高一下数学伴你成长答案
高中数学高一人教A版必修1成长训练：3.1函数与方程 Word版含解析
主动成长夯基达标1. 已知连续函数y=f(x),有f(a)·f(b)<0(a<b),则y=f(x)( )A. 在区间［a, b］上可能没有零点B. 在区间［a, b］上至少有一个零点C. 在区间［a, b］上零点个数为奇数个D. 在区间［a, b］上零点个数为偶数个思路解析：根据“如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间［a, b］内有零点”可知函数f(x)在区间［a, b］上至少有一个零点.答案：B2. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：X -3 -2 -1 0 1 2 3 4Y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式ax2+bx+c>0的解集是_________________.思路解析：由表中对应值描点作图可知y=ax2+bx+c(x∈R)的开口方向、与x轴的交点，求不等式ax2+bx+c>0的解集就是求使y>0的自变量x的取值范围.抛物线y=ax2+bx+c(x∈R)开口向上，与x轴的交点为(-2,0)、(3,0)，使y>0的x的取值范围是x<-2或x>3.答案：{x|x<2或x>3}3. 求方程f（x）=x 3－x－1=0在区间（1，1.5）内的实根，要求准确到小数点后第2位.思路解析：本题考查二分法求方程的近似解，可按课本中二分法的步骤求解.答案：用二分法.考查函数f（x）=x 3－x－1，从一个两端函数值反号的区间（1，1.5）开始，逐步缩小方程实数解所在区间.经计算，f（1）=－1＜0，f（1.5）=0.875＞0，所以函数f（x）=x3－x－1在(1，1.5)内存在零点.取(1，1.5)的中点1.25，经计算，f（1.25）=－0.297＜0，又f（1.5）＞0，所以函数f（x）在(1.25，1.5)内存在零点，亦即方程x 3－x－1=0在(1.25，1.5)内有解.k a k b k x k f(x k)的符号0 1 1.5 1.25 -1 1.25 1.5 1.375 +2 1.25 1.375 1.3125 -3 1.3125 1.375 1.3438 +4 1.3125 1.3438 1.3282 +5 1.3125 1.3282 1.3204 -6 1.3204 1.3282 1.3243 -至此，可以看出，取x6=1.32，则能达到所要的精度，|x*－x6|≤|x 3204 .13282.1|=0.003 9<0.005，即|x *－x 6|＜0.005.（x *为方程的准确解）所以，方程符合条件的实根是1.32.4. 若方程x 2＋（k－2）x＋2k－1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围.思路解析：本题考查二次方程根的分布问题.把方程根的分布问题转化为函数零点的位置问题，画出函数图象，通过数形结合的思想来解.答案：如下图所示，函数f（x）=x 2＋（k－2）x＋2k－1的图象开口向上，零点x 1∈（0，1），x 2∈（1，2）.由⎪⎩⎪⎨⎧><>0,)2(f0,)1(f0,)0(f即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<-+-+>-12k)2k(2412k)2k(112k解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<⇒<>41k32k2132k21k走近高考5. 函数y=(21)x与函数y=lgx的图象的交点的横坐标（精确到0.1）约是( )A．1.3B. 1.4C. 1.5D. 1.6思路解析：设f(x)=lgx-(21)x,经计算f(1)=-21<0,f(2)=lg2-41>0,所以函数f(x)=lgx-(21)x在［1,2］内有解.应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D符合要求.答案：D6. 如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积在数值上等于S，且V=S+1，那么这个立方体的一个面的边长（精确到0.01）约为___________.思路解析：设立方体的边长为x，则V=x3,S=6x2.∵V=S+1,∴x3=6x2+1.不妨设f(x)=x3-6x2-1，应用二分法得方程的根均为6.05.答案：6.057. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)<-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最小值为负数，求a的取值范围.思路解析：本题综合考查一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系及其性质，重点是互相之间的转化.在(1)中，通过不等式f(x)<-2x 的解集为(1,3),用二次函数的标根式把不等式转化成函数，再根据韦达定理将问题转化成关于a 的方程.在（2）中，既可以根据二次函数的最值公式将题意转化成不等式，也可以用配方法求最值.答案：(1)∵f(x)+2x<0的解集为(1,3),∴设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，则a>0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a ①由方程f(x)+6a=0,得ax 2-(2+4a)x+9a=0② ∵方程②有两个相等的根，∴Δ=［-(2+4a)］2-4a ·9a=0, 即5a 2-4a-1=0.解得a=1或a=-51. 由于a>0，舍去a=-51.将a=1代入①得f(x)的解析式f(x)=x 2-6x+3. (2)由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a=a(x-a2a 1+)2-a 14a a 2++及a>0，可得f(x)的最小值为-a 14a a 2++.由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧><++-0,a ,0a14a a 2解得a>0. 故当f(x)的最小值为负数时，实数a 的取值范围是a>0.8. 作出函数y=x 3与y=3x-1的图象，并写出方程x 3=3x-1的近似解(精确到0.1).解：作函数f(x)=x 3-3x+1，结合y=x 3与y=3x-1的图象，可计算f(-2)<0,f(0)>0，f(2)>0,于是可判断f(x)=0的三个解x 1、x 2、x 3满足 x 1∈(-2,0)、x 2∈(0,1)、x 3∈(1,2).下面用二分法分别求其近似解，先求x 1，列表如下：取区间中点值 中点函数值及其符号 （-2，0） -1 3（+） （-2，-1） -1.5 2.125（+） （-2，-1.5） -1.75 0.890 625（+） （-2，-1.75） -1.875 -0.033 203 125（-） （-1.875，-1.75） -1.812 5 0.483 154 296（+） （-1.875，-1.812 5） -1.843 75 0.263 580 322（+） （-1.875，-1.843 75） -1.859 375 0.149 753 57（+） （-1.875，-1.859 375）x 1≈-1.9.应该说明，f(-1.9)=(-1.9)3-3×(-1.9)+1=-6.859+5.7+1=-0.159,而f(-1.8)=(-1.8)3-3×(-1.8)+1=-5.832+5.4+1=0.568,这也表明，x 1=-1.9比x 1=-1.8更准确，因此取x 1=-1.9是正确的. 2取区间中点值 中点函数值及其符号 （0，1） 0.5 -0.375（-） （0，0.5） 0.25 0.265 625（+） （0.25，0.5）0.375-0.072 265 625（-）（0.25，0.375）0.312 5 017 578（+）（0.312 5，0.375）0.093 0.009 368 896（+）（0.343 75，0.375）0.343 75 -0.031 711 578（-）（0.343 75，0.359 375）0.359 375 -0.011 235 713（-）（0.343 75，0.351 562 5）0.351 562 5 -0.000 949 323（-）（0.343 75，0.347 656 25）0.347 656 25∴x2≈0.3.注：f(0.3)=0.127,f(0.4)=0.316,取x2≈0.3比取x2≈0.4更加准确.3取区间中点值中点函数值及其符号（1，2） 1.5 -0.125（-）（1.5，2） 1.75 1.109 375（+）（1.5，1.75） 1.625 0.416 015 625（+）（1.5，1.625） 1.562 5 0.127 197 265（+）（1.5，1.562 5） 1.531 25 -0.003 387 451（-）（1.531 25，1.562 5） 1.546 875 0.060 771 942（+）（1.531 25，1.546 875）∴x3≈1.5.综上所述，方程x3=3x-1的近似解为x1≈-1.9,x2≈0.3,x3≈1.5.。
高一下期数学总结附例题答案
不等式1、不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4、不等式解法分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ 指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩含绝对值不等式⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为 数列等差数列一 定义式： 1n n a a d --= 二 通项公式：n a 1()(1)m a n m da n d=+-⎧⎨=+-⎩一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。
数学伴你学答案
数学伴你学答案数学，作为一门重要的学科，是我们日常生活中不可或缺的一部分。
无论是做生意、计算货币、解决计划或者是进行科学研究，数学都是必不可少的工具。
然而，毫不吹捧地说，数学并不是每个人都喜欢的学科。
一些学生，甚至有点害怕数学，认为它难以理解，甚至认为数学是“毒瘤”。
事实上，并非每一个人都可以像Einstein那样，将数学视为“最高坦白的哲学。
”但是，通过改变对数学的态度和方法，每个人都可以掌握数学的基础知识，并理解如何将这些理论应用于日常生活。
通过良好的数学学习方法和技巧的掌握，我们可以大大提高我们的数学理解和能力，让我们一起来探讨一下。
首先，最重要的是改变对数学的态度。
虽然很多人觉得数学很难，但事实上数学不难。
数学对于我们的生活是至关重要的。
数学是解决现实问题的重要工具，有很多真实的例子可以证明这点。
因此我们必须对数学学习充满信心，不能放弃，要对它抱乐观的态度。
其次，要学会用正确的方法来学习数学。
除了学习数学概念和理论外，我们可以结合一些实践来掌握数学技巧。
刘汝佳的“算法竞赛入门经典”或Skiena的“算法设计和分析基础原理”等教材，在学习数字理论，组合数学，图论等数学相关技巧时是非常有用的资料，它们可以帮助我们学习数学知识，同时也培养了我们的思维和解决问题的能力。
此外，我们还可以选择一些在线数学课程或视频资源，如卡内基梅隆大学的公开课、麻省理工学院的OCW 等，它们可以帮助我们更有效地学习数学知识。
最后，我们可以通过练习来提高我们的数学能力。
做数学题并不是在考试前好好准备，或者仅在学校课堂上做作业，而是一个日常学习过程。
我们可以通过刷题来提高我们的技能，并确保我们对数学知识的掌握程度。
可以使用一些教辅资料或者在线平台，如Khan Academy、真题人生、知乎问题广场等，帮助我们更好地进行练习和复习。
