锐角三角函数的认识
解读锐角三角函数
解读锐角三角函数锐角三角函数是介于0到90度之间的角的三角函数。
它们包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan），在数学和物理学等领域中有广泛的应用。
锐角三角函数的定义如下：- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以斜边得到的比值。
- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，其中一锐角的邻边除以斜边得到的比值。
- 正切函数（tan）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以邻边得到的比值。
正弦函数的值在0到1之间变化，其中sin(0) = 0，sin(90) = 1、余弦函数的值也在0到1之间变化，其中cos(0) = 1，cos(90) = 0。
正切函数的值在负无穷到正无穷之间变化，其中tan(0) = 0，tan(90) = 无穷。
锐角三角函数在几何学中的应用非常广泛。
它们可以用来计算三角形的边长和角度，求解直角三角形以及一般三角形的问题。
例如，知道一个直角三角形的一条边和一个锐角，可以利用锐角三角函数来计算其他边的长度。
此外，锐角三角函数还可以用来计算三角形的面积和高度等问题。
锐角三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，在力学中，可以利用正弦函数和余弦函数来分解复杂的力或速度矢量，并求解它们的分量。
在电工学中，正弦函数和余弦函数可以用来表示交流电的电压和电流。
在波动学中，正弦函数可以描述声波和光波的传播过程。
此外，锐角三角函数还出现在信号处理、图像处理和计算机图形学中。
它们可以用来模拟和处理信号、图像和曲线，从而实现音频和视频的压缩、滤波和变换等技术。
总之，锐角三角函数在数学和物理学等领域中是非常重要的。
它们的应用范围广泛，不仅可以用来解决数学和几何学问题，还可以用来研究自然科学和工程领域的现象和问题。
熟练掌握和理解锐角三角函数的特性和应用，对于学习和研究这些领域都具有重要意义。
《锐角三角函数》 讲义
《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。
以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。
需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。
二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。
30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。
45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。
60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。
三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，测量物体的高度。
如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。
假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。
再比如，测量河流的宽度。
我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。
四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。
2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。
《锐角三角函数》教学设计
《锐角三角函数》教学设计一、教学目标：1.了解什么是锐角三角函数；2.掌握正弦、余弦、正切的定义和计算方法；3.掌握锐角三角函数的性质和图像特点；4.能够应用锐角三角函数求解实际问题。
二、教学重点：1.正弦、余弦、正切的定义和计算方法；2.锐角三角函数的性质和图像特点。
三、教学难点：1.锐角三角函数的性质和图像特点。
四、教学过程：1.导入新知识向学生提问：“你们知道什么是三角函数吗？”接着引导学生回忆正弦、余弦、正切的定义和计算方法。
2.学习正弦、余弦、正切的定义和计算方法首先，给出锐角的定义：“锐角是指小于90°的角”。
然后，给出三角函数的定义：正弦（sin）：在锐角∠A中，它的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA。
余弦（cos）：在锐角∠A中，它的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作cosA。
正切（tan）：在锐角∠A中，它的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA。
接着，通过例题进行讲解，让学生掌握如何计算正弦、余弦、正切。
3.学习锐角三角函数的性质和图像特点介绍锐角三角函数的性质：正弦函数的性质：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递增。
余弦函数的性质：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递减。
正切函数的性质：定义域是全体非零实数，值域是全体实数，在每个周期内都是振荡的。
然后，通过绘制锐角的基本函数图像，让学生观察锐角三角函数的图像特点。
4.练习运用锐角三角函数设计练习题，让学生运用锐角三角函数求解实际问题，如航空导弹的打击角度、建筑物的高度等。
五、教学总结对本节课的内容进行总结，强调重点。
六、板书设计锐角三角函数正弦：sinA = 对边/斜边余弦：cosA = 邻边/斜边正切：tanA = 对边/邻边锐角三角函数的性质：正弦函数：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递增。
余弦函数：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递减。
正切函数：定义域是全体非零实数，值域是全体实数，振荡。
锐角三角函数
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。
锐角三角函数知识点
锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。
2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。
一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。
3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。
二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。
圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。
2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。
三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。
2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。
四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
锐角三角函数(正切)
正切函数的单调性
总结词
正切函数在开区间(-π/2, π/2)上是 单调递增的。
详细描述
在区间(-π/2, π/2)内，随着角度的 增加，正切函数的值也会增加。这 意味着在这个区间内，正切函数是 单调递增的。
03
正切函数的应用
在几何学中的应用
计算直角三角形中的边长
通过已知的直角三角形中的两个边长， 使用正切函数可以计算出未知的边长。
总结词
30度角的正切值是三角函数中一个重要的基础值。
详细描述
在直角三角形中，当锐角为30度时，对边与邻边的比值即为正切值。具体地，30度角的正切值等于对边长度除以 邻边长度，结果为$tan 30^circ = frac{sqrt{3}}{3}$。这个值在三角函数计算中经常用到，是三角函数的基础之 一。
05
练习与思考
练习题一：求正切值
总结词
掌握计算方法
详细描述
通过观察锐角三角形的边长关系，理解正切函数的定义，掌握利用已知边长求正切值的方法。
