2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3直线与圆、圆与圆的位置关系学案2北师大版2

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第二章解析几何初步(二)圆

．
；此时直线 l：x+y
21．已知圆 x2+y2＝4 与圆 x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 交于 A，B 两点，则|AB|＝
．
22．已知圆 C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0 和圆 C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0 相交于 A，B 两点，则直线
AB 的方程是
，线段 AB 的长度是
．
23．已知△ABC 的三个顶点 A（1，﹣2），B（0，5），C（﹣3，﹣4）．（1）求过 B 点且与点 A，C 距离相等的直线方程；（2）求三角形的外接圆方程．
A．外切
B．内切
C．相交
D．外离
16．已知直线 l：y＝x+m 与曲线
A．
B．
有两个公共点，则实数 m 的取值范围是（）
C．
D．
17．若圆 x2+y2﹣2kx﹣4＝0 关于直线 2x﹣y+3＝0 对称，则 k 等于（）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
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第二章解析几何初步（二）—圆
18．若直线 l：y＝kx+3﹣k 与曲线 C：y＝
相交：d＜r ；相切：d＝r；相离：d＞r ②代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由
消元，得到一元二次方程的判别式△
相交：△＞0；相切：△＝0；相离：△＜0．
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第二章解析几何初步（二）—圆 5．圆与圆的位置关系及其判定（1）圆与圆的位置关系
（2）圆与圆的位置关系的判定设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，|O1O2|＝d 利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4 条公切线）：d＞r1+r2 ②外切（3 条公切线）：d＝r1+r2 ③相交（2 条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2 ④内切（1 条公切线）：d＝|r1﹣r2| ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|

高中数学第二章平面解析几何 2.3 圆及其方程 2.3.1 圆的标准方程课后提升训练(含解析)新

2.3 圆及其方程2.3.1圆的标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),42.方程y=√9-x 2表示的曲线是() A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆3.如图,圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C 经过点A (2,15),则圆C 的半径为()A.7√2B.8C.8√2D.10圆C 经过点(2,1)和点(2,15),故圆心在直线y=8上.又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由{x =8,x -x -1=0可得圆心为(9,8),故圆的半径为√(9-2)2+(8-1)2=7√2.4.已知一圆的圆心为点A (2,-3),一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上,则圆的标准方程为() A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=√(2-0)2+(-3-0)2=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0, 化简得x-y+3=0.6.若点P(-1,√3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.P点在圆x2+y2=m2上,∴(-1)2+(√3)2=4=m2,∴m=±2.27.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心,√5为半径的圆的标准方程是.(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.x+1)2+(y-2)2=58.若圆的方程为(x+x2)2+(y+1)2=1-34k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为、.圆的方程为(x+x2)2+(y+1)2=1-34k2,∴r2=1-34k2>0,r max=1,此时k=0.∴圆心为(0,-1).-1)19.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.(x-a)2+(y-b)2=r2,则有{(2-x )2+(2-x )2=x 2,(5-x )2+(3-x )2=x 2,(3-x )2+(-1-x )2=x 2,解得{x =4,x =1,x 2=5,即△ABC 的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5. 10.已知点A (-1,2)和B (3,4).求: (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程; (2)以线段AB 为直径的圆的标准方程.AB 的中点C 的坐标为(1,3).(1)∵A (-1,2),B (3,4),∴直线AB 的斜率k AB =4-23-(-1)=12. ∵直线l 垂直于直线AB , ∴直线l 的斜率k l =-1xxx=-2,∴直线l 的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A (-1,2),B (3,4),∴|AB|=√(3+1)2+(4-2)2=√20=2√5,∴以线段AB 为直径的圆的半径R=12|AB|=√5.又圆心为C (1,3), ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.能力提升练1.方程(x-1)√x 2+x 2-3=0所表示的曲线是() A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆x-1)√x 2+x 2-3=0可化为x-1=0或x 2+y 2=3,∴方程(x-1)√x 2+x 2-3=0表示一条直线和一个圆.2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P ,则与圆C :(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,则{2x +3x -1=0,3x -2x +5=0,解得{x =-1,x =1,即P (-1,1).∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),∴|PC|=√(-1-2)2+(1+3)2=5,∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B.3.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y 轴上截得的弦长为2√5,则圆的方程为()A.(x-3)2+(y+5)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=1D.(x+23)2+(x-73)2=499,过圆心M作MA⊥x轴,MB⊥y轴,连接MC,由垂径定理得到B为CD中点,又|CD|=2√5,∴|CB|=√5,由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|,|MB|=|a|,在直角三角形MBC中,根据勾股定理得b2=a2+(√5)2,①把圆心(a,b)代入y=-2x+1中,得b=-2a+1,②联立①②,解得a=2,b=-3,∴圆心坐标为(2,-3),半径r=|-3|=3,则所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.故选B.4.已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a的最小值是.C(2+√2cosα,2+√2sinα),∴xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα+a,2+√2sinα),xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα-a,2+√2sinα),∵∠ACB=90°,∴xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα)2-a2+(2+√2sinα)2=0,∴a2=10+4√2(sinα+cosα)=10+8sinα+π4∈[2,18].∵a>0,∴a∈[√2,3√2],∴a的最小值是√2.√25.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为.(x-1)2+y2=1,设其圆心为C1,则圆C1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1.设圆心C1(1,0)关于直线y=-x对称的点的坐标为(a,b),即圆心C的坐标为(a,b),则{xx-1·(-1)=-1,-x+12=x2,解得{x=0,x=-1.所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1.2+(y+1)2=16.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.因为|PA|=√10,|PB|=√13,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径r=|PB|=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.7.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为2√14,求圆C的方程.C(2y0,y0),半径r=|2y0|,圆心到直线x-y=0的距离为√2=√2,由半径、弦心距、半弦长的关系得4x02=14+x022,∴y0=±2.当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.素养培优练1.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点A(-12,0),点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为.,取点K(-2,0),连接OM,MK.∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,∴|xx||xx|=|xx||xx|=2.又∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,∴|xx||xx|=|xx||xx|=2,∴|MK|=2|MA|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,∵B(1,1),K(-2,0),∴|BK|=√(-2-1)2+(0-1)2=√10.√102.已知圆C的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切于点(0,1).(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,求m的值.设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,∵圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,∴圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC为等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,∴圆心C到直线l的距离d=3√22.则d=√2=32√2,解得m=1或-5.。

