锐角三角函数的认识

星火教育一对一辅导教案

学生姓名性别年级9年级学科数学

授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课

共（）次课

课时：课时

教学课题锐角三角函数的认识

教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义；

2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值；

3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比

4. 运用三角函数的关系化简或求值。

教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比.

2.添加辅助线解直角三角形

课后作业详见教案

提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：

（

注意咯，下面可是黄金部分！）

知识点1 正切

定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．

，记作tan A ，即的邻边

的对边

A A A ∠∠=tan .

①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；

②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”；

④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大． 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90º,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB.

【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90º,BC=3,tanA=12

5

，求AC.

★坡度（或坡比）

定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =l

h 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α=

l

h （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数.

锐角三角函数的认识

典例

【例】

1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α= ．

2、斜坡的坡角是600

，则坡比是 ． 3、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是 ．

4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为 米．

5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为 米．

【变式】 如图所示，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜坡AB 的坡度为1:3，坝高BE=4m ，斜坡CD=5m.试比较斜坡AB 和CD 哪个更陡？

知识点2 正弦、余弦

正弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sin A ，即斜边

的对边

A A ∠=

sin

余弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记作cos A ，即斜边

的邻边

A A ∠=

cos

（1）三角函数正切、正弦、余弦的定义是直角三角形中定义的，七本质是两条线段的长度之比，结果是一个数值，且没有单位，其大小只与角的大小有关，而与所在三角形的大小和位置无关. （2）因为直角边小于斜边，所以0

（3）正弦值越大，∠A 越大，梯子越陡；余弦值越小，∠A 反而越大，梯子越陡.

【例2-1】在Rt △ABC 中，∠ACB=90º,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是a,b,c.若a=12,b=5，分别求出∠A,∠B 的三角函数.

【变式】 在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5,BC=6，求sinB,cosB,tanB.

【例2-2】 在△ABC 中，∠C=90º，如果tanA=12

5

，那么sinB 的值等于（ B ） A.

135 B.1312 C.125 D.5

12 【变式】 如果α是锐角，且cos α=5

4

，那么sin α的值是（ C ）

A.259

B.54

C.5

3

D.22

知识点3 30°，45°，60°角的三角函数值 度数 sin α

cos α

tan α

30°

2

1

23 3

3 45°

22 22 1

60°

2

3 2

1 3

【例3-1】 如果在△ABC 中，sinA=cosB=

2

2

则下列最确切的结论是（ ）

A.△ABC 是直角三角形

B.△ABC 是等腰三角形

C.△ABC 是等腰直角三角形

D.△ABC 是锐角三角形

【变式】 在△ABC 中，∠C=90º，若∠B=2∠A ，则tanA 等于（ ） A.3 B.33 C.2

3

D.21

【例3-2】 计算 （1）︒

-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos （2）︒-︒+︒45tan 45cos 60sin 2

2

（3） 45sin 22460tan 460tan 2-+-

（4）先化简，再求代数式1

22

1122+-+÷--+a a a a a a 的值，其中a=6tan30º-1

【变式】 计算