练习题二：判断正切函数的奇偶性
总结词
理解奇偶性
详细描述
通过分析正切函数的定义域和值域， 理解正切函数的奇偶性，掌握判断正 切函数奇偶性的方法。
练习题三：应用正切函数解决实际问题
45度角的正切值
总结词
45度角的正切值是另一个重要的基础值，具有特殊的数学意 义。
详细描述
在直角三角形中，当锐角为45度时，对边与邻边的比值即为 正切值。具体地，45度角的正切值等于对边长度除以邻边长 度，结果为$tan 45^circ = 1$。这个值在三角函数计算中经 常用到，特别是在等腰直角三角形中。
锐角三角函数（正切）
目录
• 引言 • 正切函数的性质 • 正切函数的应用 • 特殊角的正切值 • 练习与思考
锐角三角函数讲义
锐⾓三⾓函数讲义锐⾓三⾓函数讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1锐⾓三⾓函数第⼀课时:三⾓函数定义与特殊三⾓函数值知识点⼀：锐⾓三⾓函数的定义：⼀、锐⾓三⾓函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表⽰为：sinA= ，∠A 的余弦可表⽰为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐⾓三⾓函数例1．如图所⽰，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______，斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=______．例2. 锐⾓三⾓函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sin A＝______，cos A＝______，tan A＝______，sin B＝______，cos B＝______，tan B＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．对应练习:1、在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．2、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．25247C BA3、已知α是锐⾓，且cos α=34，求sin α、tan α的值．4、在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ．5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA 的值等于（）.A ．35B. 45C. 34D. 436、在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA4，c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上⼀点，且P 点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．知识点⼆：特殊⾓的三⾓函数值当时，正弦和正切值随着⾓度的增⼤⽽余弦值随着⾓度的增⼤⽽例1．求下列各式的值．（1）.计算：?-?+?60tan 45sin 230cos 2．（2）计算：?-?+?30cos 245sin 60tan 2.例2．求适合下列条件的锐⾓．(1)21cos =α(2)33tan =α（3）已知为锐⾓，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值例3.三⾓函数的增减性1．已知∠A为锐⾓，且sin A <21，那么∠A的取值范围是A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°2.已知A为锐⾓，且030sincos<A，则（）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型⼀特殊三⾓函数值与计算1、（1）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°（2）计算：30tan2345sin60cos221-++．（3）计算： tan 45sin 301cos 60?+?-?；(4)222sin =α (5)33)16cos(6=- α（）在ABC ?中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐⾓，求C ∠类型⼆：利⽤⽹格构造直⾓三⾓形1、如图所⽰，△ABC 的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinACBA2、如图，△ABC 的顶点都在⽅格纸的格点上，则sin A =_______.3、如图，A 、B 、C 三点在正⽅形⽹络线的交点处，若将ABC ?绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ?，则'tan B 的值为A.41 B. 31 C.21D. 14、正⽅形⽹格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（）A ． 5 5B. 2 5 5C.12 D. 2类型三：直⾓三⾓形求值1、已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2、如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．ABO3、已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦⼼距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4、已知A ∠是锐⾓，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值类型四. 利⽤⾓度转化求值：1、已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上⼀点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2、如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上⼀点，则cos ∠OBC 的值为（） A ．12B．32C ．35D ．45D C B A Oy x第8题图3、如图，⾓α的顶点为O ，它的⼀边在x 轴的正半轴上，另⼀边OA 上有⼀点P （3，4），则 sin α= ．4、如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的⾯积= cm 2．5、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．23B ．32C ．34D ．436、如图，沿AE 折叠矩形纸⽚ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECBF7、如图，在等腰直⾓三⾓形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上⼀点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．228、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABC类型五. 化斜三⾓形为直⾓三⾓形1、如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC ＝5．求：sin∠ABC的值．3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）4、已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的⾯积等于9，求sin B．5、ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的⾯积是A.23 cm 2 .43 cm 2 C.63 cm 2 cm 2第⼆课时：解直⾓三⾓形知识点三：解直⾓三⾓形1．在解直⾓三⾓形的过程中，⼀般要⽤的主要关系如下：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐⾓之间的关系：__________________________________．③边与⾓之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直⾓三⾓形中成⽐例的线段．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型⼀例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． (1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的⾯积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．知识点四：三⾓函数应⽤类型⼀：三⾓函数在⼏何中的应⽤1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，?=1312sin A求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．DCBA5.如图，△ABC 中，∠A=30°，tan 2B =，AC =AB 的长.ACB第三课时，解直⾓三⾓形应⽤类型⼆：解直⾓三⾓形的实际应⽤。
