠怀以退为进走是策略高考数学思想方法之（ 2）在本文中，将多次牵涉到难题这个概念.但是。

从逻辑上讲，难题并不能构成一个集合.所以，在本文中，我们特别将难题定义为：对多数考生而言，难于用简单、直接的方法迅速破解的题.这样，一些小题不小的题，我们也称之为难题 . 数学解题中遇到难题怎么办？基本对策是：以退为进. 以退为进. 的实质是转移或转换. 考场上遇到难题，如同战场上遇到强敌.应该打得赢就打，打不赢就走.（毛泽东语）打是为了消灭敌人，而走的目的，既是为了保全自己，又是为了更有效的消灭敌人.这种思想完全应该而且能够移植到考场上. 在具体操作上，有如下几种走法. （1）一般不易，走特殊路我在上一篇文章中讲到：一个问题在普遍意义上难以认识辨别与掌握，在特殊情况下往往清楚明白. 既如此，我们解题时，何不以退为进，由一般退到特殊呢？用这种特殊化思想去解那些小题不小的题是特别优质而且高效的，这种退法是一切退法中的首选. 【例 1】函数()xxy=13321的反函数是（）A.) 3(log23+=xxy B) 3(log23=xxy C. ) 3(log23++=xxy D. ) 3(log23+=xxy 【解析】∵（0， -1）在原函数的图象上，（-1， 0）1 / 17在其反函数的图象上.但是（-1，0）不适合 A、 B、 D，（x=-1 时，它们没有意义）故选 C. x【例 2】如方程122=+qyp表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（） A.1222=++qyqpx B.1222=++qyqpx C.1222=++pyqpxD. 1222=++pyqpx 【解析】取1== qp，则双曲线为122= xy，其焦点 () 2, 0F.而此时 A、 B、D 轨迹都不存在，故选 C. 【例 3】（06.辽宁卷 10 题）直线 y=2k与曲线xkyxk2222189=+（kR 且 k0）的公共点的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】不妨取 k=1，有：xyx18922=+，即()19122=+yx. 如图，直线 y=2 与双椭圆有 4 个不同的交点.故选 D. 【例 4】（06 全国一卷 22 题）设数列{ }n a的前 n 项和32231341+=+nnnaS，（1）求首项1a 和通项n a ；（2）设，证明：=n【分析】高中数学只讲过两种特殊数列等差数列和等比数列.本题牵涉的数列显然既非等差，又非等比.但高考命题必须源于课本，高于课本.所以我们有理由相信，这道题一定与特殊数列有关.所以我们的思考方向，就是考察它是一种什么样的特殊数列的变种. 【解析】（1）32231342111+==aSa，. 2323111==aa由+=+=+ 得：( ) 1241nnnaa+= （由（1）式看到，如果没有n2 ，这个数---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------3 / 17列已经是等比数列；现在多了这个n2 ，我们的思考方向就是构造新的数列，使之成为等比数列.而构造的基本方法则是待定系数法） .令()11242=nnnnaa ，化简得：( ) 2241nnnaa= 比较（1）与（2）知1=.于是， {}42 是首项与公比均为nn a +的等比数列.nnna42 =+，故所求数列的通项为：nnna24 =，其中首项21=a 也适合. （ 2）将nnna24 =代入条件式得：()()[(])()()()于是：===+=+=++++++1211121231212223122123122323132231243411211nnnnnnnnnnnnnnTS .231211123121112112112112112123【评注】（2）问的证明中使用了拆项法，这也是特殊数列求和方法的一种推广. （2）纵深不易，回归源头这里先给大家讲一个考场故事.1977 年我国首次恢复高考.数学考题一共才有 5 道，其中一道是：求 tan22.5゜之值. 在 30 年后的今天来看，这道题是再简单不过了，可是那时多数考生甚至没有上过一天高中的课，这道题比较正规的解法是利用半角的正切公式，而这个公式在初中课本上绝对找不到. 