2019届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学(文)试题

2019届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|0A x x =<<，{}|12B x x =≤<，则()R C A B =（ ）A.{|1x x ≤≤B.{|1x x ≤<C.{}|2x x <D.{}|2x x <2.在区间[]3,4-内随机取一个实数x ，则满足22x≥的概率为（ ）A.27B.37C.47D.573.若,x y 满足约束条件，则z x y =+的最大值为（ ）A.4B.8C.2D.64.已知等比数列{}n a 满足11a =，1357a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A.7B.14C.21D.265.已知函数()2log ,010,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则()18lg 3f f ⎛⎫+⎪⎝⎭等于（ ） A.8B.10C.6D.136.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>C 的渐近线方程为（ ）A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =±D.y x =±7.函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则向量OA 与OB 的数量积为（ ）A.4πB.5C.2D.68.命题p ：复数()12z i i =-∙对应的点在第二象限；命题q ：00x ∃>，使得00ln 2x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝9.我国有一道古典数学名著——两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的n =（ ）A.3B.4C.5D.610.已知函数()sin 2f x x x R =∈，则下列结论不正确的是（ ） A.最大值为2B.把函数2sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度就得到()f x 的图像C.最小正周期为πD.单调递增区间是5k ,1212k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 11.已知,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，l α⊥，m β≠⊂，则有下面四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若αβ⊥，则//l m ；③若//l m ，则αβ⊥；④若l m ⊥，则//αβ.其中所有正确的命题是（ ） A.①③B.①④C.②③D.①②③④12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =，则函数()()12g x f x x =--在区间[]3,6-上所有零点之和为（ ） A.2B.4C.6D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a =，()2,b m =-，若a b ⊥，则实数m =________.14.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1b =，3c =，且cos23A =，则a =________. 15.若直线()10,0ax by a b +=>>过圆222220x y x y +---=的圆心，则14a b+的最小值为________. 16.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c)cos cos 2cos a C c A b A ∙+∙=∙. （1）求角A 的大小；（2）已知公差为()0d d ≠的等差数列{}n a 中，1sin 1a A ∙=，且124,,a a a 成等比数列，记14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生表二：女生（1）求x ,y 的值；（2）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （3）由表中统计数据填写22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19.如图，在四棱锥A BCDE -中，AB AC ⊥，底面BCDE 为直角梯形，90BCD ∠=︒，,O F 分别为,BC CD 中点，且22AB AC CD BE ====，AF（1）OA ⊥平面BCDE ；（2）若P 为线段CD 上一点，且//OP 平面ADE ，求CPCD的值； （3）求四棱锥A BCDE -的大小.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为3，过x 轴正半轴一点(),0m 且斜率为l 交椭圆于,A B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使0FA FB ∙=，若存在求出实数m 的值；若不存在需说明理由.21.已知函数()1ln 2f x a x x x=++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()2mf x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：22cos ,2sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为：cos sin 2ρθρθ+=. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）设1C 和2C 交点为,A B ，求AOB ∆的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()21f x x =-，()212mg x x m =++-. （1）若0m =，解不等式()()f x g x ≤；（2）若()()20f x g x +≥对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.高中2019届毕业班第一次诊断性考试数学（文史类）参考答案一、选择题1-5:CBABC 6-10:CDCBB 11、12：AD 二、填空题13.1 14.43三、解答题17.解：（1)sin cos sin cos 2sin cos A C A B A ∙+∙=∙，()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =又B 为三角形的内角，所以sin 0B ≠，于是cos A =又A 为三角形的内角，所以6A π=.