西北工业大学线性代数试题2011_11_
西北工业大学线性代数试题2011_05_
线性代数试题（３４）
(2011.5) 一、 （18 分）选择填空： 1．设 A, B 都是 n 阶矩阵，下面一定成立的结论是（ ） ．
的全体特征值与线性无关的特征向量，以及 A ．
2 八、 （15 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ax12 + ax 2 + 2 x32 + 2 (2 − a ) x1 x 2 的秩为 2．
1．求 a 的值； 2．求正交变换 x = Q y 将 f ( x1 , x 2 , x3 ) 化为标准形； 3．求方程 f ( x1 , x2 , x3 ) = 0 的解．
求全体表示式． 五、 （12 分） 已知齐次方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 x1 + b x 2 + 2 x 3 = 0 （Ⅰ） 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 0 与 （Ⅱ） 2 x + x + ax = 0 2 x1 + b x 2 + 3x 3 = 0 1 2 3
同解，求 a , b 的值． 六、 （10 分） 设 An×n 的两个特征值 λ1 ≠ λ2 ，对应的特征向量分别为 x1 , x 2 ， 方程组 Ax = b 的一个解向量为 x3 ，且 b 不能由 x1 , x 2 , x 3 线性表示，证明：向量组 x1 , x 2 , x 3 线性无关．
− 1 1 1 − 1 七、 （15 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，且 A 0 − 1 = 0 1 ，求 A 1 1 − 1 − 1
西安工业大学线性代数第二学期试题(B卷)--11月4日
22
212
1213352626x x x x x x x ，则此二次型的秩为命题教师：1.出题用小四号、宋体输入打印， 纸张大小为8K.
考 生：1.不得用红色笔，铅笔答题，不得在试题纸外的其他纸张上答题，否则试卷无效。
2.参加同卷考试的学生必须在“备注”栏中填写“同卷”字样。
3.考试作弊者，给予留校察看处分；叫他人代考或代他人考试者，双方均给予开除学籍处理。
并取消授予学士学位资
命题教师：1.出题用小四号、宋体输入打印， 纸张大小为8K.
考 生：1.不得用红色笔，铅笔答题，不得在试题纸外的其他纸张上答题，否则试卷无效。
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3.考试作弊者，给予留校察看处分；叫他人代考或代他人考试者，双方均给予开除学籍处理。
并取消授予学士学位资
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3.考试作弊者，给予留校察看处分；叫他人代考或代他人考试者，双方均给予开除学籍处理。
并取消授予学士学位资。
11级线性代数试卷A答案
中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。
三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。
四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。
五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。
六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。
西交《线性代数》在线作业(资料答案)
西交《线性代数》在线作业-0001试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 35 道试题,共 70 分)1.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )A.A^-1CB^-1B.CA^-1B^-1C.B^-1A^-1CD.CB^-1A^-1答案:A2.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案:A3.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的( )。
A.充分必要条件；B.必要而非充分条件；C.充分而非必要条件；D.既非充分也非必要条件答案:C4.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
A.a1-a2,a2-a3,a3-a1B.a1,a2,a3+a1C.a1,a2,2a1-3a2D.a2,a3,2a2+a3答案:B5.设A为三阶方阵,且|A|=2,A*是其伴随矩阵,则|2A*|=是( ).A.31B.32C.33D.34答案:B6.设A,B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要条件是( ).A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA答案:D7.设A3*2,B2*3,C3*3,则下列( )运算有意义A.ACB.BCC.A+BD.AB-BC答案:B8.设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为-1,2,则|B|=A.-1B.-2C.1D.2答案:B9.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )A.a1-a2,a2-a3,a3-a1B.a1,a2,a3+a1C.a1,a2,2a1-3a2D.a2,a3,2a2+a3答案:B10.设A为三阶方阵,|A|=2,则 |2A-1| = ( )A.1B.2C.3D.4答案:D11.设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1,则此行列式︱A︱的值为( ).A.3B.15C.-10D.8答案:C12.设a1,a2,a3,a4,a5是四维向量,则( )A.a1，a2，a3，a4，a5一定线性无关B.a1，a2，a3，a4，a5一定线性相关C.a5一定可以由a1，a2，a3，a4线性表示D.a1一定可以由a2，a3，a4，a5线性表出答案:B13.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若c1u1-c2u2是其导出组Ax=o的解, 则有( ).A.c1+c2=1B.c1= c2C.c1+ c2 = 0D.c1= 2c2答案:B14.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是( ).A.∣A∣>0B.存在n阶矩阵P，使得A=PTPC.负惯性指数为0D.各阶顺序主子式均为正数答案:D15.用一初等矩阵左乘一矩阵B,等于对B施行相应的( )变换A.行变换B.列变换C.既不是行变换也不是列变换答案:A16.若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( )A.A与B相似B.A≠B，但|A-B|=0C.A=BD.A与B不一定相似，但|A|=|B|答案:A17.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1,2,3,它们的余子式分别为-1,1,2,D的值为( )A.-3B.-7C.3D.7答案:A18.设A为n阶方阵,r(A)<n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是( )A.Ax=0只有零解B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D.Ax=0没有解答案:C19.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解,若c1u1+c2u2也是方程组Ax = b的解,则( ).A.c1+c2 =1B.c1= c2C.c1+ c2 = 0D.c1= 2c2答案:A20.设三阶矩阵A的特征值为1,1,2,则2A+E的特征值为( ).A.3，5B.1，2C.1，1，2D.3，3，5答案:D21.设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.若AB=AC，则B=CB.(A-C)^2 = A^2-2AC+C^2C.ABC= BCAD.|ABC| = |A| |B| |C|答案:D22.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( )A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>3答案:A23.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案:A24.设 A、B、C为同阶方阵,若由AB = AC必能推出 B = C,则A应满足( ).A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠0答案:D25.设A,B均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.(A+B)(A-B) = A^2-B^2B.(AB)^-1 = B^-1A^-1C.若AB= O, 则A=O或B=OD.|AB| = |A| |B|答案:D26.设A,B均为n阶方阵,则( )A.若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)^-1=B^-1A^-1答案:A27.设A为m*n矩阵,则有( )。
西工大17春《线性代数》在线作业满分答案
A.错误
B.正确
满分：4分
正确答案:B
3. 1
A.错误
B.正确
满分：4分
正确答案:B
4.