总的来说，数学对我们的生活至关重要，并且学习数学可以提高我们的思维解决问题的能力，从而更好地适应现代复杂的社会格局。
2020部编版高一年级下学期数学暑假作业答案大全
2020部编版⾼⼀年级下学期数学暑假作业答案⼤全⾼⼀新⽣要根据⾃⼰的条件，以及⾼中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点⼴的特点，找寻⼀套⾏之有效的学习⽅法。
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2020部编版⾼⼀年级下学期数学暑假作业答案11.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于()A.{x|x≥3}B.{x|x≥2}C.{x|2≤x<3}D.{x|x≥4}2.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩B=()A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}3.已知集合A={x|x>0}，B={x|-1≤x≤2}，则A∪B=()A.{x|x≥-1}B.{x|x≤2}C.{x|04.满⾜M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是()A.1B.2C.3D.45.集合A={0,2，a}，B={1，a2}.若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为()A.0B.1C.2D.46.设S={x|2x+1>0}，T={x|3x-5A.?B.{x|x}D.{x|-7.50名学⽣参加甲、⼄两项体育活动，每⼈⾄少参加了⼀项，参加甲项的学⽣有30名，参加⼄项的学⽣有25名，则仅参加了⼀项活动的学⽣⼈数为________.8.满⾜{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是________.9.已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是________.10.已知集合A={-4,2a-1，a2}，B={a-5,1-a,9}，若A∩B={9}，求a的值.11.已知集合A={1,3,5}，B={1,2，x2-1}，若A∪B={1,2,3,5}，求x及A∩B.12.已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x5}，若A∩B=?，求a的取值范围.13.(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究⼩组，每名同学⾄多参加两个⼩组.已知参加数学、物理、化学⼩组的⼈数分别为26,15,13，同时参加数学和物理⼩组的有6⼈，同时参加物理和化学⼩组的有4⼈，则同时参加数学和化学⼩组的有多少⼈?(集合解析及答案)1.【解析】B={x|x≥3}.画数轴(如下图所⽰)可知选B【答案】B2.【解析】A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B={3,9}.故选D.【答案】D3.【解析】集合A、B⽤数轴表⽰如图，A∪B={x|x≥-1}.故选A.【答案】A4.【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}.故选B.【答案】B5.【解析】∵A∪B={0,1,2，a，a2}，⼜A∪B={0,1,2,4,16}，∴{a，a2}={4,16}，∴a=4，故选D.【答案】D13136.【解析】S={x|2x+1>0}={x|x>-2，T={x|3x-5【答案】D7.【解析】设两项都参加的有x⼈，则只参加甲项的有(30-x)⼈，只参加⼄项的有(25-x)⼈.(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25⼈，只参加⼄项的有20⼈，∴仅参加⼀项的有45⼈.【答案】458.【解析】由于{1,3}∪A={1,3,5}，则A?{1,3,5}，且A中⾄少有⼀个元素为5，从⽽A中其余元素可以是集合{1,3}的⼦集的元素，⽽{1,3}有4个⼦集，因此满⾜条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.【答案】49.【解析】A=(-∞，1]，B=[a，+∞)，要使A∪B=R，只需a≤1.【答案】a≤110.【解析】∵A∩B={9}，∴9∈A，∴2a-1=9或a2=9，∴a=5或a=±3.当a=5时，A={-4,9,25}，B={0，-4,9}.此时A∩B={-4,9}≠{9}.故a=5舍去.当a=3时，B={-2，-2,9}，不符合要求，舍去.经检验可知a=-3符合题意.11.【解析】由A∪B={1,2,3,5}，B={1,2，x2-1}得x2-1=3或x2-1=5.若x2-1=3则x=±2;若x2-1=5，则x=±;综上，x=±2或±当x=±2时，B={1,2,3}，此时A∩B={1,3};当x=±B={1,2,5}，此时A∩B={1,5}.12.【解析】由A∩B=?，(1)若A=?，有2a>a+3，∴a>3.(2)若A≠?，解得-≤a≤2.21综上所述，a的取值范围是{a|-或a>3}.2113.【解析】设单独参加数学的同学为x⼈，参加数学化学的为y⼈，单独参加化学的为z⼈.依题意x+y+6=26，y+4+z=13，x+y+z=21，解得x=12，y=8，z=1.∴同时参加数学化学的同学有8⼈，答：同时参加数学和化学⼩组的有8⼈2020部编版⾼⼀年级下学期数学暑假作业答案2⼀、选择题(在每⼩题给出的四个选项中只有⼀项是符合题⽬要求的)1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知集合M={则M中元素的个数是()A.10B.9C.8D.73.已知集合，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.4.下列各组两个集合和表⽰同⼀集合的是()A.B.C.D.5.设全集U=R,集合，则图中阴影部分表⽰的集合为()A.{B.{UABC.{D.{6.设集合则下列关系中成⽴的是()A.PQB.QPC.P=QD.PQ()A.B.C.D.8.设S是⾄少含有两个元素的集合，在S上定义了⼀个⼆元运算“_”(即对任意的，对于有序元素对(a，b)，在S中有确定的元素a_b与之对应).若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成⽴的是()A.B.C.D.⼆、填空题9.已知集合则实数的取值范围是10.若全集，则集合的真⼦集共有个11.已知集合，，若，则实数的取值范围为12.设P是⼀个数集，且⾄少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P(除数b≠0),则称P 是⼀个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集QM,则数集M必为数域;③数域必为⽆限集;④存在⽆穷多个数域.其中正确的命题的序号是?三、解答题(应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)13.含有三个实数的集合可表⽰为{a,，也可表⽰为{求的值.14.已知x∈R，集合A={｝，B={｝，若A∩B=B，求实数m的取值范围.15.设全集，已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.(1)求;(2)若且,求实数的取值范围.(1)当时，求(RB)A;(2)若,求实数的取值范围。
湖南师大附中2024年高一下学期第一次大练习数学答案
湖南师大附中2023-2024学年度高一第二学期第一次大练习数学（考试范围：必修一､必修二6.1~7.2）时量：120分钟 满分：150分得分：______一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题意的）1. 下列说法正确的是（ ） A. 若a b →→>，则a b →→> B. 若a b →→=，则a b →→=C. 若a b →→=，则//a b →→D. 若a b →→≠，则,a b →→不是共线向量【答案】C 【解析】【分析】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误； B. ,a b →→不一定相等，所以该选项错误； C. 若a b →→=，则//a b →→，所以该选项正确；D. 若a b →→≠，则,a b →→也有可能是共线向量，所以该选项错误. 【详解】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；B. 若a b →→=，则,a b →→不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误； C. 若a b →→=，则//a b →→，所以该选项正确；D. 若a b →→≠，则,a b →→也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误. 故选：C2. 已知,i m ∈R 是虚数单位，当213m −<<时，复数(3i)(2i)m −++在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】变形后，结合213m −<<得到实部和虚部均大于0，得到所在象限. 【详解】()()()()3i 2i 321i m m m −++=++−，又213m −<< ，320,10m m ∴+>−>，∴所对应的点在第一象限.故选：A.3. 使“2560x x +−<”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 51x −<< B. 52x −<<C. 71x −<<D. 72x −<<【答案】A 【解析】【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由2560x x +−<，即()()610x x +−<，解得61x −<<，因为()5,1−真包含于()6,1−，所以51x −<<是2560x x +−<成立的一个充分不必要条件. 故选：A4. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一个三等分点，且DF FB >，若AF xAE yDC =+，则x y +=（ ）A. 1B.45C.54D.56【答案】D 【解析】【分析】由题意可知23DF DB = ，12DE DC = ，根据平面向量基本定理，将AF 用,AE DC线性表示，根据两个向量相等即可求出,x y 的值，即可得出答案.【详解】由题知点F 为线段BD 上的一个三等分点，所以23DF DB =，所以()2233AF AD DF AD DB AD DA AB =+=+=++()12121123333363AD AB AE ED DC AE DC DC =+=++=−+1132AE DC xAE yDC =+=+， 因为,AE DC 不共线，所以11,32x y ==，故56x y +=. 故选：D. 5. 已知30.30.30.3,3,log 0.06a b c ==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】C 【解析】【分析】根据指数幂与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围，即可求解. 【详解】由指数幂的运算性质，可得300.3100.3<=<，即01a <<，又由00.30.513332=<<<，即12b <<，又由对数的运算，可得0.30.3log 0.06log 0.092c >==，即2>c ， 所以c b a >>. 故选：C.6. 