(完整)锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值,并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系"及“锐角三角函数值随角度变化的规律".【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时,比值也随之变化． （2）sinA ，cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF"；另外,、、常写成、、．(3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°〈∠A〈90°间变化时,，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值锐角Ca bc30°45°160°要点诠释:（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．（2)仔细研究表中数值的规律会发现:、、的值依次为、、,而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小)而增大(或减小）；②余弦值随锐角度数的增大(或减小）而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°．(1）互余关系：，;(2)平方关系:; （3)倒数关系：或；（4）商数关系：．要点诠释:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B，C都在格点上,则∠ABC的正切值是（）A ．2B ．C ．D ．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【答案】D ． 【解析】 解:如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2,BC=， ∴△ABC 为直角三角形, ∴tan ∠B==，故选：D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数． 举一反三:【变式】在Rt ΔABC 中,∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ,sinA = , cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ,sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值:(1）（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；ACa bc(2）(2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)(2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：(1）原式==122-．(2）原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；（3）原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中,∠C=90°，若∠A=45°,则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°,sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+｜sinB﹣｜=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求(1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值．【答案与解析】解：（1）∵｜1﹣tanA)2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°,∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC,∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB,∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6,AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中,63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质,利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC,由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知,而已知CD ＝6，AB ＝10,可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①,在△ABC 中，AB ＝AC,顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题:(1）sad60°＝________．(2）对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．（3）如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1）1； （2)0＜sadA ＜2;(3）如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a,∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】（1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等,故sadA ＝1；（2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；（3）将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示,根据定义可求解．。
锐角三角函数的解题技巧
(1)平方关系：sin2α＋cos2α=1
(2)商数关系：
（三）两角的关系
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．
答案：D
分析：
(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过 来求值．
(2)已知tanα的值，也可通过 ，把要求的式子的分子，分母同时除以cos2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．
点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．
2、化简计算
例3、计算
分析：
这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．
(5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
2、同名三角函数值的变化规律
当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．
三、解题方法技巧点拨
1、求锐角三角函数的值
例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，求cosB，tanB的值．
分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解．