下面描述是否正确
A.错误
B.正确
满分：4分
正确答案:A
5. 1
A.错误
B.正确
满分：4分
正确答案:B
6. 1
A.错误
B.正确
满分：4分
正确答案:B
7. 1
A.错误
B.正确
满分：4分
正确答案:A
8.
下面叙述是否正确？二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
（一）应对宏观经济方面的对策
银行中间业务的发展与宏观环境密不可分，面对日益复杂的国内外环境，商业银行应该积极把握时代脉搏，主动应对各种挑战，顺应大环境的变化，积极推进中间业务的发展。
1、面对我国经济增长大形势的措施
宏观经济的繁荣可促进商业银行中间业务的发展。国家生产总值的提高利于金融业的繁荣，货币供应量的对数与商业银行非利息收入呈正相关。随着我国经济的发展，人民生活水平提高，经济活动日益复杂多样。在这种情况下，对银行的业务提出了更高要求。商业银行要适应这种需求，就要提高业务的质量和水准，为人们提供更好的服务。首先优化服务质量，缩短办理业务的时间，提高资金跨国跨地划转速度，提高服务的便捷度，为客户提供更好的服务。其次提高服务水准，提高财富管理产品的收益、优化控制汇率利率多重风险产品的设计。这样才能让商业银行在经济发展的浪潮中立于不败之地，
西工大17春《线性代数》在线作业
试卷总分:100得分:100
一、单选题(共2道试题,共20分)
1. 1
A.
B.
C.
D.
西北工业大学高数期末试题10-11二学期B卷及答案
共6页第1页班级：学号：姓名：班级：学号：姓名：高等数学2009--2010第二学期期终考试试题答案及评分标准A卷一、1、-8，2、，3、，4、8π，5、，6、。
二、1, 2、，3、，4、，5、3，6、[]2121+-，，缺闭区间扣一分。
三、1、解：设切点…………………2分由已知条件得：，得到.………..4分切平面方程为即……………..6分2、解：……………..3分……………..6分3、解：………………4分………………6分四、1、解：g f fy xx u v∂∂∂=+∂∂∂，g f fx yy u v∂∂∂=-∂∂∂，…………….2分vfvfxvufxyufyx∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222g,vfvfyvufxyufxy∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222g, ………………..5分222222g gx yx y∂∂+=+∂∂………………6分2．解：设dydppyp=''=',y，………………………2分得到舍去）(,0y==+ppdydp，解得ycp1=，100(,)dy f x y dx⎰83π12eπ+1415-{}00000(,,),,2,1P x y z n x y=-224000sind d drππθϕϕ⎰⎰143π0021221x y-==-2230x y z+--=2200002,1, 3.2xx y z y===+=2(2)2(1)(3)0x y z-+---=231131()12y yyydy e dxy y e dy e∂=-=-⎰⎰⎰8232008222336dz d drz dzπθππ==⎰⎰⎰2y1=-由初始条件yy 21,21c 1='=， ………………………4分 22c x y +=, 由初12=c ,其特解为1,12+=+=x y x y 或。
……………………..6分 3.、解：由xQy p ∂∂=∂∂，得x e x f x f x f =-'-'')()()（，………………2分 x x x e y e c e c Y 21,221-=+=*-,由初始条件61,3221-==c c , x x x e e e x f 216132)(2--=- ……….4分(1,1)(0,0)()2()()x f x f x e ydx f x dy ''⎡⎤+++⎣⎦⎰ =⎰-+=-+--101212216134216134e e e dy e e e ）. ……………….6分五、解：1151lim lim (1)55n n n n n na n a n ++→∞→∞⋅==+⋅, ∴收敛半径为5R =…………………..2分 当5x =-时, 15n n∞=∑发散; 当5x =时,11(1)5n n n -∞=-⋅∑收敛 ∴收敛区间为(5,5]-…………………………………………………4分 设和函数1111111100110(1)()(1)55 [(1)][(1)()]5551 ln(1), (5,5]5515n n n n nn n n n xx n n n n n n x x S x x x n n t x t x dt dt n x x dt x x t -∞∞+-==∞∞---==-==-⋅⋅'=-=-⋅==+∈-+∑∑∑∑⎰⎰⎰………..…7分 …………………….8分六、解：设旋转曲面S 的方程为 12222=++z y x ，--------------------1分给定的方向 )0,21,21(0-=l方向导数函数)(2c o s c o s c o s y x zf y f x f l f -=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα --------2分 设)12()(2222-+++-=z y x y x L λ， ---------------3分令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==∂∂=+-=∂∂=+=∂∂1202022042222z y x z z Ly y L x x Lλλλ ------------------4分解之得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=02242z y x λλ 23±=λ ------------------6分23=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3-=∂∂l f 23-=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3=∂∂lf所以，所求的S 上的点为)0,36,66(- ------------------7分 七、解：……………………3分000()()(x)lim()(1)()lim lim x x x x x f x x f x f x f x e f x e x x∆→∆∆→∆→+∆-'=∆-∆=+∆∆(x)()(0),(),(0)0,0..xx x f f x f e y ax c e f c y axe ''=+=+=∴== 111100(x)(1)(1)(1)!!x x x x n n n n f axe aexe ae x e aee x x ae ae n n ---+∞∞=====-+--=+∑∑………………………6分………………………7分(2009)(1)2010ae f =n=100(1)(1)=ae (1)!!(1)(1),.!n nn nn x x ae n n n x ae x R n ∞∞=∞=--+-+-=∈∑∑∑。
西工大19秋《线性代数》在线作业
1
A:相似变换矩阵 B:相近变换矩阵 C:相似变换 D:相近变换 答案：A 1 A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：A 1 A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：B 2 A:错误 B:正确 答案：B
下面叙述是否正确？ 二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：B
请检查答案是否正确？
A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：A 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：A 1 A:错误B:正确答案：A 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：A
下面描述是否正确A:错误来自:正确答案：A
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数习题大全试题与答案解析
3. 求实数a和b, 使向量组1 1,1,0,0,2 0,1,1,0 3 0,0,1,1与向量组1 1, a, b,1, 2 2,1,1,2, 3 0,1,2,1等价.