已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）为奇函数，且在π3π,64−上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 10,2B. 1,12C. 2(0,]3D. 2,13【答案】C 【解析】【分析】由()f x 为奇函数，可得2ϕπ=，()sin f x x ω=−，由函数()f x 在π3π,64−上单调递减，结合正弦函数的图象与性质，列出不等式组求解即可. 【详解】解: 因为()f x 为奇函数，0πϕ<<，所以2ϕπ=，所以()πcos sin 2f x x x ωω=+=−令t x ω=，π3π,64x∈−，0ω>， 则π3π,64t ωω ∈−， 因为()f x 在π3π,64−上单调递减， 所以ππ623ππ42ω −≥− ≤ ，解得203ω<≤.故选：C.7. 如图，在ABC 中，已知45,B D = 是BC 边上的一点，10,14,6AD AC DC ===，则AB 的长为（ ）A.B.C. D. 10【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理正弦定理可得答案.【详解】在ADC △中，222106141cos 21062ADC ∠+−==−××，因为0<πADC ∠<，所以2ππ,33ADC ADB ∠∠=∴=， 在ADB中，sin sin AB ADAB ADB B∠⇒故选：B..8. 已知()1(1),,2(1)12,2xa x f x a a x x x −≤ =>+−>的值域为D ，2,5D ∞ ⊆+ ，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,2 B. 29,225C. 36,225D. ()2,5【答案】C 【解析】【分析】考虑2a >时，由指数函数的单调性得到取值范围，此时(2,5∞ ⊆+不成立，舍去，再考虑2a =，结合基本不等式求出函数值域2,5D ∞ ⊆+，A 错误；考虑12a <<，求出12x ≤与12x >时的函数值取值范围，进而得到不等式，求出答案. 【详解】①若2a >，当12x ≤时，()(1)x f x a =−1,2 −∞上单调递增， 此时()(f x ∈，则(D ⊆，又(2,5∞ ⊆+不成立， 所以此时2,5D ∞ ⊆+不成立，排除选项D ；②若()11,,22,212,,2x af x x x x ≤ = +−>当12x ≤时，()1f x =， 当12x >时，()222f x x x=+−≥−，当且仅当x =则函数()f x的值域)2,D =−+∞，满足2,5D ∞⊆+；排除选项A ； ③若12a <<，当12x ≤时，()(1)x f x a =−在1,2 −∞上单调递减，此时())f x ∈+∞， 当12x >时，()22a f x x x=+−≥−，当且仅当12x =>时，等号成立， 在又函数()f x 的值域D 满足2,5D ∞ ⊆+，则2,522,512,a ≥−≥<<解得36225a ≤<. 综上所述：36225a ≤≤. 故选：C.二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中有多项符合题意，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数22i −的虚部为2i − B. 若i 为虚数单位，则2023i i =−C. 在复数集C 中，方程210x x ++=有两个解，依次为1122−+−−D. 复平面内满足条件i 2z +≤的复数z 所对应的点Z 的集合是以点()0,1为圆心，2为半径的圆 【答案】BC 【解析】【分析】根据复数的定义可判断A ；根据i 的性质可判断B ；根据复数方程的根可判断C ；根据复数的几何意义可判断D.【详解】对于A ，复数22i −的虚部为2−，故A 错误； 对于B ，450533i i i ×+==−，故B 正确；对于C，22131112422x x x x x ++=++=+++ ， 因此在复数集C 中，方程210x x ++=有两个解，依次为1122−−，故C 正确； 对于D ，复平面内满足条件i 2z +≤的复数z 对应的点Z 的集合是以点()0,1−为圆心，2为半径的圆面，故D 错误. 故选：BC.10. 已知ABC 是边长为1的等边三角形，点D 是边AC 上，且3AC AD =，点E 是BC 边上任意一点（包含B ，C 点），则AE BD ⋅的取值可能是（ ） A. 56−B. 16−C. 0D.16【答案】AB 【解析】【分析】设[]()0,1BE BC λλ=∈ ，然后分别将,AE BD 表示为xAB y AC + 的形式，再根据向量数量积的定义以及λ的取值范围求解出AE BD ⋅可取值.【详解】设[]()0,1BE BC λλ=∈ ， 因为3AC AD =，所以13BD BA AD AC AB =+=− ，又因为()()1AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+−=−+ ，所以()()()221133113AE BD AC AB AC AB AC AB AB C AC AB A λλλλλλ− ⋅=⋅=⋅+−−−⋅ −−+， 所以()11632AE BDλλλλ−⋅=+−−− ， 所以(152163263AE BD λλλλλ−⋅=+−−−=−+ ， 又因为[]0,1λ∈，所以5251,6366λ−+∈−−， 故选：AB.【点睛】关键点点睛：图形中向量的数量积问题，通过找基底并将未知的待计算的向量表示为基底的形式去计算能很大程度上简化计算；本例中利用基底,AB AC 表示出,AE BD，然后再进行计算.11. 直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2,BP PC = 点M ，N 在过点P 的直线上，若AM＝,mAB AN＝,(0,0),nAC m n >> 则下列结论正确的是（ ）A.12m n+为常数 B. m ＋2n 的最小值为3 C. m ＋n 的最小值为169D. m ，n 的值可以为：m ＝1,2n ＝2 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：先表示出AP ＝12,33AM AN m n + 利用M 、P 、N 三点共线，得到1233m n+＝1，即可证明；对于B 、C ：利用基本不等式“1”的妙用即可求解； 对于D ：判断出m ＝1,2n ＝2时M 为AB 的中点，C 为AN 的中点，符合题意. 【详解】如图示：对于A ，P 是斜边BC 上一点，且满足2,BP PC = 则AP ＝12,33AB AC +若AM ＝,mAB AN ＝nAC ，则AP ＝12,33AM AN m n+ 又由M 、P 、N 三点共线，则1233m n+＝1，变形可得12m n +＝3；故12m n +为常数， 故A 正确；对于B ，由A 的推导过程可知：123m n+=.所以m ＋2n ＝112()(2)3m n m n ++＝122155233m n n m ++≥+ ＝3， 当且仅当2m n＝2nm ，即m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋2n 的最小值为3.故B 正确； 对于C ，由A 的推导过程可知：123m n+=.所以m ＋n ＝112()()3m n m n ++＝12133233m n n m ++≥+ ＝1当且仅当n ，即m n =.故C 错误； 对于D ，当m ＝1,2n ＝2，满足12m n +＝3，此时M 为AB 的中点，C 为AN 的中点，符合题意；D 正确； 故选：ABD ．三､填空题（本大题共三个小题，每小题5分，满分15分）12. 设a ∈R ，复数i12ia +−（i 是虚数单位）的共轭复数是25i −，则=a ______. 【答案】12 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得i 212i 12i 55a a a+−+=+−，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由复数i 12ia +−（i 是虚数单位）的共轭复数是25i −，可得i25i 12i a +=+−，又由()()()()i 12i i12i 12i12i 12i 5a a a ++++==+−−+，可得212i 25i 55a a−++=+， 则225a −=且1255a+=，解得12a =. 故答案为：12.13. 如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC⋅⋅ ，则ABAC的值是_____.【解析】【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =−=+−()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC =+−=−+−22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =−+=−+=， 得2213,22AB AC =即AB =ABAC=【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+，若△ABC的面积S =，则ab 的最小值为______． 【答案】48 【解析】【分析】根据正弦定理结合已知可推得2π3C =，然后根据面积公式即可得出14c ab =，由余弦定理可推得2222116a b ab a b ++=，根据基本不等式即可得出答案. 【详解】设R 为ABC 外接圆的半径. 由正弦定理知2sin sin sin a b cR A B C===， 又2cos 2c B a b ⋅=+，可得：2sin cos 2sin sin C B A B ⋅+.由πA B C ++=，得()sinsin A B C =+， 则()2sin cos 2sin sin C B B C B ⋅=++，即2sin cos sin 0B C B ⋅+=，又0πB <<，sin 0B >，得1cos 2C =−.因为0πC <<，得2π3C =， 则△ABC的面积为1sin 2S ab C ==△，即14c ab =， 由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+−，化简，得2222116a b ab a b ++=. 又222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号， 可得：221216ab ab a b +≤，即48ab ≥，故ab 的最小值是48． 故答案为：48.四､解答题（本大题共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在OAB 中，0,||2,||4OA OB OA OB ⋅===，E 点满足()R AE t AB t =∈ ，D 在边OB 的中点. （1）当12t =时，求直线AD 与OE 相交所成的较小的角的余弦值； （2）求AE AO −的最小值及相应的t 的值.【答案】（1（215 【解析】【分析】（1）根据题意，以O 为原点，建立平面直角坐标系，求得()()2,2,1,2AD OE =−=，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）法一：由()R AE t AB t =∈ ，得到||||AE AO OE −=，结合AB d OA OB =，求得d的值，得到AE= AE t AB= ，即可求解； 法二：由()()2,4,2,0AE t AB t t AO ==−=−，结合向量的模的坐标运算，利用二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：因为0,||2,||4OA OB OA OB ⋅===，以O 为原点，以,OA OB 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，的又因为12AE AB =，即E 为AB 的中点，可得()()()()2,0,0,4,0,2,1,2A B D E ，则()()2,2,1,2AD OE =−= ，设AD 与OE 的夹角为θ，则cos θ=，所以直线AD 与OE【小问2详解】解：法一：因为()R AE t AB t =∈ 表示E 是直线AB 上任意一点， 可得||||AE AO OE −=，其最小值就是原点O 到直线AB 的距离d ，则AB d OA OB =，可得d，此时AE =，则15AE t AB = ， 即15t =时，AE AO −取得最小值法二：由()()2,4,2,0AE t AB t t AO ==−=−，可得AE AO −===当15t =时，AE AO −取得最小值16. 