新人教版第24章圆基础知识反馈卡练习(7小节,含答案)
人教版九年级数学第24章 圆的有关性质 知识点精讲精练(含答案)
第二十四章 圆的有关性质知识点思维导图能力培养：符号意识、几何直观、推理能力、运算能力 【实战篇】知识点一：圆的有关概念 1. 圆的定义（1）描述性定义：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆. 其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.（2）集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合. 2. 圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆O ”. 3. 圆具有的特性（1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.注意：（1）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心（三点不共线）构成的三角A形都是等腰三角形.4. 圆的有关概念【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心、CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为______________.【例1】【解析】同一个圆中的所有半径都相等，所以在圆中“连半径”是常用的辅助线，本题先连接CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝5，所以半径BC＝CD＝5，又由已知AB＝10，利用勾股定理得出AC==【答案】 【巩固】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，∠ABC ＝65°，那么∠OCA 的度数是（ ） A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°2. 如图，在⊙O 中，下列说法不正确的是（ ） A. AB 是⊙O 的直径B. 有5条弦C. AD 和BD 都是劣弧，ABD 是优弧D. CO 是圆O 的半径【巩固答案】 1. A 2.B知识点二：垂直于弦的直径CB DAABBA1. 圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言：∵如图，CD 是直径，CD ⊥AB 于点M ，∴AM ＝BM ，AC ＝BC ，AD ＝BD .3. 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言：∵如图，CD 是直径，AM ＝BM （AB 不是直径），∴CD ⊥AB ，AC ＝BC ，AD ＝BD .【例2】如图，AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为5，BC ＝8，则AB 的长为（ ） A. 8B. 10C.34D. 54【例2】【解析】连接OB ，根据垂径定理求出BD ＝12BC ＝4，已知半径OB ＝5，在Rt △OBD中，由勾股定理求出OD3，所以AD ＝8，在Rt △ABD 中，再由勾股定理求出AB.【答案】D 【巩固】1. 下列说法不正确的是（ ）A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形B. 圆有无数条对称轴C. 圆的每一条直径都是它的对称轴D. 圆的对称中心是它的圆心2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为（ ） A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【巩固答案】 1. C 2. A知识点三：弧、弦、圆心角 1. 圆的旋转对称性圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 2. 圆心角的定义顶点在圆心的角叫做圆心角.如图：∠AOB 是AB 所对的圆心角，AB 是∠AOB 所对的弧. 注意：一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 弧、弦、圆心角之间的关系A【例3】如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ＝CD . 求证：AC ＝BD .【例3】【解析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AB ＝CD 得到AB ＝CD ，进而AB ＋BC ＝CD ＋BC ，即AC ＝BD ，所以AC ＝BD . 【答案】证明：∵AB ＝CD ∴AB ＝CD ，∴AB＋BC ＝CD ＋BC ， 即AC ＝BD ， ∴AC ＝BD . 【巩固】1. 如图，在⊙O 中，∠AOB ＝∠COD ，那么AC 和BD 的大小关系是（ ）A. AC ＞BDB. AC ＜BDC. AC ＝BDD. 无法确定D2. 如图，C 是⊙O 上的点，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD ＝CE ，则AC 与BC 的关系是（ ）A. AC ＝BCB. AC ＞BCC. AC ＜BCD. 不能确定【巩固答案】 1. C 2. A知识点四：圆周角 1. 圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：（1）圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交. （2）同一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 圆周角和圆心角的区别和联系3. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图，∠ACB ＝21∠AOB .4. 圆周角定理的推论推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2 （1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角； （2）90°的圆周角所对的弦是直径. 5. “五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【例4】如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上两点，∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（ ） A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°【例4】【解析】本题考查的是圆周角定理的两个推论，根据题意先连接AD ，根据圆周角定理的推论可知，∠A ＝∠BCD ＝40°，又由AB 为⊙O 的直径知∠ADB ＝90°，所以∠ABD ＝90°－∠A ＝50°. 故选B.【答案】B 【巩固】1. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠OAB ＝54°，则∠C 的度数为（ ） A. 54°B. 46°C. 36°D. 27°BAAB2. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，BC＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝___________.【巩固答案】1.C2.70°知识点五：圆内接多边形1.圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.注意：每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.【例5】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD ＝130°，则∠DCE的度数为（）A. 45°B. 50°C. 65°D. 75°【例5】【解析】根据圆周角定理求出∠A ＝12∠BOD ＝65°，再根据圆内接四边形的性质得出∠BCD ＝180°－∠A ＝115°，则∠DCE ＝180°－∠BCD ＝65°. 故选C. 【答案】C 【巩固】1. 如图，在⊙O 中，∠AOB ＝120°，P 为劣弧AB 上的一点，则∠APB 的度数是_____________.2. 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C ＝∠D. 问AB 与CD 有怎样的位置关系，请说明理由.【巩固答案】 1. 120° 2. 解：AB ∥CDB理由如下：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∵∠C＝∠D，∴∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD.。
第24章 圆章节知识点及习题及答案
第二十四章圆章节知识点思维导图：一、圆的有关性质（一）与圆有关的概念1、定义：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
4、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。
6、弦心距：从圆心到弦的距离叫弦心距。
7、同心圆、等圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
（二）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中心的中心对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
②圆心角定理（圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等；圆心角的度数与它所对的度数相等。
人教版九年级数学上册第二十四章圆测试题(含答案)(含知识点)
数学第二十四章圆测试题附参考答案时间：45分钟分数：100分一、选择题（每小题3分，共33分）1．（2005·资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的半径为（）A．2ba+B．2ba-C．22baba-+或D．baba-+或2．（2005·浙江）如图24—A—1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．80°C．160°D．120°4．如图24—A—2，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OBC的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°5．如图24—A—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位6．如图24—A—4，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°7．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．108．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m，母线长为3m，为防雨需图24—A—5图24—A—1 图24—A—2 图24—A—3 图24—A—4在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ）A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．512 C ．2 D ．3 11．如图24—A—7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、E 、F 、C 、G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ） A ．D 点 B ．E 点 C ．F 点 D ．G 点 二、填空题（每小题3分，共30分） 12．如图24—A —8，在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，则∠AOC= 。
第二十四章 圆单元小结—知识点+练习+检测课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
6.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为 ，OP=1，求BC的长
7.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．
本章知识框架
追忆往昔
圆
难点：（1）掌握垂径定理及其推论 （2）掌握圆心角及圆周角定理 （3）三角形的外接圆，内切圆的画法 （4）掌握弧长和扇形面积 （5）掌握切线的判断和应用
重点：掌握圆的有关概念、弧弦圆心角的关系、圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、圆内接四边形。
第二部分 拔高习题训练
1.如图1，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）A．40° B．50° C．65° D．75°
2.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，则该输水管的半径为（ ）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
教学反思
1.时间与课程安排 时间紧张，未系统串讲知识，应让学生先整理，教师再补充。课上没有足够时间订正学生不规范的书写过程。不能为赶课程让学生知识掌握不扎实，要留足够时间让学生消化知识 2.学生表现与问题 学生思路有了，但过程书写不够规范；学生综合应用面积公式计算圆柱表面积的正确率低
教学目标
1.帮助学生巩固圆的相关知识，能熟练运用圆的知识解决问题。 2.培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生复习、构建知识网络的能力。
教学重难点
九年级数学：第二十四章圆知识点及练习题(附答案)
《圆》章节知识点复习和练习附参考答案一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级数学上册 第二十四章 圆练习 (新版)新人教版