尽管如此，阅卷的老师还是发现了奇迹，这就是流传已经十分广泛的下述解法，只是许多人都不清楚这个解法原来来自 1977 年的一名考生. 【解析】如下图，△ ABC中ACB=90゜，且 AC=BC，设 AC=BC=1，则 AB= 2 ， BAC =45゜，延长 CA 到 D，使 AD=AB，连 BD，则BDC=22.5゜. 于是 tan22.5゜=12121=+=DCCB 当时，这种解法的确叫人耳目一新，它充分说明一个道理：有时候最原始的方法，恰恰是最好的方法.以下再看数例：【例 5】已知圆 ()4322=+yx和直线y=mx 交于 P、 Q 两点则OQOP 的值为（） 10.5 .15.1 .A22DCmBm++ 【解析】容易求出点 A、 B 的坐标分别是：A（1， 0） B（5， 0） .由平几知识：= OQOP = OBOA15=5. 故选 C. 【反思】本题若正而八经地用解析法做，工作量会至少增加几倍？【例 6】 AB 是抛物线2xy =的一条弦，若 AB 的中点到 x 轴的距离为 2，则弦 AB 长度的最大值是【解析】抛物线的焦点为41, 0F，准线是41:=yl 连结 FA， FB，作 AA l 于 A ， .作 BB l 于 B ，MM l于 M 那么【评注】本题如果不是回归定义，并借助原始三角形边角关系，其解法又何其难也. 2x【例 7】双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 M， N； A， B 分别为21FMF∆，21FNF∆的内心，当,29=ABMN 倾斜角的正弦值为98，且离心率 e=2 时，求双曲线的方程. 【分析】本题条件虽多，可---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------5 / 17由于其中有许多人不很熟悉的内心，所以感到无从下手. 如果用解析法，最容易想到的是利用三角形内角平分线的性质，可是由于牵涉到的参变量太多而难以找到突破口. 在这种情况下分析题中的数据是有好处的. 为什么一个数据是,29=AB 而另一个则是98？这两者的乘积为整数 4，比较合理的想法是sinAB=4. 因而想到退，退到原始的平面几何中去寻找突破口. 【解析】如下图，由于双曲线的离心率e=2，故 c=2a. 两焦点分别为 F1（-2a ， 0），F2 （2a ，0） . 设圆 A 分别切21FMF ∆各边于 D ，E ， G ，并设：,,22yMEMDxGFDF==== XyOMNF1F2ABzGFEF==11，又设rMF=2，则raMF+= 21于是有：2 我们发现，计算的结果与 r 无关. 这说明点 G 即是双曲线的右顶点. 同理，21FNF ∆的内切圆亦与 x 轴切于双曲线的右顶点.或者说， A ， G ， B 三点一定共线. 设直线 MN 的倾斜角为，连结 ABCD ，则四边形 ABCD 是直角梯形， AB 为其斜腰且由 AGF2=GF2D=90゜知 GAO= . 于是49829sin2====ABxCD ，即2a=4， a=2，从而 c=4， b=1222= ac. 所求双曲线的方程为：112422=yx. 【评注】据说本题是 80 年代的一道竞赛题，而且不过是一道填空题. 那么以上的解法是过于繁琐的了. 不过既是竞赛题又是填空题，以上的许多中间过程都可不写. 参与竞赛的学生应当一目了然地看出关系式49829sin2====ABxCD. 假如考生还记得如下的定理：设 P 为双曲线上一点（不同于顶点），而 F1， F2是该双曲线的两个焦点， I 为△P F1F2的内心，则I 在实轴上的射影必是双曲线的一个顶点. 那么解题速度就更快了. 后积才能薄发. 没有平时深后的基础知识积累，在考场上是不可能有上乘的表现的. （3）抽象难啃，以形配数. 【例8】（05.湖北卷， 6 题）在xyxyxyyx2cos,,log,222====这四个函数中，当时，使 ()()221xfxf+恒成立的函数的个数是（） A， 0 B， 1 C， 2 D，3 【分析】本题牵涉到四个不同的函数，用常规方法逐一计算判断则工程浩繁决不可取. 因而想到退，由抽象退到具体，由数退到形. 运用函数的凹凸知识来解决. 