2019-2020年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案新人教A版选修4
2019-2020学年高二数学《第二讲-参数方程-三、直线的参数方程(二)》教案-新人教A版
2019-2020学年高二数学《第二讲 参数方程 三、直线的参数方程（二）》教案 新人教A 版知识与技能：理解直线的参数方程，掌握参数方程的应用.过程与方法：通过学习直线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的兴趣，坚定信心.教学过程：复习回顾经过点M 0 (x 0, y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 )( sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα例1. 当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成，并以40km/h 的速度向西偏北45o 方向移动.已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？思 考海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化（比如：当前半径为250km ，并以10km/m 的速度不断增大），那么问题又该如何解决？例2. 如图所示，AB ，CD 是中心为O 的 的椭圆的两条相交弦，交点为P .两弦AB ，CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2. 求证：|P A|· |P B|＝|PC|· |PD|.课堂练习1. 经过抛物线y 2＝2px (p ＞0)外的一点A (－2, －4)且倾斜角为45o 的直线l 与抛物线分别交于M 1，M2.如果|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，求p 的值.O C A D B 21x y P xy O α0M M l e)( )( 60sin 330cos 2.2o o D t t y t x 等于的倾斜角为参数直线α⎪⎩⎪⎨⎧-=+-= o o o o 135.D 45.C 60.B 30.A -)( 9 )( 221.322B y x t ty t x 截得的弦长等于被圆为参数直线=+⎩⎨⎧+=+= 1059.D 529.C 5512.B 512.A )(22,3)( )( 2322.4C P t ty t x 的点的坐标是的距离等于上与点为参数直线-⎩⎨⎧+=--=)1,0()5,4.(D )2,1()4,3.(C )4,3.(B )5,4.(A 或或-----)( )( sin cos .521B M BC t t C B t t b y t a x 对应的参数值是的中点，则线段、的参数值分别为两点，它们对应、所表示的曲线上有为参数在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθ2.D 2.C 2.B 2.A 21212121t t t t t t t t +-+- .171720)6,3(421.6到该直线的距离是，则点设直线的参数方程⎩⎨⎧-=+-=t y t x.13||02:)(13431364 )3,4(.721==-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=PQ Q y x l t t y t x l P ，则的交点为，它与直线为参数的参数方程为的直线过点课后作业教材P.39习题2.3第1、2题.。
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修
高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修一、教学目标：1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。
2. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。
3. 通过对参数方程的学习，提高学生的数学思维能力和创新意识。
二、教学内容：1. 参数方程的定义及基本形式。
2. 参数方程与普通方程的互化。
3. 参数方程在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：参数方程的概念，参数方程与普通方程的互化。
2. 难点：参数方程在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索参数方程的概念及应用。
2. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解参数方程与普通方程的关系。
3. 运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为参数方程求解。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾普通方程的知识，激发学生对参数方程的兴趣。
2. 新课讲解：讲解参数方程的定义、基本形式及与普通方程的关系。
3. 案例分析：分析参数方程在实际问题中的应用，如物体的运动轨迹、电路问题等。
4. 练习与讨论：学生分组讨论，尝试将实际问题转化为参数方程求解，教师给予指导。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生深入研究参数方程的性质和应用。
六、教学评估：1. 课后作业：布置有关参数方程的概念理解、形式转换和实际应用的练习题，以巩固所学知识。
2. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对参数方程的理解程度，以及能否将实际问题转化为参数方程。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们在解决问题时的创造性思维。
七、课后作业：1. 复习参数方程的概念和基本形式。
2. 完成课后练习题，包括将普通方程转化为参数方程，以及运用参数方程解决实际问题。
3. 探索参数方程在其他学科中的应用，如物理学、工程学等。
八、教学资源：1. 教材：新人教A版选修《高中数学》。
2. 多媒体课件：用于展示参数方程的图形和实例。
高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程课堂探究学案 新人教A版选修44
三 直线的参数方程课堂探究探究一 求经过点P (x 0，y 0)，倾斜角是α的直,,线的参数方程 由直线上一定点和直线的倾斜角，可直接写出直线的参数方程． 【例题1】已知直线l 过点P (3,4)，且它的倾斜角θ＝120°. (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点坐标．思路分析：根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角θ＝120°，得该直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，解得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两条直线的交点坐标为(3,4)．探究二 直线参数方程的应用在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．直线的参数方程和普通方程可以进行互化．特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程形式．【例题2】已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，求该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？思路分析：本题考虑使用参数方程标准形式中参数t 的几何意义来做，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t ′的一元二次方程，弦长即为方程的两根之差的绝对值．解：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15 t ′(t ′为参数)，并代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋25 t ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋15 t ′2＝9，整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0. 设方程的两根分别为t 1′，t 2′，则有t 1′＋t 2′＝－85，t 1′t 2′＝－4.所以|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′ ＝645＋16＝1255. 探究三 易错辨析易错点：错用参数的几何意义【例题3】已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.错解：把直线方程代入圆的方程，化简得t 2－6t ＋2＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝6，t 1·t 2＝2，由于|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，从而|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|＝2，|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝62－4×2＝27.错因分析：直线l 的方程中，参数t 的意义与直线参数方程的标准形式中参数t 的意义是不同的，后者是点M 与直线l 上的一点形成的有向线段MP 的数量，而前者则不同，错解中把两者等同起来，错用了参数的几何意义．正解：l 的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.因为Δ＞0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，所以|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′ ＝14.。
人教版2019学年高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程学案新人教A版选修4_4