第二十四章 圆24．1 圆的有关性质24．1.1 圆01 基础题知识点1 圆的有关概念圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．如图，在圆O 中，弦有AC ，AB ，半径有OA ，OB ，OC ，直径是AB ，ABC ︵，CAB ︵是优弧，劣弧有AC ︵，BC ︵，半圆是AB ︵，OA ＝OB ＝OC ．1．下列条件中，能确定一个圆的是(C )A ．以点O 为圆心B ．以2 cm 长为半径C ．以点O 为圆心，以5 cm 长为半径D ．经过点A2．下列命题中正确的有(B )①弦是连接圆上任意两点的线段；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图所示，在⊙O 中，弦有AC ，AB ，直径是AB ，优弧有ABC ︵，CAB ︵，劣弧有AC ︵，BC ︵.第3题图 第4题图4．如图，在⊙O 中，点B 在⊙O 上，四边形AOCB 是矩形，对角线AC 的长为5，则⊙O 的半径长为5．知识点2 圆中的半径相等5．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C＝20°，则∠BOC 的度数是(A )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°第5题图 第6题图6．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠A BC ＝30°，那么∠BAD 等于(D )A ．45°B ．60°C ．90°D ．30°7．如图，在△ABC 中，BD ，CE 是两条高，点O 为BC 的中点，连接OD ，OE ，求证：B ，C ，D ，E 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上．证明：∵BD，CE 是两条高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°.∵△BEC 为直角三角形，点O 为BC 的中点， ∴OE ＝OB ＝OC ＝12BC.同理：OD ＝OB ＝OC ＝12BC.∴OB ＝OC ＝OD ＝OE.∴B，C ，D ，E 在以O 为圆心的同一个圆上．8．如图，AB ，AC 为⊙O 的弦，连接CO ，BO 并延长，分别交弦AB ，AC 于点E ，F ，∠B＝∠C.求证：CE ＝BF.证明：∵OB，OC 是⊙O 的半径， ∴OB ＝OC.又∵∠B ＝∠C，∠BOE ＝∠COF， ∴△EOB≌△FOC (ASA )． ∴OE ＝OF.∵CE ＝CO ＋OE ，BF ＝BO ＋OF ， ∴CE ＝BF.02中档题9．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°10．下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点在同一个圆上的有(B) A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为(B)A.2rB.3rC．rD．2r12．已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是0<AB≤12cm.13．如图，CE是⊙O的直径，AD的延长线与CE的延长线交于点B，若BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．解：设∠B＝x.∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x.∴∠ADO＝∠DOB＋∠B＝2x.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x.∵∠AOC＝∠A＋∠B，∴2x＋x＝114°.解得x＝38°.∴∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－4x＝180°－4×38°＝28°.14．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OBA＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)．∴OE＝OF.15．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE.∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∵∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E＝18°，∴∠OCE＝36°.∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°.03综合题16．如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，点P，Q为弧CB上的任意两点，作PE⊥CD，PF⊥AB，QM⊥CD，QN⊥AB，则线段EF，MN的大小关系为EF＝MN.(填“＜”“＞”或“＝”)24．1.2 垂直于弦的直径01 基础题知识点1 认识垂径定理(1)圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条；(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．图1如图1，在⊙O 中，点A 是圆上一点，OA⊥弦CD 于点B ，则BC ＝BD ，AC ︵＝AD ︵.1．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则CD 的长是(C )A ．3B ．2.5C ．2D ．1第1题图 第2题图2．(遵义仁怀市期末)如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB 于点E ，且CE ＝2，OB ＝4，则AB 的长为(D )A ．2 3B ．4C ．6D ．433．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M ，下列结论不一定成立的是(D )A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB第3题图 第4题图4．(黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为52．知识点2 垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图1，在⊙O 中，点A 是圆上一点，OA 与弦CD 交于点B ，且BC ＝BD ，则∠OBD＝90°，AC ︵＝AD ︵. 5．如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于(D )A．8 B．2 C．10 D．5第5题图第6题图6．如图，⊙O的弦AB＝8，P是劣弧AB的中点，连接OP交AB于C，且PC＝2，则⊙O的半径为5.知识点3垂径定理的应用7．(南宁中考)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为(A)A．40 cmB．60 cmC．80 cmD．100 cm8．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB 为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”9．下列说法正确的是(D)A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C．过弦的中点的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦02 中档题10．(黔东南中考)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6 cm，则AB的长为(B)A．4 cm B．3 2 cmC．2 3 cm D．2 6 cm第10题图第11题图11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16 cm，则球的半径为(B)A ．10 3 cmB ．10 cmC ．10 2 cmD ．8 3 cm12．如图，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，那么⊙O 的半径OA 长为5__cm .第12题图 第13题图13．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长为4．14．(遵义中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA＝45°，则弦CD 的长为14.15．(佛山中考)如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解：作直径MN⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4 cm.又∵⊙O 的直径为10 cm ，连接OA ，则OA ＝5 cm. 由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3 cm. ∴OP 的长度范围是3 cm≤OP≤5 cm.03 综合题16．(湖州中考)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图所示)．(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．解：(1)证明：过点O 作OE⊥AB 于点E. 则CE ＝DE ，AE ＝BE. ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC＝BD.(2)连接OA，OC.由(1)可知，OE⊥AB且O E⊥CD，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27. AE＝OA2－OE2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.24．1.3 弧、弦、圆心角01 基础题知识点1 认识圆心角圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心．顶点在圆心的角叫做圆心角． 如图，在⊙O 中，∠AOC 与∠ABC 中，是圆心角的是∠AOC ．1．如图所示，图中的圆心角(小于平角的)有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB＝60°.知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角⇔所对的弧相等⇔所对的弦也相等． 如图，∠AOB＝∠COD ⇔AB ︵＝CD ︵⇔AB ＝CD.3．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 为半圆周上的一点，且AD ︵所对圆心角的度数是BD ︵所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD 的度数为60°.第3题图 第4题图4．(兰州中考)如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(A )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°5．(贵港中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD＝34°，则∠AEO 的度数是(A )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°第5题图 第6题图6．如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，则∠B＝(B )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°7．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵，求证：BE ＝CE.证明：∵∠BOE ＝∠AOD， ∴BE ︵＝AD ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错8．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B )A ．AB >CD B ．AB ＝CDC ．AB <CD D ．不能确定02 中档题9．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C ，F ，则下列说法中正确的个数为(D )①∠DOE ＝∠AOB ；②AB ︵＝DE ︵；③OF ＝OC ；④AC ＝EF .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知⊙O 中，M 为AB ︵的中点，则下列结论正确的是(C )A ．AB ＞2AM B ．AB ＝2AMC ．AB ＜2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定11．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME⊥AB 于点E ，NF⊥AB 于点F.下列结论：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME＝NF ；③AE＝BF ；④ME＝2AE.其中正确结论的序号是①②③．12．如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.证明：连接AF.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠GAE ＝∠B， ∠EAF ＝∠AFB.又∵AB，AF 为⊙A 的半径，AB ＝AF ， ∴∠B ＝∠AFB. ∴∠GAE ＝∠EAF. ∴GE ︵＝EF ︵.13．(教材9上P84例3变式)如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°.(1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .解：(1)△AOC 是等边三角形． ∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵AC ︵＝CD ︵，∴OC⊥AD.∵∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD )＝60°. ∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形． ∴∠ODB ＝60°.∴∠ODB ＝∠COD ＝60°. ∴OC∥BD.03 综合题14．如图，∠AOB＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，连接AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝BF ＝CD.证明：连接AC ，BD.