算法导论第3章
算法导论Let3-Growth of Functions
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What Does It Matter?
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3
Orders of Magnitude
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Asymptotic Growth
We want to express rate of growth of standard functions: --the leading term with respect to n. --ignoring constants in front of it >>k1n + k2 ~ n >>k2nlogn ~ nlogn >>k1n2 + k2n + k3 ~ n2 We also want to formalize e.g. that a n log n algorithms is better than a n2 algorithm. O-notation (Big-O) --you have probably all seen it intuitively done but we will now done it more carefully.
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Asymptotic Notation in Equations
Used to replace functions of lower-order terms to simplify equations/expressions. For example, 4n3 + 3n2 + 2n + 1 = 4n3 + 3n2 + Θ(n) = 4n3 + Θ(n2) = Θ(n3) Or we can do the following: 4n3 + 3n2 + 2n + 1 = 4n3 + f(n2) Where f(n2) simplifies the equation
《算法导论》[第3章]函数的增长-[3.1]渐进记号
![《算法导论》[第3章]函数的增长-[3.1]渐进记号](https://img.taocdn.com/s3/m/173f96e0afaad1f34693daef5ef7ba0d4a736daa.png)
《算法导论》[第3章]函数的增长-[3.1]渐进记号|概念回顾|当输⼊规模⼤到使只有运⾏时间的增长量级有关时，就使在研究算法的渐进效率。
⼏个重要渐进记号的定义：Θ(g(n))={ f(n): 存在正常数c1,c2和n0，使对所有的n>=n0，有0<=c1g(n)<=f(n)<=c2g(n) }O(g(n))={ f(n): 存在正常数c和n0，使对所有n>=n0，有0<=f(n)<=cg(n) }Ω(g(n))={ f(n): 存在正常数c和n0，使对所有n>=n0，有0<=cg(n)<=f(n) }o(g(n))={ f(n): 对任意正常数c，存在常数n0>0，使对所有的n>=n0，有0<=f(n)<=cg(n) }ω(g(n))={ f(n): 对任意正常数c，存在常数n0>0，使对所有的n>=n0，有0<=cg(n)<f(n) }|习题解答|3.1-1 设f(n)与g(n)都是渐进⾮负函数。
利⽤Θ记号的基本定义来证明max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))。
证明：因为f(n)和g(n)都使渐进⾮负函数，同时假设存在这样的整数c1,c2和n0，使得：0<=c1(f(n)+g(n))<=max(f(n)+g(n))<=c2(f(n)+g(n)) 成⽴。
令c2=1，则第3个不等式显然成⽴，因为两正数之和定⼤于两个中的最⼤值；再令c1=1/2，则第2个不等式也成⽴，因为两正数中最⼤的⼀个数定⼤于或等于两数的平均值；第1个不等式，因为f(n)与g(n)都使渐进⾮负，所以也显然成⽴。
综上，既该等式确实成⽴。
最后再根据Θ记号的定义可得：max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))。
3.1-2 证明对任意实常数a和b，其中b>0，有[2] (n+a)^b=Θ(n^b)证明：要想证明上式成⽴，先要来证明等式：[1] 0<=c1(n^b)<=(n+a)^b<=c2(n^b)也就使说存在两个正常数c1,c2，使得当n充分⼤时(n+a)^b，能够被夹在c1(n^b)和c2(n^b)中间。
算法导论知识点总结
算法导论知识点总结算法是计算机科学领域的重要概念，它是解决问题的一种有效方式。
在计算机科学中，算法的设计和分析是非常重要的，它涉及到了计算机程序的性能、效率和可靠性。
算法导论是计算机科学和工程领域的一门重要课程，它涵盖了算法的基本概念、设计原则和分析方法。
