高等代数多项式习题解答

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高等代数习题答案

《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。

高等代数课后答案高等教育出版社

高等代数习题答案（一至四章）第一章多项式习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ，（2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。

3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

多项式练习题带答案

多项式练习题带答案一、选择题1. 下列哪个表达式不是多项式？A. \( x^2 + 3x + 2 \)B. \( 5x - 3 \)C. \( \frac{x}{2} \)D. \( 2x^3 - 4x^2 + 7 \)答案：C2. 多项式 \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) 中，如果 \( a = 1 \)，\( b = -1 \)，\( c = 0 \)，\( d = 2 \)，则 \( P(x) \) 可以表示为：A. \( x^3 - x^2 + 2 \)B. \( x^3 - x^2 - 2 \)C. \( x^3 + x^2 + 2 \)D. \( x^3 - x^2 + 2x \)答案：A3. 如果 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，那么 \( f(1) \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题1. 多项式 \( 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4 \) 的次数是 ______ 。

答案：32. 如果 \( g(x) = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 2x + 1 \)，那么 \( g(0) \) 的值是 ______ 。

答案：13. 多项式 \( h(x) = 4x^2 - 7x + 2 \) 与 \( x - 3 \) 的乘积是\( 4x^3 - \) ______ 。

答案：7x^2 + 10x - 6三、解答题1. 给定多项式 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 \)，求 \( f(-1) \) 的值。

解：将 \( x = -1 \) 代入 \( f(x) \) 中，得到\( f(-1) = 3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5(-1) - 1 = -3 - 2 - 5 - 1 = -11 \)。

2. 已知 \( p(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c \)，其中 \( p(1) = 5 \)，\( p(-1) = -1 \)，求 \( a \)，\( b \)，\( c \) 的值。

