电场力做功

二、静电场的环路定理
1.定理表述 定理表述 静电场中电场强度沿任意的闭合路径绕行一周积 分等于零。 分等于零。
∫
L
r r E ⋅ dl = 0
4
2.定理证明 定理证明 将电荷 q0 沿任意的闭合路 径绕行一周电场力作功： 径绕行一周电场力作功：
L1
b
r r A = q0 ∫ E ⋅ d l
L
b
E
r r r r = q0 ∫ L1E ⋅ d l + ∫ L 2 E ⋅ d l b a
r E1
r E2
r E3
a
Va = ∫
b a
b
c
c b
r
r r E1 ⋅ d l +
∫
r r E2 ⋅ d l +
∫
∞
c
r r E3 ⋅ d l
14
第一类问题：点电荷系电势的计算。 第一类问题：点电荷系电势的计算。
例1：在正方形四个顶点上各放置 +q、+q、-q、-q 四 ： 、 、 、 个电荷， 个电荷，求正方形中心 o 点的电势 V。 。
对于点电荷系，电势能要用求和的方式表示， 对于点电荷系，电势能要用求和的方式表示，
q0 qi 1 1 − = ∑ q0 qi − ∑ q0 qi A=∑ rib i 4πε 0 ria 4πε 0 rib i 4πε 0 ria i
= WPa − WPb = −∆WP
q
R
dq
r
dV =
dq 4πε 0 r
o
1
x
dV
x
环上各点到轴线等距。 环上各点到轴线等距。
V =∫
q dV = ∫ dq = 2 2 1/ 2 4πε 0r 4πε 0 ( x + R )
q 0
16
例3：均匀带电圆盘，半径为 R，带电为 q，求圆盘轴 ：均匀带电圆盘， ， ， 线上一点的电势 V。 。 解：将圆盘分割成无限多 个同心圆环， 个同心圆环，
r r q0 q WP = ∫ q0 E • dl = 4πε 0 r r
∞
点移到∞ 意义为将实验电荷从r点移到 时电场力作的功。 时电场力作的功。
7
电场力作功等于势能增量的负值。 电场力作功等于势能增量的负值。
q0 q 1 1 − A= 4πε 0 ra rb
= = WPa − WPb −(WPb − WPa ) = −∆WP
A重 = mgh − mgh0
重力势能
mg
h
W p = mgh
= q0q qq − 0 4πε 0ra 4πε 0rb
在点电荷q产生的电场中电场力作功 在点电荷 产生的电场中电场力作功
Aab = q0 q 1 1 − 4πε 0 ra rb
h0
同样可以引入静电势能Wp 同样可以引入静电势能 作为电势能的0点时 的电势能为： 令rb=∞作为电势能的 点时，点电荷 的电势能为： 作为电势能的 点时，点电荷q的电势能为
A = q0 ∫
b
a
r r E ⋅ d l = q0Vab
移动电荷q 移动电荷 0时电场力的功等于电势差与电荷电量的乘 积。 11
注意： 、电势差与电势不同，电势差具有绝对意义， 注意：1、电势差与电势不同，电势差具有绝对意义，它的数 值与电势0点的选择无关 点的选择无关。 值与电势 点的选择无关。 2、对于无限分布的带电体，不能取无穷远点为电势的 、对于无限分布的带电体， 0点。这时只有电势差有意义。 点 这时只有电势差有意义。 3、实际工作中常以仪器设备的外壳、大地作为电势 点。 、实际工作中常以仪器设备的外壳、大地作为电势0点 这时内部的电压就是对外壳或大地的电压。 这时内部的电压就是对外壳或大地的电压。
∫
b
a
r r E ⋅ dl
点为电势能0点 令b点为电势能 点，引入 点为电势能 电势定义为： 电势定义为： 单位：伏特，V 单位：伏特， 点电 荷的电势 注意： 注意：
V=
WP V= = q0
WP q0
0势能点
r r ∫ E •d l
r
qq0 = 4πε 0rq0
=
q 4πε 0r
1、电势是描述静电场又一种方法。电势的计算与试验电荷q0 、电势是描述静电场又一种方法。电势的计算与试验电荷 无关，它的大小等于将单位正电荷从r移到势能 移到势能0点时电场力所 无关，它的大小等于将单位正电荷从 移到势能 点时电场力所 作的功。 作的功。 2、电势是标量，只有正负之分（但无方向）。 、电势是标量，只有正负之分（但无方向）。