2017-2018学年高中数学第二章解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.2 圆的一般方程

2.2 圆的一般方程1.掌握圆的一般方程.(重点)2.了解二元二次方程表示圆的条件.(难点)3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.(难点)[基础·初探]教材整理圆的一般方程阅读教材P 81“练习”以下至P 82“例3”以上部分，完成下列问题.1.圆的一般方程的定义：当D 2＋E 2－4F ＞0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0－4y －4＝0化为标准方程为______. 【答案】 (x ＋1)2＋(y －2)2＝32[小组合作型]和半径；若不能，请说明理由.【精彩点拨】解答本题可直接利用D 2＋E 2－4F >0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数.【自主解答】法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x 2与y2的系数是否相等；(2)不含xy 项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看D 2＋E 2－4F >0是否.求圆心在直线y ＝x 上，且经过点A (－1,1)，B (3，－1)的圆的一般方程.【精彩点拨】设圆的一般式方程→代入点的坐标→得到圆的方程【自主解答】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋3D －E ＋F ＝0，解得D ＝E ＝－4，F ＝－2，即所求圆的一般方程是x 2＋y 2－4x －4y －2＝0. 【答案】 x 2＋y 2－4x －4y －2＝用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D ，E ，F.[再练一题]2.已知A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)，求△ABC 外接圆的方程. 【解】设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D ，E ，F 的三元一次方程组：即⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解此方程组，可得D ＝－8，E ＝6，F ＝0， ∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0.[探究共研型]探究1 AB 的中点P 的轨迹方程.【提示】 ∵|OP |＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×82＝3，∴点P 的轨迹为以O 为圆心，3为半径的圆， ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9.探究2 已知Rt△ABC 的两个顶点A (－1,0)和B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程.【提示】法一：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).法二：取线段AB 中点D ，则|CD |＝12|AB |＝2，又D (1,0)，所以点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4.(x ≠3，且x ≠－1).已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【导学号：39292103】【精彩点拨】点M 随点A 运动而运动，将A 点坐标用B ，M 两点坐标表示，再将A 点坐标代入圆的方程，即得M 【自主解答】设点M (x 0，y 0)，由于点B 的坐标是(4,3)且点M 是线段AB 的中点，所以x①y 2＝4， ②－3)2＝4，－3y ＋72＝0.用代入法求轨迹方程的一般步骤：[再练一题]3.过原点O 作圆x 2＋y 2－8x ＝0的弦OA ，求弦OA 中点M 的轨迹方程.【解】设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，依题意得x ＝x 02，y ＝y 02，所以x 0＝2x ，y 0＝2y .又A 在圆x 2＋y 2－8x ＝0上，所以4x 2＋4y 2－16x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. 故弦OA 中点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0.1.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为( ) A.(1,2) B.(1，－2) C.(－1,2)D.(－1，－2)【解析】将圆的方程化为标准方程(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，可知其圆心坐标是(1，－2). 【答案】 B2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A.m ≤2 B.m <12C.m <2D.m ≤12【解析】由r ＝12D 2＋E 2－4F >0，得(－1)2＋12－4m >0，即m <12.【答案】 B3.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 【解析】圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3. 【答案】 34.圆x2＋y2－2x－4y－11＝0关于点P(－2,1)对称的圆的方程是________.【导学号：39292104】【解析】由x2＋y2－2x－4y－11＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝16.圆心(1,2)关于P(－2,1)的对称点为(－5,0)，所求圆的方程为(x＋5)2＋y2＝16，化为一般式为x2＋y2＋10x＋9＝0.【答案】x2＋y2＋10x＋9＝05.已知圆x2＋y2＝4上一点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程.【解】(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。