高等代数多项式试题库

§1 数域[达标训练题]一填空题1．数集{0}对运算封闭.2．自然数集N 对运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对封闭.二判断题1. 数域必含有无穷多个数.2. 所有无理数构成的集合是数域.三证明1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数.2. 证明},2{3Q b a b a ∈+不是数域.3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域.§1 数域[达标训练题解答]一填空题1．加法、减法、乘法；2.加法、乘法；3.加法、减法、乘法.二判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++,)()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +⋅+n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈.当011≠+n b a 时, n b a nb a 1122++)(2121212121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈⋅--+--=.故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域.2．证明因为∈32},2{3Q b a b a ∈+,∉=⋅333422},2{3Q b a b a ∈+.即},2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以},2{3Q b a b a ∈+不是数域.3．证明由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而21P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故1,P ab b a ∈±,2,P ab b a ∈±;当0≠b 时,21,P b a P b a ∈∈, 所以21,,P P b a ab b a ∈±.即21P P 是数域.例如:取1P =},2{)2(Q b a b a Q ∈+=, =2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=, 容易验证21P P 不一定是数域; 取1P =Q ,=2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=,显然21P P =},3{Q b a b a ∈+是数域.§2 一元多项式[达标训练题]A 组一填空题1. 系数在数域P 上的关于文字x 的一元多项式指的是形式表达式 , 其中i 次项是 , i 次项系数是 , 常数项是 .2.下列形式表达式(i)2;(ii)x 1; (iii)0; (iv))3ln(132x x x +++;(v)1)1(23+--x i ix ;(vi) +++++n x n x x !1!31!2113; 其中是多项式.3. 零多项式是 , 零次多项式是 .4. 设多项式∑∑====mi ii ni ii x b x g x a x f 11)(,)(, 则)()(x g x f 的k 次项系数是 .二判断题1. 0是零次多项式.2. 若)()()()(x h x f x g x f =,则)()(x h x g =.3. 若)(),(),(x h x g x f 都是数域P 上的多项式, 则))()((x g x f +∂))((x f ∂≥或者))()((x g x f +∂))((x g ∂≥.三解答题1. 设)2()1()2()(22+-+++-=x x c x b x a x f , 试确定c b a ,,, 使)(x f (i)零次多项式; (ii)零多项式; (iii)一次多项式5-x . 2. 若)(),(x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若,0)()(22=+x g x f 则0)()(==x g x f .B 组1.设)(),(),(x h x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若),()()(222x xh x xg x f +=则0)()()(===x h x g x f .2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式.3. 次数定理中,式子 ))}(()),((max{))()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂何时等号成立?何时小于号成立?§2 一元多项式[达标训练题解答]A 组一填空题1．1110n n n n a x a x a x a --++++，i i x a ，i a ， 0a ；2.（i ），（iii ）（v ）；3. 0，非零常数；4.∑-=-11k i ik iba .二判断题 1．(F)； 2. (F).; 3.(F). 三解答题1．解因为222()(2)(1)(2)()f x a x b x c x x a c x =-+++-+=++(2)a b c x +-)24(c b a +++.利用多项式相等的定义的:(i)⎪⎩⎪⎨⎧≠++=-+=+024020c b a c b a c a (ii) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+024020c b a c b a c a (iii) ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-+=+524120c b a c b a c a即(i)当0,3,≠=-=c c b c a 时, )(x f 为零次多项式; (ii)当0===c b a 时)(x f 为零多项式;(iii)6,17,6-=-==c b a 时)(x f 是一次多项式5-x .2．证明设01)(a x a x a x f n n +++= ，01)(b x b x a x g m m +++= ，则)()(22x g x f +的第k 次项系数为)(0i k i ki ik ib b aa -=-+∑=0,当0=k 得000==b a ,当1=k 时得02121=+b a ,进而011==b a ,同样地,得到022==b a …….因此0)()(==x g x fB 组1．证明若0)(≠x g (或0)(≠x h )显然得)()()(222x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若0)(≠x f ,则)(),(x h x g 不全为零,因此也得)()()(222x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这也是不可能的.所以0)()()(===x h x g x f2．解取1)(),1()(,2)(-=+==x x h x i x g ix x f ，则)()()(222x xh x xg x f +=. 3．解当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立; 其余情形小于号成立.§3 整除的概念[达标训练题]A 组一填空题1. )(),(),(x h x g x f 都是][x P 中的多项式,若)()()(x h x g x f =,则称整除，称为的因式，为的倍式，记为 .2.若)(,0)(),()()()(≠≠+=x r x g x r x q x g x f 或))(())((x g x r ∂≤∂,那么除的商式是 ,余式是 ,这里][)(),(),(x P x r x g x f ∈.二判断题1. 零多项式能够整除任意多项式.2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除.3. 若)()(),()(x f x g x g x f , 则))(())((x g x f ∂=∂.4. 若0)(),()()()(≠+=x g x r x q x g x f ,则满足该式的多项式)(),(x r x q 有且只有一对.5.若))()(()(x h x g x f +,则)()()()(x h x f x g x f 或.三解答题1．设b ax x x x f ++-=232)(，2)(2--=x x x g ，)(x g 除)(x f 的余式12)(+=x x r ，求b a ,.2. 如果))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g +-, 则)()(,)()(21x f x g x f x g .2．如果x 不整除)(x f 与)(x g ，则x 不整除)(x f 与)(x g 的乘积.3. 证明pn m x x x x x p n m ,,,1231332++++++是非负整数.4. 证明 ①如果)()(x f x h , ()|()h x g x , 则()|(()())h x f x g x +; ②如果()|(),()|()h x f x h x g x ,则()|()()h x f x g x +不一定成立.B 组一多项选择题1.)(x f 是任意多项式,c是非零常数,则下列结论成立的是 .(A))(0x f ;(B)0)(x f ;(C) 00; (D) c 0;(E) 0c ;(F) c x f )(;(G) )(x f c ;(H))()(x f x cf .2.若在][x P 中,)(x g 整除)(x f ，为强调数域，我们记)()(x f x g P .设][)(),(x Q x g x f ∈，下列结论正确的有 .(A)若)()(x f x g Q,则)()(x f x g R ;(B) 若)()(x f x g R ⊥,则)()(x f x g q ⊥; (C)若)()(x f x g Q,则)()(x f x g R ;(D)若)()(x f x g R ⊥,则)()(x f x g q ⊥.3. 设)()(),()(x g x p x f x p ,则)(x p 整除于 .①)()(x g x f +;②)()(22x g x f +;③)()(x g x f ;④)()(33x g x f +.二证明题1. 证明)(x f x k 的充分必要条件是)(x f x .2. 证明1136********+++++-+-+-x x x x x x x x x x .3. 证明1-d x 整除1-nx 的充要条件是n d .4. 证明, 若)()()(1424423x h x x xg x f x x x +++++,则1-x 同时整除)(),(),(x h x g x f .与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.5. 对照多项式的整除性理论，讨论整数的整除性理论.§3 整除的概念[达标训练题解答]A 组一填空题1．)(),(x h x g ，)(x f ，)(),(x h x g ，)(x f ，)(x f ， )(),(x h x g ，)()(),()(x f x h x f x g ， )(x g ，)(x f ； 2.)(x q ，)(x r .二判断题 1.(F)； 2. (T)； 3. (F); 4.(F); 5.(F)三解答题1．解利用带余除法得)2()1)(()(-++-=b ax x x g x f ，所以12)2(+=-+x b ax ，即3,2==b a .2．证明 ))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g +-, 利用整除性的性质，我们有))}()((21)))()(((21{)(2121x f x f x f x f x g +±-，即)()(,)()(21x f x g x f x g .3．证明若)()(x g x f x ,x不整除)(x f 与)(x g 则存在常数0,021≠≠r r ,使2211)()(,)()(r x xq x g r x xq x f +=+=, 所以+=)()(()()(21x q x xq x x g x f 2112))(r r x q r +,由于)()(x g x f x , 所以21r r x ,得出矛盾.即x 不能整除)()(x g x f 证明由于三次单位根21,ωω都是23133++++p n m x x x 的根，即12++x x 的根都是23133++++p n m x x x 的根.从而pn m x x x x x p n m ,,,1231332++++++.4. 证明因为2121()(),x x x x εε++=--其中(1,2)i i ε=是三次单位虚根, 而331320m n p i i i εεε++++=,即33132(1,2)m n p i x x x x i ε++-++=,再利用12,x x εε--互素得到3313212()()m n p x x x x x εε++--++,即2331321m n p x x x x x ++++++5．证明 ①如果)()()(x g x f x h +,因为 )()(x f x h , 由整除性性质得:)()()(()(x f x g x f x h -+,即)()(x g x h ,与)()(x g x h ⊥矛盾, 所以)()()(x g x f x h +⊥.B 组一多项选择题1．B,C,E,G,H ； 2.(A)(D);3.①②③④二、证明题1．证明充分性显然,仅证必要性. 设r x xq x f +=)()(,则+=+=)())(()(x q x C r x xq x f k k o k k k r x q x C k k k )(111--k k k k k k r C r x xq C +++--11)( k r x xp +=)(因为)(x f x 且)(x xp x ，由整除性的性质得：)(x f x k .2．证明利用带余除法, )1`)(1(12343457836912+---+-+-+-=++++x x x x x x x x x x x x x x所以1136********+++++-+-+-x x x x x x x x x x .3．证明充分性显然,仅证必要性.设r dq n +=若d r r <≠,0,)1()1(11-+-=-=-+r r dq r dq n x x x x x ,而11--dq d x x ,因此11--r d x x ,得出矛盾.所以0=r ,即n d .4．证明因为)3,2,1(4sin 4=+=k k i k conw k ππ是 123+++x x x 的根,显然)()()(4244x h x x xg x f w x k ++-,即)1()1()1(2=++h w g w f k k (3,2,1=k ),从而0)1()1()1(===h g f .一般地,我们有如下的结果:若)()()(1122121n n n n n n n x f x x xf x f x x x ----++++++ ,则1,,2,1),(1-=-n i x f x i .事实上,设i i i r x q x x f +-=)()1()(,则i ni n n i r x q x x f +-=)()1()(,进一步有 )())()()()(1()()()(122112211221------+++++++-=+++n n n n n n n n n n n n n r x xr r x q x x xq x q x x f x x xf x f由于 )()()(1122121n n n n n n n x f x x xf x f x x x ----++++++ ,)()()()1(1122121n n n n n n n n x q x x xq x q x x x x ----++-++++则1121211----+++++++n n n n r xxr r x xx.5．参见张禾瑞先生的《高等代数》（第三版）（高等教育出版社）教材，或者初等数论教材.§4 最大公因式[达标训练题]A 组一、填空1．对于任意两个多项式),(),(x g x f 它们总有公因式，我们称它为平凡公因式.2．两个零多项式的做大公因式是 .3．零多项式与任意多项式)(x f 的最大公因式是 .4．若),()(x f x g 则)(),(x f x g 的最大公因式是 .5．x x g x x f -=-=1)(,1)(2，则=))(),((x g x f ,取=)(x u ,)(x v = ,使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+6.若,1)()()()(=+x v x g x u x f 则)(x u 与)(x v .二、判断题1.若)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式，则)(x cd 也是)(),(x g x f 的最大公因式c (是常数）.2. 存在惟一一对多项式),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+ 3．若 ,1))(),((=x g x f 则存在惟一一对),(),(x v x u 使 .1)()()()(=+x v x g x u x f4．若)(),(x g x f 不全为零，则 .1)))(),(()(,))(),(()((=x g x f x g x g x f x f5．由于（16,8）=8,所以多项式8与16不互素. .)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式.三、解答题1. 判定32)(,1363)(223+-=++-=xd x x g x x x x f 是否互素,并求),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+2. 证明:)).()(),(())()(),(())(),((x g x f x f x g x f x f x g x f -=+=3. 证明:两个多项式)(),(x g x f 都与)(x h 互素的充要条件是它们乘积)()(x g x f 与)(x h 互素.4. 若,1))(),((=x g x f 则.1))(),((=x g x f mmB 组一、选择题1. 若),()(),((x d x g x f =则成立.(A));()()(),((x d x g x f x f =+ (B));()())()().()((x h x d x h x g x h x f +=++(C)).()())()(),()()(();())(),((,x h x d x h x g x h x f D x d x g x f nm mm==+2.若,0)(≠x f 且),()()()()(),())(,)((x d x v x g x u x f x d x g x f =+=则错误结是 .;1))()(,0()()(();()(),()((==x d x g x d x f B x d x g x f A n n n).())(),()()(();())(),()((x d x g x g x f D x d x v x u C =+=3.(多项选择)若),()()()(x r x q x g x f +=则成立. ),(())(),()((x g x g x f A =();r x ()((),())((),())B f x g x f x r x = )).(),(())(),()(());(),(()(),()(());(),(())(),()((x r x q x q x f E x q x g x r x f D x r x q x g x f C ===二、解答题1. 确定k ,使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2+++的最大公因式是一次的.2.设)(),(x g x f 不全为零,则)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式;反之,)(x f 与)(x g 的最大公因式都是次数最高的公因式.3. 证明:若,1))(),((=x g x f 且,0))((,0))((>∂>∂x g x f 那么存在惟一第一对多项式)),(()(()),(())((),(),(x f x v x g x u x v x u ∂<∂∂<∂使 1)()(,0()(=x v x g x u x f4. 依照两个多项式的最大公因式式理论,讨论的有限多个多项式的最大公因式的理论(定义,存在性,求法,互素).§4 最大公因式[达标训练题解答]A 组一、填空题1．零次多项式；2. 零多项式;3.多项式()cf x c 为零次多项式;4.)(x cg ,c 为零次多项式; 5.1,,1--x x ;6.互素. 二、判断题1． F ；2.F;3.F;4.T;5.F;6.F.三、解答题 1.解:通过辗转相除法求得1))(),((=x g x f ,973697339718)(,9711976)(2++-=-=x x x v x x u .2.证明:设)())(),((x d x g x f =,容易证明)(x d 是)()(),(x g x f x f ±的公因式;对)()(),(x g x f x f ±的任意公因式,容易证明它是)(),(x g x f 的公因式,从而它整除于)(),(x g x f 的最大公因式)(x d .即)()(),(x g x f x f ±的任意公因式整除于它的公因式)(x d ,所以)(x d 是)()(),(x g x f x f ±的最大公因式.3.证明:1))(),((=x h x f ,1))(),((=x h x g ,则存在)(),(x v x u 与)(),(x q x p ,使1)()()()(=+x h x v x f x u ,1)()()()(=+x q x h x p x g ,以上两式相乘容易得到1)()()()()(=+x h x V x g x f x U ,故1))(),()((=x h x g x f .反过来若1))(),()((=x h x g x f ，则存在)(),(x v x u ，使1)()()()()(=+x v x h x u x g x f ，若令)()()(x p x u x g =，则有1)()()()(=+x v x h x p x f ，故1))(),((=x h x f ，同样的若令)()()(x q x u x f =，则有1)()()()(=+x v x h x q x g ，故1))(),((=x h x g .4．证明：首先利用上题及归纳法容易证明，若1))(),((=x g x f ，1))(),((=x g x f m ，同样的利用归纳法证明1))(),((=x g x f n m .B 组一、选择题 1．（A ）(D)；2.（C ）;3. (A,E) 二、解答题1．解利用辗转相除法容易得到:)224()()(+++=k x x g x f ,)1)(3(41)232)(224(41)(---++++=k k k x k x x g因此最大公因式是一次的条件是3=k 或者1=k .2.证明设)(x d 是)(),(x g x f 的次数最高的公因式,)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,所以)()(0x d x d ,而0)(0≠x d 因此)(0x d 的次数等于)(x d 的次数,从而)()(0x cd x d =.故)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式式.反之,若)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,由于)(x d 是公因式,因此)()(0x d x d ,所以要么)(x d 是零多项式,要么)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.但0)(0≠x d ,所以)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.故)(0x d 是)(),(x g x f 的次数最大的多项式.3.证明: 由互素的充分必要条件知存在)(),(x v x u 使1=+gv fu . 首先证明若g u ∂<∂,必有f v ∂<∂.由gv fu -=1gv fu ∂=∂,所以v g u f ∂+∂=∂+∂,因此若g u ∂<∂,必有f v ∂<∂.其次证明如果,可以重新选取11,v u ,使11,v u 符合要求.由带余除法定理知存在r q ,使g r r r gq u ∂<∂∨=+=0,,所以1)(=++gv r gq f .若0=r 上式为1)(=+v fq g ,可得到0=∂g 与已知矛盾.若g r ∂<∂,上式为1)(=++v fq g fr ,由(1)知f v fq ∂<+∂)(令11,v v fq u r =+=,则有111=+gv fu .最后证明唯一性.如果存在2211,;,v u v u ,2,1,,,1,12211=∂<∂∂<∂=+=+i f v g u gv fu gv fu i i 则)()(1221v v g u u f -=-,因为1),(=g f ,所以12v v f -,故21v v =,同样的21u u =. 4.(参照张禾瑞编高等代数)§5因式分解定理[达标训练题]一、填空题1.)(x p 是不可约多项式,],[)(x P x f ∈若 )(x p ⊥)(x f ,则 .2. )(x p 是不可约多项式, ],[)(x P x f ∈则)(x p 与)(x f 互素的充要条件是 .3.判定多项式2x +2在数域P 上的可约性.(i )P=Q 时 ;)(ii P=R时 ;)(iii P=C 时 .4.)(x f =)42(-x 23)33(+x )2(+x 的标准分解式是 .5.)(x f =2)2(+x 3)1()4(24++x x ,)(x g =4)3(+x )1(-x 2)2(+x 2,则()(x f ,)(x g )= .二、判断题1. 任意数域上都有不可约多项式.2. 若)(x h )(x f )(x g ,则)()(x f x h 或).()(x g x h3. )(x p 是不可约多项式,)()(x f x p ⊥且)()(x g x p ⊥,则)()()(x g x f x p ⊥.三、解答题1.分别在有理数、实数域、复数域上分解14+x 为不可约多项式的乘积.2.证明:若)(x p 不可约, )(x p ()(x f +)(x g ),)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x f ,且)(x p )(x g .若)(x p 可约,上述结论是否成立?为什么?3. )(x p 是次数大于零的多项式,若 )(x p 与任一多项式)(x f 的关系只有两种情况()(x p ,)(x f )=1, 或)(x p )(x f ,)(x p 是否是不可约的?并说明理由.4.若)(x f 是次数大于零的首项系数为1的多项式,证明)(x f 是不可约多项式的方幂的充要条件是:对任意的多项式)(x g ,或者()(x f ,)(x g )=1,或者存在正整数m ,使)()(x g x f m.§5因式分解定理[达标训练题解答]一、填空题 1.1))(),((=x f x p ; 2.)(x p 不整除于)(x f ； 3. 不可约, 不可约,可约; 4.32)1()2)(2(36+-+x x x ; 5. 1. 二、判断题 1.T; 2.F; 3.F . 三、解答题1. 解在有理数14+x 为不可约多项式, 因此在有理数14+x 的分解式为其本身.在实数域:4221(1)(1)x x x +=-++在复数域上:))()()(())((123232121224i x i x i x i x i x i x x +-+-=+-=+. 2. 证明:若)(x p 不可约, 由)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x f 或)(x p )(x g .若)(x p )(x f 成立, 又)(x p ()(x f +)(x g ),所以)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x g 成立;同样地若)(x p )(x g 成立利用)(x p ()(x f +)(x g )得到)(x p )(x f 成立.总之有)(x p )(x f 与)(x p )(x g 同时成立.若)(x p 可约,上述结论不成立.事实上取,)(,)(,)(22x x x g x x f x x p -===则)()()(x g x f x p 且)(x p ()(x f +)(x g ),但)(x p 即不整除0(x f 也不整除)(x g .3. )(x p 是不可约多项式. 证明如下:若)(x p 可约,则存在)2,1)(()(0),(=∂<∂<i x p x p x p i i ,使)()()(21x p x p x p =,利用题设可以得出()(x p ,)(x p i )=1或者)()(x p x p i ,而事实上,这两种结果都不能成立.因此)(x p 可约的假设不正确.4．证明:必要性.设)()(x p x f m=()(x p 为不可约多项式),显然对任意的)(x g ,若1))(),((=x g x p ,则1))(),(())(),((==x g x p x g x f m ,若)()(x g x p ,则)()(x g x p m m ,即存在正整数m ,使)()(x g x f m .充分性: 设)1))()((,0)()()(()()(1111=>∂=x f x p x f x p x f x p x f k不可约，,取)()(1x p x g =,则()(x f ,)(x g )=1不成立, 且对任意正整数m ,)()(x g x f m不成立.故)1))()((,0)()()(()()(1111=>∂=x f x p x f x p x f x p x f k 不可约，不成立.即)(x f 是不可约多项式的方幂.§6 重因式[达标训练题]一、填空题1.设多项式)(x f =22)4-x 2)2(-x )2(+x )3(-x ,则)(x f 的单项式是 ,重因式是,它们的重数分别是 .2.若)(x p 是)(x f 的5重因式,则)(x p 是的3重因式, 的单项式.3.)(2x f 的微商是 .4. 与)(x f 有相同的不可约因式,但无重因式.5, )(x p 是()(x f ,)(/x f )的)1(≥k k 重因式,则)(x p 是)(x f 的重因式. 一、判断题1. )(x p 是)(x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(/x f 的1-k 重因式)1(≥k2., )(x p 是)(/x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(x f 的1+k 重因式. 2．多项式的重因式不因数域的扩大改变. 四、解答题1. 判断下列多项式有无重因式,若有,求出重因式.(i ))(x f =35423-+-x x x ;(i i ))(x f =3x 1-2. 将)(x f =x x x +-232单项式化,然后分解因式.3. 证明: )(x f =1+!!22n x x x n+++ 没有重因式. 4.a ,b 满足什么条件,b ax x ++33有重因式.§6 重因式[达标训练题解答]一、填空题1.3-x , 2-x 与2+x , 4与3;2.)(x f '';3.)()(2x f x f ';4.))(),(()(x f x f x f '; 5.1+k . 二、判断题 1.F; 2.T; 3.F. 三、解答题1. 解: (1)利用辗转相除法容易求出1))(),((='x f x f ,所以)(x f =35423-+-x x x 无重因式.(2)同(1).2. 解：容易计算)1())(),((-='x x f x f ，所以1-x 是)(x f 的二重因式，又)1())(),(()(-='x x x f x f x f ，故)(x f =2)1(-x x x x x +-232. 3. 证明:12)!1(1!211)(--++++='n x n x x x f ,1))!1(11,!1())(),()(())(),((1=-+++=''-='-n n x n x x n x f x f x f x f x f .故无重因式.4.解: 显然当0a b ==时，b ax x ++33有三重因式x ，当0,0a b =≠时b ax x ++33无重因式；当0a ≠时，当204b a a +=时，2((),())22bf x f x x x a a '=+=-，b ax x ++33有二重因式22x a -§7 多项式函数[达标训练题]A 组一、填空题1.多项式有无穷多个根.2,若)(x f =23432x x x -+,则)2(f = , )(x f 的根是 ,重根是,其重数是 . 3.α是多项式)(x f 微商的k 重根,则 α是)()3(x f 的重根.这里k ≥5.4.若α是)(/x f 的k 重根,且满足 , α是)(x f 的1+k 重根.二、判断题1. 若)(x f 没有重根,则)(x f 没有重因式.2. 若)(x f 没有根,则)(x f 不可约.3.)(x f 没有重根,()(x f ,)(/x f )=1 4. ()(x f ,)(/x f )=1,则)(x f 无重根.三、解答题1. 求一个次数小于3的多因式,使f (2)=1,)1(-f =2-, f (3)=2.2. 证明多项式)(x f =!)1(21n x n n nx x n n n +-++--无重根.B 组1. 求一个满足下列条件的三次多项式:(i )3-x )(x f ;(i i )3+x 除)(x f 的余数是4; (i i i ))(x f 被2-x ,2+x 除的余数相等.2. 证明x sin 不能表示成x 的多项式.3. 多项式)(x f 满足)(x f =)(b x f +求证: )(x f 是常量,这里0≠b .4. 证明:如果)()()(1432424123x f x x xf x f x x x +++++则ιf (1)=0,τ=1,2,3. 5. 设)(x f 和)(x p 是有理系数多项式, )(x p 在Q 上不可约,若)(x f 与)(x p 有一个公共复根,则)()(x f x p .§7 多项式函数[达标训练题答案]A 组一、填空题1．零多项式；2.-12, 0(二重),3,-1, 0,2; 3. 4-k ; 4. α是)(x f 的根; 二、判断题1．F ；2.F; 3.F; 4.T. 三、解答题1．解利用拉格朗日插枝公式13231))1(3)(23())1()(2(2)31)(21()3)(2(2)32))(1(2()3))(1((1)(2+-=------⨯+------⨯-+------⨯=x x x x x x x x x f 2.证明：)!1()2)(1()1()(221-++--+-+='---n x n n n x n n nx x f n n n ，所以 ='-'='))()(),(())(),((x f x f x f x f x f ),)!1()2)(1()1((321n n n n x n x n n n x n n nx -++--+-+--- =1.所以)!1()2)(1()1()(21-++--+-+=--n x n n n x n n nx x f n n n 无重根. B 组1．解：设)()3()(x g x x f -=，c bx ax x g ++=2)(，则 c x b c x a b ax x f 3)3()3()(2--+-+=利用综合除法得到用3+x 除)(x f 得余数461854=-+-c b a ,用2,2+-x x 除)(x f 得到的余式分别是20510,42-----b a b a .由题设得到下列方程组⎩⎨⎧-+=---=-+-c b a c b a c b a 5102024461854由此解出一个解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=0458456c b a .2．证明：若x sin 表示成一个n 次多项式，则它最多只能有n 个根因此它是0.事实上0sin ≠x .3．证明令)0)(()()(≠+-=b b x f x f x g ，则)(x g 若不是零多项式，则其常数项为0)(=-b f ，从而 ,2,b b 都是)(x f 根，这样0)(=x f .若)(x g 不是0多项式，而它有无穷多个根.4．证明：考虑四次单位根42sin42cos ππεk i k k +=3,2,1=k ，显然)(143123ε-=+++∏=x x x x k ，则42sin 42cosππεk i k k +=是)()()(424221x f x x xf x f ++的根，即)3,2,1(0)1()1()1()1(3211==+++k f f f f k k k εεε进一步得0)1(=k f .5．证明首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在有理数域上不能整除于)(x f ，则无论在有理数域还是复数域均有1))(),((=x f x p 而事实上在复数域上1))(),((=x f x p 不成立.因此)(x p 在有理数域上整除于)(x f .§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题]A 组一、填空题1．复数域上不可约多项式是，实数域上不可约多项式是 .2. )(x f ][x R ∈是首项系数为1的7次多项式,且 )(x f 有2重根i 32-,单根0、1、-2，则)(x f 的标准分解式是 .3. )(x f =][3x R q px x ∈++,有一须根,bi a +则)(x f 的所有根是 .4.44-x 在复数域上分解式是 .在实数域上的分解式是 .二、解答题1. 求有单根i 21-及2重根1懂得次数最低的受项系数为1的复系数多项式和实系数多项式.2. 证明:奇数次实系数多项式必有实根.3. 设)(x p 是R 上不可约多项式,对于)(x f ][x R ∈,如果)(x p 与)(x f 在C 中有多项式α,证明)()(x f x p .B 组1.(选择填空)若多项式)(x f 的各项系数都同号,那么)(x f .(i)无实根;(ii)无复实根;(iii)无正实根;(iv)既有正根又有负根.2.在C 和R 上分解1-nx 为不可约因式之积.3.设)(x f 表示把多项式)(x f 的系数换成它们的公轭复数所得到的多项式.证明:(i)若)()(x f x g ,则)()(x f x f ; (ii)( )(x f ,)(x f )=)(x d 是实系数多项式.§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题解答]A 组一、填空题1．一次多项式，一次与部分二次不可约多项式；2.22)74)(2)(1(+-+-x x x x x ； 3.2a 2-，bi a bi a -+,；4.)2)(2)(2)(2(i x i x x x -+-+，)2)(2)(2(2+-+x x x . 二、解答题1．解：在复数域上)21)(21()1()(2i x i x x x f --+--=, 在实数域上)32()1()(22+--=x x x x f . 2 .证明: 若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾.3．证明: 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在实数数域上不能整除于)(x f ，则无论在实数数域还是复数域均有1))(),((=x f x p 而事实上在复数域上1))(),((=x f x p 不成立.因此)(x p 在实数域上整除于)(x f .B 组1．（iii ）2．解：在实数域上，11(1)(1)n n x x x x --=-+++在复数域上011221()()(),cossin ,0,1,1n n k k k x x x x i k n n n ππεεεε--=---=+=-.3．证明 (i)若)()(x f x g ,则存在(),()()()h x f x g x h x =，利用共轭复数的运算性质喝多项式乘法法则，有()()()f x g x h x =，故()()g x f x ;(ii)由于()()f x f x +是实系数多项式， ((),())((),()())f x f x f x f x f x =+,，故((),())()f x f x d x =是实系数多项式.§9 有理数域上多项式 [达标训练题]A 组一、填空题1.设)(x f 是数域P 上的不可约多项式,))((x f ∂=n ,若P=C,则n = .;若P=R,则n = ; 若P=Q,则n = .2.若整系数多项式)(x f 不存在素数p 满足艾氏判别法的条件,则)(x f 的Q 上 .3.1221334-+-x x x 所有可能的有理数根是. 二、判断题1. 若不存在素数p 能整除整系数多项式)(x f 的所有系数,则)(x f 是本原的2. 任何一个有理系数多项式都能表示成一个有理数与本原多项式之积.3. 若)(x f 是次数≥1的整系数多项式,则)(x f 在Q 上可约⇔)(x f 能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.4. )(x f ∈Q ][x 有无理根,则)(x f 在Q 上不可约. 三、解答题1. 把下列多项式表示成一个有理数与本原多项式的乘积.)(i ;46223-+x x )(ii .271313-x x2. 证明下列多项式在Q 上不可约.)(i 13)(1)(;6423234234+-++++---x x iii x x x x ii x x x3. 用试根法求4323+-x x 的有理根. 4. 证明32是无理数.B 组1. 5次有理系数多项式)(x f 在Q 上可约,则下类断言正确的是 .(A))(x f 至少有一个有理根; (B))(x f 不一定有有理根;(C))(x f 恰有一个有理根; (D))(x f 含有一个2次不可约因式.2.证明)(x f =!!212p x x x p+++在有理数域Q 上不可约(p 是素数) .3.求3212252345--+--x x x x x 的有理根.4.设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i)当n >1时,说明)(x f 是否有有理根与其可约性的关系;(ii) n =3时,上述关系如何? (iii)n =4时,给出一个无有理根,但)(x f 可约的例子.5.整系数多项式)(x f 对某一整数m 有)(m f 和)1(+m f 都是奇数,证明)(x f 无整数根.§9 有理数域上多项式 [达标训练题答案]A 组一、填空题1．1，1或2，任意正整数；2.可能可约也可能不可约；3.31,1±±二、判断题1．T ；2.F （若是非零多项式正确）；3.T. 三、解答题1．解：)(i )23(24622323-+=-+x x x x ；)(ii )4237(21127131233-+=-+x x x x2．解：)(i 642234---x x x ，取2=p ，利用Eisenstien 判别法即得不可约；1)234++++x x x x ii ，令1+=x y ，则)(5101051234234y g y y y y x x x x =++++=++++，取5=p ，利用Eisenstien 判别法即得)(y g 不可约，从而1234++++x x x x 不可约；13)(3+-x x iii ，令1+=x y ，则)(63613233y h x y y x x =+++=+-，取3=p利用Eisenstien 判别法即得)(y h 不可约，从而133+-x x 不可约.3. 解：4323+-x x 的所有可能根是：4,2,1±±±，因为4323+-x x 的各项系数之和不等于0，奇次项系数之和等于0，所以-1是根，1不是根.容易利用综合除法验证4,2±±都不是根.4．证明：因为2)(3-=x x f 无有理根，而32是2)(3-=x x f 的根，因此它不是有理数，从而是无理数.B 组1.（B ）2．证明：)(x f = )3)1(!!(!1!!21122p p p x px x p p x p p P p x x x +++-++=+++-对多项式)3)1(!!(12pp x px x p p x p p +++-++- 利用Eisenstien 判别法即得在有理数域Q 上不可约(p 是素数)..3. 解：)64522(2132122523452345--+--=--+--x x x x x x x x x x ，而645222345--+--x x x x x 的所有可能有理根为23,21,6,3,2,1±±±±±±，然后可用试根法得出全部有理根为：-1，2,21.4.. 解设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i)当n =2、n =3时, )(x f 有有理根是可约的充要条件.当3>n 时,)(x f 有有理根是可约充分条件,但不是必要条件.n =4时,例如22)1()(+=x x f 无有理根,但)(x f 可约. 5. 证明: 设α是多项式)(x f 的整数根,则 )()()(x g x x f α-=,)(x g 是整系数多项式.从而)()()(m g m m f α-=)()1()1(x g m m f α-+=+都是奇数.这是不可能的.§10 多元多项式[达标训练题]一、填空题1.多项式),,(4321x x x x f =2322141221232212x x x x x x x x x ++++是元次多项式,首项是 , 是同类项.2.设g ),,(321x x x =23221x x x +221x x +21x +322x x -212x x ,按字典排列,),,(321x x x g = .按齐次成分),,(321x x x g 排列成 , 按2x 的降幂排列=),,(321x x x g = .3．设=),,(321x x x f 32221122x x x x x ++， =),,(321x x x g 32121x x x x x +则),,(321x x x f =),,(321x x x g ，),,(321x x x f ),,(321x x x g 的首项是，),,(321x x x f +=),,(321x x x g ，)0,1,1(-x f =-)0,1,1(g ，)0,1,1(-x f +=-)0,1,1(g . 二、解答题1．写出数域P 上三元三次多项式的一般形式.2．两个n 元多项式首项的和是不是首项？为什么？3．证明：若n 元数组),,,(),,(2121n n b b b a a a ≥，且),,,(),,(2121n n b b b a a a ≤，则),,2,1(n i b a i i ==.此时记),,,(),,(2121n n b b b a a a =.4.举反例说明，当2≥n 时，类似于一元多项式的带余除法定理不成立.§10 多元多项式[达标训练题答案]一、填空题1.4，5，221x x ,无同类项；2.g ),,(321x x x =221x x +21x +23221x x x -212x x +322x x ，g ),,(321x x x =23221x x x +（221x x +322x x ）-212x x +21x ，g ),,(321x x x =23221x x x +322x x +221x x -212x x+21x . 3.332232213221332212213231x x x x x x x x x x x x x x x x +++++，3231x x x ，2322132122121x x x x x x x x x x ++++，-2，1.二、解答题1．解：数域P 上三元三次多项式的一般形式是：300123002201032011220201100311012111021200x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x a ++++++++.2．解：两个n 元多项式首项的和不一定是首项：例如3212131,x x x g x x x f +=+=的首项分别是121,x x ，显然121x x +不是g f +的首项.3．证明是简单的从略例如：212131,x x g x x x f =+=显然对任意的q ，r qg f +=中r 中必包含单项式31x ，因此0,=∂<∂r g r 都不成立§11 对称多项式[达标训练题]一、填空题1.二元多形式的一般形式是，二元二次对称多项式的一般形式是，二元二次齐次多项式的一般形式是，二元二次齐次对称多项式的一般形式是 .2．4321,,,x x x x 的初等对称多项式是：=1σ ; =2σ ； =3σ ;=4σ . 若4321,,,x x x x 是4322314)(a x a x a x a x x f ++++=的四个根，则=1σ ; =2σ ；=3σ ;=4σ .3.三元对称多项式232221x x x ++可以由初等对称多项式来表示.二、解答题1.将下列多项式初等化：（1）))()((133221x x x x x x +++; （2）322121),,,(x x x x x x f n ∑= . 2.设n a a a ,,21是数域P 上的多项式在复数域K 上的根，证明n a a a ,,21的每一个对称多项式都可以表示成P 上关于1a 的多项式.§11 对称多项式[达标训练题解答]一、填空题1．201220211021112120x a x a x a x x a x a ++++， )2,1,)((==∑j i a a x x aji ij ijj i ij，)()(21212221x x c x bx x x a ++++.2.4321x x x x +++,)323121x x x x x x ++，432431421321x x x x x x x x x x x x +++，4321x x x x ，4321,,,a a a a --；3.3213133σσσσ+-. 二、解答题解：（1）因为2312213213212211332212))()((x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++=+++=232322x x x x ++，它的首项是221x x 对应的有序数组是（2，1，0），因此作多项式332103012121σσσσ-=-=---x x x f .所以3321σσσσ-=f .（2）由于2322132213221322121),,,(x x x x x x x x x x x x x x x f n ++==∑ ，其首项是3221x x x ，当3=n ，令0),,(313211=-=σσx x x f f ，所以，3121),,,(σσ=n x x x f .当3>n 时，根据首相为3221x x x ，则可设43121),,,(σσσa x x x f n -= ，令0,154321=======n x x x x x x 代入即得4-=a .2．证明：设),,,(21n a a a f 为关于n a a a ,,21的任意对称多形式，则由基本定律知),,(),,,(1121-''=n n g a a a f σσ ，其中11,,-''n σσ 关于n a a a ,,21的全部初等对称多项式.显然n n n x x a σσσσσσσσ111122111,,,-=''-='-='- ，再由根与系数的关系得出上式中的i σ'是关于1a 的多项式.。

高等代数-第4章习题及解答

第四章多项式4.1习题,()(),..(-)-(-)()()-(-)()--(-)(-)Z a c ad bc q Z s t ad bc q a c a c b d ab cd ad bc a c b d ab cd a c q a c b d q ab cd ∈-+∴∃∈+==++=++=+1. 设a,b,c,d 已知(a-c)(ad+bc),求证(a-c)(ab+cd)证明：又由（）得（）（）即 ,,-()()b d q Zb d q Z ac ab cd ∈∴+∈-+即有 121212,65(-3)13,65(-2)5,65-,65(-3)13(-2)571865-(6528)65(-65)-2828m m m m r c c m c m c c c m m r ⨯⨯∃⨯+⨯==-+∴=2. 一个整数被5除余3，被13除余2，求它被65除的余数解：设所求数为由题知即有令，，则有故有 1723582957,581-143,-143202,0231414a b a b a b a b b a b a b a ==-=-==-=-=-=-=+=⋅+=⋅+3. 对于下列的整数，分别求出以除所得的商和余数：（1）, （2）, （3）, （4）解：）由带余除法，可表示为故商为，余数为；）同理得故商为，余数为；）由知商为，余数为； 49595b a =+ ）由知商为，余数为。

