微分方程和差分方程方法

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建立微分方程模型时，会经常出现一些术 语，如“速率”、“增长率”、“单位时间内的变 化量”等，应与导数联系起来，再结合问题所 涉及的基本规律就很容易得到微分方程。一般 微分方程建模的基本步骤可以概括为：
1．根据实际要求确定要研究的量，如自 变量、未知函数、必要参数等，有时需要确定 坐标系。
2．找出这些量所满足的基本规律(几何 的、物理的、经济的规律等)。一时看不出规
该群体为连续量，并认为其导数存在，这样就
可以使用微积分这一A数学工具。
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这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
dx
x
d t uiiuiui xm 2
x0 xm x
xm
t
图 3-1 人口增长率和人口数量曲线
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阻滞增长模型与美国人口统计数据从 1800 年到 1960 年都吻合较好，1960 年后，误 差变大。这时因为到 1960 年美国的实际人口 已经突破了用过去数据确定的最大人口容量。 人口容量不易准确得到是阻滞增长模型的不 足之处，实际上人口容量也是随人们对自然资 源的开发水平不断提高而改变的。更复杂的人 口模型需考虑随时间和人口变化的人口增长 率、同样随时间改变的人口容量以及与育龄妇 女和人口年龄分布有关的人口基数，此外还需 考虑天灾、战争等随机性因素对人口的影响。
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律可用“微元分析法”进行分析，选取研究对 象后，研究对象在一定时间内量的变化一般遵 循广义物质守恒律，即
净变化率＝输入率－输出率 物质不会自动产生，也不会自动消失。通过对 时间取极限可以得到微分方程。
3．列出方程和定解条件(初始条件和边界条 件)。
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4．解方程。可以找到精确解的微分方程只是极少 数，多数情况下需要进行数值分析或找到数值解， 对于自治的常微分方程(组)，可以运用稳定性分析 方法，转换到相平面去分析解的性态。
5．解的讨论。所得的方程的解是否有意义？是否 反映了原问题的实质？模型是否可以深化和改进？ 这些问题可以通过解的讨论加以回答。
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第一节 人口增长模型
人口的增长是人们普遍关注的问题。使用了 不同的人口模型计算所得到的同一时间人口 的预报在数字上有较大的差别。那么人口是如 何预报的呢？先看一种简单的计算方法。
r0 x(t)
x(0) x0
(3.2)
ห้องสมุดไป่ตู้
就是描述人口随时间变化的带初始条件的微
分方程。
建模过程中你可能注意到，人口是离散的
变量，而求导或微分只能对连续的量使用。那
么这种情况下可不可以用求导或微分这种数
学工具呢？当研究对象是一个很大的群体，如
考察一个国家或一个地区的人口数量，个体的
微小变化对总体的影响很小可以忽略时，可视
量应与当时的人口 x(t) 成比例，不妨设比例系数 为r0 ，即t 内人口的增量可写为
x(t t) x(t) r0x(t)t
等式两边同除以t ，当t 0时
lim
t 0
x(t
t) t
x(t)
r0 x(t )
等号的左边即是导数d x dt ，已知初始时刻人口数
量为 x0，则
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d x d t
A
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人口的马尔萨斯模型用分离变量法很容易求
解，得
x(t) x0 er0t
(3.3)
从(3.3)可以立即看出人口随时间呈指数增长，因
此模型(3.2)称为指数增长模型。不妨将它应用到
我国人口的预测上
亿 x 11.6 e0.014810 13.45
与前面的结果 13.44 亿非常相近。
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对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析， 当t 时，x(t) ，表明人口将无限增长。马尔萨 斯人口论的核心内容是：人口按几何级数增 长，而生活资料则按算术级数增长，两者的矛 盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯并 不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两者 之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚至 战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏制 人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一种 误解。“新马尔萨斯”主张通过自愿的家庭限 制，即节制生育的办法限制人口的过快增长。
人口的增长也是因为有人口的基数和 一定的增长率(人口出生率减去死亡率)，设某
一年的人口为 x0 ，年增长率为 r0 ，可以认为今
后k 年内的人口数为
x x0(1 r0 )k
(3.1)
这里实际暗含着年增长率不变的假设。
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一、指数增长模型(Malthus模型)
设t 时刻的人口为x(t) ，经过一段短的时间t 后，在t t 时刻，人口数量变化为x(t t) 。由基本 假设，在这段短的时间t 内，人口数量的增加
第二部分 微分方程与差分方程方法
第二章 微分方程方法
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动态模型一般具有两个特点：一、方程与 时间相关，即自变量中含有时间；二、方程中 出现导数或微分。在处理实际问题时，有时很 难找出变量之间的直接函数关系，却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的 关系式(有时人们特别关心这些变量的增加幅 度和变化快慢)，这种关系式中通常含有导数 或微分，故称微分方程模型。
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二、阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型)
Malthus 模型在 1840 年由人口统计学家 Verhulst 修正。他提出的假设包括：
1、由于自然资源(自然资源条件和环境条 件)的约束，人口存在一个最大容量xm 。
2、增长率不是常数，随人口增加而减少。 它具有以下性质：当人口数量x(t) 很小且远小于 xm 时，人口以固定增长率r0 增加；当x(t) 接近xm 时， 增长率为零。r0 和xm 可由统计数据确定。满足上 述性质的增长率可以写作
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r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) e r0 t
x0
(3.6)
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人口增长率随人口数量变化曲线以及人口数量 随时间变化曲线如下