已知函数()22(sin cos )2cos f x x x a x a =++−. （1）若函数()f x 的图象关于直线π8x =对称，求实数a 的值； （2）当1a =时，①求函数()f x 的单调增区间；②若()02f x =，求0tan x 的值. 【答案】（1）1a = （2）①单调递增区间为3πππ,π,88k k k−++∈Z ；②0tan 0x =或0tan 1x =【解析】【分析】（1）化简函数解析式，再由π8f为最大值列出方程得解； （2）①由函数解析式及正弦型函数的单调性求解即可；②由正弦函数性质解方程即可得解. 【小问1详解】()()22(sin cos )2cos 1sin2cos221f x x x a x a x a x x ϕ=++−=++++，()f x 的图像关于直线π8x =对称，则π8f为函数的最值，ππsin 2cos 2188a a∴×+×=⇒=.【小问2详解】①当1a =时，有()πsin2cos21214f x x x x=++=++，由πππ2π22π,242k x k k −+≤+≤+∈Z ，得3ππππ,88k x k k −+≤≤+∈Z ， 即函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,88k k k−++∈Z ；②()00π2sin 24f x x=⇒+， 则0ππ22π44x k +=+或00π3π22π,π44x k k x k +=+∈⇒=Z 或0ππ,4x k k =+∈Z ， 0tan 0x ∴=或0tan 1x =.17. 锐角ABC 的三个内角是A B C ､､，满足()222sin sin sin tan sin sin B C A A B C +−=． （1）求角A 的大小及角B 的取值范围；（2）若ABC 的外接圆的圆心为O ，且12OB OC ⋅= ，求()A AB AC O +⋅ 的取值范围．【答案】（1）6A π=，角B 的取值范围为32ππ，；（2）722−−【解析】【分析】(1)利用正弦定理化角为边，结合余弦定理和同角关系求角A 的大小，再由条件求角B 的取值范围；(2) 【小问1详解】设ABC 的外接圆的半径为R ，因为()222sin sin sin tan sin sin B C A A B C +−=， 由正弦定理可得sin 2aA R=，sin 2b B R =，sin 2c C R =，所以()222tan b c a A bc +−=，又222cos 2b c a A bc+−=，sin tan cos A A A =所以1sin 2A =，因为(0,)2A π∈， 所以6A π=，因为ABC 为锐角三角形， 所以02B π<<，2A B ππ<+<，所以32B ππ<<，所以角B 的取值范围为32ππ，； 【小问2详解】由已知O 为ABC 的外接圆的圆心，所以==OA OB OC R =，因为6A π=，所以263BOC ππ∠=×=， 又12OB OC ⋅= ，所以1cos 2OB OC BOC ⋅∠= ，所以1122R R ××=，所以1R =，设AOC θ∠=，则53AOB πθ∠=−， 又2AOC B ∠=∠，所以23πθπ∈， 所以()()A O AB AC OB O OC OA A OA ⋅=⋅+−+−22OB O O OA OA A C =+−⋅⋅511cos cos 2311πθθ××−+− ×× =21cos o in 2c s θθθ+=−−23cos 2θθ−=1si 2n 2θθ =−−26πθ=+−因为23πθπ∈，，所以57666πππθ<+<，所以1cos 6πθ−≤+<，所以(()722A C A A OB −≤⋅<−+ ，所以()A AB AC O +⋅ 的取值范围为722−−.18. 某足球场长72m ､宽60m ，球门宽6m ，球门CD 位于底线中央.当足球运动员沿斜向直线AB 带球突破时，A 为球场边线的中点，B 为底线上一点，路线如图，若12m BC =；（1）求cos CAB ∠；（2）若P 是球员起脚射门的点，试问PBAB是多少时，P 对球门的张角最大？并求此时P 到底线的距离. 【答案】18.636519.PB AB =【解析】【分析】（1）在直角三角形AEC 中和直角三角形AEB 中，求出,AC AB ,在三角形ABC 中，利用余弦定理求出cos CAB ∠； （2）设PBAB=(01)λλ<≤，过点P 作CE 垂线，垂足为H ，以E 为原点，AE 为x 轴正方向，EB为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，表达出坐标，计算出tan CPH ∠和tan DPH ∠，求出()tan tan DPC DPH CPH ∠=∠−∠，利用基本等式求出最大值.【小问1详解】在直角三角形AEC 中，36,27AE CE ==，则45AC =，在直角三角形AEB 中，15,36BE AE ==，则39AB =， 在三角形ABC 中，12BC =,由余弦定理得22263cos 265AB AC BC CAB AB AC ∠+−==⋅； 【小问2详解】因为点P 在线段AB 上，设PBAB=(01)λλ<≤，过点P 作CE 垂线，垂足为H ，以E 为原点，AE为x 轴正方向，EB为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则有()()()()36,0,0,15,0,27,0,33A B C D −，()()()36,15,36,15,36,1515AB PB EP EB BP λλλλ===+=−− ， ()2715151215tan 3636CPH λλλλ−−+∠==， 1815tan 36DPH λ∠λ+=，()tan tan DPC DPH CPH ∠=∠−∠tan tan 1tan tan DPH CPHDPH CPH∠∠∠∠−=+6361815121513636λλλλλ=+++×()()2636(36)18151215λλλλ×=+++()()2241446545λλλλ=+++2241695024λλλ=++ 242416950λλ=++，由基本不等式知当且仅当λ=时，上式取等号，即为最大值， 又因为090DPC <∠< ，故此时也是DPC∠最大值，的此时m PB PH AE AB =⋅=，处射门对球门的张角最大，此时PB AB =. 19. 设A 是有序实数对构成的非空集，B 是实数集，如果对于集合A 中的任意一个有序实数对(),x y ，按照某种确定的关系f ，在B 中都有唯一确定的数z 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个二元函数，记作()(),,,zf x y x y A ∈，其中A 称为二元函数f 的定义域.（1）已知()()()1122,,,,f x y a x y b x y ==，若()()12121,2,1f a f b x x y y ==+= ，求();f a b +（2）非零向量()00,u x y =，若对任意的(),,,0x y D D A h ∈⊆>，记(),a x y =，都有()()f a f a hu <+，则称f 在D 上沿u 方向单调递增.已知(),e e ,R,R x y x y f x y x y +−=+∈∈.请问f 在(){},,R x y x y ∈∣上沿向量()1,1方向单调递增吗？为什么？ （3）设二元函数f 的定义域为D ，如果存在实数M 满足： ①()x y D ∀∈,，都有(),f x y M ≥， ②()00,x y D ∃∈，使得(00,f x y M =. 那么，我们称M 是二元函数f 的最小值.求()()()211,sin2cos ,,,,R,22f x y y x y x x y x y x y y=++−∈∈≤≤∣的最大值.【答案】（1 （2）f 在(){},,R x y x y ∈∣上沿向量()1,1方向单调递增，理由见解析 （3）52【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算结合二元函数的定义求解即可； （2）根据二元函数在定义域上沿u 方向单调递增的定义求解即可； （3）根据(),f x y 的最大值的含义求解即可.【小问1详解】由已知有()()1,2,1f a a f b b a b ====⋅=，则()f a b a b +=+==；【小问2详解】()(),,0,,,1,1x y h a x y u ∈>==R， (),,2a hu x h y h x y h x y ∴+=++++>+，又(),e e x yx y f x y +−=+ ，()()2e e e e e e 0x h y h x h y h x y x yx y h x y f a hu f a ++++−−+−+++∴+−=+−−=−> ， 故f 在(){},,x y x y ∈R ∣上沿向量()1,1方向单调递增； 【小问3详解】由题意可类似的知道(),f x y 的最大值的含义，()21,sin2cos f x y y x y x y =++−()2221sin 2sin cos cos y x y x x x y=++21(sin cos )y x x y+ ()221sin y x yϕ++，其中1tan y ϕ=，（或者直接使用柯西不等式，()()2222(sin cos )1sin cos y x x y x x +≤++，当且仅当sin 1cos y xx=时取等号） 故()1,f x y y y ≤+，当ππ,Z 2x k k ϕ+=+∈时取等号，（或当tan x y =时取等号）， 又122y ≤≤，根据对勾函数单调性易知当12y =或2时，函数(),f x y 取最大值为52. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．.。
数学伴你学答案
数学伴你学真题及答案
数学是一门科学，它包括计算、理解和应用公式与定律，是学习科学和技术不可或缺的一部分，对于解决实际问题也起着重要作用。
学习数学需要掌握不同的知识和如何去运用它们。
这需要练习真题与答案，让自己有充分的演练。
一、把圆半径模拟为1时，圆的方程是：（）
A. (x-1)²+(y-1)²=1
B. x²+y²=1
C. (x-1)²+(y-1)²=r²
答案：B x²+y²=1
二、对于圆x²+y²=a²，它的圆心到原点的距离是（）
A. a
B. √2a
C. √a
答案：A a
三、半圆面积的计算公式是（）
A. S=πr²
B. S=πr
C. S=2πr
答案：C S=2πr
四、以圆弧扇形的中心角为θ，半径为r时，弧面积的计算公式是（）
A. S=(θ/2)π r²
B. S=θπ r²
C. S=(θ/π)r²
答案：B S=θπ r²
五、关于锐角三角形和平行四边形，以下哪一组说法是正确的？
（）
A. 锐角三角形内角之和为180°，平行四边形内角之和等于360°
B. 锐角三角形内角之和等于180°，平行四边形内角之和等于1080°
C. 锐角三角形内角之和等于720°，平行四边形内角之和等于
360°
答案：A 锐角三角形内角之和为180°，平行四边形内角之和等于360°。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学同步练习含答案及解析080914.pdf)
