线性代数第3章

本章结构

0 m n m n A x b A x ⨯⨯⇓⎧→⎪=⎨

→⎪⎩⎧→⎪=⎨

→→⎪⎩6444444444447444444444448矩阵表示消元法

非齐次向量表示向量与向量组的线性组合

线性方程组

矩阵表示消元法

齐次向量表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组、秩

　齐次线性方程组 非齐次线性方程组

解的性质、基础解系、全部解　解的性质、全部解

常用方法：1−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−→初等行变换

初等行变换

初等行变换

非零首元上面元素消成零非零首元消成“”相应矩阵阶梯形简化阶梯行最简阶梯 1、矩阵A 化等价标准形

A −−−−→初等行变换

阶梯形，求出矩阵A 的秩r ，则标准形 r I O D O O ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

2、求矩阵A 的逆

()()1A I I A -→M

M 3、消元法求线性方程组Ax b =的解

增广矩阵()A b M →行最简阶梯

4、求矩阵A 的秩

A →阶梯形

5、判断向量β能否由向量组12,,,s αααL 线性表示

以12,,,,s αααβL 为列向量的矩阵→行最简阶梯

6、求向量组12,,,s αααL 的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示

以12,,,s αααL 为列向量的矩阵→行最简阶梯

7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解

增广矩阵()A b M →行最简阶梯

一、用消元法求解非齐次线性方程组m n A x b ⨯=

1、() A b M u u u u u u u u u u u u u u u r

初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A 和(,)r A b 2、观察()r A 和(,)r A b 的关系：(1) ()(,)r A r A b ≠，方程组无解；(2) ()=(,)r A r A b ，方程组有解： ①、()=(,)r A r A b n =，方程组有唯一解； ②、()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解.

3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；

4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。

线性方程组m n A x b ⨯=有解⇔()=(,)r A r A b ，且

当()=(,)r A r A b n =时方程组有唯一解；当()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解.

二、用消元法求解齐次线性方程组0m n A x ⨯=：

1、() A u u u u u u u u u u u u u u u r 初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A ；

2、观察()r A ：(1) ()r A n =，方程组有唯一解，即只有零解；(2) ()r A n <，方程组有无穷多个解，即有非零解；

3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；

4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。

齐次方程组0m n A x ⨯=有非零解⇔()r A n <

当m n <，即当方程个数小于未知元个数时，齐次线性方程组0m n A x ⨯=有非零解

三、n 维向量的概念及线性运算（看作特殊的矩阵） 书P121－123 四、向量与向量组的线性组合（向量由向量组线性表示）

对非齐次线性方程组1111221121122222

1122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩L L L L L ，设12(1,2,,)j j j mj a a j n a α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

L L ，12m b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L ， 则线性方程组可表示1122n n x x x αααβ+++=L ，从而

定义 （P124） 对于给定向量12,,,,s βαααL ，如果存在一组数12,,,s k k k L ，使1122s s k k k βααα=+++L 成立，则称向量β是向量组12,,,s αααL 的线性组合，或称向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示。

线性组合的判别定理 设向量12m b b b β⎛⎫

⎪

⎪= ⎪

⎪⎝⎭L ，向量12(1,2,,)j j j mj a a j n a α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

L L ，则

五、向量组的线性相关性

对齐次线性方程组111122121122221122000n n n n

m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩L L L L L ，设12(1,2,,)j j j mj a a j n a α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

L L ，0000⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

L ，

则齐次线性方程组可表示为11220n n x x x ααα+++=L .它一定有零解，考虑其是否有非零解：

定义（P128） 对于向量组12,,,s αααL ，如果存在一组不全为零的数12,,,s k k k L 使11220s s k k k

ααα+++=L 成立，则称向量组12,,,s αααL 线性相关；否则称向量组12,,,s αααL 线性无关. （1）12,,,s αααL 线性无关⇔120s k k k ====L .

（2）一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.

（3）包含零向量的任何向量组都是线性相关的.

（4）仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。

线性相关性的判定：设12(1,2,,)j j j mj a a j n a α⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

L L ，则

总结：验证向量组12,

,,n αααL 的线性相关性主要有以下两种方法： （1）、对于抽象向量组或比较特殊的向量组，可采用定义法：

设11220n n k k k ααα+++=L ，去验证要使得等式成立，12,,,n k k k L 是否必须全为零；

（2）、对于具体的向量组， 以1

2,,,n αααL 为列向量的矩阵−−−−

→初等行变换

阶梯形， 将矩阵的秩r 与向量个数n 作对比r n r n =⇒⎧⎨<⇒⎩

线性无关线性相关

如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关

向量组()12,,,2s s ααα≥L 线性相关⇔其中至少有一个向量可以由其余1s -个向量线性表示。 若有向量组12,,,,s αααβL 线性相关，而向量组12,,,s αααL 线性无关，则向量β可由向量组12,,,s αααL