高中数学解题方法系列：三角函数中根据图象求解析式的几种方法

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三角函数求解析式技巧

三角函数求解析式技巧求解析式是指将一个三角函数用一个数学表达式来表示，使得对于给定的自变量值，可以得到函数的具体值。

在数学领域中，有一些常见的技巧可以用来求解三角函数的解析式。

1. 基本关系式：三角函数有着一些基本的关系式，例如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1，用于正弦函数和余弦函数的平方和的关系；tan(x) = sin(x)/cos(x)，用于正切函数和正弦函数、余弦函数的关系等。

2. 奇偶性：根据函数的奇偶性可以简化三角函数的解析式。

例如：正弦函数sin(x)是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数cos(x)是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数tan(x)是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。

3. 三角恒等式：三角恒等式是用于描述三角函数之间的等式关系的公式。

其中最常见的三角恒等式包括：和差公式：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)化简同角三角函数：tan(a) = sin(a)/cos(a)cot(a) = cos(a)/sin(a)4. 双曲函数：双曲函数是与三角函数非常相关的一类函数。

其中最常见的双曲函数包括：双曲正弦函数sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)5. 泰勒级数展开：泰勒级数展开是一种通过多项式逼近三角函数的技巧。

泰勒级数展开将一个函数表示为无穷级数的形式，从而可以通过截断级数来获得函数的近似解析式。

例如，正弦函数的泰勒级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...6. 几何关系：三角函数与几何图形之间存在着密切的关系，通过观察几何图形可以得到一些三角函数的性质。

由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)

图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考

高中函数解析式的七种求法

高中函数解析式的七种求法函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1设是一次函数，且，求解：设，则二、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。

例2已知，求的解析式解：，三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知，求解：令，则，四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为关于点的对称点则，解得：，点在上把代入得：整理得五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5设求解①显然将换成，得：②解①②联立的方程组，得：例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式解为偶函数，为奇函数，又①，用替换得：即②解①②联立的方程组，得，六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求解对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有再令得函数解析式为：七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数都有，求解，不妨令，得：，又①分别令①式中的得：将上述各式相加得：，。

高中数学解题方法系列：三角函数中根据图象求解析式的几种方法

高中数学解题方法系列：三角函数中根据图象求解析式的几种方法已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．二、 ω值的确定方法：方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝Tπ2求得ω的值．方法２：“特殊点坐标法”。

特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。

在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．三、 φ值的确定方法：方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。

方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．XY 220 8π83π87π方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得．例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2π)的图象，那么正确的是（）Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6πＣ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6π, 解：可用“筛选选项法”．题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0 排除B 和D ，由A,C 知φ＝6π； ω值的确定可用“关键点对等法”，图1因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点， ∴ω·1211π+6π＝2π 解得ω＝２，故选C ．例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段, （A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2π））,求该函数的解析式．解法一：观察图象易得A ＝2,∴T ＝2×（87π-83π）＝π，∴ω＝ππ2＝2.∴y ＝2sin(2x+φ).1211π1211πx y0 2 -2下面用“关键点对等法”来求出图2φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”）得φ＝4π∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4π)．说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2π求得φ的值；若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（83π，0）在图象上， ∴Asin φ＝2 (1)Asin(2×83π+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)，又φ∈（0，2π)， ∴只有K ＝1，得φ＝4π，代人（1）得A ＝2.∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π)图象上的一部分如图3所示，则必定有（）(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π（D ）K ＝-2解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2 下面用“解方程组法”求φ与ω的值. ∵图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ142xy2=2sin(-6πω+φ)+2解得ω＝2，φ＝3π故选C.例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2π)图象的一段，求这个函数的解析式．解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ)下面用“特殊点坐标法”求φ，∵ 图象过点（1，2）∴2＝2sin(3π×1+φ)，又 φ ＜2π图４∴只有φ＝6π ∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π).说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3π×1+φ＝2π 或3π×4+φ＝23π等均可求得φ的值．。

