第十七章 静不定结构

D
法1 1． 相当系统 2． 正则方程：
X1a δ11X1 + ∆1P = − EA
A
C
P
B
l 2
l 2
P
（相）
X1
1 1 2 l3 3． δ11 = ×l ×l × l = EI 2 3 3EI
l
(M1)
+
1 1 l Pl 5 5Pl 3 ∆1P = − × × × l = − EI 2 2 2 6 48EI
例如
M = MP + ∑Xi M i
i =1
n
MP图为相当系统，只保留原已知载荷作用的M图。
Mi图为相当系统，只保留 Xi ，并令 Xi =1 时的 M图。
“+”：代数值叠加。 2． 求静不定结构上某点K的位移（广义）时 可把单位力加在原静不定结构的K点上， 也可把单位力加在基本静定系的K点上。
例17.1 求： BD N
δ 22
1 4a2 1 2 = (a × a) × a + 2 × a × a × 3 a = − 3EI EI
a 1 qa2 qa4 ∆1P = − 2 × a × 2 = − 4EI EI
∆2P 1 1 qa2 qa2 3 5qa4 = − 2 × a × a + 3 × a × 2 × 4 a = − 8EI EI
n次静不定的力法正则方程。（不用力法位移协
调条件很难找）
δ11X1 + δ12 X 2 + ⋅ ⋅ ⋅δ1n X n + ∆1P = ∆1 δ X + δ X + ⋅ ⋅ ⋅δ X + ∆ = ∆ 21 1 22 2 2n n 2P 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ δ n1 X1 + δ n2 X2 + ⋅ ⋅ ⋅δ nn Xn + ∆nP = ∆n
§17.2
力法求解静不定结构
17.2.1 基本静定系和相当系统 1．基本静定系：去掉原载荷，只考虑结构本 身解除多余约束后得到的静定结构，称为原 结构的基本静定系。 2．相当系统：在基本静定系上，用相应的多余 约束力代替被解除的多余约束，并加上原载 荷，则称为相当系统。
“相当”：相当系统的受力状态与原静不定结构
δ11X1 表示在相当系统中，只考虑（不考虑原有载
荷）的作用，在自身作用点和方向上引起的 位移。
∆1P
表示在相当系统中（不考虑 X1），只考虑 原有载荷作用，所有原已知载荷在 X1作用 点及方向上引起的位移。
由叠加原理，11X1及∆1P之和应等于原结构在 X1作用 δ 点沿 X1方向的位移。相当系统本身只保证了“力” 的相当，而正则方程又保证了“位移”的相当。
第十七章
静不定结构
静不定结构强度大，刚度大。
P
A
l 2 l 2
B
3 Mmax 为相应静定结构的 8
vmax为相应静定结构的 1
P
l
33
§17.1 概述 §17.2 力法求解静不定结构 §17.3 利用对称性简化静不定结构的计算 §17.4 装配应力和温度应力 §17.5 静不定结构的特点
§17.1 概述
vB = vBP + vBX1 = 0
4
o
物理条件：位移表达为力的函数
vBP 5Pl 3 = (↓) 48EI
vBx1
X1l 3 (↑) = 3EI
5o 物理条件代入位移协调方程，求解多余未 知力 X1
5Pl 3 X1l 3 − =0 48EI 3EI
∴
5 X1 = P ↑ 16
()
讨论：1.