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为( )A.8，15，7B.16，2，2C.16，3，1D.12，5，32. 一组数据16，16，15，14，12，11的平均数为( )A.11B.12C.13D.143. 若cos(π4+α)=35，则sin2α=( )A.15B.−15C.725D.−7254. 甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点．则四人中去过磁器口古镇的人数是（ ）A.1B.2C.3D.45. 已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）A.2√2B.3C.2√3D.46. 若正方体的棱长为√2，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为( )A.√26B.√23C.√33D.237. 如图，已知两条异面直线a,b.所成的角为、 a ，点M,N分别在a,b上，且 MN⊥aMN⊥b P,Q分别为直线a,b上位于线段 MN同侧的两点，则PQ的长为（）A.√MP2+NQ2+MN2−2MP⋅NOcosθB.√MP2+NQ2+MN2+2MP⋅NOcosθC.{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}- 2MP\cdot NO\operatorname{ sin }\theta}D.{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}+ 2MP\cdot NQ\operatorname{ sin }\theta}8. 以BC为斜边的Rt△ABC中， BC2=AB2+AC2，由类比推理．在三棱锥P−ABC中，若PA，PB，PC．两两垂直，PA=a,PB=b,PC=c,S△ABC=s1,SΔA=S2S△APB=s3，则（）S△ABC=A.√a2b2+b2c2+a2c2B.√s21s22+s22S23+S23S21C.√a2+b2+c2D.√s21+s22+s23二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分（满分10分）的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数B.甲得分的众数大于乙得分的众数C.甲得分的平均数与乙得分的平均数相等D.甲得分的极差小于乙得分的极差10. 下列命题中，错误的是( )A.若z1，z2∈C，且z1−z2<0，则z1<z2B.若x+yi=1+i（x，y∈C），则x=y=1C.若z=a+bi（a，b∈R）则当且仅当a=0且b=0时，z=0D.若z1，z2∈C，且z21+z22=0，则z1=z2=011. 如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC=l，以下四个结论中正确的是( )A.AD//平面SBCB.l//ADC.若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积D.l与平面SCD所成的角为45∘12. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是( )A.→CB=→EFB.→OA+→OC+→OB=→0C.→OA⋅→FA=→ED⋅→BCD.|→OF+→OD|=|→OC−→OB|卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若iz＝−1+i，则复数z在复平面内对应的点的坐标是________．14. 在△ABC中，a=1,cosC=34，△ABC的面积为√74，则c=________.15. 已知一组数据82，91，89，88，90，则这组数据的方差为________．16. 已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90∘，则球O的体积为________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 如图，OABC是水平放置的等腰梯形，其上底长是下底长的一半，试用斜二测画法画出它的直观图（不写作法，保留作图痕迹．）18. 为增强学生体质，加强学生锻炼意识，某学校在高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率分布直方图如图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120) ，[120,130)上的频率依次成等差数列．(1)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(2)估计样本中这160名学生一分钟跳绳次数的中位数（结果精确到个位）．19. 甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)现要从甲，乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试结果，你认为应该派谁去合适？并且说明理由. 20. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ab +ba =sin 2CsinAsinB −1.(1)求角C ；(2)若BC =4 ，△ABC 的中线CD =2，求△ABC 的面积．21. 如图，三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA =AB ，点E ，F 分别为PA ，AB 的中点，点D 在PC 上，且PD =2DC.(1)证明：CF// 平面BDE ；(2)若△ABC 是边长为2的等边三角形，求三棱锥P −BDE 的体积.22. 在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD,AD//BC,AB =1,BC =2,∠ABC =60∘.(1)求证：平面PAC ⊥平面PAB ；(2)设平面PBC ∩平面PAD =l ，求证：BC//l.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】C【考点】分层抽样方法【解析】本题考查分层抽样方法，解题的主要依据是每个个体被抽到的概率相等，主要是一些比较小的数字的运算，本题是一个基础题．根据所给的三个层次的人数，得到公司的总人数，利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以三个层次的人数，得到结果．【解答】解：∵公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，∴公司共有160+30+10=200人，∵要从其中抽取20个人进行体检，∴每个个体被抽到的概率是20200=110，∴职员要抽取160×110=16人，中级管理人员要抽取30×110=3人，高级管理人员10×110=1人.故选C.2.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：因为数据为16，16，15，14，12，11，所以平均数为16+16+15+14+12+116=14.故选D．3.【答案】C【考点】诱导公式二倍角的余弦公式【解析】由已知直接利用诱导公式及二倍角的余弦求解．【解答】解：∵cos (π4+α)=35，∴sin2α=−cos(π2+2α)=−cos[2(π4+α)]=−[2cos 2(π4+α)−1]=1−2cos 2(π4+α)=1−2×(35)2=725．故选C ．4.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】由题意可知乙没有去磁器口古镇，对丙分两种情况讨论，若丙去过磁器口古镇，则丁没有去过磁器口古镇，若丙没有去过磁器口古镇，则丁一定去过磁器口古镇，所以四人中去过磁器口古镇的人数为2人．【解答】因为甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，所以乙没有去磁器口古镇，又因为丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点①若丙去过磁器口古镇，则丁没有去过磁器口古镇，②若丙没有去过磁器口古镇，则丙去的是洪崖洞民俗风貌区、乌江画廊三个网红景点中的某2个，所以丁一定去过磁器口古镇，综上所述，四人中去过磁器口古镇的人数为2人，5.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】不妨设N 在B 处，AM =h ，CQ =m ，则有MB 2=h 2+4，BQ 2=m 2+4，MQ 2=(h −m)2+4由MB 2=，=BQ 2+MQ 2⇒m 2−hm+2=0．△=h 2−8≥0⇒h 2≥8，可得直角三角形斜边MB =√4+h 2≥2√3．【解答】解：建立空间直角坐标系(如图)，由题意可设点M(0，−1，a)，N(√3，0，b)，Q(0，1，c)，且0≤a≤6，0≤b≤6，0≤c≤6，则→MN=(√3，1，b−a)，→QN=(√3，−1，b−c)，因为△MNQ为直角三角形，由题意不妨设∠MNQ为直角，所以→MN·→QN=0，即(b−a)(b−c)+2=0，√4+(a−c)2=√4+[(a−b)+(b−c)]2斜边长|MQ|=≥√4+4(a−b)(b−c)=√4+4×2=2√3，当a−b=b−c时取等号.故选C.6.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体（即由两个同底等高的正四棱锥组成），所有棱长均为1，其√22，中每个正四棱锥的高均为2×√22=√23．故正八面体的体积V=2V正四棱锥=2×13×1故选B．7.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】(I)B={x|log2(x+2)≤3}={x|0<x+2≤8}={x|−2<x≤6}.(II)∵A={x|x2−ax−6a2≤0}={x|(x−3a)(x+2a)≤0},B={x|−2<x≤6}.A∩B=B,∴B⊆A,当 a≥0 时,A={x|−2a≤x≤3a},则{−2≥−2a，6≤3a解得 a≥2;当 a<0时,A={x|3a≤x≤−2a}则{−2≥3a，6≤−2a解得 a≤−3.解得 a≤−3.综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞).【解答】(I)B={x|log2(x+2)≤3}={x|0<x+2≤8}={x|−2<x≤6}.(II)∵A={x|x2−ax−6a2≤0}={x|(x−3a)(x+2a)≤0},B={x|−2<x≤6}.A∩B=B,∴B⊆A,当 a≥0 时,A={x|−2a≤x≤3a},则{−2≥−2a，6≤3a解得 a≥2;当 a<0时,A={x|3a≤x≤−2a}则{−2≥3a，6≤−2a解得 a≤−3.解得 a≤−3.综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞).8.【答案】D【考点】类比推理柱体、锥体、台体的体积计算余弦定理二面角的平面角及求法与二面角有关的立体几何综合题【解析】此题暂无解析【解答】二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】C,D【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无【解答】解：由图可得甲的得分从小到大依次为8.8，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，乙的得分从小到大依次为8.5，8.9，9.4，9.6，9.6，9.8，10，则甲得分的平均数、中位数、众数、极差分别为9.4，9.5，9.5，1.1，乙得分的平均数、中位数、众数、极差分别为9.4，9.6，9.6，1.5，故A ，B 错误，C ，D 正确．故选CD ．10.【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用复数的基本概念【解析】由题意，根据复数的性质对选项进行逐一分析，进而即可求解.