求三角函数解析式方法总结超全面

求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。

由三角函数图像确定解析式的种种思路

由三角函数图像确定解析式的种种思路
王琪
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2004(000)003
【摘要】@@ 在三角函数学习过程中,经常会遇到给定一段图像确定三角函数解析式的问题,这类问题主要用"五点作图法"来确定其中的系数,其中A、ω由图像往往比较容易确定,ψ值的确定比较困难,一般用"起始点法"、"最值法"、"待定系数法"等来确定.
【总页数】1页(P3)
【作者】王琪
【作者单位】江苏省盐城中学,224001
【正文语种】中文
【相关文献】
1.根据图像求三角函数解析式的常用方法
2.由图像确定y=Asin（ωx＋ψ）＋k的解析式
3.由y=Asin(ωx+φ)的图像或性质确定解析式引发的思考
4.用"五点法"确定三角函数图象的解析式
5.如何由图像确定y=Asin(wx+φ)+B的解析式
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利用图像求三角函数解析式

y
3
0 -3
x
y
4 1 0 -2
x
3.函数 y A sin(x （A 0， 0） y ) 的部分图像如图所示，则函数解 3 析式为__________
0 -3
4
2
x
内容：合作探究 1. 学习中遇到的疑问; 2.导学案“质疑探究”部分的问题.
要求：（1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。（2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论。（3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
知识要点
1.用“五点法”作函数 y A sin(x ) B（A 0， 0）一个周期的图像时， x 取那些值? y 2.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0），T ，。 3.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0），当 y 取得最大值时，解析式中的 x ；当 y 取得最小值时，解析式中的 x ；当 y= B时， x 。
三角函数图像反三角函数图像三角函数的图像三角函数图像变换三角函数解析式三角函数图像与性质三角函数图像平移研究三角函数的图像三角函数图像ppt三角函数图像对称轴
利用图像求三角函数解析式
数学组
学习目标
1.掌握函数 y A sin(x ) B（A 0， 0）中 A, B, , 与图像的关系。 2.掌握如何利用图像求三角函数的解析式。

8
)

) 4.（2009宁夏海南卷理）已知函数 y sin(x （ 0,- ）的图像如图4所示,则
B. 11 ， - 6
10

C. 2， 6

(完整版)三角函数的常见解法

(完整版)三角函数的常见解法三角函数是数学中一种重要的函数类型，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在解决三角函数的问题时，常常需要采用不同的解法。

本文将介绍三角函数的常见解法。

1. 代数解法代数解法是一种基于代数运算的方法来解决三角函数的问题。

通过运用三角函数的性质和恒等式，我们可以利用代数运算的规律来求解。

例如，在解决三角方程sin(x) = 0时，可以通过运用正弦函数的性质得出解x = 0。

这是因为正弦函数的零点是周期性出现的，其周期为2π，因此解集为{x | x = kπ, k ∈ Z}。

2. 几何解法几何解法是一种基于几何关系的方法来解决三角函数的问题。

通过利用三角函数在几何上的意义和性质，我们可以通过几何图形的分析来求解。

例如，在解决三角方程cos(x) = 1/2时，可以通过考虑单位圆上的点对应的角度来求解。

由于余弦函数表示的是一个点在单位圆上的横坐标，而1/2对应的角度是π/3，因此解集为{x | x = π/3 +2kπ, k ∈ Z}。

3. 三角恒等式的应用三角恒等式是三角函数中一个重要的工具，通过运用三角恒等式，我们可以将复杂的三角函数问题化简为简单的表达式，从而求解问题。

例如，在解决三角方程sin(2x) = √3/2时，可以运用双倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)来化简为2sin(x)cos(x) = √3/2。

然后，运用三角函数的定义sin(x) = √3/2时的解集，即{x | x = π/3 + 2kπ, k ∈ Z}，可以求得原方程的解集。

以上是三角函数的常见解法，包括代数解法、几何解法和三角恒等式的应用。

通过灵活运用这些解法，我们可以解决各种三角函数问题。

在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的解法，可以更高效地求解三角函数的问题。

由图像或性质求三角函数解析式的方法

求三角函数解析式常用的方法三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

现就几道例题谈谈常用的求解方法。

1 利用五点法，逆求函数解析式例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．解:由22y -≤≤，得A=2已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω=把(,2)12π代入，2122ππφ⨯+=得3πϕ=所以y=)32sin(2π+x点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相ϕ。

2 利用图像平移，选准变换过程切入求解例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。

点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入，如本题y=sin 2x 向左平移了6π个单位进行验证化简是求解的关键。

对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ωϕ的影响，注重整体变量观念的应用。

3 特殊化赋值法求解例3设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。

求()y f x =的解析式。

解：对称性特殊赋值切入，8x π=是函数()y f x =的图像的对称轴，()()88f x f x ππ∴+=-令8x π=，则()(0)4f f π=，即sin() =sin cos 2πϕϕϕ+=，tan 1ϕ∴=。

