序列相关性

2 2
i j
i , j 1, 2 , , n
Cov ( i , j ) E ( i j ) 0
假设3，解释变量与随机项不相关
Cov ( X
ji
,i) 0
2
j 1, 2 , k
假设4，随机项满足正态分布
i ~ N (0, )
假设4，向量 有一多维正态分布，即
§4.2 序列相关性
Serial Correlation
§4.2 序列相关性
一、序列相关性概念 二、实际经济问题中的序列相关性 三、序列相关性的后果 四、序列相关性的检验 五、具有序列相关性模型的估计 六、案例
一、序列相关性概念
对于模型
Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+i i=1,2, …,n 随机项互不相关的基本假设表现为
2
i= 1 ,2 , ,n

,
i= 1 ,2 , ,n i j,i= 1 ,2 , ,n
c o v ( i , j )= 0 ,
假设3、随机误差项与解释变量X之间不相关：
co v(X i , j )= 0 ,
i= 1 ,2 , ,n
假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布
T x t E ( t ) 1 t 1 T 2 xt t 1
1
无偏性
证明：一元线性回归不再具有最小方差性
ˆ ) E [ E ( )] 2 E ( ) 2 ˆ ˆ ˆ v a r( 1 1 1 1 1 E ( k t t )
2 2
E k t t 2 k t k s t s
2

ˆ v a r( 1 )
k
2 t
2 t
E ( t ) 2 k t k s E ( t s )
2
2 2
k
E ( t )
k
2 t


2
E ( t s ) 0
(x
3、模型设定的偏误
模型设定偏误（Specification error）指所设 定的模型“不正确”。主要表现在模型中丢 掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。 例如，本来应该估计的模型为
Yt=0+1X1t+ 2X2t + 3X3t + t 但在模型设定中做了下述回归：
Yt=0+1X1t+ 1X2t + vt 因此， vt=3X3t + t，如果X3确实影响Y， 则出现序列相关。
例如：季度数据来自月度数据的简单平 均，这种平均的计算减弱了每月数据的波 动性，从而使随机干扰项出现序列相关。 还有就是两个时间点之间的“内插”技术 往往导致随机项的序列相关性。
二、序列相关性的后果
计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采 用OLS法估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效
i ~ N (0, ),
2
i= 1 ,2 , ,n
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互 不相关（无多重共线性）。 假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关
E ( i ) 0
Var ( i ) E ( i )
2、一些随机因素的干扰或影响
• 在时间序列中，某一时期发生的随机 冲击往往延续若干期。通常随机因素 指：战争、自然灾害、政策制定的错 误后果、金融危机、世界经济环境的 变化、面对一些现象人们的心理因素 等，这些随机因素不仅对当期经济生 活造成影响，而且影响以后若干时期， 反映在模型中很容易形成随机误差序 列的自相关！

E (1 n ) 2
n1
2

1n 2
Ω I
2 2
序列不相关
1 E (μμ )cov( n , 1 )
第四章 经典单方程计量经济 学模型：放宽基本假定的模型
内蒙古科技大学经济与管理学院 边璐 2011.11.03
回忆：经典计量经济学模型的基本假定
• 一、线性回归模型的基本假设 假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性：
E ( i ) 0, v a r( i )
μ ~ N (0, I )
2
同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设： 假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有 界常数，即n∞时，
1
n
x
2 ji

1
n
(X
ji
X j)
2
Q
j
其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的 离差为元素组成的nk阶矩阵
x 11 x x 1n x k1 x kn
Cov(i , j)=0 i,j=1,2, …,n ij,
如果对于不同的样本点，随机误差项 之间不再是不相关的，而是存在某种 相关性，则认为出现了序列相关性。
在其他假设仍成立的条件下，序列相关即意味着
或
E ( i j ) 0
2
Cov ( μ ) E ( μ μ ) E ( n 1 )
假设6，回归模型的设定是正确的。
• • • • • •
有时基本假定会存在违背的现象： 不满足基本假定的情况。主要包括： （1）随机误差项序列存在异方差性（已学）； （2）随机误差项序列存在序列相关性； （3）解释变量之间存在多重共线性； （4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关 （随机解释变量）； • （5）模型设定有偏误 • （6）解释变量的方差不随样本容量的增而收敛
在变量的显著性检验中，统计量是建 立在参数方差正确估计基础之上的，这 只有当随机误差项具有同方差性和互相 独立性时才能成立。
t
ˆ 1 1 ˆ
2


2
ˆ 1 1
S ˆ
1
~ t(n 2)
xi
其他检验也是如此。
3、模型的预测失效 区间预测与参数估计量的方差有关， 在方差有偏误的情况下，使得预测估 计不准确，预测精度降低。
大多数经济时间数据都有一个明显的 特点:惯性，表现在时间序列不同时间的 前后关联上。 例如，绝对收入假设下居民总消费函数模 型 Ct=0+1Yt+t t=1,2,…,n
由于消费习惯的影响被包含在随机误差项 中，则可能出现序列相关性（往往是正相 关 ）。
经济行为的滞后性引起随即误差项自相关 • 时间序列中，经济变量的运行往往存在着 一种变化趋势，表现在时间前后期的相互 关联上所形成的惯性。 • 例如，一个企业的固定资产的形成，不仅 取决于当年投入的生产要素数量与质量， 还与往年投入的数量与质量有关。 • 再举个例子：种地 • 如果一个模型忽视了这些滞后因素，滞后 影响将在误差项中体现为系统性。
E ( i ) 0 ,
var( i )
2
,
cov( i , i s ) 0
s 0
由于序列相关性经常出现在以时间序 列为样本的模型中，因此，本节将用下
标 代表 。
t
i
正序列相关
负序列相关
序列自相关产生原因
1、经济变量固有的惯性
• 经济变量是对客观经济现象的反映。任何 一种客观经济现象都有历史的延续性和发 展的继承性，现在的状况在过去基础上演 变而来，过去的发展水平、速度和特征都 会对现在的状况产生重要影响。 • 多数经济时间序列都存在惯性，如国民生 产总值、就业、货币供给、价格指数、消 费和投资等，都呈现周期性波动。
回忆多元、一元线性、无偏、有效的证明
多元线性回归 1、线性性
ˆ ( X X ) 1 X Y CY β
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与固定的X有 关的行向量
2、无偏性
ˆ ) E (( X X ) 1 X Y ) E (β E (( X X )
1
X ( X β μ ))
又如：如果真实的边际成本回归模型 应为： Yt= 0+1Xt+2Xt2+t 其中：Y=边际成本，X=产出，
但建模时设立了如下模型：
Yt= 0+1Xt+vt
因此，由于vt= 2Xt2+t, ，包含了产出 的平方对随机项的系统性影响，随机项也 呈现序列相关性。
4、数据的“编造”
在实际经济问题中，有些数据是通过 已知数据生成的。因此，新生成的数据 与原数据间就有了内在的联系，表现出 序列相关性。
t
x)
2
E ( t s ) 0 ˆ *) v ar( 1
2
k
2 t
2 k t k s E ( t s )
ts
ˆ v ar( 1 ) 2 k t k s E ( t s )
ts
不再具有最 小方差性
2、变量的显著性检验失去意义
X μ
2
和
E (μμ ) I
一元线性回归无偏性、有效性证明
Yt 0 1 X t t
ˆ 1 1
x x
t t
t
2
1
k
t
E ( t )
T xt t ˆ ) E t 1 E (1 1 T 2 xt t 1

1

n
2
cov( 1 , n ) var( n ) 0