本文将对算法导论的一些重要知识点进行总结。
一、算法导论的基本概念1. 算法的定义和特点算法是解决问题的一种方法或步骤，它由一系列的操作和指令组成，可以在有限时间内解决问题。
算法的特点包括：输入、输出、有限性、确定性和有效性。
2. 算法的时间复杂度和空间复杂度算法的时间复杂度是一个算法运行所需要的时间成本，通常用大O符号来表示；算法的空间复杂度是一个算法所需要的内存空间大小。
3. 算法设计的基本方法算法的设计方法包括：贪心法、分治法、动态规划、回溯法、分支限界法等。
4. 算法的分析方法算法的分析包括：最坏情况分析、平均情况分析、最好情况分析等。
二、算法导论的主要内容1. 基本数据结构基本数据结构是算法导论中非常重要的内容，包括：数组、链表、栈、队列、树、图等。
2. 排序和查找算法排序算法包括：冒泡排序、选择排序、插入排序、希尔排序、快速排序、归并排序、堆排序等。
查找算法包括：顺序查找、二分查找、哈希查找、树查找等。
3. 字符串匹配算法字符串匹配算法包括：朴素匹配算法、KMP算法、Boyer-Moore算法、Rabin-Karp算法等。
4. 图算法图算法包括：图的遍历、最短路径、最小生成树、拓扑排序、关键路径等。
5. 动态规划动态规划是一种重要的算法设计方法，适用于多阶段决策问题和最优化问题。
6. 贪心算法贪心算法是一种简单而有效的算法设计方法，通常适用于某些特定问题、具有贪心选择性质的问题。
7. 分治法分治法是一种重要的算法设计方法，通常适用于将大问题分解成小问题来解决的问题。
8. 线性规划线性规划是一种数学解法，通常用于解决最优化问题。
9. 概率算法概率算法是一种基于概率和随机性的算法设计方法，通常适用于复杂问题和近似解决问题。
算法导论doc
第1章算法在计算中的作用什么是算法?为什么要对算法进行研究?相对于计算机中使用的其他技术来说，算法的作用是什么?在本章中，我们就要来回答这些问题.1. 1算法简单来说，所谓抹法(also*llem)就是定义良好的计算过程，它取一个或一组值作为输入，并产生出一个或一组值作为输出。
亦即，算法就是一系列的计算步驭，用来将输人数据转换成输出结果。
我们还可以将算法看作是一种工具。
用来解决一个具有良好规格说明的计算问题。
有关该问题的表述可以用通用的语言，来规定所需的输人/输出关系。
与之对应的算法则描迷了一个特定的计算过程，用于实现这一输人/输出关系例如.假设需要将一列数按非降顺序进行排序。
在实践中，这一问皿经常山现。
它为我们引入许多标准的算法设计技术和分析工具提供了丰富的问题场景。
下面是有关该排序间题的形式化定义，输入:由n个数构成的一个序列编出:对输人序列的一个排列(重排)例如，给定一个输人序列(31. 41. 59. 26, 41, 58).一个排序算法返回的怕出序列是(26,31. 41. 41. 58, 59).这样的一个输人序列称为该排序问趣的一个实例G.-e)。
一般来说，某一个问题的实例包含了求解该间题所需的输人(它满足有关该同题的表述中所给出的任何限制)。
在计算机科学中，排序是一种基本的操作(很多程序都将它用作一种申间步骤)。
因此，迄今为止，科研人员提出了多种非常好的排序算法。
对于一项特定的应用来说，如何选择最佳的排序算法要考虑多方面的因素，其中最主要的是考虑待排序的数据项数、这些数据项已排好序的程度、对数据项取值的可能限制、打算采用的存储设备的类型〔内存、磁盘、磁带)等。
如果一个算法对其每一个输人实例，都能输出正确的结果并停止，则称它是正确的。
我们说一个正确的算法解决了给定的计算向题不正确的算法对于某些输人来说.可能根本不会停止或者停止时给出的不是预期的结果.然面，与人们对不正确算法的看法相反，如果这些算法的错误率可以得到控制的话，它们有时也是有用的.关子这一点，在第31章中研究用于寻找大质数的算法时介绍了一个例子。
【算法导论学习笔记】第3章：函数的增长
【算法导论学习笔记】第3章：函数的增长 原创博客，转载请注明： 当算法的输⼊n⾮常⼤的时候，对于算法复杂度的分析就显得尤为重要，虽然有时我们能通过⼀定的⽅法得到较为精确的运⾏时间，但是很多时候，或者说绝⼤多数时候，我们并不值得去花精⼒求得多余的精度，因为精确运⾏时间中的倍增常量和低阶项已经被输⼊规模本⾝的影响所⽀配。
我们需要关⼼的是输⼊规模⽆限增加，在极限中，运⾏时间是如何随着输⼊规模增⼤⽽增加的，通常来说，在极限情况下渐进地更优的算法在除很⼩的输⼊外的所有情况下将是最好的选择。
前提假设：本章定义的所有⽤在渐近记号中的函数均渐近⾮负（包括f(n),g(n)）。
1. 渐近记号1.1 Θ记号 对于⼀个已知的函数g(n)，我们定义Θ(g(n))如下： 含义是：若存在常数c1和c2，使得对于⾜够⼤的n，函数f(n)能够"夹⼊"c1*g(n)和c2*g(n)之间，则f(n)属于集合Θ(g(n))。
我们称g(n)为f(n)的⼀个渐近紧确界（asymptotially tight bound）。
注意：Θ(g(n))是⼀个函数的集合，所以如果要表⽰f(n)是Θ(g(n))的⼀员，则需写为f(n)∈Θ(g(n))，但是在很多教材中，通常使⽤f(n)=Θ(g(n))来表⽰相同的概念，这属于对于等式的⼀个活⽤。