求三角函数解析式的基本方法及练习题

求三角函数解析式的基本方法及练习题介绍三角函数解析式是数学中常见的概念之一，它能帮助我们描述和计算三角函数的值。

本文将介绍三角函数解析式的基本方法，并提供一些练题供读者练。

基本方法正弦函数（sin）正弦函数的解析式为：sin(θ) = 对边长度 / 斜边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。

余弦函数（cos）余弦函数的解析式为：cos(θ) = 邻边长度 / 斜边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。

正切函数（tan）正切函数的解析式为：tan(θ) = 对边长度 / 邻边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，邻边是指与角度θ相邻的边长。

余切函数（cot）余切函数的解析式为：cot(θ) = 邻边长度 / 对边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，对边是指与角度θ相对的边长。

正割函数（sec）正割函数的解析式为：sec(θ) = 斜边长度 / 邻边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，邻边是指与角度θ相邻的边长。

余割函数（csc）余割函数的解析式为：csc(θ) = 斜边长度 / 对边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，对边是指与角度θ相对的边长。

练题1. 求角度为30°时的sin值。

2. 求角度为60°时的cos值。

3. 求角度为45°时的tan值。

4. 求角度为60°时的cot值。

5. 求角度为30°时的sec值。

6. 求角度为45°时的csc值。

答案1. sin(30°) = 1/22. cos(60°) = 1/23. tan(45°) = 14. cot(60°) = 1/√35. sec(30°) = 26. csc(45°) = √2以上为三角函数解析式的基本方法及练习题。

由三角函数的图像求解析式

3知识点归纳：1.利用“五点法”作 y Asin( x )图像，设X x ，令X 0—— 2 ，2 '，2，特征图像上升时与X 轴的交点图像上的“峰点” 图像下降时与X 轴的交点图像上的 “谷点”图像上升时与X 轴的交点XX -X 2X 3X 4 X 5X23 22 Asin( x )0 A 0 A注：i 、2、3、4、5分别为所给图像上的五个关键点(第一个点至第五个点)2.函数y Asin( x ) B 表达式的确定：A( B )由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点(上面的关键点)确定 ① 由图像观察最高点、最低点，y max A B 、y min A B ，解这个关于 A 和B 的二元一次方程组即得 A 和B2② 由图像观察周期，再利用—，求得T【由图像观察周期时，常见形式有：X !与x 5之间是一个周期T ；乂!与x 3、x 2与x 4之间是半个周期T ； x -、X 2、X 3、X 4、X 5中相邻两个之间是四分之一的周期T. 12 4③ 的确定，一般要用图像的关键点来求，但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点，由 y Asin( x)B 的图像求解析式要注意x 和x 之间的对应系如X- 0 , X2 , X3 , X4 -，从而根据以上等式，解出2 23考点确定函数解析式问题例1.⑴若函数y Asin( x)的图像(部分)如下图所示，则和的取值是( )A1,B、31, - C、-,-3 2 6D 1,6⑵已知函数y Asin( x ), x R(其中A 0, 0)的图像在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M 2,2 . 2 ,与x轴在原点右侧的第一个交点为N 6,0 ,则这个函数的解析式是________________ . ___________⑶若函数f (x)2sin( x ) , x R (其中0, 2)的最小正周期是，且f(0)73，则( )11A.•)—B.—2623C.2—D.2,—63例2.⑴某港口水的深度y (米) 是时间t(0 t24,单位：时)的函数，记作y f(t),下经常期观察，y f(t)的曲线可以近似的看成函数y Asin t b的图象，根据以上的数据，可得函数y f(t)的近似表达式为________________ . ___________⑵一个大风车的半径为8m,每12min旋转一周，最低点离地面2m,风车翼片的一个端点P离地面的距离h m与时间t min之间的函数关系式是h Asin t B, t 0时端2）.点P 在点P 0处,则h m 与t min 之间的函数关系式是 ____________________ . __________练习:1.函数 y Asin( x )(A0,0）的图像的两个相邻零点为（，0）和6（,0），且该函数的最大值为 2 2,最小值为一2，则该函数的解析式为（）A 、 y 6) C 、y 3x xB 、y 2sin (2 -)xD y 2sinq -)2. f x Asin x x R , A0, 0, —的图象（部分）如图所f2x 的解A. f x 2 si n X — X6 RB. f x 2sin 2 x — x6 RC. f x 2 sin X — X3 R D. f x 2sin 2 x — x3R析式是的图象与 3.已知函数 f （x ） Asin （ x ）, x R （其中 A 0, 0,0交点中，相邻两个交点之间的距离为一，且图象上一个最低点为222M( ——3 x 轴的x12则f (X )的解析式 _______________ . ________6.函数 y Asin( x ) 0, 才 x R 的部分图象如图所示，则函数表达式为 A. y 4sin( — x —)8 4 B. y 4sin( x )8 4 C. y 4sin( — x —) 8 4 D . y4sin( —x84)7.已知函数y 2sin( x0,2的图像如图所示：那么1 A. 1B . 2 C.-28.已知函数f (x) 2sin( x1 乜知定时t =0时，点A 的坐标是（一，），则当0 t 12时，动点A 的纵坐标y 关于t2 2（单位：秒）的函数关系式是 y si nt ,0,0,则y 关于t 的函数解2析式是 ______________ . ____________9.2y1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转， 12秒旋转一周.已。

