2014人教A版数学必修五 1.2《应用举例》(1)导学案

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人教A版高中数学必修5精选优课教案 1.2应用举例

正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。

（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。

教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况2、利用正余弦定理实现边角互化，体现正余弦定理搭建边角互化的桥梁，是解三角形有利的两大工具。

难点：在具体的题型中真正体现正余弦定理作为桥梁的作用，并能挖掘出题目中的隐含条件，达到求解的目的。

教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。

教学过程设计一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ．2、余弦定理：二、教师指导学生完成，教师最后总结．正余弦定理精确地表达了三角形中的边与角之间的关系，我们就可利用它根据三角形中的已知元素去求出未知元素． )(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R C c B b A a ∆===，2bca cb cosA 222-+=，2cab ac cosB 222-+=。

2abc b a cosC 222-+=2R sinC c 2R，sinB b 2R，sinA a ===2Rc ，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===（一）解三角形二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化例3：在 ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断三角形的形状。

【学优推荐】高中数学新人教A版必修5学案1.2应用举例(一).doc

1・2应用举例第1课时预习案【学习目标】1. 了解常用的测量相关术语，把一些简单的实际问题飙翁费学问题于聘养数堂的应辱2. 学会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量鞘或彎（有障碍物）夸关脅实际问题的方法。

' '3. 让学生在独立思考，合作探究中激发学习数学的兴趣，体分析问题和解决问题的能力。

'返〔5。

CD 【重点】:综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决生活中的测量距离或宽度（有障图2 【难点】：根据题意建立数学模型，画岀示意图，并从中找出解决问题的关键条件。

将预习不能解决的问题屮标出来，并写到后面“我的疑惑”处.I •相关知识1. 什么是正弦定理？有几种变式？2. 什么是余弦定理？3. 利用正弦定理可解决哪儿类解三角形的问题？4. 利用余弦定理可解决哪几类解三角形的问题？II ・教材助读1. 课本例1可转化为“已知任意两角与 __________________ ”的解三角形问题，可利用 _________ 定理得到解决。

2. 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 ________________ , 一般来说， _________ 越长, 测量的精度 _____________ o【预习自测】1. 某学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测量AC 的长度为4n ）, A 二E ，则期跨度AB 的长为（）6A. 12mB. 8m30X 碍物）问题。

其C. 3V3mD.4V3m2, （2011,上海）在相距2km的A, B两点处测量目标点C ,若ZCAB = 75°ZCBA = 60°,则A, C 两点之问的距离是 ______________ 【我的疑惑］ ________________________________________________________________________探究案I •质疑探究一一质疑解惑、合作探究探究点：测量不能到达的两点Z 间的距离（重难点）【例1】如图1, A, B 两点在河的两岸（不可到达），测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测11! A, C 两点间的距离是68 m, ZBAC=50° , ZACB 二80° .求A, B 两点|'可的距离.（精确到0.1 m ）AC【例2】如图2所示，隔河可看到两目标A, B,但不能到达，在岸边选取相距3 km 的 C, D 两点，并测得ZACB=75° , ZBCD=45° , ZADC=30° , ZADB 二45图J A, B, C, D 在同一平面内，求两目标A, B 之间的距离.km【规律方法总结】测量有关距离问题的应用题可分以下两类:II •我的知识网络图正弦定理、余弦定理的应用“-7:BW4B(2” 当\ - ____________________ 时，如图* 14’'C____________ 的度数及口!勺做可以鮎他在厶ADC^ABDC中求出AC和BC,再在Z\ABC中由 _____________ 求AB.测出可求AB.，测出训练案一、基础巩固-------- 把简单的事做好就叫不简单！1.如图,在河岸AC处测量河的宽度BC,需测量到下列四组数据，较适宜的是（）2.如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适合用的数据（）b3.为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C,如下图，测得CA=400m, CB=600m, ZACB = 50 J又测得A，B 两点到隧道口的距离AD二80m, BE=40m（A. D、E、B在一条直线上），计算隧道DE的长。