0
E ∫∫S dS =
∑q
ε0
高斯面
20
1 ∑q E= 2 4πε 0 r
区 r < R, I区：球面内 ∑q = 0
E1 = 0
II I q o r E R
r r
区 r > R, II区：球面外 ∑q = q
q E2 = 2 4πε 0 r 1
高斯面
21
•I区：球壳内电势 区
r<R
II I
选无穷远为电势0点 选无穷远为电势 点，
r
q o r
R E r r
= ∫ E2dr
∞ r
∞ r
Q dl // dr // E
高斯面
q q dr = =∫ 2 4πε 0 r 4πε 0r 1
23
II I q o R
II I q o R
18
若带电体是无限大均匀带电为σ的平面，结果如何？ 若带电体是无限大均匀带电为 的平面，结果如何？ 的平面
19
第三类问题：场强线积分法 第三类问题：场强线积分法——具有高度 具有高度 r ∞ r 对称的场。 对称的场。Va = ∫a E ⋅ d l 例4：均匀带电球壳半径为 R，电量为 q， ： ， ， 求：球壳内、外的电势分布。 球壳内、外的电势分布。 球壳内、 解：球壳内、外的场强 r q o 作高斯球面 R E r r r ∑q r r ∫∫SE ⋅ dS = ε
4πε 0 ( x + y )
2
σ 2πydy
2 1/ 2
讨论： 讨论：当 x >> R 时，级数展开 2 R 2 2 x +R ≈x+ +L 2x 2 2 σ R = σπR = q V= 2ε 0 2 x 4πε 0 x 4πε 0 x 带电体距场点很远时，可视为点电荷。 带电体距场点很远时，可视为点电荷。
r E
r r E ⋅ dl > 0
作功： 作功：
∫
L
r r E⋅ dl > 0
L
与环路定理矛盾，电力线为非闭合曲线。 与环路定理矛盾，电力线为非闭合曲线。
6
三、电势能、电势、电势差 电势能、电势、
由于电场力是保守力，可以引入势能的概念。 由于电场力是保守力，可以引入势能的概念。 重力是保守力， 重力是保守力，作功为
y
q 电荷面密度 σ = 2 πR dq = σdS = σ 2πydy
由均匀带电圆环计算结 论
q
y
dy
r
o
R
x
P
x
1 σ 2πydy dq = dV = 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 4πε 0 ( x + y ) 4πε 0 ( x + y )
1
17
V = ∫ dV = ∫
R 0
1
σ 2 2 = ( x + R − x) 2ε 0
3.电势差Vab 电势差V
空间任意两点间电势之差称为电势差（ 空间任意两点间电势之差称为电势差（也称为 电压）： 电压）： r b r A WPa WPb = − = ∫ E ⋅ dl
q0 q0 q0
a
Vab = Va − Vb
=∫
b
a
r r E ⋅ dl
电势差 Vab 大小等于将单位正电荷从 a 点移动到 b 点 时电场力所作的功。 时电场力所作的功。
五、电势的计算方法
电势定义 1.点电荷系 点电荷系
A W V= = q0 q0
V = ∑ Vi
i =1 n
=∑
n
i =1
4πε 0ri
12
qi
2.积分法 —— 电荷连续分布的带电体 积分法 将带电体分割成无限多个电荷元， 将带电体分割成无限多个电荷元，利用积分法求解电 势。 dq dV = 4πε 0 r dV
b r r 1 qi dri Aab = q0 ∫ ∑ E i • d l = q0 ∑ ∫ 2 i a 4πε 0 ri a i
3
q0 qi 1 1 − Aab = ∑ 4πε 0 ria rib i
电场力的功只与q 始末位置有关，而与q 电场力的功只与 0始末位置有关，而与 0所经过的路 径无关，电场力为保守力，静电场为保守力场。 径无关，电场力为保守力，静电场为保守力场。
这里引入的电势能是与q 有关的， 这里引入的电势能是与 0有关的，并不反映电场的特 在电磁学中常用的是电势。 性。在电磁学中常用的是电势。
8
2.电势V .电势V
A = WPa − WPb = q0 ∫a
