数字信号处理基础-Z变换

n
ZT [ β e
n
jω 0 n
]=
z
cos ω 0 n ] = ZT [ β n ( e z
jω 0 n
+ e − jω 0 n ) / 2 ]
z = ( + )/2 jω 0 − jω 0 z − βe z − βe z ( z − β cos ω 0 ) = 2 z − 2 z β cos ω 0 + β 2 (z > β)
z =( ) e
8 1 8 3
j 2 kπ
收敛域为除了 0 和 的整个
z= e
1 3
j 2 Kπ 8
z 平面
j Im[z ]
∞
8个零点 个零点 7阶极点 阶极点 一阶极点
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z=0 z=1 3
×
×
Re[z ]
1 k ( ) 4.双边序列：f (k ) = 3 双边序列：
k ≥0
2k
k k k →∞ −1
< 1或 z < 2
z < lim 2 = 2
k k k →∞
第二项仅含有Z的负幂的无穷级数 1 −k lim k ( z ) < 1或 z > lim k k →∞ k →∞ 3
k
∴ F ( z )的绝对收敛域为 2 > z >
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1 3
jω 0 n
z z =( + )/2 jω 0 − jω 0 z−e z−e z ( z − cos ω 0 ) = 2 z − 2 z cos ω 0 + 1
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z − β e jω 0 z n − jω 0 n ZT [ β e ]= z − β e − jω 0 ZT [ β
（4）双边序列：只在 ）双边序列：
区间内， − ∞ ≤ n ≤ ∞ 区间内，
X ( z) =
X (z) =
n = −∞ −1
x(n) z − n ∑
∞
有非零的有限值的序列
x(n)
−∞ ≤ n ≤ ∞
−n
n = −∞
∑
x(n) z
+
∑
∞
x(n) z −n
j Im[z ]
n=0
圆内收敛 收敛
Rx2 > Rx1
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(1)
1 x(n) = u (n) 3
∞ n
n
右边序列
z 1 1 −1 X (z) = ∑ z = = 1 −1 1 n=0 3 z− 1− z 3 3 1 Rx = 1 j Im[z ] 3
1 ∴z > 3
圆外为收敛域， 圆外为收敛域， 若 n>0 则不包括z=0点 则不包括 点
∞
n
圆内为收敛域， 圆内为收敛域， 若 n2 > 0 则不包括z=0点 则不包括 点
j Im[z ]
lim
n
n →∞ n n →∞
x ( − n) z < 1 x ( − n) < z 1 lim n x(− n)
n →∞ −1
Rx2
•
Re[z ]
lim
z >
= Rx2
收敛半径
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圆外收敛 有环状收敛域 没有收敛域
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Rx2 > Rx1 Rx2 < Rx1
Re[z ]
求下列序列的 Z变换 , 并标标明收敛域，画出 极图。 1 n 1 . x ( n ) = ( ) u( n ) 3 1 n 2. x ( n ) = − ( ) u( − n − 1) 3 1 n 3. x ( n ) = ( ) [ u( n )u( n − 8)] 3 1 n ( ) n≥0 4. x ( n ) = 3 2n n<o
k
1 > 3 1
3
Imz 2
1 3
Rez
1 F(z)的绝对收敛域为 > z > 的圆环。 2 光机电一体化技术研究所 3
Z变换与拉普拉斯的关系
1.从 S 平面到 Z 平面的映射
e =z=e
sT ( σ+ jω)T
=e e
jθ
σT jωT
n n −n
∞
( z > a)
z 由此可以看出z变换的基本形式： z − a
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正弦序列的 Z 变换
z ZT [ e ]= jω 0 z−e z − jω 0 n ]= ZT [ e z − e − jω 0 jω 0 n − jω 0 n ZT [sin ω 0 n ] = ZT [( e +e ) / 2 j]
sT
交换积分与求和次序：
x s (s) = ∑ x (nT)e
n =0 ∞ −snT
1 ;令z = e 或s = ln z T z = e sT
x ( z) = ∑ x ( n ) z − n
n =0
∞
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x ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n= 0
∞
z = e sT
定义：一个离散时间序 列
s
令T = 1
x s (t )
z=e
x (n )
x ( n )的 Z 变换为 Z −1的一个幂 级数 (洛朗级数的特例 ), Z 一般为复变数 , 每一项的系 数为 x ( n )相应的值数值。 [ x ( n )的生成函数 → z n ]
• • •
0
T
2T 3T 4T
t
0
• • •
X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n = n1
n2
n1 ≤ n ≤ n2
n1 ≤ 0时，z = ∞和n2 > 0时z = 0外，所有z值都收敛
收敛域为除了0和 收敛域为除了 和
∞ 的整个 z j Im[z ]
•
平面
Re[z ]
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（2）右边序列：只在 n ≥ ）右边序列：
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（3）左边序列：只在 n ≤ ）左边序列：
区间内， n2 区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X ( z) =
n = −∞
x ( n) z − n ∑
n2
− ∞ ≤ n ≤ n2
m n=m
X ( z) =
m= − n
m=− n2
∑ x(−m)z
n
∞
=
n=− n2
∑ x(−n) z
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z−n + ∑δ (n +1)z−n
n=−∞ n=0
> 0 z ≠ 0 > 0 z = 0, ) < 0 < 0, z z≠ ≠ )∞ −1 0
∞
= z1 + 0 = z (0 ≤ z < ∞)
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ZT [u ( n )] = ∑ u ( n ) z
1
2
3
4
n
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Z变换定义，典型序列的Z变换 变换定义，典型序列的 变换 变换定义