下图形象地表⽰了渐近紧确界的形式：1.2 O记号 对于⼀个已知的函数g(n)，我们定义O(g(n))如下： 含义是：对于⾜够⼤的n，f(n)的值总⼩于或等于c*g(n)。
我们称g(n)为f(n)的⼀个渐近上界（asymptotic upper bound）。
注意：在很多教材中，会发现⽤O(g(n))来表⽰⼀个渐近紧确界，即Θ(g(n))表⽰的含义，这是不准确的，在算法⽂献中，标准的做法是区分渐近上界和渐近紧确界。
下图形象地表⽰了渐近上界的形式：1.3 Ω记号 对于⼀个已知的函数g(n)，我们定义Ω(g(n))如下： 含义是：对于⾜够⼤的n，f(n)的值总⼤于或等于c*g(n)。
高中数学必修3.4知识点总结
数学必修3知识点第一章算法初步1、算法概念：1.1.1算法的概念在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是高中明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2. 算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
（二）构成程序框的图形符号及其作用学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
算法导论——动态规划
算法导论——动态规划 动态规划指的是⼀个问题可以拆分成多个⼩的最优⼦问题，并且这些⼦问题具有重叠，典型的如斐波那契数列：f(2)=f(1)+f(0),f(3)=f(2)+f(1),f(4)=f(3)+f(2)，若使⽤简单的递归算法求f(4)，则f(2)会被计算两次，当计算f(n)时需要计算f(n-1)和f(n-2)⽽f(n-1)⼜要计算记⼀次f(n-2)，如此往复时间复杂度为n的指数级别，导致算法效率低下。
若能够记录f(2)⾄f(n-1)的结果，可以保证每⼀级计算都是O(1)复杂度，整个算法的时间复杂度就能下降⾄O(n)，空间复杂度O(n)。
必须保证拆分后的⼦问题是当前规模下的最优解，才可保证递归逻辑的正确，典型的例⼦是⽆权最短路径问题，若已知A到除最终⽬的地B外的所有点最短路径，则只需遍历寻找与B直接相邻所有点到A最近的⼀个。
通常动态规划可以分为4个步骤：1. 刻画⼀个最优解的结构特征2. 递归地定义最优解的值3. 计算最优解的值，通常采⽤⾃底向上的⽅法4. 利⽤计算出的信息构造⼀个最优解因此，动态规划的关键是分析⼦问题的拆分与递归式。
下⾯四个问题来⾃《算法导论》第三版。
钢条切割 有⼀条长度为n的钢条，可以不计成本的切割成多条钢条出售，不同长度与价格关系如下表所⽰，求如何切割获得最⼤的利益r n长度i12345678910价格p i1589101717202430以长度n=4为例，分割共有以下⼏种⽅案n=4, r=9n=1+3, r=9n=1+1+2, r=7n=1+1+1+1, r=4n=2+2, r=10最佳⽅案为分成2+2两端，利润为10 对于长度为n的钢条，其可以通过切割获得的最⼤利益记为r n，r n=max(p n,r1+r n-1,r2+r n-2,...r n-1+r1) r n的最⼤利润可能有两种情况：不切割或者先切为两段，该两段各⾃的r i+r n-i为最⼤值。
因此可以采⽤递归的⽅式，求出r n的值，伪代码如下：1int cutRod(p,n){2if(n==0)3return0;4 q=-15for(i=1;i<=n;i++){6 q=max(q,p[i]+cutRod(p,n-i));7 }8return q;9 } 该算法的问题是效率太低，原因在于cutRod(p,i)这个值在不同阶段被分别计算了多次，⽐如要求长度为2的钢条的最⼤利益，要计算分割成1+1的利益，这⾥r1被计算了两次。
算法导论第三版答案
Procedure BINARY-SEARCH takes a sorted array A, a value , and a range Œlow : : high of the array, in which we search for the value . The procedure compares to the array entry at the midpoint of the range and decides to eliminate half the range from further consideration. We give both iterative and recursive versions, each of which returns either an index i such that AŒi D , or NIL if no utions for Chapter 2: Getting Started
AŒlow : : high contains the value . The initial call to either version should have the parameters A; ; 1; n.