如图当221210xyyxxx==与时，是下凹的，不满足，内，内上凸，但在，在=14402cosxy下凹，当时，(-2a,0)1F不是恒成立，只有xy2log=的图象始终上凸，也就是说：当时，使恒成立的函数只有xy2log=一个，选 B. 【评注】从图象上容易看出，上凸的函数都满足+，而下---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 凹的函数都满足仅根据这一点，就可以轻松破题，这就是由抽象退到具体的优越性. 【例 9】（04. 重庆卷， 16 题）对任意实数 k，直线 kxy+=b与椭圆恒有公共点，则 b 的取值范围是【解析】椭圆的标准方程是：()()( ) 111614322=+yx 在方程（1）中，命, 0=x得 ()(), 41. 11614322==+yy 解得1=y，或 3. 如图，当[] 3 , 1b时，无论直线的斜率k 取什么实数，该直线必通过以 A（0， 3）， B（0，-1）为端点的线段 AB 上一点，而线段 AB 是椭圆（1）的弦. 这就是说，当[] 3 , 1b时，直线 bkxy+=恒过椭圆（1）内或上一点，因而与椭圆恒有公共点. [] 3 , 1b. 【评注】本题如果用纯解析法去做，其计算量不知要大多少倍，问题抽象，退而求形. 的威力可见一斑. 【例10】已知集合23,axyyxA， ()()(){}3011,2=+=yaxayxB，若 A B=，求实数 a 的值. 【分析】表面上看，这是一道代数的题.可是你若用纯代数的方法去做又何其难也.可是我们若给出题中的两个集合的几何解释，不难看出问题的实质是考察两条直线平行的条件. 因而有如下比较轻松的解法：【解析】 A B=的含义是：直线((平行.当a=1 时，)1()( )( ) 2)()03011201912=+=+yax+axayxa与 ( )( )20300121==yx 显然7 / 17（2）恒不成立，此时B=，从而 A B=；当a=-1 时，( )( )21531==yy ，显然两直线平行，亦有 A B=. 当 a1 时，由于两方程中 x，XYO121A(B(0,-1 )1 , 3Cy 的系数不成比例，即11112+aaa，两直线恒不平行. 但由于直线（1）中 x2，不含点（2，3），将点（2， 3）代入方程（2），得527035322==+或aaa. 于是所求实数 a 的值是 1， -1，27， -5. （4）正面难攻，反面去求在战争中，一切高明的军事家总是提倡攻其无备，避实击虚的.考场上也一样，正难则反往往是破题的良策. 【例 11】已知函数( )cbxaxxf++=2满足0=. ++cba且求证：【分析】本题直接由条件推证结论比较难于下手，而证明结论的反面不成立则相对容易. 故采用反证法证之. 【证明】由0=++cba及，知将0=++cba两边同除以正数a ，得：abacacab==++101. 假定2ac，即21ab，则abab1，这与的条件矛盾. 假定21ac，即211ab，则从而cb ，这又与的条件矛盾. 1都不能成立，故于是2a，2a必有【评注】 1.凡命题都有题设（即已知条件）和题断（即待定结论），通过推倒题断反面而达到肯定题断正面的证题方法称之为反证法.反证法证题的步骤是：反设：即假定题设反面为真； (2)归谬：即通过正确的推理引出矛盾； (3)结论：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 追究产生矛盾原因，必为反设之不当，从而推倒反面，肯定正面. 【例12】设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明{cn}不是等比数列. 【证明】设等比数列{an},{bn} 的公比分别为P,q,且Pq, 假定cn=an+bn为等比数列,则必3122ccc=,即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3) 133131312222222bababbaabbaa+++=++,∵133122312231222,,babababbbaaa+===, 即：2a1b1pq=a1b1(p2+q2),(p－q)2=0, p=q. 这与题设 pq 矛盾, {cn}不是等比数列. 【评注】本例选自 2019 年全国高考试题，其解法也是典型的正难则反 .