（2）因为1sin 1a A =，124,,a a a 且成等比数列，所以112sin a A==，且2214a a a =∙ 所以()()22223d d +=+，且0d ≠，解得2d = 所以2n a n =，所以()1411111n n n b a a n n n n +===-++ 所以111111111122334111n n S L n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18.解：（1）设从高一年级男生中抽取m 人，则45500500400m =+ 解得25m =，则从女生中抽取20人所以251555x =--=，201532y =--=.（2） 表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为,,a b c ，尚待改进的2人为,A B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为()()()(),,,,,,,a b a c b c A B ，()()(),,,,,a A a B b A ，()()(),,,,,b B c A c B ，共10种记事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为()()(),,,,,a A a B b A ，()()(),,,,,b B c A c B ，共6种，所以()63105P C ==，即所求概率为35. （3）22⨯列联表如下：()2245155151030152520K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 22451559 1.125 2.706301525208⨯⨯===<⨯⨯⨯， 因为10.90.1-=，()22.7060.10P K ≥=所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 19.解：（1）证明：连结OF2AB AC ==，O 为BC 的中点OA BC ⊥∴，且BC =OC =又90BCD ∠=︒，F 是CD 中点，2CD =，OF ∴由已知AF =222AF OA OF =+∴OA OF ⊥∴，且,BC OF 是平面BCDE 内两条相交直线OA ⊥∴平面BCDE .（2）连接BF ，由已知底面BCDE 为直角梯形，2CD BE =，//BE CD 则四边形BFDE 为平行四边形 所以//BF DE因为//OP 平面ADE ，OP ≠⊂平面BCDE ，平面ADE平面BCDE DE =，所以//OP DE 所以//OP BF因为O 为BC 中点，所以P 为CF 中点所以12CP CF =，又因为点F 为CD 的中点. 所以14CP CD =.（3）由（1）OA ⊥平面BCDE 得OA 为四棱锥A BCDE -的高，且OA =又因为BCDE 是直角梯形，CD CB ⊥，22AB AC CD BE ====，所以直角梯形BCDE的面积为2122CD BE S BC ++=⨯=⨯=则四棱锥A BCDE -的体积11233V S OA =∙=∙=20.解：（1）抛物线28y x =的焦点是()2,0()2,0F ∴，2c =∴，又c a =a =∴，26a =，则2222b ac =-=故椭圆的方程为22162x y +=.（2）由题意得直线l的方程为)()0y x m m =->由)221623x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222260x mx m -+-=. 由()224860m m ∆=-->，解得m <-.又0m >，0m <<∴设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=.))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-∙-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴.()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，()()()()21212121223462243333m m m m FA FB x x y y x x x x -+∙=--+=-+++=∴则由0FA FB ∙=，即()2303m m -=，解得0m =或3m =.又0m <<3m =∴.即存在3m =使0FA FB ∙=.21.解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()212a f x x x '=-+， 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行 所以()1122f a '=-+=，即1a =()1ln 2f x x x x =++∴，()()()()21210x x f x x x+-'=> 由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由（1）知不等式()2m f x x x ≥+恒成立可化为1ln 22mx x x x x++≥+恒成立 即ln 1m x x ≤∙+恒成立 令()ln 1g x x x =∙+()ln 1g x x '=+当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以1x e=时，函数()g x 有最小值 由ln 1m x x ≤∙+恒成立 得11m e ≤-，即实数m 的取值范围是1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 22.解：（1）曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），即22cos 2sin x y αα-=⎧⎨=⎩平方相加得1C 的普通方程为：()2224x y -+=（或2240x y x +-=）cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线2C 的极坐标方程cos sin 2ρθρθ+= 得2C 的直角坐标方程2x y +=.（2）由（1）知1C 是以()2,0为圆心，为2半径的圆，且直线2x y +=过圆心()2,04AB =∴，又由于原点到直线2x y +=的距离为d ==则AOB ∆的面积为11422AB d =∙=. 23.解：（1）当0m =时()1g x x =+ 原不等式可化为211x x -≤+两端平方得()()22211x x -≤+化简得220x x -≤解得02x ≤≤则不等式()()f x g x ≤的解集为{}|02x x ≤≤. （2）()()2221212f x g x x x m m +=-+++-2212120x x m m -+++-≥∴对任意x R ∈恒成立，即221222x x m m -++≥-对任意x R ∈恒成立，即{}2min 22122m m x x -≤-++又因为()()212221223x x x x -++≥--+= 则223m m -≤，解得312m -≤≤则实数m 的取值范围为3|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.。