Selected Solutions for Chapter 2: Getting Started
2-3
d. We follow the hint and modify merge sort to count the number of inversions in ‚.n lg n/ time.
To start, let us define a merge-inversion as a situation within the execution of merge sort in which the MERGE procedure, after copying AŒp : : q to L and AŒq C 1 : : r to R, has values x in L and y in R such that x > y. Consider an inversion .i; j /, and let x D AŒi and y D AŒj , so that i < j and x > y. We claim that if we were to run merge sort, there would be exactly one mergeinversion involving x and y. To see why, observe that the only way in which array elements change their positions is within the MERGE procedure. Moreover, since MERGE keeps elements within L in the same relative order to each other, and correspondingly for R, the only way in which two elements can change their ordering relative to each other is for the greater one to appear in L and the lesser one to appear in R. Thus, there is at least one merge-inversion involving x and y. To see that there is exactly one such merge-inversion, observe that after any call of MERGE that involves both x and y, they are in the same sorted subarray and will therefore both appear in L or both appear in R in any given call thereafter. Thus, we have proven the claim.
算法导论作业3答案
Introduction to Algorithm s Day 14 Massachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Singapore-MIT Alliance SMA5503 Professors Erik Demaine, Lee Wee Sun, and Charles E. Leiserson Handout 17Problem Set 3 SolutionsMIT students: This problem set is due in lecture on Day 11.Reading: Chapters 8 and 9Both exercises and problems should be solved, but only the problems should be turned in. Exercises are intended to help you master the course material. Even though you should not turn in the exercise solutions, you are responsible for material covered by the exercises.Mark the top of each sheet with your name, the course number, the problem number, your recitation instructor and time, the date, and the names of any students with whom you collaborated. MIT students: Each problem should be done on a separate sheet (or sheets) of three-hole punched paper.You will often be called upon to “give an algorithm” to solve a certain problem. Your write-up should take the form of a short essay. A topic paragraph should summarize the problem you are solving and what your results are. The body of your essay should provide the following:1. A description of the algorithm in English and, if helpful, pseudocode.2. At least one worked example or diagram to show more precisely how your algorithm works.3. A proof (or indication) of the correctness of the algorithm.4. An analysis of the running time of the algorithm.Remember, your goal is to communicate. Graders will be instructed to take off points for convoluted and obtuse descriptions.Exercise 3-1. Do exercise 8.1-2 on page 167 of CLRS.Exercise 3-2. Do exercise 8.1-3 on page 168 of CLRS.Exercise 3-3. Do exercise 8.2-3 on page 170 of CLRS.Exercise 3-4. Do exercise 8.4-2 on page 177 of CLRS.Exercise 3-5. Do exercise 9.3-1 on page 192 of CLRS.Exercise 3-6. Show that the second smallest of n elements can be found with n+Θ(lg n)comparisons in the worst case. (Hint: Also find the smallest element.)Problem 3-1. Largest i numbers in sorted orderGiven a set of n numbers, we wish to find the i largest in sorted order using a comparison-based algorithm. Find the algorithm that implements each of the following methods with the best asymptotic worst-case running time, and analyze the running times of the algorithms in terms of n and i.(a) Sort the numbers, and list the i largest.Solution:Use any optimal sorting algorithm, such as MergeSort or HeapSort. Then this can bedone in Θ(n lg n).(b) Build a max-priority queue from the numbers, and call E XTRACT-M AX i times.Solution:Call Build-Heap, Θ(n). Then call Extract-Max, Θ(lg i), i times. So, total runningtime is Θ(n+i lg i).