三、证明题 (每小题8分，共24分)．
1.设A为m n矩阵, B为n m矩阵,且m n,试证明
det(AB) 0.
1 2
1 4 7 2
1 10 17 4
4
1
3 3
2．求解下列线性方程组
1
23xx112xx2263xx3345xx4423xx55
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
x1 3 x2 3 x3 2 x4 x5 3
2
2 x1 6 x2 x1 3 x2 2 x3
有非零解？
四、证明(每小题8分，共24分)．
a2 b2 1. c2 d2
a 12 b 12 c 12 d 12
0;
a 22 b 22 c 22 d 22
a 32 b 32 c 32 d 32
2 cos
1
2. Dn
1
2 cos
1
sinn 1 ;
sin
1 1
1 2cos
10100 11000
5. 已知A 0 1 1 0 0则秩RA
00110 01011
6. 方程组AX 0以1 1,0,2,2 0,1,1为其基
础解系, 则该方程的系数矩阵为
7. 设
1
2,
1,2,3,
A
,则秩RA
3
8.向量组1 1,2,3,4,2 2,3,4,5,3 3,4,5,6
其余情形, 方程组无解.
通解为x
2 2
西北工业大学试题高等数学期末考试题
8．______________________
9. ______________________ 二、选择题(每小题 4 分, 共 40 分) 题号 答案 1 2 3 4
10._______________________
5
6
7
8
9
10
教务处印制
共6页
第 4页
西北工业大学命题专用纸
三、 (10 分) 计算曲面积分
′′ ′′ ′ (D) 2 x 2 f12 + xyf 22 + f 2
1 x2
g′
y x3
g ′′ .
∫∫
D
R 2 x 2 y 2 d x d y, 其中 D 是由圆周 x 2 + y 2 = R y 所围成的闭区域，则
有 I =（
(A) 0;
）
(B)
1 3 ； R （3 π 4） 9
(C)
1．______________________
2．______________________
3．______________________
4．______________________
5．______________________
6．______________________
7．______________________
1
3
2 x 1
e y d y = ____________;
2
8. 设 L 为取顺时针方向的圆周 x 2 + y 2 = 2 在第一象限中的部分，则曲线积分
∫ x d y 2 y d x = ________;
L
共6页 第 1页
西北工业大学2011-2012年高数期中考试题答案
1、
解因为 ，（有下界），2分
又因 ，所以存在 ，使得 时， ，
即 时， 单减4分
根据单调有界原理 ，由 得 。5分
2、
解 2分
5分
3、已知 ，求
解
3分
5分
教务处印制共6页 第4页
西北工业大学命题专用纸
四、求待定常数（每小题6分，共12分）
1、试确定 和 的值，以使
6.下列命题正确的是（D）
A.如果在 上， ，在 上， ，则
一定是 的拐点；
B.如果在 上， ，则 在 内一定有极小值点；
C.如果在 上， ，则 在 内一定有极大值点；
D.如果在 上可微，则 在 内一定有最大、最小值点。
教务处印制共6页 第2页
西北工业大学命题专用纸
二、填空题（每小题4分，共36分）
5分n?n?1?2limx?0?cos3x?x?2lncos3x解lim?cos3x?x?0x?2?limex?0?x22分9sin3x1???23xcos3x?92?limex?03sin3xcos3x2x?limex?0?e5分3已知f??1??7求limx?0解limx?0f?cosx??f?1?x?sin2xf?cosx??f?1?x?sin2xx??f?1??cosx?1???f?1?cosx?1f?1?x??f?1?????lim??3分x?0cosx?1sin2x?xsin2x??17?f??1??0?f??1??5分22教务处印制共6页第4页西北工业大学命题专用纸四求待定常数每小题6分共12分ax2?bx?2?51试确定a和b的值以使limx?1xlnx解因为极限存在且limxlnx?0所以lim?ax2?bx?2??a?b?2?03分x?1x?1ax2?bx?22ax?b?lim?2a?b?55分因为limx?1x?1xlnxlnx?1所以由a?b?2?02a?b?5得a?3b??1