单: X (z) = ∑ x(n)z
n=0 ∞ −n
双 : X ( z) =
n = −∞
x ( n) z − n ∑
∞
典型序列的Z 典型序列的Z变换 • • • • • 单位样值序列 单位阶跃序列 斜变序列 指数序列 正弦余弦序列
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Z变换的收敛域 1.根据级数理论
x(n)z −n < ∞ ∑
n=0
∞
2.借助于S平面与Z平面的映射 3.几类序列Z变换的收敛域 4.例子：
有限长序列 右边序列 左边序列 双边序列
说明 : 对于单边 z变换,序列x ( n )与变换式 X (z )一一对应, 这时只有一种 可能的收敛域 .而对于双边 z变换,不同序列在不同的收敛 条件下,可有 同样的 z变换. 光机电一体化技术研究所
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×
1 Rx1 = 3
1
Re[z ]
3
1 (2) x(n) = − u (−n − 1) 3
1 −1 X ( z) = − ∑ z n = −∞ 3
−1 n n=− m ∞ −m
n
左边序列
1 −1 = − ∑ z m =1 3 ∞ 1 z m j Im[z ] = 1 − ∑ (3 z ) = 1 − = −1 1 1 − 3z m=0 z− Rx2 3 Re[z ] lim n (3 z ) n < 1 • ×
n=0
∞
−n
=∑z
n=0
∞
−n
1 z = = ( z > 1) −1 1− z z −1
−1
将上式两边分别对 z 求导后,两边各乘 z 得( p 46)
ZT [nu (n)] = ∑ nu (n) z
n=0 ∞ −n
−1
1 z = = −1 2 (1 − z ) ( z − 1) 2
1 z ZT[a u(n)] = ∑a z = = −1 1− az z −a n=0
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典型序列的Z变换 典型序列的 变换
(1) ZT [δ ( n)] = ∑ δ (n) z − n = 1 ( z ≥ 0)
n =0 ∞
( 2 ) Z T [δ ( n − m )] = =
∑
∞
δ (n − m ) z −n
n=0
m (m (m m
r=−m
∑
∞
δ (r ) z −(r+m ) = z − m ( p 63 : 位 移 性 ）
1.根据级数理论
*比项法：设
ρ < 1,级数收敛。 ρ > 1,级数发散。 ρ = 1,不能肯定。 * 捡根法(柯西准则 )
lim
n→ ∞
a n +1 =ρ an
设： lim a = ρ
n n n→∞
ρ < 1,级数收敛。 ρ > 1,级数发散。 ρ = 1,不能肯定。
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如果序列x(n)在每个有限的间隔内是有限的 且当n → ∞时是指数阶的，则它的Z变换存在 于 z > R之范围，这里R是收敛半径。
指数阶函数和指数阶序列之间存在着对应关系，
定义：如有一序列x(n)当n → ∞时存在正数A, a和N 使所有的n ≥ N时都有 x(n) < Aa → 称x(n)为指数阶函数。
n
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几类序列的收敛域
（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列 ）有限序列：在有限区间内，
x(n)
x =பைடு நூலகம்{x(n)} n ∈ {−∞, ∞}
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Z变换
定义 序列x(n)的Z变换定义为
∞
X ( Z ) = F [ x(n)] =
n = −∞
∑ x ( n) z
∞
−n
X ( Z ) = F [ x(n)] = ∑ x(n) z −n
n =0
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借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换
n →∞
1
1 收敛半径 z < = R x2 3 n = −1 < 0 z ≠ 0
3
圆内为收敛域， 圆内为收敛域， 若 n>0 则不包括z=0点 则不包括 点
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1 (3) x(n) = [u (n) − u (n − 8)] 3
7 n
n
有限长序列
1 −1 − (− 1 z −1 )8 + 1 z 8 − ( 1 )8 3 X ( z) = ∑ z = = 7 31 1 −1 1− 3 z z (z − 3) n =0 3
数字信号处理基础数字信号处理基础- Z变换
Z变换
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本部分的内容安排
Z变换 DFT [离散傅里叶变换] FFT [快速傅里叶变换] 数字滤波器
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Z变换
序列 对离散信号的分析和处理时， 对离散信号的分析和处理时，按一定的先 后次序排列， 后次序排列，在时间上不连续的一组数的 集合。 集合。 表示为： 表示为：
k <0
解：F(z) =
−1 3
k = −∞
∑ f (k )z
−1
∞
−k
=
[... + (2 z) + (2 z) + ...]
2
1 −1 1 −1 2 1 −1 3 + [1 + z + ( z ) + ( z ) + ...] 3 3 3
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第一项仅含有 Z 的正幂无穷级数 lim ( 2 z ) < 1, 条件是 z 2
jω 0 n
z z =( + )/2 j jω 0 − jω 0 z−e z−e z sin ω 0 = 2 z − 2 z cos ω 0 + 1
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余弦序列的 Z 变换
z ZT [ e ]= jω 0 z−e z − jω 0 n ZT [ e ]= − jω 0 z−e jω 0 n − jω 0 n ZT [cos ω 0 n ] = ZT [( e +e ) / 2]
∞ n = n1
区间内， n1 区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n1 ≤ n ≤ ∞
lim
n →∞ n →∞
n
x ( n) z
−n
<1
Rx1
圆外为 收敛域
j Im[z ]
lim n x(n) = Rx1 < z z > Rx1
收敛半径
Re[z ]
抽样信号的拉氏变换： x s ( t ) = x ( t ).δ T ( t ) = ∑ x ( nT )δ( t − nT )
n =0 ∞
对上式取拉氏变换： x s (t ) = ∫0 x s (t )e dt = ∫0
−st ∞ ∞
∞ x(nT)δ(t − nT)e−st dt ∑ n =0