北师大高中数学必修二课时跟踪检测：第二章解析几何初步 §2 22 含解析

第二章解析几何初步§2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程课时跟踪检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)答案：D2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3 解析：－D 2＝－2，则D ＝4；－E 2＝3，则E ＝－6；此时方程为x 2＋y 2＋4x －6y ＋F ＝0.12 42＋(－6)2－4F ＝4，则F ＝－3.答案：D3．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )A ．0B ．6C ．±2D ．2解析：两圆的圆心分别为C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，C 2(0,0)． ∵两圆关于直线x －y －1＝0对称．∴C 1C 2的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－12在直线x －y －1＝0上．∴a 4＋12－1＝0，a ＝2.答案：D4．如果圆的方程为x 2＋ y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标是( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：R 2＝k 2＋4－4k 24＝4－3k 24. 当k 2＝0时，R 2最大，面积也最大．此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，圆心为(0，－1)．答案：D5．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析：方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜0，2a ＞0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＞2.答案：D 6．圆x 2＋y 2＋8x －4y ＝0与圆x 2＋y 2＝20关于直线y ＝kx ＋b 对称，则k 与b 的值分别为( )A ．k ＝－2，b ＝5B ．k ＝2，b ＝5C ．k ＝2，b ＝－5D ．k ＝－2，b ＝－5解析：两圆的圆心分别为(－4,2)和(0,0)，∵两圆关于直线y ＝kx ＋b 对称，∴2－0－4－0×k ＝－1，∴k ＝2. 又∵两圆心连线的中点在直线上，∴－2k ＋b ＝1，∴b ＝5.答案：B二、填空题7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－28．圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为______________________________________________．解析：由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.答案：x ＋y －4＝09．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为__________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆心在x 轴上，∴－E 2＝0，则E ＝0.此时圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52＋12＋5D ＋F ＝0，12＋32＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，F ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.答案：x 2＋y 2－4x －6＝0三、解答题10．求过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－2＝0.即⎩⎨⎧ D －E ＋F ＝－2，－D ＋E ＋F ＝－2，D ＋E ＝－4.∴⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－2，F ＝－2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．解：(1)因为方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F >0，所以(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)>0.所以23t >－9，即t >－332.(2)圆x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0的标准式方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋t 22＝(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)4，由条件知，圆的半径是3，所以3＝12 (3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2).所以23t ＋9＝36.所以t ＝932>－323，所以t ＝932.12．已知一圆过点P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆与y 轴的交点为A (0，m )，B (0，n )，令x ＝0，则y 2＋Ey ＋F ＝0，所以m 、n 是这个方程的根，且m ＋n ＝－E ，mn ＝F .所以|AB |2＝(m －n )2＝(m ＋n )2－4mn ＝E 2－4F ＝(43)2，故E 2－4F ＝48. ①又因为点P (4，－2)、Q (－1,3)在这个圆上，所以16＋4＋4D －2E ＋F ＝0，且1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.即4D －2E ＋F ＋20＝0， ②－D ＋3E ＋F ＋10＝0. ③解①②③得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4. 因此圆的方程是x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.13．已知Rt △AOB 中|OB |＝3|AB |＝5，点P 是△AOB 内切圆上一点，求以|P A ||PB ||PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，设P (x ，y )，内切圆半径为r ，则有|OA |·r ＋|OB |·r ＋|AB |·r ＝|OA |·|OB |所以r ＝1.故内切圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，化简为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0.①又|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.②由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1.将其代入②，则有|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22，因为x ∈[0,2]，故|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和，S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PB |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， π4×22＝11π2，π4×18＝92π，所以所求面积之和的最大值为11π2，最小值为9π2.。