高中数学必修5《应用举例》导学案

§1．2 应用举例[学习指导语] 生活中，许多实际问题都可以用解三角形知识来解决．运用三角形边角关系等丰富的知识，将实际问题抽象为数学模型，不少“可望而不可及”的问题都能轻松获解．[预备知识]1．正弦定理：2．余弦定理：[预习反馈] 实际问题中的有关名词和术语．1．仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线时叫仰角，目标视线在水平视线时叫俯角．（如图①）2．方位角：从方向转到目标方向线的水平角．（如图②）3．方向角：相对于某一正方向的水平角．（如图③）4．坡角和坡比：（如图④）坡角为，坡比为．[小试牛刀]1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β之间的关系是 ( ) ．(A)αβ> (B) αβ= (C) 90αβ+= (D) 180αβ+=2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东 40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（）．(A) 北偏东10°(B) 北偏西10°(C) 南偏东10°(D) 南偏西10°3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间距离的是 ( ) ．(A) ,,a b α (B),,a αβ (C) ,,a b γ (D) ,,b αβ4．轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25海里/h 、15海里/h ，则下午2时两船之间的距离是海里．5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°， ∠CBA ＝75°，AB ＝120m ，则这条河的宽度为 m ．。

2014人教A版数学必修五 1.2 《解三角形应用举例》(1)教学案

高中数学人教版必修五 1.2 解三角形应用举例（1）一、教学目标1能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点1.重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解.2.难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.三、教学设计（一）预习教材指导预习思考：.如何将测量距离的实际问题转化为解三角形问题？（二）新课导学1.课题导入★【例题讲解】(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75.求A、B两点51，∠ACB=︒的距离(精确到0.1m)例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.3.课堂练习课本4.课堂小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解（三）作业设计四、课后反思。

人教新课标版数学高二-人教A必修5学案 1.2 应用举例(一)

1．2 应用举例(一)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神．[知识链接]在本章“解三角形” 引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ [预习导引]1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)要点一测量可到达点与不可到达点间的距离例1 如下图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是a ，∠BAC ＝α，∠ACB ＝β.求A 、B 两点间的距离．解在△ABC 中，根据正弦定理，得AB sin C ＝AC sin B，AB ＝AC sin C sin B ＝a sin βsin (π－α－β)＝a sin βsin (α＋β).答 A 、B 两点间的距离为a sin βsin (α＋β).规律方法解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪演练1 如图，在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．答案6解析由题意知C ＝180°－A －B ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222·32＝ 6.要点二测量两个不可到达点间的距离例2 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．解 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°. ∴AD ＝CD ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∴BC sin 30°＝CD sin 45°，∴BC ＝64a . 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为64a .规律方法测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A ，B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．跟踪演练2 如下图，A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠CDB ＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A 、B 两点间的距离是多少？解应用正弦定理得AC ＝40sin (45°＋60°)sin[180°－(30°＋45°＋60°)]＝40sin 105°sin 45°＝40sin 75sin 45°＝20(1＋3)，BC ＝40sin 45°sin[180°－(60°＋30°＋45°)]＝40sin 45°sin 45°＝40.在△ABC 中，由余弦定理得 AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos ∠BCA ＝20 6 m.∴A 、B 两点间的距离为206米．1．如图，在河岸AC 上测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( ) A ．a ，c ，α B ．b ，c ，α C ．c ，a ，β D ．b ，α，γ答案 D解析由α、γ可求出β，由α、β、b ，可利用正弦定理求出BC .故选D.2．某人向东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x 的值是________．答案 4解析由余弦定理：得x 2＋9－3x ＝13，整理得：x 2－3x －4＝0，解得x ＝4(x ＝－1舍去)．3．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，求A 、B 两点的距离．解由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．答 A 、B 两点间的距离为50 2 m.1.解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解． 2．正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、基础达标1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析由题意知，在△ABC 中AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，则C ＝180°－A －B ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin 45°＝56(n mile)．2．甲骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．6 km B ．3 3 km C. 3 2 km D ．3 km答案 C解析由题意知，AB ＝24×14＝6 km ，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝3 2.3．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______m.答案 60解析在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120(m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，∴120sin 90°＝CDsin 30°，∴CD ＝60(m)． ∴河的宽度为60 m.4．如图，一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解在△ABS 中，AB ＝32.2×0.5＝16.1 (n mile)，∠ABS ＝115° ，根据正弦定理，AS sin ∠ABS ＝ABsin (65°－20°)，AS ＝AB ×sin ∠ABS sin (65°－20°)＝AB ×sin ∠ABS ×2＝16.1×sin 115°×2，S 到直线AB 的距离是d ＝AS ×sin 20°＝16.1×sin 115°×2×sin 20°≈7.06(n mile)．由于7.06＞6.5，所以这艘船可以继续沿正北方向航行．5．要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．解如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22 (km)．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km. 二、能力提升6．一架飞机从A 地飞到B 地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700 km 远了多少？解在△ABC 中，AB ＝700 km ，∠ACB ＝180°－21°－35°＝124°，根据正弦定理，700sin 124°＝AC sin 35°＝BCsin 21°，AC ＝700·sin 35°sin 124°，BC ＝700·sin 21°sin 124°，AC ＋BC ＝700·sin 35°sin 124°＋700·sin 21°sin 124 °≈786.89(km)，786．89－700＝86.89(km)．答所以路程比原来远了约86.89 km.7．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？解由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处．在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin 2C ＝1－ cos 2C ＝432312， sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin 120°cos C －cos 120°sin C ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理，得MC ＝AC sin ∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35.从而有MB ＝ MC －BC ＝15.答汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站．三、探究与创新8．如右图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解依题意得，DC ＝30， ∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°. 在△BDC 中，由正弦定理可得，BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30·sin 30°sin 120°＝10，在△ADC 中，由正弦定理可得， AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC＝30·sin 60°sin 45°＝3 5.在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25，∴AB ＝5. 答这两座建筑物之间的距离为5 km.。