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第1章二阶与三阶行列式习题课
a13 a23 a33 a43
证：利用行列式性质及行列式按列展开（性
质法、展开法）
1111
1
1
1
1
D4
a1 a12
a13
a2 a22 a23
a3 a32 a33
a4 a42 a43
r4 a1r3 r3 a1r2 r2 a1r1
0 0 0
a2 a1
a2 a2 a1 a22 a2 a1
a3 a1
1
a1 a12 a n1
1
1
a2 a22 a n1
2
1
an
an2
ai a j
ห้องสมุดไป่ตู้
1 jin
a n1 n
3 利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例6 计算
1 11 2 22 2n Dn 3 32 3n . n n2 nn
z ax by y x y ay bz
x ay z y z bx a2 y az x b2 z x by
z ax y x y bz
xyz yzx a3 y z x b3 z x y
zxy xyz
xyz xyz a3 y z x b3 y z x
zxy zxy
６ 用数学归纳法
例10 证明
az bx ax by ay bz
zxy
解： ax ay bz az bx by ay bz az bx
左式 ay az bx ax by bz az bx ax by
az ax by ay bz bx ax by ay bz
x ay bz az bx y ay bz az bx a y az bx ax by b z az bx ax by
西工大线性代数1试题(15-11)
⎜⎛ a 1 1 ⎟⎞⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛0⎟⎞
6．设方程组 ⎜ 1 a 1 ⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜0⎟ 的基础解系所含向量个数为 1，则 a 的值为(
)．
⎜⎝ 1 1 a ⎟⎠⎜⎝ x3 ⎟⎠ ⎜⎝0⎟⎠
⎜⎛1 0 1⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
7．已知 A, B 均为 3 阶矩阵，满足 AB + E = A2 + B ，如 A = ⎜ 0 2 0⎟ ，则 B = ⎜
4．设 A = (α1,α2,α3) 为正交矩阵，其中α1,α2,α3 为列向量，则 3α1Tα1 − 2α2Tα3 = ( )． 5 ． 设 α1,α2 ,α3 均 为 3 维 列 向 量 ， 矩 阵 A = (α1,α1 − α2,2α3 − α2 ) ， B = (α1,α2,α3) ， 如 det A = 2 ，则 det B = ( )．
⎟．
⎜⎝1 0 1⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
8. 若 f = 2x12 + x22 + 2x32 + 2tx1x2 + 2x2x3 为正定二次型，则 t 满足的范围是(
)．
9. 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，如1,−2 是 A 的特征值，B 的对角元之和为 3，则 B 的特征值
为(
)．
二、(10 分) 计算 n 阶行列式
1 2 2L 2 2
2 2 2L 2 2
2 Dn = M
2 M
3 M
L
2 M
2 M
2 2 2 L n −1 2
2 2 2L 2 n
三、(10
分)
设 α1
=
⎜⎛ ⎜
1 2
⎟⎞ ⎟
，α2
=
⎜⎛ 3⎟⎞ ⎜0⎟
西北工业大学《线性代数》课件-第五章向量组的线性相似变换
A 2 E 4 1 0 0 1 0
4 8 0 0 0 0
T
得基础解系 p1 0 0 1 ;
所以对应于 1 2的全部特征向量为 k1 p1 ( k1 0)
对 2 3 1, 求解方程组 ( A E ) x 0
4 8 2
解 A的特征多项式
3 1
0
det( Α Ε ) 4 1 0 ( 2)( 1) 2
4
8 2
特征值 1 2， 2 3 1 (二重特征值 )
对 1 2, 求解方程组 ( A 2 E ) x 0
定理5.3 设 1 , 2 , , m 是方阵 A的 m个互不相同的
特征值,对应的特征向量分别为 p1 , p2 , , pm , 则
p1 , p2 , , pm 线性无关.
对 m 用数学归纳法证明.