求三角函数y=Asin(wx+φ)解析式的五种方法(最全面)

A（振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期）ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．解:由22y -≤≤，得A=2已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π35346124T πππ=-=T π∴=2ω=把(,2)12π代入，2122ππφ⨯+=得3πϕ=所以y=)32sin(2π+x例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，分析：πππ==）（12--1211T 222===πππT w ,因此解析式为)2sin(2ϕ+=x y ，此时取第一个点（0,12-π）代入得012-2=+⨯φπ（（将该点看做正弦函数图像一个周期内的第一个端点0），6πφ=例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==分析：42,8413ππω====-T T T 则，,代入得)4sin(φπ+=x y ，取（1,0）作为正弦函数图像一个周期内的最大值点，令4,214πφπφπ==+⨯则例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。

三角函数解题技巧求解析式

三角函数解题技巧求解析式三角函数是数学中重要的一部分，解题时经常会遇到需要求解三角函数的值或等式的问题。

在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算并得到解析式。

1. 利用特殊角的值：我们可以通过记忆特殊角的正弦、余弦和正切的值，来简化计算。

一些常见的特殊角包括：0度、30度、45度、60度和90度。

比如，sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2， tan(60°)=√3。

2. 多角和差公式：三角函数的多角和差公式可以帮助我们将一个角的三角函数转化为两个角的三角函数，从而更容易进行计算。

常用的公式包括：- sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B- cos(A±B) = cos A cos B ∓ sin A sin B- tan(A±B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)3. 三角函数的平方和差公式：三角函数的平方和差公式可以将一个三角函数的平方转化为两个三角函数的和或差。

常用的公式如下：- sin²A = (1 - cos 2A) / 2- cos²A = (1 + cos 2A) / 2- tan²A = (1 - cos 2A) / (1 + cos 2A)4. 倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式包括：- sin 2A = 2 sin A cos A- cos 2A = cos²A - sin²A = 2 cos²A - 1 = 1 - 2 sin²A- tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan²A)5. 半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式如下：- sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]- cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]- tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]6. 和差化积公式：和差化积公式可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积。

求函数解析式的方法

求函数解析式的方法函数解析式是描述函数规律的数学表达式，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和特点。

在数学学习中，求函数解析式是一个常见的问题，下面将介绍几种方法来求函数解析式。

一、根据函数图像求解析式。

如果已知函数的图像，我们可以通过观察图像的特点来求解析式。

首先，我们可以根据图像的对称性来确定函数的奇偶性，进而确定函数中是否含有偶函数项或奇函数项。

其次，我们可以通过观察图像的零点、极值点和拐点来确定函数的根、极值和拐点的坐标，从而得到函数的具体形式。

最后，我们可以根据图像的增减性和凹凸性来确定函数的增减区间和凹凸区间，进而得到函数的解析式。

二、根据函数性质求解析式。

除了根据函数图像求解析式外，我们还可以根据函数的性质来求解析式。

例如，对于一些特殊的函数，我们可以利用函数的定义和性质来求解析式。

比如，对于指数函数和对数函数，我们可以利用指数和对数的性质来求解析式；对于三角函数，我们可以利用三角函数的周期性和对称性来求解析式；对于反三角函数，我们可以利用反三角函数的定义和性质来求解析式。