三直线的参数方程学习目标 1. 理解并掌握直线的参数方程.2. 能够利用直线的参数方程解决相关问题．知识点直线的参数方程思虑 1如图，π直线 l 过定点 M0( x0， y0)且倾斜角为α α ≠ 2，那么直线的点斜式方程是什么？答案y－ y0＝tanα( x－x0)．思虑 2在思虑1中，若令x－x0＝t cosα( t 为参数)，那么直线l 的参数方程是什么？x＝x0＋ tcos α，答案( t为参数 ) ．y＝y0＋ tsin α梳理(1) 直线的参数方程①过点 M( x ，y )，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为x＝ x0＋tcos α，( t为参数 ) ；000y＝ y0＋tsin α②由α 为直线的倾斜角知，当0<α <π时， sin α>0.(2)直线参数方程中参数 t 的几何意义参数 t 的绝对值表示t 对应的点 M到 M0的距离．①当――→与 e(直线的单位方向向量) 同向时，t取正数；M0M②当――→与 e 反向时， t 取负数，当M与 M0重合时， t ＝0. M0M(3) 重要公式：设，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为tA，B，则|| ＝ |tBA t AB －t A|＝错误! .种类一直线的参数方程与一般方程的互化例 1(1) 化直线l 1的一般方程x＋ 3 －1＝ 0 为参数方程，并说明|t| 的几何意义；y(2) 化直线l2x＝－ 3＋ t ，的参数方程( t为参数 ) 为一般方程，并求倾斜角，说明 | t | y＝ 1＋ 3t的几何意义．解 (1) 直线l1与 x 轴交于点 M(1,0)，3又 k＝tanα＝－3，31∴ cos α＝－2， sin α＝2，3x＝ 1－2 t ，∴直线 l 1的参数方程为( t为参数 ) ．1y＝2t| t | 表示t对应的点M( x，y) 到M的距离．(2) 方程组变形为x＋ 3＝ t ，①y－ 1＝ 3t，②①代入②消去参数t ，y－1＝3( x＋3) ，可得k＝tan α＝π得直线的点斜式方程3，倾斜角α＝3，一般方程为 3x－y＋3 3＋ 1＝ 0.又∵①②两式平方相加，得(x ＋3) 2＋ (y－ 1)2＝ 42，t∴ | t | ＝错误 ! ，| t | 是定点M1( －3,1)到 t对应的点 M( x，y)的有向线段错误!的长的一半．反省与感悟(1) 一条直线能够由定点M( x ， y )，倾斜角α(0≤ α<π)独一确定，直线000上动点 M( x， y)的参数方程为x＝x0＋ tcosα ，( t为参数 ) ，这是直线参数方程的标y＝y0＋ tsin απx＝ x0，( t为参数 ) ．准形式，特别地，当α＝2时，直线的参数方程为y＝ y0＋ tb参数t 的几何意义也不相同，过定点 M 0( x 0，y 0) ，斜率为 的 ax ＝ x0＋ at ， 直线的参数方程是( a ， b 为常数， t 为参数 ) ．y ＝ y0＋ btx ＝－3＋3t ，追踪训练 1 已知直线 l ：2( t 为参数 ) ．1y ＝ 2＋ 2t(1) 分别求 t ＝ 0,2 ，－ 2 时对应的点 M ( x ，y ) ；(2) 求直线 l 的倾斜角；(3) 求直线 l 上的点 M ( － 3 3， 0) 对应的参数 t ，并说明 t 的几何意义．3解 (1) 由直线 l ：x ＝－3＋ 2 t ，( t 为参数 ) 知，当 t ＝ 0,2 ，－ 2 时，分别对y ＝ 2＋1t2应直线 l 上的点 ( －3， 2) ，(0,3) ，( －2 3，1) ．x ＝－ 3＋3t ，32(2) 方法一化直线 l ：1( t 为参数 ) 为一般方程为y － 2＝ 3 ( xy ＝ 2＋2t＋ 3) ，3设直线 l 的倾斜角为α，则 k ＝tan α ＝ 3 (0 ≤α <π ) ，π解得 α ＝.π故直线 l 的倾斜角为6 .x ＝－ 3＋ tcosπ6 ，方法二 易知直线 l ：( t 为参数 ) ，y ＝ 2＋ tsinπ 6π则直线 l 过定点 M 0( － 3， 2) ，且倾斜角为6 ，π故直线 l 的倾斜角为. (3)由 (2) 可知直线l的单位向量e ＝ cosπ， sinπ＝31，且0(－3，2) ，662，2M又已知 M(－33， 0) ，――→31∴ M0M＝(－2 3，－2)＝－4 2，2＝－ 4e，∴点 M(－33， 0) 对应的参数t＝－ 4，几何意义为 |――→――→M0M | ＝4，且M0M 与e方向相反．种类二直线参数方程的应用命题角度1求弦长 | AB| 问题例 2 已知抛物线y2＝ 8x的焦点为F，过F且斜率为 2 的直线交抛物线于A， B 两点．(1)求| AB| ；(2)求 AB的中点 M的坐标及| FM|.解抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，x＝ 2＋1t ，依题意，设直线AB的参数方程为5( t为参数 ) ，其中 cosα＝1，25 y＝ t5sin α＝2，α为直线 AB的倾斜角．51x＝ 2＋t ，5将代入 y2＝8x，整理得 t 2－25t－ 20＝0.y＝2t5设 A， B 对应的参数值为t 1， t 2，则 t＋t＝ 25，t t＝－ 20.1212(1)|AB|＝| t－t |＝错误!＝错误!＝10.21→ →(2) 设AB的中点为M( x，y) ，则 AM＝ MB，→→→→∴ FM－ FA＝ FB－FM，→ 1→→ t1 ＋ t25e ，∴ FM ＝ (FA ＋FB) ＝ 2 e ＝2故点 M 对应的参数为 5，x ＝ 2＋ 5cos α，得 M (3,2) ，| FM | ＝t1 ＋ t2由2＝ 5.y ＝ 5sin αx ＝ x0＋ tcos α，( t 为参数 ) ，反省与感悟设二次曲线 C ： F ( x ， y ) ＝ 0，直线 l ：αy ＝ y0＋ tsin若是 l 与 C 订交于 A ，B 两点，那么将 l 的方程代入 F ( x ，y ) ＝0 后，可得 at 2＋ bt ＋ c ＝ 0，则该方程有两个不等实数根t 1，t 2，此时 ――→ ――→α ，sin α ) ， M0A ＝t 1e ， M0B ＝ t 2e ，e ＝ (cos 于是易得以下两个常有的公式： (1)| | ＝ | t1－ 2| ； (2) 线段 AB 的中点 M 对应的参数tABt＝ t1 ＋ t2 ，且 | 0 | ＝|t1＋ t2| .2MM2π22追踪训练 2直线 l 过点 P 0( － 4,0) ，倾斜角 α ＝ 6 ，l 与圆 x ＋ y ＝7 订交于 A ，B 两点．(1) 求弦长 | AB | ；(2) 求 A ， B 两点坐标．，倾斜角 α＝ π， 解 (1) ∵直线 l 过点 P ( － 4,0)6x ＝－ 4＋3t ，∴可设直线 l 的参数方程为2( t 为参数 ) ，ty ＝ 2，3212t代入圆方程，得－ 4＋ 2 t ＋ 2＝ 7.整理得 t 2－ 4 3t ＋ 9＝ 0. ①设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，由根与系数的关系，得t 1＋ t 2＝ 4 3， t 1t 2＝ 9，∴ | AB | ＝ | t 2－t 1| ＝错误 ! ＝ 2错误 ! .(2) 解①得 t 1 ＝3 3， t 2＝ 3，代入直线参数方程x ＝－ 4＋3t ，21y ＝2t ，3 3 5 3 5 33 3得A 1，2 ，B － ，或A － ，， B1，.2222 222命题角度 2求积 ||·|0 | 问题MAMB1022例 3 过点 P 2 ， 0 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x ＋12y ＝ 1 交于点 M ，N ，求 | PM | ·|PN |的最小值及相应的 α 值．x ＝10π＋ tcos α ，解设直线为2(0 ≤ α < 2 ， t 为参数 ) ，y ＝ tsin α代入曲线 x 2＋ 12y 2＝ 1，并整理得 (1 ＋11sin 2α ) t 2＋ ( 10cos α ) t ＋3＝ 0.221由≥ 0 得， sin α ≤19，设 M ，N 对应的参数为 t 1，t 2，32∴ t 1t 2＝ 1＋ 11sin2 α ，323∴ | PM |·|PN | ＝ | t 1t 2| ＝1＋ 11sin2 α ＝ 2＋ 22sin2 α.21 19∴当 sin α ＝19时， | PM |·|PN | 获取最小值，且最小值为 20.反省与感悟 利用直线的参数方程，能够求一些距离问题，当求直线上某必然点到直线与曲线交点的距离时，依照直线参数方程中参数的几何意义解题更加方便．π追踪训练 3 已知直线 l 经过点 P (1,1)，倾斜角 α＝ 6 ，(1) 写出直线 l 的参数方程；(2) 设 l 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 订交于两点 A ， B ，求点 P 到 A ， B 两点的距离之积．π解(1) 因为直线 l 过点 P (1,1) ，倾斜角为6 ，πx＝ 1＋ tcos 6 ，因此直线的参数方程为( t为参数 ) ，πy＝ 1＋ tsin，3x＝ 1＋2 t ，即( t为参数 ) 为所求．1y＝1＋2t(2) 因为点，都在直线l 上，因此可设它们对应的参数为t1 和t2，则点，B的坐标分A B A 别为3131A 1＋2t1，1＋2t1，B 1＋2t2，1＋2t2，把直线 l的参数方程代入圆的方程x2＋ y2＝4，整理获取 t 2＋(3＋ 1)t －2＝0，①因为 t 1和 t 2是方程①的解，进而 t1t 2＝－2.因此 | PA| ·|PB| ＝ |t t |＝|－ 2| ＝2.12种类三直线参数方程的综合应用2x＝－ 4＋2 t ，例 4已知曲线C1：( t为参数 ) ，2y＝2 tx＝－ 2＋ cos θ，C2：( θ为参数 ) ．y＝ 1＋sin θ(1)化 C1， C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若曲线 C1和 C2订交于 A， B 两点，求| AB|.2(1) 由曲线x＝－ 4＋2t ，t y＋ 4，解1：消去参数，得＝C2xy＝，t2因此曲线 C1表示一条直线．x＝－ 2＋ cos θ，由曲线 C2：消去参数θ，y＝ 1＋ sin θ，得 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，因此曲线 C 表示以 ( － 2,1)为圆心， 1 为半径的圆．2(2) 方法一 2到直线 x － y ＋4＝ 0 的距离为 d ＝| －2－1＋4| 2圆心 C ( －2,1) 2＝ 2 ，因此 || ＝ 2 r2 －d2＝ 21－ 1＝ 2.AB22x ＝－ 4＋ 2 t ，方法二将直线的参数方程 C 1：( t 为参数 )y ＝2t2222代入曲线 C ： ( x ＋ 2) ＋ ( y － 1) ＝1，整理得 t 2－ 3 2 ＋4＝ 0.t设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，则 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1t 2＝ 4，因此 | | ＝ | t 1－ t 2|＝错误!＝错误!.AB引申研究1．若点 P ( －4,0) 是曲线 C 上的定点，本例其余条件不变，求| PA | ＋ | PB | 的值．1解 由曲线 C 2： x ＝－ 2＋ cos θ，知，y ＝ 1＋sin θ2 2曲线 C 是圆 ( x ＋2) ＋ ( y －1)＝ 1.2因为点 P ( －4,0) 在圆 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1 外，2x ＝－ 4＋ 2 t ，将直线的参数方程2y ＝ 2 t代入曲线 C 2： ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，得 t 2－ 32t ＋ 4＝ 0，设 A ， B 对应的参数为 t 1， t 2，则 t 1 ，t 2 同号，且 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t 1| ＋| t 2| ＝ | t 1＋t 2| ＝ 3 2.2．在研究 1 条件不变的情况下，求11|PA| ＋ |PB| 的值．解 由研究 1 知， t 1＋ t 2＝ 3 2 ，t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t ＋ t | ＝ 3 2，1 2| |·| |＝|1t 2|＝4.PAPBt11|PA| ＋ |PB|3 2因此|PA| ＋|PB| ＝|PA| ·|PB| ＝ 4 .反省与感悟(1) 参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，能够经过方程组求出参数值，再依照参数值得出交点坐标．