人教A版数学必修五1.2《应用举例》教案

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河北武中·宏达教育集团教师课时教案问题与情境及教师活动（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用 S= S=
学生活动
1 acsinB，得 2
1 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm 2 ) 2
b sin B
(2)根据正弦定理，
c sin C b sin C = sin B
=
c 教学过程及方法 S =
1 1 2 sin C sin A bcsinA = b 2 2 sin B
b2 c2 a2 a2 b2 c2 c2 a2 b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2
=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c ) =a +b +c =左边
变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ABC 的面
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题问题与情境及教师活动学生活动
Ⅰ.课题导入
以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在 ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？教学过程及方法 h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA 根据以前学过的三角形面积公式 S= 学生回答

人教A版必修5数学精品导学案：1.2应用举例—①

§1.2应用举例—①班级姓名学号学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232+，c＝22，则∠A为.复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是a，∠BAC=α，∠ACB=β. 求A、B两点的距离.分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.例3、坡度、仰角、俯角、方位角探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.1. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时2. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是．4.在∆ABC 中，cos 5cos 3A bB a ==，则∆ABC 的形状是、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b c A:B:C 的值.1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，的C 、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 在∆ABC中，b=2a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

新人教A版必修5高中数学第一章1.2应用举例(一)导学案

§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题 1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45° 解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时答案 B解析由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟答案 A解析设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小．二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°，解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ，灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．答河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时答案 B解析设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解如图所示，连结A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)．答乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．。

人教A版高中数学必修五 1-2应用举例学案精品

1.2.解三角形应用举例-----学案一、学习目标1．熟练掌握正、余弦定理．2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题．二、自主学习1.正、余弦定理定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角 ②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i 为坡比)．三、合作探究题型一、测量距离问题【例1】在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．[思路探索] 可将AB 放在△ABC 中来求，为此应先求出AC 和BC ，再用余弦定理求AB . 解 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°.∴AD ＝CD ＝AC ＝32a .在△BCD 中，∠DBC ＝45°，∴BC sin 30°＝CD sin 45°，∴BC ＝64a .在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45°＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38a 2.∴AB ＝64a .∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a .【方法技巧】求距离问题的注意事项：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．题型二、测量高度问题【例2】如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .[思路探索] 由仰角为45°可知CD ＝AD ，再在△ABD 中应用正弦定理求解AD 即可．解由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin 15°＝AD sin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m. 【方法技巧】求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．题型三、测量角度问题【例3】如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．审题指导：(1)分清已知条件和未知条件(待求)． (2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC 和△BCD . (3)利用正弦定理或余弦定理求解．[规范解答] 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6海里．又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．【方法技巧】解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用四、学以致用1.如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24 (n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°，解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 2.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB . 解在△BCD 中，∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，∴∠CBD ＝180°－(α＋β)，∴BC sin β＝s sin[180°－α＋β，即BC sin β＝sα＋β.∴BC ＝sin βα＋β·s . 在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴ABBC ＝tan θ，∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin α＋β·s .3.甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B 得：sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°. 所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．。