X1 即为原静不定结构B端的约
∆ 4． δ11、 1P 代入正则方程。
5PAl 3 X1 = 16 Al 3 + 3Ia
P
(Mρ )
X1
−
Pl 2
(
)
5．
5PAl 3 NBD = X1 = 16 Al 3 + 3Ia
(
)
（拉力）
X1
P
X1
l
N1
N1 =1 +
+
X1 X1
法2 1． 相当系统 2． 正则方程： 11X1 + ∆1P = 0 δ 3．
l3 1 δ11 = + [(l × a) ×l] 3EI EA
5Pl 3 ∆1P = − 48EI
MP NP
P
−
Pl 2
4．
5Pl 3 X1 = − 48EI
5Pl 3 5． NBD = X1 = − 48EI
（拉）
讨论：1．不同的基本静定系，正则方程是不同的。 2．法1中正则方程出现负号的原因：原结 构B处位移向下与 X1 反向 ql
多余未知力。可以是外约束力，也 可是内约束力（广义的。可以是
*
力，可以是力偶） ∆1—— 原静不定结构上，作用处沿方向的位移 （广义：线位移、角位移、绝对位移、 相对位移）
* δ11—— 在相当系统中，只得保留X1 ,并令 X1 =1 由它引起的 X1 作用处，沿 X1方向的位 移。（广义） * ∆1P—— 在相当系统中，只得保留原已知载 荷P（广义力） 由所有原已知载荷引起的 X1作用处沿 X1方向的位移。（广义）
δn2
* 第i个方程物理意义：相当系统中，原已知 载荷与全部n个多余未知力共同作用下，在 Xi 作用点，沿 Xi方向的位移应等于原结构 在 Xi 作用点，沿 Xi 方向的位移。 * 多余未知力的系数 δ ij组成的方阵中 1． 主对角线上称为主系数。其物理意义：在相 当系统上只保留，并令。它在自身作用点， 沿方向引起的位移。由δij 于与 Xi方向一致，
完全相同。
3．基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
m
（基）
m
（相）
X1
X1
P
P
P
X2 X1
X3
X1
X3
X2
P X2 X3
X1
P
X1
P
X1
X2
X3
X2
X3
17.2.2
P A P
力法求解简单静不定结构
B
1 静不定次数：1次 2o 相当系统
3o 位移协调条件（保证相
o
X1
P
vBP
vBX1
X1
当系统的变形和位移与 原静不定结构相同）
17.1.3
求解静不定结构方法（三条件法）
1．力法：以多余未知力为基本未知量将位移 表示为未知力的函数，然后按位移 协调条件建 立方程，从而解除多 余未知力。 2．位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力 表示为位移的函数，然后按平衡条件 建立方程，从而通过求解未知位移来 求解多余未知力。
本章重点：力法
所以恒为正。 2． δ (i ≠ j) 称为副系数。它的物理意义：在相当 系统中，只保留 X j，并令 X j =1，它在 Xi作 用点，沿 X1方向引起的位移。由于δ ij与 Xi 方 向不一定相同，所以可正可负可为零。
ij
ji 3．δij = δ（位移互等定理），所以系数矩阵为对 称方阵。 * ∆iP是自由项。物理意义：在相当系统上，去 掉所有多余未知力，保留所有原已知载荷； 它们在 Xi作用点沿Xi 方向引起的位移可正、 可负、可为零。
δ11 δ 21 δn1
......
δ12 L δ1n X1 ∆1P ∆1 δ22 L δ2n X2 ∆2P ∆2 + =
M M M L δnn Xn ∆nP ∆n
17.1. 2 1． 外静不定结构
静不定次数
约束反力数-平衡方程数 2 ．内静不定结构 将结构切开一个或n个截面——去掉内部多 余约束，使其变成静定的，则切开截面上内 力分量的总数就是静不定次数 内力分量的总数=原内部多余约束数
（1）切开一个链杆（2力杆），只有N，相当 于去掉1个多余约束。
N
P
17.1.1 什么是静不定结构 外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的 约束反力。 内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的 内力。 “多余约束” ：AB梁中B端可动铰支 座， 绗架中的CD杆称为多余约束，相应 的约束力或内力“多余约束力”
注意： 多余约束力对维持平衡是多余的，但 对工程实际并不多余，都是为了提高强度、 或刚度而加上去的。
P
N
（2）切开一个单铰，有2个内力分量：N、Q， 相当于去掉2个多余约束。
P P
N
Q
Q
N
（3）切开一处刚性联结，有3个内力分量N、Q、
M，相当于去掉3个多余约束。 平面问题，多一个闭合框架，就多一3次静不定
P P
M
Q
N
（4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆， 相当于去掉1个多余约束。
3. 静不定次数=外静不定次数+内静不定次数 =多余约束数（内外多余约束数） =多余未知量个数（约束反力和内力） =未知量个数-平衡方程数 例
q
qa2 2
δ11
δ21
X1 =1
δ12
a
δ22
X2 =1
(MP )
(M1)
(M 2 )
3 1 1 2 a δ11 = × a × a × a = EI 2 3 3EI
3 1 1 a δ12 = × a × a × a = EI 2 2EI
3 X 2 = qa 7
4．以上各式代入正则方程：
3 X1 = qa 28
5． M = MP + X1 M1 + X 2 M 2
qa2 14 9qa2 98