线性代数第3章

本章结构0 m n m n A x b A x ⨯⨯⇓⎧→⎪=⎨→⎪⎩⎧→⎪=⎨→→⎪⎩6444444444447444444444448矩阵表示消元法非齐次向量表示向量与向量组的线性组合线性方程组矩阵表示消元法齐次向量表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组、秩　齐次线性方程组 非齐次线性方程组解的性质、基础解系、全部解　解的性质、全部解 常用方法：1−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−→初等行变换初等行变换初等行变换非零首元上面元素消成零非零首元消成“”相应矩阵阶梯形简化阶梯行最简阶梯 1、矩阵A 化等价标准形A −−−−→初等行变换阶梯形，求出矩阵A 的秩r ，则标准形 r I O D O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭2、求矩阵A 的逆()()1A I I A -→MM 3、消元法求线性方程组Ax b =的解增广矩阵()A b M →行最简阶梯4、求矩阵A 的秩A →阶梯形5、判断向量β能否由向量组12,,,s αααL 线性表示以12,,,,s αααβL 为列向量的矩阵→行最简阶梯6、求向量组12,,,s αααL 的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示以12,,,s αααL 为列向量的矩阵→行最简阶梯7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解增广矩阵()A b M →行最简阶梯一、用消元法求解非齐次线性方程组m n A x b ⨯=1、() A b M u u u u u u u u u u u u u u u r初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A 和(,)r A b 2、观察()r A 和(,)r A b 的关系：(1) ()(,)r A r A b ≠，方程组无解；(2) ()=(,)r A r A b ，方程组有解： ①、()=(,)r A r A b n =，方程组有唯一解； ②、()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解.3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。

线性方程组m n A x b ⨯=有解⇔()=(,)r A r A b ，且当()=(,)r A r A b n =时方程组有唯一解；当()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解.二、用消元法求解齐次线性方程组0m n A x ⨯=：1、() A u u u u u u u u u u u u u u u r 初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A ；2、观察()r A ：(1) ()r A n =，方程组有唯一解，即只有零解；(2) ()r A n <，方程组有无穷多个解，即有非零解；3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。

齐次方程组0m n A x ⨯=有非零解⇔()r A n <当m n <，即当方程个数小于未知元个数时，齐次线性方程组0m n A x ⨯=有非零解三、n 维向量的概念及线性运算（看作特殊的矩阵） 书P121－123 四、向量与向量组的线性组合（向量由向量组线性表示）对非齐次线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩L L L L L ，设12(1,2,,)j j j mj a a j n a α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L ，12m b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L ， 则线性方程组可表示1122n n x x x αααβ+++=L ，从而定义 （P124） 对于给定向量12,,,,s βαααL ，如果存在一组数12,,,s k k k L ，使1122s s k k k βααα=+++L 成立，则称向量β是向量组12,,,s αααL 的线性组合，或称向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示。

线性组合的判别定理 设向量12m b b b β⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L ，向量12(1,2,,)j j j mj a a j n a α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L ，则五、向量组的线性相关性对齐次线性方程组111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩L L L L L ，设12(1,2,,)j j j mj a a j n a α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L ，0000⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L ，则齐次线性方程组可表示为11220n n x x x ααα+++=L .它一定有零解，考虑其是否有非零解：定义（P128） 对于向量组12,,,s αααL ，如果存在一组不全为零的数12,,,s k k k L 使11220s s k k kααα+++=L 成立，则称向量组12,,,s αααL 线性相关；否则称向量组12,,,s αααL 线性无关. （1）12,,,s αααL 线性无关⇔120s k k k ====L .（2）一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.（3）包含零向量的任何向量组都是线性相关的.（4）仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。

线性相关性的判定：设12(1,2,,)j j j mj a a j n a α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L ，则总结：验证向量组12,,,n αααL 的线性相关性主要有以下两种方法： （1）、对于抽象向量组或比较特殊的向量组，可采用定义法：设11220n n k k k ααα+++=L ，去验证要使得等式成立，12,,,n k k k L 是否必须全为零；（2）、对于具体的向量组， 以12,,,n αααL 为列向量的矩阵−−−−→初等行变换阶梯形， 将矩阵的秩r 与向量个数n 作对比r n r n =⇒⎧⎨<⇒⎩线性无关线性相关如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关向量组()12,,,2s s ααα≥L 线性相关⇔其中至少有一个向量可以由其余1s -个向量线性表示。

若有向量组12,,,,s αααβL 线性相关，而向量组12,,,s αααL 线性无关，则向量β可由向量组12,,,s αααL线性表示且表示法唯一。

六、向量组间的线性组合与线性相关性(了解)定义（P125） 设有两个向量组12:,,,s A αααL 与12:,,,t B βββL ，若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示，则称向量组B 能由向量组A 线性表示。