高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.3 圆与圆的位

2．两圆 x2＋y2＋6x＋4y＝0 及 x2＋y2＋4x＋2y－4＝0 的公共弦所在的直线方程为______________．
【解析】联立xx22＋＋yy22＋＋64xx＋＋42yy＝－04，＝0，① ② ①－②得：x＋y＋2＝0. 【答案】 x＋y＋2＝0
3．圆 x2＋y2＝1 与圆 x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0 的交点坐标为________．【解析】由xx22＋＋yy22＋＝21x，＋2y＋1＝0，解得yx＝＝－0，1 或yx＝＝0－. 1，【答案】 (－1,0)和(0，－1)
两圆相交的问题
已知两圆 C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0 与 C2：x2＋y2＋2x＋2y－8 ＝0.
(1)求公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的长．【精彩点拨】两圆方程相减 → 直线方程 → 半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形 → 列式求解
【自主解答】 (1)设两圆的交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)．将点 A 的坐
1．利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．
2．求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．
d＝|r1－r2| d<|r1－r2|
2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．圆圆CC12方方程程―消―元→一方元程二次ΔΔΔ>＝<000⇒⇒⇒_____内相外______切交离______或或____，_外内____切含_____. _，

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程222圆的一般方程课件北师大版必修2(2)

(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数都为1.
【跟踪训练】若使圆x2+y2+2x+ay-a-12=0(a为实数)的面积最小，则a=_________.
【对点训练】
1.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分
别为 ( )
A.(3，0)，8
B.(0，-3)，8
C.(0，3)，2 2
D.(3，0)，2 2
【解析】选C.因为x2+y2-6y+1=0，可化为x2+(y-3)2 =8，所以圆心为(0，3)，半径为2 2 .
2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，则m的取值范围是
【跟踪训练】
若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为
半径的圆，则D，E，F的值分别为 ( )
A.4，8，-4
B.-4，8，4
C.8，-4，16
D.4，-8，16
【解析】选B.由已知，圆的标准方程为(x-2)2 +(y+4)2=16，展开得一般方程x2+y2-4x+8y+4=0，比较系数知，D，E，F分别为-4，8，4，故选B.
(-2，-4)，半径为5；当a=2时，方程为
4x2+4y2+4x+8y+10=0(x ，即1)2y12不5表示圆.
2
4
答案：(-2，-4) 5
【方法总结】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.

北师大版高中数学必修2第二章解析几何初步第二节《圆与圆的方程》PPT课件

所以这个圆的方程是ｘ 2 ＋ｙ 1.＋ 5 0 2＝ 1.5 4 2
12
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01my ）
P2 P
A
A1 A2 O A3Y A4 Bx
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求
M
经过圆上一点M（xo，yo）的切线
的方程.
O
X
6
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的切线的方程。
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An e Way
演讲人：XXXXXX
时间：XX年XX月XX日
14
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是
xa2yb2r2；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的
方程就是x2+y2=r2。
2）由于圆的方程含有a、b、r三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定一个圆，可用待定系数法求得。
课题：圆的标准方程
Y
O
X
求曲线方程的主要步骤：
1）建立适当的坐标系,设M（x，y）是曲线上任意一点； 2）用坐标表示点M所适合的条件，列出方程f（x，y）=0； 3）化方程f（x，y）=0为最简形式 4）查缺补漏。