就本题而言，很容易通过举反例验证：设数列{an}：1,1,1,1,,1,1,1, {bn}：1,－1,1,－1,,1,－1,1, 显然{an}是首项与公比均为 1 的等比数列，{bn}是首项为 1，公比为－1 的等比数列.但数列{an+bn} ：2,0,2,0,,2,0,，不是等比数列，故原命题正确. 但需注意：这种证明方法是不完整，也不彻底的.因为只推翻了个别，而没有否定所有 .虽然推翻一个命题（或证否定式命题），举出一个反例足够；但证明一个命题举多少个例子均不足以达到论证目的，还是应从理论上进行逻辑推证. 【例 1 3】求证：抛物线没有渐近线. 【分析】二次曲线中仅有双曲线有渐近9 / 17线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线. 抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？退到反面去，正难反求，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？【证明】不妨设抛物线方程为 y2=2px.假定此抛物线有渐近线y=kx+b,∵ x=py22,代入直线方程，化简得：ky2－2py+2Pb=0. ① 可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程①有实根 y0, 那么， y0,或01y0,令y1=y ,方程①化为：2pby方程②应有唯一的零根,y =0 代入②得：k=0. 于是抛物线的渐近线应为 y=b.这是不可能的，因为任意一条与 x 轴平行的直线 y=b,2－2py +k=0 ② 都和抛物线有唯一公共点(pb22,b),因而 y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线. 5.空间难办，平面去溜空间几何是在平面几何的基础上建立和发展起来的. 解空间几何问题的基本方向是：空间问题平面化【例 14】（05 湖北卷 10 题）如图，在三棱柱 ABC-A B C 中，点 E、 F、 H、 K 分别为,,,AC CB A B BC 的中点， G 为△ABC的重心，从 K， H， G， B 中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面PEF 平行，则P 为（） A. K B. H---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ C. G D. B 【解析】如图，过 G、 E、 F 作三棱柱的截面 PQMN，由于 G 为△ABC 的重心，且MN∥AB，故 M、 N 必不是 AC、 AB 的中点，而 E、 F分别是侧面 AA1C1C、 BB1C1C 的中心，故四边形MNPQ 是梯形而非平行四边形，因之该棱柱恰有二条棱 AB、 A1B1 与平面 PEF 平行，故选 C. 【评注】空间问题的基础在于平面. 正是注意到三角形重心的性质特点，才有如上优质高效的解题速度，否则按部就班地逐一分析鉴别，很可能陷入欲进不得，欲罢不忍的两难境地. 【例 15】（04 全国 4 卷 20 题）三棱锥PABC 中， PA=PB=PC=3. （1）求证：ABBC；（2）设 AB=BC32=，求 AC 与平面 PBC 所成角的大小. 【解析】（1）取 AE 中点 M，连 PM，EM.∵侧面 PAC 与底面 ABC 垂直， PM面 ABC.已知 PA=PB=PC， MA=MB=MC. 由平面几何知识，△ABC 中ABC=90゜， ABBC. （2） M 为 AC 中点且PA=PC， PMAC，又知 BA=BC， BMAC，从而 AC平面PMB. 作 MNPB，连 CN， Y 由三垂线定理， PB CN， PB面 CMN，平面 PBC平面 CMN，MCN 是直线 AC 与平面 PBC 所成角，易求1==BMACCM=3, 62=PM，PB=3，2363===PBBMPMMN，于是 tanMCN=3362==CMMN， MCN=30゜，即 AC 与平面 PBC 所成角的大小为 30゜. 【评注】从本例的解析过程可以看出，除了必须用到的几个空间概念和定理外，其余全是平面几何的有关计算. 6. 逢无穷题，走有穷路. 