人教A版高中数学必修5数学导学案应用举例2

§1.2应用举例—②班级姓名学号1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 2ab C a b ，.复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60，3c =，求a c的值.二、新课导学※ 典型例题例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？例3、在∆ABC中，边BC上的高分别记为ha，那么它如何用已知边和角表示？ha=b sin C=c sin B根据以前学过的三角形面积公式S=12 ah，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=12ab sin C，或S= ，同理S= ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）例2. 在∆ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=；（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．练1. 在∆ABC 中，已知28a cm =，33c cm =，45B =，则∆ABC 的面积是．练2. 在∆ABC 中，求证：22(cos cos )c a B b A a b -=-．三、总结提升※ 学习小结1. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 知识拓展三角形面积S =1()2p a b c =++，这就是著名的海伦公式．1. 在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（）.A. B. C. D. 32 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（）三角形．A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是．2. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c a 及∆ABC 的面积S ．2. 在△ABC中，若+=⋅+，试判断△ABC的形状.sin sin sin(cos cos)A B C A B3.在ABCC=︒，则高BD= ，三角形面积= ．∆中，a=2b=，150。

高中数学1.2应用举例1导学案新必修5

1.2应用举例第1课时预习案【学习目标】1.了解常用的测量相关术语，把一些简单的实际问题转化为数学问题，培养数学的应用意识。

2.学会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量距离或宽度(有障碍物)有关的实际问题的方法。

3．让学生在独立思考，合作探究中激发学习数学的兴趣，体会数学建模的基本思想，培养其分析问题和解决问题的能力。

.【重点】：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决生活中的测量距离或宽度(有障碍物)问题。

【难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图，并从中找出解决问题的关键条件。

将预习不能解决的问题中标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.什么是正弦定理？有几种变式？2.什么是余弦定理？3.利用正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？4.利用余弦定理可解决哪几类解三角形的问题？Ⅱ.教材助读1. 课本例1可转化为“已知任意两角与 ”的解三角形问题，可利用定理得到解决。

2. 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做，一般来说，越长，测量的精度。

【预习自测】1. 某学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测量AC 的长度为4m ，A=6π，则期跨度AB 的长为（） CC.33mD.43 2，（2011，上海）在相距2km 的A,B 两点处测量目标点C ，若075=∠CAB 060=∠CBA ,则A,C 两点之间的距离是 km【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点：【例1】如图1，A ，B 选定一点C ，测出A ，C 两点间的距离是68 m ，∠BAC=50°，∠ACB=80°.求A ，B 两点间的距离.(精确到0.1 m)【例2】如图2所示，隔河可看到两目标 A ，B ，但不能到达，在岸边选取相距3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°， ∠ADC=30°，∠ADB=45°，A ，B ，C ，D 在同一平面内，求两目标A ，B 之间的距离.图2【规律方法总结】测量有关距离问题的应用题可分以下两类：（1）当时,如图3所示,选取基线 , 测出的度数及的长,运用可求AB.（2）当时,如图4所示,选取基线 ,测出的度数及的长,可以先由在△ADC和△BDC中求出AC和BC,再在△ABC中由求AB.一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．如图,在河岸AC处测量河的宽度BC，需测量到下列四组数据，较适宜的是（）A、c与αB、 c 与bC、 c与βD、 b与α2. 如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适合用的数据（）A .a、ɑ、b B.、ɑ、β、a C.a 、 b、γ D.α、β、b3.为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如下图，测得CA=400m，CB=600m，600∠ACB，又测得A，B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m=（A、D、E、B在一条直线上），计算隧道DE的长。

高二数学人教A版必修5第一章1.2 应用举例教案

1.2 应用举例【课题】：1.2.3解三角形在三角形面积计算上的应用【学情分析】:在学习本节之前学生能解决直角三角形以及已知三角形的一边和这边上的高的三角形面积计算问题。