.()001a b a b b aq q Z b q b a q q a b≠≤=∈≠∴≠∴=≥∴≤4. 证明：若a b,b 0,则证明：由可得又又1,) 1.b ∈=1 1 1115. 设a,b 是不全为零的整数，且a=da ,b=db ,d,a ,b Z.证明d 是a 与b 的一个最大公因数的充分必要条件是(a1111111111[] 4.1.3,,..01(,)1[](,)1''1''1,''u v Z s t ua vb d uda vdb d d ua vb a b a b u a v b a bu v u a v b d d d⇒∃∈+=+=≠∴+=∴=⇐=+=+=+=证明：根据定理得即又故有即则有综上所述，结论得证6.(,)1,(,) 1.,(1),,..()()(1),,1,1a b a b ab a b ab d d Z d u v Z s t u a b vab d ua u va b d u v a Z u va Za b =+=+=∈≠∴∃∈++=∴++=∈∴+∈= 证明：若则证明：反证假设（）且故（）与（）矛盾 ,17.1..,()(),,.a b ab a b p ab p a p b p p mn a b k k Z p abp b b k p a p b p k m b m k m k n b n k n k p ∴+===+∈∴+ （）设是一个大于的整数且具有以下性质：对于任意整数，，若，则或证明是一个素数证明：令又当不整除，有，不整除又有，不整除或；不整除或若为合数，那,m k n k p p k p b p 么由可知必为素数，否则同理可证当不整除时，也必为素数4.2习题224324321.,,(21)(1)251\2(2)(21)()12521-2,1,31k h m x hx x kx x x mx x x k h x hk x h k x h k hk m k h m h k +--+=++--=--+--++--=⎧⎪--====⎨⎪+=-⎩求使解：对于左边即有解之得432322.()242,()25 4.()(),()(),()().f x x x x xg x x x x f x g x f x g x f x g x =+---=--++- 设计算432443270765432()()4292()()6()0254()()()23913131868kki k i k i f x g x x x x x f x g x x x g x x x x x f x g x a b x x x x x x x x -==+=+--+-=+-=⋅+--+∴==+--++--∑∑解：由题得令323122223.()59-73,()(53),()().-15-50[()()]3691()()04.()0().()0()()()f x x x xg x x x f x g x f x g x x f x g x s f x f x f x f x f x f x ︒=-++=++⨯=±∂===≠≠=⋅∴ 设求乘积的次数及其系数和解：根据得令则有的系数和证明：当时，是偶次多项式证明：又有根据定理2 4.2.12()()()()(),()()2f x f x f x f x f x n n N f x n ︒︒︒︒︒∂⋅=∂+∂∂=∈∴∂=的（）知（）（）（）再令（）结论得证2225.(),(),()..()()(),()()()0.(),(),()1221222132212f x g x h x f x xg x xh x f x g x h x g x g f x f h x hg h f g g h f h g h f g f ︒︒︒︒︒︒=+===∂=∂=∂=>=+<=+==+= 设是实数域上的多项式证明如下若是则证明：令（）（）（）当时，有当时，有当时，有或 2222214()(),(),()(),(),()()()()06.(),(),()()0(),()1()0(),()h f x f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x i h x f x xg x x xh x x +========-= 又由题可知是偶次多项式，又由于是实数域上的多项式故的次数不存在即求一组满足上题结论的不全为零的复系数多项式解：令，即， 222()()0()()0(),()1xg x xh x f x f x g x i h x ∴+===== 满足条件即，4.3 习题3221.()321,()321,()()()().f x x x xg x x x g x f x q x r x =-+-=-+设求用除所得的商式和余数232322217393213212133751337147399299172(),()3999()()()()x x x x x x x x x x x x x x x q x x r x f x g x q x r x --+-+--+-+--+--=-=-=+解：故即[]2432322412*********.,,(1)()?012,1(1)()3.()(()()),()(()()),:()(()()()()),(),()m p q x mx x px q p m m m r q m p m m q m x mx x px q g x f x f x g x f x f x g x u x f x u x f x u x u x F x ++++⎧+=-=⎨=-⎩=-=-+++++-+在适合什么条件时，解：由题知当余式时有即当时有设证明其中为中任意两个12121212121211()(()()),()(()())()(()()()())()(()()()())()(),()()3()()(i g x f x f x g x f x f x g x f x f x f x f x g x f x f x f x f x g x f x g x f x u x F x i +-∴++-+-+∃∀∈=多项式证明：即根据多项式整除性质）可知 1122112221,2)..()()(),()()()2()()(1,2)..()(()()()())4.(1)(),(1)(),(1)().11(1)(),(1)(i o s t g x u x f x g x u x f x u x F x i s t g x u x f x u x f x x f x x f x x f x x x f x x f ∃∀∈=+-+-≠±-+ 再根据性质）得若则证明：1212)(),()[]()()(1)(1)()()(1)(2)x u x u x F x f x u x x f x u x x ∴∃∈=+⎧⎨=-⎩221()()(1)(-1)-(2)(1)()(-1)()2u x u x x x f x x -⨯⨯+= 得212()()()[]2(-1)()21-1()0o u x u x u x F x x f x x x f x -∃=∈=== 故即或时，可得出同样结论成立1212121221212125.(1)()(()()),()()()()(2)()()(),()()()()1(),()1,()1()(()())()()()g x f x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x f x g x x f x x f x x g x f x f x g x f x f x +==+=-+ 若则且对吗？若则或对吗？解：（）不对如：令可见而不整除和（21212122()-1,()1,()1()()()()()()g x x f x x f x x g x f x f x g x f x f x ==+=-）不对如：令可见而不整除和(1)(2)6.(1)(1),.,1()1(1)(1),(1)(1).(1)(1)(0),1(1)1,(1)(1)(1)(d n n d q d q d q d d n d n n qd r d q r r d n d x x d n d n d n n qd x x x x x x x x x n qd r r d x x x x x x x x --+--⇐=-=-=-+++--⇒--=+≤<-==-+---- 证明：的充分必要条件是（这里是正整数）证明设，即则即设，令则且212121)(1)(1)0,0.7.()110220()32.(),()[]..(1)()10()(1)(2)()2d q d r x x x r d r d n f x x x f x x x u x u x F x s t x u x f x x u x -∴--≤<=++++∃∈++=++ ,又故，即设被除的余式为，被除的余式为，求被除的余式解：设， 23120()(2)()[]..()32(3)(1)(2)-(2)(1)()32--10(1)434-10(1)f x u x F x s t f x x x u r x x f x x x u u x r x =∃∈=+++⨯+⨯+=+++=+ 又，（）有（）（）（）由（），（）可得习题4.4432424322432312(1)43243221(-1)1.1)()242,()322;2)()441,() 1.()24221)()()2222f x x x x x g x x x x x f x x x x x g x x x f x x x x x x x A x g x x x x x x x x x +-+=+---=+---=--++=--⎛⎫⎛⎫+----⎛⎫==−−−→ ⎪ ⎪ ⎪+---+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭−计算以下各式多项式的最大公因式：解：由 11333221()1()21()42222222200x x xx x x x x x x x x x -++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----−−→−−−→−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭224324312(4)222212(-)2(1)12()221(1)()2()44132)()()112333212x x d x x f x x x x x x x A x g x x x x x x x x x x x x +++-++∴=-⎛⎫⎛⎫--++--⎛⎫==−−−→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫--⎛⎫−−−−→−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭−−−→ 由 2311110()1x x x d x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=2.(),()(),,0,(()(),()())((),()).((),())()()(),()()()()()),()()())(),()(f x g x F x a b c d F ad bc af x bg x cf x dg x f x g x f x g x d x d x f x d x g x d x af x bg x d x cf x dg x h x h x af ∈∈-≠++==∴++∃∀另而，，，并且证明证明：令即有（（又设（)()),()()())-0()()())-()())---()()())()())--()(),()(),()x bg x h x cf x dg x ad bc d bf x af x bg x cf x dg x ad bc ad bc c ag x af x bg x cf x dg x ad bc ad bch x f x h x g x h x d ++≠∴=++=+++∴ （有（（（（从而有 ()()()()())()(()(),()())((),())x af x bg x cf x dg x d x af x bg x cf x dg x f x g x ++=++= 即（，即 :3.()0,()((),())(()()(),()).()0(),..()()()()()()-()()1((),())(()())((),())(()()(g x h x f x g x f x h x g x g x g x h x s t f x g x h x r x r x f x g x h x f x g x g x r x f x g x f x h x g x ≠=-≠∃=+===-设为任意多项式，证明：证明：故即由引理可知，即 ),())g x1122121212124.1)(,)2)(,)(,)(,,,),,,().1(,),,,,(,),[],..f g hf gh f g f g f f f g g f g g f g h F x f g d d f d g dh fh dh gh dh hf hg f g d u v F x s t uf vg d ===∃∈+=∴证明：是与的最大公因式；此处都是的多项式证明：）设即从而有即是与的公因式又由得 112211211212211211221214.4.42)(,),(,),(,[]),;,,,,(,),(,),,,ufh vgh dhdh fh gh f g m f g n m n F x m f m g m f m g mn f f mn f g mn f g mn g g f g m f g n k k l +===∈==∃ 由定理知是与的最大公因式设即从而有又由知 211112222121211221221121212122112112212122112[],..,(,,,)(,)(,)(,,,)l F x s t k f l g m k f l g nk k f f k f l g l k f g l l g g mn mn f f f g f g g g f g f g f f f g f g g g ∈+=+=+++=== 即有由此可知从而有4323243232324323235.(),()()()()()((),()):1)()343,()310232)()421659,()25453431033113333102301310u x v x u x f x v x g x f x g x f x x x x x g x x x x f x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x x x +==+---=++-=--++=--+⎛⎫+--------→ ⎪++-⎝⎭+2求使解：）（A(x),I ）=222322222232230159935993913310230156553296331393555591393132563555555x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪+-⎝⎭⎛⎫----⎛⎫---- ⎪→→ ⎪- ⎪++---- ⎪⎝⎭⎝⎭⎛-+⎛⎫-+------ ⎪ ⎪→→--+ ⎪------+- ⎪⎝⎭⎝33-x -x 22243232323231550**321,()55122342165910332540125401x x x x x x x v x x x x x x x x x x x x x x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎛⎫-+- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭-∴-=⎛⎫⎛⎫--+---++ ⎪→ ⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭--+⎝⎭2 u(x)= 2)（A(x),I ）=22222222121223231333332222412(2)1333312231330**1223(),()33x xx x x x x x x x xx x x x x x x x x x x u x v x ⎛⎫-++⎛⎫--+--- ⎪⎪ ⎪⎪→→ ⎪ ⎪--++--+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫--+- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭--+∴==4322432436.()1,()(1),,,()().(),()2,()()()()(,,)()(2)(2)(2)1of x Ax Bxg x x A B f x g x f x g x g x f x g x ax bx c a b c F f x ax b a x c b a x b c x c Ax Bx a A =++=-∂==++∈∴=+-+-++-+=++=设试决定使与的最大公因式为二次多项式解：由于（）即为最大公因式故不妨设即有 -23,2,13,-4202013,-4b a B a bc A B c b a b c c A B ⎧⎪=⎪⎪=====-+=⎨⎪-=⎪=⎪⎩∴== 解得即7.(),()((),())()()()(),((),())1((),())()()()()*()()()()()()()()()()*(),()[].f x g x f x g x u x f x v x g x u x v x f x g x u x f x v x g x u x f x v x g x f x u x f x v x g x g x m x n x F x s =+==+++∃∈设不全为零，且证明：证明：（）有，再由（） .()()[()()()()]()()[()()()()]1-()()()()()()11-()())()()()()221()t f x m x u x f x v x g x g x n x u x f x v x g x m x u x f x m x v x g x n x v x g x n x u x f x f x =+=+== 即（）（）（（）将（）代入（），消去得1-()()1-()()()()()()()()(),(),()01-()()()()()()()()()()()()1()()()()4.4.5((),())1m x u x n x v x g x m x v x g x n x u x f x g x g x n x v x m x u x m x n x u x v x m x n x u x v x m x n x u x v x u x v x =≠∴-+=∴==（）（）不全为零即令由定理得8.((),()) 1.((),()) 1.,,((),()) 1.1()()()[]()()()()()()((),())1n m n o n n n f x g x n f x g x m n f x g x g x g x k x F x g x k x g x g x g x k x f x g x ===∃∈=∴==设令是任意正整数，证明：由此进一步证明：对于任意正整数都有证明：易见 , 即 s.t. (1)又 ()()1()()1()((),())1()(),()[]()()()()()()nn m m m f x g x f x g x k x f x g x x f x l x F x f x l x f x f x f x l x ∴∃∈+=+==∃∈=∴=o u(x),v(x)F[x] s.t. u(x)v(x) (2)v(x) 将（1）代入（2）得 u(x) 由定理4.4.5 知 2易见 f 即 s.t. ((),())1'''()()'()()11'()()'()()1()((),())1n n mn m n f x g x u x f x v x g x u x f x v x g x l x f x g x =∴∃∈+=+== (3)又u (x),v (x)F[x] s.t. (4) 将（3）代入（4）得由定理4.4.5知 [][]1111119.((),()) 1.((),()())((),()())(()(),()()) 1.((),()())()()(),()()()()[()()]()()()]f x g x f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x d x d x F x u x v x F x u x f x v x f x g x d x u x v x =+=+=+=+=∈∴∃∈++=+设证明：证明：令 ()s.t. 即 [1()()()()((),())1()1((),()())1((),()())1(()(),()())1f x v xg x d x f x g x d x f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x +===+=+=+=故即同理可证得再根据互素性质可知10.()0,()0,:1(),()()()()(),((),())12(),()(),()()()()(),((),())11((),())()1,()()f x g x h x f x g x h x f x h x f x g x h x f x h x g x h x f x g x h x f x g x f x g x d x f x d x m ≠≠===≠=设证明）若对于任意多项式由可得到则必有）若对于任意多项式由可得到则必有证明：）假设则有(),()()()()()()()()()()()()()()x g x d x n x m x f x f x g x h x h x f x g x m x f x m x ︒︒=∂<∂∴ 其中（）（）又（为任意多项式）即有()()((),())12((),())()1()()()()()()()()(),()()()()()()()1((f x m x f x g x f x g x d x f x d x m x h x m x g x f x g x m x g x g x m x f x g x g x m x f x ==≠==∴ 但不整除，从而矛盾，故）假设，且令即有（）又),())()()()()()()()1((),())1g x d x f x m x f x g x g x m x f x g x ︒︒︒︒=∴∂>∂∂>∂∴= （）（）故（）（）与（）矛盾1212111212112211.(),(),,()().1)((),(),,())(((),,()),((),,())),112(),(),,()(),(),,()()()()()()()n n k k n n n n f x f x f x F x f x f x f x f x f x f x f x k n f x f x f x u x u x u x F x u x f x u x f x u x +∈=≤≤-∈+++设证明：）互素的充分且必要条件是存在多项式，使得1211121()11((),(),,())(),((),,()(),((),,()()()(),1,2,,()(),1,2,,;()(),1,2,,()(),n n k k n i s t f x f x f x f x d x f x f x d x f x f x d x d x f x i nd x f x s k d x f x t k k nd x d x +=====∴==++∴证明：）设21212()()()(),1,2()(),1,2,,;()(),1,2,,()(),1,2,,()(),2((),(),,())1i s t i n d x d x c x d x i d x f x s k d x f x t k k nc x f x i nc xd x f x f x f x ===++∴=∴= 设结论得证。