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程221圆的标准方程课件北师大版必修2(2)

2
2
所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-3 圆的位置关系【典例2】已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5，3)， N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
【解题指南】求出圆的标准方程，将点M，N，P的坐标代入方程左侧与r2相比较判断.
【拓展】圆心在坐标轴上或过原点或与坐标轴相切的圆的方程的形式 (1)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程： x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上，半径为r的圆的标准方程： (x-a)2+y2=r2.
(3)圆心在y轴上，半径为r的圆的标准方程： x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上，且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上，且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
【对点训练】 1.圆心为(-2，1)，半径为 2 的圆的标准方程为
() A.(x+2)2+(y+1)2= 2 B.(x+2)2+(y-1)2= 2 C.(x+2)2+(y+1)2=2 D.(x+2)2+(y-1)2=2
【解析】选D.圆心为(-2，1)，排除A，C，半径为 2 ，故选D.
2.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3，则此圆的
(2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是_(_x_-_a_)_2_+_(_y_-_b_)_2=_r_2_. 当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以_(_0_，__0_)_为圆心， r为半径的圆.

【数学】2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系课件(北师大必修2)

几何法
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系判断方法：
一、几何方法。主要步骤：把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交
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直线与圆的位置关系
二、代数方法。主要步骤：
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
① ：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
代数法
② ：由圆心到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．
C.x-y-3=0
例.己知圆C: x2+y2－2x－4y－20=0, 直线l: (2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R)
(1)证明: 无论m取何值直线l与圆C恒相交.
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长,及此时直线l的方程.
分析: 若直线经过圆内的一定点，那么该直线必与圆交于两点，因此可以从直线过定点的角度去考虑问题.
小结：圆与圆的五种位置关系
两圆无公共点
R O1 r O2 O1 O
R r
2
外离 |O1O2|>R+r 内含 |O1O2|<R-r
两圆一有公共点
R
R O1
r O2
O1 O r 2
内切 |O1O2|=R-r 外切 |O1O2|=R+r

2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步 2.2.3.2 圆与圆的位置关系北师大版必修2

分析:(1)参数m的值已知,求解时可先找出圆心及半径,然后比较两圆的圆心距d与r1+r2,|r1-r2|的大小关系.(2)两圆有三条公切线即两圆相外切,由此建立关于m的等式求解.(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含,则圆心距d<|r1-r2|.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)∵m=1,∴两圆的方程分别可化为 C1:(x-
解:设所求圆的圆心为 P(a,b),
易错辨析
所以 (��-4)2 + (�� + 1)2=1.
①
若两圆外切,
则有 (��-2)2 + (�� + 1)2=1+2=3.
②
由①②,解得 a=5,b=-1.
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1. 若两圆内切,
则有 (��-2)2 + (�� + 1)2=2-1=1.
(1)求线段AB的垂直平分线的方程; (2)求AB所在直线的方程; (3)求公共弦AB的长度. 分析:(1)线段AB的垂直平分线即两圆圆心的连线;(2)两圆方程相减即得AB所在直线的方程;(3)利用几何法根据勾股定理求AB的长.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)由于两圆相交于 A,B 两点,所以线段 AB 的垂直平分线就是两圆的圆心的连线.
(1)求公共弦AB所在直线的方程;
(2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程.
解:(1)由已知得
��2 ��2
+ +
��2 + 2�� + 2��-8 = 0, ��2-2�� + 10��-24 = 0,

高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.2课件北师大版必修

D＝－2， 4 3 解得E＝－， 3 F＝1.
外接圆的圆心到
2 3 ，故△ABC ∴△ABC 外接圆的圆心为1， 3 2 3 21 2 2 原点的距离为 1 ＋＝ 3 . 3
答案：B
5．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的一般方程为 ________________．
方法归纳形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令 D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆； ②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
条件 D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F＝ 0 D2＋E2－4F>0 图形不表示任何图形 D E 表示一个点－ 2 ，－ 2 D E 1 2 2 －，－表示以 2 D ＋ E －4F为半径的圆为圆心，以 2 2
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内任一圆的方程都是关于 x，y 的二元二次方程．( √ ) (2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．( √ ) (3)形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的方程都表示圆．( × ) (4)若方程 x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0 表示圆，则 E≠0.( √ )
类型二待定系数法求圆的方程 [例 2] 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)， B(－2,3)， C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
【解析】方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程221圆的标准方程课件北师大版必修2(1)