(2) 解题时若是波及求直线被曲线截得的线段的长度或许直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都能够利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决．3x ＝ 5＋ 2 t ，追踪训练 4 已知直线 l ：( t 为参数 ) ．以坐标原点为极点，x 轴的1y ＝3＋ 2t正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ ＝ 2cos θ .(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点 M 的直角坐标为 (5 ，3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为A ，B ，求 | MA |·|MB | 的值；11(3) 求 |MA| －|MB| 的值．解 (1) 曲线 C 的极坐标方程 ρ＝ 2cos θ 化为直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 2x ＝ 0.3(2) 将x ＝ 5＋ 2t ， 2＋2－2 ＝0，代入1xyxy ＝ 3＋ 2t得 t 2 ＋5 3t ＋ 18＝ 0.设这个方程的两个实根分别为t ，t ，12则由参数 t 的几何意义可知，| MA |·|MB |＝ | t t | ＝ 18.12(3) 由 (2) 知 t 1，t2为同号，| |MB| － |MA| | ＝ | |t2| － |t1| | ＝| t 2－ t 1| ＝错误 ! ＝错误 ! ，1 1 | |MB| － |MA| | 3∴ |MA|－ |MB|＝|MA| ·|MB|＝ 18.x＝ 2＋ 3t ，( t为参数 ) 上对应t＝ 0，t＝ 1 两点间的距离是 () 1．直线y＝－ 1＋ tA．1B.10C． 10D． 22答案B剖析因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不拥有几何意义，故不能够直接由 1－ 0＝1 来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程获取两点坐标(2 ，－ 1) 和 (5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即错误!＝错误!.x＝－ 3＋ tcos α，π2．直线y＝ 2＋ tsin α( t为参数，α＝6 ) 不经过 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案Dx＝ 1－2t ，( t为参数 ) 与直线l2：x＝ s，( s为参数 ) 垂直，则k3．若直线l1：y＝ 2＋kt y＝ 1－ 2s＝________.答案－ 1k剖析由－2· ( － 2) ＝－ 1，得k＝－ 1.5π4．设直线l过点A(2 ，－ 4) ，倾斜角为6，则直线 l 的参数方程为________．x＝ 2－3 t ，答案2( t为参数 )1y＝－ 4＋2t剖析∵α ＝5π，∴ cos α＝－3， sin α＝1，622 x＝ 2－3t ，∴ l 的参数方程为2( t为参数 ) ．1y＝－ 4＋2t5．素来线过点0(3,4) ，倾斜角α＝π，求此直线与直线 3＋2 ＝6 的交点M与0 之间P4x y P的距离．2x＝ 3＋2 t ，解设直线的参数方程为( t为参数 ) ，2y＝ 4＋t ，2将它代入已知直线3x＋2y－ 6＝0，22得 3 3＋2 t ＋ 2 4＋2 t ＝6，解得 t ＝－1125，∴| 0| ＝|t | ＝11 2.MP51．经过点M( x，y ) ，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋ tcos α，( t为参000y＝ y0＋ tsin α数 ) ．其中t表示直线l上以定点M为起点，随意一点M( x，y) 为终点的有向线段――→M0M 的数量，能够为正、为负，也能够为零．2．直线l：x＝ x0＋ tcos α，( t为参数 ) 与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参y＝ y0＋ tsin α数为 t，t .则| AB|＝ | t－t|.但 | MA| ＋ | MB| 与 | AB| 不完好相同，当t与 t异号时， | MA| 121200120＋| M0B| ＝ | AB| ＝ | t1－t2| ；当t1与t2同号时， | M0A| ＋ | M0B| ＝ | t1＋t2| ≠ | AB|.3．要注意差异直线参数方程可否为标准形式，若不是标准形式，则参数t 就不拥有相应的几何意义．一、选择题x＝ 1＋ 2t ，1．若直线的参数方程为( t为参数 ) ，则直线的斜率为 ()y＝ 2－3t23A. 3B．－232C. 2D．－3答案 B剖析x ＝ 1＋ 2t ， 3 7 3 直线的一般方程为 y ＝－ x ＋ ，因此直线的斜率为－ .y ＝ 2－ 3t222x ＝ 1＋ tcos α ， ( α 为参数， 0≤a <π ) 必过点 ()2．直线y ＝－ 2＋ tsin αA ．(1 ，－ 2)B ． ( －1,2)C ．( － 2,1)D ． (2 ，－ 1)答案Ax ＝ 1，剖析当 t ＝0 时，y ＝－ 2，因此直线必过点 (1 ，－ 2) ．3．已知直线 l 过点 A (2,1) ，且与向量 a ＝ ( －1,1) 平行，则点 P ( － 1，－ 2)到直线 l 的距离是 ( )A. 2B ．2 2C ．3 2D ． 2答案Cx ＝ 2－ t ， ( t 为参数 ) ．因为直线上的随意一点 M剖析 由已知得直线 l 的参数方程为y ＝ 1＋ t的坐标可表示为 (2 － t, 1＋ t ) ，因此 | PM |＝错误 ! ＝错误 ! ，当 t ＝ 0 时， | PM | 有最小值，最小值是 3 2，此时 | PM |为点 P 到直线 l 的距离．π4．直线 l 经过点 M 0(1,5) ，倾斜角为 3 ，且交直线 x － y － 2＝ 0 于点 M ，则 | MM 0| 等于 ()A. 3＋ 1B ． 6(3＋ 1)C ．6＋3D ． 6 3＋1答案B1x ＝ 1＋ 2t ，剖析由题意可得直线l的参数方程为( t 为参数 ) ，代入直线方程xy ＝ 5＋3t213 － y － 2＝ 0，得1＋2t－5＋ 2 t－ 2＝ 0，解得 t ＝－ 6(3＋ 1) ．依照 t的几何意义可知| MM |＝6(3＋1) ．5．若x ＝ x0－ 3λ ， x ＝ x0＋ tcos α ， y ＝ y0＋ 4λ( λ 为参数 ) 与( t 为参数 ) 表示同一条直线，y ＝ y0＋ tsin α则 λ 与 t 的关系是 ()A ．λ ＝ 5tB ． λ＝－ 5tC ．t ＝ 5λD ． t ＝－ 5λ答案 C剖析由 x －x 0，得－ 3λ ＝ t cos α ，由 y － y 0，得 4λ＝ t sin α，消去 α 的三角函数，得25λ 2＝ t 2，得 t ＝±5λ ，借助于直线的斜率，可除去t ＝－ 5λ ，因此 t ＝5λ .1x ＝ 1＋2t ，6．直线( t 为参数 ) 和圆2＋ y 2＝ 16 交于 ， B 两点，则的中3xAABy ＝－ 33＋ 2 t点坐标为 ()A ．(3 ，－ 3)B ． ( － 3，3)C ．( 3，－ 3)D ． (3 ，－ 3)答案Dt3t2剖析将 x ＝1＋ 2， y ＝－ 3 3＋ 2 t 代入圆方程，得1＋2 ＋ － 3 3＋2 －8t ＋ 12＝0，则 t ＝2， t＝ 6，∴ t12因此 AB 的中点 M 对应参数 t ＝ t1 ＋ t2＝ 4，2 1 3∴ x ＝ 1＋ × 4＝ 3， y ＝－ 3 3＋ × 4＝－ 3，22故中点 的坐标为 (3 ，－ 3) ．AB M二、填空题7．已知直线 lx ＝ 1＋3t ，( t 为参数 ) 与直线 l 2：2 x － 4 ＝5 订交于点 1：yy ＝ 2－4t则 | AB | ＝ ________.3t 2＝ 16，2B ，且点 A (1,2) ，答案52剖析x＝ 1＋ 3t ，代入 2－4 ＝5，得15，0 .又(1,2) ，因此 |5将x t＝，则B 2| ＝ .y＝ 2－ 4t y2A AB 2 2x＝ 2＋2 t ，2 且在点M下方的8．直线( t为参数 ) 上到点M(2 ，－ 3) 的距离为2y＝－ 3－t2点的坐标是 ________．答案(3 ，－ 4)x＝2－2t ，剖析直线参数方程的标准式为2( t为参数 ) ，2y＝－ 3＋2 t则 M对应的参数为 t ＝－2，∴错误 !∴点 M的坐标为(3，－4)．9．已知直线l的参数方程为x＝－ 1＋ t ，为参数 ) ，以坐标原点为极点，x 轴的正( ty＝1＋ t半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为23π5πρ cos2θ＝ 4ρ>0，<θ <，则44直线 l 与曲线 C的交点的极坐标为________．答案(2 ，π)x＝－ 1＋ t ，剖析因为直线 l 的参数方程为y＝ 1＋t ，因此直线 l 的一般方程为y＝ x＋2.因为曲线 C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝ 4 ρ >0，3π<θ <5π，44可得曲线 C的直角坐标方程为 x2－y2＝4( x<0)．联立错误 ! 解得交点坐标为 ( －2,0) ，因此交点的极坐标为(2 ，π ) ．10．在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为x＝ t －3，( t为参数 ) ，以原点O y＝ t为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系， 圆 C 的极坐标方程为 ρ2 －4ρ cos θ ＋ 3＝ 0，则圆心 C 到直线 l 的距离为 __________ ．答案522剖析易得直线 l 的一般方程为 x － y ＋ 3＝ 0，圆 C 的直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 4x ＋ 3＝ 0，即 ( x － 2) 2＋y 2＝1，因此圆心到直线的距离 ＝错误!＝错误!.dl 过点 A ( －2,3) ，倾斜角为135°，求直线 l 的参数方程，并且求直线上与点 A 距离为 32的点的坐标．解 直线 l 的参数方程为x ＝－ 2＋tcos135 °， ( t 为参数 ) ，y ＝ 3＋tsin135 °2x ＝－ 2－ 2 t ，( t 为参数 ) ．①即2y ＝ 3＋ 2 t设直线上与点 A 距离为 3 2的点为 B ，且点 B 对应的参数为 t ，则 | AB | ＝ | t | ＝3 2.因此 t ＝±3 2.把 t ＝±32代入①，合适 t ＝ 3 2时，点 B 在点 A 的上方，点 B 的坐标为 ( －5， 6) ；当 t ＝－ 3 2时，点 B 在点 A 的下方，点 B 的坐标为 (1,0) ．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝ 1＋ 4cos y ＝ 2＋ 4sinθ ，θ( θ 为参数 ) ，π直线 l 经过定点 P (3,5) ，倾斜角为3 .(1) 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；(2) 设直线 l 与曲线 C 订交于 A ，B 两点，求 | PA | ·|PB | 的值．解 (1) 曲线 C ： ( x － 1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16，1x ＝ 3＋2t ，直线 l ：( t 为参数 ) ．