高等代数_李海龙_习题第2章多项式

第二章多项式2.1 一元多项式的定义和运算1．设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0．证明概要：比较等式两边的次数可证．2．求一组满足上一题中等式的不全为零的复系数多项式f (x )，g (x )和h (x )．解：取f (x ) = 2ix ，g (x ) = i (x +1)，h (x ) = x-1即可．或取f (x ) = 0，g (x ) = 1，h (x ) = i 即可． 3．证明：(1)(1)(1)1(1)2!!(1)()(1)!nnx x x x x n x n x x n n ---+-+-+---=-证明提示：用数学归纳法证之．2.2 多项式的整除性1．求f (x )被g (x )除所得的商式和余式：(i) 14)(24--=x x x f ,13)(2--=x x x g(ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3+-=x x x g解：(i) 35)(,2)(2--=--=x x r x x x q(ii) 56)(,2)(22++=+=x x x r x x q2．证明：kx f x )(|必要且只要)(|x f x证明：充分性显然．现证必要性．反证法：若x 不整除)(x f ，则c x xf x f +=)()(1，且0≠c ．两边取k次方得k k c x xg x f +=)()(，其中0≠kc ．于是x 不整除)(x f k ．矛盾．故必要性成立．3．令)(),(),(,)(2121x g x g x f x f 都是数域F 上的多项式，其中0)(1≠x f 且)()(21x g x g |)()(21x f x f ，)(1x f |)(1x g ．证明：)(2x g |)(2x f ．证明：反复应用整除定义即得证．4．实数m,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式q px x ++4？解：以12++mx x 除q px x ++4得一次余式．令余式为零得整除应满足的条件：当且仅当m m p 23-=且12-=m q 时，12++mx x |q px x ++4．5．设F 是一个数域，F a ∈．证明：a x -整除nn a x -．解：因为1221()()n n n n n n x a x a x ax a x a -----=-++⋅⋅⋅++6．考虑有理数域上多项式 1)1)(2()1()(-+++++=n k n k x x x x fn k x x )1()2(++⋅⋅⋅+，这里n 和k 都是非负整数．证明：1+k x |1)1()()1(++++-n k x x f x ．解：因为 1(1)()(1)k n x f x x ++-++1[2(1)]()(1)k n x x f x x ++=-+++nk x x )1()2(1+=+7．证明：1-d x 整除1-nx 必要且只要d 整除n ．证明：若d |n ，令md n =，则=-=-1)(1m d n x x )1(-dx ·)1)()((21++⋅⋅⋅++--dm d m d x x x ．所以1-d x |1-n x ．下面证必要性：反证法，若d 不整除n ，令r qd n +=，0≠r ，且０<r <d ．于是111)1(-+-=-=-=-+rr r qdr qdrqd nx x x xx xxx)1()1(-+-=rqdr x xx ．因1-qd x 可被1-d x 整除，故)1(-qdrx x 可被1-d x 整除．即1-r x 是1-n x 被1-d x 除所得的余式．因r <d ，0≠r ．所以与1-n x 可被1-dx 整除相矛盾．2.3 多项式的最大公因式1．计算以下各组多项式的最大公因式：(i)32103)(,343)(23234-++=---+=x x x x g x x x x x f ；(ii) i x i x i x i x x f ----+-+-+=1)21()42()22()(234；x i x x g -+-+=1)21()(2．解: (i) 3),(+=x g f ； (ii)i x i x g f -+-+=1)21(),(2．2．设)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =．证明：若)())(),((x d x g x f =，且)(x f 和)(x g 不全为零，则1))(),((=x g x f ，反之，若1))(),((=x g x f ，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式．解：由本节定理２.３.２及２.３.３得证（常当作定理）．3．令)(x f 与)(x g 是][x F 的多项式，而a ，b ，c ，d 是F 中的数，并且0≠-bc ad ．证明：))(),(())()(),()((x g x f x dg x cf x bg x af =++．证明：设)()()(1x bg x af x f +=)()()(1x dg x cf x g +=,=)(x d))(),((x g x f ．易知)(x d |)(x f ，)(x d |)(x g ，从而)(x d |)(1x f ，)(x d |)(1x g ．即)(x d 是)(1x f ，)(1x g 的一个公因式．再设)(x ϕ是)(1x f ，)(1x g 的任一公因式．则由定义知)(x ϕ|)(1x f ，)(x ϕ|)(1x g ，由)(x f ，)(x g 之所设及0≠-bc ad ，可解得)()()(11x g bcad b x f bcad d x f ---=)()()(11x g bcad a x f bcad c x g ----=从而可知)(x ϕ|)(x f ，)(x ϕ|)(x g ．既)(x ϕ是)(x f 、)(x g 的一个公因式，所以)(x ϕ|)(x d ．由定义知))(),(()(11x g x f x d =．4．证明：(i) h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；(ii) ( f 1 , g 1 )( f 2 , g 2 ) = ( f 1f 2 , f 1g 2 , g 1f 2 , g 1g 2 ) 此处f ，g ，h 都是F [x ]的多项式．证明：(i) 设( f , g ) = d , 则d | f ，d | g ．所以dh | fh ，dh | gh ．又有u ，v 使uf + vg = d ．于是ufh + vgh = dh ．所以dh 是fh ，gh 的一个最大公因式．(ii)设( f 1 , g 1 ) = d 1，( f 2 , g 2 ) = d 1，则d 1d 2同时整除f 1f 2，f 1g 2，g 1f 2，g 1g 2．d 1d 2是它们的一个公因式,另设ϕ是f 1f 2，f 1g 2，f 2g 1，g 1g 2的任一公因式，那么就有ϕ| ( f 1f 2 , f 1g 2 )，( f 1f 2 , f 1g 2 ) = f 1( f 2 , g 2 ) = f 1d 1．ϕ| ( f 2g 1 , g 1g 2 )，( f 2g 1 , g 1g 2 ) = g 1 ( f 2 , g 2 ) = g 1d 2．所以ϕ| ( d 2g 1 , f 1d 2 )，而( d 2g 1 , f 1d 2 ) = d 2 ( f 1 , g 1 ) = d 1d 2．既ϕ| d 2d 1．故有( f 1 , g 1 ) ( f 2 , g 2 ) = ( f 1f 2 , f 1g 2 , g 1f 2 , g 1g 2 )．5．设432()242f x x x x x =+---，432()2f x x x x x =+--2-都是有理数Q 域上的多项式．求u (x ),][)(x Q x v ∈使得))(),(()()()()(x g xd f x v x g x u x f =+．解：u (x )=-x-1，v (x )=x +2．6．设(f , g )=1．令n 是任意正整数，证明：( f , g n) = 1．由此进一步证明，对于任意正整数m ，n ，都有( f m , g n ) = 1．证明：因为( f , g ) = 1．所以有u ,v 使uf + vg = 1，则vg = 1- uf ，两边n 次方得v n g n = ( 1- uf )n = 1+ u 1f ．所以v n g n = ( 1- uf )n = 1 + u 1f - u 1f + v n g n = 1．从而 -u 1f + v n g n = 1，( f , g n ) = 1．固定g n，同理可证( f m, g n) = 1．7．设( f , g ) = 1．证明：( f , f + g ) = ( f + g , g ) = 1．证明：因为( f , g ) = 1．所以有u ,v 使uf + vg = 1，进而有( u – v ) f + v ( g + f ) = 1, 所以( f , g + f ) = 1.同理( g + f , g ) = 1利用互素性质得( f g , f + g ) = 18．证明：对于任意正整数n 都有( f , g )n = ( f n , g n )．证明：设( f , g )=d ，则f = df 1 ，g = dg 1，且( f 1 , g 1 ) = 1由上面第６题知 ( f 1n , g 1n) = 1，从而存在u ,v 使uf 1n＋ vg 1n= 1．所以uf 1nd n＋ vg 1nd n= d n，既uf n＋ vg n= d n．又d n｜f n，d n ｜g n ．所以( f , g )n = d n = ( f n , g n )．9．证明：若是f ( x )与g ( x )互素，并且的次数都大于0．那么定理2.3.3里的可以如此选取，u ( x )次数低于g ( x )的次数，v ( x )次数低于f ( x )的次数，并且这样的u ( x )与v ( x )是唯一的．证明：因为, 所以有u 1 ( x )，v 1 ( x )使u 1 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) g ( x ) = 1，因))((x f ∂︒> 0，))((x g ∂︒> 0．所以f ( x )不整除v 1 ( x )及g ( x ) 不整除 u 1 ( x )．现以f ( x )除v 1( x )，得商式为q 1 ( x )，余式为v ( x )，则有v 1 ( x ) = f ( x ) q 1 ( x ) + v ( x )，其中))((x v ∂︒＜ ))((x f ∂︒．同理有u 1 ( x ) = g ( x ) q 2 ( x ) + u ( x )．其中))((x u ∂︒＜ ))((x g ∂︒．代入u 1 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) g ( x ) = 1，得( g ( x ) q 2 ( x ) + u ( x ) ) f ( x ) + ( f ( x ) q 1 ( x ) + v ( x ) ) g ( x ) = 1．整理得u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) + [ q 1 ( x ) + q 2 ( x ) ] f ( x ) g ( x ) = 1．因为))()((x f x u ∂︒＜ ))()((x g x f ∂︒，))()((x g x v ∂︒＜ ))()((x g x f ∂︒，所以必有q 1 ( x ) + q 2 ( x ) = 0．即u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1，且满足))((x u ∂︒＜ ))((x g ∂︒，))((x v ∂︒＜ ))((x f ∂︒．下面证唯一性设另有u 2 ( x ) , v 2 ( x ) 满足u 2 ( x ) f ( x ) + v 2(x ) g (x ) = 1，及))((2x u ∂︒＜))((x g ∂︒，))((2x v ∂︒＜))((x f ∂︒．则有 ( u ( x ) - u 2 ( x ) ) f ( x ) = ( v 2 ( x ) – v ( x )) g ( x )．故f ( x )| ( v 2 ( x ) - v ( x ) ) g ( x )．又( f ( x ) , g ( x ) ) = 1，从而．如果v 2 ( x ) -0)(≠x v ，其次数一定低于f ( x )的次数，故只有v 2 ( x ) - v ( x ) = 0．既v 2 ( x ) = v ( x )．同理u ( x ) = u 2 ( x )．10．决定k ，使2(6)42x k x k ++++与2(2)2x k x k +++的最大公因式是一次的．解：设=24)6(2++++k x k x ， g (x )= k x k x 2)2(2+++，以g ( x ) 除 f ( x ) 得余式4x +2k + 2．由题意4x + 2k + 2 | g ( x )，由此推出k = 1或k = 3．11．证明：如果 ( f ( x ) , g ( x ) ) =１，那么对于任意正整数m ，( f ( x m ) , g ( x m ) ) =１证明：因为 ( f ( x ) , g ( x ) ) =１，所以u ( x )，v ( x )，满足u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1．从而u ( x m) f ( x m) + v ( x m) g ( x m) = 1，此即是 ( f ( x m) , g ( x m) ) =１．12．设f ( x ) , g ( x )是数域F 上的多项式．f ( x )与g ( x )的最小公陪式指的是F [x ]中满足以下条件的一个多项式m ( x )：(a) f (x ) | m (x ) 且 g (x ) | m (x )；(b) h (x )∈F [x ] 且 f (x ) | h (x )，g (x ) | h (x )，那么m (x ) | h (x )．(i) 证明： F [x ]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式差别外，是唯一的．(ii)设f (x )， g (x )都是最高次项系数是１的多项式．令[ f (x ), g (x )]表示 f (x )与g (x )的最高次项系数是１的那个最小公倍式．证明： f (x ) g (x )= (f (x ) , g (x )) [ f (x ), g (x )]．证明：(i) 若f (x ) , g (x )有一个为０，则它门的最小公倍式是０．现设f (x )0≠, g (x )0≠．以d (x )记(f (x ) , g (x ))．则f (x ) = d (x ) f １(x )，g (x ) = d (x )g １(x )，且(f １(x ) , g １(x )) =１．现证)()()(x d x g x f 是f (x )，g (x )的一个最小公倍式．首先由)()()(x d x g x f = f １(x ) g (x )= f (x )g １(x )，知其是f (x )与g (x )的一个公倍式．另设M (x )是f (x )与g (x )的任一公倍式，则有M (x )= f (x )s (x )= d (x ) f 1 (x ) s (x )及M (x )=g (x )t (x )= d (x ) g 1 (x )t (x )，消去d (x )，得f 1(x ) s (x ) = g 1 (x )t (x )．又(f １(x ) , g １(x )) =１，由此可得g 1 (x )|s (x )，令s (x )= g 1 (x ) s 1(x )．代入M (x )= f (x )s (x )= d (x ) f 1 (x ) s (x )得M (x )= d (x ) f 1 (x )g 1 (x )s 1(x )=s 1(x ))()()(x d x g x f ．即)()()(x d x g x f ｜ M (x )，即)()()(x d x g x f 是f (x ) , g (x )的一个最小公倍式．从而存在性得证．现证唯一性：若m １(x )，m ２(x )都是f １(x ) , g １(x )的最小公倍式，由定义得m １(x )｜m ２(x )及m ２(x )｜m １(x )．所以m １(x )，m ２(x )只相差一个常数因子．(ii)由(i)的证明，知当f １(x ) , g １(x )的最高次项系数都是１时，有f (x ) g (x )= (f (x ) , g (x )) [f (x ) , g (x )]．13．设g (x )|)()(1x f x f n ⋅⋅⋅，并且(f i (x ), g (x )) =1, i =1,1,,2-⋅⋅⋅n . 证明 g (x ) | f n (x )．证明：令11()()()n h x f x f x -= ,由(f 1(x ), g (x ))=1. ( f 2(x ), g (x ))=1,所以(f 1(x ) f 2(x ),g (x ))=1，进而可证得(h (x ), g (x ))=1又g (x ) | h (x )f n (x )，所以g (x ) | f n (x )．14．设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．证明：(i) ()(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅)=(()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅), ()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)), 1≤k ≤n -1.(ii))(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅互素的充要条件是存在多项式][)(,),(1x F x u x u n ∈⋅⋅⋅使得1)()()()(11=+⋅⋅⋅+x u x f x u x f n n证明：(i) 设d (x ) = ( ()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅), ()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+))，有d (x ) |（)(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅）, d (x ) |（)(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+）,进一步有d (x ) | f i (x ), i =1,n ,,2⋅⋅⋅．另设h (x )是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的任一公因式，h (x ) |（)(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅）及h (x ) |（)(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+），进一步h (x ) | ( ()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅) ,()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)) = d (x )．所以( ()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅) ,()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)) = ()(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅)．(ii)充分性：若有)(,),(1x u x u n ⋅⋅⋅使+⋅⋅⋅+)()(11x u x f1)()(=x u x f n n ，另设h (x )是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的任一公因式，则有h (x )|1．从而)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅互素．必要性：若(f 1(x ), f ２(x ))= d ２(x )，则由定理2.3.2有u 11(x ) ,u 1２(x ) ,使u 11(x )f 1(x )+ u 1２(x ) f ２(x )= d ２(x )，则由定理2.3.2可以假设对于s -1个多项式是成立的．即当d s-1(x ) = ()(,),(11x f x f s -⋅⋅⋅)时，有u 11(x ,),⋅⋅⋅u 1s-1(x )，使得∑-=111)()(s i i ix f x u=d s-1(x )．则对于s 个多项式来说，由()(,),(1x f x f s ⋅⋅⋅)= (()(,),(11x f x f s -⋅⋅⋅), f s (x ))= ( d s-1(x ) , f s (x ))．知有p (x ), q (x )使p (x )d s-1(x ) + q (x ) f s (x ) = ( d s-1(x ) , f (x )),以d s-1(x )的上述表示式代入，则得∑-=111)()(s i i ix f x u+ q (x ) f s (x ) = ( d s-1(x ) , f (x )),．即有p (x )u 11(x ,),⋅⋅⋅p (x )u 1s-1(x ) , q (x )，使∑-=111)())()((s i i ix f x ux q +p (x ) f s (x ) = ()(,),(1x f x f s ⋅⋅⋅)()(,),(1x f x f s ⋅⋅⋅)=1时，令p (x )=1,s =n 其中u 1(x )= p (x ) u 11(x ,),⋅⋅⋅u 1s (x ) = p (x )u 1s (x ) 则本题必要性得证． 15．设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．令I ={+⋅⋅⋅+)()(11x g x f f n (x ) g n (x )|][)(x F x g i ∈, 1≤i ≤n } ．比照定理１.４.２，证明：)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅有最大公因式．［提示：如果)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅不全为零，取d (x )是中次数最底的一个多项式，则d (x )就是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的一个最大公因式．］证明：如果0)()(1==⋅⋅⋅=x f x f n ，则0就是它们的最大公因式．如不全为０，则I 中有非零多项式．设d (x )是I 中次数最低的一个多项式．以d (x )除f (x )，得．其中r 1=0，或∂︒( r 1 (x ))< ∂︒( d (x ))．由于r 1 (x )= f 1(x )- q 1 (x )d (x )，可以推得r 1 (x )∈I ，而d (x )是I 中次数最底的，故r 1 (x ) =0．所以d (x )|f 1(x )，同理d (x )|f 2(x )⋅⋅⋅,，d (x )|f n (x )．即d (x ) 是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的一个公因式，又因是它们的组合，故d (x ) 就是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的最大公因式．2.4 多项式的分解1．在有理数域上分解以下多项式为不可约因式的乘积：(i) 3x 2+1; (ii) x 3-2x 2-2x +1.解： (i) 不可约． (ii) (x +1) (x 2-３x +1)2．分别在复数域，实数域和有理数域上分解多项式x ４+1为不可约因式的乘积．解：在复数域上有x 4+1= (x +22(1+i )) (x +22(1+i )) (x -22(1-i )) (x -22(1-i ));在实数域上有x 4+1=( x 2+2x +1) (x 2-2x +1);在有理数域上x ４+1 不可约3．证明：g (x )２|f (x )２，当且仅当g (x )|f (x )．证明：充分性显然.现证必要性,即若g (x )２|f (x )２,那么g (x )|f (x ).若f (x )= g (x ) =0,则有g (x )|f (x ).如果f (x ), g (x )不全为0,令d (x )=(f (x ), g (x )).则f (x )=d (x )f 1(x ), g (x )=d (x )g 1(x ),且(f 1(x ), g 1(x ))=1.那么f (x )２=d (x )２f 1(x )２, g (x )２=d (x )２g (x )２,故由g (x )２|f (x )２,可得g １(x )２|f １(x )２,故g 1(x )|f 1(x )２,又(f 1(x ) , g 1(x ) ) =1,根据互素多项式的性质知g 1(x )|f 1(x ),从而g 1(x ) = c f 1(x ), (c 为非零常数).于是g (x )|f (x ).4． (i)求f (x )= x 5-x 4-2x 3+2x 2+x -1在Q (x )内的典型分解式；(ii)求f (x )= 2x 5-10x ４+16x 3-16x 2+14x -6在R (x )内的典型分解式．解: (i) f (x )= (x-1)3(x +1)２ ; (ii) f (x )= 2(x-1)２(x-3)(x ２+1)5．证明：数域F 上一个次数大于零的多项式f (x )是F [x ]中某一不可约多项式的幂的充分必要条件是对于任意g (x )∈F [x ],或者(f (x ), g (x )) =1,或者存在一个正整数m 使得f (x )|g (x )m . 证明：必要性:设f (x ) = p m (x ) ( p (x )不可约) ，则对于F [x ]中的任意g (x )，只有两种可能：(p (x ),g(x ))=1或 p (x )|g(x )．在前一情形有( f (x ),g (x ) )=1,在后一情形有p m (x ) |g m (x )，即f (x ) |g (x )m .充分性：设f (x )=1()i sri i a p x =∏为其典型分解式．令g (x )=p 1(x )．若 s >1，则(p (x ), g (x ))≠1，且f (x )不整除g (x )m，即条件成立时，必有s =1，即f (x )= 11()rap x ．6．设p (x )是F [x ]中一个次数大于零的多项式.如果对于任意f (x ), g (x )∈F [x ]，只要p (x )|f (x )g(x )就有p (x )| f (x )或p (x )| g(x ),那么p (x )不可约．证明：反证法，若)(x p 可约,设)()()(21x p x p x p =,其中)(),(21x p x p 的次数都低于)(x p 的次数.由)()(|)(21x p x p x p ,根据条件可得出)(|)(1x p x p 或)(|)(2x p x p ,这是不可能的.2.5 重因式1. 证明下列关于多项式的导数的公式： a) )(')('))'()((x g x f x g x f +=+； b))(')()()('))'()((x g x f x g x f x g x f +=提示：设10()n n f x a x a x a =+++ ，10()mm g x b x b x b =+++ 利用本教材中对导数的定义证之．2. 设)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式．证明： a) )(x p 未必是)(x f 的k 重因式；b))(x p 是)(x f 的k 重因式的充分必要条件是)(|)(x f x p证明：a) 设4)(3+=x x f ，则x 是x x f 3)('=的二重因式，但不是)(x f 的因式，更不是)(x f 的三重因式．b) 必要性显然；充分性，设)(x p 是)(x f 的s 重因式，则)(x p 是)('x f 的1-s 重因式．11-=-k s 即得出．3. 证明有理系数多项式!!21)(2n xxx x f n++++= 没有重因式．证明：因为)!1(!21)('12-++++=-n xxx x f n ，有1),'(=f f ．4. a,b 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？a) b ax x ++33b) b ax x ++44提示：由多项式有重因式的充要条件是它与它的导数不互素可得．a) 0423=+b a ; b)02734=-b a ．5. 证明：数域F 上的一个n 次多项式)(x f 能被它的导数整除的充分必要条件是：nb x a x f )()(-=，这里a,b 是F 中的数．证明：若nb x a x f )()(-=，则1)()('--=n b x an x f ，0>n ，所以)(1)(')(a x nx f x f -⋅=，)(|)('x f x f ．必要性：设)(x f 的典型分解式为)()()(11x p x ap x f tm t m =，其中)(x p i 都是不可约多项式，则)()()()('1111x x p x p x f tm t m ϕ--= ．由)(|)('x f x f ，知c x =)(ϕ(常数)，但))((1))('(x f x f ∂︒=+∂︒.故知t =1,且n x p =∂︒))((1．即nb x a x f )()(-=．2.6 多项式函数多项式的根1.设f (x )=2x 5-3x 4-5x 3+1.求f (3),f (-2). 解： f (3) =109; f (-2) =-71.2.数环R 的一个数c 说是f (x )∈R(x )的一个k 重根，如果f (x )可以被(x -c )k整除，但不能被(x -c )k +1整除．判断5是不是多项式f (x )=3x 5-224x 3+742x 2+5x +50的根.如果是的话,是几重根?提示：用３次综合除法得：5是f (x ) 的二重根. 3.设2x 3-x 2+3x -5=a (x -2)3+b (x -2)2+c (x -2)+d .求a,b,c,d . 提示：应用综合除法得：a =2, b =11, c =23, d =13. 4.将下列多项式f (x )表成x-a 的多项式. a) f (x )= x 5,a =1; b) f (x )=x 4-2x 2+3,a =-2. 解：用综合除法求出:a) f (x )= x 5=(x -1)5+5(x -1)4+10(x -1)3+10(x -1)2+5(x -1)+1; b) f (x )=x 4-2x 2+3=(x +2)4-8(x +2)3+22(x +2)2+24(x +2)+11. 5.求一次数小于4的多项式,使f (2)=3,f (3)=-1,f (4)=0,f (5)=2.解：f (x )= -32x 3+217x 2-6203x +426.求一个2次多项式,使它在x =0,,2ππ处于函数 sin x 有相同的值．结果：24()()f x x x ππ=--7.令f (x ) , g (x ),是两个多项式,并且f (x 3) +x g (x 3)可以被x 2+x +1.证明: f (1) = g (1) =0.证明: 因x 2+x +1| f (x 3) +x g (x 3).故x 2+x +1=0的根必为f (x 3) +x g (x 3)的根.而x 2+x +1=0的两个根是2,231ωωi+-=.但3ω=1.故有2(1)(1)0(1)(1)0f g f g ωω+=⎧⎨+=⎩，解此方程组得：f (1) = g (1) =0.8.令c 是一个复数,且是Q [x ]中一个非零多项式的根.令J ={ f (x )∈Q [x ] | f (c ) = 0}．证明：a)在J 中存在唯一的高次项系数是1的多项式p (x ),使得J 中每一多项式f (x )都可以写成p (x )q (x )的形式,这里q (x )∈Q [x ].b) p (x )在Q [x ]中不可约.如果c =32+,求上述的p (x )．证明: a) 因c 是Q [x ]中一个非零多项式的根,则J 中存在次数大于零的多项式,即令A ={ m |f (x )∈J ,∂︒( f (x ))=m }非空. A 中必有最小数设为n (n >0).其对应的多项式若为f (x ),令p (x )=1a f (x ), (a 0是f (x )的最高次项系数),则11()n n n p x x a xa -=+++ .现证当f (x ) ∈J 时,必有f (x ) =p (x )q (x ).对于任意的f (x )∈J ,由p (x )的取法知∂︒( f (x )) ≥∂︒(p (x )).以p (x )除f (x )得f (x )=p (x )q (x )+r (x ),其中r (x )=0或∂︒( r (x )) <∂︒(p (x )).由于r (c )=f (c )-p (c )q (c )=0,故知r (x )∈J . 由p (x )的取法知r (x )的次数不可能小于p (x )的次数.故只有r (x )=0,即f (x ) = p (x )q (x ).再证的唯一性.设另有p 1(x )具有上述性质,则p (x )| p 1(x )且p 1(x ) | p (x ).所以p 1(x ) = c p (x ).又首项系数都为1,故c =1,即p 1(x ) = p (x ).b) 反证法:设p (x )可约,令p (x )=p 1(x ) p 2(x ),知p 1(x )与p 2(x )的次数都小于p (x )的次数.又p (c )=p 1(c )p 2(c )=0,知p 1(c )=0或p 2(c )=0从而p 1(c )或p 2(c ) ∈J ,这与p (x )是J 中次数最低的多项式相矛盾.故p (x )不可约.若c =32+,则p (x )=(x -32+)(x +32+)(x -32-) (x +32-).9.设C [x ]中多项式f (x )≠0且f (x )| f (x n),n 是一个对于1的整数.证明: f (x )的根只能是零或单位根.证明: 因f (x )| f (x n),所以f (x n)= f (x )g (x ), g (x )∈C [x ].如果c 是f (x )的根,即f (c )=0则f (nc)=f (c )g (c )=0, f (2nc)= f (nc) g (nc)=0,, f (knc)= f (1-k nc) g (1-k nc)=0.由于, f (x )在C 中至多有n 个不同的根,故有i <j ,使jnc =inc ,所以c =0或1.即c =0或c 是单位根.2.7 复数和实数域上多项式1.设n 次多项式n n na x a x a x f +++=-10)( 的根是n αα,,1 .a) 求以n c c αα,,1 为根的多项式,这里c 是一个数;b) 以na 1,,11 α(假定0,,1≠n αα )为根的多项式.解：a) 若c =0,则n c c αα,,1 都为0,则g (x )= x n即是.若c ≠0,则令g (x )=)(1)(10n n na x a x a cc x f +++=- 为所求.b) 令g (x )= f (x 1)x n =nn n n x a x a x a +++--110 ,则g (x )是以na 1,,11α为根的多项式.2.设f (x )是一个多项式,用)(x f 表示把f (x )的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:a) 若是g (x )|f (x ),那么)(x g |)(x f ;b) 若是d (x )是f (x )和)(x f 的一个最大公因式,并且d (x )的最高次项系数是1,那么d (x )是一个实系数多项式.证明: a) 因为g (x )|f (x ),所以f (x )= q (x )g (x ), )(x f =)(x q )(x g 从而)(x g |)(x f .b) 若d (x )=(f (x ),)(x f ),则有u (x ), v (x )使的u (x )f (x )+ v (x ))(x f =d (x ),所以)(x d =)(x u )(x f +)(x vf f (x ),另一方面,由d (x )|f (x ), d (x )|)(x f ,可得)(x d |f (x ),)(x d |)(x f ,所以)(x d =(f (x ), )(x f ).从而d (x )=)(x d ,即d (x )是实系数多项式.3.给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 解:共9种:a (x +b )4; a (x +b 1)(x +b 2)3; a (x +b 1)2(x +b 2)2;a (x +b 1)(x +b 2)(x +b 3)2; a (x +b 1)(x +b 2)(x +b 3)(x +b 4); a (x 2+px +q )2; a (x 2+p 1x +q 1)(x 2+p 2x +q 2) ; a (x +b )2(x 2+px +q );a (x +b 1)(x +b 2)(x 2+px +q ) . (其中二次式x 2+px +q 不可约).4.在复数和实数域上分解x n-2为不可约因式的乘积.解: 在复数域上: x n -2=(x -n2)(x -)2()21--n nnx εε ,其中22cossini nn ππε=+; 在实数域上:当n 为奇数, x n-2=(x -n2)(x 2-222(1)cos(2n x nnππ-+-+ ;当n 为偶数, x n - 2=(x -n 2)(x +n 2)(x 222(2)cos(cosn x nnππ-+- )4n+.5.证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.证明:设p (x )是F 上不可约多项式,因多项式的最大公因式不因数域扩大而改变, 所以在复数域内仍有(p (x ),'p (x ))=1,故p (x )在复数域内没有重根.2.8 有理数域上多项式1.证明以下多项式在有理域上不可约: a) x 4-2x 3+8x -10; b) 2x 5+18x 4+6x 2+6 c) x 4-2x 3+2x -3d) x 6+x 3+1提示：用艾森斯坦判断法. a)取p =2; b)取p =3; c)令x =y +1, 则f (x )=g (y )=y 4+2y 3-2, 取 p =2得g (y )不可约,即f (x )不可约;d)令x =y +1,则f (x )=g (y )=(y +1)6+(y +1)3+1=y 6+6y 5+15y 4+21y 3+18y 2 +9y+3,取p =3,得g (y )不可约,即f (x )不可约. 2利用艾森斯坦判断法,证明:若是t p p p ,,,21 是t 个不相同的素数,而n 是一个大于1的整数,那么ntp p p 21是一个无理数.证明:考虑多项式x n-t p p p ,,,21 ,因t p p p ,,,21 互不相同,取p=p 1满足艾森斯坦判断法,知x n -t p p p ,,,21 在有理数域上不可约, 因n<1无有理根,.因而.3.设f (x )是一个整数系数多项式,证明:若是f (0)和f (1)都是奇数,那么f (x )不能有整数根. 证明:设α是f (x )的一个整数根.则f (x )=(x -a )f 1(x ).由综合除法知f 1(x )也是整系数多项式.所以f (0)= -a f 1(0), f (1)=(1-a ) f 1(1),这是不可能的.因为α与1-α中有一个是偶数.从而f (0)与f (1)至少有一个是偶数,与题设矛盾.故f (x )无整数根.4.求以下多项式的有理数根: a) x 3-6x 2+15x -14; b) 4x 4-7x 2-5x -1;c) x 5-x 4-25x 3+2x 2-21x -3.解: a)有理单根-2; b)二重有理根-21; c)有理单根-1,2.2.9 多元多项式1.写出一个数域F 上三元三次多项式的一般形式.解：f =000a +∑=++1k j i kj i ijkzy x a+∑=++2k j i kj i ijkzy x a+∑=++3k j i kj i ijkzy x a其中,a ijk ∈F.2.设 f (n x x ,,1 )是一个r 次齐次多项式.t 是任意数.证明：f (n tx tx ,,1 )=t r f (n x x ,,1 ).证明：可设),,(1n x x f ∑=++=ri i i i i i i i n nnxx x a12121．于是 ),,(1n tx tx f ∑=++=ri i i i i i i i n nntx tx tx a12121)()()(∑=+++++=r i i i i i i i i i i i n nnnxx x ta1212121∑=++=ri i i i i ri i i n nnxx x t a12121∑=++=ri i i i i i i i rn nnxx x at12121rt=),,(1n x x f3. 设f (n x x ,,1 )是数域F 上一个n 元齐次多项式,证明:如果f (n x x ,,1 )=g (n x x ,,1 )h (n x x ,,1 ),则g ,h 也是n 元齐次多项式.证明：反证法，设g ,h 至少有一个不是n 元齐次多项式，不妨设是h ，则s g g g g +++= 21，1≥s ，i g 是齐次多项式，t h h h h +++= 21，1>t ，jh 是齐次多项式，并且假设)()()(21s g g g ∂︒>>∂︒>∂︒ ，)()()(21t h h h ∂︒>>∂︒>∂︒ ．则111112()()s t s tf ghg gh h g h g h g h ==++++=+++其中t s h g h g ,11都不能消去，与f 是齐次多项式矛盾．故,g h 都是齐次多项式． 4.把多项式x 3+y 3+z 3+3xyz 写成两个多项式的乘积. 原式=(x +y +z )3-3(x +y +z )(xy +yz +xz )= (x +y +z ) [(x +y +z )2-3 (xy + yz +xz )] = (x +y +z ) (x 2+y 2+z 2-xy -yz -zx ).5.设F 是数域. f ,g ∈F [n x x ,,1 ]是F 上n 元多项式. 如果存在h ∈F [n x x ,,1 ]使得f =gh ,那么就说g 是f 的一个因式.或者说g |f .a) 证明,每一f 都可以被零次多项式c 和cf 整除c ∈F , c ≠0.b) f ∈F [n x x ,,1 ]说是不可约的,如果除了a)中那种类型的因式外f 没有其它因式,证明在F [x ,y ]里多项式x ,y ,x +y ,x 2-y 都不可约.c) 举反例证明,当n ≥2时,类似于一元多项式的带余除法不成立.d) f ,g ∈F [n x x ,,1 ]说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公因式.证明x ,y ∈F [x ,y ]是互素的多项式.能是否找到u (x ,y ), v (x ,y ) ∈F [x ,y ],使得x u (x ,y )+y v (x ,y )=1?证明: a)因为0c ≠,所以1111,,(,,),(,,)[n n c cf x x f x x F cc∈ 1,,]nx x ,而11111(,,)[(,,)][(,,)]n n n f x x c f x x cf x x cc==所以|c f ,11(,,)|(,,)n n cf x x f x x .b) 现证对于1[,,]n F x x ,任意一次多项式不可约.设f 是1[,,]n F x x 的一次多项式.若f gh =,由次数定理有1= ()()()fgh ∂︒=∂︒+∂︒.因而g 与h 中有一个是0次多项式,故f 不可约.所以,,x y x y +都不可约.因2x y -是一个非齐次的二次多项式,如可约,只能是2x y -=()()x ay x b ++.比较()()x a y x b ++与2x y -的系数有:0,0b a ==,且1ab =-,这是不可能的,故2x y -不可约.c)例:若(,),(,)f x y x g x y y ==,若存在(,),(,)x y r x y ϕ使(,)(,)x x y y r x y ϕ=+,应有(,)0r x y =或c (常数).这是不可能的.即对于二元多项式.带余除法定理不成立. d)因为x 的因式只有常数c 与cx ,而x 不是y 的因式,故x 与y 的公共因式只有常数c (且0c ≠),故x 与y 互素.因对任意(,),(,)u x y v x y ,(,)(,)xu x y yv x y +没有零次项,所以找不到(,),(,)u x y v x y 使(,)(,)xu x y yv x y +=1.2.10 对称多项式1. 写出某一数环R 上三元三次对称多项式的一般形式. 结果: a 300(x 3+y 3+z 3)+a 210(x 2y +x 2z +y 2x +y 2z +z 2x +z 2y )+a 200(x 2+ y 2+z 2)+a 110(xy +xz +yx )+a 100 (x+y+z )+a 111(xyz )+a 000其中,a ijk ∈F.2.令R [n x x ,,1 ]是数环R 上n 元多项式环, S 是由一切n 元对称多项式组成的R [n x x ,,1 ]的子集.证明存在R [n x x ,,1 ]到S 的一个双射.证明:设1,,n σσ 是1,,n x x 的初等对称多项式.对任意11(,,)[,,]n n f x x R x x ∈ 规定1:(,,)|n f x x τ→ 1(,,)n f σσ ,则1(,,)n f σσ 是S 中唯一确定的多项式.既τ是R [n x x ,,1 ]到S 的映射, 对任意的1(,,)n g x x S ∈ ,由对称多项式的基本定理,有唯一的1(,,)n h σσ 使11(,,)(,,)n n h g x x σσ= .这里1(,,)n h x x [F ∈ 1,,]n x x ,故111((,,))(,,)(,,)n n n h x x h g x x τσσ== .故τ是满射.如果11(,,)(,,)n n f x x g x x ≠ 那么11(,,)(,,)n n f g σσσσ≠ ,所以τ是单射.从而是R [n x x ,,1 ]到S 的一个双射3.把下列多元多项式表成初等对称多项式的多项式: a)∑231x x; b)∑41x; c)32221x x x∑;解: a) 2212213424σσσσσσ--+;b) 42211221344244σσσσσσσ-++-; c) 2314535σσσσσ-+;4.证明:如果一个三次多项式x 3+ax 2+bx +c 的一个根的平方等于其余两个根的平方和那么这个多项式的系数满足以下关系: 2324)22(2)2(c ab a b a a +-=-.证明:设,,αβγ是32x ax bx c -++的三个根.则由条件知(,,f αβγ=222()αβγ--222()βγα--222()γαβ--=0,把(,,)f αβγ用初等对称多项式表出,得(,,)f αβγ=64223211212131233688168σσσσσσσσσσσ-++-+=4211(σσ-32211232)2(22)σσσσσ-++-.因123,,a b c σσσ=-=-=,用它们代入上式得(,,)f αβγ=42(a a -322)2(22)b a ab c -+++=0所以42(a a 322)2(22)b a ab c -=++.5.设n αα,,1 是某一数域F 上多项式x n +a 1x n -1++ a n -1x +a n 在复数域内的全部根.证明:2,,n αα 的每一个对称多项式都可以表成F 上关于1α的多项式.证明:设f (2,,n αα )是关于2,,n αα 的任意一个对称多项式.由对称多项式的基本定理有211(,,)(',,')n n f a a g σσ-= ,其中'i σ(1,2,,1i n =- )是nαα,,2的初等对称多项式.由于111'a σσ=-,11''i i i a σσσ-=-(2,,1i n =- ) 其中i σ是n αα,,1 的初等对称多项式.又(1)ii i a σ=-(1,2,,1i n =- ),是数域F 中的数,将它们代入上式可知, 'i σ是1a 与中的数11,,n αα- 的一个多项式,不妨记为i p (11,,n αα- )='i σ(1,2,,1i n =- ),再将它们代入f g=式右端,即证明f (nαα,,2)可表为1a 与11,,n αα- 的多项式.由11,,n αα- 是F 中的数,即f (nαα,,2)是F 上关于1a 的多项式:1()G a .。