∵AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝13∠AOB ＝13×90°＝30°，AC ＝CD ＝BD.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠ABO ＝45°.∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. ∵在△AOC 中，OA ＝OC ，∴∠ACO ＝180°－∠AOC 2＝180°－30°2＝75°.∴∠AEC ＝∠ACO.∴AE ＝AC. 同理BF ＝BD. ∴AE ＝BF ＝CD.24.1.4 圆周角第1课时 圆周角定理及其推论01 基础题知识点1 圆周角定理(1)顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角，图中是圆周角的是∠ABC ；(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，在⊙O 中，∠ABC＝12∠AOC.1．(遵义桐梓县期末)如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB＝50°，则∠AOB 的度数为(B )A ．50°B ．100°C ．25°D ．70°第1题图 第2题图2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA＝50°，则∠C 的度数为(B )A ．30°B ．40°C ．50°D ．80°3．(柳州中考)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A )A ．∠2B ．∠3C ．∠4D ．∠5第3题图 第4题图4．(娄底中考)如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A 、B 两点，P 是优弧AB 上任意一点(与A ，B 不重合)，则∠APB＝30°．知识点2 圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．如图，在⊙O 中，若AB ＝CD ，则∠ACB＝∠DAC ；若AD 是直径，则∠ACD＝90°；若∠ACD＝90°，则AD 是直径．5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A＝35°，则∠B 的度数是(C )A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°第5题图 第6题图6．(绍兴中考)如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB＝60°，则∠BD C 的度数是(D )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC＝50°，则∠AEC 的度数为(A )A ．65°B ．75°C ．50°D ．55°第7题图 第8题图8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D＝40°，则∠CAB 的度数为50°.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错9．已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦AB 所对的圆周角的度数为30°或150°．02 中档题10．(广州中考)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(D )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BAD第10题图 第11题图11．(遵义仁怀市期末)如图，AB ︵是半圆，连接AB ，点O 为AB 的中点，点C ，D 在AB ︵上，连接AD ，CO ，BC ，BD ，OD.若∠COD＝62°，且AD∥OC，则∠ABD 的大小是(B )A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°12．(南昌中考)如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B 的度数为(D )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°第12题图 第13题图13．(贵阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BOD＝130°，AC∥OD 交⊙O 于点C ，连接BC ，则∠B＝40度．14．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为(0，23)．第14题图 第15题图15．(遵义道真县月考改编)如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AP⊥BC 于点P ，AM 为⊙O 的直径．若∠BAM＝15°，则∠CAP＝15°.16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)证明：连接AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线．∴AB ＝AC. 又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC. ∴△ABC 为等边三角形． (2)连接BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点． 又∵D 是BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE ＝12AB ＝12×2＝1.03 综合题17．(东营中考)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为8__cm.第2课时圆内接四边形01 基础题知识点圆内接四边形的性质如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆，圆内接四边形的对角互补．如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝180°.1．如图所示，图中∠A＋∠C＝(B)A．90° B．180°C．270° D．360°第1题图第2题图2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B) A．115° B．105° C．100° D．95°3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(D)A．1∶2∶3∶4 B．1∶3∶2∶4C．4∶2∶3∶1 D．4∶2∶1∶34．(娄底中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．第4题图第5题图5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，D是弧AC的中点，则∠DAC的度数是30度．6．圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x°，x°，7x°，8x°，则2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.2x＝40，7x＝140，8x＝160.答：这个四边形各内角的度数分别为40°，20°，140°，160°.7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠ACD －∠D ＝180°－25°－130°＝25°. ∴∠DAC ＝∠ACD. ∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠D AC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°， ∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB 是⊙O 的直径．易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误8．(来宾中考)如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．02 中档题9．(广东中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，DA ＝DC ，∠CBE＝50°，则∠DAC 的大小为(C )A ．130°B ．100°C ．65°D ．50°10．(聊城中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E 的度数为(B )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°第10题图 第11题图11．(南京中考)如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°．12．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO ＝120°.求⊙C 的半径．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.13．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD ＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.(1)求证：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C ＋∠CFD＝110°.03 综合题14．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．解：(1)证明：∵∠DCE ＝∠BCF，∠E ＝∠F，又∵∠ADC ＝∠E ＋∠DCE，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF， ∴∠ADC ＝∠ABC.(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC， ∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°. ∴∠ADC ＝90°.在Rt△ADF 中，∠A ＝90°－∠F ＝90°－42°＝48°. (3)连接EF.∵四边形ABCD 为圆的内接四边形， ∴∠ECD ＝∠A.∵∠ECD ＝∠CEF ＋∠CFE， ∴∠A ＝∠CEF ＋∠CFE.∵∠A ＋∠CEF ＋∠CFE ＋∠DEC ＋∠BFC ＝180°， ∴2∠A ＋α＋β＝180°. ∴∠A ＝90°－α＋β2.小专题7 圆周角定理——教材P90T14的变式与应用【教材母题】 如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.判断△ABC 的形状，并证明你的结论．解：△ABC 为等边三角形．证明：∵∠APC ＝∠ABC，∠CPB ＝∠BAC， 又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°. ∴∠ACB ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．【问题延伸1】 求证：PA ＋PB ＝PC.证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD ，如图， ∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形．∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，∠ADC ＝120°. ∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°， ∴∠ADC ＝∠APB.在△APB 和△ADC 中，⎩⎨⎧∠ABP ＝∠ACD，∠APB ＝∠ADC，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS )． ∴BP ＝CD.又∵PD ＝AP ，∴PA ＋PB ＝PC.证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短”法，具体做法是：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．【问题延伸2】 若BC ＝23，点P 是AB ︵上一动点(异于点A ，B)，求PA ＋PB 的最大值．解：由上题知PA ＋PB ＝PC ，要使PA ＋PB 最大，则PC 为直径，作直径BG ，连接CG.∴∠G ＝∠BAC ＝60°，∠BCG ＝90°.∵BC ＝23，∴BG ＝4.即PA ＋PB 的最大值为4.直径是圆中最长的一条弦，在求最值的问题中经常用到这一结论．1．如图，四边形APBC 是圆内接四边形，延长BP 至E ，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．解：△ABC 是等腰三角形，理由：∵四边形APBC 是圆内接四边形， ∴∠EPA ＝∠ACB.∵∠EPA ＝∠CPA，∠CPA ＝∠ABC， ∴∠ACB ＝∠ABC. ∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．2．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD.解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠APC ＝60°，∠BAC ＝∠APC ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形． (2)连接OB ，OC.可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°.∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4.3．(广州中考改编)如图，点A ，B ，C ，D 在同一个圆上，且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.(1)求证：BD 是该圆的直径；(2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD.证明：(1)∵AB ︵＝AB ︵，∴∠ACB ＝∠ADB ＝45°. ∵∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝90°.∴BD 是该圆的直径．