。
1 当 m 1 时， p1 0 p1 线性无关；
证明
。
2 假设在 m -1时，结论成立，则当 m 时，设
对 2 3 2, 求解方程组 ( A 2 E ) x 0
4 1 1 4 1 1
A 2E 0 0 0 0 0 0
4 1 1 0 0 0
同解方程组为 x 2 4 x1 x3
T
得基础解系 p2 1 4 0 ,
定理5.1 设 n阶方阵 Α ( aij ) nn 的特征值为 1 , 2 , ,
n，则
(1) 1 2 n a11 a22 ann；
线性代数典型题解析及自测试题刘光祖西北工业大学出版社
经济类课程提高与应试丛书线性代数典型题解析及自测试题彭建华主编陈伟青张玉霞副主编彭建华陈伟青张玉霞崔丽鸿编西北工业大学出版社陕新登字(009)号【内容简介】本书总共分为三部分。
第一部分典型题解析, 给出了各章的内容提要; 从众多试卷、习题中精选出课程必考内容的典型题并给出了详细解证, 同时在题后的评注中给出了解题方法、技巧或易错点; 每章后附有适量习题。
第二部自测试题, 是根据课程要求给出的模拟或全真试题。
附录为习题及试题答案。
本书可作为高等学校经济类专业本科、大专学生的课程辅导及应试参考书, 也可以作为考研的强化训练指导书。
图书在版编目(CIP)数据线性代数典型题解析及自测试题/ 彭建华主编. —西安: 西北工业大学出版社,2000. 8(经济类课程提高与应试丛书)ISBN7 5612 1271 2Ⅰ. 线. . . Ⅱ. 彭. . . Ⅲ. 线性代数研究生入学考试解题Ⅳ. 0151 .244中国版本图书馆CIP数据核字(2000) 第38613 号*○C2001 西北工业大学出版社出版发行(邮编: 710072 西安市友谊西路127 号电话: 8493844)全国各地新华书店经销西安市向阳印刷厂印装*开本: 850 毫米×1 168 毫米1/32 印张: 8 字数: 188 千字2000 年8 月第1 版2001 年1 月2 版第1 次印刷印数: 8 001 —14 000 册定价: 12. 00 元购买本社出版的图书,如有缺页、错页的,本社发行部负责调换。
前言微积分、线性代数、概率论与数理统计是现代数学的三大支柱;是经济数学的主要组成部分; 是高等学校经济类各专业重要的基础课;也是经济学硕士研究生入学考试内容。
对高等学校本科生或报考硕士研究生的考生,在掌握了经济数学主要内容的基础上,为了强化其技能训练,提高解题技巧和水平, 我们根据多年教学经验的积累和经济类各专业的特点,编写了“经济类课程提高与应试丛书”之一的《线性代数典型题解析及自测试题》一书。
线性代数(第一层次III) 试题 西北大学试题真题
线性代数（第一层次III）试题西北大学试题真题一、填空题（每空3分）1．已知四阶行列式, 则的第二列元素的代数余子式的和．2．已知是二个三维列向量，，则．3．设方阵A满足，则．4．已知向量组则该向量组线性无关的充要条件是．5．设，为二阶方阵，且满足则．6．已知向量组线性无关，向量组，其中，，，，向量空间，则的维数．7．已知阶方阵满足，且，则的一个特征值是．8．已知二次型是正定的，问应满足．二、（10分）计算阶行列式三、（10分）已知二阶方阵满足，其中，是二阶单位矩阵，是的伴随矩阵，求．四、（15分）已知线性方程组问：为何值时，方程组有唯一解、无解、无穷多解？在无穷多解时，求通解．五、（10分）已知方阵，是的伴随矩阵的一个特征向量，求的值．六、（10分）已知上的二组基：（I），（II）（1）求：基（I）到基（II）的过渡矩阵；（2）问：是否存在非零向量，使在基（I）下的坐标x与基（II）下的坐标满足，其中？若存在，求．七、（15分）设二次型通过正交变换化为标准形，求参数及所用的正交变换．八、（6分）设分别是、矩阵，且证明的列向量组与的列向量组等价．线性代数（第一层次III）试题西北大学试题真题答案一、1. 42. -53. 4.两两互异5.（任意）6. 27. -18.二、三、由得，由于，所以由上式得．又由于，所以可逆，故四、可求得，于是1) 当且时，有惟一解；2) 当时，可见，，无解；3) 当时，可见时，，，无解；而时，，有无穷多解．此时，同解方程组为，通解为，即（任意）五、法1设，两边左乘得，即，也即当时，解得．．法2当可逆时，与又相同的特征向量．于是，设，即，也即解得．此时，所以也是的特征向量．六、(1) 由于，，其中，所以故由基( I )到基( II )的过渡矩阵为（2）坐标变换公式为．当时，有，即．由于同解方程组为，通解为（任意），故（任意）七、(1) 二次型的矩阵，（正交）相似于，于是是的特征值．利用解得于是．可求得对应特征值的特征向量分别为，，将正交化，再单位化得，，故正交变换为八、设，．又设写成矩阵形式得，其中，．由于，方程组有解，故的列向量组可由的列向量组线性表示．又由于方程组有解，故的列向量组可由的列向量组线性表示．从而的列向量组与的列向量组等价．。
数电西北工业大学考试A卷
西北工业大学命题专用纸（A卷）
五、（共21分）分析如下的时序逻辑电路。
1．（9分）画出图5(a)(b)(c)电路的状态转换图，并回答是几进制计数器。
图5（a）图5（b）图5（c）
2．（6分）由维持阻塞式D触发器组成的电路如图6（a）所示。给定输入A、B脉冲如图6（b），试画出触发器复位端 的波形和触发器输出端Q1、Q2的电压波形。设Q1、Q2初态为0。图6（a）图6（b）
附录：
1.异步2－5－10进制计数器74LS90的逻辑框图和功能表：
2．四位超前进位全加器74LS283的逻辑关系和逻辑框图：4．集成定时器555的逻辑框图和功能表：
COF3F2F1F0=A3A2A1A0+B3B2B1B0+CI
3．3线-8线译码器74LS138的逻辑框图和功能表：
教务处印制（A卷）共8页 第7页
假设运动是匀速运动交叉点为起始位置箭头方向为小汽车前部驾驶室位置ctctcrldcoctrdiv16ct5474161cpd3d2d1d0q374ls138stcstbstaa2a1a074ls138stcstbstaa2a1a0q2q1q0前进后退左转右转lrfbs1srg474ls194d0q0q1q2q3a0a1a2enmux74ls151cpd1d2d3irdils0y输出西北工业大学命题专用纸a卷六10分使用jk触发器组成的同步时序逻辑电路如图7a所示
（2）将原函数化简为与或式；
（3）写出其对偶函数的最小项表示式；图1（a）图1（b）
（4）写出该函数的最大项表示式；
2.（12分）异步2-5-10进制计数器74LS90和四位2进制倒T型D/A转换器组成的电路如图2（a）所示。设计数器初始状态Q0Q1Q2Q3=0000。要求：
西北工业大学矩阵论复习
A G mn max aij
i, j
证明： 是Cmn中的矩阵范数，且与向量的2-范数相 容.