自从接触高中数学，所有学生都会接触到一个怪物无穷大! 无穷大是什么？是可11 / 17望而不可求的无法计程的太空，是可以想象但实际无法到达的数学之神的领地，无穷大不是一个具体的数，它比任何人所能想象得到的大数还要大得多，在无穷大的领域里，你不能比较它的一半或它的两倍的大小；它们实际上一样大！由于无穷大具有这种怪僻的性质，所以处理起来会十分困难，怎么办？还是退，先从无限退到有限，摸清规律，再返回无限. 【例16】数列中，78是这个数列的第几项？【分析】这个数列虽然是无穷数列，但8之前只有有限多项. 尽管如此，不准确是数7摸清这个数列的规律，也是难以探明它的位置的. 对这个数列，我们应从如下两个方面认识：（1）这个数列除第一项外，其他各项都是由 1， 2， n，组成的分数. 分子由 1 逐渐递增到 n，而分母则由 n 逐渐递减到 1. 例如由数字 1， 2， 3， 4 组成的分数有四个：.14,23,32,41由此还可知道，由数字 1， 2， n组成的分数有n 个. （2）每一组分数中，分子与分母两数字之和是一个比 n 大1 的常数.例如14,23,32,41这四个分数，分子与分母两数字之和是比 4 大 1 的数，也就是 5. 弄清楚了这两点，以下的解法便是轻而易举的事. 【解析】由数字 1， 2， n 组成的分数3,1nnn的分子与分母两数字之和都是 n+1. 8的分子与分母两数字之和是 15，所以有 n 个：这 n 个分数7它属于由数字 1， 2， 3， 14 所组成的分数之中的第 8 个. 而前面各组共有 1+2+3++13=91 个分---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------13 / 17数，故7列中的第 91+8=99 项. 8是这个数【例 17】设 n 为正整数，规定个nxffxf=. 已知，求 982008f 的值.【分析】面对题目中这种无穷的架势，你大可不必惊慌，任何无穷都是从有限开始的，唯一的办法是从无穷推到有限，老老实实地从 1 做起. 【解析】 ∵[ ]92981298, 1 ,； ∵[, 1 ,； ∵(2 ,； ∵[, 1 , ； . 可见，由个=当 n=1， 2，3，时，其函数值组成的数列是周期数列，其周期为 4，每一个周期的数依次为：8,99995,14,2. 由于 2008 恰为 4 的倍数，故【例 18】如图， n2（n4）个正数排成n 行 n 列方阵，其中每一行的数组成等差数列，每一列的数组成等比数列，并且所有公比都相等，设163,81, 1434224===aaa. ,,,,,,,,,,,,,,,,4321444434241334333231224232221114131211（1）求公比 q 的值；（2）求() nkak11的值；（3）求的值. 【解析】先将已知条件代入方阵之中，得1 ,,,,,,,4321444413333231224232221 （1）∵44,163,81a成等差数列， 4181163244==a；∵数阵中各列数成等比数列，且所有公比都相等，设这个公比为 q，则 411222444===qqaa，又数阵中各数均为正数，故所求公比21=q. （2）∵23, 2211343132414=====qaaqaa，等差数列{}na1的公差211314==aad，从而2121311==daa，于是 ()()nkkkak1=+=12121121. （3）根据（2）：kak1 =21，且各列数都是公比为21的等比数列的特点，重新列出数阵是：nnnnnnn8n4n22,224,213,22,21,,84,83,82,81,,44,43,42,41,,24,2可知以下用错项相减法容易求出：nnnnS2221=+. 【评注】解任何一个较难的问题，其过程都是逐步明朗化的. 这是因为前面的结论又成为后面的条件，解题人正应该善于利用这些条件，使解题的思路越来越宽阔，最终达到完全、正确解题的目的. 【例 1 9】计算机中用的是二进制数，只用两个数码：0 和 1，如：二进制数中110101=1 25+1 24+0 23+1 22+0 21+120=53.