(2)在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接EA ， ∵∠ABD ＝∠ADB，∴AB ＝AD.∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE，BC ＝DE ，∴△ABC≌△ADE (SAS )． ∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∵AD ︵＝AD ︵，∴∠ACD ＝∠ABD ＝45°. ∴△CAE 是等腰直角三角形． ∴2AC ＝CE.∴2AC ＝DE ＋CD ＝BC ＋CD.小专题8 与圆的性质有关的计算与证明类型1 求角度1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点E ，AB ＝2CE ，∠E＝25°，则∠BOD＝75°．2．(南京中考)如图，A ，B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点(P 不与A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．(1)若AB 是⊙O 的直径，则∠APB 的度数是90°；(2)若⊙O 的半径是1，AB ＝2，则∠APB 的度数是45°或135°__．3．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB 的度数为100°．第3题图 第4题图4．(永州中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ︵的中点，点E 是BC ︵上的一点．若∠CED＝40°，则∠ADC＝100度．5．(南京中考)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝27°．类型2 求长度6．(黔东南中考)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A＝15°，半径为2，则弦CD 的长为(A )A ．2B ．－1C. 2D ．4第6题图第7题图7．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为213__．8．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2 3 cm.第8题图第9题图9．如图，AB，AC，AD为⊙O的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB＝4，AD＝6，则CD的长为13．10．(十堰中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝52，则BC的长为8．24.2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系01 基础题知识点1点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：(1)点P在圆外⇨d>r；(2)点P在圆上⇨d＝r；(3)点P在圆内⇨d＜r．1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(C) A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定2．(遵义中考模拟)已知⊙O半径为6，点P在⊙O内，则OP长可能是(A)A．5 B．6 C．7 D．83．已知⊙O半径为3 cm，点P到圆心O的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上．4．已知⊙O的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP＞6__cm．5．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系．(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.解：(1)在圆内．(2)在圆上．(3)在圆外．知识点2三角形的外接圆与外心不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形外接圆的圆心叫外心，它是三角形三条边垂直平分线的交点；一个三角形的外接圆有1个，一个圆的内接三角形有无数个．6．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是(C)A．三角形的外心在三角形外B．三角形的外心到三边的距离相等C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．等腰三角形的外心在三角形内7．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．第7题图第8题图8．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．知识点3反证法反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．9．用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设平行于同一条直线的两条直线相交成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．10．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.易错点概念不清11．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④圆有且只有一个内接三角形．其中正确的是②(填序号)．02 中档题12．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有实数根，则点P(D) A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部13．用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”应该先假设(A)A．两条直线相交至少有两个交点B．两条直线相交没有两个交点C．两条直线平行时也有一个交点D．两条直线平行没有交点14．如图，在△ABC中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半径至少为3cm的圆形纸片所覆盖．15．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°或150°．16．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，斜边AB边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以R1＝2，R2＝2.4，R3＝3为半径作⊙C1，⊙C2，⊙C3，试判断点D与这三个圆的位置关系．解：由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝5，由面积公式，得CD＝2.4，∴d＝CD＝2.4.∴d>R1，d＝R2，d<R3.∴点D在⊙C1的外部，在⊙C2上，在⊙C3的内部．17．如图，已知，△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°.(1)求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆；(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)(2)综合应用：在你所作的圆中，求∠AOB的度数．解：(1)如图．作法：分别作边AB，AC的垂直平分线GH，EF，交于点O，以O为圆心，以OA为半径的圆就是△ABC的外接圆．(2)在优弧AB上取一点D，连接DA，DB.∵∠CAB＝25°，∠CBA＝40°，∴∠C＝180°－∠CAB－∠CBA＝115°.∵四边形CADB是圆的内接四边形，∴∠ADB＝180°－∠C＝180°－115°＝65°.∴∠AOB＝2∠ADB＝130°.24．2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系01 基础题知识点1 直线与圆的位置关系的判定如图，直线l 与⊙O 有三种位置关系：(1)图1中直线l 与⊙O 相交，有两个公共点，这条直线叫做圆的割线．图1 图2 图3(2)图2中直线l 与⊙O 相切，有1个公共点，这条直线叫做圆的切线． (3)图3中直线l 与⊙O 相离，无公共点．1．(梧州中考)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是(D )A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交3．(张家界中考)如图，∠O＝30°，C 为OB 上一点，且OC ＝6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是(C )A ．相离B ．相交C ．相切D ．以上三种情况均有可能4．⊙O 的半径为6，一条弦长63，以3为半径的同心圆与这条弦的关系是(A )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交5．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm . 解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D. ∵AB ＝4，BC ＝2，∴AC ＝2 3. 又∵S △ABC ＝12AB·CD ＝12BC·AC，∴CD ＝BC·ACAB ＝ 3.(1)r ＝1.5 cm 时，相离． (2)r ＝ 3 cm 时，相切． (3)r ＝2 cm 时，相交．知识点2 直线与圆的位置关系的性质已知⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，根据直线和圆相交，相切，相离的定义，可以得到： (1)直线l 与⊙O 相交⇔d ＜r ；(2)直线l 与⊙O 相切⇔d ＝r ；(3)直线l 与⊙O 相离⇔d ＞r.6．设⊙O 的半径为4，点O 到直线a 的距离为d ，若⊙O 与直线a 至多只有一个公共点，则d 的取值范围为(C )A ．d ≤4B ．d ＜4C ．d ≥4D ．d ＝47．(益阳中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为(B )A ．1B ．1或5C ．3D ．58．(西宁中考)⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，R ，d 是方程x 2－4x ＋m ＝0的两根，当直线l 与⊙O 相切时，m 的值为4．9．如图，在Rt △ABC 中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO ＝x ，⊙O 的半径为2，求当x 在什么范围内取值时，AB 所在的直线与⊙O 相交，相切，相离？解：过点O 作OD⊥AB，垂足为D.∵∠A ＝90°，∠C ＝60°，∴∠B ＝30°. ∴OD ＝12OB ＝12x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时，OD ＝r ＝2.∴BO ＝4.∴0<x<4时，相交；x ＝4时，相切；x>4时，相离．易错点 题意理解不清10．已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交．02 中档题11．(遵义汇川月考)如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，BC ＝4 cm ，以B 为圆心，2 cm 长为半径作圆，则⊙B与AC的位置关系是(B)A．相离B．相切C．相交D．外切12．(百色中考)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(D) A．0≤b<2 2 B．－22≤b≤2 2C．－23<b<2 3 D．－22<b<2213．(铜仁模拟)已知如图，∠BOA＝30°，M是OB上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M，点M在射线OB上运动，当OM＝5 cm时，⊙M与直线OA的位置关系是相离．第13题图第14题图14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于点N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP.若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是相交．15．如图所示，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．(1)当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标；并判断此时y轴与⊙P的位置关系；(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标；并判断此时x轴与⊙P的位置关系；(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．解：(1)∵⊙P的圆心在直线y＝2x－1上，∴圆心坐标可设为(x，2x－1)．当⊙P和x轴相切时，2x－1＝2或2x－1＝－2，解得x1＝1.5，x2＝－0.5.∴P1(1.5，2)，P2(－0.5，－2)．∵1.5<2，|－0.5|<2，∴y轴与⊙P相交．(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2.得2x－1＝3或2x－1＝－5.∵|－5|>2，3>2，∴x轴与⊙P相离．(3)不能．∵当x＝2时，y＝3，当x＝－2时，y＝－5，|－5|≠2，3≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切．03 综合题16．(永州中考)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：(1)当d＝3时，m＝1；(2)当m＝2时，d的取值范围是1＜d＜3．第2课时切线的判定与性质01 基础题知识点1切线的判定经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，∵AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．1．下列说法中，正确的是(D)A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线2．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD.判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由．解：PD是⊙O的切线．理由如下：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB.∵∠PDA＝∠PBD，∴∠ADO＋∠PDA＝90°，即∠PDO＝90°.又∵直线PD经过⊙O半径的外端，∴PD是⊙O的切线．知识点2切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径．3．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB 的长为(B )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2第3题图 第4题图4．(黔南中考)如图，已知直线AD 是⊙O 的切线，点A 为切点，OD 交⊙O 于点B ，点C 在⊙O 上，且∠ODA＝36°，则∠ACB 的度数为(D )A ．54°B ．36°C ．30°D ．27°5．如图，PA 切⊙O 于A ，PO 交⊙O 于B ，若PA ＝6，PB ＝3，则⊙O 的半径是(C )A ．5B ．4C ．4.5D ．3.5第5题图 第6题图6．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心，若∠B＝25°，则∠C 等于40°. 7．(济南中考)如图，AB 与⊙O 相切于点C ，∠A＝∠B，⊙O 的半径为6，AB ＝16.求OA 的长．解：连接OC.∵AB 与⊙O 相切于点C ， ∴OC⊥AB.∵∠A ＝∠B，∴OA ＝OB. ∴AC ＝BC ＝12AB ＝8.∵OC ＝6，∴OA ＝62＋82＝10.易错点 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC ，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P 的坐标为(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)．02 中档题9．(教材9上P 101习题T 5变式)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为(C )。
人教版九年级数学上24章《圆》基础测试(含答案及解析)
人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）1 / 12《圆》基础测试题时间：90分钟 总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 下列语句正确的个数是过平面上三点可以作一个圆；平分弦的直径垂直于弦；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 生活中处处有数学，下列原理运用错误的是A. 建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理B. 修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理C. 测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理D. 将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理3. 下列说法错误的是( )A. 圆有无数条直径B. 连接圆上任意两点之间的线段叫弦C. 过圆心的线段是直径D. 能够重合的圆叫做等圆4. 下列说法中，正确的是A. 弦是直径B. 半圆是弧C. 过圆心的线段是直径D. 圆心相同半径相同的两个圆是同心圆5. 如图，在 中， ， ，以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，连接CD ，则A.B.C.D.6. 下列判断中正确的是 A. 长度相等的弧是等弧B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦7. 下列说法： 平面上三个点确定一个圆； 等弧所对的弦相等； 同圆中等弦所对的圆周角相等； 三角形的内心到三角形三边的距离相等，其中正确的共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条9. 中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了A. 一倍B. 二倍C. 三倍D. 四倍10.下列说法：弧分为优弧和劣弧；半径相等的圆是等圆；过圆心的线段是直径；长度相等的弧是等弧；半径是弦，其中错误的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，小量角器的刻度线在大量角器的刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为______ 只考虑小于的角度12.下列说法：直径是弦；经过三点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；长度相等的弧是等弧；平分弦的直径垂直于弦其中正确的是______ 填序号．13.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为______．14.如图，点A，B，C均在的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为______．15.半径为5的中最大的弦长为______ ．16.圆是中心对称图形，______ 是它的对称中心．17.已知点P到的最近距离是3cm、最远距离是7cm，则此圆的半径是______ ．18.如图，AB为的直径，，，则______ ．19.中若弦AB等于的半径，则的形状是______ ．20.已知中最长的弦为16cm，则的半径为______ cm．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）21.如图所示，AB为的直径，CD是的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知，求的度数．人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）3 / 1222. 如图， 中， ，点D 为BC 上一点，且，过A 、B 、D 三点作圆O ，AE 是圆O 的直径，连接DE ．求证：AC 是圆O 的切线；若 ， ，求AE 的长．四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）23. 如图，在平面直角坐标系内，已知点 ，， ．求 的外接圆的圆心点M 的坐标；求 的外接圆在x 轴上所截弦DE 的长．24.已知：如图，中，，．尺规作图：求作的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；求中所求作的圆的面积．25.已知，直线l经过的圆心O，且与交于A、B两点，点C在上，且゜，点P是直线l上的一个动点与O不重合，直线CP与交于点Q，且．如图1，当点P在线段AO上时，求的度数．如图2，当点P在OA的延长线上时，求的度数．如图3，当点P在OB的延长线上时，求的度数．26.如图，已知同心圆O，大圆的半径AO、BO分别交小圆于C、D，试判断四边形ABDC的形状并说明理由．人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）5 / 12答案和解析【答案】1. A2. A3. C4. B5. A6. C7. B8. A9. C10. C11.12.13.14. 515. 1016. 圆心17. 5cm或2cm18.19. 等边三角形20. 821. 解：连接OD，如图，，而，，，，而，，．22. 证明：，，，，由圆周角定理得，，是圆O的直径，，即，，即，是圆O的切线；取AC的中点H，连接DH，，，在中，，，，，，，∽ ，，即，解得，．23. 解：，，线段BC的垂直平分线是，人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）7 / 12 ， ，线段AC 的垂直平分线是 ，的外接圆的圆心M 的坐标为： ；连接OM ，作 于N ，由题意得， ， ，由勾股定理得， ，则 ，由垂径定理得， ．24. 解： 如图所示， 即为所求作的圆．连接OA ，OC ．， ，，是等边三角形，圆的半径是3，圆的面积是 ．25. 解： 如图1，设 ，， ，， ，由三角形的外角性质， ，在 中， ，解得 ，即 ；如图2，设 ，，，，， 由三角形的外角性质， ，，解得 ，；如图3，设 ，，，，，由三角形的外角性质，，解得，．26. 证明：，，四边形ABDC是梯形，即：四边形ABDC是等腰梯形．【解析】1. 解：过平面上不在同一直线上的三点可以作一个圆，错误；平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，错误；三角形的内心到三角形各边的距离相等，正确，正确的有1个，故选A．利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项；本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质等知识，解题的关键是能够了解有关的定义及定理，难度不大．2. 解：A、错误建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点确定一条直线”的原理；B、正确修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理；C、正确测量跳远成绩的依据是垂线段最短；D、正确将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理；故选：A．A、这是一道关于两点确定一条直线的应用的题目；B、根据三角形的稳定性进行判断；C、利用点到直线的距离中垂线段最短判断即可；D、根据圆的有关性质进行解答．本题考查了圆的认识、三角形的稳定性、确定直线的条件等知识，解题的关键是熟练掌握这些定理，难度不大．3. 解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．本题考查圆的认识，学习中要注意区分：弦与直径，弧与半圆之间的关系．4. 解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；B、半圆是弧，正确；C、过圆心的弦是直径，故错误；D、圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，故选B．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大．人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）5. 解：，，，，，；故选：A．先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余．本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．6. 解：A、等弧是能重合的两弧，长度相等的弧不一定是等弧，故选项错误；B、平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧，注意被平分的弦不是直径，故选项错误；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，正确，故选项正确；D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故选项错误．故选C．利用等弧的定义以及垂径定理和垂径定理的推论即可作出判断．本题考查了等弧的概念和垂径定理的推论，理解垂径定理的内容是关键．7. 解：平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以错误；等弧所对的弦相等，所以正确；同圆中等弦所对的圆周角相等或互补，所以错误；三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以正确．故选B．根据确定圆的条件对进行判断；根据圆心角、弦、弧的关系对进行判断；根据圆周角定理和圆内接四边形的性质对进行判断；根据三角形内心的定义对进行判断．本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆也考查了圆心角、弧、弦的关系此题比较简单，注意掌握定理的条件在同圆或等圆中是解此题的关键．8. 解：圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条．故选A．由于直径是圆的最长弦，经过圆心的弦是直径，两点确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条．本题考查了直径和弦的关系，直径是弦，弦不一定是直径，直径是圆内最长的弦．9. 解：设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R，则增加的面积是，即增加了3倍．故选C．根据圆的半径的计算公式即可解决．能够根据圆面积公式计算增加后的面积．10. 解：根据半圆也是弧，故此选项错误，符合题意；由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，故此选项正确，不符合题意；过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，符合题意；长度相等的弧不一定是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，符合题意；半径不是弦，故此选项错误，符合题意；故选：C．利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键．9 / 1211. 解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则，，因而，在小量角器中弧PB所对的圆心角是，因而P在小量角器上对应的度数为．故答案为：；设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为利用三角形的内角和定理求出的度数然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．本题主要考查了直径所对的圆周角是90度能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．12. 解：：直径是弦，所以正确；经过不共线的三点一定可以作圆，所以错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，所以正确；能够完全重合的弧是等弧，所以错误；平分弦非直径的直径垂直于弦．故答案为．