4. 设可逆矩阵SRnn, 且 x s Sx 2 是Rn中的
向量范数. 若 A s 表示Rnn中从属于向量范数
x s 的矩阵范数，试导出 A 与矩阵2-范数之间 s
的关系.
5. 设Vn 是数域R上的线性空间，xVn在基 (I) x1,x2,,xn下的坐标为=(a1,a2,an)T. (1)证明： x 2 是Vn中的向量范数。 (2)设xVn在基 (II) y1,y2,,yn下的坐标为
(3) C上的线性空间V上的T ，一定存在V的一个基使
得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵
(4) C 上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T
在该基下的矩阵为对角阵 T有n个线性无关的特征
向量。
(5) Hamilton 定理与矩阵的最小多项式
6. 不变子空间
定义: W是V的子空间，T是V的线性变换，如果
2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关.
3. 求向量组
1 (1,2,1,0) 1 (2,1,0,1) 2 (1,1,1,1) 2 (1,1,3,7)
分别生成的子空间的交的基和维数.
4. 设 V1, V2 分别是
V1 ( x1 , x2 , xn ) x1 x2 xn 0, xi K V2 ( x1 , x2 , xn ) xi xi1 0, xi K
a 1 a 1 1 a 1 1 1 a
()=(+2)2(-1)4, 最小多项式为mA()=(+2)(-1)3,
求出的若当标准形.
2011-2012年西北工业大学材料学院考研试题及答案
西北工业大学2011年硕士研究生入学考试试题试题名称：材料科学基础 试题编号：832 说 明：所有答题一律写在答题纸上 第 1 页 共 2 页一、 简答题（每题10分，共50分）1. 请从原子排列、弹性应力场、滑移性质、柏氏矢量等方面对比刃位错、螺位错的主要特征。
2. 何谓金属材料的加工硬化？如何解决加工硬化对后续冷加工带来的困难？3. 什么是离异共晶？如何形成的？4. 形成无限固溶体的条件是什么？简述原因。
5. 两个尺寸相同、形状相同的铜镍合金铸件，一个含90%Ni ，另一个含50%Ni ，铸造后自然冷却，问哪个铸件的偏析严重？为什么？二、 作图计算题（每题15分，共60分）1、 写出{112}晶面族的等价晶面。
2、 请判定下列反应能否进行：]001[]111[2]111[2a aa →+3、 已知某晶体在500℃时，每1010个原子中可以形成有1个空位，请问该晶体的空位形成能是多少？（已知该晶体的常数a ＝0.0539，波耳滋曼常数K ＝1.381×10-23 J / K ）4、单晶铜拉伸，已知拉力轴的方向为[001]，ζ=106 Pa ，求(111)面上柏氏矢量的螺位错线上所受的力（）三、 综合分析题（共40分）1. 经冷加工的金属微观组织变化如图a 所示，随温度升高，并在某一温度下保温足够长的时间，会发生图b-d 的变化，请分析四个阶段微观组织、体系能量和宏观性能变化的机理和原因。
2.根据Ag-Cd二元相图：1)当温度为736℃、590℃、440℃和230℃时分别会发生什么样的三相平衡反应？写出反应式。
2)分析Ag-56%Cd合金的平衡凝固过程，绘出冷却曲线，标明各阶段的相变反应。
3)分析Ag-95%Cd合金的平衡凝固与较快速冷却时，室温组织会有什么差别，并讨论其原因。
西北工业大学2011年硕士研究生入学考试试题参考答案试题名称：材料科学基础试题编号：832说明：所有答题一律写在答题纸上第 1 页共 7 页四、简答题（每题10分，共50分）6.请从原子排列、弹性应力场、滑移性质、柏氏矢量等方面对比刃位错、螺位错的主要特征。
西北工业大学线性代数自测题答案
第一章 行列式1. (1) 2n ；(2) 2n2. (1) 12 偶排列； (2) 9 奇排列；(3) 3=i 8=k ； (4)5544322113a a a a a ，5145322413a a a a a ，5441322513a a a a a ； (5) 0=D ；(6) d n)1(-；(7) !)1(2)2)(1(n n n ---；(8) 0；(9) 153.(1) abcdef 4；(2) 0；(3) -1800；(4) 15.(1) !)1(!1n n n ⋅-++；(2) 2)2)(1(2)1(24---⋅--n n n n ；(3) 1)(])1([--⋅-+n a b a n b ；(4) 1=n 时，111x D +=；2=n 时，212x x D -=；3≥n 时，0=n D (5) n n a n D )1(+=；(6)n nn n b b b b a b a D 2111)1(+++= 6.442322212=+++A A A A8.11=x 12-=x 13-=x 14=x 9.0=a 或2)1(+-=n n a 时有非零解第二章 矩阵及其运算1.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=324211532A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=361411321B (2) ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=+-=32133212321291235923329z z z x z z z x z z x2.(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------112224010356(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000 (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n na na na a a a a a a212222111211222 (5) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n na a a na a a na a a 2122221112112223.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-k k k k kk 3000303031A 4.181det -=B 6.(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a b b a 311A (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-10100011b a A (3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-174152244611A (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-10001100111011111A (5) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-34000230000000000cos sin 00sin cos 211θθθθA (6) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-3000630036309361311A 7.选C8.(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=48010232X (2) )122(-=X (3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11231118X 9.记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22321x10.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=2010321300100012X 11.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=306030303X13.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101321212003n nn n n n A14．记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D CB OΜ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-43211X X X X M 其中i X 均为n 阶矩阵 111---=DB C X ，12-=C X ，13-=B X ，O X =415.1det =A16.