定义（P126） 若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

向量组间线性关系的判定：定理（P126） 若向量组A 可由向量组线性表示，向量组B 可由向量组C 线性表示，则向量组A 可由向量组C 线性表示。

定理（P133） 设有两个向量组12:,,,s A αααL 与 12:,,,t B βββL ，向量组()B 能由向量组()A 线性表示，如果s t <，则向量组()B 线性相关.另一种说法：向量组()B 能由向量组()A 线性表示，且向量组()B 线性无关，则t s ≤.推论（P134） 设向量组()A 与向量组()B 可以相互线性表示，且()A 与()B 都是线性无关的，则s t =. 定理 设有两个向量组12:,,,s A αααL 与 12:,,,t B βββL ，如果向量组()A 与()B 等价，则 ()()1212,,,,,,s t r r αααβββ=L L七、向量组的秩1、极大无关组定义 设有向量组12:,,,s A αααL ，若在A 能选出r 个向量12,,,j j jr αααL 满足： （1）部分组012:,,,j j jr A αααL 线性无关；（2）向量组A 中任意1r +个向量（若有的话）都线性相关， 则称向量组0A 是向量组A 的一个极大线性无关组（简称极大无关组）注：（1）一个向量组12:,,,s A αααL 的极大无关组12,,,j j jr αααL 要满足以下几个条件：①、向量组12,,,j j jr αααL 是向量组12:,,,s A αααL 的一个线性无关的部分组； ②、向量组12:,,,s A αααL 的其余向量均可由向量组12,,,j j jr αααL 线性表示 或 向量组12:,,,s A αααL 与向量组12,,,j j jr αααL 等价（能够互相线性表示）2、向量组的秩定义 向量组12,,,s αααL 的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记为()12,,,s r αααL 定理2 设A 为m n ⨯矩阵，则()r A r =的充分必要条件是：A 的列(行)秩为r .推论1 矩阵A 的行秩等于列秩求一个向量组的极大无关组或秩，并将其余向量用此极大无关组线性表示的方法由该向量组构造矩阵A ，要求各向量作为A 的列向量，并将该矩阵化为行最简阶梯形矩阵，则非零行的行数即为向量组的秩，非零首元所在的列对应的列向量组成一个极大无关组，其余列向量的各分量即为由极大无关组线性表示的系数.八、线性方程组解的结构1、齐次线性方程组0m n A x ⨯=解的性质（1）如果12,ξξ是方程组0m n A x ⨯=的两个解，则12ξξ+也是它的解；（2）如果ξ是方程组0m n A x ⨯=的解，c 为常数，则c ξ也是它的解；（3）如果12,,,s ξξξL 是方程组0m n A x ⨯=的解，则其线性组合1122s s c c c ξξξ+++L 也是它的解。

基础解系：解向量组的一个极大无关组（解+线性无关+其它解可由它们线性表示）；基础解系的向量个数＝n r -未知元个数系数矩阵的秩； 基础解系的线性组合表示齐次线性方程组的一个解（向量）.2、用基础解系表示齐次线性方程组0m n A x ⨯=的全部解的步骤：（1）、将其系数矩阵通过初等行变换化为简化的阶梯形矩阵（化为阶梯形+回代），并判断方程组是否有非零解； （2）、在有非零解的情况下，写出与原方程组同解的方程组，并注明自由未知量12,,,r r n x x x ++L ；（3）、121212,,,,,,r r n r n r n x x x εεεξξξ++--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L 对自由未知量向量取值,得到方程组的基础解系 （4）、1122n r n r c c c ξξξξ--=+++L 原方程组的全部解可表示为：，12n r c c c -L 其中,,,为任意常数 3、非齐次线性方程组m n A x b ⨯=解的结构（1）如果η是非齐次方程组m n A x b ⨯=的一个解， ξ是其导出组0m n A x ⨯=的一个解，则ηξ+是m n A x b ⨯=的解； （2）如果12,ηη是非齐次方程组m n A x b ⨯=的两个解，则12ηη-是其导出组0m n A x ⨯=的解.定理 如果η是非齐次方程组m n A x b ⨯=的一个解， ξ是其导出组0m n A x ⨯=的全部解，则ηξ+是m n A x b ⨯=的全部解. 4、用基础解系表示非齐次线性方程组m n A x b ⨯=的全部解的步骤：（1）、将其增广矩阵通过初等行变换化为行最简阶梯形矩阵，并判断方程组是否有解；（2）、在有解的情况下，写出与原方程组同解的方程组，并注明自由未知量；（3）、让自由未知量向量12r r n x x x ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L 取值000⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L，得方程组的一个特解η； （4）、写出与原方程组的导出组（对应的齐次线性方程组）同解的方程组，让自由未知量1212,,,r r n r n x x x εεε++-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L 取值, 得到导出组的基础解系12,,,n r ξξξ-L ；（5）、1122n r n r c c c ξηξξξ--=++++L 原方程组的全部解可表示为：，12n r c c c -L 其中,,,为任意常数. 要点：1、（非）齐次线性方程组的消元解法例：书P116－119例2－例4；P120例5 2、（非）齐次线性方程组解的情况的充分必要条件例：P164第1、2、3题3、向量与向量组的线性组合的定义、与非齐次线性方程组是否有解的关系、判定例：书P124－125例2－例5；P159第7题；P164第4题4、向量组线性相关、线性无关的定义、与齐次线性方程组是否有非零解的关系、判定及相关定理例：书P129－131，例1－例6；P160第10、13、14题；P164－166第4－9题5、向量组的极大无关组、秩的概念，求向量组的一个极大无关组与秩，及将其它向量用该极大无关组线性表示例：P138例1方法一；P161第17题；P165－166第10－14题6、基础解系的定义、向量个数、线性组合例：书P166－167第18、19题7、(非)齐次线性方程组解的结构，用基础解系表示（非）齐次线性方程组的全部解例：书P144例1、2；P148例4；P161第20、23－25题；P166第16题。