通过对函数性质的深入理解，我们可以更加灵活地求解析式。

三、根据函数的已知条件求解析式。

在实际问题中，我们经常遇到需要求解析式的情况。

例如，已知函数过某点、在某点处的导数等条件，我们可以利用这些已知条件来求解析式。

在这种情况下，我们可以利用函数的定义和导数的性质来建立方程组，进而求解析式。

通过分析已知条件，我们可以逐步确定函数的形式，最终得到函数的解析式。

四、利用数学工具求解析式。

除了以上几种方法外，我们还可以利用数学工具来求解析式。

例如，利用泰勒级数展开、利用微积分的方法等。

这些方法虽然有一定的复杂性，但在一些特殊的情况下可以更快更准确地求解析式。

总结：求函数解析式的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解析式。

在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来求解析式，这就需要我们对函数的性质和数学工具有深入的理解。

解题技巧如何巧妙解决三角函数的解析式问题

解题技巧如何巧妙解决三角函数的解析式问题在解决三角函数的解析式问题时，有一些技巧可以帮助我们更加巧妙地解题。

通过理解三角函数的性质和运用一些特殊的数学方法，我们能够简化问题、节省时间，并提高解题能力。

本文将介绍一些解题技巧，帮助读者更好地解决三角函数的解析式问题。

技巧一：熟悉基本的三角函数性质在解析式问题中，我们需要熟悉并灵活运用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质。

例如，我们可以利用正弦函数的周期性、对称性以及余弦函数的偶函数性质来简化问题。

另外，要了解三角函数在特定区间内的取值范围，这将有助于我们找到解析式的所有解。

技巧二：运用和差化积公式和差化积公式是解决三角函数解析式问题的重要工具。

通过将三角函数表达式展开为和差形式，我们能够将原问题转化为更简单的形式，从而有助于求解。

掌握好这些公式，我们可以准确地将一个复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式。

技巧三：利用等式变换与化简等式变换和化简也是解决三角函数解析式问题的常用技巧之一。

我们可以通过利用三角函数的恒等式和基本的代数运算，对复杂的表达式进行化简。

这样做不仅能够简化计算过程，还能帮助我们更好地理解问题的本质。

技巧四：利用图像与几何关系图像与几何关系也是解决三角函数解析式问题的一种常用方法。

通过观察三角函数图像的特点，我们可以获得有关函数的更多信息，进而求解解析式问题。

此外，我们还可以通过利用三角函数与几何图形之间的关系，将问题转化为几何问题，从而更容易求解。

技巧五：结合数值计算与近似对于一些复杂的三角函数解析式问题，我们可以考虑结合数值计算与近似的方法来求解。

通过利用计算工具或数值方法，我们可以近似地求解出问题的解析式。

这种方法在实际问题中有广泛的应用，特别是当解析解难以求得时，可以作为一种有效的解题手段。

通过掌握这些解题技巧，我们能够更加巧妙地解决三角函数的解析式问题。

无论是在学习还是实际应用中，这些技巧都对我们提高解题能力和应对数学问题具有重要意义。

高中数学解题技巧之三角函数图像分析

高中数学解题技巧之三角函数图像分析在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，它在数学中的应用非常广泛。

而对于三角函数的图像分析，是解题过程中必不可少的一步。

本文将通过具体的题目举例，来说明三角函数图像分析的考点和解题技巧，并给出一些相关的习题，以帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、正弦函数的图像分析我们先来看一个例子：题目：分析函数y=sin(x)的图像。

解析：要分析正弦函数的图像，我们首先需要了解正弦函数的基本性质。

正弦函数的定义域是全体实数集R，值域是[-1, 1]，周期是2π。

根据这些性质，我们可以绘制出正弦函数的图像。

首先，我们可以确定正弦函数的一个周期内的关键点，即x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2、x=2π。

然后，我们可以根据这些关键点的函数值，绘制出函数的图像。

接下来，我们需要注意正弦函数的对称性。

由于正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)，所以我们可以根据这个性质，将正弦函数的图像关于y轴对称。