5、求线段长与面积
例6、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．
分析：
题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．
点评：
（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．
锐角的三角比_知识讲解
锐角的三角比知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系〞及“锐角三角函数值随角度变化的规律〞.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA b AA a∠==∠的邻边的对边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边；cotB aBB b∠==∠的邻边的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA，cotA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，cot A•不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A，cot与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠〞，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF〞，不能写成“tanAEF〞；另外，、、、2cot A（）常写成、、、2cot A．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值锐角 cot α 30° 45° 1 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：假设，那么锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 要点三、锐角三角函数之间的关系如下图，在Rt △ABC 中，∠C=90°． (1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商的关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如下图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切、余切值．【答案与解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ∵ AB ＝13，BC ＝5． ∴222213512AC AB BC --=．∴5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==，5tan 12BC A AC ==，12cot 5AC A BC ==； 12sin 13AC B AB ==，5cos 13BC B AB ==，12tan 5AC B BC ==，5cot 12BC B AC ==．【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，假设a=3，b=4，那么c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c=5，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求以下各式的值：(1)sin30°-2cos60°+cot45°； (2)tan30sin30cot45tan60••°°°°；(3)11(1|1sin30|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭°．【答案与解析】(1)原式11121222 =-⨯+=；(2)原式116 ==；(3)原式115 11212222 =--+=-+=．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进展化简．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，假设∠A=45°，那么∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B =45°，sinA =22，cosA =22，sinB =22，cosB =22． 类型三、锐角三角函数之间的关系3．(1)求锐角； (2)求锐角． 【答案与解析】(1)先将方程变形后再求解．∴锐角=30°．(2)先将方程因式分解变形．∴锐角=45°．【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如下图，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 假设弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACP ＝90°，又∵∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ， ∴△PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====． 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PCAPC PA∠=，PC 、PA 均为未知，而CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解以下问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值围是_______．(3)如图1②，sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴10sadA BD AD ==． 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，那么sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，那么sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
锐角三角函数的定义和性质
奇偶性
锐角三角函数是周 期函数，具有周期 性
锐角三角函数值在 各个象限内具有对 称性
锐角三角函数值在 实数轴上具有对称 性
锐角三角函数值的 大小随着角度的增 大而减小
周期性
锐角三角函数的周期为360度 正弦函数和余弦函数的周期性 正切函数和余切函数的周期性 周期性在三角函数计算中的应用
诱导公式
锐角三角函数的定义和 性质
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汇报人：XX
目录
01 锐 角 三 角 函 数 的 定
义
02 锐 角 三 角 函 数 的 性
质
Part One
锐角三角函数的定 义
正弦函数的定义
正弦函数是锐角三角函数的一种，表示直角三角形中锐角的对边与斜边的比值。 正弦函数的定义域是角度在0到90度之间的所有实数，值域是所有实数。 正弦函数在第一象限内是单调递增的，在第二象限内是单调递减的。 正弦函数的周期为360度，即对于任意整数k，函数值在角度增加或减少360k度时保持不变。
单击添加标题
锐角三角函数的定义：在直 角三角形中，锐角三角函数 的定义为对边与斜边的比值，
即sinθ=对边/斜边， cosθ=邻边/斜边，tanθ=
对边/邻边。
单击添加标题
锐角三角函数的性质：锐角 三角函数具有周期性、对称 性、单调性等性质。例如， 正弦函数sinθ在(0,π)区间 内是单调递增的，余弦函数 cosθ在(0,π)区间内是单调
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的一种，表示直角三角形中邻边与斜边的比值 余弦函数的定义域为角度x，取值范围为[-1,1] 余弦函数在锐角（0°-90°）范围内是单调递减的 余弦函数具有偶函数的性质，即f(-x) = f(x)
锐角三角函数的定义第1课时说课稿
《28.1锐角三角函数的定义》第1课时说课稿
（一）教学目标：
1、理解锐角三角函数的意义，并能根据概念正确进行计算.
2、培养学生从感性认知到理性证明，由特殊到一般的演绎推理能力.
3、培养学生独立思考、讲解展示、合作交流的能力.
（二）教学重点、难点：
重点：理解认识锐角三角函数概念，能用锐角三角函数概念进行简单的计算.
难点：引导学生比较、分析并得出：对任意给定锐角，它的边的比值是固定值.