(c) Use an order-statistic algorithm to find the i th largest number, partition around thatnumber, and sort the i largest numbers.Solution:Select the i-th largest number using SELECT, Θ(n), call partition, Θ(n), and then sortthe i largest numbers, Θ(i lg i). So our algorithm takes Θ(n+i lg i).Problem 3-2. At the wading poolYou work at a summer camp which holds regular outings for the n children which attend. One of these outings is to a nearby wading pool which always turns out to be something of a nightmare at the end because there are n wet, cranky children and a pile of 2n shoes (n left shoes and n right shoes) and it is not at all clear which kids go with which shoes. Not being particularly picky, all you care about is getting kids into shoes that fit. The only way to determine if a shoe is a match for a child is to try the shoe on the child’s foot. After trying on the shoe, you will know that it either fits, is too big, or is too small. It is important to note that you cannot accurately compare children’s feet directly with each other, nor can you compare the shoes. You know that for every kid, there are at least two shoes (one left shoe and one right shoe) that will fit, and your task is to shoe all of the children efficiently so that you can go home. There are enough shoes that each child will find a pair which fits her. Assume that each comparison (trying a shoe on a foot) takes one time unit.(a) Describe a deterministic algorithm that uses Θ(n 2) comparisons to pair children withshoes.Solution:For each child, try on all the shoes until you find the two shoes that fit. T (n )= T (n − 2) + O (n ) = Θ(n 2).(b) Prove a lower bound of Ω(n lg n ) for the number of comparisons that must be madeby an algorithm solving this problem. (Hint: How many leaves does the decision tree have?)Solution:There are n ! ways that left shoes can be assigned to children and n ! ways that right shoes can be assigned to children. So the decision tree should have n !2 leaves. n !2 ≥ n ! h ≥ lg(n !)h ≥ lg ( ne )n by Stirling’s Approximation = n lg n − n lg e= Ω(n lg n )(c) How might you partition the children into those with a smaller shoe size than a “pivot”child, and those with a larger shoe size than the pivot child?Solution:Take the pivot child and try on all the shoes until you find one that fits. This should take Θ(n ) time as there are 2n shoes. Then try the shoe on all the children. If the shoe is too small, then they have larger feet than the pivot child. If the shoe is too big, then they have smaller feet than the pivot child. This should also take Θ(n ) time making our partition algorithm run in linear time.(d) Give a randomized algorithm whose expected number of comparisons is O (n lg n ),and prove that this bound is correct. What is the worst-case number of comparisons for your algorithm?Solution:This is similar to quicksort. Pick a random child. Partition the children around that child as in part (c). Then take the shoe you used to partition the children and partition the shoes around it. Take the two shoes and pivot child and put them in the group of paired children. Then recurse on the two groups of shoes and children. This should have the same analysis as randomized quicksort because we have only added an extra call to partition which will still make the work done at each level Θ(n ).。
算法导论答案Ch3
f (n) =∞ g (n)
Ω(g (n, m)) = {f (n, m) : there exist positive constants c, n0 , and m0 such that f (n, m) ≥ cg (n, m) for all n ≥ n0 or m ≥ m0 }
Θ(g (n, m)) = {f (n, m) : there exist positive constants c1 , c2 , n0 , and m0 such that c1 g (n, m) ≤ f (n, m) ≤ c2 g (n, m) for all n ≥ n0 or m ≥ m0 } Exercise 3.2-1 Let n1 < n2 be arbitrary. From f and g being monatonic increasing, we know f (n1 ) < f (n2 ) and g (n1 ) < g (n2 ). So f (n1 ) + g (n1 ) < f (n2 ) + g (n1 ) < f (n2 ) + g (n2 ) 2
n→∞
2e n
n
≤ lim
n→∞
2e n
n
1 =0 2n
nn 1 en n −.5 n √ = lim √ e = lim O ( n ) e ≥ lim 1 n→∞ n! n→∞ n→∞ c1 n n→∞ 2πn(1 + Θ( n )) lim ≥ lim en en = lim =∞ n→∞ c1 n n→∞ c1
n a/b n if and only if if and only if n − 21 /b ≥ −a if and only if n + a ≥ (1/2) (n + a)b ≥ cnb . Therefore (n + a)b = Ω(nb ). By Theorem 3.1, (n + a)b = Θ(nb ).