最后，我们还需要注意正弦函数的周期性。

由于正弦函数的周期是2π，所以我们可以利用这个性质，将一个周期内的图像进行复制，得到整个函数的图像。

通过以上的分析，我们可以得到函数y=sin(x)的图像，如下所示：[插入正弦函数图像]在这个图像中，我们可以看到正弦函数的周期性、对称性和值域的特点。

这些都是我们分析三角函数图像时需要注意的重要考点。

练习题：1. 分析函数y=sin(2x)的图像。

2. 分析函数y=sin(x+π/2)的图像。

二、余弦函数的图像分析接下来，我们来分析余弦函数的图像。

同样，我们先来看一个例子：题目：分析函数y=cos(x)的图像。

解析：余弦函数的性质与正弦函数类似，但是它的图像有一些不同之处。

余弦函数的定义域是全体实数集R，值域是[-1, 1]，周期是2π。

同样地，我们可以确定余弦函数的一个周期内的关键点，即x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2、x=2π。

高中数学：求函数解析式的10种常见方法

高中数学：求函数解析式的10种常见方法一、配凑法：给定$f(x+1)=x-3x+2$，求$f(x)$。

练1：设函数$f(x)=2x+3$，$g(x+2)=f(x)$，求$g(x)$。

练2：设$f(f(x))=x^2+2$，求$f(x)$。

练3：设$f(x+2)+f(x)=x^3+x$，求$f(x)$。

二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图像经过点$(1,-2)$，那么这个反比例函数的解析式为$\frac{-2}{x-1}$，求$f(x)$。

练1：在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上有一点P，它的横坐标$m$与纵坐标$n$是方程$t^2-4t-2=0$的两个根，求$k$。

练2：已知二次函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x)+2x+8$，求$f(x)$的解析式。

练3：已知$f(x-2)=2x-9x+13$，求$f(x)$。

三、换元（或代换）法：例1：已知函数$f(\frac{1-x}{1+x})=\frac{1+x}{1-x}$，求：（1）$f(2)$的值；（2）$f(x)$的表达式。

练1：已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$及$f(x^2)$；练2：已知$f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}$，求$f(x+1)$．四、消去法：例1：设函数$f(x)$满足$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求$f(x)$．练1：已知$f(x)-2f(-x)=3x+2$，求$f(x)$．练2：已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(-x)+2f(x)=x+1$，求$f(x)$．练3：已知$f(x)+3f(-x)=2x+1$，求$f(x)$.练4：设函数$f(x)$满足$af(x)+bf(\frac{1}{x})=cx$（其中$a,b,c$均不为$0$，且$a\neq\pm b$），求$f(x)$．五、反函数法：例1：已知$f(a^2-x^2)=x$，求$f(x)$。

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

高中数学-求函数解析式的六种常用方法求函数解析式是高中数学中的重要内容之一，常用的方法有六种。

下面分别介绍这六种方法。

一、换元法如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式，要求原函数$f(x)$的解析式，可以令$g(x)=t$，求$f(t)$的解析式，再把$t$换为$x$即可。

例如，已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$，要求$f(x)$的解析式。

设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{g(x)}$，代入$f(x)$得$f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$，再令$t=g(x)$，则$f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$，最后把$t$换为$x$，得到$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。

二、配凑法如果已知$f(x+1)=x+2x^2$，要求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。

首先，把$x+1$视为自变量$x$，则有$f(x)=x^2-1$，但要注意函数的定义域的变化，即$x+1\geq 1$，即$x\geq 0$。

三、待定系数法如果已知函数类型，可以使用待定系数法求函数的解析式。

例如，已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+2x+8$，要求$f(x)$的解析式。

设$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到$c=0$，$a+b=8$，$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=7$，$c=0$，所以$f(x)=x^2+7x$。

四、消去法如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，要求$f(x)$的解析式，可以使用消去法。

把已知中的$f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来，得到$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，再把$x$换成$\frac{1}{x}$，得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$，解得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。