突出重点、突破难点的策略：从特殊角性质入手，猜想任意锐角的边是否也有固定比值，结合几何画板直观演示，借助相似知识证明结果，配合由浅入深的练习，正练反练变形练，使学生不但知道对任意给定锐角，它的边的比值是固定值，而且加以论证并会运用. （三）教学过程
感谢您百忙之中的聆听，您的悉心指导是我教育教学进步的源泉！。
锐角三角函数的定义和基本关系
汇报人：xxx
01
锐角三角函数的定义
02
锐角三角函数的基本关系
03
锐角三角函数的性质
目录 CONTENTS
PART 01
锐角三角函数的定义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是锐角三角函数的一种，定义为直 角三角形中锐角的对边与斜边的比值。
单位圆定义
正弦函数也可以通过单位圆上的点来定义， 即单位圆上一点到原点的连线与x轴正方向 的夹角为锐角时，该点的纵坐标即为正弦函 数的值。
周期性在锐角三角函数的应用中非常重要。例如，在信号处理、振动分析、波动传播等领域中， 周期性都是一个关键概念。
周期性与三角函数的基本关系
锐角三角函数的周期性与三角函数的基本关系密切相关。例如，正弦函数和余弦函数的基本关 系可以通过周期性来解释和推导。
奇偶性
定义
锐角三角函数的奇偶性是 指函数值随着角度的变化 而呈现的奇数或偶数特性。
定义域 02
锐角三角函数的定义域为所有锐角，即角 度在0°到90°之间的角。
谢谢
汇报人：xxx
02 角度和为90度
互余角的角度和为90度，这是锐角三 角函数的基本性质，也是计算其他角 度的基础。
PART 03
锐角三角函数的性质
周期性
锐角三角函数的周期性
锐角三角函数的周期性是指三角函数值在锐角范围内的重复出现。例如，正弦函数和余弦函数 的值在每个周期内都会重复，周期长度为360度。
周期性与三角函数的应用
余弦函数的定义
余弦函数的定义
在直角三角形中，余弦函数定义为邻边长度除以斜边长度。
正切函数的定义
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比值。
锐角三角函数的定义
① B 'C ' BC ，在 RtABC C 90 ，当 A 确定时，它的对边与斜边的比是一个定
AB ' AB 值；
② AC ' AC ，在 RtABC C 90 ，当 A 确定时，它的邻边与斜边的比是一个定
AB ' AB 值；
③ B 'C ' BC ，在 RtABC C 90 ，当 A 确定时，它的对边与邻边的比仍然是一
【答案】 1 【解析】 原式 sin 53 sin 53 cos53 s cos53 sin2 53 cos2 53 1． 13、（2014 中考丰台二模）如图，将一副三角板按图中方式叠放， BC 4 ，那么 BD __________
【答案】
第 10 页，共 26 页
锐角三角函数
30° 【解析】 ∵ sin 60 co（ s 90 60）， ∴ cos co（ s 90 60） cos30 ，即锐角 30 ．
12、 sin 53cos37 cos53sin 37 _________
AC 5 5 故选 C． 2、（2014 初三上期末通州区）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个
第 5 页，共 26 页
锐角三角函数
顶点均在格点上，E 为 BC 中点，则 sin AEB 的值是（ ）
A． 5 5
B． 3 4
C． 3 5
D． 4 5
【答案】 D 【解析】 该题考查的是三角函数的定义．
锐角的正弦和正切随角度的增大而增大，锐角的余弦随角度的增大而减小． 四、 三角恒等式
①若 A 与 B 互余：则 sin A cos B ， tan A 1 ． tan B
锐角三角形函数
锐角三角形一、知识归纳1、锐角三角函数定义。
2、互余角的三角函数间的关系。
sin(900-α)=cosα, cos(900-α)=sinα,tan(900-α)=cotα, cot(900-α)=tanα.3、同角三角函数间的关系：平方关系：sin2α+cos2α=1倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)商的关系：tanα=, cotα=. （这三个关系的证明均可由定义得出）4、三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）00～900的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在00～900间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在00≤α≤900间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在00<α<900间变化时，tanα>0, cotα>0.二、例题分析1、已知在△ABC中，∠C=900，sinA=，求cosA+tanB.解法1：在△ABC中，∠C=900， sinA=，设BC=3k, AB=5k,∴由勾股定理可得AC=4k,∴cosA=, tanB=,∴cosA+tanB=+=.解法2：在△ABC中，∠C=900，∠A+∠B=900，∴sin2A+cos2A=1,∵sinA=,∴cosA===,∵cotA===,∴tanB=cotA=,∴cosA+tanB=+=.说明：已知一个角的三角函数值，求其他的三角函数值时，常用的方法有两个：利用定义或三角函数之间关系。
2、如图△ABC中，∠BAC=1200，AB=10，AC=5，求sinB·sinC的值。
分析：由所求得知，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是600，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中，所以考虑分别过点B，C向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解。
初中锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 为△ABC 中的一锐角，则有∠A 的正弦：斜边的对边A A ∠=sin c a =∠A 的余弦：斜边的邻边A A ∠=cos cb =∠A的正切：的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba =2、特殊角的三角函数值（1）图表记忆法 （2）规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、23；30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、 30°角的正弦值。
邻边C（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°=3=tan45°=13=．这种方法有趣、简单、易记． 考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．lhi==αtan二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016?陕西）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）A． B． C． D．2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．【解析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算．【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点C（﹣1，4），如图所示，作CD⊥AB于D．在RT△ACD中，tan∠CAD===2，故答案为D．（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、（2016?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8 ．B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈．（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8（2）3sin73°52′≈×≈故答案为：8，例3、（2015?陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为米，铅直高度BC为米，则∠A的度数约为°（用科学计算器计算，结果精确到°）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．