所以 r＝|CA|＝ 5－42＋2－02＝ 5. 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
类型二点与圆的位置关系
[例 2] 如图，已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3)． (1)求以 P1P2 为直径的圆的方程； (2)试判断点 M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
方法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)，kAB＝1－－1－－11 ＝－1，所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1，所以 AB 的垂直平分线的方程为 y－0＝1·(x－0)，即 y＝x.则圆心是直线 y＝x 与 x＋y －2＝0 的交点，
由yx＝＋xy，－2＝0，得xy＝＝11，，即圆心为(1,1)，圆的半径为
1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法归纳
求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解．
A．(－4,3) B．(－5,4) C．(－5,5) D．(－6,4)
解析：由 a2＋(a＋1)2<25，可得 2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3. 答案：A
3．已知圆 C 经过 A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为________．
解析：因为圆心在 x 轴上，设圆心为(a,0)，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2. 又因为 A(5,2)，B(－1,4)在圆上．所以5－－1a－2a＋24＋＝1r62＝r2，解得 a＝1，r2＝20. 所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝20. 答案：(x－1)2＋y2＝20

高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3.1课

(3)当 Δ<0 时，即－43<m<0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为 C(2,1)，半径 r＝2.
圆心 C(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
(1)当 d<2 时，即 m>0 或 m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，所以 k＝152. 此时直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0.
(2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x＝2 也符合要求．所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2.
5．直线 x－2y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝8 相交于 A，B 两点，则|AB| ＝________.
解析：d＝
5＝ 5
5，
所以|AB|＝2 r2－d2＝2 8－5＝2 3.
答案：2 3
类型一直线与圆的位置关系的判断 [例 1] 已知直线方程 mx－y－m－1＝0，圆的方程 x2＋y2－4x －2y＋1＝0.当 m 为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．
2．直线 x－3y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝19的位置关系是(
)
A．相离
B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：圆心(0,0)到直线 x－3y＋1＝0 的距离 d＝ 110<13，故直线与圆相交，但不过圆心．
答案：D
3．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( ) A．x＋ 3y－2＝0 B．x＋ 3y－4＝0 C．x－ 3y＋4＝0 D．x－ 3y＋2＝0

2016_2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.1圆的标准方程课件北师大版必修2

圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (1)圆心为(a，b)，半径为 r，圆的标准方程是____________________
x2＋y2＝r2 (2)圆心为坐标原点，半径为 r，圆的标准方程是____________.
[强化拓展] (1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径 r 是圆的定量条件．反之，若已知圆的标准方程便可以直接得到圆心和半径． (2)几种特殊位置的圆的标准方程：条件过原点圆心在 x 轴上圆心在 y 轴上方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
◎已知某圆圆心在 x 轴上，半径为 5，且截 y 轴所得线段长为 8，求该圆的标准方程．
【错解】如右图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5.
在 Rt△AOC 中， |OC|＝ |AC|2－|OA|2＝ 52－42＝3， ∴C 点坐标(3,0)， ∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝25.
【错因】
正解二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25. ∵圆截 y 轴线段长为 8， ∴圆过点 A(0,4)，代入方程得 a2＋16＝25， 3， ∴a＝± ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25 或(x－3)2＋y2＝25.
解析：
(1)将 P(1,2)代入方程左边得(1－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点(1,2)在
圆内，故选 C. (2)∵|MA|＝－1－32＋1－42＝5， |MB|＝ 1－32＋0－42＝2 5， |MC|＝－2－32＋3－42＝ 26， ∴|MB|＜|MA|＜|MC|. ∴点 B 在圆内，点 A 在圆上，点 C 在圆外． ∴圆的半径 r＝|MA|＝5， ∴圆 M 的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. 答案： (1)C (2)(x－3)2＋(y－4)2＝25

2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3直线与圆、圆与圆的位置关系学案2北师大版2

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