3y ＝ 5＋ 2 t三、解答题11．已知直线(2)将直线 l 的参数方程代入圆C的方程，可得t 2＋(2＋3 3) t －3＝0，设 t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，因此 | PA|| PB| ＝ | t1|| t2| ＝ | t1t2| ＝ 3.13．在极坐标系中，已知圆心 C 3，π，半径r ＝1. 6(1)求圆的直角坐标方程；3(2)x＝－ 1＋2 t ，( t为参数 ) 与圆交于A，B两点，求弦AB的长．若直线1y＝2t(1) 由已知得圆心C333 3 2 3 2解23，2，半径为 1，圆的方程为x－2＋y－2＝ 1，即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0.3(2) 由x＝－ 1＋2t ，( t为参数 ) ，得直线的直角坐标方程为x－3y＋1＝0，1y＝2t3333－＋ 1圆心到直线的距离221＝＝，d22因此|AB|2＋d2＝1，解得 | AB| ＝ 3. 2四、研究与拓展2x＝－ 4＋2 t ，14．设直线的参数方程为( t为参数 ) ，点P在直线上，且与点M0( －2y＝t24,0)2，若将该直线的参数方程改写成x＝－ 4＋ t ，的距离为( t为参数 ) ，则在这个y＝ t方程中点 P 对应的 t 值为________．答案±12x＝－ 4＋2 t ，剖析由 | PM| ＝ 2知，t＝± 2，将其代入得点 P的坐标为(－02y＝2t ，3,1)x＝－ 4＋ t ，得 t ＝1或 t ＝－1.或 ( － 5，－ 1) ，将点P的坐标代入y＝ t ，15．在极坐标系中，曲线F的极坐标方程为4cos θ. 以极点为原点，极轴为x 轴正半ρ ＝θsin2轴成立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l 1， l 2均过点 F(1,0)，且 l 1⊥l 2，直线 l 1的倾斜角为α .(1)写出曲线 F 的直角坐标方程和 l 1， l 2的参数方程；(2)设直线 l 1和 l 2分别与曲线 F 交于点 A， B 和 C， D，线段 AB，CD的中点分别为 M， N，求 | MN|的最小值．解 (1)：y 2＝4x，1：x＝ 1＋tcos α，t为参数)，(F l y＝ tsin αx＝ 1－tsinα ，( t为参数 ) ．l ：2y＝ tcos α(2) 将lx＝ 1＋ tcos α，1：代入 y2＝4x，y＝tsin α得 t 2sin2α －4t cosα －4＝0，①tA ＋ tB2cos αM2＝sin2 α.则 t ＝将l 2 ：x＝ 1－tsin α，y2＝4 ，代入x y＝ tcos α得 t 2cos2α＋4t sinα －4＝0，②则 t N＝tC ＋ tD＝－2sin α，2cos2α于是 || ＝ |FM|2 ＋|FN|2 ＝t2M＋ t2NMNcos2αsin2 α 2 242＝ 2sin4 α＋cos4 α≥|sinαcos α |＝|sin2α|≥ 4 2，因为α ∈ [0 ，π ) ，因此当且仅当α＝π时，等号成立．4且此时知足方程①②的鉴别式均大于零，故 | MN|的最小值为 4 2.。
高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修[]
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参数方程目标点击：1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.基础知识点击：1、曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.2、求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数；(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程(ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααs i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点.(ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）（2）圆的参数方程(ⅰ)圆222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos r y r x (ϕ为参数)ϕ的几何意义为“圆心角”(ⅱ)圆22020)()(r y y x x =-+-的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕs i n c o s 00r y y r x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“圆心角”（3）椭圆的参数方程(ⅰ)椭圆12222=+b y a x (0>>b a ) 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）(ⅱ)椭圆1)()(220220=-+-by y a x x (0>>b a )的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕϕs i nc o s 00b y y a x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”(4)双曲线的参数方程(ⅰ)双曲线12222=-b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕbtg y a x sec （ϕ为参数）(ⅱ)双曲线1)()(220220=---by y a x x 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ϕϕb t g y y a x x 00s ec （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”（5） 抛物线的参数方程px y 22= (p>0) 的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数） 其中t 的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数（顶点除外）.考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质. 题型一般为选择题、填空题.一、 参数方程的概念一）目标点击：1、理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；2、熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；3、能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；4、能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题；二）概念理解：1、例题回放： 问题1：（请你翻开黄岗习题册P122,阅读例题）已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ，过点P 1(1,0) 作圆C 的任意弦， 交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹方程. 书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M 点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？设M(y x ,) ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k ky k k x ，消去k,得41)23(22=+-y x ，因M 与 P 1不重合，所以M 点的轨迹方程为41)23(22=+-y x （1≠x ）解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程0),(=y x F ,而是通过引入第三个变量k （直线的斜率），间接地求出了x 与y 的关系式，从而求得M 点的轨迹方程.实际上方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k k y k k x （1）和41)23(22=+-y x （1≠x ）（2）都表示同一个曲线，都是M 点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数k 是参数，方程（2）是曲线的普通方程. 由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律， 得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意 义是什么？参数的取值范围？通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：1）形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置(y x ,)和时间t 的对应关系.2）我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组表示质点的运动规律.3)参数t 的取值范围是由t 的物理意义限制的. 2、曲线的参数方程与曲线C 的关系在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈ （*）与曲线C 满足以下条件：（1）对于集合D 中的每个t 0，通过方程组（*）所确定的点（)(),(00t g t f ） 都在曲线C 上；（2）对于曲线C 上任意点（00,y x ），都至少存在一个t 0，满足⎩⎨⎧==)()(0000t g y t f x则 曲线C ⇔ 参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系曲线的普通方程),(y x F ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x 与y之间的直接联系；而参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.参数方程 普通方程 ； 普通方程 参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.问题3：方程222a y x =+（0≠a ）；方程λ=-2222by a x （0≠λ）是参数方程吗？参数方程与含参数的方程一样吗？方程222a y x =+（0≠a ）表示圆心在原点的圆系，方程λ=-2222by a x （0≠λ）表示共渐近线的双曲线系。
高中数学第2讲参数方程3直线的参数方程学案新人教A版