【解答】解：∵tan∠A==≈，∴∠A=°，故答案为：°．【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．例4、(2014?陕西)用科学计算器计算：+3tan56°≈（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】先用计算器求出′、tan56°的值，再计算加减运算．【解答】解：≈，tan56°≈，则+3tan56°≈+3×≈故答案是：．【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到．例5、(2014?陕西)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、（12分）（2015?陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为24；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．.【专题】综合题．【解析】（1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC 周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD 相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形，∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，∴AB=2BE=8，AE==4，则S △BMC=BC?AE=24；故答案为：24；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，∴BE=4，AE=BE?tan60°=4，∴CC′=2CD=2AE=8，∵BC=12，∴BC′==4，∴△BNC周长的最小值为4+12；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4﹣OQ，在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4﹣OQ）2，解得：OQ=，∴OB=，∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，则此时cos∠BPC的值为．【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．例7、（10分）(2014年陕西省)已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x 轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．菁优网版权所有【分析】（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，∴，解得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，xKb om∴M（﹣1，4）．（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN?NN′=16，∴NN′=4．i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．例8、（12分）(2014?陕西)问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F 分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【专题】压轴题；存在型．【分析】（1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．【解答】解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，则PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°．∵PA=PD，AB=DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP=CP．∵BC=4，∴BP=CP=2．②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，．则DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．∵AB=3，BC=4，∴DC=3，DP′=4．∴CP′==．∴BP′=4﹣．③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，则AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=．综上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4﹣；若AP=AD，则BP=．（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF=BC．∵BC=12，∴EF=6．以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．∵AD⊥BC，AD=6，∴EF与BC之间的距离为3．∴OQ=3∴OQ=OE=3．∴⊙O与BC相切，切点为Q．∵EF为⊙O的直径，∴∠EQF=90°．过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，∴四边形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，∴BG=．∴BQ=GQ+BG=3+．∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+．（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．则⊙O是△ABG的外接圆，∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，∴AP=PB=AB．∵AB=270，∴AP=135．∵ED=285，∴OH=285﹣135=150．∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，∴∠BAK=∠GAK=30°．∴OP=AP?tan30°=135×=45．∴OA=2OP=90．∴OH＜OA．∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，∴HM===30．∵AE=400，OP=45，∴DH=400﹣45．若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45+30．∵400﹣45+30＞340，∴DM＞CD．∴点M不在线段CD上，应舍去．若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．∵400﹣45﹣30＜340，∴DM＜CD．∴点M在线段CD上．综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，此时DM的长为（400﹣45﹣30）米．X|k | B| 1 . c |O |m【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容，三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角函数教学中容易出现的几种“错误”进行分析：1．对应关系混淆【1】如图9，先进村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的图9水平距离为a 米，那么这两树在坡面上的距离AB 为 （ ）A. a a cos 米B.αcos a 米 C. a a sin 米 D. αsin a 米 解析：分别过点B ，A 作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C 。
锐角三角函数的知识点
锐角三角函数的知识点
一、锐角三角函数：（∠A 为锐角）
1.三角函数的定义：∠A 在直角三角形中
⑴正弦：sinA=
斜边的对边A ∠； ⑵余弦：cosA=斜边的邻边
A ∠；
⑶正切：tanA=
的邻边的对边A ∠∠A ； ⑷余切：cotA=的对边
的邻边
A A ∠∠.