高等代数课后习题1-5章答案

高等代数课后习题1-5章答案高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，对于数学专业的学生来说，掌握这门课程的知识和解题技巧至关重要。

在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

下面，我将为大家详细解答高等代数 1-5 章的课后习题。

第一章主要介绍了多项式的基本概念和运算。

在这一章的习题中，我们经常会遇到多项式的整除、最大公因式、因式分解等问题。

例如，有这样一道题：设\（f(x)＼）和\（g(x)＼）是两个多项式，且\（（f(x)， g(x)）＝ 1\），证明：对于任意的多项式\（h(x)＼），都存在多项式\（u(x)＼）和\（v(x)＼），使得\（f(x)u(x) ＋ g(x)v(x) ＝h(x)＼）。

解答这道题，我们可以利用辗转相除法来求出\（f(x)＼）和\（g(x)＼）的最大公因式。

因为\（（f(x)， g(x)）＝ 1\），所以存在\（u_1(x)＼）和\（v_1(x)＼），使得\（f(x)u_1(x) ＋ g(x)v_1(x) ＝ 1\）。

然后，将等式两边同时乘以\（h(x)＼），得到\（f(x)（u_1(x)h(x)）＋ g(x)（v_1(x)h(x)）＝ h(x)＼），令\（u(x) ＝ u_1(x)h(x)＼），＼（v(x) ＝v_1(x)h(x)＼），即证明了结论。

第二章是行列式的相关内容。

行列式的计算是这一章的重点和难点。

比如，有一道求行列式值的题目：＼（＼begin{vmatrix} 2 ＆ 1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆－1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＼）对于这道题，我们可以按照行列式的展开法则进行计算。

先按照第一行展开：＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix} 2 ＆ 1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆－1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix} －1 ＆ 2 ＼＼ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＋3\times\begin{vmatrix} 1 ＆－1 ＼＼ 3 ＆ 2 ＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(－1\times1 2\times2) 1\times(1\times1 2\times3) ＋3\times(1\times2 （－1)＼times3)＼＼＝＆2\times(－5) 1\times(－5) ＋ 3\times(5)＼＼＝＆－10 ＋ 5 ＋ 15\＼＝＆10＼end{align}＼第三章是线性方程组。

高等代数北大版(第三版)答案

令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3

高等代数问题解答1-40

下证A2x = 0与BA2x = 0同解.显然A2x = 0的解是BA2x = 0的解.设x0为BA2x = 0的任一解,则
0 = BA2x = BA(Ax)
即Ax是BAx = 0的解,由Ax = 0与BAx = 0同解可得0 = A(Ax) = A2x.这就证明了A2x = 0与BA2x = 0同解.从而其基础解系所含向量个数相等,即
A [k(α1 + α2)] = A (kα1 + kα2) = 2A1(kα1) − 3α = k(2A1(α1) − 3A2(α2)) = 2A (α1 + α2)
故结论成立.
2)∀α1 ∈ W1,则
α1 = α1 + 0, α1 ∈ W1, 0 ∈ W2
于是
A (α1) = 2A1(α1) − 3A2(0) = 2A1(α1) ∈ W1
高等代数问题解答整理
高等代数资源网 October 15, 2013
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1/λ1 + 1/µ1
A−1 + B−1 = H
1/(λn + µn)