算法导论中文版答案
24.2-3
24.2-4
24.3-1 见图 24-6 24.3-2
24.3-3
24.3-4 24.3-5 24.3-6
24.3-7
24.3-8 这种情况下不会破坏已经更新的点的距离。 24.4**** 24.5****
25.1-1 见图 25-1 25.1-2 为了保证递归定义式 25.2 的正确性 25.1-3
8.3-3 8.3-4
8.3-5(*) 8.4-1 见图 8-4 8.4-2
8.4-3 3/2，1/2 8.4-4(*) 8.4-5(*)
9.1-1
9.1-2 9.2-1 9.3-1
第九章
9.3-2 9.3-3
9.3-4 9.3-5
9.3-6 9.3-7
9.3-8
9.3-9
15.1-1
6.4-4
6.4-5
6.5-1 据图 6-5 6.5-2
6.5-3 6.5-4 6.5-5
6.5-6 6.5-7
6.5-8
7.1-1 见图 7-1 7.1-2
7.1-3 7.1-4 7.2-1 7.2-2
7.2-3 7.2-4 7.2-5
第七章
7.2-6 7.3-1
7.3-2
7.4-1 7.4-2
5.3-6
6.1-1 6.1-2 6.1-3 6.1-4 6.1-5 6.1-6
第6章
6.1-7
6.2-1 见图 6-2 6.2-2
6.2-3
6.2-4
6.2-5 对以 i 为根结点的子树上每个点用循环语句实现 6.2-6
6.3-1
见图 6-3 6.3-2
6.3-3
6.4-1 见图 6-4 6.4-2 HEAPSORT 仍然正确，因为每次循环的过程中还是会运行 MAX-HEAP 的过程。 6.4-3
算法导论中文版答案
} cout<<len<<endl; } return 0; } 15.5-1
15.5-2 15.5-3
15.5-4
16.1-1
第 16 章
16.1-2 16.1-3
16.1-4 16.2-1 16.2-2
16.2-3
16.2-4
16.2-5 16.2-6
16.2-7
25.3-6
5.3-6
6.1-1 6.1-2 6.1-3 6.1-4 6.1-5 6.1-6
第6章
6.1-7
6.2-1 见图 6-2 6.2-2
6.2-3
6.2-4
6.2-5 对以 i 为根结点的子树上每个点用循环语句实现 6.2-6
6.3-1
见图 6-3 6.3-2
6.3-3
6.4-1 见图 6-4 6.4-2 HEAPSORT 仍然正确，因为每次循环的过程中还是会运行 MAX-HEAP 的过程。 6.4-3
6.4-4
6.4-5
6.5-1 据图 6-5 6.5-2
6.5-3 6.5-4 6.5-5
6.5-6 6.5-7
6.5-8
7.1-1 见图 7-1 7.1-2
7.1-3 7.1-4 7.2-1 7.2-2
7.2-3 7.2-4 7.2-5
第七章
7.2-6 7.3-1
7.3-2
7.4-1 7.4-2
16.3-1 16.3-2
16.3-3 16.3-4
16.3-5
16.3-6 那就推广到树的结点有三个孩子结点，证明过程同引理 16.3 的证明。 16.3-7 16.3-8
第 24 章
24.1-1 同源顶点 s 的运行过程，见图 24-4 24.1-2
算法导论 答案 (2)
算法导论答案算法导论概述《算法导论》是一本经典的计算机科学教材，由Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest和Clifford Stein合著。
这本书详细介绍了算法的设计、分析和实现，并涵盖了算法导论领域的许多重要概念和技术。
本文将为你提供一些关于《算法导论》中一些常见问题的答案。
1. 什么是算法？算法是一系列明确定义的步骤，用于解决特定问题或完成特定任务。
它可以是一个计算过程、一个程序或一个有限的操作序列。
算法通常用于计算和数据处理领域，是计算机科学的核心概念。
2. 为什么学习算法很重要？学习算法的重要性体现在以下几个方面：•提高问题解决能力：算法是解决问题的有效工具。
学习算法可以帮助我们思考和理解问题，并设计出相应的解决方案。
•优化计算性能：算法的设计和分析可以帮助我们提高计算的效率和性能。
合适的算法可以在短时间内处理大规模数据集和复杂计算任务。
•促进技术创新：算法是许多技术和应用的基石，包括人工智能、机器学习、数据挖掘等。
学习算法可以为我们打开更多的研究和创新机会。
3. 《算法导论》提供了哪些内容？《算法导论》这本书详细介绍了算法的基本概念和设计技巧，并提供了许多典型算法的实现和分析。
以下是该书的一些主要内容：•算法分析：对算法进行时间复杂度和空间复杂度的理论分析，帮助我们评估算法的效率和性能。
•排序和查找算法：介绍了各种排序算法（如插入排序、归并排序、快速排序）和查找算法（如二分查找、哈希表）。
•图算法：讨论了图的表示方法和图搜索算法（如深度优先搜索、广度优先搜索）以及最短路径算法（如Dijkstra算法）等。
•动态规划和贪心算法：介绍了动态规划和贪心算法的原理和应用，用于解决具有最优子结构性质的问题。
•分治算法和递归思想：讲解了分治算法的基本原理，并提供了许多使用递归思想解决问题的例子。
•NP完全问题：探讨了NP完全问题的性质和求解方法，引导了读者进入计算复杂性理论的领域。
算法导论第四版范文
算法导论第四版范文《算法导论第四版》是一本经典的计算机科学教材，全面介绍了算法设计与分析的基本概念、方法和技巧。
本书的内容丰富而深入，涵盖了排序、图算法、动态规划、贪心算法、网络流等多个经典算法领域。
下面将对该书进行详细的介绍和评论。
《算法导论第四版》共分为27章，分别从基本概念、排序和顺序统计量、数据结构、高级设计和分析技术、高级数据结构、图算法、NP-完全性等多个角度对算法进行了深入的讲解。
每章都包含了大量的例子和练习，有助于读者理解和巩固所学的知识。
其中最重要的章节之一是第十章“排序和顺序统计量”。
本章详细介绍了插入排序、归并排序、堆排序、快速排序等经典排序算法，以及顺序统计量中的选择问题和第k小元素问题。
这些排序算法是其他算法设计和分析的基础，通过学习这一章的内容，读者可以深入理解算法的时间复杂度、空间复杂度、稳定性等重要概念。
另一个值得一提的章节是第十一章“散列表”。
散列表是一种非常常见的数据结构，用于实现快速的查找，插入和删除操作。
本章详细介绍了散列函数的设计原则和散列表的冲突解决方法，如链表法和开放寻址法。
这些内容对于理解并设计高效的散列表非常重要。
此外，本书还涵盖了动态规划、贪心算法、网络流等经典算法领域。
这些算法在实际应用中非常重要，在计算机科学和工程领域广泛应用。
通过学习本书，读者可以了解到这些算法的基本原理和应用场景，培养解决实际问题的能力。
总的来说，《算法导论第四版》是一本非常优秀的算法教材。
它系统地介绍了算法设计和分析的基本概念和方法，内容丰富而深入，同时也非常适合初学者。
每章都包含了大量的例子和练习，有助于读者巩固所学的知识。