学生学了正弦定理和余弦定理并积累了一些解三角形的知识后，对三角形的面积的计算就可以向学生提出更高的要求了。

因此，在学生已掌握了正弦定理、余弦定理的基础上，让学生探讨解决“已知二边及夹角和已知三边求三角形面积”的问题，就有了可能。

【教学目标】：（1）知识与技能:使学生掌握在“已知二边及夹角”和“已知三边”的条件下求三角形面积的方法；提高计算和使用计算工具的能力；进一步领会方程的思想，提高解决问题尤其是实际问题的能力（2）过程与方法：通过合作与探究，加深对正弦定理、余弦定理的理解，提高方程思想在实际中的运用能力（3）情态与价值：体验探求的乐趣，体会正弦定理、余弦定理的结构美，激发并提高学生学习数学的热情和兴趣【教学重点】：（1）公式的发现和它的灵活应用（2）方程思想的运用【教学难点】：在不同的条件下灵活的应用公式【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图创设情景问题1：在三角形ABC中，a=4，b=3，C = 60°，则ABCS∆=______ 生：求出对应边上的高，再利用12S a h=⋅求解∵AC=b，BC=a，作AD⊥BC，则AD为三角形BC边上的高∴AD=bsinC1sin2ABCS ab C=创设情景，引出问题，让学生主动学习，积极思考，由浅入深，寻求答案，灵活应用例1：在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）(1)已知a=14.8cm，c=23.5cm， B=148.50；(2)已知B=62.70，C=65.80，b=3.16cm；(3)已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.例2：如图，在某市进行环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68cm ,88cm，127cm，这个区域的面积是多少？(精确到0.1cm2)例3：在△ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=（2）2222(cos cos cos)a b c bc A ca B ab C++=++例1，2是在不同条件下求三角形的面积问题，归根到底是灵活运用正弦定理和余弦定理，应让学生归纳总结方法并提高计算能力，例3是边化角或角化边思想的体现练一练1.在△ABC中，A=600，b=1，3ABCS=，则△ABC外接圆的半径是_________________.2. 在△ABC中，已知B=600，cosC=13,AC=36，则△ABC的面积是____3．在ABC∆中，193,32,222==++=acbbccba，求ABC∆的面积4.在△ABC中，2sin cos2A A+=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积是_________________.通过练习进一步熟悉公式，灵活地针对不同的条件解决问题，从而增加学生学好数学的兴趣和信心基础练习：1、在△ABC 中，a=2，A=030，C=045，则△ABC 的面积是_________________ 解：由正弦定理sin sin a bA B=有sin 2sin1051)sin sin 30a B b A === ∴11sin 21)1222ABC S ab C ∆==⋅⋅= 2、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C的对边，且tan tan tan A B A B +=⋅，a=4，b+c=5，则△ABC 的面积为________________________35. 3 C.D.222A 解：由tan tan tan A B A B ++=⋅得tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅∴ A+B=23π C=3π又 ∵ 22222cos 1645c a b ab C b bb c ⎧=+-=+-⎨+=⎩∴ b=32113sin 4sin 2223ABCS ab C π==⋅⋅⋅=∴选C3、在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦是32，则△ABC 的面积是____________________解：由已知可知A 是最大角，所以3sin 2A =A=0060120或又222(4)(2)2(2)cos c c c c c A +=++-⋅⋅+当A=0120时，上式化为260c c --=，解得c=3或c=-2（舍去）当A=060时，上式无意义∴ 113153sin 532224ABCSbc A ==⋅⋅⋅= 4、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C 的对边的长，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5,S=53,求c 的长度。

高中数学 1.2应用举例(一)全册精品教案新人教A版必修5

1.2解三角形应用举例第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

3、新课讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。

高中数学人教A版必修五 1.2 应用举例课件、教学设计

3
△ABC为等边三角形，∠BAC=，又∠BAD=2，故∠CAD=，
所以在△ACD中，由余弦定理得3 ，CD2=AC32+AD2-
3
2AC·ADcos∠CAD
=4002+2502-2×400×250×co3 s =122500，所以CD=350(米
答案：350
2.在△ACD中，因为∠ADC=30°，∠ACD=120°，
故原玉佩两边的长分别约为7.02cm、8.60cm.
类型三航行中的距离问题
1.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M
在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北
偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为
km.
2.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+ 3 )海里的两个
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？
【解析】选C.在△ABC中根据题意可得，∠ABC=30°， ∠ACB=75°，∠BAC=75°，BC=20km，
根据正弦定理得， BC AC ，
所以AC=
·sinsi∠n ABBACC= sin·siAnB3C0°.
BC
20
=
s(inkmB)，AC故选C.
sin 75
10( 6 2)
第2课时解三角形的实际应用举例 ——高度、角度问题
测得正前方的河流的两岸B，C的俯角
分别为75°，30°，此时气球的高是
60m，则河流的宽度BC等于( )
A.240( -1)m
B.180( -1)m
C.120( -1)m
3
D.30( +1)m