2.取值范围：⑴ 1＞sinA （cosA ）＞0；⑵ tanA （cotA ）＞0.
3.互余两角的三角函数关系：⑴sin α= cos （900
-α）
⑵cos α= sin （900
-α）
⑶tan α=cot （900
-α）
⑷cot α= tan （900
-α） 4.特殊角的三角函数值：
5.增减性：（0
0＜α＜0
90）
⑴ sin α（tan α）随着α的增大而增大；
⑵ cos α（cot α）随着α的增大而减小.
6.同角三角函数关系：
⑴ 平方关系：sin 2α+ cos 2
α=1. ⑵ 倒数关系：tan αcot α=1. ⑶ 商数关系：tan α=
ααcos sin ；cot α=α
α
sin cos .
二、解直角三角形：
1.定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解这个直角三角形.
2.解直角三角形的基本工具：⑴三边关系；⑵两锐角的关系；⑶边与角的关系.
三、应用举例：
1. 俯角、仰角的概念：
2. 坡度（即坡比）：i=h ︰l
坡角为α,则tan
视线
俯角仰角水平线视线铅
垂
线。
如何理解锐角三角函数应有的函数之义
如何理解锐角三角函数应有的函数之义作者：***来源：《初中生世界·九年级》2022年第02期“锐角三角函数”是苏科版初中数学教材九年级第七章的内容。
在此之前，我们已经学习了一次函数、反比例函数以及二次函数，但很多同学感到锐角三角函数与以上函数不同，或者说并没有体会到锐角三角函数应有的函数之义，而是把锐角的正弦、余弦、正切当成数学公式了。
接下来，我们将再次认识锐角三角函数。
一、函数与锐角三角函数在初中数学教材中的设置函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律用不同的函数来刻画。
“函数”是2011年版《义务教育数学课程标准》中“数与代数”部分的重要内容，具体包含一次函数、反比例函数及二次函数。
初中阶段的函数定义为：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
三类常见函数的不同之处在于函数的表达式不同，它们的一般式分别为y=kx+b（k≠0）、y=[kx]（k≠0）、y=ax2+bx+c（a≠0），但研究它们时却表现出相同的路径，即感受实例中的变量关系→形成概念及其表达形式（表格、图像、表达式）→研究函数的图像与性质→运用函数解决简单的问题。
而“锐角三角函数”是2011年版《义务教育数学课程标准》中“图形与几何”部分的重要内容。
其实，“锐角三角函数”属于三角学，中学数学把三角学分成两部分：第一部分安排在初中阶段，研究锐角三角函数的概念和解直角三角形;第二部分安排在高中階段，主要研究任意角的三角函数、解斜三角形等。
二、对锐角三角函数概念的理解三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用。
锐角三角函数是三角函数的基础内容，它将函数与三角形的知识联系起来，也是解决实际问题的重要方法。
教材中通过问题探究，发现：任意大小的直角三角形，只要其中一个锐角确定，那么这个角的对边与斜边的比值就是一个固定值，可以用相似三角形的知识证明这个结论，并把这个固定值确定为这个锐角的正弦。
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星火教育一对一辅导教案学生姓名性别年级9年级学科数学授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题锐角三角函数的认识教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义；2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值；3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4. 运用三角函数的关系化简或求值。
教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比.2.添加辅助线解直角三角形课后作业详见教案提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：（注意咯，下面可是黄金部分！）知识点1 正切定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tan A ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan .①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”；④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大． 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90º,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB.【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90º,BC=3,tanA=125，求AC.★坡度（或坡比）定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =lh 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α=lh （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数.锐角三角函数的认识典例【例】1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α= ．2、斜坡的坡角是600，则坡比是 ． 3、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是 ．4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为 米．5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为 米．