【解答】解：对于选项A ，因为复数不能进行比较大小，故选项A 错误；对于选项B ，因为x +yi =1+i ，若x =i ，y =−i ，则x +yi =i−i 2=1+i ，此时x ≠y ≠1，故选项B 错误；对于选项C ，已知z =a +bi （a ，b ∈R ），则当且仅当a =0且b =0时，z =0，故选项C 正确；对于选项D ，若z 1=1+i ，z 2=1−i ，则z 21=2i ，z 22=−2i ，此时z 21+z 22=0，但是z 1≠z 2≠0，故选项D 错误，综上，结论错误选项有ABD.故选ABD.11.【答案】A,B,D【考点】直线与平面所成的角两条直线平行的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，所以四边形ACBD 是正方形，所以AD//BC ，因为 BC ⊂平面SBC ， AD ⊄平面SBC ，所以AD//平面SBC ，故A 正确；因为平面SAD ∩平面SBC =l ，AD ⊂平面SAD ，AD//平面SBC ．所以l//AD ，故B 正确；若E 是底面圆周上的动点，当∠ASB ≤90∘时，△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积，当∠ASB >90∘时，△SAE 的最大面积等于两条母线的夹角为90∘的截面三角形的面积，故C 错误；因为l//AD，l与平面SCD所成的角就是AD与平面SCD所成的角，即∠ADO=45∘，故D正确．故选ABD．12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：A，∵→CB与→EF长度相等，方向相同，∴→CB=→EF，故A正确；B，→OA+→OC+→OB=→OA+→AB+→OB=2→OB，故B错误；C，→OA⋅→FA=→OA⋅→OB=|→OA|⋅|→OB|⋅cos60∘，→ED⋅→BC=→AB⋅→OA=|→AB|⋅|→OA|cos∘，∵|→OA|=|→OB|=|→AB|，∴→OA⋅→FA=→ED⋅→BC，故C正确；D，|→OF+→OB|=|→OA|，|→OC−→OB|=|→BC|，∵|→OA|=|→BC|，∴|→OF+→OD|=|→OC−→OB|，故D正确．故选ACD．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】(1,1)【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．【解答】∵iz＝−1+i，∴−i⋅iz＝−i⋅(−1+i)，则复数z在复平面内对应的点的坐标是(8,1)，14.【答案】√2【考点】三角形的面积公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵cosC =34，∴sinC =√74，∵△ABC 的面积为√74，a =1，∴12absinC =√74，解得：b =2，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab =34，解得：c =√2.故答案为：√2.15.【答案】10【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据定义，计算这组数据的平均数和方差即可．【解答】解：数据82，91，89，88，90的平均数为¯x =15×(82+91+89+88+90)=88，方差为s 2=15×[(82−88)2+(91−88)2+(89−88)2+(88−88)2+(90−88)2]=10．故答案为：10.16.【答案】√6π【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连结EF ，EC ，取AC 的中点N ，连结PN ，BN ，取△ABC的内心O1,连结PO1，O1C,在PO1上取点O，使PO=OC，则点O即为三棱锥的外接球的球心.∵∠CEF=90∘，∴CE⊥EF.∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF//PB，∴CE⊥PB.∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AC⊥BN.∵PA=PB=PC，∴AC⊥PN.∵PN∩BN=N，∴AC⊥面PBN，∴AC⊥PB.又CE⊥PB，AC∩CE=C，∴BP⊥面PAC，∴BP⊥PC，∴△PBC是等腰直角三角形，∴PB=PC=√2.在Rt△O1NC中，√32=2√33.O1C=NCcos30∘=1在Rt△O1CP中，O1P=√PC2−O1C2=√2−43=√63.∴在Rt△OO1C中，(√63−R)2+(2√33)2=R2，√62，解得R=3=√6π.故球的体积为43πR故答案为：√6π.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：【考点】斜二测画法【解析】在OABC的等腰梯形中，作出EC⊥OA于E，BA⊥OA于F，利用斜二测画法画出直观图．【解答】解：18.【答案】解：(1)[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列（设公差为d），故[100,110)上的频率为0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1.则[90,100) ，[100，110)，[110，120)的频率分别为0.05，0.15，0.25.(2)由[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为0.45可得中位数在[120，130)，设中位数为x，则有：(x−120)×0.035+0.45=0.5，解得x≈121.答：样本中这160名学生一分钟跳绳次数的中位数是121.【考点】频率分布直方图频数与频率等差数列的性质众数、中位数、平均数、百分位数【解析】(1)利用频数分布直方图得到[120，130)的频率，进而求出[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和，再利用[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率依次成等差数列即可得到答案.(2)由[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为0.45可得中位数在[120，130)，设中位数为x，列式即可得到答案.【解答】解：(1)[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列（设公差为d），故[100,110)上的频率为0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1.则[90,100) ，[100，110)，[110，120)的频率分别为0.05，0.15，0.25.(2)由[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为0.45可得中位数在[120，130)，设中位数为x，则有：(x−120)×0.035+0.45=0.5，解得x≈121.答：样本中这160名学生一分钟跳绳次数的中位数是121.19.【答案】解：(1)甲平均数为8+6+7+8+6+5+9+10+4+710=7，乙的平均数为6+7+7+8+6+7+8+7+9+510=7;S 2甲=110[(8−7)2+(6−7)2+...+(7−7)2]=3，S 2乙=110[(6−7)2+(7−7)2+...+(5−7)2]=1.2.(2)因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛.【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数的公式：平均数=所有数之和再除以数的个数，分别做出两组数据的平均数．【解答】解：(1)甲平均数为8+6+7+8+6+5+9+10+4+710=7，乙的平均数为6+7+7+8+6+7+8+7+9+510=7;S 2甲=110[(8−7)2+(6−7)2+...+(7−7)2]=3，S 2乙=110[(6−7)2+(7−7)2+...+(5−7)2]=1.2.(2)因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛.20.【答案】解：(1)由正弦定理得ab +ba =c 2ab −1，即a 2+b 2ab =c 2ab −1，化简得a 2+b 2−c 22ab =−12，由余弦定理得cosC =−12，由于C ∈(0，π)，所以C =2π3.(2)∵D 是AB 的中点，∴2→CD =→CA +→CB ，两边平方可得：4|→CD|2=|→CA |2+|→CB |2+2|→CA |⋅|→CB |cos 2π3，即4×22=|→CA |2+42+2×4×|→CA |×(−12)，解得|→CA |=4，∴S △ABC =12×|CA|×|CB|×sin ∠ACB=12×4×4×√32=4√3.【考点】余弦定理正弦定理三角形的面积公式向量在几何中的应用【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理求解即可；(2)由题意得到2→CD =→CA +→CB ，两边平方求出|→CA |=4，代入三角形面积公式即可得到答案.【解答】解：(1)由正弦定理得ab +ba =c 2ab −1，即a 2+b 2ab =c 2ab −1，化简得a 2+b 2−c 22ab =−12，由余弦定理得cosC =−12，由于C ∈(0，π)，所以C =2π3.(2)∵D 是AB 的中点，∴2→CD =→CA +→CB ，两边平方可得：4|→CD|2=|→CA |2+|→CB |2+2|→CA |⋅|→CB |cos 2π3，即4×22=|→CA |2+42+2×4×|→CA |×(−12)，解得|→CA |=4，∴S △ABC =12×|CA|×|CB|×sin ∠ACB=12×4×4×√32=4√3.21.【答案】(1)证明：设AE 中点为G ，连结GF,GC ，则GF//EB ， GF//平面EBD ，PGPE =PCPD =32 ,∴ED//GC ，GC//平面EBD ，∴平面 GFC// 平面 EBD ，∴FC// 平面EBD .(2)解：V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h，其中h为点B到平面PAC的距离，设BM⊥AC于M，∵ PA⊥BM，∴BM⊥平面PAC，h=BM=√3，S△PED=12PE⋅PD⋅sin∠APC=12×12PA⋅23PC⋅sin∠APC=13S△PAC=16PA⋅AC=23，∴V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h=2√39.【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：设AE中点为G，连结GF,GC ，则GF//EB， GF//平面EBD，PGPE=PCPD=32 ,∴ED//GC，GC//平面EBD，∴平面 GFC// 平面 EBD ，∴FC// 平面EBD .(2)解：V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h，其中h为点B到平面PAC的距离，设BM⊥AC于M，∵ PA⊥BM，∴BM⊥平面PAC，h=BM=√3，S△PED=12PE⋅PD⋅sin∠APC=12×12PA⋅23PC⋅sin∠APC=13S△PAC=16PA⋅AC=23，∴V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h=2√39.22.【答案】证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，因为AB=1，BC=2，∠ABC=60∘，由余弦定理，√AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC得AC==√12+22−2×1×2cos60∘=√3.2+(√3)2=22，即AB2+AC2=BC2，所以AC⊥AB.因为1又因为AC⊥PA，且PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.解：(2)因为BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC//平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD=l.所以BC//l.【考点】余弦定理两条直线平行的判定平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，因为AB=1，BC=2，∠ABC=60∘，由余弦定理，√AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC得AC==√12+22−2×1×2cos60∘=√3.2+(√3)2=22，即AB2+AC2=BC2，所以AC⊥AB.因为1又因为AC⊥PA，且PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.解：(2)因为BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC//平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD=l.所以BC//l.。