根据直径的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断；根据三角形外心的性质对进行判断；根据等弧的定义对进行判断；根据垂径定理的推论对进行判断．本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆也考查了圆的认识和垂径定理．13. 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是．故答案为：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．14. 解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）11 / 12 15. 解：半径为5的 的直径为10，则半径为5的 中最大的弦是直径，其长度是10．故答案是：10．直径是圆中最大的弦．本题考查了圆的认识 需要掌握弦的定义．16. 解：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．故答案为：圆心．根据圆的定义即可得出结论．本题考查的是圆的认识，熟知圆是中心对称图形是解答此题的关键．17. 解：当点P 在圆内时，点P 到圆的最大距离与最小距离的和为10cm ，就是圆的直径，所以半径是5cm ．当点P 在圆外时，点P 到圆的最大距离与最小距离的差为4cm ，就是圆的直径，所以半径是2cm ．故答案是：5cm 或2cm ．当点P 在圆内时，点P 到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径 当点P 在圆外时，点P 到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径 知道了直径就能确定圆的半径． 本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定圆的半径．18. 解： ，，，，又 ，．故答案为： ．根据半径相等和等腰三角形的性质得到 ，利用三角形内角和定理可计算出 ，然后根据平行线的性质即可得到 的度数．本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等 也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．19. 解：如图， ，为等边三角形．故答案为等边三角形．根据圆的半径相等和等边三角形的判定方法进行判断．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等 也考查了等边三角形的判定．20. 解： 中最长的弦为16cm ，即直径为16cm ，的半径为8cm ．故答案为：8．最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．圆中的最长的弦就是直径，是需要熟记的．21. 连接OD ，如图，由 ， 得到 ，根据等腰三角形的性质得 ，再利用三角形外角性质得到 ，加上 ，然后再利用三角形外角性质即可计算出 ．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等 也考查了等腰三角形的性质．22. 根据等腰三角形的性质、圆周角定理证明 ，根据切线的判定定理证明；取AC的中点H，连接DH，根据等腰三角形的三线合一得到，根据余弦的定义求出CD，根据勾股定理求出DH，根据相似三角形的判定和性质计算．本题考查的是切线的判定定理、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、切线的判定定理是解题的关键．23. 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答；连接OM，作于N，根据勾股定理求出DN，根据垂径定理求出DE．本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握三角形的外心的概念、垂径定理的应用是解题的关键．24. 此题主要是确定三角形的外接圆的圆心，根据圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行作图：作线段AB的垂直平分线；作线段BC的垂直平分线；以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．连接OA，先证明是等边三角形，从而得到圆的半径，即可求解．本题考查了作图复杂作图，掌握三角形的外接圆的作法三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个．25. 设，根据等边对等角可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可；设，根据等边对等角可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后列出方程求出x，再根据邻补角的定义列式计算即可得解；设，根据等边对等角可得，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后求出x，从而得解．本题是圆的综合题型，主要利用了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，读懂题目信息，作出图形更形象直观．26. 首先判断，然后利用半径相等证得其腰相等即可说明其是等腰梯形．本题考查了圆的认识及等腰梯形的判定，解题的关键是了解等腰梯形的判定方法．。
新人教版第二十四章圆课文练习及答案
第二十四章圆24．1圆的有关性质第1课时圆和垂直于弦的直径1．下列说法正确的是()A．直径是弦，弦是直径B．半圆是弧C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径D．长度相等两条弧是等弧2．下列说法错误的有()①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm且经过点P 的圆有无数个；④以点P为圆心，以3 cm为半径的圆有无数个．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图24-1-8，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为()A．2 cm B. 3 cm C．2 3 cm D．2 5 cm图24-1-8 图24-1-94．如图24-1-9，在⊙O中，弦AB垂直于直径CD于点E，则下列结论:①AE＝BE；②AC＝BC；③AD＝BD；④EO＝ED.其中正确的有()A．①②③④B．①②③C．②③④D．①④5．如图24-1-10，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则弦长AB＝________.图24-1-10 图24-1-11 6．如图24-1-11，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，其大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和________(结果保留π)．7．如图24-1-12，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交BC于点D.(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．图24-1-128．平面内的点P到⊙O上点的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O的面积为__________．9．如图24-1-13，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4 cm和10 cm两段．(1)求圆心O到CD的距离；(2)若⊙O半径为8 cm，求CD的长是多少？图24-1-1310．如图24-1-14，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE.(1)若∠E＝2020求∠AOC的度数；(2)若∠E＝α，求∠AOC的度数．图24-1-14第2课时弧、弦、圆心角和圆周角1．下列说法中，正确的是()A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等2．如图24-1-24，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数为()A．50°B．40°C．30°D．25°图24-1-24 图24-1-25 3．如图24-1-25，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝()A．40°B．50°C．60°D．120204．如图24-1-26所示，A，B，C，D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°.则∠D＝______.图24-1-26 图24-1-275．在半径为5 cm的⊙O中，60°的圆心角所对的弦长为________cm.6．如图24-1-27，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是________．7．如图24-1-28，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝50°.求∠A的度数．图24-1-288．一个圆形人工湖如图24-1-29所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100 m ，测得圆周角∠ACB ＝45°，则这个人工湖的直径AD 为( )图24-1-29 A ．50 2 m B ．100 2 m C ．150 2 m D ．2020 2 m9．如图24-1-30，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，连接BC .(1)求证:OD ＝12BC ； (2)若∠BAC ＝40°，求∠AOC 的度数．图24-1-3010．如图24-1-31，AB 是⊙O 的直径，点C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，BD 交CE 于点F .(1)求证:CF ＝BF ；(2)若CD ＝6, AC ＝8，求⊙O 的半径及CE 的长．图24-1-3124．2点和圆、直线和圆的位置关系第1课时点和圆的位置关系1．已知⊙O的半径为5，点A为线段OP的中点，当OP＝10时，点A与⊙O的位置关系是()A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定2．如图24-2-2，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，则它的外心与顶点C的距离为()图24-2-2A．2.5 B．2.5 cmC．3 cm D．4cm3．下列四个命题中，正确的个数是()①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图24-2-3，⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为()图24-2-3A. 3B. 5 C．2 3 D．2 55．经过一点P可以作______个圆；经过两点P，Q可以作________ 个圆，圆心在__________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，圆心是__________的交点．6．如图24-2-4，在△ABC中，已知AB＝AC，点O是其外心，BC＝8 cm，点O到BC 的距离OD＝3 cm，求△ABC外接圆的半径．。
第24章圆章节知识点及习题及答案
第24章圆章节知识点及习题及答案第⼆⼗四章圆章节知识点思维导图：⼀、圆的有关性质（⼀）与圆有关的概念1、定义：在⼀个平⾯内线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆⼼的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意⼀条直径的两个端点把圆分成两条弧，每⼀条弧都叫做半圆，⼤于半圆的弧叫优弧；⼩于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫⼸形。
4、圆⼼⾓：我们把顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓。
5、圆周⾓：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的⾓叫做圆周⾓。
注意：在圆中，同⼀条弦所对的圆周⾓有⽆数个。
6、弦⼼距：从圆⼼到弦的距离叫弦⼼距。
7、同⼼圆、等圆：圆⼼相同，半径不相等的两个圆叫同⼼圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。
（⼆）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何⼀条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中⼼的中⼼对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为⼀个圆和⼀条直线具备下⾯五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平⾏弦所夹的弧相等。
人教版九年级数学第24章 圆的有关计算 知识点精讲精练(含答案)