三 直线的参数方程1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点) 2．能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理 直线的参数方程 阅读教材P 35～P 39，完成下列问题．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到定点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M →|.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(0，－4)、(8,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59、(8,0) 【解析】 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？【思路探究】 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．【自主解答】 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)，代入圆方程x 2＋y 2＝9， 得⎝⎛⎭⎪⎫1＋25t ′2＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋15t ′2＝9，整理，有5t ′2＋8t ′－45＝0. 由根与系数的关系，t ′1＋t ′2＝－85，t ′1·t ′2＝－4.根据参数t ′的几何意义． |t ′1－t 2′|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标)．[再练一题]1．(2016·佳木斯调研)在极坐标系中，已知圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程； (2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．【解】 (1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos π6，3sin π6，半径为1，圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.【导学号：91060024】【思路探究】 (1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A 、B 的坐标，也可考虑利用t 的几何意义求解．【自主解答】 (1)由ρ＝25sin θ， 得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0，(*) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0. 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根， ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4， ∴t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，∴由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算． 2．本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．[再练一题]2．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 【解】 (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32,52]．[探究共研型]探究1 若直线【提示】 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0(t 为参数)．探究2 如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上； ②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【思路探究】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【自主解答】 (1)由于直线l ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量 e ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．[再练一题]3．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 5π6＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 5π6＝3＋t 2(t 为参数)．(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义，知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.[构建·体系]直线的参数方程—⎪⎪⎪—直线的参数方程—参数的几何意义—参数方程的简单应用1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°【解析】 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B. 【答案】 B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)【解析】 直线表示过点(1，－2)的直线． 【答案】 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22【解析】 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. 【答案】 B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.【导学号：91060025】【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直， ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，∴k ＝－6. 【答案】 －65．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．【解】 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t ，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝x ＋2＋y －22.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(八) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1－2t(t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C.【答案】 C2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2【解析】 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.【答案】 B3．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， 即x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t(t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线．【答案】 D4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝1－t 与曲线ρ＝2cos θ相交，截得的弦长为( )【导学号：91060026】A.255 B.355C.455D. 5【解析】 曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，标准方程为(x －1)2＋y2＝1，表示以点(1,0)为圆心，半径长为1的圆，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝1－t 的一般式方程为x ＋2y －3＝0，则圆心到直线的距离为d ＝|1＋2×0－3|12＋22＝255，因此直线与圆相交所得的弦长为21－d 2＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝255.【答案】 A5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)【解析】 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6，因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)． 【答案】 D 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 37．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为________．【解析】 由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45(θ为倾斜角)，∴tan θ＝－43，即为直线斜率．【答案】 －438．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 曲线C 1和C 2的普通方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5x －y ＝1(0≤x ≤5，0≤y ≤5)，①②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)． 【答案】 (2,1) 三、解答题9．(2016·扬州月考)在直角坐标系中，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t y ＝12t (t 为参数)的直线l 被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C 所截，求截得的弦长．【解】 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t y ＝12t (t 为参数)表示的直线l 是过点A (2,0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C 为圆x 2＋y 2－2x ＝0.此圆的圆心为(1,0)，半径为1，且圆C 也过点A (2,0)；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在Rt△OAB 中，|AB |＝2cos 30°＝ 3.10．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. [能力提升]1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是【解析】 参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－t ，y ＝2＋32－t【答案】 B 2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6【解析】 直线化为yx＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 【答案】 D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t y ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．【解析】 直线为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离d ＝12＝22，弦长的一半为22－⎝⎛⎭⎪⎫222＝142， 得弦长为14. 【答案】144．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝sin θ1－sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点M (－1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．(1)求直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程； (2)线段MA ，MB 长度分别记为|MA |，|MB |，求|MA |· |MB |的值．【解】 (1)直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，所以极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1，曲线C ：ρ＝sin θ1－sin 2θ即(ρcos θ)2＝ρsin θ， 所以曲线的普通方程为y ＝x 2. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)代入y ＝x 2得t 2－32t ＋2＝0， ∴t 1t 2＝2，∴|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.。