高中数学常见题型解法归纳三角函数解析式的求法

高中数学常见题型解法归纳三角函数解析式的求法【知识要点】三角函数的解析式的求法一般有三种：待定系数法、图像变换法和代入法. 【方法讲评】【例1】已知函数())(0,)22f x wx w f f +>-?的图像关于直线3x =对称，且图像上相邻两个最高点的距离为p .（1）求函数的解析式；（2）若2()()263f ap pa =<<，求3cos()2a p +的值.（2）由（1）得())226f ααπ=⋅-=所以1sin()64πα-=，又263ππα<<得0,62ππα<-<所以cos()64πα-===，3cos()sin sin[()266πππααα+==-+11428=. 【点评】利用待定系数法求三角函数的解析式，需要建立关于各个待定系数的方程，这需要对函数的图像和性质理解透彻，如：图像上相邻两个最高点的距离为p ，就是说函数的最小正周期是p ，而不是2p .如果方程错了，待定系数的值也自然是错的.【反馈检测1】已知函数()()()sin 0,0,0,f x A x b A b ωϕωϕπ=++>><<为常数的一段图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）函数()f x 在y 轴右侧的极小值点的横坐标组成数列{}n a ，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项1a ，试求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【例2】已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>． (1)令12ω=,求函数()()()F x f x f x π=++的单调区间； (2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．【点评】利用图像变换法求函数的解析式时，要对函数图像变换（平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换）比较熟练，不要出错.【反馈检测2】已知函数()sin()(w 0,0)f x wx f f p =+><<的周期为p ,且0)4(=πf ,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再将所得图像向右平移2p个单位长度后得到函数()g x 的图像.（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0(,)64x p pÎ,使得)6(),(),(00πf xg x f 按照某种顺序成等差数列？若存在,请求出0x 的值，若不存在,说明理由；（3）求实数a 与正整数n ,使得(x)f(x)()F ag x =+在(0,)n p 内恰有2013个零点．【例3】定义在区间[,]3ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6x =对称,当[,]36x π∈-时函数()sin()(000)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<图象如图所示．(1)求函数)(x f y =在2[,]3ππ-的表达式；(2)求方程()f x=的解；(3)是否存在常数m 的值,使得2|)(|<-m x f 在2[,]3x ππ∈-上恒成立;若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由．(2)当236x ππ-≤≤时,2()2sin()3f x x π=+=2sin()3x π+=∴23,344x πππ+=或即51212x ππ=-或,当6x ππ≤≤时,()2sin f x x x === ∴344x ππ=或∴方程()f x =53121244ππππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,,,【点评】(1)这种方法关键在于理解，这种处理方法有点类似求轨迹方程里的“代入法”.可以把已知的图像上的点看作“主动点”，对称图像上的点看作是“被动点”，这样就好理解些了.(2)求对称点的坐标时，一般利用对称的知识列方程求解，不要算错了.【反馈检测3】设函数()f x =sin (3x π－6π)－22cos 6xπ． (1)求()y f x =的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数()y g x =与()y f x =的图象关于点(0,1)对称，求当x [0,1]∈时，函数()y g x =的值域．参考答案【反馈检测1答案】（1）()3sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）21964n nS n π=⋅+.【反馈检测2答案】（1）x x f 2cos )(=，x x g sin )(=；（2）不存在；（3）1±=a ，1342=n . 【反馈检测2详细解析】（1）由函数)sin()(ϕω+=x A x f 的周期为π可得，2=ω，又由0)4(=πf ，πϕ<<0得2πϕ=，所以x x f 2cos )(=；将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（保持纵坐标不变）后可得x y cos =的图像，再将x y cos = x x g sin )(=.（3）令0)()()(=+=x ag x f x F ，即0sin 2cos =+x a x ，当0sin =x 时，显然不成立；当0sin ≠x 时，x x x x a sin 1sin 2sin 2cos -=-=，令x t sin =，则当]2,0[π∈x 时，]1,1[-∈t .由函数,12tt a -=]1,1[-∈t 及x t sin =，]2,0[π∈x 的图像可知，当1±=a 时，xx a sin 1sin 2-=在]2,0[π∈x 内有3个解.再由67132013=可知，13426712=⨯=n ，综上所述，1±=a ，1342=n . 【反馈检测3答案】（1）6T =,单调递增区间为[6k －12，6k ＋52]，k z ∈；（2）值域为39[,]22.【反馈检测3详细解析】(1)由题意知()f xsin 3x π－32cos 3x π－13x π－3π)－1，所以()y f x =的最小正周期T ＝23ππ＝6．由2k π－2π≤3πx －3π≤2k π＋2π，k z ∈，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k z ∈，所以()y f x =的单调递增区间为[6k －12，6k ＋52]，k z ∈． (2)因为函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线2x =对称，设点(,)P x y 是函数图像()y g x =上一点，则其关于点（0,1）对称的点(2,2)P x y ¢-必在函数()y f x =的图像上，所以2y -2sin()133x p p-- 所以3y =2sin()33x p p- 222323010sin()333333333233293sin()33sin()23322332x xx x x x p pp p p p p pp p p p ＃\＃所以函数()y g x =的值域为39[,]22.。

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