b
r r E ⋅ dl
将上式同时除以q0： 将上式同时除以
A WPa WPb = − = q0 q0 q0
第三章
电
势
1
一、电场力做功
1.在点电荷的场中场力做功 在点电荷的场中场力做功 点电荷q 在 点电荷 产生的电场中 将检验电荷 q0 从 a 点沿 任意的路径移动到 b 点， q 电场力作功为： 电场力作功为： r b r Aab = ∫ F ⋅ d l
a
r b rb
r q0 ra
a
r dl r
θ
dr F
Va = ∫
Fra Baidu bibliotek
∞
a
r r E ⋅ dl
=∫
=∫
∞
a
r r r r (E1 + E 2 + L + E n ) ⋅ d l
a a
n
∞
a
r r ∞ r r r ∞ r E1 ⋅ d l + ∫ E 2 ⋅ d l + L + ∫ E n ⋅ d l
i =1
10
= V1 + V2 + L + Vn = ∑ Vi
V1 = ∫
R
r
r r ∞r r E1 ⋅ d l + ∫ E 2 ⋅ d l
R
q o r
E R r r
Q dl // dr // E 高斯面 q q ∞ 1 dr = = ∫R 2 4πε 0 r 4πε 0 R
22
= 0 + ∫ E2dr
∞ R
•II区：球壳外电势 区
r>R
II I
选无穷远为电势 0 点， r ∞ r V2 = ∫ E 2 ⋅ d l
4
解：由
V =∑
i =1 =1
4πε 0 ri
qi
+q
r
+q
=
1 4πε 0r
(q + q − q − q )
o
=0
−q
−q
15
第二类问题：积分法 连续带电体 连续带电体。 第二类问题：积分法—连续带电体。
例2：均匀带电圆环，半径为 R，带电量为 q，求圆环 ：均匀带电圆环， ， ， 轴线上一点的电势 V。 。 解：将圆环分割成无限多 个电荷元： 个电荷元：
θ
dr F
r
q0q 1 1 = − 4πε 0 ra rb
r r r F = q0 E = q0 ∑ E i
i
b
E
2、对于点电荷系产生的电场，试验电荷受力 、对于点电荷系产生的电场，
这时将试验电荷沿任意路径从a点移到 点电场力做功为 这时将试验电荷沿任意路径从 点移到b点电场力做功为： 点移到 点电场力做功为：
由于
r r F = q0 E
b a
r E
Aab = q0 ∫
r r b E ⋅ d l = q0 ∫a Edl cosθ
2
由图中可见： 由图中可见：dl cosθ=dr
Aab = q0 ∫ Edr
a
b
b
rb
点电荷的场
Aab = q0 ∫
rb
ra
q dr 2 4πε 0 r 1
q
dl q0 ra a
a
a
L2
b r r b r r = q0 ∫ L1E ⋅ d l − ∫ L 2 E ⋅ d l a a
r r ∴∫ E⋅ dl = 0
L
证毕
5
∫
L
r r E⋅ dl = 0
将实验电荷沿任意的闭合路径绕行一周电场力所作的功 为 0。 。 3.由环路定理可证明静电场的一重要性质 由环路定理可证明静电场的一重要性质——静电场的 由环路定理可证明静电场的一重要性质 静电场的 电场线不是闭合曲线 反证法：假设电场线为闭合曲线，将 反证法：假设电场线为闭合曲线， 单位正电荷沿电场线移动一周
9
3、电势的计算与电势0点的选取有关，对带电量为有限大小的 、电势的计算与电势 点的选取有关 点的选取有关， 带电体可以选择无穷远为电势 但对电荷无限分布的带电 带电体可以选择无穷远为电势 0 点。但对电荷无限分布的带电 体则不能选无穷远为电势 0 点。
4、电势的叠加原理：点电荷系在空间某点的电势为各点电荷 、电势的叠加原理： 在该点产生电势的代数和。 在该点产生电势的代数和。
r
V =∫
V体
dV
= ∫V
dq 4πε 0r
dq
P
体
V体
注意：叠加原理适用于取 点为电势 点为电势0点的情 注意：叠加原理适用于取∞点为电势 点的情 况。 13
3.场强的线积分法 具有高度对称性的场 场强的线积分法—具有高度对称性的场 场强的线积分法
由 Vr = ∫r
∞
r r E ⋅ dl
注意分区域积分