2014年高中数学 1.2应用举例教学设计新人教A版必修5

1.2应用举例教材分析三维目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.过程与方法通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性.情感态度与价值观数学来源于生活，又应用于生活，一方面，三角形知识广泛应用于实际问题中，另一方面，实际问题的解决又推动了三角形的进一步完善和发展，通过亲自动手测量，写出实习报告等体会到数学市有用的，我能用数学，也能用好数学.教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．教学建议解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．导入新课一湖北省十堰市郧县柳坡镇马蹄沟村，是一个世代被大山阻隔的小山村，在无法承载贫穷重负和生命重压之下，毅然决然以一己之力，用比较落后的方式，开始了一段长达五年的艰难的开山之旅。

他们经历了令人难以想象的风险，终于打通了一条长400米的隧洞，从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离。

高中数学新人教A版必修5学案 1.2 应用举例(第1课时)

1.2 应用举例(第1课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语.2.体会数学的应用价值;同时提升运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:在日常生活和工农业生产中,为了达到某种目的,常常想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的两个物体之间的距离,这样的想法能实现吗?如何实现呢?例如:一个世代被大山阻隔的小山村,在无法承载贫穷重负和生命重压之下,毅然决然以一己之力,用比较落后的方式,开始了一段长达五年的艰难的开山之旅.他们经历了令人难以想象的风险,终于打通了一条长400米的隧道,从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离.试思考,在隧道未打通之前,我们如何测量小山村与大都市的距离?二、信息交流,揭示规律学习了正弦定理、余弦定理后,上述所提的问题是能够实现的.有时由于条件所限,需要测量像一个点与河对面一点或船到礁石这类不可到达点的距离时,一般作法是在河这边或主航道上发生一段位移,从两个不同地点测出到这个不能到达点的视角及这段位移的长度,从而通过计算得出答案.该作法只将实际问题转化为一个数学问题:已知一个三角形的两角及夹边,要求这个三角形的其中一边,显然只要根据正弦定理,就可以达到目的.例如:当我们想在河这边测出河对面两点之间距离的时候,往往可以这样做:在河这边的两个不同的地点分别测出望河对面两点及另一地点的视角,再结合这两个地点之间的距离,通过应用正弦定理、余弦定理计算求得河对面两点之间的距离.解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确作出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.三、运用规律,解决问题【例1】如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,∠BAC=51°,∠ACB=75°.求A,B两点的距离(精确到0.1m).问题1:在△ABC中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较恰当?问题2:运用该定理解题还需要哪些边和角呢?请学生回答.四、变式训练,深化提高【例2】如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法.五、限时训练1.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°视角,则B,C间的距离是( )A.10海里B.海里C.5海里D.5海里2.某人朝正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好km,那么x的值为.3.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在点A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为m.4.为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A和B,望对岸的标记物C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=120m,求河的宽度.六、反思小结,观点提炼解三角形应用题的一般步骤:参考答案一、略二、略三、运用规律,解决问题【例1】解:根据正弦定理,得,AB=≈65.7(m).答:A,B两点间的距离为65.7米.问题1:从题中可以知道角A和角C,所以角B就可以知道,又因为AC可以量出来,所以应该用正弦定理.问题2:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边AB的对角,AC为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角,应用正弦定理算出AB边.四、变式训练,深化提高【例2】解:测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,并且在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ,在△ADC和△BDC中,应用正弦定理得AC=,BC=.计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定理计算出A,B两点间的距离AB=.五、限时训练1.D2.或23.504.解:如图,在△ABC中,由已知,可得AC==20(3)(m),设C到AB的距离为CD,CD=AC=20(+3)(m),所以河的宽度为20(+3)m.六、反思小结,观点提炼(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.。

高二人教A版必修5教案精选：1.2 应用举例

正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A ）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标① 由正弦定理求出，再由，得出的值有0、1或2个，只要满足的B 都是符合题意的，再由（1）的方法可完整求解；②由余弦定理求出c ，得到的正数c （有0、1或2个）都是符合题意的，再由（2）的方法可完整求解。

sinBbsinA a =sinA a b sinB =π<<B 0π<+B A A bc c b a cos 2222-+=通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。