同时，本书还提供了在线版的课程资源，包括讲义、作业和试题等，可以帮助读者更好地学习和理解算法。
不过，本书的篇幅较长，需要花费较多的时间和精力来学习。
因此，读者需要逐步阅读，理解和消化书中的知识。
另外，由于本书是一本教材，对于一些高级的算法和理论可能没有过多的讲解，需要读者进一步深入学习和研究。
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动态规划算法的基本要素
一、最优子结构
矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这 种性质称为最优子结构性质 最优子结构性质。 最优子结构性质 在分析问题的最优子结构性质时，所用的方法具有普遍性：首 先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再 设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解，从 而导致矛盾。 利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归地从子问 题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题 能用动态规划算法求解的前提。 同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构，有些表示方 法的求解速度更快（空间占用小，问题的维度低）
2
通过应用范例学习动态规划算法设计策略。 （1）矩阵连乘问题； （2）最长公共子序列； （3）最大子段和 （4）凸多边形最优三角剖分； （5）多边形游戏； （6）图像压缩； （7）电路布线； （8）流水作业调度； （9）背包问题； （10）最优二叉搜索树。
3
ห้องสมุดไป่ตู้ 算法总体思想
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分 解成若干个子问题
5
算法总体思想
如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求 得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算 法。
T(n)
n/2
T(n/4) T(n/4) T(n/4)
=
n
n/2
T(n/4)
n/2
n/2
T(n/4)
6
T(n/4)T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)
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动态规划算法的基本要素
二、重叠子问题
递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有 些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质 子问题的重叠性质。 子问题的重叠性质 动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在 一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时 间查看一下结果。 通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动 态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。
n + n = Θ( n 2 ) 2 由此可见，在递归计算时，许多子问题被重复计算多次 许多子问题被重复计算多次。这也 许多子问题被重复计算多次
是该问题可用动态规划算法求解的又一显著特征。 用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式 进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子 问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免 大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法
动态规划基本步骤
找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以自底向上的方式计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
7
完全加括号的矩阵连乘积
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积 A 是完全加括号的，则 A 可 表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 B 和 C 的乘积并加括号，即 A = (BC )
16000, 10500, 36000, 87500, 34500
8
矩阵连乘问题
Ai +1 给定n个矩阵 { A1 , A2 ,..., An } 其中 与 Ai 是可乘 ， 的， i = 1,2,..., n 1。考察这n个矩阵的连乘积
A1 A2 ... An
由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不 同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已 完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算 法计算出矩阵连乘积
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最长公共子序列
若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列 Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增 下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。 例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B， D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5， 7}。 给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是 Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列 公共子序列。 公共子序列 给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找 出X和Y的最长公共子序列。