(完整版)高等代数多项式习题解答

第一章多项式习题解答1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r .1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f9731929269791437134373132131232223232----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 92926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f17525422225200222223232342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2.q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++-+32|1m x m q x p m mx m x m qx p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+)()1()1(01222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323.因此有m q p m ==++,012.2）q px x mx x ++++242|1由带余除法可得)1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，即⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有)1)((2224++++=++mx x q ax x q px x.)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++=比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r .1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f解：运用综合除法可得327109391362327117083918605023---------商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r2）i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--=.解:运用综合除法得:ii ii i i i 892521892421011121+----+-------商为)25(22i ix x +--,余式为i 89+-. 4.把)(x f 表成0x x -的方幂和，即表示成 +-+-+202010)()(x x c x x c c 的形式.1）1,)(05==x x x f ；2）;2,32)(024-=+-=x x x x f3）.1,73)1(2)(0234-=++-+-+=x i x x i ix x x f分析：假设)(x f 为n 次多项式，令])()()[()()()()(10021000202010--++-+-+=-++-+-+=n n nn x x c x x c c x x c x x c x x c x x c c x f0c 即为0x x -除)(x f 所得的余式，商为10021)()()(--++-+=n n x x c x x c c x q .类似可得1c 为0x x -除商)(x q 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.解：1）解法一：应用综合除法得.5110141110416311563143211143211111111111100000115)(x x f =1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345+-+-+-+-+-=x x x x x .解法二：把x 表示成1)1(+-x ，然后用二项式展开1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(]1)1[(234555+-+-+-+-+-=+-=x x x x x x x2）仿上可得812226122412210412112082422128442302012-----------------432)2()2(8)2(22)2(2411)(+++-+++-=x x x x x f . 3）因为i iii i i i i i i i i i ii ii i i 2111510157104141173121-----------+-------+---- .)()(2))(1()(5)57(73)1(2)(432234i x i x i i x i i x i ix x i ix x x f +++-++-+-+=++-+-+=5.求)(x f 与)(x g 的最大公因式1）1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f解法一：利用因式分解),13)(1(143)(3234--+=---+=x x x x x x x x f).1()1(1)(223-+=--+=x x x x x x g因此最大公因式为1+x .解法二：运用辗转相除法得)(3438)(01122132)(1434343)(41432112321212314121)(3122123423422223232x q x x q x x x x x x x x r x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=---------=--+---+--=------++--++-= 因此最大公因式为1+x .2）13)(,14)(2334+-=+-=x x x g x x x f .解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）2564411627)(125627)(2565391649216491633323)(10310031004911916)(920910310132310323110391031)(13221232323423422223232--=--=+-+-+-+--=-++-+-+-++-+++--=+--++--+++-+-=x x q x x r x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q .1))(),((=x g x f3）.124624)(,110)(23424+++-=+-=x x x x x g x x x f)()()22(24)()(123x r x f x x x x f x g +=---=，),()22)((241)122()22)(22()(21223x r x x r x x x x x x x f ++-=---+--= ,)()122(22)(24122231x x r x x x x x x x r -=--=--=- 因此.122))(),((2--=x x x g x f6.求)(),(x v x u 使:))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+1）;22)(,242)(234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：)()(1022)(222422)(222221)(3133123423422323242342x q x x q x x xx x r x x x x x x x x x x r xx x x x x x x x x x x x q ==--=---+---+-=--+----++= 因此2)())(),((22-==x x r x g x f .且有 )()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..2)()(1)(,1)()(212+=+=--=-=x x q x q x v x x q x u2）;452)(,951624)(23234+--=++--=x x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：)(96)(20999966936)(810249516241)(32422324523131)(3122123423422223232x q x x q x x x xx x x x r xx x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=+-+-+-+--=+--++--+-=+--+---++--+-= 因此1)())(),((2-=-=x x r x g x f .且有)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..13232)3131(21)()(1)(,3131)()(2212--=+---=--=+-==x x x x x q x q x v x x q x u 3）.1)(,144)(2234--=++--=x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：)(32)(3331431441)(21211)(121222342342222x q x x x r x x x x x x x x x x x x r x x xx x x x x q =--=++-++---++--=-----+= 因此.1)())(),((2==x r x g x f 且有)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..23)1)(3(1)()(1)(,1)()(232212--+=+-+=+=--=-=x x x x x x q x q x v x x q x u7.设u tx x x g u x x t x x f ++=++++=323)(,22)1()(的最大公因式是一个二次多项式，求u t ,的值.解：运用带余除法有),()()2()1(1)(22)1()(12323x r x g u x t x t u tx x u x x t x x f +=+--++⋅++=++++= 由题意可得，)(1x r 即为)(),(x g x f 的最大公因式.因此有01≠+t .进一步),(])1(211)[()(221x r t t x t x r x g ++-++= ])1(21[)1()2()1()1()(22222t t u x t t t u t t x r +--++-++-+=. 要使)(1x r 为)(),(x g x f 的最大公因式的充要条件是.0)(2=x r 即⎩⎨⎧=--+=-++-+,0)]2()1[(,0)2()1()1(222t t u t t u t t 解得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧±==⎩⎨⎧-==.2111,117;2111,117;231,0;4,0i t i u i t i u i t u t u 8.证明：如果),(|)(),(|)(x g x d x f x d 且)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.证明：由)(|)(),(|)(x g x d x f x d 可知)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式.下证)(x f 与)(x g 的任意一个公因式是)(x d 的因式.由)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合可知，存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()()(x g x v x f x u x d +=.设)(x ϕ是)(x f 与)(x g 的任意一个公因式，则)(|)(),(|)(x g x x f x ϕϕ.故)()()()(|)(x g x v x f x u x +ϕ即).(|)(x d x ϕ因此)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.9.证明：)()(())(),(())()(),()((x h x h x g x f x h x g x h x f =的首项系数为1）. 证明：存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.所以有)()()()()()()())(),((x h x g x v x h x f x u x h x g x f +=.即)())(),((x h x g x f 是 )()(x h x f 与)()(x h x g 的一个组合.显然有)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f .从而)()(|)())(),((),()(|)())(),((x h x g x h x g x f x h x f x h x g x f .由第8题结果)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个最大公因式.又)(x h 是首项系数为1的，因此).())(),(())()(),()((x h x g x f x h x g x h x f =10.如果)(x f ，)(x g 不全为零，证明1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即.0))(),((≠x g x f 又存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.于是))(),(()()())(),(()()(1x g x f x g x v x g x f x f x u +=. 因此1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 11.如果)(x f ，)(x g 不全为零，且))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+，那么1))(),((=x v x u .证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得.0))(),((≠x g x f 由))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+有.1))(),(()()())(),(()()(=+x g x f x g x v x g x f x f x u 于是1))(),((=x v x u .12.证明：如果,1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 那么.1))()(),((=x h x g x f 证法一、由条件1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 可得存在多项式)(),(11x v x u ； )(),(22x v x u 使得1)()()()(11=+x g x v x f x u ，1)()()()(22=+x h x v x f x u .两式相乘得1)()()()()()]()()()()()()()()([21211221=+++x h x g x v x v x f x h x v x u x g x v x u x f x u x u . 因此有.1))()(),((=x h x g x f证法二、反证法证明.显然.0))()(),((≠x h x g x f 若,1))()(),((≠x h x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)(x f 与)()(x h x g 的公因式.因此有)(|)(x f x p 且)()(|)(x h x g x p .由)(x p 的不可约性有)(|)(x g x p 或)(|)(x h x p .若)(|)(x g x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.若)(|)(x h x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x h 的一个公因式，与1))(),((=x h x f 相矛盾.因此1))()(),((≠x h x g x f 不成立，即有.1))()(),((=x h x g x f13.设)(),(),(),(,),(),(2121x g x g x g x f x f x f n m 都是多项式，而且).,,2,1;,,2,1(,1))(),((n j m i x g x f j i ===求证：1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .证明：由),,2,1(1))(),((1n j x g x f j ==，反复利用第12题结果可得1))()()(),((211=x g x g x g x f n .类似可得.,,2,1))()()(),((21m i x g x g x g x f n i ==再反复利用12题结果可得1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .14.证明：如果,1))(),((=x g x f 那么.1))()(),()((=+x g x f x g x f 证明：方法一.由,1))(),((=x g x f 存在多项式)(),(x v x u 使得1)()()()(=+x g x v x f x u .从而有,1)())()(())()()((,1))()()(()())()((111111=+-++=++-x g x v x u x g x f x u x g x f x v x f x v x u 因此有.1))()(),((,1))()(),((=+=+x g x f x g x g x f x f 由12题结果结论成立.方法二：用反证法.若.1))()(),()((≠+x g x f x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)()(x g x f 与)()(x g x f +的公因式.即)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.由)(x p 的不可约性及)()(|)(x g x f x p ，有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .若)(|)(x f x p ，又)()(|)(x g x f x p +，因此有)]())()([(|)(x f x g x f x p -+，即)(|)(x g x p ，也即)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.类似可得当)(|)(x g x p 时也与已知1))(),((=x g x f 矛盾.所以.1))()(),()((=+x g x f x g x f15.求下列多项式的公共根：.12)(;122)(23423++++=+++=x x x x x g x x x x f解法一：利用因式分解可得);1)(1(122)(223+++=+++=x x x x x x x f ).1)(1(12)(22234+++=++++=x x x x x x x x g因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 解法二：运用辗转相除法求出)(x f 与)(x g 的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根.),1(2)1)(()(2++--=x x x x f x g ).1)(1()(2+++=x x x x f因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 16.判别下列多项式有无重因式： 1）;84275)(2345-+-+-=x x x x x x f 解：,4421205)('234+-+-=x x x x x f运用辗转相除法可得.)2(44))('),((22-=+-=x x x x f x f 因此2-x 为)(x f 的三重因式.解法二：试根可得2为)(x f 的根)1()2()2()2()43)(2()(23232234++-=----=++--=x x x x x x x x x x x x f .因此2-x 为)(x f 的三重因式. 2).344)(24--+=x x x x f解：).12(4484)('33-+=-+=x x x x x f 1))('),((=x f x f .故)(x f 无重因式. 17.求t 值使13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法一：要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f ..63)('2t x x x f +-=),12(33)(')3131(13)(23+-+-=-+-=x t x f x tx x x x f .415)41523)(12(63)('2++-+=+-=t x x t x x x f当,033=-t 即3=t 时),(|)(',)1(3363)('22x f x f x x x x f -=+-=2)1())('),((-=x x f x f ，因此1为)(x f 的三重根. 当0415=+t ，即415-=t 时，21))('),((+=x x f x f ，21-为)(x f 的二重根.解法二：设b a x ab a x b a x b x a x x f 22232)2()2()()()(-+++-=--=. 因此有⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.1,2,3222b a t ab a b a 由第一个方程有a b 26-=，代人第三个方程有,0132,1)23(232=+-=-a a a a 即0)12()1(2=+-a a .因此有⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,1t b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=.415,4,21t b a即当3=t 时1为)(x f 的三重根；当415-=t 时，21-为)(x f 的二重根.18.求多项式q px x ++3有重根的条件.解：令q px x x f ++=3)(.显然当0==q p 时，0为)(x f 的三重根.当0≠p 时， p x x f +=23)('，q x px xf q px x x f ++=++=32)('31)(3，)427()42729)(32()('222p q p p q x p q x p x f ++-+=. 要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f .即,042722=+pq p 即.027423=+q p 显然 0==q p 也满足.027423=+q p 因此)(x f 有重根的条件是.027423=+q p19.如果,1|)1(242++-Bx Ax x 求.,B A解法一：利用整除判定方法，1|)1(242++-Bx Ax x 的充要条件是用2)1(-x 除124++Bx Ax ，余式为零.)31()42()32()1(12224B A x A B A B Ax Ax x Bx Ax --++++++-=++.因此有0)31()42(=--++B A x A B ，即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=--=+.2,1.031,042B A B A A B 解法二：要使1|)1(242++-Bx Ax x 成立，则1至少是124++Bx Ax 的二重根.因此1既是124++Bx Ax 的根，也是其导数的根.而Bx Ax Bx Ax 24)'1(324+=++.故有⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++.2,1.024,01B A B A B A 解法三：利用待定系数法.令Dx D C x D C A x A C Ax D Cx Ax x Bx Ax +-++-+-+=++-=++)2()2()2()()1(12342224因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=-.1,02,2,02D D C B D C A A C 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==.1,2,2,1D C B A 20.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明：令,!!21)(2n x x x x f n++++= 则,)!1(!21)('12-++++=-n x x x x f n因此有,!)(')(n x x f x f n +=从而有)!),('())('),((n x x f x f x f n =.!n x n因式只有)0(≠c c 及)1,0(n k c cx k ≤≤≠.而)1,0(n k c cx k ≤≤≠显然不是)('x f 的因式.因此有1)!),('())('),((==n x x f x f x f n.所以)(x f 没有重根.21.如果a 是)('''x f 的一个k 重根，证明a 是)()()](')('[2)(a f x f a f x f ax x g +-+-=的一个3+k 重根. 证明：)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=).('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=显然有0)(")(')(===a g a g a g .由a 是)('''x f 的一个k 重根可得a 是)(''x g 的一个1+k 重根，设a 是)(x g 的s 重根，则3,12+=+=-k s k s .本题常见错误证法.错误证法一：由a 是)('''x f 的一个k 重根就得出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根，于是)(2)()()()](')('[2)(3x h a x a f x f a f x f a x x g k +-=+-+-=从而a 是)(x g 的3+k 重根.事实上，由a 是)('''x f 的一个k 重根推不出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根. 如3)()()()(23+-+-+-=+a x a x a x x f k ，则1)(2))(3()('2+-+-+=+a x a x k x f k ，2))(2)(3()(''1+-++=+k a x k k x f .a 既不是)(x f 的根，也不是)('x f 与)(''x f 的根.错误证法二：由)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=)('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=得出a 是)(''x g 的1+k 重根，直接得出a 是)(x g 的3+k 重根，缺了a 是)(x g 与)('x g 的根验证.22.证明：0x 是)(x f 的k 重根的充分必要条件是,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k证明：必要性.设0x 是)(x f 的k 重根，从而0x x -是)(x f 的k 重因式，从而是)('x f 的1-k 重因式，是)(''x f 的2-k 重因式，...，是)()1(x f k -的单因式，而不是)()(x f k 的因式.因此0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.故有,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k充分性.由,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而0)(0)(≠x f k 可知0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.因此0x 是)()1(x f k -的单根，是)()2(x f k -二重根，依此类推，是)(x f 的k 重根.23.举例说明断语“如果α是)('x f 的m 重根，那么α是)(x f 的1+m 重根”是不对的.解：例如2)()(1+-=+m x x f α，m x m x f ))(1()('α-+=.α是)('x f 的m 重根，但α不是)(x f 的根.24.证明：如果),(|)1(n x f x -那么)(|)1(n n x f x -.证明：由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 因此有),()1()(x h x x f -=从而有).()1()(n n n x h x x f -=即)(|)1(n n x f x -.证法二：要证)(|)1(n n x f x -，只要证1-n x 在复数域上的各个根都是)(n x f 的根.1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos-=+=n k nk i n k x k ππ由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 从而0)1()(==f x f nk .即,2sin 2cos nk i n k x k ππ+=1,,2,1,0-=n k 都是)(n x f 的根.因此有)(|)1(n n x f x -.25.证明：如果)()(|)1(32312x xf x f x x +++，那么).(|)1(),(|)1(21x f x x f x --证明：要证)(|)1(),(|)1(21x f x x f x --成立，只要证1是)(1x f 和)(2x f 的根.12++x x 的两个根为231,23121ii --=+-=εε.由)()(|)1(32312x xf x f x x +++可得)()1()()(23231x g x x x xf x f ++=+.于是,0)()1()()(,0)()1()()(2223222321112312131121=++=+=++=+εεεεεεεεεεεεg f f g f f即0)1(231)1(,0)1(231)1(2121=+-=--f if f i f .故有.0)1()1(21==f f 所以 )(|)1(),(|)1(21x f x x f x --.26.求多项式1-n x 在复数范围内和在实数范围内的因式分解. 解：1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos -=+=n k nk i n k k ππε故在复数范围内的分解式为)())()(1(112-----=-n n x x x x x εεε .在实数范围内，因k n k -=εε，)0(n k <<.当n 为奇数时，1-n x 的根中一个为实根，其余为虚根，其分解式为]1)([]1)(][1)()[1(12121222212++-++-++--=-+---x x x x x x x x n n n n nεεεεεε .当n 为偶数时，1-n x 的根中二个为实根，即,1±其余为虚根，其分解式为].1)([]1)(][1)()[1)(1(11212222212++-++-++-+-=-+---x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε27.求下列多项式的有理根. 1);1415623-+-x x x解：多项式可能的有理根为.14,7,2,1±±±±由系数取值可知，x 取负数时，多项式的值均为负的，故该多项式没有负根.检验得2为其根，进一步运用综合除法可得074114821415612-----即)74)(2(14156223+--=-+-x x x x x x ，显然742+-x x 没有有理根.因此1415623-+-x x x 仅有一个有理根2，且为单根.2);157424---x x x解：多项式可能的有理根为.41,21,1±±±444222026242113121570421------------因此有)1()12()444()21(1574222224--+=--+=---x x x x x x x x x ，显然12--x x 没有有理根.因此21-为157424---x x x 的二重根.3).3111462345----+x x x x x解：多项式可能的有理根为.3,1±±检验得1-为其根，进一步运用综合除法可得1213630351133511038601138601311146111--------------故)3()1()12)(3()1(3111464222345-+=++-+=----+x x x x x x x x x x x .即1-为其四重跟，3为单根.28.下列多项式在有理数域上是否可约？ 1);12+x解：显然12+x 无有理根，又为二次的，故在有理数域上不可约. 2);2128234++-x x x解：取素数2=p ，满足艾森斯坦判别法的条件，因此在有理数域上不可约. 3）;136++x x 解：令,1+=y x).(3918211561)1()1(1)(234563636y g y y y y y y y y x x x f =++++++=++++=++=取素数,3=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.4）p px x p ,1++为奇素数；解：令1-=y x ，由p 为奇数可得1)1()1(1)(+-+-=++=y p y px x x f p p).()(1222211y g p y p C y C y C yC y p p p p p p p p p =-++--+-=---- 由组合数定义)11(-≤≤p k C kp 均为整数，且12)1()1()1(⋅-+--= k k k p p p C k p，分子中有因子p ，分母个各数均小于p ，又p 为素数，因此约分时p 不会被约去，因此有kpC p |，取素数为p ，)(y g 满足艾森斯坦判别式条件，因此)(y g 在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约. 5）k kx x ,144++为整数. 解：令,1+=y x 则有).(2)1(4641)1(4)1(1423444y g y k y y y y k y kx x =+++++=++++=++取素数,2=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.。

高等代数第一章答案(多项式)

若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。

证法1：由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。

由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。

于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。

因()0≠x r ，故()()x h x p |/。

证明2：用反证法。

问：若()()()()x g x h x f x h |,|//，则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。

答：不一定。

例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但()()()()x g x f x h +|。

例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。

例求m l ,，使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。

解法1：因()()3=∂x f ，()()2=∂x g ，故商()x q 满足()()1=∂x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323，l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。

多项式练习题及答案

多项式练习题及答案1. 求解多项式的和与差(1) 已知多项式f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7，求f(x)与g(x) = x^3 - 5x + 9的和与差。

解答：f(x)与g(x)的和可以表示为：(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) + (x^3 - 5x + 9)按照相同项合并的原则，将同次幂的项相加得到： (4x^3 - 2x^2 +5x + 2)f(x)与g(x)的差可以表示为：(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) - (x^3 - 5x + 9)按照相同项合并的原则，将同次幂的项相减得到：(2x^3 - 2x^2 + 10x - 16)所以，f(x)与g(x)的和为：4x^3 - 2x^2 + 5x + 2，f(x)与g(x)的差为：2x^3 - 2x^2 + 10x - 16。

2. 求解多项式的乘积(2) 已知多项式f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)与g(x) = x^3 - 5x + 9的乘积。

解答：f(x)与g(x)的乘积可以表示为：(f * g)(x) = f(x) * g(x) = (2x^2 - 3x + 1) * (x^3 - 5x + 9)按照多项式乘法分配律展开式，得到：(f * g)(x) = 2x^2 * (x^3 - 5x + 9) - 3x * (x^3 - 5x + 9) + 1 * (x^3 - 5x + 9)化简得：(f * g)(x) = 2x^5 - 10x^3 + 18x^2 - 3x^4 + 15x^2 - 27x + x^3 - 5x + 9合并同类项得：(f * g)(x) = 2x^5 - 3x^4 - 10x^3 + x^3 + 18x^2 + 15x^2 - 27x - 5x + 9(f * g)(x) = 2x^5 - 3x^4 - 9x^3 + 33x^2 - 32x + 9所以，f(x)与g(x)的乘积为2x^5 - 3x^4 - 9x^3 + 33x^2 - 32x + 9。

高等代数课后答案高等教育出版社

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

高等代数考研真题第一章多项式

第一章多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。

2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。

（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。

4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。

证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。

6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。

7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

高三数学高级代数练习题附答案

高三数学高级代数练习题附答案第一章：多项式的运算与因式分解一、填空题1. 已知多项式f(x) = x^3 - 2x + 1，求f(2)的值。

答案：f(2)=2^3-2*2+1=8-4+1=5。

2. 已知多项式g(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 4，求g(1)的值。

答案：g(1)=2*1^3-3*1^2+5*1-4=2-3+5-4=0。

3. 已知多项式h(x) = 3x^4 - x^3 + 2x^2 - 3x + 4，求h(-1)的值。

答案：h(-1)=3*(-1)^4-(-1)^3+2*(-1)^2-3*(-1)+4=3-(-1)+2-(-3)+4=13。

二、选择题1. 若多项式f(x)能被(x-2)整除，那么f(2)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：A. 02. 若多项式g(x)能被(x+1)整除，那么g(-1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：A. 03. 若多项式h(x)能被(x-3)整除，那么h(3)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：A. 0第二章：一次函数与二次函数一、解方程1. 解方程2x + 3 = 7。

答案：2x + 3 = 72x = 7 - 32x = 4x = 4/2x = 22. 解方程3x^2 - 4x + 1 = 0。

答案：由求根公式可得，x = (-(-4)±√((-4)^2-4*3*1))/(2*3)= (4±√(16-12))/(6)= (4±√4)/(6)= (4±2)/(6)= 1 或 1/3二、函数图像的性质1. 函数y = x^2的图像是开口朝上还是朝下的？答案：函数y = x^2的图像是开口朝上的，因为其二次项系数为正。

2. 函数y = -2x + 3的图像是直线还是曲线？答案：函数y = -2x + 3的图像是直线，因为其为一次函数。

第三章：指数与对数函数一、求值题1. 计算2^3的值。

完整版高等代数习题解答(第一章)