(1)错 (2)对 (3)错 (4)错 (5)错 (6)对 (7)错 (8)对17.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-131213233231211n n A (2) 选(c) (3) 143-n n (4) 选(a)(5) 选(d) (6)E A 3421-- (7) -2 (8) -1第三章 矩阵的初等变换1.秩为r 的矩阵中，有等于0的1-r 阶的子式，如矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001 秩为2，但有一阶子式等于0；秩为r 的矩阵中，有等于0的r 阶的子式，如矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001 秩为2，但有2阶子式00001=；没有不等于0的1+r 阶的子式，由定义即可知． 2.(1) 3)(=A r (2) 3)(=A r3.(1) 52)ˆ()(<==AA r r ,故方程组有无穷多解，通解为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===---=+++-=3524133212321162223516k x kx k x k k k x k k k x ),,(321为任意常数k k k (2)该方程组无解(3)该方程组有唯一解⎪⎩⎪⎨⎧-=-==7237127101x x x4.)1(1112111D μλμλλ-==(1)当0D ≠，即0≠λ且1≠μ时，方程组有唯一解； (2)当0=λ时，方程组无解； (3)当1=μ且21≠λ时，方程组无解；当1=μ且21=λ时，方程组有无穷多组解，通解为⎪⎩⎪⎨⎧==-=k x x k x 32122 )(为任意常数k 5.(1)1≠a 时，方程组有无穷多解，通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=---=kx k x k a x k a x 4321)5(1)3(1 )(为任意常数k(2) 1=a 时，方程组有无穷多解，通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++-=24132122112211k x k x k k x k k x ),(21为任意常数k k 6.(1)1-=λ，2-=a(2)通解为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=k x x kx 3212231 )(为任意常数k7.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102010001P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100Q 或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010201Q 8.(1) 1=a 时,方程组有无穷多解，通解为⎪⎩⎪⎨⎧==-=k x x k x 3210 )(为任意常数k(2) 1≠a 且2≠a 时，方程组无解，与题意不符；2=a 时，方程组有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧-===110321x x x9.(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2145431A (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-53515153111010B(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=-11310132132201111C (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00530021********1D 10.(1) 1 (2) 选(d) (3) 对 (4)对第四章 向量组的线性相关性（一）1. )3,1,0,4(261-=η2.(1)3=x (2)6≠x3.(1) 线性相关 (2) 线性无关 (3) 线性相关4.(1)当m t -≠1且1≠t 时，m βββ,,,21 线性无关； (2)当m t -=1或1=t 时，m βββ,,,21 线性无关．7.(1) 该向量组的秩为3，,321,,ααα为其极大无关组；(2) 该向量组的秩为2，),,(,313221ββββββ或为一个极大无关组． 10.2=y ，0=z12.(1) 错 (2) 对 (3) 错 (4) 错 (5) 错13.(1) 选(a) (2) 选(c) (3) 选(a) (4) 选(a) (5)s r > (6) 选(a)第四章 向量组的线性相关性（二）1.(1) 1V 是向量空间，它的一组基为T 1)0,0,1,1,1(-=α，T 2)0,1,0,0,0(=α，T 3)1,0,0,0,0(=α(2) 2V 不是向量空间．(3) 3V 是向量空间，),,(,313221αααααα或者是它的一组基． 2.)0,21,21(1-=γ ，)62,61,61(2=γ，)31,31,31(3--=γ3.(1) 由基)(I 到基)( 的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------4131302042233122 (2))4,3,2,1(=α在基)(I 下的坐标为T )4,3,0,1(-=x(3)存在非零向量432120ααααv k k k +--⋅=在两组基下坐标相同4.(1) 由基)(I 到基)( 的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01111010(2) 21ββα+=在基)(I 下的坐标为T )1,1,1(-=x5.(1) 由基)(I 到基)( 的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----423736947(2) α在基)(I 下的坐标为T )1,2,2(-=x6.(1)该方程组的一组基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0127231ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10212ξ，通解为2211ξξx k k += ),(21为任意常数k k(2) 该方程组的一组基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001421ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010752ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100853ξ，通解为332211ξξξx k k k ++= ),,(321为任意常数k k k(3)该方程组只有零解8.该方程组的通解为ξηηk +=*，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201*η，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=842ξ10.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010001021B11.线性方程组βAx =的通解为ξηηk +=*，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111*η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0121ξ12.(1) 错 (2) 错 (3) 对 (4) 对13. (1) 6=a (2) T )1,,1,1( k (3) 选(a) (4) 2211ββk k + ),(21为任意常数k k (5) 2 (6)第五章 矩阵的相似变换1.(1) A 的特征值为11=λ，22=λA 的对应于11=λ的所有特征向量为11p k )0(1≠k ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211pA 的对应于22=λ的所有特征向量为22p k )0(2≠k ，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112p特征向量不正交．