第二十四章圆的有关计算【导航篇】知识点一：点和圆、直线和圆的位置关系1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系分三种（设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d）:注意：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.2. 确定一个圆的条件（1）已知圆心、半径，可以确定一个圆；（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.注意：“确定”是“有且只有”的意思，（2）中不能忽略“不在同一条直线上”这个前提条件，过在同一条直线上的三个点不能作圆.3. 三角形的外接圆（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.注意：一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.（2）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.（3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.（4）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.4. 反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明命题的方法.5. 直线和圆的位置关系【例1】如图，已知正方形ABCD 中，AB ＝2，以点A 为圆心画圆，半径为r . 当点D 在⊙A 内且点C 在⊙A 外时，r 的取值范围是____________.【例1】【解析】连接AC ，∵正方形ABCD 中，AB ＝2，∴AC＝，AD ＝2，以点A为圆心画圆，要使点D 在⊙A 内，则r ＞AD ，即r ＞2，要使点C 在⊙A 外，则r ＜AC ，即r ＜A 的半径r 的取值范围是2＜r ＜.【答案】2＜r ＜ 【巩固】1. 圆的直径为10 cm ，若点P 到圆心O 的距离是d ，则（ ） A. 当d ＝8 cm 时，点P 在⊙O 内 B. 当d ＝10 cm 时，点P 在⊙O 上 C. 当d ＝5 cm 时，点P 在⊙O 上 D. 当d ＝6 cm 时，点P 在⊙O 内2. 已知⊙O 的直径为12 cm ，圆心到直线l 的距离5 cm ，则直线l 与⊙O 的公共点的个数为（ ）A. 2B. 1C. 0D. 不确定3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ＝5，D 是AB 的中点，则它的外接圆的直径DCBAABCD为_____________.【巩固答案】 1. C 2. A 3. 10知识点二：切线的判定和性质1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径. 2. 切线的判定方法（1）定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； （2）数量法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.【例2】如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，过点B 作BD ⊥CD ，垂足为点D ，连接BC ，BC 平分∠ABD . 求证：CD 为⊙O 的切线.【例2】【解析】证明切线的方法：①当已知直线与圆有公共点时，连接圆心和这个公共点，即连半径，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；②当直线与圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，CDAB本题利用方法①证明即可，因为半径OC已连接，所以只要证明OC⊥CD，利用等腰三角形的性质、平行线的性质和判定即可得证.【答案】证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∴∠OCD＋∠CDB＝180°，∵BD⊥CD，∴∠CDB＝90°，∴∠OCD＝180°－∠CDB＝180°－90°＝90°.即OC⊥CD，又∵OC为半径，∴CD为⊙O的切线.【巩固】1.下列说法中，不正确的是（）A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线D. 垂直于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA 的度数为（）A. 76°B. 56°C. 54°D. 52°A1.D2.A知识点三：切线长定理和三角形的内切圆1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.4.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.5.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.【例3】如图，P A、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是（）A.P A＝PBB. ∠BPD＝∠APDC. AB⊥PDD. AB平分PD【例3】【解析】因为P A、PB为⊙O的切线，由切线长定理可知P A＝PB，∠BPD＝∠APD，所以A、B选项成立；在等腰三角形ABP中，根据等腰三角形的性质得到AB⊥PD，所以C选项成立，只有当AD∥PB，BD∥P A时，AB平分PD，所以D选项不一定成立. 故选D.【答案】D【巩固】1.如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，如果∠P＝60°，P A＝2，那么AB的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC的度数为（）A. 60°B. 65°C. 70°D. 80°AIB C 【巩固答案】1.B2.D知识点四：正多边形和圆1.正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.（2）圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.（3）与正多边形有关的概念（4）正多边形的对称性所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 2. 正多边形的有关计算（1）正n 边形的每个内角都等于()nn ︒⋅-1802.（2）正n 边形的每个中心角都等于n ︒360.（3）正n 边形的每个外角都等于n︒360.（4）设正n 边形的半径为R ，边长为a ，边心距为r ，则：①半径、边长、边心距的关系为2222⎪⎭⎫⎝⎛+=a r R ；②周长l ＝na ； ③面积lr n ar S 2121=⋅=. 【例4】如图，边长为12 cm 的圆内接正三角形的边心距是_________cm.【例4】【解析】如图，作OH ⊥BC 于H ，连接OB ，在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12 cm ，∴BH ＝CH ＝6 cm ，∵∠ABC ＝60°，∴∠OBH ＝30°. 设OH ＝x cm ，∴OB ＝2x cm ，在Rt △OBH 中，由勾股定理得x 2＋62＝(2x )2，解得x＝即OH＝cm.【答案】 【巩固】1. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接OC 、OD ，则∠COD 的大小是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°2. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，若⊙O 的半径是2，则正方形的边长是__________.【巩固答案】 1. C 2. 2知识点五：弧长和扇形面积1. 弧长公式： 在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180Rn l π=. 2. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 3. 扇形面积公式（1）已知半径R 和n °的圆心角，则3602R n S π=扇形. （2）已知弧长l 和半径R ，则lR S 21=扇形. 4. 与圆锥有关的概念（1）圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.（2）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. （3）圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 5. 圆锥的侧面积和全面积如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ， 因此rl l r S S ππ=⨯⨯==221扇形侧，()r l r r rl S S S +=+=+=πππ2底侧全.【例5】如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 是菱形，则图中阴影部分的面积为（ ） A.3232-π B. 332-π C. 3234-π D. 334-π【例5】【解析】由题意可知，阴影部分的面积是由两个面积相等的弓形面积组成，弓形面积可以看成是扇形OBC 的面积和三角形OBC 的面积的差，因为四边形OABC 是菱形，所以OC ＝BC ，又OB ＝OC ，所以△OBC 是等边三角形，所以S =阴影()2=OBC OBC S S ∆-扇形2602142236023ππ⎛⋅-⨯=- ⎝故选C.【答案】C 【巩固】r1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD 的长为（ ） A. π32 B. π34 C. π2 D. π382. 如图，ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形，AB ＝a ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.26a π B. 2436a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π C . 243a D . 2433a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π【巩固答案】1. D2. B。
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题(附答案)
《圆》章节知识点复习和练习附参考答案一、圆的概念集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 d r点 C 在圆内；A d2、点在圆上 d r点 B 在圆上；rBO3、点在圆外 d r点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r无交点；2、直线与圆相切d r有一个交点；3、直线与圆相交d r有两个交点；rd d=r四、圆与圆的位置关系dC r d外离（图1）无交点外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点内切（图4）有一个交点内含（图5）无交点d R r；d R r；R r d R r ；d R r ；d R r ；d d d R r R r R r 图 1图 2图 3d d rR rR图4图5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：A① AB是直径② AB CD ③CE DE④弧BC 弧BD⑤弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
初三数学上册(人教版)第二十四章圆24.2知识点总结含同步练习及答案
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹
定圆 O 的半径是 4 cm，动圆 P 的半径是 2 cm，动圆 P 在直线 l 上移动，当两圆相切时， OP 的值是（ ）
A. 2 cm 或 6 cm
B. 2 cm
C. 4 cm
D. 6 cm
解：A．
分析：两圆内切时圆心距等于半径差此时为 2 cm，外切时圆心距等于半径和此时为 6 cm．
已知两圆的半径分别为 7 和 1，圆心距为 10，则其外公切线长和内公切线长分别为（
弧也未必等，故 ② 错．
已知 △ABC 中，∠C = 90∘ ，AC = 2 ，BC = 3 ，AB 的中点为 M， （1）以 C 为圆心， 2 为半径作 ⊙C ，则点 A ，B ，M 与 ⊙C 的位置关系如何？ （2）若以 C 为圆心作 ⊙C ，使 A ，B ，M 三点至少有一点在 ⊙C 内，且至少有一点在 ⊙C 外，求 ⊙C 半径 r 的取值范围．
三角形内切圆的半径与三边的关系
设 a，b， c 分别为 △ABC 中 ∠A，∠B，∠C 的对边，面积为 S，则内切圆半径为
r=
S P
，其中
P
=
1 2
(a
+
b 1
+
c)．
当
P ∠C = 90∘
第24章圆基础知识反馈卡练习(7小节,含答案)
时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．以已知点O为圆心作圆，可以作()A．1个B．2个C．3个D．无数个2．如图J24-1-1，在⊙O中，弦的条数是()A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确图J24-1-1 图J24-1-2 图J24-1-3 3．如图J24-1-2，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 3 cm的弦AB，则∠AOB为() A．60°B．90°C．120°D．150°二、填空题(每小题4分，共8分)4．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．5．如图J24-1-3，OE，OF分别为⊙O的弦AB，CD的弦心距，如果OE＝OF，那么______(只需写一个正确的结论)．三、解答题(共8分)6．如图J24-1-4，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于点D，OD＝5 cm，求BC的长．图J24-1-4时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J24-1-5，AB是⊙O的直径，BD＝CD，∠BOD＝60°，则∠AOC＝() A．30°B．45°C．60°D．以上都不正确2．如图J24-1-6，AB，CD是⊙O的直径，AE＝BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是()A．32°B．60°C．68°D．64°图J24-1-5 图J24-1-6 图J24-1-7 图J24-1-8二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J24-1-7，CD⊥AB于点E，若∠B＝60°，则∠A＝________.4．如图J24-1-8，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD ＝CE，则AC与CB的弧长的大小关系是______________．三、解答题(共11分)5．如图J24-1-9，已知AB＝AC，∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求∠APB的度数．图J24-1-9时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在()A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能答案2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm，点D是AB边的中点，以点C为圆心，4 cm长为半径作圆，则点A，B，C，D四点中在圆内的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．