完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。

若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。

若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。

综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。

1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。

由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。

根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。

用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。

(完整word版)高等代数多项式习题解答

第一章多项式习题解答1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x).5x2. m, p,q 适合什么条件时，有 1) x 2 mx 11 x 3 px qq(x)x 2 x 1, r(x)5x 7.x 3 0x 2 px q xp 10,q m 时 x 2 mx 11 x 3 px1) f(x)x 3 3x 2 2x3x 232x 3xx 1 3 2 2 1x —x -x3 3 7 24 1 x x 3 37 2 14 7 —x ■ x — 3 9 926 2 —x9 9q(x) £ r (x )26 x92) f(x)2x 5, g(x)4 x 4x0x 3 0x 2 x 3 2x 2 x 3 2x 22x 32x x 2xx2x2x 54x 5 x 2 mx 1当且仅当m 2 i,g(x)x 2x 1 1—x 3 3x 2本题也可用待定系数法求解 .当X 2 mx 1| x 3 px q 时，用x 2 mx 1去除x 3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q.于是有因此有m 2 p 1 0, q m .2) x 2 mx 11 x 4 2px q由带余除法可得42/ 2x px q (x mx1)( x2mx 2p 1 m ) m(2pm 2)x (q 1 pm 2) 当且仅当r(x) m(2 p 2m )x (q 1 p m 2) 0 时2x 42mx 11 x pxq .即m(2 p m 2) 2m，即 mQ 或 p 2小m 2,q 1p 0q 1 p,q 1.本题也可用待定系数法求解.当x 2 mx 1|x 4px 2 q 时，用x 2 mx 1去除x 4 px 2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x 2 ax q .于是有3. 求 g(x)除 f (x)的商 q(x)与余式 r(x). 531) f (x) 2x 5x 8x, g(x) x 3; 解：运用综合除法可得 32580 6 18 39 1173272 6 1339 109 327商为 q(x) 2x 4 6x 3 13x 2 39x 109，余式为 r(x) 327.4 2x pxq (x 2ax q)( 2x mx 1)(m a)x 3 (ma2q 1)x(a mq)x q.ma q 1 p,a mq 0.消去a 可得m 0,或2p m 2,q 1 p,q 1.x 4 比较系数可得m a 0,2px q (x q)(x mx 1)x 3 (m q)x 2(mq 1)x q .2) f(x) x 3 x 2x,g(x) x 1 2i .解:运用综合除法得：1 2i 11 1 0 1 2i4 2i 9 8i 1 2i5 2i9 8i商为x 2 2ix (5 2i),余式为9 8i .c 0即为x X o 除f (x)所得的余式，商为q(x) q 可得C 1为x x o 除商q(x)所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数解：1)解法一：应用综合除法得•1 1 o o o o o11111 111111 112 3 4 1 1 2 3 4 51 3 6 1 1 3 6 1o1 4 1 1 4 1o 14.把 f(; x)表成x X °的方幂和，即表示成CoC 1(X X o ) C 2(X X o )2的形1) f(x) 5x12) f(x) 4x 2x 23, xo2;3) f(x) 4x2ix 3 (1 i)x 2 3x 7 i,x o1分析：假设 f(x) 为n 次多项式，令f(x)C o G (x X o ) C 2(X X o )2C n (x X o )n式.x o )n1]C o (x X o )[G C 2(x x o )C n (x C 2(x X 。

