2019-2020年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案新人教A版选修4

2019-2020年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案新人教A

版选修4

[对应学生用书P27]

1．直线的参数方程

(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)

(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义

参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.

[对应学生用书P27]

[例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．

[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．

[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为3

4，设直线的倾斜角为α，

则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝4

5.

又点P (1,1)在直线l 上，

所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋4

5

t ，y ＝1＋3

5

t (t 为参数)．

因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．

由1＋4

5

t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为

5.

理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0

的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．

1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π

6

，则直线l 的参数方程为________________．

解析：直线l

的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋t cos 5π

6

，y ＝－4＋t sin 5π

6

(t 为参数)，即

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2－3

2t ，y ＝－4＋12

t (t 为参数)．

答案：⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2－3

2t ，y ＝－4＋1

2

t (t 为参数)

2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π

4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间

的距离．

解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝3＋2

2

t ，y ＝4＋2

2t ，

将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋

22t )＋2(4＋2

2

t )＝6. 解得t ＝－112

5

，

∴|MP 0|＝|t |＝112

5

.

[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π

6，

(1)写出直线l 的参数方程．

(2)设l 与圆x 2

＋y 2

＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．

[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．

[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，

∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋t cos π

6

，y ＝1＋t sin π

6，

即⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝1＋3

2t ，y ＝1＋12

t 为所求．

(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为

A (1＋

32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋1

2

t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2

＋y 2

＝4整理得到t 2

＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.

求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数

t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．

3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2

＝7相交于A 、B 两点．

(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．

解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π

6，

∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－4＋3

2

t ，y ＝t 2.

代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2

＝7. 整理得t 2

－43t ＋9＝

设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝

t 1＋t 2

2

－4t 1t 2＝2 3.

解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－4＋3

2t ，y ＝12t ，

得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32

)．

4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为4

3，直线l 和抛物线y

2

＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：

(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．

解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为4

3，

设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝4

3

，