2019_2020学年高中数学第2讲参数方程3直线的参数方程课件新人教A版
三 直线的参数方程
学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、 难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)
自主预习 探新知
教材整理 直线的参数方程
阅读教材 P35～P39，完成下列问题．
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 αα≠π2的直线 l 的参数方程为
(2)若直线yx＝＝－ 12t 1＋
3 2t
(t 为参数)与圆交于 A，B 两点，求弦
AB 的长．
[解]
(1)由已知得圆心 C3cos
6π，3sin
π6，半径为 1，圆的方程
为x－3
2
32＋y－322＝1，
即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0.
直线的参数方程
[探究问题] 1．若直线 l 的倾斜角 α＝0，则直线 l 的参数方程是什么？ [提示] 参数方程为xy＝ ＝xy00＋t， (t 为参数)．
2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？
[提示] 过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
xy＝＝xy00＋＋ttcsions
(2)由yx＝＝12－t 1＋
3 2t
(t 为参数)得直线的直角坐标系方程 x－ 3y
＋1＝0，
圆心到直线的距离
3
d＝
2 3－3 2 2
3＋1＝12，
所以|A2B|2＋d2＝1，解得|AB|＝ 3.
参数方程与极坐标的综合问题
【 例 2 】 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为
[解析] 当 x＝0 时，t＝25，而 y＝1－2t，即 y＝15，得与 y 轴的交 点为0，15；当 y＝0 时，t＝12，而 x＝－2＋5t，即 x＝12，得与 x 轴的 交点为12，0.
高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修
高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修一、教学目标：1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。
2. 让学生掌握参数方程的求解方法，能够将实际问题转化为参数方程进行求解。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 参数方程的定义：引入参数方程的概念，让学生了解参数方程的形式。
2. 参数方程的求解方法：讲解参数方程的求解方法，引导学生掌握求解参数方程的技巧。
3. 实际问题与参数方程：通过实例让学生了解如何将实际问题转化为参数方程，并求解。
三、教学重点与难点：1. 重点：参数方程的概念、参数方程的求解方法。
2. 难点：将实际问题转化为参数方程，求解复杂参数方程。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的概念、求解方法及实际应用。
2. 采用案例分析法，让学生通过实例了解参数方程在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高学生的理解能力。
五、教学过程：1. 引入：通过简单的生活实例，引导学生思考如何用数学模型来描述实际问题。
2. 讲解：讲解参数方程的定义，阐述参数方程与普通方程的区别和联系。
3. 案例分析：分析具体实例，引导学生掌握参数方程的求解方法。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程在实际问题中的应用。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对参数方程概念的理解程度。
2. 练习解答：检查学生练习题的完成情况，评估学生对参数方程求解方法的掌握程度。
3. 课后作业：评估学生课后作业的质量，了解学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏，以提高教学效果。
2. 针对学生的反馈，补充和调整教学内容，使之更符合学生的需求。
3. 注重培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2019-2020学年高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程导学案 新人教A版选修4-4
2019-2020学年高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程导学案 新人教A 版选修4-4知识·巧学直线参数方程的形式过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数),我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式,其中t 为参数.直线参数方程中参数t 的几何意义：表示直线l 上以定点M 0为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段M M 0的数量M 0M.联想发散 很明显,我们也可以把参数t 理解为以M 0为原点,直线l 向上的方向为正方向的数轴上点M 的坐标,其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.t 是直线上有向线段的数量,当α∈(0,π)时,M 在M 0的上方时,t>0；M 在M 0的下方时,t<0；M 与M 0重合时,t=0. 当α=90°时,⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)可化为x=x 0,因此在使用时,不必研究直线斜率不存在时的情况.特别地,若直线l 的倾角α=0时,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=,,00y y t x x 当t>0时,点M 在点M 0的右侧；当t=0时,点M 与点M 0重合；当t<0时,点M 在点M 0的左侧.深化升华 若直线的参数方程为一般形式⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数),可把它化为标准形式：⎩⎨⎧'+='+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t′为参数),其中α是直线的倾斜角tan α=a b,此时参数t′才有如前所说的几何意义.同一直线方程的参数方程有多种形式,如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,221(t 为参数)和 ⎩⎨⎧+=-=ty t x 2,1(t 为参数)表示同一条直线,但后者参数t 没有几何意义.直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数)只有当a 2+b 2=1且b≥0时,参数t 才有意义.对于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t b a b y y t b a a x x 220220,(t 为参数),其中b≥0,若a>0,则直线的倾斜角α为锐角；若a<0,则直线的倾斜角α为钝角；若a=0,则直线的倾斜角α为直角.问题·探究问题 1 在解决某些问题时可以使用某些已知的结论或公式,正确使用这些结论可以简化运算,使问题的解决更快捷.那么对于直线的参数方程又有哪些常用的结论呢? 探究:根据直线参数方程中参数的几何意义,设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααtsin ,cos 00y y t x x (t 为参数),直线l 上点A,B 对应的参数分别为t A 、t B ,则(1)A 、B 两点之间的距离为｜AB ｜=｜t a -t b ｜,特别地,A 、B 两点到点M 0的距离分别为|t A |、|t B |；(2)A 、B 两点的中点所对应的参数为2BA t t +,若点M 0是线段AB 的中点,则t A +t B =0,反之亦然； (3)若直线上的点C 所对应的参数为t C ,C 点分所成的比为λ,则t c =λλ++1BA t t .问题2 通过学习直线参数方程后我们了解到：直线参数方程的一般形式中的参数不具有几何意义,只有标准形式中的参数才具有一定的几何意义.那么直线的一般参数方程怎样才能转化为标准的参数方程呢?探究:给出直线的非标准式参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数),根据标准式的特点,参数t 的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值,根据三角函数的性质知,其平方和为1,所以可以化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯++=+⨯++=t b a b a b y y t b a b a a x x 2222022220,(t 为参数),再近一步令cos α=22ba a +,sin α=22ba b +,根据直线倾斜角的范围让α在［0,π)范围内取值,并且把22b a +t 看成相应的参数t,即得标准式的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数).由转化的过程可以看出,在一般参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数)中,22b a +t 具有标准式参数方程中参数的几何意义.所以,有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用,求出相应的t,再乘以22b a +即可继续使用参数的几何意义.