(2) B 的特征值为11=λ，22-=λ，43=λB 的对应于11=λ的所有特征向量为11p k )0(1≠k ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121p B 的对应于22-=λ的所有特征向量为22p k )0(2≠k ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2212pB 的对应于43=λ的所有特征向量为33p k )0(3≠k ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1223p321,,p p p 两两正交． 3.3-=a ，1=b4.(1) A 可对角化，存在可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=104003214P ，使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2111ΛAP P(2) B 可对角化，存在可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210101111P ，使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4221ΛBP P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅--⋅-⋅-⋅----⋅-------+=n nn nn nn n n nn n n n n nn n4242)2(2)2(242)2(44)2(3)2(4)2(44)2()2(421B (3) 该矩阵不能对角化5.(1) 是 (2)不是6.(1)),,(321q q q Q =，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=811T AQ Q ，其中T 1)0,52,51(-=q ，T2)35,532,534(--=q ，T 3)32,31,32(=q(2) ),,(321q q q Q =，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=313TBQ Q ，其中T 1)31,31,31(=q ，T 2)0,21,21(-=q ，T3)62,61,61(-=q8. B 的全部特征值为21-=λ，132==λλ，其对应的特征向量为T 1)1,1,1(-=p ，T 2)0,1,1(=p ，T 3)1,0,1(-=p9.(1)A 的全部特征值为11-=λ，12=λ，03=λ，其对应的特征向量为T 1)1,0,1(-=p ，T 2)1,0,1(=p ，T 3)0,1,0(=p(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001000100A10. 5=a ，4=b所用的正交变换为Qy x =，其中⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31623161213161210Q 11.(1) 错 (2) 对 (3) 错 (4) 对 12.(1)(2) 1 (3) 2 (4) r n -2第六章 二次型1. (1) 320213031⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A (2) 200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A (3) 1201201301121322⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 2. (1) 1b =(2) 222322f y y =+(3) Tx k =3. (1) 1102201011022⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A4. (1) 正定 (2) 负定7 (1) b ; (2) n ; (3) 12t <<; (4) c; (5) c; (6) a。
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1 b12 b13 1 b12 b13 (a) 1 b23 ； (b) 0 b23 ； 1 1 1 b12 b13 0 b12 b13 (c) 0 b23 ； (d) 0 b23 ． −1 0 3． 已知齐次方程组 Ax = ０ 的基础解系为 (1, 0, 1, 0) T ， 则 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 的 列向量组的一个最大线性无关组是（ ） ． (a) α 1 , α 2 ； (b) α 3 , α 4 ； (c) α 1 , α 2 , α 3 ； (d) α 1 , α 2 , α 4 ．
4．设 A3×3 是实矩阵， x = ( x1 , x 2 , x3 ) T 是实向量， f ( x) = x T Ax ，则（ (a) f ( x) 不是二次型； (b) f ( x) 是二次型，且该二次型的矩阵是 A ； (c) f ( x) 是二次型，且该二次型的矩阵是 1 ( A + AT ) ； 2 (d) f ( x) 是二次型，且该二次型的秩等于 rank A ． x 1 1 L 1 1 1 x 0 L 0 0 0 1 x 0 L 0 二、 （12 分）计算行列式 Dn = (n > 1) ． M O O O O M 0 L 0 1 x 0 0 L 0 0 1 x 三、 （12 分）求 X 使满足 X + BXA = XA + BX + 2 E ，其中 2 0 0 1 1 1 1 0 0 A = 1 2 0 ， B = 1 1 1 ， E = 0 1 0 1 1 2 1 1 1 0 0 1 ） ．
α ∈ R 3 在基(1)和基(2)下的坐标分别为 x = ( x1 , x 2 , x3 ) T 和 y = ( y1 , y 2 , y3 ) T ， 且满足
y1 = x1 + x 2 + x3 y 2 = − x1 + 3 x 2 + x3 y = x − x + x 3 1 2 3
1．求由基(1)改变为基(2)的过渡矩阵 C ； 2．讨论对那些常数 λ ，存在非零向量 α ，使得 y = λ x ． 八、 （10 分）设 A 是 n ( ≥ 2) 阶方阵， r0 是 n 维非零列向量，若向量组
r0 , Ar0 , A 2 r0 , L, A n 定线性无关．
1 1 1 1 0 四、 （15 分）设 A = − 1 0 1 a − 1 , b = 1 ． 0 1 a c 2
１． 讨论线性方程组 Ax = b 的可解性； ２． 选取有解情形之一，求出 Ax = b 的一般解．（用向量形式表示） 五、 （15 分）已知二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) 的秩为 2，其中
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = b x12 + b x 2 + b x3 − 2 x1 x 2 − 2 x1 x 3 − 2 x 2 x3
1．求参数 b ； 2．用正交变换将 f ( x1 , x 2 , x3 ) 化为标准形，并写出使用的正交变换．
1 1 1 六、 （12 分）设向量组 T1 ： α 1 = 0 , α 2 = 1 , α 3 = − 1 2 3 b 1 2 2 T2 ： β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 1 b + 1 b + 4 b + 2 １． 当 b 为何值时，向量组 T1 与 T2 等价； ２． 当 b 为何值时，向量组 T1 与 T2 不等价． 七、 （12 分）设向量空间 R 3 的基(1)为 α 1 ,α 2 , α 3 ，基(2)为 β 1 , β 2 , β 3 ，向量
线性代数试题（３５）
(2011.11) 一、 （12 分）选择填空： 1．划分实矩阵 A3×3 = (α 1 , α 2 , α 3 ) ，若 α 1 , α 2 , α 3 两两正交，则（ (a) AT A 是对角矩阵； (b) AAT 是对角矩阵； (c) A 是正交矩阵； （ｄ） α 1 , α 2 , α 3 线性无关． 2．设矩阵 A3×3 满足 A2 = A ，下面不可能与 A 相似的上三角矩阵是（ ） ． ） ．