湖南师大附中高一下学期期末数学答案
湖南师大附中2017－2018学年度高一第二学期期末考试数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017－2018学年度高一第二学期期末考试数学参考答案，可知正确；选项C ，根据向量的结合律可知正确；选项D ，a ，b 不一定共线，故D 不正确．故选D.2．D 【解析】A.单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A 不对；B.A 、B 、C 、D 四点可能共线，故B 不对；C.只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C 不对；D.因AB →和BA →方向相反，是平行向量，故D 对．故选D.3．A 【解析】cos 12°cos 18°－sin 12°sin 18°＝cos (12°＋18°)＝cos 30°＝32，故选A.4．C 【解析】函数f(x)＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故选C.5．D 【解析】由向量模的不等关系可得：|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. |a ＋b |≤|a |＋|b |，故A 恒成立． |a |－|b |≤|a ＋b |，故B 恒成立．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，故C 恒成立．令a ＝(2，0)，b ＝(－2，0)，则|a |＝2，|a ＋b |＝0，则D 不成立．故选D.6．B 【解析】根据函数的图象A ＝ 2. 由图象得：T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2πT＝2.当x ＝π3时，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2·π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π，φ＝－2π3＋k π.k ∈Z . 由于|φ|<π2，取k ＝1，解得：φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 则：f(π)＝62，故选B. 7．C 【解析】根据题意，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，则有OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)； 故选C.8．B 【解析】∵(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α ＝(sin 2α＋cos 2α)－2sin αcos α； 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝310，∴(sin α－cos α)2＝1－2×310＝25； 得sin α－cos α＝±105； 由π4＜α＜π2，知22<sin α<1，0<cos α<22，故有sin α－cos α＞0， 则sin α－cos α的值是105.故选B. 9．C 【解析】∵α∈(0，π2)，∴π6＋α∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，由cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝223，则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6＋α－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos π6－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin π6＝223×32－13×12＝26－16.故选C. 10．B 【解析】将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选B.11．D 【解析】由题意可得OP →－OA →＝AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB →·cos B ＋AC→||AC →·cos C ， 所以AP →·BC →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →||AB →·cos B ＋AC →·BC →||AC →·cos C＝λ()－||BC →＋||BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即点P 在BC 边的高所在直线上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心，故选D.二、填空题12．π 【解析】(略)13．－12【解析】sin α＋cos β＝1，两边平方可得：sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝1，①， cos α＋sin β＝0，两边平方可得：cos 2α＋2cos αsin β＋sin 2β＝0，②，由①＋②得：2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，即2＋2sin (α＋β)＝1， ∴2sin (α＋β)＝－1. ∴sin (α＋β)＝－12.14.178 【解析】∵AB →⊥AC →，|AB →|·|AC →|＝1，建立如图所示坐标系，设B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C(0，t)，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t)，AP →＝AB→|AB →|＋AC →4|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋14t (0，t)＝(1，14)，∴P(1，14)， ∵P 为线段BC 上一点，∴可设PC →＝λPB →，从而有⎝⎛⎭⎫－1，t －14＝λ⎝⎛⎭⎫1t－1，－14，即⎩⎨⎧λ⎝⎛⎭⎫1t －1＝－1，t －14＝－14λ，解之得t ＝12.∴B ()2，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12.显然P ⎝⎛⎭⎫1，14为BC 中点，∴点P 为△ABC 外接圆圆心．Q 在△ABC 外接圆上，又当AQ 过点P 时||AQ →有最大值为2||AP →＝172， 此时AP →与AQ →夹角为θ＝0°，cos θ＝1.∴()AP →·AQ →max＝172×174＝178. 三、解答题15．【解析】(1)由题意，cos α≠0，由5sin α－cos αcos α＋sin α＝1，可得5tan α－11＋tan α＝1，即5tan α－1＝1＋tan α，解得tan α＝12.(4分)(2)由(1)得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43，tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋11－tan 2α＝－7.(8分)16．【解析】(1)角α的终边过点(3，4)，∴r ＝32＋42＝5， ∴sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35；∴a ·b ＝2sin α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin α＋sin αcos π4＋cos αsin π4＝2×45＋45×22＋35×22＝322.(5分)(2)若a ∥b ，则2sin αsin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4＝1，即2sin α⎝⎛⎭⎫sin αcos π4＋cos αsin π4＝1，∴sin 2α＋sin αcos α＝1，∴sin αcos α＝1－sin 2α＝cos 2α， 对锐角α有cos α≠0， ∴tan α＝1， ∴锐角α＝π4.(10分)17．【解析】(1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos xsin x －32(1＋cos 2x) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(6分)(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f(x)单调递增；π2≤2x －π3≤π即512π≤x ≤2π3时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．(12分) 18.14924 【解析】a 2＋a 20b 7＋b 15＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝S 21T 21＝14924. 19．2 【解析】可以将函数式整理为f(x)＝x 2＋1＋2x ＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，不妨令g(x)＝2x ＋sin xx 2＋1，易知函数g(x)为奇函数关于原点对称，∴函数f(x)图象关于点(0，1)对称．若x＝x 0时，函数f(x)取得最大值M ，则由对称性可知，当x ＝－x 0时，函数f(x)取得最小值m ，因此，M ＋m ＝f(x 0)＋f(－x 0)＝2.20．【解析】(1)如图，取PD 中点M ，连接EM 、AM.由于E 、M 分别为PC 、PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC ，又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM.因为PA ⊥底面ABCD ，故PA ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面PAD ，因为AM 平面PAD ，于是CD ⊥AM ，又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD.(5分)(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面PAD ， 得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM ，又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD.所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33.(13分) 21．【解析】(1)∵在四边形ABCD 中， AD ∥BC ，AB ＝3，∠A ＝120°，BD ＝3.∴由余弦定理得cos 120°＝3＋AD 2－92×3×AD ，解得AD ＝3(舍去AD ＝－23)， ∴AD 的长为 3.(5分)(2)∵AB ＝AD ＝3，∠A ＝120°，∴∠ADB ＝12(180°－120°)＝30°，又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ＝30°.∵∠BCD ＝105°，∠DBC ＝30°，∴∠BDC ＝180°－105°－30°＝45°，△BCD 中，由正弦定理得BC sin 45°＝3sin 105°，解得BC ＝33－3.(9分)从而S △BDC ＝12BC·BDsin ∠DBC ＝12×(33－3)×3×sin 30°＝94(3－1)．(10分)S △ABD ＝12AB ×ADsin A ＝12×3×3×sin 120°＝34 3.(11分)∴S ＝S △ABD ＋S △BDC ＝123－94.(13分) 22．【解析】(1)当b ＝－1时，f(x)＝x|x －a|－x ＝x(|x －a|－1)， 由f(x)＝0，解得x ＝0或|x －a|＝1， 由|x －a|＝1，解得x ＝a ＋1或x ＝a －1. ∵f(x)恰有两个不同的零点且a ＋1≠a －1， ∴a ＋1＝0或a －1＝0，得a ＝±1.(4分) (2)当b ＝1时，f(x)＝x|x －a|＋x ，①∵对于任意x ∈[1，3]，恒有f （x ）x ≤2x ＋1，即x|x －a|＋xx≤2x ＋1，即|x －a|≤2x ＋1－1， ∵x ∈[1，3]时，2x ＋1－1>0， ∴1－2x ＋1≤x －a ≤2x ＋1－1，即x ∈[1，3]时恒有⎩⎨⎧a ≤x ＋2x ＋1－1，a ≥x －2x ＋1＋1，成立．令t ＝x ＋1，当x ∈[1，3]时，t ∈[2，2]，x ＝t 2－1.∴x ＋2x ＋1－1＝t 2＋2t －2＝(t ＋1)2－3≥(2＋1)2－3＝22， ∴x －2x ＋1＋1＝t 2－2t ＝(t －1)2－1≤0， 综上，a 的取值范围是[0，22]．(8分)②f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ＋x ，x ≤ax 2－ax ＋x ，x>a ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －a ＋122＋（a ＋1）24，x ≤a ，⎝⎛⎭⎫x －a －122－（a －1）24，x>a. 当0＜a ≤1时，a －12≤0，a ＋12≥a ，这时y ＝f(x)在[0，2]上单调递增， 此时g(a)＝f(2)＝6－2a ；当1＜a ＜2时，0＜a －12<a ＋12＜a ＜2，y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤0，a ＋12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤a ＋12，a 上单调递减，在[a ，2]上单调递增，∴g(a)＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝⎛⎭⎫a ＋12，f （2），f ⎝⎛⎭⎫a ＋12＝（a ＋1）24，f(2)＝6－2a ，而f ⎝⎛⎭⎫a ＋12－f(2)＝（a ＋1）24－(6－2a)＝（a ＋5）2－484，当1＜a ＜43－5时，g(a)＝f(2)＝6－2a ； 当43－5≤a ＜2时，g(a)＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋12＝（a ＋1）24；当2≤a ＜3时，a －12<a ＋12<2≤a ，这时y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤0，a ＋12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤a ＋12，2上单调递减， 此时g(a)＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋12＝（a ＋1）24；当a ≥3时，a ＋12≥2，y ＝f(x)在[0，2]上单调递增，此时g(a)＝f(2)＝2a －2.综上所述，x ∈[0，2]时，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧6－2a ，0<a<43－5（a ＋1）24，43－5≤a<32a －2，a ≥3..(13分)。
2021年新高一数学人教A版衔接讲义 含答案
3.1 集合....................................................................................................................................... 26
③完全立方和公式： (a b)3 ________________________ ④完全立方差公式： (a b)3 ________________________
公式③、④我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到 立方和与立方差的公式呢？
⑤立方和公式： a3 b3 _________________________ ⑥立方差公式： a3 b3 _________________________
第一章——前言
首先，恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习，同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个 更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高 中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时“知识体系更严谨”、 “考查方式更灵活”、“数学思想更重要”。
引例 2：设 a, b, c 为均为正数，且 c b ，证明： a2 c2 a2 b2 c b
引例 2 体现了________________的数学思想，体现了________________________的学习技巧
*思考题：设 a, b, c 为均为正数，求证： a2 c2 a2 b2 c b
高一数学练习册答案下 (2)
高一数学练习册答案下一、整式的加减运算1.1 加减运算的定义在整式的加减运算中，我们将同类项放在一起，然后根据同类项的系数进行加减运算。
1.2 实例演练例题1：计算以下整式的和或差：(1)3x2−5x+2+2x2+3x−1(2)4a3b2−5a3+2ab2+3a2b−4b2+a2b2解答：(1)合并同类项，得到(3x2+2x2)+(−5x+3x)+(2−1)。
合并同次幂的项：5x2+(−2x)+1。
最终结果为：5x2−2x+1。
(2)合并同类项，得到(4a3b2+2ab2)+(−5a3+3a2b)+(a2b2−4b2)。
合并同次幂的项：4a3b2+2ab2−5a3+3a2b+a2b2−4b2。
最终结果为：4a3b2−5a3+2ab2+3a2b−4b2+a2b2。
二、一元二次方程2.1 一元二次方程的定义一元二次方程是指关于一个未知数的方程，它的最高次项是二次项。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a eq0。
2.2 求解一元二次方程的方法常用的求解一元二次方程的方法有因式分解法、配方法、求根公式法等。
三、平面向量3.1 平面向量的定义平面向量是空间解析几何中的重要概念，它由大小和方向共同确定。
平面向量常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
3.2 平面向量的运算常用的平面向量运算有加法、减法、数量乘法等。
平面向量的加法：两个平面向量的加法运算是将对应分量相加得到的向量。
平面向量的减法：两个平面向量的减法运算是将对应分量相减得到的向量。
平面向量的数量乘法：将一个平面向量的每个分量都乘以一个实数得到的向量。
四、概率统计4.1 随机事件和概率随机事件是指在一次试验中可能发生的结果，每种结果的发生是随机的。
概率是研究随机事件发生可能性的数学工具，用一个介于0和1之间的数来表示。
4.2 概率的计算方法计算概率可以采用频率方法、古典概型、几何概型、统计概型等不同的方法。
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一、填空.
1、平行四边形底长a米,高是底的1.8倍,面积是()。
2、货车每小时行S千米,客车每小时行m千米,客车3小时和货车5小时一共行驶了()千米.
3、食堂买来200千克煤,已烧了a天,还剩b千克,平均每天烧了()千克。
4、每个足球x元,买4个足球,付出200元,应找回()元。
5、三个连续双数,已知中间一个数是m,那么前一个数是(),后一个数是(),三数之和是()。
6、当x＝5时,x2＝(),2x＋8＝()
7、当a＝5时,b=()才能使a×(7＋b)＝52.5
8、一种商品降价a元后是80元,原价是()元.
二、判断.(对的打”√”,错的打”×”)
1、方程一定是等式,等式不一定是方程.……………………………()
2、小明今年a岁,哥哥比他大b岁,c年后,哥哥比他大b＋c岁.…()
3、x的3倍与3x相等.………………………………………………()
4、3x＋4x＝7x,3a＋4b＝7ab………………………………………()
5、4x－20＝4与50－5x＝20的解是相同的.………………………()
三、选择题.(填序号)
1、下列式子中是方程的是()
①4a＝0.8②0.17x＋2.5③3x＋7>15④3.5x－1.7x<8
2、47除以一个数所得的商是6余5,求这个数的方程是()
①6x＋5＝47②6x-5＝47③47÷6－5＝x
3、当a＝8,b＝6时,2a＋3b等于()
①36②34③240
4、甲数是a,是乙数的3倍,乙数是()
①3a②a÷3③2a
5、一个正方形边长是8米,若边长增加2米,面积增加()
①4平方米②16平方米③36平方米④100平方米
6、根据8x－6＝50,可得到3x＋7的值是()。
①50②28③21
四、解下列方程.
（1）4x－0.32＋1.6=2.08（2）28－x＋3.6＝20（3）3.5x－0.8x＝11.34
（4）9x－14×5.5＝58（5）6.2x－x＝41.6（6）2.8÷(3＋x)=3.5×0.2
五、计算下面每个平行四边形的面积
2.6cm15dm
2.6cm16dm
六、列方程解决问题
1、汽车站有480箱货物,一辆货车运了5次,还剩30箱,平均每次运多少箱?
2、A,B两城相距150千米,甲乙两人同时骑自行车从两地相对出发,甲每小时行16千米,4小时后,两人还相距30千米,乙每小时行多少千米?
3、龟兔赛跑,全程200米,龟每分钟跑2.5米,兔每分钟跑32米,兔自以为是,在途中睡了一觉,当龟到达终点时,兔子离终点还有40米,兔子在途中睡了几分钟?
4、同学们植树,一班比二班多植63棵,一班42人,平均每人植8棵,二班39人,平均每人植多少棵?
5、两辆汽车从相距400千米的两地同时相对开出,3小时后还相距10千米,已知一辆汽车每小时行驶55千米,求另一辆汽车速度?
6、鸡兔同笼,共有35个头,94条腿,求鸡兔各有几只?
【智力冲浪】
一个平行四边形的周长是78cm（如图），以CD为底时，它的高是18cm，又BC是24cm，求它的面积。
A D
B24C。