问题3 直线和圆锥曲线的位置关系问题是几何中最常见的问题,对于普通方程,可以把它们的方程联立,根据方程组解的情况来判断交点情况.那么对于参数方程,又该如何判断它们的交点情况呢?探究:对于直线的普通方程可以把直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量后,根据方程解的情况来判断直线和圆锥曲线的交点情况,对于直线的参数方程可以把参数坐标的横坐标和纵坐标直接代入圆锥曲线方程,得到关于参数t 的方程,判断方程的解的情况即可得到直线与圆锥曲线的交点情况.另外,由于直线的参数方程尤其是标准式的参数方程,根据方程容易画出相应的直线.所以,也可以根据方程画出相应的图形,采用数形结合来判断交点情况.当然有些问题也可以把直线的参数方程转化为普通方程来解. 典题·热题例1写出直线2x-y+1=0的参数方程,并求直线上的点M(1,3)到点A(3,7)、B(8,6)的距离. 思路分析：要写出参数方程,首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2,设直线的倾斜角为α,则tan α=2,则sin α=552,cos α=55,根据后边要求的点M 恰好在直线上,为了后边的运算方便,选择M 作为直线上的定点.要求点M 到A 、B 的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以.解：根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为α,则tan α=2,sin α=552,cos α=55, 所以直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 553,5521(t 为参数).经验证易知点A(3,7)恰好在直线上,所以只需由1+552t=3得t=5,即点M 到点A 的距离是5.而点B(8,6)不在直线上,所以不能使用参数t 的几何意义,可以根据两点之间的距离公式求出距离为58)63()81(22=-+-.误区警示本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容,随便取一个定点；②把点B(8,6)当成直线上的点很容易由1+552t=8得t=257.例2设直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22,224(t 为参数),点P 在直线上,且与点M 0(-4,0)的距离为2,如果该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧=+-=t y t x ,4(t 为参数),则在这个方程中点P 对应的t 值为( )A.±1B.0C.±21 D.±23 思路解析：由|PM 0|=2,知PM 0=2或PM 0=2-,即t=2±代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1)；再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.答案：A深化升华 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义,合理使用其几何意义,可以简化运算,使解题过程更加简洁.这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.例3求经过点(1,1),倾斜角为135°的直线截椭圆42x +y 2=1所得的弦长.思路分析：首先可以根据条件写出直线的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,221(t 为参数),代入椭圆的方程可得4)1(2t -+(1+t)2=1.这是一个关于t 的二次方程,根据参数的几何意义可知所求弦长就是方程两根之差的绝对值.解：由条件可知直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,221(t 为参数),代入椭圆方程可得22)221(4)221(t t ++-=1,即25t 2+23t+1=0.设方程的两实根分别为t 1、t 2,则由二次方程的根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,52,5262121t t t t 则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|=526524)526(4)(221221=⨯--=-+t t t t . 误区警示 本题主要使用参数方程中两点的距离公式,易错的地方是:转化参数方程时,计算135°的正弦和余弦值时出错,再者就是距离公式不会灵活使用,而一味地要使用参数的几何意义.例4已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点.求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l 的方程. 思路分析：本题可以使用直线的参数方程来解,也可以使用参数方程来解,但是使用普通方程解,运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角,写出直线的参数方程来解,就可以把问题转化为三角函数的最小值问题,便于计算. 解：设直线的倾斜角为α,则它的方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 3t y t x (t 为参数),由A 、B 是坐标轴上的点知y A =0,x B =0,∴0=2+tsin α,即|PA|=|t|=αsin 2,0=3+tcos α, 即|PB|=|t|=αcos 3-.故|PA|·|PB|=αsin 2(αcos 3-)=α2sin 12-. ∵90°<α<180°,∴当2α=270°,即α=135°时,|PA|·|PB|有最小值.∴直线方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,223(t 为参数),化为普通方程即x+y-5=0. 拓展延伸 直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式,而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.例5已知点M(2,3)和双曲线x 2-22y =1,求以M 为中点的双曲线的弦AB 所在的直线l 的方程. 思路分析：本题仍然可以根据直线过点M(2,3)设出直线的参数方程,假设弦的两个端点对应的参数分别为t a ,t b ,则由M 为弦的中点可知t A +t B =0.把直线的参数方程代入双曲线方程可得关于t 的二次方程,根据根与系数的关系建立方程即可. 解：根据条件可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程可得(2+tcos α)2-2)sin 3(2αt +=1.整理可得(2cos 2α-sin 2α)t 2+(8cos α-6sin α)t-3=0.设弦的两个端点A,B 对应的参数分别为t a ,t b ,因为M(2,3)为弦AB 中点,所以t A +t B =0, 由二次方程根与系数的关系可得αααα22sin cos 2sin 6cos 8--=0,即得8cos α-6sin α=0.易得tan α=34,即直线的斜率为34,可得参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 543,532(t 为参数).则直线的普通方程为y-3=34(x-2),即4x-3y+1=0. 深化升华 本节内容是直线的参数方程,要认真理解参数方程中参数的几何意义,只有这样才能切实感受到它带给我们的方便,还要注意掌握一些重要的性质.直线和圆锥曲线的关系是解析几何研究的主要内容,在解决有关问题时正确地使用参数方程,可以简化运算过程,使过程更加简单清晰.例6已知直线l 1:x-ky+k=0,l 2:kx-y-1=0,其中k 为参数,求l 1,l 2交点的轨迹方程. 思路分析：本题为求直线的交点轨迹方程问题,由直线方程的形式,既可以考虑参数方程来求解,又可以化为普通方程来求解,但在化为普通方程时需注意其等价性. 解法一：求出两直线的交点坐标,即解方程组⎩⎨⎧=--=+-.01,0y kx k ky x .当k 2≠1时,得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=11,12222k k y k k x （k 为参数）. 这就是所求轨迹的参数方程,但如果要求轨迹的普通方程,需消去参数k.解法二：由kx-y-1=0,当x≠0时,可得k=x y 1+,代入方程x-ky+k=0,得x-xy x y y 12+++=0,去分母,化简得x 2-y 2+1=0(x≠0).当x=0时,存在k=0,使得y=-1.所以所求轨迹的普通方程为x 2-y 2+1=0(y≠1).方法归纳 (1)解法二中,方程两边同除以x,会丢x=0的解；方程两边同乘以x,会增x=0的根,所以最后得到轨迹方程后应检验是否是同解变形.(2)两种方法得到轨迹的不同形式的方程,只要把参数方程中的参数消去,便可得到同样的普通方程.。
2019-2020学年高中数学第2章参数方程2.3直线的参数方程第二课时学案新人教A版选修.doc
2019-2020学年高中数学第2章参数方程2.3直线的参数方程第二课时学案新人教A 版选修三维目标:知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
学习重点：参数t 的含义，直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e 的含义。
学习难点：如何引入参数t ，理解和写直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。
知识链接: 1、直线参数方程的形式。
2、参数t 的几何意义.B 例1、已知直线L:x+y-1=0与抛物线x 2+y 2=4交与A 、B 两点，求AB 的长和M(-1,2)到A 、B 两点距离之和与距离之积。
C 例2、当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成，并以40km/h 的速度向西北方向移动，已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后，该城市开始受到台风侵袭？训练：A1、若点P 是极坐标方程为3πθ=的直线与参数方程为⎩⎨⎧+==θθ2cos 1cos 2y x （θ为参数）的曲线的交点，则P 点的坐标为 .B2、直线L 经过点 )5,1(0M 、倾斜角为3π （1）求直线l 的参数方程； （2）求直线l 和直线 032=--y x 的交点到点)5,1(0M 的距离；（3）求直线l 和圆22x y 16+=的两个交点到点)5,1(0M 的距离的和与积.C3、经过点M （2,1）作直线L ，交椭圆141622=+y x 于A ，B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线L 的方程。
高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程预习导航学案 新人教A版选修44