⊙O的半径r＝5 cm，圆心到直线l的距离OM＝4 cm，在直线l上有一点P，且PM ＝3 cm，则点P()A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．可能在⊙O上或在⊙O内二、填空题(每小题4分，共8分)4．锐角三角形的外心在________；直角三角形的外心在________；钝角三角形的外心在________．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC其外接圆半径为________cm.三、解答题(共8分)6．通过文明城市的评选，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图J24-2-1所示，A，B，C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．图J24-2-1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J24-2-2，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若P A＝6，OP＝8，则⊙O的半径是()A．4 B．2 7 C．5 D．102．如图J24-2-3，P A，PB是⊙O的两条切线，切点是A，B.如果OP＝4，OA＝2，那么∠AOB＝()A．90°B．100°C．110°D．120°图J24-2-2 图J24-2-3 图J24-2-4 图J24-2-5二、填空题(每小题4分，共12分)3．已知⊙O的直径为10 cm，圆心O到直线l的距离分别是：①3 cm；②5 cm；③7 cm.那么直线l和⊙O的位置关系是：①________；②________；③________.4．如图J24-2-4，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝________.5．如图J24-2-5，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______.三、解答题(共7分)6．如图J24-2-6所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠A的度数．图J24-2-6时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．一正多边形外角为90°，则它的边心距与半径之比为()A．1∶2 B．1∶ 2C．1∶ 3 D．1∶32．如图J24-3-1，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是()图J24-3-1A．60°B．45°C．30°D．22.5°二、填空题(每小题4分，共12分)3．正12边形的每个中心角等于________．4．正六边形的边长为10 cm，它的边心距等于________cm.5．从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________ cm.三、解答题(共7分)6．如图J24-3-2，要把一个边长为a的正三角形剪成一个最大的正六边形，要剪去怎样的三个三角形？剪成的正六边形的边长是多少？它的面积与原来三角形面积的比是多少？图J24-3-2时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分) 1．在半径为12的⊙O 中，150°的圆心角所对的弧长等于( ) A ．24π cm B ．12π cm C ．10π cm D ．5π cm2．已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角是为( ) A ．200° B ．160° C ．120° D ．80° 3．已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形的周长为( ) A.53π B.53π＋10 C.56π D.56π＋10 二、填空题(每小题4分，共8分) 4．如图J24-4-1，已知正方形ABCD 的边长为12 cm ，E 为CD 边上一点，DE ＝5 cm.以点A 为中心，将△ADE 按顺时针方向旋转得△ABF ，则点E 所经过的路径长为________cm.图J24-4-1 图J24-4-25．如图J24-4-2，在两个同心圆中，两圆半径分别为2,1，∠AOB ＝120°，则阴影部分面积是____________．三、解答题(共8分) 6．如图J24-4-3，在正方形ABCD 中，CD 边的长为1，点E 为AD 的中点，以E 为圆心、1为半径作圆，分别交AB ，CD 于M ，N 两点，与BC 切于点P ，求图中阴影部分的面积．图J24-4-3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．已知一个扇形的半径为60 cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为()A．12.5 cm B．25 cm C．50 cm D．75 cm2．如图J24-4-4小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，则该扇形薄纸板的圆心角为()A．150°B．180°C．216°D．270°图J24-4-4 图J24-4-5 图J24-4-6二、填空题(每小题4分，共12分)3．如图J24-4-5，小刚制作了一个高12 cm，底面直径为10 cm的圆锥，这个圆锥的侧面积是________cm2.4．如图J24-4-6，Rt△ABC分别绕直角边AB，BC旋转一周，旋转后得到的两个圆锥的母线长分别为____________．5．圆锥母线为8 cm，底面半径为5 cm，则其侧面展开图的圆心角大小为______．三、解答题(共7分)6．一个圆锥的高为3 3 cm，侧面展开图为半圆，求：(1)圆锥的母线与底面半径之比；(2)圆锥的全面积．1．D 2.C 3.C 4.无数 一5．AB ＝CD 或AB ＝CD 6．BC ＝10 cm 基础知识反馈卡·24.1.2 1．C 2.D 3.30° 4.相等5．(1)证明：由圆周角定理，得 ∠ABC ＝∠APC ＝60°. 又AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形． (2)解：∵∠ACB ＝60°， ∠ACB ＋∠APB ＝180°， ∴∠APB ＝180°－60°＝120°. 基础知识反馈卡·24.2.1 1．C 2.B 3.B4．三角形内 斜边上 三角形外 5．6.56．解：图略．作法：连接AB ，AC ，分别作这两条线段的垂直平分线，两直线的交点为垃圾桶的位置．基础知识反馈卡·24.2.21．B 2.D 3.相交 相切 相离 4．40° 5.50° 60° 70°6．解：∵EB ，EC 是⊙O 的两条切线，∴EB ＝EC .∴∠ECB ＝∠EBC . 又∠E ＝46°，而∠E ＋∠EBC ＋∠ECB ＝180°，∠ECB ＝67°. 又∠DCF ＋∠ECB ＋∠DCB ＝180°， ∴∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°. 又∠A ＋∠BCD ＝180°， ∴∠A ＝180°－81°＝99°. 基础知识反馈卡·24.3 1．B 2.C 3.30° 4.5 3 5.10 26．解：三个小三角形是等边三角形且边长为13a ，正六边形的边长为13a ，正六边形的面积为36a 2，原正三角形的面积为34a 2，它们的面积比为2∶3.基础知识反馈卡·24.4.1 1．C 2.B 3.B 4.132π(也可写成6.5π) 5.2π 6．解：在Rt △EAM 和Rt △EDN 中，∵AE ＝DE ，EM ＝EN ， ∴Rt △EAM ≌Rt △EDN . ∴∠AEM ＝∠DEN .连接EP ，∵AE ＝12AD ＝12，CD ＝EP ＝EM ＝1，∴AE ＝12EM .∴∠AME ＝30°.∴∠AEM ＝60°，AM ＝1－14＝32.∴∠MEN ＝180－2×60°＝60°.∴S 阴影＝60×12×π360＝π6.基础知识反馈卡·24.4.21．B 2.C 3.65π 4.2,2 5.225°6．解：(1)2πr ＝12×2πl ，∴l ＝2r ，l ∶r ＝2∶1.(2)∵l 2－r 2＝h 2，∴3r 2＝(3 3)2.∴r ＝3 cm ，l ＝6 cm. S 全＝πrl ＋πr 2＝27π(cm 2)．。
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时间:10分钟满分:25分
一、选择题(每小题3分，共9分)
1．以已知点O为圆心作圆，可以作()
A．1个B．2个C．3个D．无数个
2．如图J24-1-1，在⊙O中，弦的条数是()
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
图J24-1-1 图J24-1-2 图J24-1-3 3．如图J24-1-2，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 3 cm的弦AB，则∠AOB为() A．60°B．90°C．12020 D．150°
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．
5．如图J24-1-3，OE，OF分别为⊙O的弦AB，CD的弦心距，如果OE＝OF，那么______(只需写一个正确的结论)．
三、解答题(共8分)
6．如图J24-1-4，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于点D，OD＝5 cm，求BC的长．
图J24-1-4
时间:10分钟满分:25分
一、选择题(每小题3分，共6分)
1．如图J24-1-5，AB是⊙O的直径，BD＝CD，∠BOD＝60°，则∠AOC＝() A．30°B．45°C．60°D．以上都不正确
2．如图J24-1-6，AB，CD是⊙O的直径，AE＝BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是()
A．32°B．60°C．68°D．64°
图J24-1-5 图J24-1-6 图J24-1-7 图J24-1-8
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．如图J24-1-7，CD⊥AB于点E，若∠B＝60°，则∠A＝________.
4．如图J24-1-8，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD ＝CE，则AC与CB的弧长的大小关系是______________．
三、解答题(共11分)
5．如图J24-1-9，已知AB＝AC，∠APC＝60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形；
(2)求∠APB的度数．
图J24-1-9
时间:10分钟满分:25分
一、选择题(每小题3分，共9分)
1．已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在()
A．圆内B．圆上
C．圆外D．都有可能答案
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm，点D是AB边的中点，以点C为圆心，4 cm长为半径作圆，则点A，B，C，D四点中在圆内的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．⊙O的半径r＝5 cm，圆心到直线l的距离OM＝4 cm，在直线l上有一点P，且PM ＝3 cm，则点P()
A．在⊙O内B．在⊙O上
C．在⊙O外D．可能在⊙O上或在⊙O内
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．锐角三角形的外心在________；直角三角形的外心在________；钝角三角形的外心在________．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC其外接圆半径为________cm.
三、解答题(共8分)
6．通过文明城市的评选，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图J24-2-1所示，A，B，C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．
图J24-2-1
时间:10分钟满分:25分
一、选择题(每小题3分，共6分)
1．如图J24-2-2，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若P A＝6，OP＝8，则⊙O的半径是()
A．4 B．2 7 C．5 D．10
2．如图J24-2-3，P A，PB是⊙O的两条切线，切点是A，B.如果OP＝4，OA＝2，那么∠AOB＝()
A．90°B．100°C．110°D．12020
图J24-2-2 图J24-2-3 图J24-2-4 图J24-2-5
二、填空题(每小题4分，共12分)
3．已知⊙O的直径为10 cm，圆心O到直线l的距离分别是:①3 cm；②5 cm；③7 cm.那么直线l和⊙O的位置关系是:①________；②________；③________.
4．如图J24-2-4，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝________.
5．如图J24-2-5，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∠DOE＝12020∠EOF＝110°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______.
三、解答题(共7分)
6．如图J24-2-6所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠A的度数．
图J24-2-6
时间:10分钟满分:25分
一、选择题(每小题3分，共6分)
1．一正多边形外角为90°，则它的边心距与半径之比为()
A．1∶2 B．1∶ 2
C．1∶ 3 D．1∶3
2．如图J24-3-1，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是()
图J24-3-1
A．60°B．45°C．30°D．22.5°
二、填空题(每小题4分，共12分)
3．正12边形的每个中心角等于________．
4．正六边形的边长为10 cm，它的边心距等于________cm.
5．从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________ cm.
三、解答题(共7分)
6．如图J24-3-2，要把一个边长为a的正三角形剪成一个最大的正六边形，要剪去怎样的三个三角形？剪成的正六边形的边长是多少？它的面积与原来三角形面积的比是多少？
图J24-3-2。