在制造---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 电子计算机时，每个数码要用一个设备，如果用 n 进制，每一位有 n 个数码，在计算机中要表示 m 位 n 进制数就要用mn 个设备，设计算机能表示的最大数为 M（使用数制为 n,n2）时，设备量为如果在机器中要表示 m 位 n 进制数，试写出 M,m,n 的关系式把 G（n）看作 n 的函数， M 作为常数，写出这个函数式. (Ⅲ)计算 G（2）， G（3）， G（4）， G（5）各等于多少个 lg（M+1）.(lg2=0.3,lg3=0.48). (Ⅳ)当 M 给定，选取 n 为多少时，才能使设备总量 G 最少？证明你的结论. 【思考】在 n 进制中， n 是几？可以是有限的 2， 3， 4也可以任意地大，即不存在最大.在无限大的 n 进制中去分析规律显然是困难的，那么就先退到有限，把有限的规律弄清了，再推广到无限，即是顺理成章的事. 二进制是逢 2 进 1，因此只须两个数码0和 1，其中二进制 110101 为什么表示53？2的21=2;22=4;23=8;24=16;25=32;而 53＝32＋16＋4＋1＝125+1 24+023+1 22+021+120.把所有 2 的幂去掉，即成为 110101. 仿此，三进制是逢 3 进 1 需用三个数码0， 1 和 2.例如用三进制表示十进制中的1000将是多30=1;31=3;32=9;33=27; 36=729,，而 1000＝729＋243＋27＋1＝1 36+1 35+0 34+133+032+0 31+130.去掉所有 3 的幂，那么十进制中的 1000 用三进制表示是1101001，同理，十进制中的100 用 3 进制表示则为 10201. 如此类推，可知 n 进制是逢 n 进1，需要 0， 1， 2， n－1 共（n－1）个数码. 原来幂依次为少？15 / 17由于此外，含五位的二进制数中，最大数为11111，表示十进制中的数 31；含五位的三进制中，最大数为 22222，由于（22222）3＝234+2 33+2 30=2(81+27+9+3+1)=242,故表示十进制中的数 242，于是 n 进制最大五位数应表示十进制中的数（n－1）n4+(n－1)n3+(n－1)n2+(n－1) n1+(n－【解答】（1） n 进制是逢 n 进 1，所以每一位的最高数是 n－1;即是表示最大数.则每一位上的数字都是 n－1，于是 M=（n－1） nm－1+(n－1) nm－2++ 32+2 31+2 (n－1) n0=(n－1)nnm11=nm－而 nm=M+1, m=logn(M+1).∵G(n)=nnMnnMlg) 1+lg(lg) 1+lg(=.(3)G(2)=lg(M+1)) 1+lg(3 . 022lg2=M1+lg(48. 033lg3=M =6.25lg(M+1) G(4)=lg(M+1)) 1+lg(3 . 0244lg4=M =6.7lg(M+1) G(5)=) 1+lg(7 . 05) 1+lg(2lg15) 1+lg(5lg5==MMM =7.1lg(M+1) (4)n=2,3,4,5 时，如（3）已验证 G （3）最小，当n5 时，设h(x)=xxlg, 则h (x)=xexxexxx22lglglglg1lg=. ∵ x5, h (x)0.故 h(x)在 [增函数，h(x)h(5).从而 G(n)=lg(M+1) )+, 5上为nnlgG(5). 综上所述，当n=3 时，可使设备总量 G 最小. 【小结】对待数学高难题的基本策略是以退为进，因为题难，不充分熟悉题设环境，进入解题角色，制定解题对策，就不能攻克难题，所以当你面对难题，一时束手无策时，必须退，具体地说，有如下几种退法：（1）由一般退到特殊；（2）由纵深退到原始；（3）由抽象退到具体；（4）由正面退到反面；（5）由空间退到平面； (6)---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 由无穷退到有限; 退的目的是为了寻求规律，找出破题良策，一句话，退是为了进，否则便失去了退的意义这正是：一般不易，走特殊路纵深不易，回归源头抽象难啃，以形配数. 难正面攻，常反面求空间难办，平面去溜逢无穷题，走有穷路灵活机动，战机常有以退为进，走也风流.17 / 17。

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