三 直线的参数方程预习导航1．直线的参数方程的标准形式过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的普通方程为y －y 0＝(x －x 0)tan α，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．我们通常把这种形式称为直线参数方程的标准形式．其中参数t 的几何意义是：|t |是直线上的动点M (x ，y )到定点M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.若t ＞0，则0M M 的方向向上； 若t ＜0，则0M M 的方向向下； 若t ＝0，则点M 与点M 0重合．思考1 如何根据直线的参数方程求直线的倾斜角？提示：根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 20°，y ＝－4＋t sin 20°(t 为参数)，可以直接判断出直线的倾斜角是20°.如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了，例如判断直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin 20°＋3，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角，有两种方法：第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．把参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，有y ＝－x －3tan 20°，即y ＝(x －3)tan 110°，所以直线的倾斜角为110°.第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋(－t )cos 110°，y ＝(－t )sin 110°.令－t＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°.思考2 如何把直线的一般参数方程化为标准参数方程？提示：给出直线的非标准式参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，根据标准式的特点，参数t 的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质知其平方和为1，所以可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2×a 2＋b 2t ，y ＝y 0＋b a 2＋b2×a 2＋b 2t(t 为参数)，再进一步令cos α＝a a 2＋b 2，sin α＝b a 2＋b2，根据直线倾斜角的范围让α在[0，π)范围内取值，并且把a 2＋b 2t 看成相应的参数t ′，即得标准式的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ′cos α，y ＝y 0＋t ′sin α(t ′为参数)．归纳总结 由转化的过程可以看出，在一般参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)中，a 2＋b 2t 具有标准式参数方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直接求出相应的t ，再乘a 2＋b 2即可继续使用标准形式中参数的几何意义．。
【倾斜】2020学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案新人教A版选修44
【关键字】倾斜三直线的参数方程1．直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为(t为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0.2．直线参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．(1)当M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．(2)当M―→与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.[例1] l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则tan α＝，sin α＝，cos α＝.又点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．答案：(t为参数)2．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：设直线的参数方程为将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3(3＋t)＋2(4＋t)＝6.解得t＝－，∴|MP0|＝|t|＝.直线参数方程的应用[例2](1)写出直线l的参数方程．(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l过点P(1,1)，倾斜角为，∴直线的参数方程为即为所求．(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A(1＋t1,1＋t1)，B(1＋t2,1＋t2)，以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(＋1)t－2＝0，①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x2＋y2＝7相交于A、B两点．(1)求弦长|AB|；(2)求A、B两点坐标．解：∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，∴可设直线l的参数方程为代入圆方程，得(－4＋t)2＋(t)2＝7.整理得t2－4t＋9＝0.设A、B对应的参数分别t1和t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1t2＝9∴|AB|＝|t2－t1|＝＝2.解得t1＝3，t2＝，代入直线参数方程得A点坐标(，)，B点坐标(－，)．4.如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t .答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即2－52＋－1－02＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－4x －53，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0.(2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
2019-2020学年数学人教A版4-4课件：2.3 直线的参数方程
(t 为参数),
= 3 + sin50°
故倾斜角等于 50°.
答案：(1)
=
=
1
1 + ,
2
(t 为参数)
3
5+
2
(2)50°
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第五页，编辑于星期六：二十三点 五十三分。
三 直线的参数方程
做一做2
式方程为
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若直线的参数方程为
.
X 新知导学 D答疑解惑
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆x2+y2=4相交于A,B两点,求点P到点A,B的距离之积.
分析：(1)由直线参数方程的概念可直接写出方程;(2)充分利用参数的
几何意义求解.
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第十二页，编辑于星期六：二十三点 五十三分
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三 直线的参数方程
探究一
探究二
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三 直线的参数方程
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第一页，编辑于星期六：二十三点 五十三分。
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D当堂检测
ANGTANGJIANCE
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.掌握直线参数方程的标
准形式,理解参数 t 的几何 直线的参数方程
直线的参数方程
= 3 + 3
的参数方程.如果是直线 l 的参数方程,那么请指出方程中的参数 t
是否具有标准形式中参数的几何意义.
= 0 + ,
分析：判断直线的参数方程是否为标准形式,主要看 = 0 +
高中数学新人教版A版精品教案《三 直线的参数方程》
《直线的参数方程》教学设计嫩江县高级中学 于翠玲教学目标：1利用向量知识，推导出直线的标准参数方程，利用向量和数轴的知识来理解参数t 的几何意义，并进行简单应用；体会直线参数方程在解决解析几何问题中的作用。
2通过对直线参数方程的推导与应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想。
3 通过推导直线参数方程的过程，激发学生的求知欲和学习数学的兴趣，培养学生积极探索、勇于钻研的科学精神和严谨的科学态度。
教学重点：通过运动变化的过程联系向量的知识，写出直线的参数方程。
教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系。
教学方式：启发、探究、交流与讨论教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫通过学案设计知识链接问题：1直线的倾斜角的范围是什么？2单位向量的定义是什么？3直线方向向量是什么？4平面向量的共线定理是什么？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。
【设计意图】这些知识在推导直线的参数方程中会应用，但是学生有些遗忘，设计以上问题是为学生推导直线的参数方程做好准备。
二、直线参数方程探究问题1：已知一条直线过定点),(000y x M ，倾斜角为α，求这条直线的普通方程。
问题2：:你认为应如何选择参数来表示直线的参数方程？问题3：推导过定点),(000y x M ，倾斜角为α的直线的参数方程。
【设计意图】通过以上问题引导学生综合运用所学知识，获取直线的方向向量，得出直线的参数方程，培养学生探索精神，体会数形结合思想．三、分析直线的参数方程问题4：直线的参数方程中那些是变量那些是常量？方程有什么形式上的特点？【设计意图】让学生更好的理解直线的标准参数方程，有利于学生区分直线的标准参数方程和一般参数方程，为下一节做铺垫。
问题5：参数t 的取值范围是什么？问题6：由e t M M =0你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何意义吗？【设计意图】通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为应用参数解决有关问题打基础。
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2019-2020年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案新人教A版选修4[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。