【变式】 如图所示，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜坡AB 的坡度为1:3，坝高BE=4m ，斜坡CD=5m.试比较斜坡AB 和CD 哪个更陡？知识点2 正弦、余弦正弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sin A ，即斜边的对边A A ∠=sin余弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记作cos A ，即斜边的邻边A A ∠=cos（1）三角函数正切、正弦、余弦的定义是直角三角形中定义的，七本质是两条线段的长度之比，结果是一个数值，且没有单位，其大小只与角的大小有关，而与所在三角形的大小和位置无关. （2）因为直角边小于斜边，所以0<siaA<1,0<cosA<1.（3）正弦值越大，∠A 越大，梯子越陡；余弦值越小，∠A 反而越大，梯子越陡.【例2-1】在Rt △ABC 中，∠ACB=90º,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是a,b,c.若a=12,b=5，分别求出∠A,∠B 的三角函数.【变式】 在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5,BC=6，求sinB,cosB,tanB.【例2-2】 在△ABC 中，∠C=90º，如果tanA=125，那么sinB 的值等于（ B ） A.135 B.1312 C.125 D.512 【变式】 如果α是锐角，且cos α=54，那么sin α的值是（ C ）A.259B.54C.53D.22知识点3 30°，45°，60°角的三角函数值 度数 sin αcos αtan α30°2123 33 45°22 22 160°23 21 3【例3-1】 如果在△ABC 中，sinA=cosB=22则下列最确切的结论是（ ）A.△ABC 是直角三角形B.△ABC 是等腰三角形C.△ABC 是等腰直角三角形D.△ABC 是锐角三角形【变式】 在△ABC 中，∠C=90º，若∠B=2∠A ，则tanA 等于（ ） A.3 B.33 C.23D.21【例3-2】 计算 （1）︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos （2）︒-︒+︒45tan 45cos 60sin 22（3） 45sin 22460tan 460tan 2-+-（4）先化简，再求代数式1221122+-+÷--+a a a a a a 的值，其中a=6tan30º-1【变式】 计算（1）60sin 260cos 30sin |130tan |3+-- （2）(1＋sin30°－cos45°)(1＋sin30°＋cos45°)（3）先化简，再求其值，)232(212++-÷-++x x x x x 其中x=tan45º－cos30°知识点4 解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
（一）已知直角三角形的两边解直角三角形已知条件解法已知 两边两直角边（如a,b ） A B b aA b a c ∠-=∠=+= 90,tan ,22 斜边和一直角边（如c,a ）A B caA a c b ∠-=∠=-= 90,sin ,22【例4-1】 在Rt △ABC 中，∠C=90º,c=32,a=3，解这个直角三角形【变式】 在Rt △ABC 中，∠C=90º,a=20,b=320,解这个直角三角形.（二）已知直角三角形的一边和一只锐角解直角三角形已知条件解法已知一条边和一个锐角一直角边和一锐角（如a,∠A）AacAabABsin,tan,90==∠-=∠斜边和一锐角（如c,∠A）AcbAcaAB cos,sin,90⋅=⋅=∠-=∠【例4-2】在Rt△ABC中，∠C=90º,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，解下列直角三角形. （1）已知b=10,∠B=60º；（2）已知c=38,∠A=60º.【变式】已知在Rt△ABC中，∠C=90º,∠A=30º,b=32，解这个直角三角形.（三）解非直角三角形方法：添加辅助线，转化为两个具有公共边特征的直角三角形，常见的两种形式如下：【例4-3】 如图所示，在△ABC 中，∠A=30º,∠B=45º,AC=32,求AB 的长.【变式】 如图，在△ABC 中，∠B=45º,∠ACB=120º,AC=6，求BC 的长. 课后作业1、在Rt △ABC 中，∠C=90º,sinA=54，则tanA 的值为（ ） A.34 B.43 C.53 D.54 1、在△ABC 中，∠C=90º，AB=13,BC=5，则cosB 的值是（ ） A.135 B.1312 C.125 D.513 2、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A 的余弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化3、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为(3,4)，则sin α= .4、计算002(1)2sin 30tan 453tan 302+- 00020002cos603tan 30tan 45(2)2cos 45tan 60sin 60+++∙（3）0)12(60tan 45tan 30cos 2-+-+5、如图，在Rt △ABC 中，∠B = 90°，AC = 200，6.0sin =A ，求BC 的长。
6、如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，1312cos =A ，求AB 的长及sinB 。
7、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪ABCABC能力，现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)8、已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32,求四边形ABCD 的面积 S 四边形ABCD .。