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最长公共子序列的结构
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为 Z={z1,z2,…,zk} ，则 (1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。 (2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。 (3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。
由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀 的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结 最优子结 构性质。 构性质
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子问题的递归结构
由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值 的递归关系。用c[i][j]记录序列和的最长公共子序列的长度。 其中， Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。当i=0或j=0时，空序 列是Xi和Yj的最长公共子序列。故此时C[i][j]=0。其它情况下， 由最优子结构性质可建立递归关系如下：
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分析最优解的结构
特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子 链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题 的最优解。这种性质称为最优子结构性质 最优子结构性质。问题 最优子结构性质 的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求 解的显著特征。
第3章 动态规划
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学习要点: 学习要点
理解动态规划算法的概念。 掌握动态规划算法的基本要素 （1）最优子结构性质 （2）重叠子问题性质 掌握设计动态规划算法的步骤。 (1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 (2)递归地定义最优值。 (3)以自底向上的方式计算出最优值。 (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
0 i= j m[i, j ] = minj{m[i, k ] + m[k + 1, j ] + pi 1 pk p j } i < j i≤ k < k 的位置只有 j i 种可能
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计算最优值
对于1≤i≤j≤n不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此， 不同子问题的个数最多只有
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矩阵连乘问题
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1， 2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次 序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计 穷举法 算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的 计算次序。 算法复杂度分析： 算法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
1 n =1 n 1 P ( n) = P ( k ) P ( n k ) P ( n) = ( 4 n / n 3 / 2 ) n >1 ∑ k =1
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矩阵连乘问题
穷举法 动态规划 将矩阵连乘积 Ai Ai +1... A j 简记为A[i:j] ，这里i≤j 考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全 加括号方式为 ( Ai Ai +1... Ak )( Ak +1 Ak + 2 ... A j ) 计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上 A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
4
算法总体思想
但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的 数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被 重复计算了许多次。
T(n)
n/2
=
n
n/2
n/2
n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)
m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j]; 算法复杂度分析： 算法复杂度分析： 算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r， s[i][j] = i; for (int k = i+1; k < j; k++) {
i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重 循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界 int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; 为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。