多项式习题解答课件

第一章多项式习题解答P44.1. 用)(x g 除•x f )(,求商)(x q 和余式)(x r .解: 1)17262()()()()3999f xg x x x =-+--. 92926)(,9731)(--=--=x x r x x q . 2)2()()(1)(57)f x g x x x x =+-+-+. 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2. 求m , p ,q 适合什么条件时, 有1) q px x mx x ++-+32|1 2) q px x mx x ++++242|)1(.解: 1) 方法1. q px x mx x ++-+32|1 x-mx 3+mx 2-x-m x 2+(p +1)x +q-m x 2-m 2x +m2(1)()()p m x q m r x +++-=由余式2(1)()0p m x q m +++-=得:21m q p q =⎧⎨=-⎩. 方法2. 设))(1(23q x mx x q px x --+=++, 两个多项式相等当且仅当同次项系数对应相等, 于是⎩⎨⎧=--=-p mq q m 10, 即21m q p q =⎧⎨=-⎩. 2) 解: 假设))((,|)(q ax x 1mx x q px x q px x 1mx x 2224242++++=++++++则,展开右边与左边比较, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+pma q a mq a m 100,消去a , 得⎩⎨⎧=+-=-p m q m mq 102 , 所以当m ≠0时, q=1, p=2-m 2; 当m=0时, p=q+1.3. 求g (x )除f (x )的商)(x q 和余式)(x r .解: 用综合除法求商和余式.1) 3)(,83552)(+=--=x x g x x x x f .解: 作综合除法算式:得：.327)3)(109391362()(234-++-+-=x x x x x x f商.327)(,109391362)(234-=+-+-=x r x x x x x q 余式为2) .21)(,23)(i x x g x x x x f +-=--=解: 商q(x)=22(52)x ix i --+, 余式r(x)=98i -+.4. 把f (x )表成(x-x 0)的方幂和.1) 50(),1f x x x ==.解: 用综合除法:155432()(1)5(1)10(1)10(1)5(1)1f x x x x x x ∴=-+-+-+-+-+.当然也可以55()[(1)1]f x x x ==-+=5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)1x x x x x -+-+-+-+-+. 2) 42432()23(2)8(2)22(2)24(2)11f x x x x x x x =-+=+-+++-++3) 432()2(1)37f x x ix i x x i =+-++++432432()2()(1)()3()7()2()(1)()5()75x i i i x i i i x i i x i i i x i i x i i x i x i i =+-++--++--+-++=+-++++-+++ 5. 求f (x ), g (x )的最大公因式.1) f (x )=x 4+x 3-3x 2-4x -1, g (x )=x 3+x 2-x -1.解法1: 作辗转除法:f (x )g (x )q 1(x )=x x 4+x 3-3x 2-4x -1 x 3+x 2-x -1 –21x+41=q 2(x)x 4+x 3 -x 2- x x 3+(3/2)x 2 +(1/2) x-38x+34 r 1(x)= -2x 2-3x -1 - (1/2) x 2-(3/2) x -1=q 3(x ) -2x 2-2x - (1/2) x 2-(3/4) x -(1/4)-x -1 r 2(x)=(3/4) x -(3/4)-x -1((),())1f x g x x =+.解法2: 由于最大公因式的常数倍仍然是最大公因式, 所以, 在辗转相除的过程中, 为了方便可以给多项式乘以一个非零常数.f (x )g (x )q 1(x )=x x 4+x 3-3x 2-4x -1 x 3+x 2-x -12x 3+2x 2-2x -2 –x +1=q 2(x )x 4+x 3 -x 2- x 2x 3+3x 2 + x-2x -1 r 1(x)= -2x 2-3x -1 -x 2-3 x -2-2x 2-6 x -4=q 3(x ) -2x 2-2x - 2 x 2-3 x -1-x -1 -3 x -3-x -1 x +1((),())1f x g x x =+.解法3: )13)(1()(3--+=x x x x f , 22()(1)(21)(1)(1)g x x x x x x =-++=-+, ((),())f x g x x =+2)32()31g x x x =-+不可约, 14)(34+-=x x x f 不可约, ∴()(),()1f x g x =. 3))122)(122(110)(2224---+=+-=x x x x x x x f4323222()61,())(1)g x x x f x x x x =-+++=-++=--∴()2(),()1f x g x x =--6. 求u (x ), v (x )使u (x )f (x )+v (x )g (x )=(f (x ), g (x )).1) 242)(234---+=x x x x x f , 22)(234---+=x x x x x g解法1: )2()1()(22-+=x x x f , 22()(2)(1)g x x x x =-++.因为1)1,1(2=+++x x x , 所以(f (x ), g (x )) = x 2 -2.因为[]22(1)(1)(1)(2)1x x x x x +-+++++=, 所以2)()()()(2-=+x x g x v x f x u , 即 []22222(1)(1)(2)(2)(1)(2)2x x x x x x x x -++-++++-=-.解法2：作辗转除法:g (x ) f (x )q 2(x )=x +1 22)(234---+=x x x x x g 242)(234---+=x x x x x f q 1(x )=1x 4-2x 2 22234---+x x x xx 3+x 2-2x -2 r 1(x )= x 3-2x q 3(x )=x x 3-2x x 3-2xr 2(x)=x 2-2 r 3=0因为r 2(x)| r 1(x ), 所以(f (x ), g (x )) = r 2(x) = x 2-2. 再由)()()()(),()()()(22111x r x q x r x g x r x q x g x f +=+=, 得)].()[())()(1)(()(),()]()()([)()()()()(221221212x q x f x q x q x g x r x q x q x g x f x g x q x r x g x r -++=--=-=令u (x )=-(x +1), v (x )=(x +2), 则2(2)(1)()(2)()x x f x x g x -=-+++.2) (f (x ), g (x )) = r 2(x) = x -1.21221(1)()(1)()333x x f x x x g x -=--+--. 3)144)(234++--=x x x x x f , 2()1g x x x =--∴2()()(3)(2)f x g x x x =-+-, ()(2)(1)1g x x x =-++∵21((3))(1)f g x x g =---++，132(1)()(32)()x f x x x x g x =-+++--.7. 如果f (x )和g (x )的公因式是一个二次多项式, 求t,u 的值. 其中u tx x x g u x x x x f ++=++++=223)(,22)41()(.解: 22()()1(1)(2),()(1)(2)f x g x t x t x u r x t x t x u =+++-+=++-+.2222212()(2)2()()()(1)1(1)(1)(1)t t t u t t g x r x x x u t t t t -+++--=+++-++++ 由题意()()()|()r x x r x g x 与g 的公因式应为二次所以. 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=-++-+0)1()3(t)(10)4()3(322223t u t t u t u t t . ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++-+-≠0)3(0)4()3(3 .)(,1223u t t u t u t t x r t 为一次的否则得解出(ⅰ)当.0)1)(4(,04330223=+-+=+-+=t t t t t t u 时 ∴¡32¡314π±=±=-=e t t 或. (ⅱ)311,03,02t t t t u -=+=++≠只有时当. )433(31433)4()3(3233232+-+-=++-+=⇒-++-+t t t t t t t t u u t u t t . ∴)4(2]246)82)(3[(3122+-=++-+++-=t t t t t t u 即⎩⎨⎧=+++-=03)4(22t t t u , 2111i t ±-=, i u 117--=. 8. 证明: 如果()|(),()|()d x f x d x g x , 且()d x 是f(x)和g(x)的一个组合, 那么d(x)是f (x )和g (x )的一个最大公因式.证明: 因为()|(),()|()d x f x d x g x , 所以()d x 是f (x )和g (x )的一个公因式. 又已知：()()()d x f x g x 是与的组合, 所以存在u (x ), v (x )∈P[x ]使得u(x )f (x )+v (x )g(x )=d (x ).若()|(),()|(),()|()h x f x h x g x h x d x 得, 所以()d x 是一个最大的公因式.9. 证明(()(),()())((),())().f x h x g x h x f x g x h x =（()h x 的首系=1）证：设(()(),()())()f x h x g x h x m x =, ()((),())()()()().d x f x g x u x f x v x g x ==+ 由()()|()()d x h x f x h x , ()()|()()d x h x g x h x , 得()()d x h x 是f (x )h (x )和g (x )h (x )的一个公因式. 所以()()|()d x h x m x .考虑到()()()()(),d x u x f x v x g x =+()()((),())()()()()()()().d x h x f x g x h x u x f x h x v x g x h x ∴==+因为()|()(),()|()()m x f x h x m x g x h x , 所以由上式得, ()|()()m x d x h x . 而h (x )的首项系数为1，所以()()()m x d x h x =, 即((),())()(()(),()()).f x g x h x f x h x g x h x =10. 如果(),()f x g x 不全为0, 证明()()(,) 1.((),())((),())f xg x f x g x f x g x = 证：设()((),()).d x f x g x = 由(),()f x g x 不全为0得()0.d x ≠设1()()(),f x d x f x = 1()()(),g x d x g x =及()()()()().d x u x f x v x g x =+则11()()()()()()().d x u x f x d x v x g x d x =+消去()0d x ≠得111()()()()u x f x v x g x =+. ()()(,) 1.((),())((),())f xg x f x g x f x g x = 11. 证明: 如果(),()f x g x 不全为0, 且()()()()((),())u x f x u x g x f x g x +=, 那么(u (x ), v (x ))=1.证：设()((),()).d x f x g x =由于(),()f x g x 不全为0, 所以d (x )≠0.11()()(),()()(),f x f x d x g x g x d x ==设则1111()()()()()()(),()()()()1u x f x d x u x g x d x d x u x f x u x g x +=+=, (u (x ), v (x ))=1.12. 如果1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f , 那么1))()(),((=x h x g x f .证: 设21111111,1,1uf vg u f v h uu f ufv h vgu f vu gh +=+=+++=两式相乘得. ∴1111()()1(,)1uu f uv h vgu f v u gh f gh +++=⇒=.13. 设1212,,(,g )=1,=1,2,...,m;=1,2,...,n.m n i j f f f g g g f i j 都是多项式且求证 1212(,)1m n f f f g g g =.证: ∵ (,g )1i i f =，由12题, 固定12:(,)1i i f g g =,…, 12(,.)1i n f g g g =. 令12n g g g g =⋯,(,)1i i f g ∴=每个12(,)1,f f g ⇒=⇒ 123(,)1f f f g =, …,⇒ 1212(,)1m n f f f g g g =.推广若((),())1,f x g x =则∀m ，n ∈N, 有((),())1m n f x g x =.14. 如果1))()(),((,1))(),((=+=x g x f x f x g x f 那么.证法1：(,)11()()1(,)1f g uf vg u v f v g f f g f =⇒+=⇒-++=⇒+=同理(,)1g g f +=. 由12题(,)1fg f g +=.证法2：设d (x )是f 和f +g 的任一个公因式, ()|(),()|()()d x f x d x f x g x +, 所以 ()|()d x g x , 因为(f , g )=1, 所以d (x )=c (常数). 所以(f , f +g )=1. (,)1g g f +=. 由12题得(,)1fg f g +=.15 . 求下列多项式的公共根: f (x )=x 3+2x 2+2x +1, g (x )=x 4+x 3+2x 2+x +1解：g(x )=f (x )(x-1)+2(x 2+x +1), f (x )=(x 2+x +1)(x +1), 即(f (x )，g(x )) = x 2+x +1.令(x 2+x +1)=0得231,23121i i --=+-=εε ∴f (x )与g (x )的公共根为21,εε.16 判断下列多项式有无重因式:1)5432()57248f x x x x x x =-+++- 2)344)(24--+=x x x x f解: 1)4421205)('234+-+-=x x x x x f , 作辗转相除法:325()'()(1)3(25412)f x f x x x x x =---+. 23221549'()(25412)(5)(44)22f x x x x x x x =--+-+-+, )32)(44()12452(223++-=+--x x x x x x ,得22)2(44))('),((-=+-=x x x x f x f , 故)(x f 有重因式3)2(-x .2))12(4484)('3-+=-+=x x x x x f ,作辗转相除法:32()(21)(233)f x x x x x x =+-+-+.)1311()32)(332()('2-+++-=x x x x x f2661311(233)(1113)(2)(33)1111x x x x ⨯-+=--++ 1))(').((=∴x f x f .17. 求t 的值 13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法1：设f (x )有重根a , 则a ≠0，且)1()()(22a x a x x f +-=. 于是 1)2()12(13)(222323--++-+=-+-=x aa x a a x tx x x x f . 由多项式相等的概念, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-t a a a a 232122 (*).解方程得t=3，415-. 解法2: t x x x f +-=63)('2, 作辗转相除法:)3()62()1)((')(3-+-+-=t x t x x f x f .当3=t , 3)1()(-=x x f 有三重根.当.3≠t 则)2152()2153)(22()('2++-+=t x x x f . 此时必须415-=t , 有重因式)4()21()(2-+=x x x f . 18. 求多项式q px x x f ++=3)(有重根因式的条件分析: 若q px x x f ++=3)(有重根, 则有二重根或三重根. 若有三重根, 则32233333)()(a x a ax x a x q px x x f -+-=-=++=.得: 0,0===q p a . 此时0为三重根. 如下只需考虑2重根的情形即可. 解法1: p x x f +='23)(, 利用辗转相除法:23()(3)23f x x p x px q =+++)0(≠p ,22223327(3)(23)()()244a q x p px q x p p p p +=+-++. 得324270p q +=.解法2: b a x a ab x a b x b x a x q px x x f 222323)2()2()()()(-+++-=--=++=.⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+q b a a ab p a b 22202,⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq a p , 得324270p q +=. 19. 如果2(1)|()x f x -,其中42()1f x Ax Bx =++,求A, B.解法1：设),1()1(1)(2224-+-=++=bx Ax x Bx Ax x f 展开右边并比较系数: 1)1()21()2(123424-++-+-+-+=++x b x b A x A b Ax Bx Ax得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-011202b B b A A b , 于是2,1-==B A .解法2: 因为2(1)|()x f x -, 所以(1)|'()x f x -由)4)(1()24(24)('23d Ax x x B Ax x Bx Ax x f +-=+=+=, 于是比较两边系数得: 2A B =-.所以42()21f x Ax Ax =-+. 又)1)(1()(),()1(23-++-=-cx bx Ax x x f x f x 设, 于是4221Ax Ax -+=)1)(1(23-++-cx bx Ax x , 右边展开并比较系数:⎪⎩⎪⎨⎧=---=-=-0120c A b c A b .2,1-==∴B A .20证明2()12!!n x x f x x n =+++无重因式（重根）. 证法1： '()()!nx f x f x n =- (',)(,)!yx f f f n ∴=. 因为1),(=x f , 所以(,)1()n f x f x =⇒无重因式. 证法2: 由于f (x )有重因式的充要条件是1))('),((=x f x f , 所以设)())('),((x d x f x f =, 我们证明d (x )=1.事实上, 由!|)()),(')((|)()("|)(),(|)(n x x d x f x f x d x f x d x f x d n即得-. 所以0,)(≥=k x x d k . 若k >0, 则x |f (x ), 矛盾. 所以k =1, d (x )=1.21. 如果a 是()f x '''的一个k 重根, 证明a 是)()()](')('[2)(x f x f a f x f a x x g +-+-=的一个k +3重根. 证明: 验证得g(a )=0, 设a 是g (x )的t 重根.g ′(x )=12[ f ′(x )+ f ′(a )]+()()2x a f x f x -'''-⇒ g ′(a )=0 . 111()''()()()()()()()02222x a g x f x f x f x f x x a f x g a -''''''''''''''=++-=-⇒= 由于a 是()f x '''的k 重根, 以及a 是(x-a )的根, 所以a 是()g x ''的k+1重根.再由假设a 是g(x)的t 重根, 则a 是()g x ''的t -2重根, 于是t -2=k +1, 得t =k +3, 即()a x 是g 的k+3重根.22. 证明0x 是f (x )的k 重根的充要条件是0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k , 但是0)(0)(≠x f k .证明: 必要性显然（见定理6推论1）.充分性: 若x 0是f (x )的t 重根，t ＞k ，由定理⇒0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k , 且f (k)( x 0)=0.若t ＜k ⇒(1)0()0k f x -≠，所以矛盾. 所以t=k.23. 举例说明断语”如果a 是)('x f 的m 重根, 则a 是f (x )的m +1重根”是不对的. 例如1()1,0()(1)m m f x x x f x m x m +'=+==+则是的重根,0()x f x =但不是的根.24. 若(1)|(),(1)|()n n n x f x x f x --则.证法1: 因为(1)|(),n x f x -所以1是()n f x 的根, 即f (1)=0. 这样(1)|()x f x -. 存在g(x )使得()(1)()f x x g x =-. 于是()(1)()n n n f x x g x =-, 得)(|1n n x f x -.证法2：由条件知, f (1)=0. 设全体n 次单位根为1，121,...,,-n ξξξ. 对每一个:k ξ0)1()(==f f n k ξ, 所以.1,...,1,0),(|)(-=-n k x f x n k ξ 再由于,1-x ,1ξ-x ...,1--n x ξ两两互素, 所以)(|)1(),(|)())(1(11n n n n x f x x f x x x -----即ξξ .25 . 如果x 2+x +1|)()(3231x xf x f +, 那么12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且证法1：设x 2+x +1的两个根312,,1i εεε=, i =1,2. 2121()()x x x x εε++=--.33111213322222()()0()()0f f f f εεεεεε⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,112122(1)(1)0(1)(1)0f f f f εε+=⎧⎨+=⎩即. 把上式看作是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111εε为系数矩阵的齐次线性方程组, 则由于系数行列式非零, 所以12(1)(1)0f f ==. 即12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且证法2: 设111)()1()(r x q x x f +-=, 222)()1()(r x q x x f +-=, 则x r x q x x r x q x x xf x f 232313133231)()1()()1()()(+-++-=+. 对于x 2+x +1的两个根331212,: 1.εεεε== 所以121123123111311313121311)()1()()1()()(0εεεεεεεεεεr r r q r q f f +=+-++-=+=,221223223221321323221321)()1()()1()()(0εεεεεεεεεεr r r q r q f f +=+-++-=+=.于是⎩⎨⎧=+=+0221121εεr r r r .把上式看作是以⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111εε为系数矩阵的齐次线性方程组, 则由于系数行列式非零, 所以只有零解: 021==r r . 即12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且证法3：设111)()1()(r x q x x f +-=,222)()1()(r x q x x f +-=, 由条件x 2+x +1|)()(3231x xf x f +, 而)()(3231x xf x f +=x r x q x x r x q x 23231313)()1()()1(+-++-,考虑到x 2+x +1|(x 3-1)，所以x 2+x +1|r 1+r 2x . 再由次数之关系得r 1=r 2=0. 所以12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且26. 求多项式1n x -在复数范围内和实数范围内的因式分解. 解: 0221cossin ,0,1,2,1k k k i k n n nππεε==+=-设. 则121,...,,,1-n εεε是1n x -是全部根(n 次单位根全体).1112211211122(),1()(1)((cossin )).(),,21:21(1)()(1)()()(1)(2cos1).n n ni i k m m m nk k n k k k k k k i C x x x x i n nii R n n m k x x x x x x x x x nππεπεεε--==----===-=-=--+=--=--=---=--+∏∏∏∏∏在中在中若为奇数12122:1(1)(1)(2cos1).m nk k n m x x x x x nπ-==-=-+-+∏当时n 为偶数 n 为奇数 27. 求有理根： 1) f (x )=x 3-6x 2+15x -14.解法1：有理根可能为±1、±2、±7、±14.∵当a <0时f （a ）<0，所以f (x )的有理根是可能1,2,7,14. f (1)= -4≠0, f (2)=0, f (7)=140≠0, f (14)=1764≠0, 只有一个x =2. 解法2：有理根可能为±1、±2、±7、±14. f (1)= -4, f (-1)= -36. 对于每一个可能的根, 考虑αα+--1)1(1)1(f f 及: 当α=2时:121)1(421)1(-=+-=-αf f 及, 验证得f (2)=0. 作综合除法: 2 1 -6 15 -14 2 -8 14 2 1 -4 7 02 -4 1 -2 3≠0 f (x )=(x -2)(x 2-4x +7).令g(x )= x 2-4x +7, g(1)=4， g(-1)=12. g(x )可能的有理根只有±7.71)1(±g 非整数, 所以±7都不是g(x )的根, 从而也不是f (x )的根. 2) f (x )=4x 4-7x 2-5x -1 .解：f (x )有理根可能为±1、±21、±41，∵f (1)=-9≠0，f (-1)=1≠0,f (21)= -5, f (-21)=0, f (41) = -26443, f (-41) =-6411.所以f (x )只有一个有理根x = -21.3) f (x )=x 5+x 4-6x 3-14x 2-11x -3解：可能有有理根为±1、±3、f (1)= -32, f (-1)=0. 作综合除法:1 1 -6 -14 -11 -3 -1 -1 0 6 8 31 0 -6 -8 -3 0 -1 -1 1 5 31 -1 -5 -3 0 -1 -12 31 -2 -3 0 -1 -1 31 -3 0 f (x )=(x +1)4(x -3).f (x )的有理根为-1，-1，-1，-1，3. 28. 下列多项式在有理数域上是否可约? 1) x 2+1解: 令 x=y +1, 则x 2+1=y 2+2y +2. 取p=2, 由Eisenstein 判别法可知它不可约. 2) 4328122x x x -++解: 取P=2，由Eisenstein 判别法，该多项式不可约.3) x 6+x 3+1 解: 令x =y +1则x 6+x 3+1=y 6+6y 5+15y 4+21y 3+15y 2+9y +3取P=3, 则这个多项式不可约. 4) x p +px +1, p 为奇素数解：取y =x+1, x p+px +1=y p+1((1)(1)1pi p i i p i c y p y -=-+-+∑=y p+21((1)2p i i p i p i c y py p --=-+-∑取素数为p ，由于1,...,2,1,-=p j C j p 都是p 的倍数, 所以应用Eisenstein 判别法可知它不可约. 5) x 4+4kx +1, k 为整数解：令x =y +1,则f (x ) = x 4+4kx +1=y 4+4y 3+6y 2+(4+4k )y +(4k +2)取p =2，则p 可整除首相以外的所有系数, 但是p 2不整除常数项，由Eisenstein 判别法，f (x )于Q 上不可约.第一章补充题1. 设0),()()(),()()(11≠-+=+=bc ad x dg x cf x g x bg x af x f 且, 证明11(()())((),())f x g x f x g x =，.证: 设).())(),((),())(),((111x d x g x f x d x g x f == 要证明d (x )|d 1(x )及d 1(x )|d(x ). 首先因为d (x )|f (x ), d (x )|g (x ), 所以由条件知d (x )|f 1(x ), d(x )|g 1(x ), 从而d (x )|d 1(x ). 另一方面, 由于ad -bc ≠0, 所以由条件知111111()(()()),()(()())f x df x bg x g x cf x ag x ad bc ad bc=--+--.于是由d 1(x )|f 1(x ), d 1(x )|g 1(x ), 得d 1(x )|f (x ), d 1(x )|g (x ), 从而d 1(x )|d (x ). 所以d 1(x )=d (x ). 2. 证明: 只要))(),(()(,))(),(()(x g x f x g x g x f x f 的次数都大于零, 就可适当地选择适等式u (x )f (x )+v (x )g(x )=d (x )中的u(x )和v(x )使得))(),(()())((0,))(),(()())((0x g x f x f x v x g x f x g x u <∂<<∂<.证明：设（f (x )，g(x )）=d (x ), 存在u 1(x ), v 1(x )使得u 1(x ) f (x )+v 1(x )g(x )=d (x )..1))(),(()()())(),(()()(11=+x g x f x g x v x g x f x f x u记f (x )=f i (x )d (x ), g(x )=g 1(x )d (x ), 则有u 1(x )f 1(x )+v 1(x )g 1(x )=1. (*)a)若∂(u 1(x ))<∂(g 1(x )), 由上式, ∂(u 1(x ))+∂(f 1(x ))=∂(v 1(x ))+∂(g 1(x )), 得∂(v 1(x ))<∂(f 1(x )).b) 若∂(u 1(x ))≥∂(g 1(x )), 令u 1 (x )=q 1(x )g 1(x )+u 2(x ), ∂(u 2)<∂(g 1(x ))=∂())(),(()(x g x f x g ).v 1(x )=q 2(x )f 1 (x )+v 2(x ), ∂(v 2)<∂(f 1(x ))=∂())(),(()(x g x f x f ). 代入(*)式: 得f 1(x )u 2(x )+g 1(x )v 2(x )+f 1(x )g 1(x )q 1(x )+f 1(x )g 1(x )q 2(x )=1,f 1(x )u 2(x )+g 1(x )[v 2(x )+f 1(x ) q 1(x )+f 1(x ) q 2(x )]=1.令u (x )=u 2 (x ), v (x )= v 2(x )+f 1(x ) q 1(x )+f 1(x ) q 2(x ), 则由于∂(u)= ∂(u 2)<∂(g 1(x )), 得∂(v)= ∂(v 2)<∂(f 1(x )), 且有u (x )f (x )+v (x )g(x )=d (x ).3. 证明: 如果()(),(()(1).m m f x x f x x m ≥与g 互素那么)与g 也互素证：由于f (x )与g(x )互素, 所以存在u(x ), v(x )使得u (x )f (x )+v (x )g(x )=1. 于是有u (x m )f (x m )+v (x m )g(x m )=1. 即f (x m )与g(x m )互素.4. 证明: 如果)(),...,(),(121x f x f x f s -的最大公因式存在, 那么)(),...,(),(121x f x f x f s -,f s (x )的最大公因式也存在, 且当)(),...,(),(121x f x f x f s -, f s (x )全不为零时有1,211()((,,),).s s s f f f f f f -=再利用上式证明存在)(),...,(),(21x u x u x u s 使得),...,,(212211s s s f f f f u f u f u =++ . 证明：设d =(f 1,f 2…f s )，d 1=(f 1…f s-1), d ′=(d 1, f s ), 要证明d = d ′.一方面, s d f 及d |d 1⇒d |d ′.另一方面，d ′|d 1, 's d f ⇒d ′|f i （i ∀）⇒d ′|d. 又d, d ′都是首项系数为1的多项式, 所以d=d ′.为了证明第二个结论,应用数学归纳法. 当s=2时, 结论显然成立.假设对于s-1个多项式结论成立,考虑s 个多项式的情形:此时, 对于)(),...,(),(121x f x f x f s -,由归纳假设'∃i u (i =1,2，…,s-1)，使'''111111,,s s s s u f u f d v u vd u f d --++=∃+=又使得′. 所以 ∴d =d ′=1s s vd u f + =v （1'1s i i i u f -=∑）+s s u f .令'i i u vu = i=1,2…,s-1, 则d =u 1f 1+…+u s-1f s-1+s s u f . 5. 多项式m (x )称为)(,)(x g x f 的一个最小公倍式, 如果 1) )(|)(,)(|)(x m x g x m x f ;2) )(,)(x g x f 的任一个公倍式都是m (x )的倍式.我们以[)(,)(x g x f ]表示首系数是1的那个最小公倍式, 证明如果)(,)(x g x f 的首系数都是1，那么[)(,)(x g x f ]=))(),(()()(x g x f x g x f .证明: 因为)(,)(x g x f 的首系数都是1，所以它们都是非零多项式, 于是它们的最大公因式不等于零. 设(f (x ),g (x ))=d (x ), f (x )=f 1(x )d (x ), g (x )=g 1(x )d (x ), 则(f 1(x ),g 1(x ))=1.设m (x )=f 1(x )g 1(x )d (x ), 则一方面显然有 f (x )|m (x ), g (x )|m (x ), 故m (x )是一个公倍式. 另一方面, 设l (x )是)(,)(x g x f 的任一个公倍式, 则)(|)(,)(|)(x l x g x l x f ，令l (x )=d (x )l 1(x )，则f 1(x )|l 1(x ), g 1(x )|l 1(x )∵(f 1(x ), g 1(x ))=1, ∴f 1(x )g 1(x )|l 1(x )⇒f 1(x )g 1(x )d (x )|l , 即m (x )|l (x ). 所以m (x )是f (x ), g (x )的一个最小公倍式. 即证得：[f (x ), g (x )]=f 1(x )g 1(x )d (x )=))()(()()(x g x f x g x f ⋅⋅.6. 证明：设p (x )是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式f (x ), g (x ) ，由 p (x ) | f (x )g (x )可以推出p (x ) | f (x )或者p (x ) | g (x ), 那么p (x )是不可约多项式.证明: 采用反证法. 设p (x )可约，则有p (x ) = p 1(x ) p 2(x )且p 1(x )和p 2(x )的次数低于p (x )的次数. 那么由条件可得p (x ) | p 1 (x )或p (x ) | p 2(x ), 这是不可能的，因为后面两个多项式的次数低于 p (x )的次数.7. 证明：次数> 0且首项系数为1 的多项式f (x )是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是, 对任意的多项式g (x ), 或者(,)1f g =或者存在正整数m 使得).(|)(x g x f m证明: 必要性：设f (x ) = p s (x )（其中p (x )是不可约多项式），则对任意多项式g (x )，有 a) ( p (x ), g (x )) =1; 或b) p (x ) | g (x ).对于 a) 有( f (x ), g (x )) =1.对于b)有p s (x ) | g s (x )，此即f (x )|g s (x ).再令m = s ，即可.充分性：若 f (x )不是某一个不可约多项式的方幂，则f (x )有典型分解式:).0,2(),()()()(221>≥=i r k r k k k r x p x p x p x f取g (x )=p 1(x )，则( f (x ), g (x )) = p 1(x ), 且对任意的正整数m, f (x )不整除g m (x ). 与题设f (x )与g (x )应满足( f (x ), g (x )) =1或f (x ) | g m (x ),(m 为某一正整数)矛盾，即证. 8．证明：次数> 0且首项系数为1 的多项式f (x )是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是：对任意的多项式g (x ), h (x )，由f (x ) | g (x )h (x )，可以推出f (x ) | g (x )，或者对某一正整数m , f (x ) | h m (x ).证明: 必要性.设f (x )= p m (x )是某一不可约多项式p (x )的方幂, 则由于p (x )不可约,所以由f (x ) | g (x )h (x )，可推知p (x ) | g (x )h (x )，及p (x ) | g (x )或p (x ) | g (x ). 所以必存在正整数使得p m (x ) | h m (x ), 即f (x ) | h m (x ) .充分性. 若 f (x )不是某一个多项式的方幂，则f (x )有典型分解式:).0,2(),()()()(221>≥=r r k r k k k r x p x p x p x f取),()(1x p x g k= ),()()(22x p x p x h r kr k= 则 f (x ) | g (x )h (x )，但是出f (x )既不整除g (x )，也不能整除h (x )的任意方幂 h m (x ). 9. 证明：n n m x ax b -++没有重数＞2的非零根证明：设 f (x ) = x n + ax n-m + b ，则f '′(x ) = x n-m-1[nx m + (n-m )a ].又因为 f (x )的非零根都是多项式g (x ) = nx m +(n −m )a 的根，而g (x )的m 个根都是单根，因而f '′(x )没有不为零且重数大于2的根.10. 证明: 如果f (x )| f (x n ), 那么f (x )的根只能是0或单位根.证明: 设a 是f (x )的任一个根，由f (x ) | f (x n )知，a 也是f (x n )的根，即f (a n ) = 0, 所以a n 也是f (x )的一个根. 以此类推下去，则,......,,2n n ααα都是 f (x )的根.f (x )是一个次数有限的多项式，所以f (x )最多只可能有限个相异的根，于是必有()i jn ni j αα=>不妨设,01)(=--jn i njn αα, 0,1m x αα==则或或是的根.11. 如果f '(x ) | f (x )，证明f (x )有n 重根，其中n = ∂( f (x )).证明: 设a 1 , a 2,..., a s 是f ′(x )的s 个不同的根，且它们的重数分别为k 1 , k 2,..., k s ，由于f ′(x )是n −1次多项式，因而k 1 +k 2+...+ k s =n-1. 其次，由 f ′(x )|f (x ), a 1, a 2,..., a s 分别为f (x )的k 1 +1, k 2+1， ..., k s +1重根，但k 1 +1+k 2+1+...+ k s +1=n-1+s=n, 从而s =1. 这就是说，f ′(x )只可能有一个根1 a ，且重数为k 1= n −1.故f (x )有n 重根. 12. 设a 1, a 2,..., a n是n 个不同的数, 而).())(()(21n x x x x F ααα---=证明: 1);1)()()(1∑=='-ni ii F x x F αα2)对任意多项式f (x ),用F (x )除所得的余式为.)()()()(1∑='-ni ii i F x x F f ααα证明：1)∑=----='ni i n x x x x x F 121)()())(()(αααα ,所以)())(()()(111n i i i i i i i F ααααααααα----='+- .)())(()()())(()()()()(11111n i i i i i i n i i i i αααααααx αx x x F x x F --------='---- αααααα(=g i (x )). 则∂(g i (x ))≤ n −1, 且g i (a i )=1, g i (a j )=0, 当i ≠j . 所以∑=='-ni ii F x x F 11)()()(αα.2) 对于任意的多项式f (x )，用F (x )除得f (x ) = q (x )F (x ) + r (x ) (r (x ) = 0或∂(r (x ))≤n −1).当r (x )=0时，结论显然成立. 当∂(r (x ))≤n −1时，若令k (x )=∑='-ni ii i F x x F f 1)()()()(ααα, 则∂(k (x ))≤n −1，于是r (a i ) =f (a i ) = k (a i ) (i =1,2,...,n ), 所以r (x )=k (x )=∑='-ni ii i F x x F f 1)()()()(ααα.13. a 1, a 2,..., a n 与上题相同, b 1, b 2,..., b n 是任意数,显然∑='-=ni ii i F x x F b x L 1)()()()(αα适合条件L (a i )=b i , i =1,2,…,n. 这称为Lagrange 插值公式, 利用上面的插值公式求: 1) 一个次数<4的多项式f (x ), 它适合条件f (2)=3, f (3)=-1, f (4)=0, f (5)=2. 2)一个二次多项式f (x )，它在0,2π, π处与函数sin x 有相同的值. 3）一个次数尽可能低的多项式f (x )，使f (0) =1, f (1)=2, f (2)=5, f (3)=10.解: 1) 由Lagrange 插值公式: 取321(3)(4)(5)1()(124760)(23)(24)(25)6x x x l x x x x ---==--+----322(2)(4)(5)111()1920(32)(34)(35)22x x x l x x x x ---==-+----323(2)(3)(5)131()515(42)(43)(45)22x x x l x x x x ---==+++---324(2)(3)(4)1313()4(52)(53)(54)623x x x l x x x x ---==++----43212341217203()(())()30242326i i i f x l x f a l l l l x x x =∴==-+⋅+=-+-+∑2) 已知f (0) =sin 0=0， f (2π)=sin 2π=1, f (π)sin π=0. 设F (x )=x (x-2π)(x-π), 则得到)(4)(2ππ--=x x x f .3) 同理可得321(1)(2)(3)111()1(01)(02)(03)66x x x l x x x x ---==-+-+---,32(0)(2)(3)15()3(10)(12)(13)22x x x l x x x x ---==-+---,323(0)(2)(3)()23(20)(21)(23)2x x x x l x x x ---==-++---,324(0)(2)(3)111()(30)(31)(32)623x x x l x x x x ---==-+---,21234()()2()5()10()1f x l x l x l x l x x ∴=+++=+14. 设f (x )是一个整系数多项式, 试证: 如果f (0)和f (1)都是奇数, 则f (x )不能有整数根.证明: 设a 是f (x )的一个整数根，则f (x ) =(x −a ) f 1(x ), 由综合法知商式f 1(x )也为整系数多项式，于是f (0)=(0-a )f 1(0), f (1)=(1-a )f 1(1). 因为f (0)和f (1)都是奇数, 而(0-a )和(1-a )中必有一个偶数, 且都能整除f (0)和f (1), 这样得到偶数整除奇数, 矛盾. 所以f (x )不能有整数根.。

多项式计算练习题四道典型题步骤及答案F10

四道多项式计算练习题及其参考步骤1.已知(34x+21)(6x ²+mx+n)结果不含x ²项和x 项,求m,n 的值. 解：由多项式展开性质可知，先考虑x ²的项，有：34x*mx+21*6x ²=(34m+126)x ²;再考虑x 的项，有：34x*n+21*mx=(34n+21m)x.根据题意，不含x ²和x 项，则其系数为0，有：34m+126=0且34n+21m=0，即可求出m=-6317，n=1323578.2.若(5x-14)²=63，则代数式25x²-140x+78的值是多少？解：对已知条件进行平方展开，再根据所求表达式与条件的特征关系，有：25x²-140x+196=63，即25x²-140x=-133,所求代数式=25x²-140x+78=-133+78=-55.3.已知2x²-4x-13＝0，求代数式-2x³+21x+1974的值.解：已知2x²-4x-13＝0,则2x²=4x+13,此时所求代数式有：-2x³+21x+1974=-x(2x²)+21x+1974,=-x(4x+13)+21x+1974,=-4x²+(21-13)x+1974,=-(4x²-8x)+ 1974，=-2*13+1974，=1948.4.已知x²-17x-15=0,求代数式19x³-326x²-234x+47的值.解：使用多项式除法，来计算多项式在给定条件的值。

设19x³-326x²-234x+47=(x²-17x-15)(19x-m)+n,通过右边展开，对应项系数相等，可得：m=3，n=2,所以19x³-326x²-234x+47=(x²-17x-15)( 19x-3)+2,即：19x³-326x²-234x+47=0*(19x-3)+2=2.。

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